% Compile twice! % With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! \documentclass{beamer} \geometry{paperwidth=160mm,paperheight=160mm} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{shapes,arrows} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage[utf8]{inputenc} \usetheme{boxes} % tikz settings for the flowchart(s) \tikzstyle{decision} = [diamond, minimum width=3cm, minimum height=1cm, text centered, draw=black, fill=green!15] \tikzstyle{block} = [rectangle, draw, fill=blue!15, text width=20em, text centered, minimum height=1em] \tikzstyle{line} = [draw, -latex'] \tikzstyle{cloud} = [draw, ellipse,fill=red!20, node distance=3cm, minimum height=2em] \tikzstyle{arrow} = [thick,->,>=stealth] \begin{document} \begin{frame}[plain] \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] \node[anchor=center] at (current page.center) { \begin{beamercolorbox}[center]{title} {\Huge A Számítástudomány Alapjai I}\\ {\Large Vizsgatételek} \end{beamercolorbox}}; \end{tikzpicture} \end{frame} % -------------------- LOGIKA -------------------- \begin{frame}[plain] \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] \node[anchor=center] at (current page.center) { \begin{beamercolorbox}[center]{title} {\Huge Logika} \end{beamercolorbox}}; \end{tikzpicture} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Minden formula egyértelműen olvasható} F formulára a következő állítások közül pontosan egy teljesül: \begin{enumerate} \item F egy változó. \item Pontosan egy G formulára $F = \neg G$ \item Pontosan egy G és pontosan egy H formuláta $F = (G \land H)$ \item Pontosan egy G és pontosan egy H formulára $F = (G \lor H)$ \end{enumerate} \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Az ítéletkalkulus kompaktsági tétele} Egy formulahalmaz akkor és csak akkor elégíthető ki, ha minden véges részhalmaza kielégíthető. \end{block} \begin{block}{Tétel: Adekvát halmazok} $\{\neg, \lor, \land\}, \{\neg, \lor\}, \{\neg, \land\}$ adekvát (azaz bármilyen formula leírható ezekkel), $\{\lor, \land\}$ nem adekvát. \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{tétel: Equivalens állítások formulákra} Legyenek $F, F_1, ... , F_n$ tetszőleges formulák, ekkor a következő állítások equivalensek: \begin{enumerate} \item $\{F_1, ... , F_n\} \models F$ \item $F_1 \land ... \land F_n \implies F$ tautológia \item $F_1 \land ... \land F_n \land \neg F$ kielégíthetetlen. \end{enumerate} \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Lemma: Helyettesítési Lemma} Legyenek $F, G, H$ formulák úgy, hogy $F \equiv G$ és $F$ a $H$ részformulája.\\ Ha $H[F/G]$ azt a formulát jelöli, amelyben $F$ valamely előfordulását helyettesítettük $G$-vel, akkor $$H \equiv H[F/G]$$ \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Konjunktív és diszjunktív normálforma létezése} Minden $F$ Formulához létezik vele logikailag ekvivalens konjunktív és diszjunktív normálforma. