2018-02-25 19:17:05 +01:00
% Compile twice!
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
% !TEX root = ./Headers/PrezA4Page.tex
% Uncomment these to get the presentation form
%\documentclass{beamer}
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
%\documentclass[10pt]{article}
%\usepackage{geometry}
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
%\usepackage{beamerarticle}
%\renewcommand{\\}{\par\noindent}
%\setbeamertemplate{note page}[plain]
% Half A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% "1/3" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/6" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/5" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/4" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
%\usepackage{pgfpages}
% Choose one
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
% Includes
\usepackage { tikz}
\usepackage { tkz-graph}
\usetikzlibrary { shapes,arrows,automata}
\usepackage [T1] { fontenc}
\usepackage { amsfonts}
\usepackage { amsmath}
\usepackage [utf8] { inputenc}
\usepackage { booktabs}
\usepackage { array}
\usepackage { arydshln}
\usepackage { enumerate}
\usepackage [many, poster] { tcolorbox}
\usepackage { pgf}
\usepackage [makeroom] { cancel}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
\usepackage { verbatim}
2018-02-25 19:17:05 +01:00
% Colors
\definecolor { myred} { rgb} { 0.87,0.18,0}
\definecolor { myorange} { rgb} { 1,0.4,0}
\definecolor { myyellowdarker} { rgb} { 1,0.69,0}
\definecolor { myyellowlighter} { rgb} { 0.91,0.73,0}
\definecolor { myyellow} { rgb} { 0.97,0.78,0.36}
\definecolor { myblue} { rgb} { 0,0.38,0.47}
\definecolor { mygreen} { rgb} { 0,0.52,0.37}
\colorlet { mybg} { myyellow!5!white}
\colorlet { mybluebg} { myyellowlighter!3!white}
\colorlet { mygreenbg} { myyellowlighter!3!white}
\setbeamertemplate { itemize item} { \color { black} $ - $ }
\setbeamertemplate { itemize subitem} { \color { black} $ - $ }
\setbeamercolor * { enumerate item} { fg=black}
\setbeamercolor * { enumerate subitem} { fg=black}
\setbeamercolor * { enumerate subsubitem} { fg=black}
2018-04-17 19:53:24 +02:00
\renewcommand { \familydefault } { \sfdefault }
%\renewcommand{\familydefault}{\rmdefault}
\renewcommand { \footnotesize } { \fontsize { 1.2em} { 0.2em} }
\renewcommand { \normalsize } { \fontsize { 1.2em} { 0.2em} }
\renewcommand { \large } { \footnotesize }
\renewcommand { \Large } { \footnotesize }
\renewcommand { \scriptsize } { \footnotesize }
\renewcommand { \LARGE } { \footnotesize }
\renewcommand { \Huge } { \footnotesize }
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\renewcommand { \tiny } { \footnotesize }
\renewcommand { \small } { \footnotesize }
2018-04-17 19:53:24 +02:00
\fontsize { 1.2em} { 0.2em}
\selectfont
\newcommand { \RHuge } { \fontsize { 1.8em} { 0.3em} \selectfont }
\newsavebox \CBox
%\newcommand<>*\textBF[1]{\sbox\CBox{#1}\resizebox{\wd\CBox}{\ht\CBox}{\textbf#2{#1}}}
\newcommand <>*\textBF [1] { \only #2{ \sbox \CBox { #1} \resizebox { \wd \CBox } { \ht \CBox } { \textbf { #1} } } }
2018-02-25 19:17:05 +01:00
% These are different themes, only uncomment one at a time
2018-04-17 19:53:24 +02:00
\tcbset { enhanced,fonttitle=\mdseries ,boxsep=7pt,arc=0pt,colframe={ myyellowlighter} ,colbacktitle={ myyellow} ,colback={ mybg} ,coltitle={ black} , coltext={ black} ,attach boxed title to top left={ xshift=-2mm,yshift=-2mm} ,boxed title style={ size=small,arc=0mm} }
2018-02-25 19:17:05 +01:00
