mirror of
https://github.com/Relintai/Documents.git
synced 2024-11-11 03:32:09 +01:00
Initial commit.
This commit is contained in:
commit
ea1e59a16d
13
.gitignore
vendored
Normal file
13
.gitignore
vendored
Normal file
@ -0,0 +1,13 @@
|
||||
*.pdf
|
||||
*.aux
|
||||
*.log
|
||||
*.gz
|
||||
*.ini
|
||||
*.nav
|
||||
*.out
|
||||
*.toc
|
||||
*.synctex*
|
||||
*.bm
|
||||
*.snm
|
||||
|
||||
|
BIN
Architektúra/architektura_boole_algebra.odt
Normal file
BIN
Architektúra/architektura_boole_algebra.odt
Normal file
Binary file not shown.
163
Diszkrét Matematika/Kombinatorika/kombinatorika.tex
Normal file
163
Diszkrét Matematika/Kombinatorika/kombinatorika.tex
Normal file
@ -0,0 +1,163 @@
|
||||
|
||||
\documentclass[paper=a4,
|
||||
fontsize=2.2mm]{scrartcl} \addtokomafont{sectioning}{\rmfamily}
|
||||
|
||||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage[makeroom]{cancel}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage[margin=50pt]{geometry}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\noindent
|
||||
\setlength\parindent{0pt}
|
||||
\title{Kombinatorika}
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
{\huge Kombinatorika}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\section{Permutáció}
|
||||
|
||||
Elemek összes különböző sorbarendezéseinek a száma. Az elemek nem ismétlődhetnek.
|
||||
|
||||
Sorrend $\Rightarrow$ IGEN
|
||||
|
||||
Ismétléses $\Rightarrow$ IGEN
|
||||
|
||||
Minden elem $\Rightarrow$ IGEN
|
||||
|
||||
$$P_n = n!$$
|
||||
|
||||
A "képek" szó betűiből összeálítható összes szó:
|
||||
|
||||
képek $\Rightarrow$ 5 betű (különbözők!)
|
||||
|
||||
$P_5 = 5! = 120.$
|
||||
|
||||
\section{Permutáció Ismétléses}
|
||||
|
||||
Elemek összes különböző sorbarendezéseinek a száma. Az elemek ismétlődhetnek!
|
||||
|
||||
Sorrend $\Rightarrow$ IGEN
|
||||
|
||||
Ismétléses $\Rightarrow$ IGEN
|
||||
|
||||
Minden elem $\Rightarrow$ IGEN
|
||||
|
||||
|
||||
$$P_n^{i_1, i_2, ... , i_r} = \frac{n!}{(i_1)!(i_2)! ... (i_r)!}$$
|
||||
|
||||
A "terep" szó betűiből összeálítható összes szó:
|
||||
|
||||
|
||||
terep $\Rightarrow$ 5 betű (2 ugyan az!)
|
||||
|
||||
|
||||
$P_5^{2} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 * 4 * 3 * 2 * 1}{2 * 1} = 5 * 4 * 3 = 60$
|
||||
|
||||
|
||||
A "tollaslabda" szó betűiből összeálítható összes szó:
|
||||
|
||||
|
||||
tollaslabda $\Rightarrow$ 11 betű (több ismétlődés van (3 * l, 3 * a) !) $\Rightarrow$ $P_{11}^{3, 3} = \frac{5!}{3! * 3!} = 1108800$
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Variáció}
|
||||
|
||||
Több elemből választunk kevesebb helyre.
|
||||
|
||||
Sorrend $\Rightarrow$ IGEN
|
||||
|
||||
Ismétléses $\Rightarrow$ IGEN
|
||||
|
||||
Minden elem $\Rightarrow$ NEM
|
||||
|
||||
|
||||
$$V_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)$$
|
||||
|
||||
Rendszám, ha nem lehet ismétlődés:
|
||||
|
||||
Betűk: $V_{26}^3 = \frac{26!}{26 - 3)!} = \frac{26!}{23!} = 26 * 25 * 24 = 15600$
|
||||
|
||||
Számok: $V_{10}^3 = \frac{10!}{10 - 3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 * 9 * 8 = 720$
|
||||
|
||||
Az egész: $V_{26}^3 * V_{10}^3 = 11232000$
|
||||
|
||||
\section{Variáció Ismétléses}
|
||||
|
||||
Több elemből választunk kevesebb helyre.
