Egy $G$ egyszerű gráfra a következő álítások ekvivalensek:
\begin{enumerate}
\item$G$ fa.
\item$G$-ben nincs kör és $n -1$ éle van.
\item$G$ összefüggő és $n -1$ éle van.
\end{enumerate}
\end{block}
\begin{block}{Tétel: Feszítőfa létezése}
Minden véges összefüggő $G$ gráfnak létezik feszítőfája.
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Körök száma}
Egy véges összefüggő $G =(E, V)$ gráfban létezik \underline{legalább}$e(G)- v(G)+1$ különböző kör.
\end{block}
\begin{block}{Bizonyítás}
A feszítőfa létezése téltel miatt ($\Rightarrow$) $\exists T$ feszítőfa, aminek $v(G)-1$ éle van.\\
Legyen $K_f$ az a kör, ami $T \cup\{f\}$-ben van, ahol $f \in E(G)\setminus E(T)$\\
$T_G$ komplementerben legalább $e(G)- e(T)= e(G)-(v(G)-1)= e(G)- v(G)-1$ ilyen $f$ él van.\\
$\Rightarrow$ legalább $e(G)- v(G)+1$ különbző kör.
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Vágások száma}
Egy véges összefüggő $G =(V, E)$ gráfban létezik legalább $v(G)-1$ vágás.
\end{block}
\begin{block}{Bizonyítás}
$T$ Feszítőfa összefüggő.\\
$\Rightarrow$$T_G$ komplementer nem vágás.\\
Ha $T_G$ komplementerhez hozzáveszünk egy élt $T$-ből, akkor elvágó élhalmazt kapunk, amely tartalmaz egy vágást.\\
Ez a vágás tartalmazza $e$ élt, de másikat nem $T$ből.\\
Mivel $T$-nek $v(G)-1$ éle van $\Rightarrow$ legalább ennyi különböző vágást kapunk.
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Euler gráfok}
Ha $G$ összefüggő véges gráf, akkor a következő állítások ekvivalensek:\\
\begin{enumerate}
\item$G$ Euler-gráf.
\item$d(v)$ páros minden $v \in V(G)$-re.
\item$G$ éldiszjunkt körök egyesítése.
\end{enumerate}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Ore tétel}
Legyen $G$ egy $n \geq3$ pontú egyszerű véges gráf. Ha $$d(v)+ d(w)\geq n$$ minden $v$, $w$ nem-szomszédos pontra, akkor $G$ Hamilton-gráf.
\end{block}
\begin{block}{Tétel: Dirac tétel}
Legyen $G$ egy $n \geq3$ pontú egyszerű véges gráf. Ha $$d(v)\geq\frac{n}{2}$$ minden $v$ csúcsra, akkor $G$ Hamilton-gráf.
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Kruskal algoritmus}
Legyen $G =(V, E, fi , w)$ egy véges összefüggő gráf. A következő algoritmus megtalál egy minimális súlyú feszítőfát $G$-ben.
\end{block}
\begin{tikzpicture}[node distance = 2cm, auto]
% Place nodes
\node [block] (step1) {\tiny{$V(F)=V(G)$ és $E(F)=\emptyset$.}};
\node [block, below of=step1] (step2) {\tiny{Bővítsük $F$-et egy $e$ éllel, amely minimális súlyú azon élek közül, amelyek F-hez adva még nem eredményeznek kört.}};
\node [decision, below of=step2] (step3) {\tiny{Van még ilyen él?}};
Alkalmazzuk a síkgráf élszáma tételt ($e(G)\leq3v(G)-6$), ekkor\\
$10\leq9$$\rightarrow$ Ellentmondás!
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Kuratovszki tétel}
Egy egyszerű véges gráf \textbf{akkor, és csak akkor} rajzolható síkba, ha nem tartalmaz a Kuratovszki gráfok valamelyikével topologikusan izomorf részgráfot.
\end{block}
\end{frame}
% -------------------- FORÁLIS NYELVEK, ÉS AUTOMATÁK --------------------
\begin{frame}[plain]
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
\node[anchor=center] at (current page.center) {
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
{\Huge Formális nyelvek, és Automaták}
\end{beamercolorbox}};
\end{tikzpicture}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Kleene tétel}
Egy nyelv akkor, és csak akkor felismerhető, ha reguláris.