%\tcbset{colback=yellow!5!white,colframe=yellow!84!black}
%\tcbset{enhanced,colback=red!10!white,colframe=red!75!black,colbacktitle=red!50!yellow,fonttitle=
%\tcbset{enhanced,attach boxed title to top left}
%\tcbset{enhanced,fonttitle=\bfseries,boxsep=5pt,arc=8pt,borderline={0.5pt}{0pt}{red},borderline={0.5pt}{5pt}{blue,dotted},borderline={0.5pt}{-5pt}{green}}
% Beamer theme
\usetheme { boxes}
% tikz settings for the flowchart(s)
\tikzstyle { decision} = [diamond, minimum width=3cm, minimum height=1cm, text centered, draw=black, fill=green!15]
\tikzstyle { tcolorbox} = [rectangle, draw, fill=blue!15, text width=20em, text centered, minimum height=1em]
\tikzstyle { line} = [draw, -latex']
\tikzstyle { cloud} = [draw, ellipse,fill=red!20, node distance=3cm,
minimum height=2em]
\tikzstyle { arrow} = [thick,->,>=stealth]
\newcolumntype { C} [1]{ >{ \centering \let \newline \\ \arraybackslash \hspace { 0pt} } m{ #1} }
\renewcommand { \arraystretch } { 1.2}
\setlength \dashlinedash { 0.2pt}
\setlength \dashlinegap { 1.5pt}
\setlength \arrayrulewidth { 0.3pt}
\newcommand { \mtinyskip } { \vspace { 0.2em} }
\newcommand { \msmallskip } { \vspace { 0.3em} }
\newcommand { \mmedskip } { \vspace { 0.5em} }
\newcommand { \mbigskip } { \vspace { 1em} }
2018-02-25 23:42:17 +01:00
\renewcommand { \u } [1]{ \underline { #1} }
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\begin { document}
\begin { frame} [plain]
\begin { tcolorbox} [center, colback={ myyellow} , coltext={ black} , colframe={ myyellow} ]
2018-04-17 19:53:24 +02:00
{ \RHuge Lineáris Algebra és Geometria} \\
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\end { tcolorbox}
\end { frame}
%\begin{tcolorbox}[title={Def.: }]
%\end{tcolorbox}
% -------------------- HALMAZOK, RELÁCIÓK --------------------
\begin { frame} [plain]
\begin { tcolorbox} [center, colback={ myyellow} , coltext={ black} , colframe={ myyellow} ]
2018-04-17 19:53:24 +02:00
{ \RHuge Vektorterek, Leképzések}
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\mmedskip
\end { tcolorbox}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Linearitás} ]
$ f $ leképzés lineáris, ha:\\
2018-02-25 23:42:17 +01:00
\begin { itemize}
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\item $ f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) $
2018-02-25 23:42:17 +01:00
\item $ { \lambda } f ( a ) = f ( { \lambda } b ) $
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\end { itemize}
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektorok} ]
2018-02-25 23:42:17 +01:00
$ \u { a } = ( a _ 1 , a _ 2 ) , \u { b } = ( b _ 1 , b _ 2 ) $ \\
\mmedskip
Összeadás: $ \u { a + b } = ( a _ 1 + b _ 1 , a _ 2 + b _ 2 ) $ \\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
Nyújtás: $ { \lambda } a = ( a _ 1 , a _ 2 ) \lor { \lambda } \u { a } = ( { \lambda } a _ 1 , { \lambda } a _ 2 ) $
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\end { tcolorbox}
2018-02-25 23:42:17 +01:00
2018-03-18 22:32:51 +01:00
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Összeadás} ]
\begin { align}
\u { a} + \u { b} & = \begin { bmatrix}
a_ 1 + b_ 1 \\
a_ 2 + b_ 2 \\
... \\
a_ n + b_ n
\end { bmatrix}
\end { align}
\tcblower
2018-04-17 19:53:24 +02:00
\textBF { Tulajdonságok} \\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
\msmallskip
\begin { enumerate}
\item Van értelme
\item Kommutativitás - $ \u { a } + \u { b } = \u { b } + \u { a } $
