2018-02-25 19:17:05 +01:00
% Compile twice!
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
% !TEX root = ./Headers/PrezA4Page.tex
% Uncomment these to get the presentation form
%\documentclass{beamer}
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
%\documentclass[10pt]{article}
%\usepackage{geometry}
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
%\usepackage{beamerarticle}
%\renewcommand{\\}{\par\noindent}
%\setbeamertemplate{note page}[plain]
% Half A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% "1/3" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/6" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/5" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/4" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
%\usepackage{pgfpages}
% Choose one
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
% Includes
\usepackage { tikz}
\usepackage { tkz-graph}
\usetikzlibrary { shapes,arrows,automata}
\usepackage [T1] { fontenc}
\usepackage { amsfonts}
\usepackage { amsmath}
\usepackage [utf8] { inputenc}
\usepackage { booktabs}
\usepackage { array}
\usepackage { arydshln}
\usepackage { enumerate}
\usepackage [many, poster] { tcolorbox}
\usepackage { pgf}
\usepackage [makeroom] { cancel}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
\usepackage { verbatim}
2018-02-25 19:17:05 +01:00
2018-05-27 12:52:23 +02:00
\providecommand { \includecolors } { \input { ../Colors/Default.tex} } % fallback definition
\includecolors
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\setbeamertemplate { itemize item} { \color { black} $ - $ }
\setbeamertemplate { itemize subitem} { \color { black} $ - $ }
\setbeamercolor * { enumerate item} { fg=black}
\setbeamercolor * { enumerate subitem} { fg=black}
\setbeamercolor * { enumerate subsubitem} { fg=black}
2018-04-17 19:53:24 +02:00
\renewcommand { \familydefault } { \sfdefault }
%\renewcommand{\familydefault}{\rmdefault}
\renewcommand { \footnotesize } { \fontsize { 1.2em} { 0.2em} }
\renewcommand { \normalsize } { \fontsize { 1.2em} { 0.2em} }
\renewcommand { \large } { \footnotesize }
\renewcommand { \Large } { \footnotesize }
\renewcommand { \scriptsize } { \footnotesize }
\renewcommand { \LARGE } { \footnotesize }
\renewcommand { \Huge } { \footnotesize }
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\renewcommand { \tiny } { \footnotesize }
\renewcommand { \small } { \footnotesize }
2018-04-17 19:53:24 +02:00
\fontsize { 1.2em} { 0.2em}
\selectfont
\newcommand { \RHuge } { \fontsize { 1.8em} { 0.3em} \selectfont }
\newsavebox \CBox
%\newcommand<>*\textBF[1]{\sbox\CBox{#1}\resizebox{\wd\CBox}{\ht\CBox}{\textbf#2{#1}}}
\newcommand <>*\textBF [1] { \only #2{ \sbox \CBox { #1} \resizebox { \wd \CBox } { \ht \CBox } { \textbf { #1} } } }
2018-02-25 19:17:05 +01:00
% Beamer theme
\usetheme { boxes}
% tikz settings for the flowchart(s)
\tikzstyle { decision} = [diamond, minimum width=3cm, minimum height=1cm, text centered, draw=black, fill=green!15]
\tikzstyle { tcolorbox} = [rectangle, draw, fill=blue!15, text width=20em, text centered, minimum height=1em]
\tikzstyle { line} = [draw, -latex']
\tikzstyle { cloud} = [draw, ellipse,fill=red!20, node distance=3cm,
minimum height=2em]
\tikzstyle { arrow} = [thick,->,>=stealth]
\newcolumntype { C} [1]{ >{ \centering \let \newline \\ \arraybackslash \hspace { 0pt} } m{ #1} }
\renewcommand { \arraystretch } { 1.2}
\setlength \dashlinedash { 0.2pt}
\setlength \dashlinegap { 1.5pt}
\setlength \arrayrulewidth { 0.3pt}
\newcommand { \mtinyskip } { \vspace { 0.2em} }
\newcommand { \msmallskip } { \vspace { 0.3em} }
\newcommand { \mmedskip } { \vspace { 0.5em} }
\newcommand { \mbigskip } { \vspace { 1em} }
2018-02-25 23:42:17 +01:00
\renewcommand { \u } [1]{ \underline { #1} }
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\begin { document}
\begin { frame} [plain]
\begin { tcolorbox} [center, colback={ myyellow} , coltext={ black} , colframe={ myyellow} ]
2018-04-17 19:53:24 +02:00
{ \RHuge Lineáris Algebra és Geometria} \\
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\end { tcolorbox}
\end { frame}
%\begin{tcolorbox}[title={Def.: }]
%\end{tcolorbox}
% -------------------- HALMAZOK, RELÁCIÓK --------------------
\begin { frame} [plain]
\begin { tcolorbox} [center, colback={ myyellow} , coltext={ black} , colframe={ myyellow} ]
2018-04-17 19:53:24 +02:00
{ \RHuge Vektorterek, Leképzések}
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\mmedskip
\end { tcolorbox}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Linearitás} ]
$ f $ leképzés lineáris, ha:\\
2018-02-25 23:42:17 +01:00
\begin { itemize}
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\item $ f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) $
2018-02-25 23:42:17 +01:00
\item $ { \lambda } f ( a ) = f ( { \lambda } b ) $
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\end { itemize}
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektorok} ]
2018-02-25 23:42:17 +01:00
$ \u { a } = ( a _ 1 , a _ 2 ) , \u { b } = ( b _ 1 , b _ 2 ) $ \\
\mmedskip
Összeadás: $ \u { a + b } = ( a _ 1 + b _ 1 , a _ 2 + b _ 2 ) $ \\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
Nyújtás: $ { \lambda } a = ( a _ 1 , a _ 2 ) \lor { \lambda } \u { a } = ( { \lambda } a _ 1 , { \lambda } a _ 2 ) $
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\end { tcolorbox}
2018-02-25 23:42:17 +01:00
2018-03-18 22:32:51 +01:00
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Összeadás} ]
\begin { align}
\u { a} + \u { b} & = \begin { bmatrix}
a_ 1 + b_ 1 \\
a_ 2 + b_ 2 \\
... \\
a_ n + b_ n
\end { bmatrix}
\end { align}
\tcblower
2018-04-17 19:53:24 +02:00
\textBF { Tulajdonságok} \\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
\msmallskip
\begin { enumerate}
\item Van értelme
\item Kommutativitás - $ \u { a } + \u { b } = \u { b } + \u { a } $
\item Asszociativitás - $ ( \u { a } + \u { b } ) + \u { c } = \u { a } + ( \u { b } + \u { c } ) $
\item Van nullelem - $ { \exists } 0 \rightarrow \u { 0 } $
\item Minden elemre létezik additív inverz - $ { \forall } \u { a } \in \mathbb { R } ^ n : { \exists } \u { - a } $ , ahol $ \u { a } + \u { - a } = \u { 0 } $ \\
$ \u { - a } = - 1 \cdot \u { a } = \u { - a } $ , $ \u { a } + \u { - a } = \u { 0 } $
\end { enumerate}
\end { tcolorbox}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Szorzás számmal} ]
\begin { align}
\u { a} + \u { b} & = \begin { bmatrix}
{ \lambda } a_ 1 \\
{ \lambda } a_ 2 \\
... \\
{ \lambda } a_ n
\end { bmatrix}
\end { align}
\tcblower
2018-04-17 19:53:24 +02:00
\textBF { Tulajdonságok} \\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
\msmallskip
\begin { enumerate}
\item Van értelme
\item Asszociativitás $ { \lambda } , { \mu } \in \mathbb { R } $ , $ ( { \lambda } { \mu } ) \u { a } = { \lambda } ( { \mu } \u { a } ) $
\item Disztributivitás $ { \lambda } , { \mu } \in \mathbb { R } $ , $ ( { \lambda } + { \mu } ) \u { a } = { \lambda } \u { a } + { \mu } \u { b } $
\item Disztributivitás $ \u { a } , \u { b } \in \mathbb { R } ^ n, { \lambda } \in \mathbb { R } $ , $ { \lambda } \u { a } + \u { b } ) = { \lambda } \u { a } + { \lambda } \u { b } $
\item Létezik egységelem. $ 1 \cdot \u { a } = \u { a } $
\end { enumerate}
\end { tcolorbox}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektortér} ]
$ \mathbb { R } ^ n $ vektortér $ \mathbb { R } $ felett, ha igazak rá az összeadás, és a szorzás tulajdonságai.\\
\mmedskip
Azaz, ha egy $ V \neq \emptyset $ tudja ezeket a tulajdonságokat, akkor $ V $ vektortér $ \mathbb { R } $ felett.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Altér} ]
Azt mondjuk, hogy $ W \leq \mathbb { R } ^ n $ altere $ \mathbb { R } ^ n $ -nek, ha
\begin { enumerate}
\item $ W \neq \emptyset $
\item Ha zárt az összeadásra ($ \u { a } , \u { b } \in W \Rightarrow \u { a } + \u { b } \in W $ )
\item Ha zárt a számmal való szorzásra ($ \u { a } \in W, { \lambda } \u { a } \in W $ )
\end { enumerate}
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Megj} ]
$ \mathbb { R } ^ 2 $ $ \rightarrow $ alterei: $ x, y $ tengely\\
$ \mathbb { R } ^ 3 $ $ \rightarrow $ alteret: A síkok is.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektorrendszer, Lineáris kombináció} ]
2018-04-17 19:53:24 +02:00
\textBF { Vektorrendszer} :\\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
Legyen $ k \geq 1 $ egész. és legyenek $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } \in \mathbb { R } ^ n $ .\\
2018-04-17 19:53:24 +02:00
Ezeket a vektorokat együtt \textBF { vektorrendszernek} hívjuk.\\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
\msmallskip
2018-04-17 19:53:24 +02:00
\textBF { Lineáris kombináció} :\\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
Legyenek $ { \lambda } _ 1 , { \lambda } _ 2 , ..., { \lambda } _ k \in \mathbb { R } $ adottak,\\
ekkor a $ { \lambda } _ 1 \u { v _ 1 } + { \lambda } _ 2 \u { v _ 2 } + ... + { \lambda } _ k \u { v _ k } $ kifejezést a\\
$ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } $ vektorrendszer \u { lineáris kombinációjának} nevezzük.\\
\msmallskip
2018-04-17 19:53:24 +02:00
\textBF { triviális lineáris kombináció} :\\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
Ha $ { \lambda } _ 1 = { \lambda } _ 2 = ... = { \lambda } _ k = 0 $ , akkor a lineáris kombináció triviális.