|
||||
|
||||
Sorrend $\Rightarrow$ IGEN
|
||||
|
||||
Ismétléses $\Rightarrow$ IGEN
|
||||
|
||||
Minden elem $\Rightarrow$ NEM
|
||||
|
||||
|
||||
$$V_n^{k, i} = n^k$$
|
||||
|
||||
Rendszám
|
||||
|
||||
3 betű, 3 szám
|
||||
|
||||
3 Betű: $V_n^{k, i} = V_{26}^{3, i} = 26^3 = 17576$ ($3 hely : 26 * 26 * 26$)
|
||||
3 Szám: $V_n^{k, i} = V_{10}^{3, i} = 10^3 = 1000$ ($3 hely : 10 * 10 * 10$)
|
||||
|
||||
$V_{26}^{3, i} * V_{10}^{3, i} = 26^3 * 10^3 = 17576000$
|
||||
|
||||
\section{Kombináció}
|
||||
|
||||
Több elemből választunk kevesebb helyre.
|
||||
|
||||
Sorrend $\Rightarrow$ NEM
|
||||
|
||||
Ismétléses $\Rightarrow$ NEM
|
||||
|
||||
Minden elem $\Rightarrow$ NEM
|
||||
|
||||
|
||||
$$C_n^k = {{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$
|
||||
|
||||
Pl szövegesen:
|
||||
|
||||
A gyümölcssalátában van banán, alma, szőlő $\Rightarrow$ Kombináció
|
||||
|
||||
3 Embert választunk 10 ből $\Rightarrow$ Kombináció
|
||||
|
||||
Kiválasztunk egy zenekarba zongoristát, gitárost 10 emberből (a helyek miatt) $\Rightarrow$ Variáció
|
||||
|
||||
Egy étterembe rendelünk 3 desszertet 10 ből $\Rightarrow$ Kombináció
|
||||
|
||||
Felsorolni 3 külömböző kedvenc desszertet 10 ből $\Rightarrow$ Variáció
|
||||
|
||||
A zár nyitó kombinációja 1233 volt $\Rightarrow$ Variáció
|
||||
|
||||
Lottó $\Rightarrow$ Kombináció
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Kombináció Ismétléses}
|
||||
|
||||
Több elemből választunk kevesebb helyre.
|
||||
|
||||
Sorrend $\Rightarrow$ NEM
|
||||
|
||||
Ismétléses $\Rightarrow$ IGEN
|
||||
|
||||
Minden elem $\Rightarrow$ IGEN
|
||||
|
||||
|
||||
$$C_n^{k, i} = C_{n + k -1}^k = {{n + k - 1}\choose{k}} = \frac{(n + k - 1)!}{k!((n + k - 1) - k)!} $$
|
||||
|
||||
|
||||
Ki akarunk választani 17 emberből egy hat tagú bizottságot, hány féleképpen lehet?
|
||||
|
||||
$C_{17}^6 = C_{12 + 6 - 1}^6 = {{17 + 6 - 1}\choose{6}} = \frac{(17 + 6 - 1)!}{6!((17 + 6 - 1) - 6)!} = \frac{22!}{6!(22 - 6)!} = \frac{22!}{6!(22 - 6)!} = \frac{22!}{6! * 16!} = \frac{22 * 21 * 20 * 19 * 18 * 17}{6!} = 74613 $
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
509
Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex
Normal file
509
Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex
Normal file
@ -0,0 +1,509 @@
|
||||
% Compile twice!
|
||||
|
||||
\documentclass{beamer}
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc}
|
||||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
|
||||
\usetheme{boxes}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Diszkrét Matematika}\\
|
||||
{\Large Vizsgatételek}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Halmazok, Relációk}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Minden dolog halmaza}
|
||||
Nincs olyan halmaz, amelynek minden dolog eleme.