\item Asszociativitás - $ ( \u { a } + \u { b } ) + \u { c } = \u { a } + ( \u { b } + \u { c } ) $
\item Van nullelem - $ { \exists } 0 \rightarrow \u { 0 } $
\item Minden elemre létezik additív inverz - $ { \forall } \u { a } \in \mathbb { R } ^ n : { \exists } \u { - a } $ , ahol $ \u { a } + \u { - a } = \u { 0 } $ \\
$ \u { - a } = - 1 \cdot \u { a } = \u { - a } $ , $ \u { a } + \u { - a } = \u { 0 } $
\end { enumerate}
\end { tcolorbox}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Szorzás számmal} ]
\begin { align}
\u { a} + \u { b} & = \begin { bmatrix}
{ \lambda } a_ 1 \\
{ \lambda } a_ 2 \\
... \\
{ \lambda } a_ n
\end { bmatrix}
\end { align}
\tcblower
2018-04-17 19:53:24 +02:00
\textBF { Tulajdonságok} \\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
\msmallskip
\begin { enumerate}
\item Van értelme
\item Asszociativitás $ { \lambda } , { \mu } \in \mathbb { R } $ , $ ( { \lambda } { \mu } ) \u { a } = { \lambda } ( { \mu } \u { a } ) $
\item Disztributivitás $ { \lambda } , { \mu } \in \mathbb { R } $ , $ ( { \lambda } + { \mu } ) \u { a } = { \lambda } \u { a } + { \mu } \u { b } $
\item Disztributivitás $ \u { a } , \u { b } \in \mathbb { R } ^ n, { \lambda } \in \mathbb { R } $ , $ { \lambda } \u { a } + \u { b } ) = { \lambda } \u { a } + { \lambda } \u { b } $
\item Létezik egységelem. $ 1 \cdot \u { a } = \u { a } $
\end { enumerate}
\end { tcolorbox}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektortér} ]
$ \mathbb { R } ^ n $ vektortér $ \mathbb { R } $ felett, ha igazak rá az összeadás, és a szorzás tulajdonságai.\\
\mmedskip
Azaz, ha egy $ V \neq \emptyset $ tudja ezeket a tulajdonságokat, akkor $ V $ vektortér $ \mathbb { R } $ felett.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Altér} ]
Azt mondjuk, hogy $ W \leq \mathbb { R } ^ n $ altere $ \mathbb { R } ^ n $ -nek, ha
\begin { enumerate}
\item $ W \neq \emptyset $
\item Ha zárt az összeadásra ($ \u { a } , \u { b } \in W \Rightarrow \u { a } + \u { b } \in W $ )
\item Ha zárt a számmal való szorzásra ($ \u { a } \in W, { \lambda } \u { a } \in W $ )
\end { enumerate}
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Megj} ]
$ \mathbb { R } ^ 2 $ $ \rightarrow $ alterei: $ x, y $ tengely\\
$ \mathbb { R } ^ 3 $ $ \rightarrow $ alteret: A síkok is.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektorrendszer, Lineáris kombináció} ]
2018-04-17 19:53:24 +02:00
\textBF { Vektorrendszer} :\\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
Legyen $ k \geq 1 $ egész. és legyenek $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } \in \mathbb { R } ^ n $ .\\
2018-04-17 19:53:24 +02:00
Ezeket a vektorokat együtt \textBF { vektorrendszernek} hívjuk.\\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
\msmallskip
2018-04-17 19:53:24 +02:00
\textBF { Lineáris kombináció} :\\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
Legyenek $ { \lambda } _ 1 , { \lambda } _ 2 , ..., { \lambda } _ k \in \mathbb { R } $ adottak,\\
ekkor a $ { \lambda } _ 1 \u { v _ 1 } + { \lambda } _ 2 \u { v _ 2 } + ... + { \lambda } _ k \u { v _ k } $ kifejezést a\\
$ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } $ vektorrendszer \u { lineáris kombinációjának} nevezzük.\\
\msmallskip
2018-04-17 19:53:24 +02:00
\textBF { triviális lineáris kombináció} :\\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
Ha $ { \lambda } _ 1 = { \lambda } _ 2 = ... = { \lambda } _ k = 0 $ , akkor a lineáris kombináció triviális.
