mirror of
https://github.com/Relintai/Documents.git
synced 2024-11-11 03:32:09 +01:00
Szamtud.
This commit is contained in:
parent
23edc3d1c4
commit
35d815127d
@ -2,6 +2,9 @@
|
||||
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
||||
|
||||
\documentclass{beamer}
|
||||
|
||||
\geometry{paperwidth=160mm,paperheight=120mm}
|
||||
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
\usetikzlibrary{shapes,arrows}
|
||||
|
||||
@ -14,8 +17,6 @@
|
||||
|
||||
% tikz settings for the flowchart(s)
|
||||
|
||||
% Define block styles
|
||||
|
||||
\tikzstyle{decision} = [diamond, minimum width=3cm, minimum height=1cm, text centered, draw=black, fill=green!15]
|
||||
\tikzstyle{block} = [rectangle, draw, fill=blue!15, text width=20em, text centered, minimum height=1em]
|
||||
|
||||
@ -332,6 +333,200 @@ Legyen $G = (V, E, fi , w)$ egy véges összefüggő gráf. A következő algori
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Erős összefüggőség}
|
||||
Egy összefüggő gráf akkor, és csak akkor irányítható úgy, hogy erősen összefüggő legyen, ha minden \textbf{éléhez} tartozik rajta áthaladó kör.
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Euler formula}
|
||||
Egy összefüggő síkbeli gráf, amelynek $t$ tartománya van, (a külső tartományt is beleértve), eleget tesz az Euler-formulának:
|
||||
$$v(G) - e(G) + t = 2$$
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás (Sematikus)}
|
||||
Tekintsünk egy $k$ kört $G$-ben és egy $e \in E(K)$ élet.\\
|
||||
Mivel $e$ két tartomány határán van $\implies$ $e$ törlésével két szomszéd régió eggyé válik.
|
||||
|
||||
(kép)
|
||||
|
||||
$\implies$ az élek, és tartományok száma is eggyel csökken.\\
|
||||
A formula: $v(G) - e(G) + t = 2$ -> $e(G)$ Az $e(G)$ nél ha kivonunk 1-et: $-(-1) = +1$, A $t$-nél pedig -1 $\implies$ a formula értéke ugyan az marad.\\
|
||||
|
||||
Az eltörléseket ismételve előbb-utóbb megkapjuk G egy feszítőfáját. (Tétel, feszítőfa létezése)
|
||||
|
||||
Fánál $t = 1$ és az élek száma $v(G) - 1$. $\implies$
|
||||
$$\implies v(G) - e(G) + t = v(G) - (v(G) - 1) + 1 = 2$$
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{block}{Tétel: Síkgráf élszáma}
|
||||
Ha $G$ egyszerű, síkba rajzolható gráf, és $v(G) \geq 3$, akkor $$e(G) \leq 3v(G) - 6$$.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\textbf{1. Eset}\\
|
||||
TFH $G$ összefüggő.\\
|
||||
Mivel $v(G) = 3$-ra igaz, ezért tfh (legyen) v(G) > 3.\\
|
||||
Mivel G egyszeű $\implies$ minden tartományát legalább 3 él határolja. $\implies$\\
|
||||
$\implies$ legalább 3t élet számoltunk.\\
|
||||
Mivel az elvágó éleket egyszer számoltuk, a többit kétszer $\implies$ $3t \leq 2e(G)$.\\
|
||||
Az Euler formulából következik, hogy $$3(e(G) - v(G) + 2) \leq 2e(G) \implies e(G) \leq 3v(G) - 6$$\\
|
||||
\smallskip
|
||||
\textbf{2. Eset}\\
|
||||
TFH $G$ nem összefüggő.\\
|
||||
Ekkor visszavezetjük az első esetre, élek hozzáadásával.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{block}{Tétel: Minimális fokszáma síkgráfban.}
|
||||
Ha $G$ egyszerű, síkba rajzolható gráf, akkor $$\delta = \min_{{q \in V(G)}} d(a) \leq 5$$
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)}
|
||||
TFH $\delta \geq 6$.
|
||||
Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy $v(G) \geq 3$.\\
|
||||
$\sum_{{a \in V(G)}} d(a) = 2e(G)$ (fokok száma = 2 x az élek száma)\\
|
||||
Mivel $\delta \geq 6 \implies 6v(G) \leq 2e(G)$\\
|
||||
A síkgráf élszáma tételből következik, hogy:\\
|
||||
$2e(G) \leq 6v(G) - 12 / *2$\\
|
||||
$6v(G) \leq 6v(G) - 12$ $\rightarrow$ Ellentmondás!