\end { tcolorbox}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Lineáris összefüggőség} ]
Legyen $ k \geq 1 $ egész. és legyen $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } \in \mathbb { R } ^ n $ . vektorrendszer.\\
2018-04-17 19:53:24 +02:00
Ekkor azt mondjuk, hogy a $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } $ vektorrendszerünk \textBF { lineárisan összefüggő} , ha létezik nemtriviális lineáris kombinációja, melyre:\\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
$ { \lambda } _ 1 \u { v _ 1 } + { \lambda } _ 2 \u { v _ 2 } + ... + { \lambda } _ k \u { v _ k } = \u { 0 } $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Lineáris függetlenség} ]
Legyen $ k \geq 1 $ egész. és legyen $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } \in \mathbb { R } ^ n $ . vektorrendszer.\\
2018-04-17 19:53:24 +02:00
Ekkor azt mondjuk, hogy a $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } $ vektorrendszerünk \textBF { lineárisan független} , ha csak a triviális lineáris kombinációjára igaz, hogy:\\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
$ { \lambda } _ 1 \u { v _ 1 } + { \lambda } _ 2 \u { v _ 2 } + ... + { \lambda } _ k \u { v _ k } = \u { 0 } $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Bázis} ]
Legyen $ V \leq \mathbb { R } ^ k $ altér, és legyen adott $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } $ vektorrendszer.\\
2018-04-17 19:53:24 +02:00
Azt mondjuk, hogy a $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } $ vektorrendszer \textBF { bázis} $ V $ -ben, ha:\\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
\begin { itemize}
\item Lineárisan függetlenek
\item Tetszőleges eleme $ V $ -nek előáll belőlük lineáris kobinációként.
\end { itemize}
\mmedskip
(Megj: $ n $ dimenzóban $ n $ elemű egy bázis)
\end { tcolorbox}
2018-03-19 13:59:50 +01:00
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Lineáris kombináció, és bázisok} ]
2018-04-17 19:53:24 +02:00
$ \u { b _ 1 } , \u { b _ 2 } , ..., \u { b _ k } $ bázis $ V $ -ben, akkor $ \forall \u { v } \in V $ elem \textBF { egyértelműen} előáll belőle lineáris kombinációjaként.
2018-03-19 13:59:50 +01:00
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Bázisok, és Lineáris kombináció} ]
Ha a $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } $ vektorrendszer olyan V-ben, hogy ha $ \forall a \in V $ egyértelműen létezik $ { \alpha } _ 1 , ..., { \alpha } _ k \in \mathbb { R } $ , hogy $ \u { a } = { \alpha } _ 1 \u { b _ 1 } + { \alpha } _ 2 \u { b _ 2 } + ... + { \alpha } _ k \u { b _ k } \Rightarrow \u { b _ 1 } , \u { b _ 2 } , ..., \u { b _ k } $ bázis.
\end { tcolorbox}
2018-03-18 22:32:51 +01:00
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Bázistransformáció} ]
Legyen $ V \leq \mathbb { R } ^ n $ , $ \u { b _ 1 } , u { b _ 2 } , ..., u { b _ k } $ bázis $ V $ -ben.\\
Legyen $ a \in V $ adott, és $ \u { a } = { \alpha } _ 1 \u { v _ 1 } + { \alpha } _ 2 \u { v _ 2 } + ... + { \alpha } _ k \u { v _ k } $ .\\
2018-03-19 13:59:50 +01:00
Ekkor $ \u { b _ 1 } , u { b _ 2 } , ..., u { b _ k } \iff { \alpha } _ i \neq 0 $ bázis.\\
\mmedskip
Akkor cserélhetjük ki, ha az együtthatója nem 0 az $ \u { a } $ -ban.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Képlet} ]
$ x _ j = x _ j - \frac { x _ i } { { { \alpha } _ i } } { \alpha } _ j $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Öf táblázat} ]
\end { tcolorbox}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Lineáris függőség} ]
2018-04-17 19:53:24 +02:00
$ A \neq \emptyset $ , $ A \subseteq \mathbb { R } ^ n $ , azt mondjuk hogy $ \u { v } \in \mathbb { R } ^ n $ \textBF { lineárisan függ} $ A $ -tól,\\
2018-03-19 13:59:50 +01:00
ha létezik véges sok elem $ A $ -ban, hogy $ \u { v } $ előáll az ő lineáris kombinációjaként.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Lineáris függőség} ]
$ k \geq 2 $ , $ \u { a _ 1 } , u { a _ 2 } , ..., u { a _ k } \in \mathbb { R } ^ n $ ,\\
ekkor $ \u { a _ 1 } , u { a _ 2 } , ..., u { a _ k } $ összefüggő $ \iff $ $ \exists i \in \{ 1 , ..., k \} $ , hogy $ a _ i $ lineárisan függ a többitől.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Áll.: Lineáris függőség} ]
Ha$ \u { a _ 1 } , u { a _ 2 } , ..., u { a _ k } $ , $ \u { b } \in \mathbb { R } ^ n $ \\
$ \u { a _ 1 } , u { a _ 2 } , ..., u { a _ k } $ lineárisan független, de $ \u { a _ 1 } , u { a _ 2 } , ..., u { a _ k } , \u { b } $ lineárisan összefüggő, akkor\\
$ \u { b } $ lineárisan független az $ \u { a _ 1 } , u { a _ 2 } , ..., u { a _ k } $ vektorrendszertől.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Halmaz által generált altér / Lineáris Burok} ]
$ A \neq \emptyset $ , $ A \leq \mathbb { R } ^ n $ :\\
$ : W ( A ) = \{ \u { b } \in \mathbb { R } ^ n | \u { v } $ lineárisan függ $ A $ -tól $ \} $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektor koordinátái} ]
\begin { align}
[a]_ { \u { b_ 1} , \u { b_ 2} , ..., \u { b_ k} } & = \begin { bmatrix}
{ \lambda } a_ 1 \\
{ \lambda } a_ 2 \\
... \\
{ \lambda } a_ n
\end { bmatrix} \in \mathbb { R} ^ k
\end { align}
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Altér} ]
$ W ( A ) $ altér $ ( A \neq \emptyset ) $
2018-03-18 22:32:51 +01:00
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-03-19 13:59:50 +01:00
2018-03-30 02:41:45 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Alterek metszete} ]
Ha $ V _ 1 $ és $ V _ 2 $ is altér $ \Rightarrow $ $ V _ 1 \cap V _ 2 $ is altér.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Span} ]
2018-04-17 19:53:24 +02:00
Azt mondjuk, hogy az $ A \subseteq \mathbb { R } ^ n $ halmaz által \textBF { generált / kifeszített altér} az $ A $ -t tartalmazó alterek / vektorterek metszete.\\
2018-03-30 02:41:45 +02:00
\msmallskip
Jel.: $ Span ( A ) $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Span és Lineáris burok} ]
$ Span ( A ) = W ( A ) $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Generátorrendszer} ]
2018-04-17 19:53:24 +02:00
Azt mondjuk, hogy $ G $ vektorrendszer \textBF { generátorrendszere} $ V $ altérnek, ha $ Span ( G ) = W ( G ) $
2018-03-30 02:41:45 +02:00
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Generátorrendszer létezése} ]
Ha $ V \leq \mathbb { R } ^ n $ -ben létezik véges méretű generátorrendszer $ \Rightarrow $ belőle kiválasztható bázis.
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-03-19 13:59:50 +01:00
2018-03-30 02:41:45 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Kicserélési tétel} ]
Legyen $ V \leq \mathbb { R } ^ n $ , legyen $ a _ 1 , ..., a _ k $ lineárisan független, és $ b _ 1 , ..., b _ n $ generátorrendszer. Ekkor:\\
\begin { itemize}
\item $ \exists j $ , hogy tetszőleges $ i $ -re $ v _ j, a _ 2 , ..., a _ k $ is Lineárisan független.\\
(megj.: Igazából $ a _ 1 , ..., a _ k $ bármilyen eleme lecserélhető)
\item $ |LF| \leq |GR| $ ($ |LF| $ = $ LF $ elemszáma, $ LF $ = $ a _ 1 , ..., a _ k $ )
\end { itemize}
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Bázis} ]
Ha $ V \leq \mathbb { R } ^ n, $ és $ B _ 1 , B _ 2 $ bázis, akkor\\
$ |B _ 1 | < + \infty \rightarrow |B _ 1 | = |B _ 2 | $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Bázis} ]
\begin { itemize}
\item Minden bázis mérete $ \mathbb { R } ^ n $ -ben $ n $
2018-03-31 00:41:13 +02:00
\item $ V \leq \mathbb { R } ^ n $ és van véges generátorrendszer $ \Rightarrow $ Leszűkíthető bázissá.