\end { tcolorbox}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Lineáris összefüggőség} ]
Legyen $ k \geq 1 $ egész. és legyen $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } \in \mathbb { R } ^ n $ . vektorrendszer.\\
2018-04-17 19:53:24 +02:00
Ekkor azt mondjuk, hogy a $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } $ vektorrendszerünk \textBF { lineárisan összefüggő} , ha létezik nemtriviális lineáris kombinációja, melyre:\\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
$ { \lambda } _ 1 \u { v _ 1 } + { \lambda } _ 2 \u { v _ 2 } + ... + { \lambda } _ k \u { v _ k } = \u { 0 } $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Lineáris függetlenség} ]
Legyen $ k \geq 1 $ egész. és legyen $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } \in \mathbb { R } ^ n $ . vektorrendszer.\\
2018-04-17 19:53:24 +02:00
Ekkor azt mondjuk, hogy a $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } $ vektorrendszerünk \textBF { lineárisan független} , ha csak a triviális lineáris kombinációjára igaz, hogy:\\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
$ { \lambda } _ 1 \u { v _ 1 } + { \lambda } _ 2 \u { v _ 2 } + ... + { \lambda } _ k \u { v _ k } = \u { 0 } $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Bázis} ]
Legyen $ V \leq \mathbb { R } ^ k $ altér, és legyen adott $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } $ vektorrendszer.\\
2018-04-17 19:53:24 +02:00
Azt mondjuk, hogy a $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } $ vektorrendszer \textBF { bázis} $ V $ -ben, ha:\\
2018-03-18 22:32:51 +01:00
\begin { itemize}
\item Lineárisan függetlenek
\item Tetszőleges eleme $ V $ -nek előáll belőlük lineáris kobinációként.
\end { itemize}
\mmedskip
(Megj: $ n $ dimenzóban $ n $ elemű egy bázis)
\end { tcolorbox}
2018-03-19 13:59:50 +01:00
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Lineáris kombináció, és bázisok} ]
2018-04-17 19:53:24 +02:00
$ \u { b _ 1 } , \u { b _ 2 } , ..., \u { b _ k } $ bázis $ V $ -ben, akkor $ \forall \u { v } \in V $ elem \textBF { egyértelműen} előáll belőle lineáris kombinációjaként.
2018-03-19 13:59:50 +01:00
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Bázisok, és Lineáris kombináció} ]
Ha a $ \u { v _ 1 } , \u { v _ 2 } , ..., \u { v _ k } $ vektorrendszer olyan V-ben, hogy ha $ \forall a \in V $ egyértelműen létezik $ { \alpha } _ 1 , ..., { \alpha } _ k \in \mathbb { R } $ , hogy $ \u { a } = { \alpha } _ 1 \u { b _ 1 } + { \alpha } _ 2 \u { b _ 2 } + ... + { \alpha } _ k \u { b _ k } \Rightarrow \u { b _ 1 } , \u { b _ 2 } , ..., \u { b _ k } $ bázis.