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} Konjunktív: \begin{enumerate} \item (Negáció bevitele.) Amíg lehetséges, helyettesítsük $F$-ben a \begin{itemize} \item $\neg \neg G$ alakú részformulákat $G$-vel, \item $\neg (G \land H)$ alakú részformulákat $\neg G \lor \neg H$-val, \item $\neg (G \lor H)$ alakú részformulákat $\neg G \land \neg H$-val. \end{itemize} \item Amíg lehetséges, helyettesítsük $F$-ben a \begin{itemize} \item $F \lor (G \land H)$ alakú részformulákat $(F \lor G) \land (F \lor H)$-val, \item $(F \land G) \lor H$ alakú részformulákat $(F \lor H) \land (G \lor H)$-val. \end{itemize} \end{enumerate} Diszjunktív: \begin{enumerate} \item Ugyanaz mint a konjunktív normálforma esetén. \item Amíg lehetséges, helyettesítsük $F$-ben a \begin{itemize} \item $F \land (G \lor H)$ alakú részformulákat $(F \land G) \lor (F \land H)$-val, \item $(F \lor G) \land H$ alakú részformulákat $(F \land H) \lor (G \land H)$-val. \end{itemize} \end{enumerate} \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Dedukció tétel} Tetszőleges $\Sigma$ formulahalmaz esetén $\Sigma \vdash F \rightarrow G$ akkor és csak akkor teljesül, ha $\Sigma \cup \{F\} \vdash G$. \end{block} \begin{block}{Tétel: Dichotómia tétel} Tetszőleges $\Sigma$ formulahalmaz esetén, ha $\Sigma \cup \{F\} \vdash$ (levezethető) $G$ és $\Sigma \cup \{\neg F\} \vdash G$, akkor $\Sigma \vdash G$.\\ ("Az $F$ Formula nem szól bele"). \end{block} \begin{block}{Tétel: Helyességi tétel} Tetszőleges $\Sigma$ és $F$ esetén, ha $\Sigma \vdash F$, akkor $\Sigma \models F$.\\ (Helyes, ha csak az elélethez tartozó formulákat lehet bizonyítani.) \end{block} \begin{block}{Tétel: Teljességi tétel} Minden $\Sigma$-ra és $F$-re, ha $\Sigma \models F$, akkor $\Sigma \vdash F$.\\ (Teljes, ha minden, az elmélethez tartozó formulát be lehet bizonyítani.) \end{block} \begin{block}{Tétel: Konzisztencia tétel} Tetszőleges formulahalmaz, akkor és csak akkor konzisztens, ha kielégíthető.\\ (Konzisztens, ha nem vezethető le belőle a $\downarrow$.) \end{block} \end{frame} % -------------------- GRÁFELMÉLET -------------------- \begin{frame}[plain] \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] \node[anchor=center] at (current page.center) { \begin{beamercolorbox}[center]{title} {\Huge Gráfelmélet} \end{beamercolorbox}}; \end{tikzpicture} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Fokszám-Élszám} Legyen $G = (V, E)$ (Gráf). Ekkor $G$-ben a páratlan fokú csúcsok száma páros. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} $$\sum_{a \in V} d(a) = \sum_{d(a) \equiv 0 (mod 2)} d(a) + \sum_{d(a) \equiv 1 (mod 2)} \equiv 0 (mod 2)$$ amiből kapjuk, hogy $$\sum_{d(a) \equiv 1 (mod 2)} d(a) \equiv 0 (mod 2)$$. \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Equivalens állítások fákra} Egy $G$ egyszerű gráfra a következő állítások equivalensek: \begin{enumerate} \item $G$ Fa \item $G$ Összefüggő, de bármely él elhagyásával kapott részgráf már nem összefüggő. \item Ha $v, v'$ a $G$ különböző csúcsai, akkor pontosan egy út vezet $v$-ből $v'$be. \item $G$-ben nincs kör, de bármely új él hozzáadásával kapott gráf már tartalmaz kört. \end{enumerate} \end{block} \begin{block}{Tétel: Elsőfokú pontok} Ha egy véges gráfban nincs kör, de van él, akkor van benne legalább két elsőfokú pont. \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Ekvivalens állítások n-pontú fákra} Egy $G$ egyszerű gráfra a következő álítások ekvivalensek: \begin{enumerate} \item $G$ fa. \item $G$-ben nincs kör és $n - 1$ éle van. \item $G$ összefüggő és $n - 1$ éle van. \end{enumerate} \end{block} \begin{block}{Tétel: Feszítőfa létezése} Minden véges összefüggő $G$ gráfnak létezik feszítőfája. \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Körök száma} Egy véges összefüggő $G = (E, V)$ gráfban létezik \underline{legalább} $e(G) - v(G) + 1$ különböző kör. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} A feszítőfa létezése téltel miatt ($\Rightarrow$) $\exists T$ feszítőfa, aminek $v(G) - 1$ éle van.\\ Legyen $K_f$ az a kör, ami $T \cup \{f\}$-ben van, ahol $f \in E(G) \setminus E(T)$\\ $T_G$ komplementerben legalább $e(G) - e(T) = e(G) - (v(G) - 1) = e(G) - v(G) - 1$ ilyen $f$ él van.\\ $\Rightarrow$ legalább $e(G) - v(G) + 1$ különbző kör. \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Vágások száma} Egy véges összefüggő $G = (V, E)$ gráfban létezik legalább $v(G) - 1$ vágás. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} $T$ Feszítőfa összefüggő.\\ $\Rightarrow$ $T_G$ komplementer nem vágás.\\ Ha $T_G$ komplementerhez hozzáveszünk egy élt $T$-ből, akkor elvágó élhalmazt kapunk, amely tartalmaz egy vágást.\\ Ez a vágás tartalmazza $e$ élt, de másikat nem $T$ből.\\ Mivel $T$-nek $v(G) - 1$ éle van $\Rightarrow$ legalább ennyi különböző vágást kapunk. \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Euler gráfok} Ha $G$ összefüggő véges gráf, akkor a következő állítások ekvivalensek:\\ \begin{enumerate} \item $G$ Euler-gráf. \item $d(v)$ páros minden $v \in V(G)$-re. \item $G$ éldiszjunkt körök egyesítése. \end{enumerate} \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Ore tétel} Legyen $G$ egy $n \geq 3$ pontú egyszerű véges gráf. Ha $$d(v) + d(w) \geq n$$ minden $v$, $w$ nem-szomszédos pontra, akkor $G$ Hamilton-gráf. \end{block} \begin{block}{Tétel: Dirac tétel} Legyen $G$ egy $n \geq 3$ pontú egyszerű véges gráf. Ha $$d(v) \geq \frac{n}{2}$$ minden $v$ csúcsra, akkor $G$ Hamilton-gráf. \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Kruskal algoritmus} Legyen $G = (V, E, fi , w)$ egy véges összefüggő gráf. A következő algoritmus megtalál egy minimális súlyú feszítőfát $G$-ben. \end{block} \begin{tikzpicture}[node distance = 2cm, auto] % Place nodes \node [block] (step1) {\tiny{$V(F)=V(G)$ és $E(F) = \emptyset$.}}; \node [block, below of=step1] (step2) {\tiny{Bővítsük $F$-et egy $e$ éllel, amely minimális súlyú azon élek közül, amelyek F-hez adva még nem eredményeznek kört.}}; \node [decision, below of=step2] (step3) {\tiny{Van még ilyen él?}}; \node [block, below of=step3] (step4) {\tiny{STOP}}; \draw [arrow] (step1) -- (step2); \draw [arrow] (step2) -- (step3); \draw [arrow] (step3) -- node {Nem} (step4); \draw[arrow] (step3) -- node {Igen} + (5, 0.1) |- (step2); \end{tikzpicture} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Erős összefüggőség} Egy összefüggő gráf akkor, és csak akkor irányítható úgy, hogy erősen összefüggő legyen, ha minden \textbf{éléhez} tartozik rajta áthaladó kör. \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Euler formula} Egy összefüggő síkbeli gráf, amelynek $t$ tartománya van, (a külső tartományt is beleértve), eleget tesz az Euler-formulának: $$v(G) - e(G) + t = 2$$ \end{block} \begin{block}{Bizonyítás (Sematikus)} Tekintsünk egy $k$ kört $G$-ben és egy $e \in E(K)$ élet.\\ Mivel $e$ két tartomány határán van $\implies$ $e$ törlésével két szomszéd régió eggyé válik. (kép) $\implies$ az élek, és tartományok száma is eggyel csökken.\\ A formula: $v(G) - e(G) + t = 2$ -> $e(G)$ Az $e(G)$ nél ha kivonunk 1-et: $-(-1) = +1$, A $t$-nél pedig -1 $\implies$ a formula értéke ugyan az marad.