\item $ V \leq \mathbb { R } ^ n $ és $ v _ 1 , ..., v _ k $ vektorrendszer lineárisan független a $ V $ -ben. $ \Rightarrow $ Leszűkíthető bázissá.
2018-03-30 02:41:45 +02:00
\end { itemize}
2018-03-31 00:41:13 +02:00
\mmedskip
Ezekből követketik, hogy a bázis a maximális elemszámú lineárisan független vektorrendszer.\\
\mmedskip
Maximális lineárisan független vektorrendszer elemszáma = minimális generátorrendszer elemszáma = bázis elemszáma
2018-03-30 02:41:45 +02:00
\end { tcolorbox}
2018-03-31 00:41:13 +02:00
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Dimenzió} ]
$ V \leq \mathbb { R } ^ n $ dimenziója:\\
\mmedskip
\[
dim(V) =
\begin { cases}
0, & \text { ha } V = \{ \u { 0} \} \\
|B|, & \text { ha } V \neq \{ \u { 0} \} \text { (B a V-nek egy bázisa.) } \\
\end { cases}
\]
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Rang} ]
$ v _ 1 , ..., v _ k \in \mathbb { R } ^ n $ vektorrendszer rangja, az általuk generált altér dimenziója.
\end { tcolorbox}
2018-03-30 02:41:45 +02:00
\end { frame}
2018-04-04 16:00:37 +02:00
2018-05-21 20:07:08 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Mátrix} ]
Legyen $ e _ k $ adott $ a _ k $ az $ m $ és $ n $ pozitív egész számok, továbbá minden
$ i \in \{ 1 , ..., m \} és j \in \{ 1 , ..., n \} $ esetére az $ aij $ valós számok. Az
táblázatot egy $ \mathbb { R } $ feletti mátrixnak nevezzük, és $ A $ -val jelöljük, részletesebben $ A = [ aij ] mn $ , vagy
Az $ A $ mátrix $ i $ -ed $ i _ k $ sora $ j $ -edik elemén $ e _ k $ jelölése: $ aij $ vagy $ i [ A ] j $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Mátrixok egyenlősége} ]
Az $ A $ és a $ B $ mátrixok egyenlők, ha alakjuk azonos (mondjuk $ m x n $ -es) és a megfelelő elemeik megegyeznek, azaz minden „szóbajövő" $ i $ , $ j $ párra $ ( 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n ) $ teljesül, hogy $ i [ A ] j = i [ B ] j $ . Az $ \mathbb { R } $ feletti $ m x n $ -es mátrixok halmazát $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ -mel jelöljük ($ \mathbb { R } ^ { m } $ = $ \mathbb { R } ^ { m x 1 } $ ).
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Mátrix összeadás, számmal való szorzás} ]
Az $ \mathbb { R } ^ { m } $ -beli komponensenkénti összeadás és valós számmal való szorzás (1/2) mintájára természetes módon kínálkoznak $ m x n $ -es mátrixok esetén a megfelelő elemek összeadásával, illetve az összes elemnek egy valós számmal szorzásával a következő műveletek:
$ + $ : $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ x $ \mathbb { R } ^ { m x n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { m x n } $ , A, B $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ esetén $ A + B $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ és minden szóbajövő
$ i, j $ -re $ _ { i } [ A + B ] _ j $ = $ _ { i } [ A ] _ j + _ { i } [ B ] _ j $ .
$ { \lambda } $ : $ \mathbb { R } $ x $ \mathbb { R } ^ { m x n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { m x n } $ , $ { \lambda } \in \mathbb { R } $ , $ A \in \mathbb { R } ^ { m x n } $ esetén $ { \lambda } A \in \mathbb { R } ^ { m x n } $ és minden szóbajövő $ i, j $ -re $ _ { i } [ { \lambda } A ] _ j $ = $ { \lambda } _ { i } [ A ] _ j $ .
Az $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ -re is teljesül az 1/3 oldali 10 tulajdonság megfelelője a fenti $ + $ , $ { \lambda } $ műveletekre nézve, így $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ -et is $ \mathbb { R } $ feletti vektortérnek mondjuk.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Nullmátrix} ]
2018-05-22 00:43:28 +02:00
Nullmátrix: 0 := $ \begin { bmatrix }
2018-05-21 20:07:08 +02:00
{ \lambda } a_ 1 \\
{ \lambda } a_ 2 \\
... \\
{ \lambda } a_ n
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\end { bmatrix} \in \mathbb { R} ^ k$
2018-05-21 20:07:08 +02:00
\end { tcolorbox}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Mátrixszorzás} ]
2018-05-22 00:43:28 +02:00
$ A $ $ in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ , $ B $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n x k } $ esetén $ AB $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x k } $ úgy, hogy minden szóbajövő $ i, j $ -re (most $ 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq k $ )
\mmedskip
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-22 00:43:28 +02:00
$ _ { i } [ AB ] _ j $ $ = $ $ _ { i } [ A ] _ 1 $ $ _ { 1 } [ B ] _ j $ + $ _ { i } [ A ] _ 2 $ $ _ { 2 } [ A ] _ j $ + $ ... $ + $ _ { i } [ A ] _ n $ $ _ { n } [ B ] _ j $ = $ \sum _ { l = 1 } ^ n $ $ _ { i } [ A ] _ l $ $ _ { l } [ B ] _ j $
\mmedskip
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-22 00:43:28 +02:00
Ez az ún. sor-oszlop szorzás: a szorzatmátrix i-edik sora j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorának és a jobb oldali mátrix j-edik oszlopának megfelelő elemeit összeszorozzuk, s a kapott szorzatokat összeadjuk.
2018-05-21 20:07:08 +02:00
\end { tcolorbox}
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Egységmátrix} ]
$ I _ n $ = $ \begin { bmatrix }
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end { bmatrix} $ $ \in \mathbb { R} $ az $ n$ x $ n$ - es egységmátrix \\
\[
{ \delta } _ { ij} =
\begin { cases}
1, & \text { ha } i = j\\
0, & \text { ha } i \neq j \\
\end { cases}
\] \\
(A $ { \delta } _ { ij } $ egyik szokásos elnevezése: Kronecker-szimbólum.)
\end { tcolorbox}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Egységmátrix} ]
$ A $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ esetén $ I _ mA $ = $ A $ és $ AI _ n $ = $ A $ .
\end { tcolorbox}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
\end { frame}
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Tranzponált} ]
A $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ esetén az $ A $ mátrix transzponáltja: $ A ^ T $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ , melyre minden szóbajövő $ i $ , $ j $ -re $ _ { i } [ A ^ T ] _ j $ = $ _ { j } [ A ] _ i $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Tranzponálás tulajdonságai} ]
$ A $ , $ B $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ $ \Rightarrow $ $ ( A + B ) ^ T $ = $ A ^ T $ + $ B ^ T $ \\
$ { \lambda } $ $ \in $ $ \mathbb { R } $ , $ A $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ $ \Rightarrow $ $ ( { \lambda } A ) ^ T $ = $ { \lambda } A ^ T $ \\
$ A $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ , $ B $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n x k } $ $ \Rightarrow $ $ ( AB ) T $ = $ B ^ TA ^ T $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Mátrixszorzás, és asszociativitás} ]
$ A $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n _ 1 } $ , $ B $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n _ 2 x k _ 2 } $ , $ C $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { k _ 3 x s } $ , esetén\\
\mmedskip
$ \exists $ $ ( AB ) C ) $ $ \iff $ $ \{ n _ 1 = n _ 2 $ és $ k _ 2 = k _ 3 \} $ $ \iff $ $ { \exists } A ( BC ) $ \\
\mmedskip
($ \{ n _ 1 = n _ 2 $ és $ k _ 2 = k _ 3 \} $ = $ ( AB ) C $ = $ A ( BC ) $ )
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Mátrixszorzás és összeadás disztributivitása} ]
$ A $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n _ 1 } $ , $ B $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n _ 2 x k _ 2 } $ , $ C $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n _ 3 x k _ 3 } $ , esetén\\
\mmedskip
$ \exists $ $ A ( B + C ) $ $ \iff $ $ \{ n _ 1 = n _ 2 $ és $ k _ 2 = k _ 3 \} $ $ \iff $ $ { \exists } $ $ AB + BC $ \\
\mmedskip
($ \{ n _ 1 = n _ 2 $ és $ k _ 2 = k _ 3 \} $ = $ A ( B + C ) $ = $ AB + BC $ )
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Számmal való szorzás és mátrixszorzás kapcsolata} ]
$ \lambda $ $ \in $ $ \mathbb { R } $ , $ A $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ , $ B $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n x k } $ $ \Rightarrow $ \\
\mmedskip
$ { \lambda } ( AB ) $ = $ ( { \lambda } A ) B $ = $ A ( { \lambda } B ) $ \\
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Sorrang, Oszloprang} ]
$ A $ = $ [ a _ 1 , { \cdots } , a _ n ] $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ \\
\mmedskip
2018-05-26 23:15:06 +02:00
oszloprangja: $ { \varrho } _ { O } ( A ) $ = $ r ( a _ 1 , { \cdots } , a _ n ) $ $ ( $ = $ dim $ $ Span ( a _ 1 , { \cdots } , a _ n ) ) $ \\
sorrangja: $ { \varrho } _ { s } ( A ) $ = $ { \varrho } _ { O } ( A ^ T ) $ \\
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Mátrixszorzás, dimenzió} ]
Legyenek $ C $ = $ [ c _ 1 , { \cdots } , c _ n ] $ és $ D $ = $ [ d _ 1 , { \cdots } , d _ k ] $ ebben a sorrendben összeszorozható
R feletti mátrixok. Ekkor:\\
\mmedskip
2018-05-26 23:15:06 +02:00
$ { \varrho } _ { s } ( CD ) $ $ \leq $ $ { \varrho } _ { s } ( C ) $
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Mátrix, rang} ]
2018-05-26 23:15:06 +02:00
Tetszőleges $ \mathbb { R } $ feletti $ A $ mátrixra $ { \varrho } _ { o } ( A ) $ $ \leq $ $ { \varrho } _ { s } ( A ) $ \\
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\mmedskip
2018-05-26 23:15:06 +02:00
(ezentúl $ { \varrho } _ { o } ( A ) $ $ \leq $ $ { \varrho } _ { s } ( A ) $ = $ { \varrho } ( A ) $ (az $ \varrho $ helyett használatos a $ p $ , vagy $ r $ is.)