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{block}{Tétel: Kuratovszki gráfok}
|
||||
A Kuratovszki gráfok ($K_5$ és $K_{3,3}$) Nem rajzolhatók síkba.\\
|
||||
TODO: kép
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)}
|
||||
TFH $K_5$ és $K_{3,3}$ síkbarajzolható.\\
|
||||
\smallskip
|
||||
\textbf{$K_{3,3}$ esetén}:\\
|
||||
$v(G) = 6$, és $e(G) = 9$\\
|
||||
Euler forumlából következik, hogy $t = 5$.\\
|
||||
Viszont $K_{3,3}$ nem tartalmaz háromszöget, és nincs szeparáló éle. $\implies$\\
|
||||
$\implies$ $4t \leq 2e(G) \implies 20 \leq 18$. $\rightarrow$ Ellentmondás!\\
|
||||
\smallskip
|
||||
\textbf{$K_5$ esetén}:\\
|
||||
$v(G) = 5$ és $e(G) = 10$\\
|
||||
Alkalmazzuk a síkgráf élszáma tételt ($e(G) \leq 3v(G) - 6$), ekkor\\
|
||||
$10 \leq 9$ $\rightarrow$ Ellentmondás!
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{block}{Tétel: Kuratovszki tétel}
|
||||
Egy egyszerű véges gráf \textbf{akkor, és csak akkor} rajzolható síkba, ha nem tartalmaz a Kuratovszki gráfok valamelyikével topologikusan izomorf részgráfot.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
% -------------------- FORÁLIS NYELVEK, ÉS AUTOMATÁK --------------------
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Formális nyelvek, és Automaták}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{block}{Tétel: Kleene tétel}
|
||||
Egy nyelv akkor, és csak akkor felismerhető, ha reguláris.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{block}{Tétel: Felismerhető nyelvek komplementere}
|
||||
$L$ Felismerhető $\implies$ $\overline{L}$
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
Legyen $M = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F)$ véges automata és $L = L(M)$ (M automata felismeri az L nyelvet).\\
|
||||
Tekintsük a következő konstrukciót:\\
|
||||
Legyen $\overline{M} = (Q, \Sigma , \delta, q_0, F)$, ahol $\overline{F} = Q - F$.\\
|
||||
Ekkor $L(\overline{M}) = \overline{L}$. (Azaz az $\overline{M}$ automata biztosan felismeri az $\overline{L}$ nyelvet.\\
|
||||
(Triviális, mert amit $L$ nem ismer fel, azt ez biztosan, amit $\overline{L}$ felismer, azt pedig ez nem ismeri fel biztosan.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{block}{Tétel: Felismerhető nyelvek komplementere}
|
||||
$L_1, L_2$ felismerhető $\implies$ $L_1 \cap L_2$
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
Legyen: $L_1 = L(M_1), L_2 = L(M_2)$.\\
|
||||
Legyen: $M_1 = (Q_1, \Sigma , {\delta}_1, q_1, F_1), M_2 = (Q_2, \Sigma , {\delta}_2, q_2, F_2)$.\\
|
||||
Legyen: $Q = Q_1 x Q_2$
|
||||
Legyen: $\delta = Q x \Sigma \rightarrow Q$ (Párok lesznek).\\
|
||||
Legyen: $\delta((s_1, s_2), a) = ({\delta}_1(s_1, a), {\delta}_2(s_2, a))$, $s_1 \in Q_1, s_2 \in Q_2, a \in \Sigma$\\
|
||||
\smallskip
|
||||
Legyen: $q_0 = (q_1, q_2)$\\
|
||||
Legyen: \textbf{$F_{\cap} = F_1 x F_2$}\\
|
||||
\smallskip
|
||||
Legyen: $M_{\cap} = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F_{\cap})$\\
|
||||
\smallskip
|
||||
Ekkor: $L(M_{\cap}) = L_1 \cap L_2$\\
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{block}{Tétel: Felismerhető nyelvek egyesítése}
|
||||
$L_1, L_2$ felismerhető $\implies$ $L_1 \cup L_2$
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
Legyen: $L_1 = L(M_1), L_2 = L(M_2)$.\\
|
||||
Legyen: $M_1 = (Q_1, \Sigma , {\delta}_1, q_1, F_1), M_2 = (Q_2, \Sigma , {\delta}_2, q_2, F_2)$.\\
|
||||
Legyen: $Q = Q_1 x Q_2$
|
||||
Legyen: $\delta = Q x \Sigma \rightarrow Q$ (Párok lesznek).\\
|
||||
Legyen: $\delta((s_1, s_2), a) = ({\delta}_1(s_1, a), {\delta}_2(s_2, a))$, $s_1 \in Q_1, s_2 \in Q_2, a \in \Sigma$\\
|
||||
\smallskip
|
||||
Legyen: $q_0 = (q_1, q_2)$\\
|
||||
Legyen: \textbf{$F_{\cup} = F_1 x F_2$}\\
|
||||
\smallskip
|
||||
Legyen: $M_{\cup} = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F_{\cup})$\\
|
||||
\smallskip
|
||||
Ekkor: $L(M_{\cup}) = L_1 \cup L_2$\\
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{block}{Tétel: Nemdeterminisztikus automata}
|
||||
Minden $M = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F)$ véges nemdeterminisztikus automatával felismerhető nyelv, felismerhető véges automatával.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
|
||||
|
||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user