\\ Az eltörléseket ismételve előbb-utóbb megkapjuk G egy feszítőfáját. (Tétel, feszítőfa létezése) Fánál $t = 1$ és az élek száma $v(G) - 1$. $\implies$ $$\implies v(G) - e(G) + t = v(G) - (v(G) - 1) + 1 = 2$$ \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Síkgráf élszáma} Ha $G$ egyszerű, síkba rajzolható gráf, és $v(G) \geq 3$, akkor $$e(G) \leq 3v(G) - 6$$. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} \textbf{1. Eset}\\ TFH $G$ összefüggő.\\ Mivel $v(G) = 3$-ra igaz, ezért tfh (legyen) v(G) > 3.\\ Mivel G egyszeű $\implies$ minden tartományát legalább 3 él határolja. $\implies$\\ $\implies$ legalább 3t élet számoltunk.\\ Mivel az elvágó éleket egyszer számoltuk, a többit kétszer $\implies$ $3t \leq 2e(G)$.\\ Az Euler formulából következik, hogy $$3(e(G) - v(G) + 2) \leq 2e(G) \implies e(G) \leq 3v(G) - 6$$\\ \smallskip \textbf{2. Eset}\\ TFH $G$ nem összefüggő.\\ Ekkor visszavezetjük az első esetre, élek hozzáadásával. \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Minimális fokszáma síkgráfban.} Ha $G$ egyszerű, síkba rajzolható gráf, akkor $$\delta = \min_{{q \in V(G)}} d(a) \leq 5$$ \end{block} \begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)} TFH $\delta \geq 6$. Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy $v(G) \geq 3$.\\ $\sum_{{a \in V(G)}} d(a) = 2e(G)$ (fokok száma = 2 x az élek száma)\\ Mivel $\delta \geq 6 \implies 6v(G) \leq 2e(G)$\\ A síkgráf élszáma tételből következik, hogy:\\ $2e(G) \leq 6v(G) - 12 / *2$\\ $6v(G) \leq 6v(G) - 12$ $\rightarrow$ Ellentmondás! \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Kuratovszki gráfok} A Kuratovszki gráfok ($K_5$ és $K_{3,3}$) Nem rajzolhatók síkba.\\ TODO: kép \end{block} \begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)} TFH $K_5$ és $K_{3,3}$ síkbarajzolható.\\ \smallskip \textbf{$K_{3,3}$ esetén}:\\ $v(G) = 6$, és $e(G) = 9$\\ Euler forumlából következik, hogy $t = 5$.\\ Viszont $K_{3,3}$ nem tartalmaz háromszöget, és nincs szeparáló éle. $\implies$\\ $\implies$ $4t \leq 2e(G) \implies 20 \leq 18$. $\rightarrow$ Ellentmondás!\\ \smallskip \textbf{$K_5$ esetén}:\\ $v(G) = 5$ és $e(G) = 10$\\ Alkalmazzuk a síkgráf élszáma tételt ($e(G) \leq 3v(G) - 6$), ekkor\\ $10 \leq 9$ $\rightarrow$ Ellentmondás! \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Kuratovszki tétel} Egy egyszerű véges gráf \textbf{akkor, és csak akkor} rajzolható síkba, ha nem tartalmaz a Kuratovszki gráfok valamelyikével topologikusan izomorf részgráfot. \end{block} \end{frame} % -------------------- FORÁLIS NYELVEK, ÉS AUTOMATÁK -------------------- \begin{frame}[plain] \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] \node[anchor=center] at (current page.center) { \begin{beamercolorbox}[center]{title} {\Huge Formális nyelvek, és Automaták} \end{beamercolorbox}}; \end{tikzpicture} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Kleene tétel} Egy nyelv akkor, és csak akkor felismerhető, ha reguláris. \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Felismerhető nyelvek komplementere} $L$ Felismerhető $\implies$ $\overline{L}$ \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} Legyen $M = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F)$ véges automata és $L = L(M)$ (M automata felismeri az L nyelvet).\\ Tekintsük a következő konstrukciót:\\ Legyen $\overline{M} = (Q, \Sigma , \delta, q_0, F)$, ahol $\overline{F} = Q - F$.