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Inverz} ]
$ A $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ esetén:\\
\mmedskip
Az $ A ^ { ( j ) } $ egy jobb oldali inverze az $ A $ -nak, ha $ A ^ { ( j ) } $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n x m } $ és $ AA ^ { ( j ) } $ = $ I _ m $ \\
Az $ A ^ { ( b ) } $ egy bal oldali inverze az $ A $ -nak, ha $ A ^ { ( b ) } $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n x m } $ és $ A ^ { ( b ) } A $ = $ I _ n $ \\
Az $ A ^ { - 1 } $ kétoldali inverze $ A $ -nak, ha bal oldali inverze is és jobb oldali inverze is $ A $ -nak.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Inverz létezése} ]
$ A $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ esetén:\\
\begin { enumerate}
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\item $ \exists $ $ A ^ { ( j ) } $ $ \iff $ $ { \varrho } ( A ) $ = $ m $
\item $ \exists $ $ A ^ { ( b ) } $ $ \iff $ $ { \varrho } ( A ) $ = $ n $
\item $ \exists $ $ A ^ { - 1 } $ $ \Rightarrow $ $ { \varrho } ( A ) $ = $ m $ = $ n $ $ \Rightarrow $ $ \exists $ $ A ^ { ( b ) } $ ), $ \exists $ $ A ^ { ( j ) } $ és egyenlők $ \Rightarrow $ $ \exists $ $ A ^ { - 1 } $ .
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\end { enumerate}
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\begin { frame}
2018-05-25 03:50:04 +02:00
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Adjugált} ]
$ A \in \mathbb { C } ^ { m x n } $ esetén az $ A $ mátrix adjungáltja: $ A ^ { { \ast } } \in \mathbb { C } ^ { n x m } $ , melyre minden szóbajövő $ j, k $ -ra $ _ { j } [ A { \ast } ] _ k $ = $ _ { k } [ A ] _ j $ .
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\end { tcolorbox}
2018-05-25 03:50:04 +02:00
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Az adjungálás kapcsolata a mátrixműveletekkel} ]
$ A, B \in \mathbb { C } ^ { m x n } $ $ \Rightarrow $ $ ( A + B ) ^ * $ = $ A ^ * + B ^ * $ \\
$ \lambda \in C, A \mathbb { C } ^ { m x n } $ $ \Rightarrow $ $ ( { \lambda } A ) ^ * = \overline { { \lambda } } A ^ * $
$ A \in \mathbb { C } ^ { m x n } $ $ B \in \mathbb { C } ^ { n x k } $ $ \Rightarrow $ $ ( AB ) ^ * = B ^ * A ^ * $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Rangtartó átalakítások} ]
$ a _ 1 , ..., a _ k $ $ \in \mathbb { C } ^ { n } , { \lambda } \in \mathbb { R } ^ n $ , $ { \lambda } $ $ = $ $ 0 $ , $ k \leq 2 $ esetén
$ r ( a _ 2 , a _ 1 , ..., a _ k ) = r ( a _ 1 , a _ 2 , ..., a _ k ) , $ \\
$ r ( { \lambda } a _ 1 , a _ 2 , ..., a _ k ) = r ( a _ 1 , a _ 2 , ..., a _ k ) , $ \\
$ r ( a _ 1 + a _ 2 , a _ 2 , ..., a _ k ) = r ( a _ 1 , a _ 2 , ..., a _ k ) , $ \\
$ r ( a _ 1 + { \lambda } a _ 2 , a _ 2 , ..., a _ k ) = r ( a _ 1 , a _ 2 , ..., a _ k ) . $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Rangtartó átalakítások és mátrixok} ]
2018-05-26 23:15:06 +02:00
$ A \in \mathbb { R } ^ { m x n } , { \varrho } ( A ) = r \leq 1 $ esetén $ A \leadsto $ $ \begin { bmatrix }
2018-05-25 03:50:04 +02:00
I_ r & 0 \\
0 & 0 \\
\end { bmatrix} $ $ \in \mathbb { R} ^ { m x n} $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Geometriai vektorok skaláris szorzata tulajdonságai} ]
$ ab $ $ = $ $ |a| |b| cos { \gamma } ( a, b ) $ \\
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Skaláris szorzat, geometriai vektorokra} ]
$ ab = ba $ (kommutativitás)\\
$ ab = 0 $ $ \iff $ $ a \bot b $ \\
$ { \lambda } ( ab ) = ( { \lambda } a ) b = a ( { \lambda } b ) $ (skalár kiemelhetősége)\\
$ ( ab ) c \neq a ( bc ) $ \\
$ cc = |c| ^ 2 \geq 0 $ \\
$ a ( b + c ) = ab + ac $ , $ ( b + c ) a = ba + ca $ (disztributivitás)
\end { tcolorbox}
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-25 03:50:04 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Skaláris szorzat, geometriai vektorokra} ]
Az $ a, b, c $ nem egysíkú geometriai vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak, ha közös kezdőponttal felrajzolva őket, a kezdőpontban az $ a $ és $ b $ síkjára emelt merőlegesen (mint forgástengelyen) a $ c $ -t tartalmazó féltérből nézve pozitív irányú, $ 0 ^ { \circ } $ és $ 180 ^ { \circ } $ közötti forgatással vihetjük át az $ \frac { a } { |a| } $ -t a $ \frac { b } { |b| } $ -be.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Jobbrendszer} ]
Az $ a, b, c $ nem egysíkú geometriai vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak, ha közös kezdőponttal felrajzolva őket, a kezdőpontban az $ a $ és $ b $ síkjára emelt merőlegesen (mint forgástengelyen) a $ c $ -t tartalmazó féltérből nézve pozitív irányú, $ 0 ^ { \circ } $ és $ 180 ^ { \circ } $ közötti forgatással vihetjük át az $ \frac { a } { |a| } $ -t a $ \frac { b } { |b| } $ -be.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektoriális szorzat} ]
$ a x b $ VEKTOR (,,a kereszt b,,) $ : = $ \\
\mmedskip
\begin { enumerate}
\item $ |a x b| $ = $ |a||b| sin { \gamma } ( a, b ) $ ;
\item $ a x b \bot a, b $ ;
\item $ |a x b| = 0 $ esetén $ a, b, a x b $ jobbrendszer.
\end { enumerate}
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektoriális szorzat műveleti tulajdonságai} ]
Tetszőleges $ a, b, c $ geometriai vektorokra és $ { \lambda } $ skalárra: \\
$ a x b \iff a \parallel b $ \\
$ b x a = - a x b $ (alternálás vagy antikommutativitás), így $ a \nparallel b $ esetén $ b x a = a x b $ (tehát a vektoriális szorzat nem kommutatív)\\
$ { \lambda } ( a b ) = ( { \lambda } a ) b = a ( { \lambda } b ) $ (skalár kiemelhetősége)\\
$ a x ( b + c ) = a x b + a x c, ( b + c ) x a = b x a + c x a $ (disztributivitás).\\
\mmedskip
2018-05-22 00:43:28 +02:00
2018-05-25 03:50:04 +02:00
A disztibutivitás bizonyítása a korábbi három segédtétel felhasználásával történhet, kiegészítve azzal, hogy $ e = 1 $ esetén tetszőleges $ a $ -ra $ a _ m = ( e x a ) x e $ , ezt pedig az $ e $ irányából nézve $ + 90 ^ { \circ } $ -os forgatással átvihetjük $ e x a $ -ba (ezzel kerülhető el a bizonyítandó állítás felhasználása).