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Biz}
|
||||
asasdad
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Unió}
|
||||
Ha A és B halmazok, akkor A és B unióján a következő halmazt értjük:\\
|
||||
$$A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}$$
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Az unió tulajdonságai}
|
||||
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A \cup \emptyset = A$
|
||||
\item $A \cup B = B \cup A$ (Kommutativitás)
|
||||
\item $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup )$ (Asszociativitás)
|
||||
\item $A \cup A = A$ (Idempotencia)
|
||||
\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cup B = B$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Metszet}
|
||||
Ha A és B halmazok, akkor A és B metszetén a következő halmazt értjük:\\
|
||||
$$A \cap B = \{x \in A \wedge x \in B\}$$
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A metszet tulajdonságai}
|
||||
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A \cap \emptyset = \emptyset$
|
||||
\item $A \cap B = B \cap A$ (Kommutativitás)
|
||||
\item $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ (Asszociativitás)
|
||||
\item $A \cap A = A$ (Idempotencia)
|
||||
\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cap B = A$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Unió és metszet disztributivitása}
|
||||
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (B \cap C)$ (A metszet disztributivitása az unióra nézve)
|
||||
|
||||
\item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (B \cup C)$ (Az unió disztributivitása a metszetre nézve)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Komplementer}
|
||||
Ha X halmaz, A $\wedge$ X, akkor A halmaz X-re vonatkoztatott komplementere:\\
|
||||
$$A' = X \setminus A$$
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A komplementer tulajdonságai}
|
||||
Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $(A')' = A$
|
||||
\item $\emptyset' = X$
|
||||
\item $A \cap A' = \emptyset$
|
||||
\item $A \cup A' = X$
|
||||
\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $B' \subseteq A'$
|
||||
\item $(A \cap B)' = A' \cup B'$
|
||||
\item $(A \cup B)' = A' \cap B'$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Halmaz osztályfelbontása}
|
||||
A tetszőleges X halmazt \textbf{osztályozzuk (osztályokra bontjuk)}, ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak uniójaként állítjuk elő.
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Az X $\in$ X elem \textbf{ekvivalencia osztálya}:}
|
||||
$$\overline{x} = \{y \in X : y \sim x\}$$
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ekvivalenciareláció és osztályfelbontás kapcsolata}
|
||||
Valamely X halmazon értelmezett $\sim$ ekvivalenciareláció X-nek egy osztályfelbontását adja. Megfordítva, az X halmaz minden osztályfelbontása egy $\sim$ ekvivalenciarelációt hoz létre.
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Biz}
|
||||
asasdad
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Algebrai struktúrák, számhalmazok}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban
|
||||
Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik.}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Észrevételek gyűrűkben}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Nullosztó és regularitás}
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Természetes számok}
|
||||
Halmaz, egy nullér, és egy injektív unér művelettel (rákövetkezés)
|
||||
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: N rendezése}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Q nem felső határ tulajdonságú}
|
||||
(12. dia lap alja)
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális}
|
||||
Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2.
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Az algebra alaptétele}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Számelmélet}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Az oszthatóság tulajdonságai EIT-ban}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Maradékos osztás Z-ben}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem Z-ben}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A számelmélet alaptétele}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Eukleidész tétele}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Kongruencia tulajdonságai}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Omnibusz tétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Euler-Fermat tétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: (Kis) Fermat tétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A diofantikus egyenlet megoldása}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Kínai maradéktétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Számelméleti függvények}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: fi multiplikativitása}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: fi(n) kiszámolása}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Kombinatorika}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Véges halmaz valódi részhalmaza}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Skatulya-elv}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Permutációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Variációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ismétléses variációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Kombinációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ismétléses kombinációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ismétléses permutációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Binomiális tétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Logikai szita formula}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
509
Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex
Normal file
509
Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex
Normal file
@ -0,0 +1,509 @@
|
||||
% Compile twice!
|
||||
|
||||
\documentclass{beamer}
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc}
|
||||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
|
||||
\usetheme{boxes}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Diszkrét Matematika}\\
|
||||
{\Large Vizsgatételek}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Halmazok, Relációk}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Minden dolog halmaza}
|
||||
Nincs olyan halmaz, amelynek minden dolog eleme.