\\ Ekkor $L(\overline{M}) = \overline{L}$. (Azaz az $\overline{M}$ automata biztosan felismeri az $\overline{L}$ nyelvet.\\ (Triviális, mert amit $L$ nem ismer fel, azt ez biztosan, amit $\overline{L}$ felismer, azt pedig ez nem ismeri fel biztosan. \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Felismerhető nyelvek komplementere} $L_1, L_2$ felismerhető $\implies$ $L_1 \cap L_2$ \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} Legyen: $L_1 = L(M_1), L_2 = L(M_2)$.\\ Legyen: $M_1 = (Q_1, \Sigma , {\delta}_1, q_1, F_1), M_2 = (Q_2, \Sigma , {\delta}_2, q_2, F_2)$.\\ Legyen: $Q = Q_1 x Q_2$ Legyen: $\delta = Q x \Sigma \rightarrow Q$ (Párok lesznek).\\ Legyen: $\delta((s_1, s_2), a) = ({\delta}_1(s_1, a), {\delta}_2(s_2, a))$, $s_1 \in Q_1, s_2 \in Q_2, a \in \Sigma$\\ \smallskip Legyen: $q_0 = (q_1, q_2)$\\ Legyen: \textbf{$F_{\cap} = F_1 x F_2$}\\ \smallskip Legyen: $M_{\cap} = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F_{\cap})$\\ \smallskip Ekkor: $L(M_{\cap}) = L_1 \cap L_2$\\ \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Felismerhető nyelvek egyesítése} $L_1, L_2$ felismerhető $\implies$ $L_1 \cup L_2$ \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} Legyen: $L_1 = L(M_1), L_2 = L(M_2)$.\\ Legyen: $M_1 = (Q_1, \Sigma , {\delta}_1, q_1, F_1), M_2 = (Q_2, \Sigma , {\delta}_2, q_2, F_2)$.\\ Legyen: $Q = Q_1 x Q_2$ Legyen: $\delta = Q x \Sigma \rightarrow Q$ (Párok lesznek).\\ Legyen: $\delta((s_1, s_2), a) = ({\delta}_1(s_1, a), {\delta}_2(s_2, a))$, $s_1 \in Q_1, s_2 \in Q_2, a \in \Sigma$\\ \smallskip Legyen: $q_0 = (q_1, q_2)$\\ Legyen: \textbf{$F_{\cup} = F_1 x F_2$}\\ \smallskip Legyen: $M_{\cup} = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F_{\cup})$\\ \smallskip Ekkor: $L(M_{\cup}) = L_1 \cup L_2$\\ \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Nemdeterminisztikus automata} Minden $M = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F)$ véges nemdeterminisztikus automatával felismerhető nyelv, felismerhető véges automatával. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} Tekintsük az $M' = (Q', \Sigma , {\delta}', Q_0, F')$ véges automatát, ahol\\ $Q' = p(Q)$ ($P(Q)$ $\rightarrow$ hatványhalmaz)\\ ${\delta}' : p(Q) x \Sigma \rightarrow p(Q)$ (Az állapotok is halmazok!)\\ ${\delta}'(X, a) = \widehat{Y}$, $Y = U_{q \in X} \delta(q, a)$\\ $Q_0 = \widehat{\{q_0\}}$\\ $F' = \{X \supseteq Q : X \cap F \neq \emptyset \}$.\\ Ekkor nyilvánvaló, hogy $L(M') = L(M)$.\\ Megjegyzés: Elég lenne $p(Q)$ azon elemeivel számolni, amelyek elérhetők $Q_0$-ból. \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Felismerhető nyelvek szorzata} $L_1, L_2$ felismerhető $\implies$ $L_1 * L_2$ \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} Legyen: $L_1 = L(M_1), L_2 = L(M_2)$.\\ Legyen: $M_1 = (Q_1, \Sigma , {\delta}_1, q_1, F_1), M_2 = (Q_2, \Sigma , {\delta}_2, q_2, F_2)$.\\ Legyen: $Q_1 \cap Q_2 = \emptyset$, $L(M_1) = L_1, L(M_2) = L_2$.\\ \bigskip Legyen: ${\delta}(q, a) = $ $ \begin{cases} {\delta}_1(q, a) & q \in Q_1 - F_1\\ {\delta}_1(q, a) & q \in F_1, a \neq \epsilon \\ {\delta}_1(q, a) \cup \{q_2\} & q \in F_1, a = \epsilon \\ {\delta}_1(q, a) & q \in Q_2 \\ \end{cases} $\\ \bigskip Legyen: $M_1 * M_2 = (Q_1 \cup Q_2, \Sigma , \delta , q_1, F_2)$\\ \bigskip Ekkor: \textbf{$L(M_1 * M_2) = L_1 * L_2$}\\ \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Felismerhető nyelvek iterációja} $L$ felismerhető $\implies$ $L*$ is felismerhető. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} Legyen: $M = (Q, \Sigma , {\delta}, q_0, F)$.\\ Legyen: $M* = (Q \cup \{s_0\}, \Sigma , {\delta}_*, s_0, F \cup \{s_0\})$.\\ \bigskip Legyen: ${\delta}(q, a) = $ $ \begin{cases} {\delta}(q, a) & q \in Q $ és $q \notin F\\ {\delta}(q, a) & q \in F$ és $a \neq \epsilon \\ {\delta}(q, a) \cup \{q0\} & q \in F$ és $a = \epsilon \\ \{q_0\} & q = s_0$ és $a = \epsilon \\ \emptyset & q = s_0$ és $a \neq \epsilon \\ \end{cases} $\\ \bigskip \textbf{Ekkor: $L(M*) = L*$}\\ \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Pumpáló lemma reguláris nyelvre} Minden $L \subseteq {\Sigma}*$ reguláris nyelvhez létezik olyan $p$ természetes szám, amelyre L minden legalább $p$ hosszúságó $u$ szava felírható $$u = xyz$$\\ alakban úgy, hogy\\ \begin{enumerate} \item $|y| > 0$ \item $|xy| \leq p$ \item $xy'z \in L$ minden $i \geq 0$ egészre. \end{enumerate} \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} Az L reguláris nyelvhez konstruáljuk meg az $M = (Q, {\Sigma}, {\delta}, q_0, F)$ véges automatát úgy, hogy legyen $p = |Q|$.\\ Ha $u \in L$ és $|u| \geq p \implies$ a $q_0, q_1, ...,q_n (q_i \in Q, i = 0, ..., n)$\\ számítási sorozatra az $u$ szón teljesüljön, hogy\\ \begin{enumerate} \item $n = |u| \geq p$ \item $q_n \in F$ \item ${\exists}i, j : 0 \leq i < j \leq p$ és $q_i = q_j$ \end{enumerate} \bigskip Legyen továbbá: \begin{itemize} \item $x$ az $u$ szó $i$ hosszú kezdőszelete \item $y$ az $x$-et követő $j - i$ hosszú rész-szó \item $z$ az $u n - j$ hosszú zárószelete \end{itemize} \bigskip \textbf{Ekkor az $u = xyz$ felbontásra teljesülnek a lemma állításai.} \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Példa nemreguláris nyelvre} Az $L = \{0^n1^n : n \geq 0\} \subseteq \{0, 1\}^*$ nyelv nem reguláris. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} Legyen $p$ tetszőleges, ekkor $u = 0^p1^p$.\\ Tfh $x, y, z$ olyan szavak, amelyekre:\\ $u = xyz, |xy| \leq p, |y| > 0$.\\ Ekkor $xy$ csupa 0-ból áll és $y$ tartalmaz legalább egy 0-t. $\implies$\\ $\implies$ $i \neq 1$ esetén $xy'z \notin L$, mert több 0 lessz benne, mint 1-es! $\implies$\\ $\implies$ Sosem találunk megfelelő $p$-t $\implies$ \textbf{A nyelv nem reguláris.} \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Derivációs fák} Egy $X \in (V \cup {\Sigma}_{\epsilon})$-ből induló derivációs fa, amelynek határa az $u \in {\Sigma}^*$ szó, ami akkor és csak akkor létezik, ha $X {\implies}^* u \in {\Sigma}^*$. \end{block} \begin{block}{Tétel: Ekvivalens állítások derivációs fákra} Legyen $G = (V, {\Sigma}, R, S)$ környezetfüggetlen nyelvtan. Ekkor a következők ekvivalensek az $u \in {\Sigma}^*$ szóra:\\ \begin{enumerate} \item $u \in L(G)$ \item $S {\implies}^*_l u$ \item Létezik olyan $S$-ből induló derivációs fa, amelynek határa $u$. \end{enumerate} \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Reguláris nyelv környezetfüggetlen} Minden reguláris nyelv környezetfüggetlen. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás (Kontrapozíció)} Legyen $L \in {\Sigma}^*, L = L(M)$, és\\ $M = (Q, {\Sigma}, {\delta}, q_0, F)$ nemdeterminisztikus véges automata.\\ \smallskip Megkonstruáljuk a $G = (Q, {\Sigma}, R, q_09$ nyelvtant, ahol,\\ $R = \{q \rightarrow aq' : q' \in {\delta}(q, a)\} \cup \{q \rightarrow \sigma : q \in F \}$.