2018-05-22 00:43:28 +02:00
2018-05-25 03:50:04 +02:00
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-25 03:50:04 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Kifejtési tétel} ]
$ ( a x b ) x c $ $ = $ $ ( ac ) b - ( bc ) a $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Felcserélési tétel} ]
$ ( a x b ) c = a ( b x c ) $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vegyesszorzat} ]
Az $ a, b, c $ geometriai vektorok vegyes szorzata: $ abc = ( a x b ) c $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Determináns} ]
Az $ A $ $ = $ $ \begin { bmatrix }
a_ { 11} & \cdots & a_ { 1n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_ { n1} & \cdots & a_ { nn}
\end { bmatrix} $ $ \in $ $ \mathbb { R} ^ { n x n} $ mátrix determinánsa egy alább definiált szám, melyet röviden $ A$ - val jelölünk, részletesebben kiírhatjuk a mátrix elemeit a szokott módon, de függőleges vonalak közé: \\
\mmedskip
2018-05-26 23:15:06 +02:00
$ ( |A| = ) $ $ \begin { vmatrix }
2018-05-25 03:50:04 +02:00
a_ { 11} & \cdots & a_ { 1n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_ { n1} & \cdots & a_ { nn}
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\end { vmatrix} $ $ \in $ $ \mathbb { R} ^ { n x n} $ = $ \sum _ { i_ 1, ..., i_ n\\ (1, ..., n)} (-1)^ { I(i_ 1, i_ 2, ..., i_ n)} a_ { 1i_ 1} \cdot a_ { 1i_ 2} \cdot a_ { 1i_ 3} \cdot ... \cdot a_ { ni_ n} $
2018-05-25 03:50:04 +02:00
\end { tcolorbox}
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Determináns elem, és sorcsere} ]
Legyen $ n \geq 2 $ .\\
\begin { enumerate}
\item Ha az $ 1 , 2 , ..., n $ számok $ i _ 1 , i _ 2 , ..., i _ n $ permutációjában két elemet felcserélünk, akkor az inverziószám páratlan számmal változik.
\item Ha az $ A \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ mátrix valamely két sorát felcseréljük, akkor az így nyert $ B $ mátrix determinánsa: $ |B| = - |A| $ , azaz két sor felcserélése esetén a determináns értéke $ ( - 1 ) $ -gyel szorzódik.
\end { enumerate}
\end { tcolorbox}
2018-05-25 03:50:04 +02:00
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Determináns két sor egyenlősége} ]
Ha $ n \geq 2 $ és az $ A \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ mátrixnak van két megegyező sora, akkor $ A $ determinánsa $ 0 $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Determináns két sor összeadása} ]
Ha $ n \geq 2 $ , $ \lambda \in \mathbb { R } $ esetén az $ A \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ mátrix egyik sorához egy másik sorának a $ \lambda $ -szorosát hozzáadjuk, akkor az így keletkezett mátrix determinánsa is $ A $ , tehát az a rangtartó átalakítás, amikor egyik sorhoz egy másik sor számszorosát adjuk, egyben determinánstartó is!
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Felsőháromszög mátrix} ]
Felső háromszög mátrix determinánsa a főátlóban lévő elemek szorzata.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Inverz létezése} ]
$ A \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ esetén:\\
$ |A| $ $ \neq $ $ 0 $ $ \iff $ $ { \varrho } ( A ) = n \iff { \exists } A ^ { - 1 } $ .
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Kifejtési tétel} ]
$ n \geq 2 $ , $ A \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ esetén\\
\begin { enumerate}
\item Tetszőleges $ 1 \leq i \leq n $ esetén $ |A| $ $ = $ $ \sum _ { j = 1 } ^ n a _ { ij } A _ { ij } $ .
\item Tetszőleges $ 1 \leq j \leq n $ esetén $ |A| $ $ = $ $ \sum _ { i = 1 } ^ n a _ { ij } A _ { ij } $ .
\end { enumerate}
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Cramer-szabály} ]
$ A = [ a _ 1 , ..., a _ n ] $ $ \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ , $ A \geq 0 $ , $ b \in \mathbb { R } ^ { n } $ esetén:\\
!$ \exists $ $ x \in \mathbb { R } ^ n $ , melyre: $ Ax = b $ , továbbá az $ x $ $ j $ -edik komponense $ ( j = 1 , ..., n ) $ \\
$ x _ j = $ $ \frac { det ( [ a _ 1 , ..., b, ..., a _ n ] ) } { det ( [ a _ 1 , ..., a _ j, ..., a _ n ] ) } $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Vandermonde-determináns, és kifejtése} ]
$ V _ n ( a _ 1 , ..., a _ n ) = $ $ \begin { vmatrix }
1 & a_ 1 & a_ 1^ 2 & \cdots & a_ 1^ { n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & a_ 1 & a_ 1^ 2 & \cdots & a_ 1^ { n-1}
\end { vmatrix} $ $ =$ $ \prod _ { n \geq i > j \geq 1} (a_ i - a_ j)$
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Részmátrix} ]
$ j x k $ -as részmátrix: $ j $ sor és $ k $ oszlop kiválasztásával a metszéspontokba kerülő elemek alkotta $ j x k $ -as mátrix.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Részmátrix és determináns} ]
$ A \in \mathbb { R } ^ { n x m } $ és $ { \varrho } ( A ) = r \geq 1 $ esetén $ A $ -nak van olyan $ r x r $ -es részmátrixa, melynek determinánsa $ \neq 0 $ , viszont minden $ ( r + 1 ) x ( r + 1 ) $ -es részmátrix determinánsa $ 0 $ .
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Egyenletrendszer megoldása, determináns} ]
Legyen $ A \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ . Az $ Ax = 0 $ homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van nemtriviális megoldása, ha $ A = 0 $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Szorzástétel} ]
$ A, B \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ $ \Rightarrow $ $ |AB| = |A| |B| $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Szorzástétel} ]
$ A, B \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ $ \Rightarrow $ $ |AB| = |A| |B| $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Hasonlóság} ]
$ A, B \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ esetén azt mondjuk, hogy az $ A $ hasonló $ \mathbb { R } $ felett a $ B $ -hez (jelölés: $ A { \sim } _ { \mathbb { R } } B $ ), ha létezik olyan invertálható $ D \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ , melyre $ B = D ^ { - 1 } AD $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Diagonizáció} ]
Az $ A $ diagonalizálható $ \mathbb { R } $ felett, ha $ \mathbb { R } $ felett hasonló egy diagonális mátrixhoz.
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Jobb oldali sajátvektor, sajátérték} ]
Legyen $ n $ pozitív egész, $ A \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ \\
Az $ x \in \mathbb { R } ^ { n } $ jobb oldali sajátvektora $ A $ -nak, ha\\
\begin { enumerate}
\item $ x \neq 0 $
\item $ \exists $ $ { \lambda } _ 0 \in \mathbb { R } $ : $ Ax = { \lambda } _ 0 x $
\end { enumerate}
Ilyenkor a $ { \lambda } _ 0 $ az $ x $ jobb oldali sajátvektorhoz tartozó jobb oldali sajátértéke az $ A $ -nak.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Bal oldali sajátvektor, sajátérték} ]
Legyen $ n $ pozitív egész, $ A \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ \\
Az $ y \in \mathbb { R } ^ { 1 xn } $ bal oldali sajátvektora $ A $ -nak, ha\\
\begin { enumerate}
\item $ y \neq 0 = [ 0 , ..., 0 ] $
\item $ \exists $ $ { \mu } _ 0 \in \mathbb { R } $ : $ yA = { \mu } _ 0 x $
\end { enumerate}
Ilyenkor a $ { \mu } _ 0 $ az $ y $ bal oldali sajátvektorhoz tartozó bal oldali sajátértéke az $ A $ -nak.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Diagonizálhatóság, sajátvektor} ]
Legyen $ A \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ .\\
$ A $ diagonalizálható $ \mathbb { R } $ felett $ \iff $ létezik $ \mathbb { R } ^ n $ -ben az $ A $ sajátvektoraiból álló bázis (röviden: SB).
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Sajátaltér} ]
Legyen $ A \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ , $ { \lambda } _ 0 \in \mathbb { R } $ pedig egy (jobb oldali) sajátértéke az $ A $ -nak $ A $ $ { \lambda } _ 0 $ -hoz tartozó sajátaltér:\\
$ W _ { { \lambda } _ 0 } : = \{ x $ $ | $ $ x \in \mathbb { R } ^ n, $ $ Ax = { \lambda } _ 0 x \} $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Karakterisztikus polinom} ]
Legyen $ n $ pozitív egész, $ A \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ .\\
Az $ A $ mátrix karakterisztikus polinomja: $ k _ A ( { \lambda } ) : = |A - I _ n { \lambda } | $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Karakterisztikus polinom, hasonlóság} ]
$ A, B \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ és $ A { \sim } _ \mathbb { R } B $ esetén $ k _ A ( { \lambda } ) = k _ B ( { \lambda } ) $ .
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Euklideszi tér, Skaláris szorzat} ]
Legyen $ \mathbb { K } = \mathbb { R } $ vagy $ \mathbb { K } = \mathbb { C } $ , továbbá $ V $ vektortér a $ \mathbb { K } $ felett.\\
Azt mondjuk, hogy a $ V $ (valós vagy komplex) euklideszi tér, ha adott benne egy skaláris szorzatnak nevezett $ { \langle } x, y { \rangle } $ $ : $ $ V $ $ x $ $ V $ $ \rightarrow $ $ \mathbb { K } $ függvény, melyre a következők teljesülnek minden $ x, y, z \in V $ és $ \lambda \in \mathbb { K } $ esetén:
\begin { enumerate}
\item $ { \langle } y, x { \rangle } = { \langle } x, y { \rangle } $
\item $ { \langle } { \lambda } x, y { \rangle } = { \lambda } { \langle } x, y { \rangle } $
\item $ { \langle } x, y + z { \rangle } = { \langle } x, y { \rangle } + { \langle } x, z { \rangle } $
\item $ { \langle } x, x { \rangle } $ mindíg (valós és) nemnegatív
\item $ { \langle } x, x { \rangle } = 0 \iff x = 0 $
\end { enumerate}
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Norma} ]
Legyen $ V $ valós vagy komplex euklideszi tér. $ x \in V $ esetén az $ x $ (euklideszi) normája:\\
$ ||x|| $ $ : = $ $ \sqrt { { \langle } x, x { \rangle } } $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Cauchy-egyenlőtlenség} ]
Legyen $ V $ valós vagy komplex euklideszi tér.\\
Ekkor tetszőleges $ x, y \in V $ -re $ | { \langle } x, y { \rangle } | $ $ \leq $ $ ||x|| \cdot ||y|| $ .||
Itt egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha $ x, y $ lineárisan összefüggő.