\end { tcolorbox}
2018-03-18 22:32:51 +01:00
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Bázistransformáció} ]
Legyen $ V \leq \mathbb { R } ^ n $ , $ \u { b _ 1 } , u { b _ 2 } , ..., u { b _ k } $ bázis $ V $ -ben.\\
Legyen $ a \in V $ adott, és $ \u { a } = { \alpha } _ 1 \u { v _ 1 } + { \alpha } _ 2 \u { v _ 2 } + ... + { \alpha } _ k \u { v _ k } $ .\\
2018-03-19 13:59:50 +01:00
Ekkor $ \u { b _ 1 } , u { b _ 2 } , ..., u { b _ k } \iff { \alpha } _ i \neq 0 $ bázis.\\
\mmedskip
Akkor cserélhetjük ki, ha az együtthatója nem 0 az $ \u { a } $ -ban.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Képlet} ]
$ x _ j = x _ j - \frac { x _ i } { { { \alpha } _ i } } { \alpha } _ j $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Öf táblázat} ]
\end { tcolorbox}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Lineáris függőség} ]
2018-04-17 19:53:24 +02:00
$ A \neq \emptyset $ , $ A \subseteq \mathbb { R } ^ n $ , azt mondjuk hogy $ \u { v } \in \mathbb { R } ^ n $ \textBF { lineárisan függ} $ A $ -tól,\\
2018-03-19 13:59:50 +01:00
ha létezik véges sok elem $ A $ -ban, hogy $ \u { v } $ előáll az ő lineáris kombinációjaként.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Lineáris függőség} ]
$ k \geq 2 $ , $ \u { a _ 1 } , u { a _ 2 } , ..., u { a _ k } \in \mathbb { R } ^ n $ ,\\
ekkor $ \u { a _ 1 } , u { a _ 2 } , ..., u { a _ k } $ összefüggő $ \iff $ $ \exists i \in \{ 1 , ..., k \} $ , hogy $ a _ i $ lineárisan függ a többitől.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Áll.: Lineáris függőség} ]
Ha$ \u { a _ 1 } , u { a _ 2 } , ..., u { a _ k } $ , $ \u { b } \in \mathbb { R } ^ n $ \\
$ \u { a _ 1 } , u { a _ 2 } , ..., u { a _ k } $ lineárisan független, de $ \u { a _ 1 } , u { a _ 2 } , ..., u { a _ k } , \u { b } $ lineárisan összefüggő, akkor\\
$ \u { b } $ lineárisan független az $ \u { a _ 1 } , u { a _ 2 } , ..., u { a _ k } $ vektorrendszertől.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Halmaz által generált altér / Lineáris Burok} ]
$ A \neq \emptyset $ , $ A \leq \mathbb { R } ^ n $ :\\
$ : W ( A ) = \{ \u { b } \in \mathbb { R } ^ n | \u { v } $ lineárisan függ $ A $ -tól $ \} $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Vektor koordinátái} ]
\begin { align}
[a]_ { \u { b_ 1} , \u { b_ 2} , ..., \u { b_ k} } & = \begin { bmatrix}
{ \lambda } a_ 1 \\
{ \lambda } a_ 2 \\
... \\
{ \lambda } a_ n
\end { bmatrix} \in \mathbb { R} ^ k
\end { align}
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Altér} ]
$ W ( A ) $ altér $ ( A \neq \emptyset ) $
2018-03-18 22:32:51 +01:00
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-03-19 13:59:50 +01:00
2018-03-30 02:41:45 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Alterek metszete} ]
Ha $ V _ 1 $ és $ V _ 2 $ is altér $ \Rightarrow $ $ V _ 1 \cap V _ 2 $ is altér.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Span} ]
2018-04-17 19:53:24 +02:00
Azt mondjuk, hogy az $ A \subseteq \mathbb { R } ^ n $ halmaz által \textBF { generált / kifeszített altér} az $ A $ -t tartalmazó alterek / vektorterek metszete.\\
2018-03-30 02:41:45 +02:00
\msmallskip
Jel.: $ Span ( A ) $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Span és Lineáris burok} ]
$ Span ( A ) = W ( A ) $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Generátorrendszer} ]
2018-04-17 19:53:24 +02:00
Azt mondjuk, hogy $ G $ vektorrendszer \textBF { generátorrendszere} $ V $ altérnek, ha $ Span ( G ) = W ( G ) $
2018-03-30 02:41:45 +02:00
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Generátorrendszer létezése} ]
Ha $ V \leq \mathbb { R } ^ n $ -ben létezik véges méretű generátorrendszer $ \Rightarrow $ belőle kiválasztható bázis.
