mirror of
https://github.com/Relintai/Documents.git
synced 2024-11-21 00:57:17 +01:00
Munka a szamtudon.
This commit is contained in:
parent
ea1e59a16d
commit
4663901de9
@ -1,4 +1,5 @@
|
||||
% Compile twice!
|
||||
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
||||
|
||||
\documentclass{beamer}
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
@ -17,7 +18,7 @@
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Diszkrét Matematika}\\
|
||||
{\Huge A Számítástudomány Alapjai I}\\
|
||||
{\Large Vizsgatételek}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
@ -27,7 +28,7 @@
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Halmazok, Relációk}
|
||||
{\Huge Logika}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{frame}
|
||||
@ -35,32 +36,45 @@
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Minden dolog halmaza}
|
||||
Nincs olyan halmaz, amelynek minden dolog eleme.
|
||||
\end{block}
|
||||
\begin{block}{Tétel: Minden formula egyértelműen olvasható}
|
||||
F formulára a következő állítások közül pontosan egy teljesül:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item F egy változó.
|
||||
\item Pontosan egy G formulára $F = \neg G$
|
||||
\item Pontosan egy G és pontosan egy H formuláta $F = (G \land H)$
|
||||
\item Ponsotan egy G és pontosan egy H formulára $F = (G \lor H)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Biz}
|
||||
rrrrrrrrrrrrrrrrrr
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Unió}
|
||||
Ha A és B halmazok, akkor A és B unióján a következő halmazt értjük:\\
|
||||
$$A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}$$
|
||||
\begin{block}{Tétel: Az ítéletkalkulus kompaktsági tétele}
|
||||
Egy formulahalmaz akkor és csak akkor elégíthető ki, ha minden véges részhalmaza kielégíthető.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Az unió tulajdonságai}
|
||||
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
\begin{block}{Tétel: Adekvát halmazok}
|
||||
$\{\neg, \lor, \land\}, \{\neg, \lor\}, \{\neg, \land\}$ adekvát (azaz bármilyen formula leírható ezekkel), $\{\lor, \land\}$ nem adekvát.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{tétel: Equivalens állítások formulákra}
|
||||
Legyenek $F, F_1, ... , F_n$ tetszőleges formulák, ekkor a következő állítások equivalensek:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A \cup \emptyset = A$
|
||||
\item $A \cup B = B \cup A$ (Kommutativitás)
|
||||
\item $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup )$ (Asszociativitás)
|
||||
\item $A \cup A = A$ (Idempotencia)
|
||||
\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cup B = B$
|
||||
\item $\{F_1, ... , F_n\} \models F$
|
||||
\item $F_1 \land ... \land F_n \implies F$ tautológia
|
||||
\item $F_1 \land ... \land F_n \land \neg F$ kielégíthetetlen.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
@ -69,441 +83,50 @@ Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Metszet}
|
||||
Ha A és B halmazok, akkor A és B metszetén a következő halmazt értjük:\\
|
||||
$$A \cap B = \{x \in A \wedge x \in B\}$$
|
||||
\begin{block}{Lemma: Helyettesítési Lemma}
|
||||
Legyenek $F, G, H$ formulák úgy, hogy $F \equiv G$ és $F$ a $G$ részformulája.\\
|
||||
Ha $H[F/G]$ azt a formulát jelöli, amelyben $F$ valamely előfordulását helyettesítettük $G$-vel, akkor
|
||||
$$H \equiv H[F/G]$$
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A metszet tulajdonságai}
|
||||
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Konjunktív és diszjunktív normálforma létezése}
|
||||
Minden $F$ Formulához létezik vele logikailag ekvivalens konjunktív és diszjunktív normálforma.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
Konjunktív:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A \cap \emptyset = \emptyset$
|
||||
\item $A \cap B = B \cap A$ (Kommutativitás)
|
||||
\item $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ (Asszociativitás)
|
||||
\item $A \cap A = A$ (Idempotencia)
|
||||
\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cap B = A$
|
||||
\item (Negáció bevitele.) Amíg lehetséges, helyettesítsük $F$-ben a
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\neg \neg G$ alakú részformulákat $G$-vel,
|
||||
\item $\neg (G \land H)$ alakú részformulákat $\neg G \lor \neg H$-val,
|
||||
\item $\neg (G \lor H)$ alakú részformulákat $\neg G \land \neg H$-val.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Amíg lehetséges, helyettesítsük $F$-ben a
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $F \lor (G \land H)$ alakú részformulákat $(F \lor G) \land (F \lor H)$-val,
|
||||
\item $(F \land G) \lor H$ alakú részformulákat $(F \lor H) \land (G \lor H)$-val.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Diszjunktív:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ugyanaz mint a konjunktív normálforma esetén.