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Ortogonált, ortonormált bázis} ]
Legyen $ V $ n-dimenziós (valós vagy komplex) euklideszi tér, $ e _ 1 , ..., e _ n $ $ B $ $ V $ -ben.\\
Az $ e _ 1 , ..., e _ n $ ortogonális bázis (OB) $ V $ -ben, ha (bázis és) elemei páronként ortogonálisak.\\
Az $ e _ 1 , ..., e _ n $ ortonormált bázis (ONB) $ V $ -ben, ha elemei páronként ortogonálisak és normájuk $ 1 $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Ortonormált bázis létezése} ]
$ n > 0 $ -ra tetszőleges $ n $ -dimenziós euklideszi térben létezik ortonormált bázis.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: A valós szimmetrikus mátrixok spektráltétele} ]
$ A \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ esetén\\
$ A $ szimmetrikus $ \iff $ $ \exists $ $ SONB $ $ \mathbb { R } ^ { n } $ -ben és $ A $ minden sajátértéke valós.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Quadratikus alak} ]
$ A \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ és $ A ^ T = A $ esetén az $ A $ -hoz tartozó $ Q $ kvadratikus alak (vagy kvadratikus forma):\\
$ Q : \mathbb { R } ^ n \rightarrow \mathbb { R } $ , $ Q ( x ) = x ^ TAx $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Definitek} ]
$ x \in \mathbb { R } ^ n \setminus { 0 } $ -ra elnevezés:\\
\mmedskip
$ { \forall } { \lambda } _ k > 0 $ : $ Q ( x ) > 0 $ : Q pozitív definit\\
$ { \forall } { \lambda } _ k < 0 $ : $ Q ( x ) < 0 $ : Q negatív definit\\
$ { \forall } { \lambda } _ k \geq 0 $ : $ Q ( x ) \geq 0 $ : Q pozitív szemidefinit\\
$ { \forall } { \lambda } _ k \leq 0 $ : $ Q ( x ) \leq 0 $ : Q negatív szemidefinit\\
$ { \exists } { \lambda } _ j > 0 $ és $ { \exists } { \lambda } _ k < 0 $ : $ Q ( u _ j ) > 0 $ , $ Q ( u _ k ) < 0 $ : Q indefinit
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Karakterisztikus szorzat} ]
Legyen az $ A = $ $ \begin { bmatrix }
a_ { 11} & \cdots & a_ { 1n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_ { n1} & \cdots & a_ { nn}
\end { bmatrix} $ $ =$ $ A^ T \in \mathbb { R} ^ { n x n} $ Karakterisztikus szorzata: \\
\mmedskip
$ { \Delta } _ 0 $ $ = $ $ 1 $ ; $ { \Delta } _ 1 $ $ = $ $ a _ { 11 } $ ; $ { \Delta } _ 2 $ $ = $ $ \begin { vmatrix }
a_ { 11} & a_ { 12} \\
a_ { 21} & a_ { 22}
\end { vmatrix} $ ; $ { \Delta } _ 3$ $ =$ $ \begin { vmatrix}
a_ { 11} & a_ { 12} & a_ { 13} \\
a_ { 21} & a_ { 22} & a_ { 23} \\
a_ { 31} & a_ { 32} & a_ { 33}
\end { vmatrix} $ ; $ ...$ ; $ { \Delta } _ n$ $ =$ $ |A|$ . \\
\mmedskip
Az $ A $ -hoz tartozó $ Q $ pozitív definit $ \iff $ $ { \forall } j \in \{ 0 , 1 , . . . , n \} $ -re $ { \Delta } _ j > 0 $ .\\
Az $ A $ -hoz tartozó $ Q $ negatív definit $ \iff $ $ { \forall } j \in \{ 0 , 1 , . . . , [ n / 2 ] \} $ -re $ { \Delta } _ { 2 j } > 0 $ és $ { \forall } j \in
{ 0, 1, . . . , [(n - 1)/2]} $ - re $ { \Delta } _ { 2j + 1} < 0$ . \\
\mmedskip
Az első esetben azt mondják, hogy a karakterisztikus sorozat jeltartó, a másodikban pedig azt, hogy a karakterisztikus sorozat jelváltó (a $ { \Delta } _ 0 $ -t ne felejtsük ki!).
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: mátrix, tranzponáltja, skaláris szorzat} ]
Legyen $ A = A ^ T \in \mathbb { R } ^ { n x n } $ . Ha $ \lambda $ és $ \mu $ az $ A $ különböző sajátértékei, továbbá $ x \in W _ { \lambda } , y \in W _ { \mu } $ , akkor $ { \langle } x, y { \rangle } = 0 $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektortérhomomorfizmus, Vektortérizomorfizmus} ]
Legyen $ \varphi : \mathbb { R } ^ n \rightarrow \mathbb { R } ^ m $ .\\
$ \varphi $ vektortérhomomorfizmus [vagy homogén lineáris leképezés, vagy lineáris leképezés, vagy művelettartó leképezés $ + , \lambda $ -ra], ha\\
\begin { enumerate}
\item $ u, v \in \mathbb { R } ^ n $ $ \Rightarrow $ $ \varphi ( u + v ) = \varphi ( u ) + \varphi ( v ) $
\item $ { \lambda } \in \mathbb { R } , u \in \mathbb { R } ^ n $ $ \Rightarrow $ $ { \varphi } ( { \lambda } u ) = { \lambda } { \varphi } ( u ) $
\end { enumerate}
Ha egy lineáris leképezés, azaz vektortérhomomorfizmus netán bijektív, akkor vektortér-izomorfizmusnak hívjuk.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Egyértelmű kiterjesztés tétel} ]
Legyen $ e _ 1 , ..., e _ n $ bázis $ \in \mathbb { R } ^ n $ -ben; $ w _ 1 , ..., w _ n $ tetszőleges vektorok $ \mathbb { R } ^ m $ -ben. Ekkor $ { \exists } ! { \varphi } : \mathbb { R } ^ n \rightarrow \mathbb { R } ^ m $ vektortérhomomorfizmus, melyre $ \varphi ( e _ i ) = w _ i ( i = 1 , ..., n ) $ .
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektortérhomomorfizmus mátrixa} ]
Ha $ e _ 1 , ..., e _ n $ bázis $ \mathbb { R } ^ n $ -ben; $ f _ 1 , ..., f _ m $ bázis $ \mathbb { R } ^ m $ -ben,\\
$ \varphi : \mathbb { R } ^ n \rightarrow \mathbb { R } ^ m $ vektortérhomomorfizmus, akkor a $ \varphi $ mátrixa az $ e; f $ bázispárban\\
\mmedskip
$ [ { \varphi } ] ^ { e;f } $ $ : = $ $ [ [ { \varphi } ( e _ 1 ) ] _ f, ..., [ { \varphi } ( e _ n ) ] _ f ] \in \mathbb { R } ^ { m x n } $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektortérhomomorfizmusok halmaza} ]
$ Hom ( \mathbb { R } ^ n, \mathbb { R } ^ m ) $ jelölje a $ \mathbb { R } ^ n $ -ből $ \mathbb { R } ^ m $ -be képező vektortérhomomorfizmusok halmazát.\\
\mmedskip
$ \varphi , \psi \in Hom ( \mathbb { R } ^ n, \mathbb { R } ^ m ) $ esetén legyen\\
$ \varphi + \psi : \mathbb { R } ^ n \rightarrow \mathbb { R } ^ m $ úgy, hogy $ u \in \mathbb { R } ^ n $ -re\\
$ ( \varphi + \psi ) ( u ) = \varphi ( u ) + \psi ( u ) $ . \\
\mmedskip
$ { \lambda } \in \mathbb { R } $ és $ \varphi \in Hom ( \mathbb { R } ^ n, \mathbb { R } ^ m ) $ esetén legyen\\
$ { \lambda } _ { \phi } : \mathbb { R } ^ n \rightarrow \mathbb { R } ^ m $ úgy, hogy $ u \in \mathbb { R } ^ n $ -re\\
$ ( { \lambda } \varphi ) ( u ) = { \lambda } ( \varphi ( u ) ) $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektortérhomomorfizmus mátrixa} ]
Legyen $ V _ 1 = \mathbb { R } ^ n $ , $ V _ 2 = \mathbb { R } ^ m $ és $ V _ 3 = \mathbb { R } ^ s $ \\
$ \varphi \in Hom ( V _ 1 , V _ 2 ) $ , $ \psi \in Hom ( V _ 2 , V _ 3 ) $ .\\
Legyen $ { \psi } \varphi : V _ 1 \rightarrow V _ 3 $ úgy, hogy $ u \in V _ 1 $ -re $ ( { \psi } { \varphi } ) ( u ) = \psi ( \varphi ( u ) ) $ .\\
Könnyen látható, hogy a definiált $ { \psi } { \varphi } \in Hom ( V _ 1 , V _ 3 ) $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Képtér, magtér} ]
Legyen $ \varphi \in Hom ( \mathbb { R } ^ n, \mathbb { R } ^ m ) $ .\\
$ \varphi $ képtere: $ Im \varphi $ $ : = $ $ \{ v' | v' \in \mathbb { R } ^ m $ $ { \exists } u \in \mathbb { R } ^ n $ $ \varphi ( u ) = v' \} $ \\
$ \varphi $ magtere: $ Ker \varphi $ $ : = $ $ \{ x | x \in \mathbb { R } ^ n $ $ { \varphi } ( x ) = 0 ' \} $
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Sajtávektor, sajátérték} ]
Legyen $ \varphi \in Hom ( \mathbb { R } ^ n, \mathbb { R } ^ m ) $ .\\
Az $ u \in \mathbb { R } ^ n $ sajátvektora $ \varphi $ -nek, ha\\
\begin { enumerate}
\item $ u \neq 0 $ .