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-03-19 13:59:50 +01:00
2018-03-30 02:41:45 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Kicserélési tétel} ]
Legyen $ V \leq \mathbb { R } ^ n $ , legyen $ a _ 1 , ..., a _ k $ lineárisan független, és $ b _ 1 , ..., b _ n $ generátorrendszer. Ekkor:\\
\begin { itemize}
\item $ \exists j $ , hogy tetszőleges $ i $ -re $ v _ j, a _ 2 , ..., a _ k $ is Lineárisan független.\\
(megj.: Igazából $ a _ 1 , ..., a _ k $ bármilyen eleme lecserélhető)
\item $ |LF| \leq |GR| $ ($ |LF| $ = $ LF $ elemszáma, $ LF $ = $ a _ 1 , ..., a _ k $ )
\end { itemize}
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel.: Bázis} ]
Ha $ V \leq \mathbb { R } ^ n, $ és $ B _ 1 , B _ 2 $ bázis, akkor\\
$ |B _ 1 | < + \infty \rightarrow |B _ 1 | = |B _ 2 | $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Bázis} ]
\begin { itemize}
\item Minden bázis mérete $ \mathbb { R } ^ n $ -ben $ n $
2018-03-31 00:41:13 +02:00
\item $ V \leq \mathbb { R } ^ n $ és van véges generátorrendszer $ \Rightarrow $ Leszűkíthető bázissá.
\item $ V \leq \mathbb { R } ^ n $ és $ v _ 1 , ..., v _ k $ vektorrendszer lineárisan független a $ V $ -ben. $ \Rightarrow $ Leszűkíthető bázissá.
2018-03-30 02:41:45 +02:00
\end { itemize}
2018-03-31 00:41:13 +02:00
\mmedskip
Ezekből követketik, hogy a bázis a maximális elemszámú lineárisan független vektorrendszer.\\
\mmedskip
Maximális lineárisan független vektorrendszer elemszáma = minimális generátorrendszer elemszáma = bázis elemszáma
2018-03-30 02:41:45 +02:00
\end { tcolorbox}
2018-03-31 00:41:13 +02:00
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Dimenzió} ]
$ V \leq \mathbb { R } ^ n $ dimenziója:\\
\mmedskip
\[
dim(V) =
\begin { cases}
0, & \text { ha } V = \{ \u { 0} \} \\
|B|, & \text { ha } V \neq \{ \u { 0} \} \text { (B a V-nek egy bázisa.) } \\
\end { cases}
\]
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Rang} ]
$ v _ 1 , ..., v _ k \in \mathbb { R } ^ n $ vektorrendszer rangja, az általuk generált altér dimenziója.
\end { tcolorbox}
2018-03-30 02:41:45 +02:00
\end { frame}
2018-04-04 16:00:37 +02:00
2018-05-21 20:07:08 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Mátrix} ]
Legyen $ e _ k $ adott $ a _ k $ az $ m $ és $ n $ pozitív egész számok, továbbá minden
$ i \in \{ 1 , ..., m \} és j \in \{ 1 , ..., n \} $ esetére az $ aij $ valós számok. Az
táblázatot egy $ \mathbb { R } $ feletti mátrixnak nevezzük, és $ A $ -val jelöljük, részletesebben $ A = [ aij ] mn $ , vagy
Az $ A $ mátrix $ i $ -ed $ i _ k $ sora $ j $ -edik elemén $ e _ k $ jelölése: $ aij $ vagy $ i [ A ] j $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Mátrixok egyenlősége} ]
Az $ A $ és a $ B $ mátrixok egyenlők, ha alakjuk azonos (mondjuk $ m x n $ -es) és a megfelelő elemeik megegyeznek, azaz minden „szóbajövő" $ i $ , $ j $ párra $ ( 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n ) $ teljesül, hogy $ i [ A ] j = i [ B ] j $ . Az $ \mathbb { R } $ feletti $ m x n $ -es mátrixok halmazát $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ -mel jelöljük ($ \mathbb { R } ^ { m } $ = $ \mathbb { R } ^ { m x 1 } $ ).
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Mátrix összeadás, számmal való szorzás} ]
Az $ \mathbb { R } ^ { m } $ -beli komponensenkénti összeadás és valós számmal való szorzás (1/2) mintájára természetes módon kínálkoznak $ m x n $ -es mátrixok esetén a megfelelő elemek összeadásával, illetve az összes elemnek egy valós számmal szorzásával a következő műveletek:
$ + $ : $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ x $ \mathbb { R } ^ { m x n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { m x n } $ , A, B $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ esetén $ A + B $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ és minden szóbajövő
$ i, j $ -re $ _ { i } [ A + B ] _ j $ = $ _ { i } [ A ] _ j + _ { i } [ B ] _ j $ .