|
||||
\item Amíg lehetséges, helyettesítsük $F$-ben a
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $F \land (G \lor H)$ alakú részformulákat $(F \land G) \lor (F \land H)$-val,
|
||||
\item $(F \lor G) \land H$ alakú részformulákat $(F \land H) \lor (G \land H)$-val.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Unió és metszet disztributivitása}
|
||||
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (B \cap C)$ (A metszet disztributivitása az unióra nézve)
|
||||
|
||||
\item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (B \cup C)$ (Az unió disztributivitása a metszetre nézve)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Komplementer}
|
||||
Ha X halmaz, A $\wedge$ X, akkor A halmaz X-re vonatkoztatott komplementere:\\
|
||||
$$A' = X \setminus A$$
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A komplementer tulajdonságai}
|
||||
Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $(A')' = A$
|
||||
\item $\emptyset' = X$
|
||||
\item $A \cap A' = \emptyset$
|
||||
\item $A \cup A' = X$
|
||||
\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $B' \subseteq A'$
|
||||
\item $(A \cap B)' = A' \cup B'$
|
||||
\item $(A \cup B)' = A' \cap B'$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Halmaz osztályfelbontása}
|
||||
A tetszőleges X halmazt \textbf{osztályozzuk (osztályokra bontjuk)}, ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak uniójaként állítjuk elő.
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Az X $\in$ X elem \textbf{ekvivalencia osztálya}:}
|
||||
$$\overline{x} = \{y \in X : y \sim x\}$$
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ekvivalenciareláció és osztályfelbontás kapcsolata}
|
||||
Valamely X halmazon értelmezett $\sim$ ekvivalenciareláció X-nek egy osztályfelbontását adja. Megfordítva, az X halmaz minden osztályfelbontása egy $\sim$ ekvivalenciarelációt hoz létre.
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Biz}
|
||||
asasdad
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Algebrai struktúrák, számhalmazok}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban
|
||||
Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik.}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Észrevételek gyűrűkben}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Nullosztó és regularitás}
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Természetes számok}
|
||||
Halmaz, egy nullér, és egy injektív unér művelettel (rákövetkezés)
|
||||
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: N rendezése}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Q nem felső határ tulajdonságú}
|
||||
(12. dia lap alja)
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális}
|
||||
Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2.
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Az algebra alaptétele}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Számelmélet}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Az oszthatóság tulajdonságai EIT-ban}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Maradékos osztás Z-ben}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem Z-ben}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A számelmélet alaptétele}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Eukleidész tétele}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Kongruencia tulajdonságai}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Omnibusz tétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Euler-Fermat tétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: (Kis) Fermat tétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A diofantikus egyenlet megoldása}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Kínai maradéktétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Számelméleti függvények}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: fi multiplikativitása}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: fi(n) kiszámolása}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Kombinatorika}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Véges halmaz valódi részhalmaza}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Skatulya-elv}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Permutációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Variációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ismétléses variációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Kombinációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ismétléses kombinációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ismétléses permutációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Binomiális tétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Logikai szita formula}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user