\item $ { \exists } { \lambda } _ 0 \in \mathbb { R } $ $ : $ $ \varphi ( u ) = { \lambda } _ 0 u $ .
\end { enumerate}
Ilyenkor a $ { \lambda } _ 0 $ az $ u $ sajátvektorhoz tartozó sajátértéke a $ \varphi $ -nek.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Sajátvektor, sajátérték, lineáris függetlenség} ]
Legyen $ \varphi \in Hom ( \mathbb { R } ^ n, \mathbb { R } ^ n ) $ ., továbbá $ u _ 1 , u _ 2 , ..., u _ k \in \mathbb { R } ^ n $ sajátvektorai $ \varphi $ -nek, továbbá $ { \lambda } _ 1 , { \lambda } _ 2 , ..., { \lambda } _ k \in \mathbb { R } $ a megfelelő sajátértékek, melyek páronként különbözök.\\
Ekkor $ u _ 1 , u _ 2 , ..., u _ k $ lineárisan független sajátvektorrendszer.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Sajátérték, sakátbázis} ]
Ha a $ \varphi \in Hom ( \mathbb { R } ^ n, \mathbb { R } ^ n ) $ lineáris transzformációnak $ n $ darab páronként különbözö sajátértéke van (ahol $ n = dim \mathbb { R } ^ n $ ), akkor létezik $ \mathbb { R } ^ n $ -ben SB, azaz a $ \varphi $ sajátvektoraiból álló bázis.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektortér dimenziója} ]
Az $ \mathbb { R } $ feletti $ V $ vektortér dimenziója:\\
$ dim V $ $ = $ $ \begin { cases }
0, & \text { ha } V = \{ \u { 0} \} \\
|B|, & \text { ha } V \neq \{ \u { 0} \} \text { és van véges G V-ben } \\
\infty & \text { egyébként}
\end { cases} $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektortér dimenziója} ]
Az $ \mathbb { R } $ feletti $ V $ vektortér dimenziója:\\
$ dim V $ $ = $ $ \begin { cases }
0, & \text { ha } V = \{ \u { 0} \} \\
|B|, & \text { ha } V \neq \{ \u { 0} \} \text { és van véges G V-ben } \\
\infty & \text { egyébként}
\end { cases} $
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektortérhomomorfizmus, Vektortérizomorfizmus} ]
Legyen Legyen $ V _ 1 $ és $ V _ 2 $ vektortér $ \mathbb { R } $ felett, $ \varphi : V _ 1 \rightarrow V _ 2 $ .\\
$ \varphi $ vektortérhomomorfizmus [vagy homogén lineáris leképezés, vagy lineáris leképezés, vagy művelettartó leképezés $ + , \lambda $ -ra], ha\\
\begin { enumerate}
\item $ u, v \in V _ 1 $ $ \Rightarrow $ $ \varphi ( u + v ) = \varphi ( u ) + \varphi ( v ) $
\item $ { \lambda } \in \mathbb { R } , u \in V _ 1 $ $ \Rightarrow $ $ { \varphi } ( { \lambda } u ) = { \lambda } { \varphi } ( u ) $
\end { enumerate}
Ha egy lineáris leképezés, azaz vektortérhomomorfizmus netán bijektív, akkor vektortér-izomorfizmusnak hívjuk.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Egyértelmű kiterjesztés tétel} ]
Legyen $ V _ 1 $ és $ V _ 2 $ vektortér az $ \mathbb { R } $ felett, $ dim V _ 1 $ $ = $ $ n > 0 $ , $ e _ 1 , ..., e _ n $ bázis $ V _ 1 $ -ben, $ w _ 1 , ..., w _ n $ tetszőleges vektorok $ V _ 2 $ -ben. Ekkor\\
$ { \exists } ! \varphi : V _ 1 \rightarrow V _ 2 $ vektortérhomomorfizmus, melyre $ \varphi ( e _ i ) = w _ i ( i = 1 , ..., n ) $ .
\end { tcolorbox}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektortérhomomorfizmus mátrixa} ]
Ha $ e _ 1 , ..., e _ n $ bázis $ V _ 1 $ -ben; $ f _ 1 , ..., f _ m $ bázis $ V _ 2 $ -ben,\\
$ \varphi : V _ 1 \rightarrow V _ 2 $ vektortérhomomorfizmus, akkor a $ \varphi $ mátrixa az $ e; f $ bázispárban\\
\mmedskip
$ [ { \varphi } ] ^ { e;f } $ $ : = $ $ [ [ { \varphi } ( e _ 1 ) ] _ f, ..., [ { \varphi } ( e _ n ) ] _ f ] \in \mathbb { R } ^ { m x n } $
\end { tcolorbox}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Lineáris tranzformáció} ]
Azok a lineáris leképezések, amelyeknél $ V _ 1 = V _ 2 = V $ .\\
Ilyenkor megállapodunk abban, hogy a mátrix definíciójában mindkét helyre ugyanazt a bázist vesszük:\\
Ha $ e _ 1 , ..., e _ n $ bázis $ V $ -ben, $ \varphi : V \rightarrow V $ lineáris transzformáció, akkor\\
$ [ \varphi ] ^ e $ $ : = $ $ [ \varphi ] ^ { e;e } $
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektortérhomomorfizmusok halmaza} ]
Legyen $ V _ 1 $ és $ V _ 2 $ vektortér $ \mathbb { R } $ felett. $ Hom ( V _ 1 , V _ 2 ) $ jelölje a $ V _ 1 $ -ből $ V _ 2 $ -be képező vektortérhomomorfizmusok halmazát.\\
\mmedskip
$ \varphi , \psi \in Hom ( V _ 1 , V _ 2 ) $ esetén legyen\\
$ \varphi + \psi : V _ 1 \rightarrow V _ 2 $ úgy, hogy $ u \in V _ 1 $ -re\\
$ ( \varphi + \psi ) ( u ) = \varphi ( u ) + \psi ( u ) $ . \\
\mmedskip
$ { \lambda } \in \mathbb { R } $ és $ \varphi \in Hom ( V _ 1 , V _ 2 ) $ esetén legyen\\
$ { \lambda } _ { \phi } : V _ 1 \rightarrow V _ 2 $ úgy, hogy $ u \in V _ 1 $ -re\\
$ ( { \lambda } \varphi ) ( u ) = { \lambda } ( \varphi ( u ) ) $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Képtér, magtér} ]
Legyen $ \varphi \in V _ 1 , V _ 2 $ , $ \varphi \in Hom ( V _ 1 , V _ 2 ) $ \\
$ \varphi $ képtere: $ Im \varphi $ $ : = $ $ \{ v' | v' \in V _ 2 $ $ { \exists } u \in V _ 1 $ $ \varphi ( u ) = v' \} $ \\
$ \varphi $ magtere: $ Ker \varphi $ $ : = $ $ \{ x | x \in V _ 1 $ $ { \varphi } ( x ) = 0 ' \} $
\end { tcolorbox}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Vektortér dimenziója} ]
Legyen $ V _ 1 $ és $ V _ 2 $ véges dimenziós vektortér $ \mathbb { R } $ felett. Ekkor\\
$ V _ 1 \cong V _ 2 $ $ \iff $ $ dim V _ 1 = dim V _ 2 $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Dimenzióösszefüggés} ]
Legyen $ V _ 1 $ és $ V _ 2 $ vektortér $ \mathbb { R } $ felett, $ \varphi \in Hom ( V _ 1 , V _ 2 ) $ . Ha $ V _ 1 $ véges dimenziós, akkor\\
$ dim Im \varphi + dim Ker \varphi = dim V _ 1 $ .\\
(Itt $ \varphi $ rangja: $ r ( \varphi ) = dim Im \varphi $ ; $ \varphi $ defektusa: $ d ( \varphi ) = dim Ker \varphi $ )
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Szorzástétel} ]
Legyen $ V _ 1 $ , $ V _ 2 $ és $ V _ 3 $ vektortér $ \mathbb { R } $ felett, dimenziójuk rendre $ n, m, s $ (pozitív egészek); $ e _ 1 , ..., e _ n $ bázis $ V _ 1 $ -ben; $ f _ 1 , ..., f _ m $ bázis $ V _ 2 $ -ben; $ g _ 1 , ..., g _ s $ bázis $ V _ 3 $ -ban; $ \varphi \in Hom ( V _ 1 , V _ 2 ) $ , $ \psi \in Hom ( V _ 2 , V _ 3 ) $ . Ekkor\\
$ [ { \psi } { \varphi } ] ^ { e;g } = [ { \psi } ] ^ { f ;g } [ { \varphi } ] ^ { e;f } $ .