$ { \lambda } $ : $ \mathbb { R } $ x $ \mathbb { R } ^ { m x n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { m x n } $ , $ { \lambda } \in \mathbb { R } $ , $ A \in \mathbb { R } ^ { m x n } $ esetén $ { \lambda } A \in \mathbb { R } ^ { m x n } $ és minden szóbajövő $ i, j $ -re $ _ { i } [ { \lambda } A ] _ j $ = $ { \lambda } _ { i } [ A ] _ j $ .
Az $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ -re is teljesül az 1/3 oldali 10 tulajdonság megfelelője a fenti $ + $ , $ { \lambda } $ műveletekre nézve, így $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ -et is $ \mathbb { R } $ feletti vektortérnek mondjuk.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Nullmátrix} ]
2018-05-22 00:43:28 +02:00
Nullmátrix: 0 := $ \begin { bmatrix }
2018-05-21 20:07:08 +02:00
{ \lambda } a_ 1 \\
{ \lambda } a_ 2 \\
... \\
{ \lambda } a_ n
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\end { bmatrix} \in \mathbb { R} ^ k$
2018-05-21 20:07:08 +02:00
\end { tcolorbox}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Mátrixszorzás} ]
2018-05-22 00:43:28 +02:00
$ A $ $ in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ , $ B $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n x k } $ esetén $ AB $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x k } $ úgy, hogy minden szóbajövő $ i, j $ -re (most $ 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq k $ )
\mmedskip
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-22 00:43:28 +02:00
$ _ { i } [ AB ] _ j $ $ = $ $ _ { i } [ A ] _ 1 $ $ _ { 1 } [ B ] _ j $ + $ _ { i } [ A ] _ 2 $ $ _ { 2 } [ A ] _ j $ + $ ... $ + $ _ { i } [ A ] _ n $ $ _ { n } [ B ] _ j $ = $ \sum _ { l = 1 } ^ n $ $ _ { i } [ A ] _ l $ $ _ { l } [ B ] _ j $
\mmedskip
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-22 00:43:28 +02:00
Ez az ún. sor-oszlop szorzás: a szorzatmátrix i-edik sora j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorának és a jobb oldali mátrix j-edik oszlopának megfelelő elemeit összeszorozzuk, s a kapott szorzatokat összeadjuk.
2018-05-21 20:07:08 +02:00
\end { tcolorbox}
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Egységmátrix} ]
$ I _ n $ = $ \begin { bmatrix }
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end { bmatrix} $ $ \in \mathbb { R} $ az $ n$ x $ n$ - es egységmátrix \\
\[
{ \delta } _ { ij} =
\begin { cases}
1, & \text { ha } i = j\\
0, & \text { ha } i \neq j \\
\end { cases}
\] \\
(A $ { \delta } _ { ij } $ egyik szokásos elnevezése: Kronecker-szimbólum.)
\end { tcolorbox}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Egységmátrix} ]
$ A $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ esetén $ I _ mA $ = $ A $ és $ AI _ n $ = $ A $ .
\end { tcolorbox}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
\end { frame}
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Tranzponált} ]
A $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ esetén az $ A $ mátrix transzponáltja: $ A ^ T $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ , melyre minden szóbajövő $ i $ , $ j $ -re $ _ { i } [ A ^ T ] _ j $ = $ _ { j } [ A ] _ i $ .