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Biz}
|
||||
rrrrrrrrrrrrrrrrrr
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Unió}
|
||||
Ha A és B halmazok, akkor A és B unióján a következő halmazt értjük:\\
|
||||
$$A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}$$
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Az unió tulajdonságai}
|
||||
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A \cup \emptyset = A$
|
||||
\item $A \cup B = B \cup A$ (Kommutativitás)
|
||||
\item $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup )$ (Asszociativitás)
|
||||
\item $A \cup A = A$ (Idempotencia)
|
||||
\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cup B = B$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Metszet}
|
||||
Ha A és B halmazok, akkor A és B metszetén a következő halmazt értjük:\\
|
||||
$$A \cap B = \{x \in A \wedge x \in B\}$$
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A metszet tulajdonságai}
|
||||
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A \cap \emptyset = \emptyset$
|
||||
\item $A \cap B = B \cap A$ (Kommutativitás)
|
||||
\item $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ (Asszociativitás)
|
||||
\item $A \cap A = A$ (Idempotencia)
|
||||
\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cap B = A$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Unió és metszet disztributivitása}
|
||||
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (B \cap C)$ (A metszet disztributivitása az unióra nézve)
|
||||
|
||||
\item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (B \cup C)$ (Az unió disztributivitása a metszetre nézve)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Komplementer}
|
||||
Ha X halmaz, A $\wedge$ X, akkor A halmaz X-re vonatkoztatott komplementere:\\
|
||||
$$A' = X \setminus A$$
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A komplementer tulajdonságai}
|
||||
Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $(A')' = A$
|
||||
\item $\emptyset' = X$
|
||||
\item $A \cap A' = \emptyset$
|
||||
\item $A \cup A' = X$
|
||||
\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $B' \subseteq A'$
|
||||
\item $(A \cap B)' = A' \cup B'$
|
||||
\item $(A \cup B)' = A' \cap B'$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Halmaz osztályfelbontása}
|
||||
A tetszőleges X halmazt \textbf{osztályozzuk (osztályokra bontjuk)}, ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak uniójaként állítjuk elő.
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Az X $\in$ X elem \textbf{ekvivalencia osztálya}:}
|
||||
$$\overline{x} = \{y \in X : y \sim x\}$$
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ekvivalenciareláció és osztályfelbontás kapcsolata}
|
||||
Valamely X halmazon értelmezett $\sim$ ekvivalenciareláció X-nek egy osztályfelbontását adja. Megfordítva, az X halmaz minden osztályfelbontása egy $\sim$ ekvivalenciarelációt hoz létre.
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Biz}
|
||||
asasdad
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Algebrai struktúrák, számhalmazok}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban
|
||||
Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik.}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Észrevételek gyűrűkben}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Nullosztó és regularitás}
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Természetes számok}
|
||||
Halmaz, egy nullér, és egy injektív unér művelettel (rákövetkezés)
|
||||
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: N rendezése}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Q nem felső határ tulajdonságú}
|
||||
(12. dia lap alja)
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális}
|
||||
Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2.
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Az algebra alaptétele}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Számelmélet}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Az oszthatóság tulajdonságai EIT-ban}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Maradékos osztás Z-ben}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem Z-ben}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A számelmélet alaptétele}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Eukleidész tétele}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Kongruencia tulajdonságai}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Omnibusz tétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Euler-Fermat tétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: (Kis) Fermat tétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A diofantikus egyenlet megoldása}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Kínai maradéktétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Számelméleti függvények}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: fi multiplikativitása}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: fi(n) kiszámolása}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Kombinatorika}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Véges halmaz valódi részhalmaza}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Skatulya-elv}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Permutációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Variációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ismétléses variációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Kombinációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ismétléses kombinációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ismétléses permutációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Binomiális tétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Logikai szita formula}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
Loading…
Reference in New Issue
Block a user