Egy $G$ egyszerű gráfra a következő álítások ekvivalensek:
\begin{enumerate}
\item$G$ fa.
\item$G$-ben nincs kör és $n -1$ éle van.
\item$G$ összefüggő és $n -1$ éle van.
\end{enumerate}
\end{block}
\begin{block}{Tétel: Feszítőfa létezése}
Minden véges összefüggő $G$ gráfnak létezik feszítőfája.
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Körök száma}
Egy véges összefüggő $G =(E, V)$ gráfban létezik \underline{legalább}$e(G)- v(G)+1$ különböző kör.
\end{block}
\begin{block}{Bizonyítás}
A feszítőfa létezése téltel miatt ($\Rightarrow$) $\exists T$ feszítőfa, aminek $v(G)-1$ éle van.\\
Legyen $K_f$ az a kör, ami $T \cup\{f\}$-ben van, ahol $f \in E(G)\setminus E(T)$\\
$T_G$ komplementerben legalább $e(G)- e(T)= e(G)-(v(G)-1)= e(G)- v(G)-1$ ilyen $f$ él van.\\
$\Rightarrow$ legalább $e(G)- v(G)+1$ különbző kör.
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Vágások száma}
Egy véges összefüggő $G =(V, E)$ gráfban létezik legalább $v(G)-1$ vágás.
\end{block}
\begin{block}{Bizonyítás}
$T$ Feszítőfa összefüggő.\\
$\Rightarrow$$T_G$ komplementer nem vágás.\\
Ha $T_G$ komplementerhez hozzáveszünk egy élt $T$-ből, akkor elvágó élhalmazt kapunk, amely tartalmaz egy vágást.\\
Ez a vágás tartalmazza $e$ élt, de másikat nem $T$ből.\\
Mivel $T$-nek $v(G)-1$ éle van $\Rightarrow$ legalább ennyi különböző vágást kapunk.
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Euler gráfok}
Ha $G$ összefüggő véges gráf, akkor a következő állítások ekvivalensek:\\
\begin{enumerate}
\item$G$ Euler-gráf.
\item$d(v)$ páros minden $v \in V(G)$-re.
\item$G$ éldiszjunkt körök egyesítése.
\end{enumerate}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Ore tétel}
Legyen $G$ egy $n \geq3$ pontú egyszerű véges gráf. Ha $$d(v)+ d(w)\geq n$$ minden $v$, $w$ nem-szomszédos pontra, akkor $G$ Hamilton-gráf.
\end{block}
\begin{block}{Tétel: Dirac tétel}
Legyen $G$ egy $n \geq3$ pontú egyszerű véges gráf. Ha $$d(v)\geq\frac{n}{2}$$ minden $v$ csúcsra, akkor $G$ Hamilton-gráf.
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Kruskal algoritmus}
Legyen $G =(V, E, fi , w)$ egy véges összefüggő gráf. A következő algoritmus megtalál egy minimális súlyú feszítőfát $G$-ben.
\end{block}
\begin{tikzpicture}[node distance = 2cm, auto]
% Place nodes
\node [block] (step1) {\tiny{$V(F)=V(G)$ és $E(F)=\emptyset$.}};
\node [block, below of=step1] (step2) {\tiny{Bővítsük $F$-et egy $e$ éllel, amely minimális súlyú azon élek közül, amelyek F-hez adva még nem eredményeznek kört.}};
\node [decision, below of=step2] (step3) {\tiny{Van még ilyen él?}};