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Felismerhető nyelvek komplementere}
$L$ Felismerhető $\implies$$\overline{L}$
\end{block}
\begin{block}{Bizonyítás}
Legyen $M =(Q, \Sigma , \delta , q_0, F)$ véges automata és $L = L(M)$ (M automata felismeri az L nyelvet).\\
Tekintsük a következő konstrukciót:\\
Legyen $\overline{M}=(Q, \Sigma , \delta, q_0, F)$, ahol $\overline{F}= Q - F$.\\
Ekkor $L(\overline{M})=\overline{L}$. (Azaz az $\overline{M}$ automata biztosan felismeri az $\overline{L}$ nyelvet.\\
(Triviális, mert amit $L$ nem ismer fel, azt ez biztosan, amit $\overline{L}$ felismer, azt pedig ez nem ismeri fel biztosan.
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Felismerhető nyelvek komplementere}
Minden $L \subseteq{\Sigma}*$ reguláris nyelvhez létezik olyan $p$ természetes szám, amelyre L minden legalább $p$ hosszúságó $u$ szava felírható $$u = xyz$$\\
alakban úgy, hogy\\
\begin{enumerate}
\item$|y| > 0$
\item$|xy| \leq p$
\item$xy'z \in L$ minden $i \geq0$ egészre.
\end{enumerate}
\end{block}
\begin{block}{Bizonyítás}
Az L reguláris nyelvhez konstruáljuk meg az $M =(Q, {\Sigma}, {\delta}, q_0, F)$ véges automatát úgy, hogy legyen $p = |Q|$.\\
Ha $u \in L$ és $|u| \geq p \implies$ a $q_0, q_1, ...,q_n (q_i \in Q, i =0, ..., n)$\\
számítási sorozatra az $u$ szón teljesüljön, hogy\\
\begin{enumerate}
\item$n = |u| \geq p$
\item$q_n \in F$
\item${\exists}i, j : 0\leq i < j \leq p$ és $q_i = q_j$
\end{enumerate}
\bigskip
Legyen továbbá:
\begin{itemize}
\item$x$ az $u$ szó $i$ hosszú kezdőszelete
\item$y$ az $x$-et követő $j - i$ hosszú rész-szó
\item$z$ az $u n - j$ hosszú zárószelete
\end{itemize}
\bigskip
\textbf{Ekkor az $u = xyz$ felbontásra teljesülnek a lemma állításai.}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Példa nemreguláris nyelvre}
Az $L =\{0^n1^n : n \geq0\}\subseteq\{0, 1\}^*$ nyelv nem reguláris.
\end{block}
\begin{block}{Bizonyítás}
Legyen $p$ tetszőleges, ekkor $u =0^p1^p$.\\
Tfh $x, y, z$ olyan szavak, amelyekre:\\
$u = xyz, |xy| \leq p, |y| > 0$.\\
Ekkor $xy$ csupa 0-ból áll és $y$ tartalmaz legalább egy 0-t. $\implies$\\
$\implies$$i \neq1$ esetén $xy'z \notin L$, mert több 0 lessz benne, mint 1-es! $\implies$\\
$\implies$ Sosem találunk megfelelő $p$-t $\implies$\textbf{A nyelv nem reguláris.}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Derivációs fák}
Egy $X \in(V \cup{\Sigma}_{\epsilon})$-ből induló derivációs fa, amelynek határa az $u \in{\Sigma}^*$ szó, ami akkor és csak akkor létezik, ha $X {\implies}^* u \in{\Sigma}^*$.
Minden $L \subseteq{\Sigma}*$ környezetfüggetlen nyelvhez létezik olyan $p > 0$ természetes szám, amelyre L minden legalább $p$ hosszúságó $w$ szava felírható $$w = uvxyz$$\\
alakban úgy, hogy\\
\begin{enumerate}
\item$|vy| > 0$
\item$|vxy| \leq p$
\item$uv'xy'z \in L$ minden $i \geq0$ egészre.
\end{enumerate}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Példa nem környezetfüggetlen nyelvre 1}
Az $L =\{a^nb^nc^n : n \geq0\}\subseteq{a, b, c}^*$ nyelv nem környezetfüggetlen.
Belátjuk, hogy ${\forall}p > 0$ egészhez ${\exists}w \in L, |w| \geq p$ úgy, hogy\\
a $w$ tetszőleges olyan $w = uvxyz$ felbontására, ahol $|vy| > 0, |vxy| < p$,\\
létezik olyan i, amelyre $uv^ixy^iz \notin L$.\\
Tetszőleges $p$-hez legyen $w = a^pb^pc^p$. Ekkor bárhogyan is írjuk fel a $w$-t úgy, hogy $w = uvxyz$ felbontásra $|vy| > 0, |vxy| < p$, mindíg lesz olyan betű, amely nincs benne $vy$-ban, viszont ekkor $uxz \notin L$.