\\ Ekkor az $u \in L(G) \iff \exists u$ szóra $q_0$-ból $q$-ba vezető számítási sorozat.\\ (triviális, a vizygán is lehet mondani). \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Környezetfüggetlen nyelvek műveleti zártsága} A környezetfüggetlen nyelvek zártak a reguláris műveletekre. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás (Kontrapozíció)} A módszer: adott $E$ reguláris kifejezéshez megadjuk a\\ $G_E = (V_E, {\Sigma}, R_E, S_E)$\\ nyelvtant, amely az $E$ által jelölt nyelvet generálja.\\ \bigskip Ha $E = \emptyset$:\\ Akkor $G_{\emptyset} = ({S}, {\Sigma}, \emptyset, S)$.\\ \bigskip Ha $E = a \in {\Sigma}$:\\ű Akkor $G_a = (\{S\}, {\Sigma}, \{S \rightarrow a\}, S)$.\\ \bigskip Ha $E = (E_1 + E_2)$:\\ Akkor $G_E = (V_{E_1} \cup V_{E_2} \cup \{S\}, \Sigma, R_{E_1} \cup R_{E_2} \cup \{S \rightarrow S_{E_1}, S \rightarrow S_{E_2}\}, S)$,\\ és feltesszük, hogy $V_{E_1} \cap V_{E_2} = {\emptyset}, S \notin V_{E_1} \cap V_{E_2}$.\\ \bigskip Ha $E = (E_1 * E_2)$:\\ Akkor $G_E = (V_{E_1} \cup V_{E_2} \cup \{S\}, \Sigma, R_{E_1} \cup R_{E_2} \cup \{S \rightarrow S_{E_1}S_{E_2}\}, S)$,\\ és feltesszük, hogy $V_{E_1} \cap V_{E_2} = {\emptyset}, S \notin V_{E_1} \cap V_{E_2}$.\\ \bigskip Ha $E = (E_1)^*$:\\ Akkor $G_E = (V_{E_1} \cup \{S\}, \Sigma, R_{E_1} \cup \{S \rightarrow SS_{E_1}, S \rightarrow \epsilon \}, S)$,\\ és feltesszük, hogy $S \notin V_{E_1}$.\\ \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Környezetfüggetlen nyelv és veremautomata} Minden környezetfüggetlen nyelv felismerhető veremautomatával és minden veremautomatával felismerhető nyelv környezetfüggetlen. \end{block} \begin{block}{Tétel: Pumpáló lemma környezetfüggetlen nyelvre} Minden $L \subseteq {\Sigma}*$ környezetfüggetlen nyelvhez létezik olyan $p > 0$ természetes szám, amelyre L minden legalább $p$ hosszúságó $w$ szava felírható $$w = uvxyz$$\\ alakban úgy, hogy\\ \begin{enumerate} \item $|vy| > 0$ \item $|vxy| \leq p$ \item $uv'xy'z \in L$ minden $i \geq 0$ egészre. \end{enumerate} \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Példa nem környezetfüggetlen nyelvre 1} Az $L = \{a^nb^nc^n : n \geq 0 \} \subseteq {a, b, c}^*$ nyelv nem környezetfüggetlen. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} Belátjuk, hogy ${\forall}p > 0$ egészhez ${\exists}w \in L, |w| \geq p$ úgy, hogy\\ a $w$ tetszőleges olyan $w = uvxyz$ felbontására, ahol $|vy| > 0, |vxy| < p$,\\ létezik olyan i, amelyre $uv^ixy^iz \notin L$.\\ Tetszőleges $p$-hez legyen $w = a^pb^pc^p$. Ekkor bárhogyan is írjuk fel a $w$-t úgy, hogy $w = uvxyz$ felbontásra $|vy| > 0, |vxy| < p$, mindíg lesz olyan betű, amely nincs benne $vy$-ban, viszont ekkor $uxz \notin L$. \end{block} \end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Példa nem környezetfüggetlen nyelvre 2} Az $L = \{w\#w : w \in \{0, 1\}^* \}$ nyelv nem környezetfüggetlen. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} Tetszőleges $p$-hez legyen $w = 0^p1^p\#0^p1^p$, és tekintsük $w$ egy tetszőleges olyan $w = uvxyz$ felbontását, ahol $|vy| > 0, |vxy| < p$.\\ \bigskip 1. eset: Ha $\# \notin x$ $\rightarrow$ $uv^2xy^2z \notin L$. \bigskip 2. eset: Ha $\# |in x$ $\rightarrow$ Ekkor $u$-ban csak az $1, y$-ban csak $0$ szerepelhet. $\rightarrow$ Mivel $vy \neq \sigma \implies uxz \notin L$. \end{block} \end{frame} \end{document}