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Új bázisba való áttérés} ]
Legyen $ V $ vektortér $ \mathbb { R } $ felett; $ dim V = n > 0 $ ; $ e _ 1 , ..., e _ n $ bázis $ V $ -ben; $ e' _ 1 , ..., e' _ n $ bázis $ V $ -ben.\\
Ekkor $ { \exists } ! { \tau } \in Hom ( V, V ) : { \tau } ( e _ i ) = e' _ i ( i = 1 , ..., n ) $ .\\
\mmedskip
Legyen $ D = [ { \tau } ] ^ e $ .\\
Ekkor $ D $ invertálható, és tetszőleges $ \varphi \in Hom ( V, V ) $ esetén\\
\mmedskip
$ [ { \varphi } ] ^ { e' } = D ^ { - 1 } [ { \varphi } ] ^ eD $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Skaláris szorzat} ]
Legyen $ \mathbb { K } = \mathbb { R } $ vagy $ \mathbb { K } = \mathbb { C } $ , továbbá $ V $ vektortér a $ \mathbb { K } $ felett.\\
Korábban egy skaláris szorzatnak nevezett $ { \langle } x, y { \rangle } $ $ : $ $ V x V \rightarrow \mathbb { K } $ függvényre teljesültek a következők minden $ x, y, z \in V $ és $ \lambda \in \mathbb { K } $ esetén:\\
\begin { enumerate}
\item $ { \langle } x, y { \rangle } = \overline { { \langle } x, y { \rangle } } $
\item $ { \langle } { \lambda } x, y { \rangle } = { \lambda } { \langle } x, y { \rangle } $ , $ { \langle } x, { \lambda } y { \rangle } = \overline { { \lambda } } { \langle } x, y { \rangle } $
\item $ { \langle } x, y + z { \rangle } = { \langle } x, y { \rangle } + { \langle } x, z { \rangle } $ , $ { \langle } y + z, x { \rangle } = { \langle } y, x { \rangle } + { \langle } z, x { \rangle } $ .
\item $ { \langle } x, x { \rangle } $ mindíg (valós és) nemnegatív
\item $ { \langle } x, x { \rangle } $ $ = $ $ 0 $ $ \iff $ $ x = 0 $
\end { enumerate}
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Skaláris szorzat} ]
Legyen $ \mathbb { K } = \mathbb { R } $ vagy $ \mathbb { K } = \mathbb { C } $ , továbbá $ V $ vektortér a $ \mathbb { K } $ felett.\\
Az $ \mathcal { A } ( x, y ) : V x V \rightarrow \mathbb { K } $ függvényt $ V $ -n értelmezett ($ \mathbb { K } $ -tól függően valós vagy komplex) bilineáris függvénynek, bilineáris alaknak, vagy bilineáris formának hívjuk, ha teljesülnek a következők minden $ x, y, z \in V $ és $ \lambda \in \mathbb { K } $ esetén:
\begin { enumerate}
\item $ \mathcal { A } ( { \lambda } x, y ) = { \lambda } \mathcal { A } ( x, y ) $ , $ \mathcal { A } ( x, { \lambda } y ) = \overline { { \lambda } } \mathcal { A } ( x, y ) $
\item $ \mathcal { A } ( x, y + z ) = \mathcal { A } ( x, y ) + \mathcal { A } ( x, z ) $ , $ \mathcal { A } ( y + z, x ) = \mathcal { A } ( y, x ) + \mathcal { A } ( z, x ) $ .
\end { enumerate}
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-26 23:15:06 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Bilineáris alak} ]
Legyen az $ \mathcal { \mathcal { A } } ( x, y ) : V x V \rightarrow \mathbb { K } $ a $ V $ -n értelmezett bilineáris alak, továbbá $ e _ 1 , ..., e _ n $ bázis $ V $ -ben. $ [ \mathcal { A } ] ^ e \in \mathbb { K } ^ { nxn } $ , éspedig minden szóbajövő $ j, k $ esetén $ ( a _ { jk } = ) $ $ { } _ { j } [ \mathcal { A } ] _ k ^ e =
\mathcal { A} (e_ j, e_ k)$ .
Így az előbbi kifejezés a következő formában is írható:\\
\mmedskip
$ \mathcal { A } ( \sum _ { j = 1 } ^ n x _ je _ j, \sum _ { k = 1 } ^ n y _ ke _ k ) = \sum _ { j = 1 } ^ n \sum _ { k = 1 } ^ n x _ j \overline { y _ k } a _ { jk } $ \\
\mmedskip
speciálisan:\\
$ \mathcal { A } ( \sum _ { j = 1 } ^ n x _ je _ j, \sum _ { k = 1 } ^ n x _ ke _ k ) = \sum _ { j = 1 } ^ n \sum _ { k = 1 } ^ n x _ j \overline { x _ k } a _ { jk } $ \\
\mmedskip
ugyanez $ \mathbb { K } = \mathbb { R } $ esetén:\\
$ \mathcal { A } ( \sum _ { j = 1 } ^ n x _ je _ j, \sum _ { k = 1 } ^ n x _ ke _ k ) = \sum _ { j = 1 } ^ n \sum _ { k = 1 } ^ n x _ j x _ k a _ { jk } $ \\
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Hermite-féle bilineáris alak} ]
Legyen az $ \mathcal { A } ( x, y ) : V x V \rightarrow \mathbb { K } $ a $ V $ -n értelmezett bilineáris alak. Azt mondjuk, hogy az $ \mathcal { A } $ Hermite-féle bilineáris alak ($ \mathbb { K } = \mathbb { R } $ esetén a szimmetrikus bilineáris alak kifejezés is használatos), ha $ x, y \in V $ esetén teljesül:\\
$ \mathcal { A } ( y, x ) = \mathcal { A } ( x, y ) $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Szimmetrikus bilineáris alak} ]
Legyen $ \mathbb { K } = \mathbb { R } $ , az $ \mathcal { A } ( x, y ) : V x V \rightarrow \mathbb { R } $ pedig $ V $ -n értelmezett szimmetrikus bilineáris alak (tehát most minden $ x, y \in V $ esetén teljesül: $ \mathcal { A } ( y, x ) = \mathcal { A } ( x, y ) $ ). Ekkor az $ \mathcal { A } $ -hoz tartozó $ \mathcal { Q } $ kvadratikus alak:\\
$ \mathcal { Q } : V \rightarrow \mathbb { R } $ , $ \mathcal { Q } ( x ) = \mathcal { A } ( x, x ) $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Kvadratikus alak} ]
Legyen $ \mathbb { K } = \mathbb { C } $ , az $ \mathcal { A } ( x, y ) : V x V \rightarrow \mathbb { C } $ pedig $ V $ -n értelmezett bilineáris alak. Ekkor az $ \mathcal { A } $ -hoz tartozó kvadratikus alak:\\
$ \mathcal { Q } : V \rightarrow \mathbb { C } $ , $ \mathcal { Q } ( x ) = \mathcal { A } ( x, x ) $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Szimmetrikus bilineáris alak, kvadratikus alak} ]
Legyen $ \mathbb { K } = \mathbb { R } $ , az $ \mathcal { A } ( x, y ) : V x V \rightarrow \mathbb { R } $ pedig $ V $ -n értelmezett szimmetrikus bilineáris alak (tehát most minden $ x, y \in V $ esetén teljesül: $ \mathcal { A } ( y, x ) = \mathcal { A } ( x, y ) $ ). Ekkor az $ \mathcal { A } $ minden értéke kifejezhető az $ \mathcal { A } $ -hoz tartozó $ \mathcal { Q } $ kvadratikus alak alkalmas értékei segítségével.
\end { tcolorbox}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Szimmetrikus bilineáris alak, kvadratikus alak} ]
Legyen $ \mathbb { K } = \mathbb { R } $ , az $ \mathcal { A } ( x, y ) : V x V \rightarrow \mathbb { R } $ pedig $ V $ -n értelmezett szimmetrikus bilineáris alak (tehát most minden $ x, y \in V $ esetén teljesül: $ \mathcal { A } ( y, x ) = \mathcal { A } ( x, y ) $ ). Ekkor az $ \mathcal { A } $ minden értéke kifejezhető az $ \mathcal { A } $ -hoz tartozó $ \mathcal { Q } $ kvadratikus alak alkalmas értékei segítségével.
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
%Kiegészítések / Számolások
\begin { comment}
2018-04-04 16:00:37 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Bázistranzformáció} ]
Kérdés: Hány dimenziós?\\
\begin { center}
\begin { tabular} { c|c c c c }
\hline
& a & b & c & d \\
$ { e _ 1 } $ & 3 & 9 & 1 & 5 \\
$ { e _ 2 } $ & 2 & 10 & 2 & 2 \\
$ { e _ 3 } $ & -1 & 1 & 1 & -3 \\
$ { e _ 4 } $ & 0 & -3 & -1 & 1 \\
$ { e _ 5 } $ & 1 & 2 & 0 & 2 \\
\hline
\end { tabular}
\end { center}
\mmedskip
asd
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
\end { comment}
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\end { document}