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Tranzponálás tulajdonságai} ]
$ A $ , $ B $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ $ \Rightarrow $ $ ( A + B ) ^ T $ = $ A ^ T $ + $ B ^ T $ \\
$ { \lambda } $ $ \in $ $ \mathbb { R } $ , $ A $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ $ \Rightarrow $ $ ( { \lambda } A ) ^ T $ = $ { \lambda } A ^ T $ \\
$ A $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ , $ B $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n x k } $ $ \Rightarrow $ $ ( AB ) T $ = $ B ^ TA ^ T $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Mátrixszorzás, és asszociativitás} ]
$ A $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n _ 1 } $ , $ B $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n _ 2 x k _ 2 } $ , $ C $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { k _ 3 x s } $ , esetén\\
\mmedskip
$ \exists $ $ ( AB ) C ) $ $ \iff $ $ \{ n _ 1 = n _ 2 $ és $ k _ 2 = k _ 3 \} $ $ \iff $ $ { \exists } A ( BC ) $ \\
\mmedskip
($ \{ n _ 1 = n _ 2 $ és $ k _ 2 = k _ 3 \} $ = $ ( AB ) C $ = $ A ( BC ) $ )
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Mátrixszorzás és összeadás disztributivitása} ]
$ A $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n _ 1 } $ , $ B $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n _ 2 x k _ 2 } $ , $ C $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n _ 3 x k _ 3 } $ , esetén\\
\mmedskip
$ \exists $ $ A ( B + C ) $ $ \iff $ $ \{ n _ 1 = n _ 2 $ és $ k _ 2 = k _ 3 \} $ $ \iff $ $ { \exists } $ $ AB + BC $ \\
\mmedskip
($ \{ n _ 1 = n _ 2 $ és $ k _ 2 = k _ 3 \} $ = $ A ( B + C ) $ = $ AB + BC $ )
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Számmal való szorzás és mátrixszorzás kapcsolata} ]
$ \lambda $ $ \in $ $ \mathbb { R } $ , $ A $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ , $ B $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n x k } $ $ \Rightarrow $ \\
\mmedskip
$ { \lambda } ( AB ) $ = $ ( { \lambda } A ) B $ = $ A ( { \lambda } B ) $ \\
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: Sorrang, Oszloprang} ]
$ A $ = $ [ a _ 1 , { \cdots } , a _ n ] $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ \\
\mmedskip
oszloprangja: $ { \rho } _ { O } ( A ) $ = $ r ( a _ 1 , { \cdots } , a _ n ) $ $ ( $ = $ dim $ $ Span ( a _ 1 , { \cdots } , a _ n ) ) $ \\
sorrangja: $ { \rho } _ { s } ( A ) $ = $ { \rho } _ { O } ( A ^ T ) $ \\
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Mátrixszorzás, dimenzió} ]
Legyenek $ C $ = $ [ c _ 1 , { \cdots } , c _ n ] $ és $ D $ = $ [ d _ 1 , { \cdots } , d _ k ] $ ebben a sorrendben összeszorozható
R feletti mátrixok. Ekkor:\\
\mmedskip
$ { \rho } _ { s } ( CD ) $ $ \leq $ $ { \rho } _ { s } ( C ) $
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Mátrix, rang} ]
Tetszőleges $ \mathbb { R } $ feletti $ A $ mátrixra $ { \rho } _ { o } ( A ) $ $ \leq $ $ { \rho } _ { s } ( A ) $ \\
\mmedskip
(ezentúl $ { \rho } _ { o } ( A ) $ $ \leq $ $ { \rho } _ { s } ( A ) $ = $ { \rho } ( A ) $ (az $ \rho $ helyett használatos a $ p $ , vagy $ r $ is.)
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Inverz} ]
$ A $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ esetén:\\
\mmedskip
Az $ A ^ { ( j ) } $ egy jobb oldali inverze az $ A $ -nak, ha $ A ^ { ( j ) } $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n x m } $ és $ AA ^ { ( j ) } $ = $ I _ m $ \\
Az $ A ^ { ( b ) } $ egy bal oldali inverze az $ A $ -nak, ha $ A ^ { ( b ) } $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { n x m } $ és $ A ^ { ( b ) } A $ = $ I _ n $ \\
Az $ A ^ { - 1 } $ kétoldali inverze $ A $ -nak, ha bal oldali inverze is és jobb oldali inverze is $ A $ -nak.
\end { tcolorbox}
\begin { tcolorbox} [title={ Tétel: Inverz létezése} ]
$ A $ $ \in $ $ \mathbb { R } ^ { m x n } $ esetén:\\
\begin { enumerate}
\item $ \exists $ $ A ^ { ( j ) } $ $ \iff $ $ { \rho } ( A ) $ = $ m $
\item $ \exists $ $ A ^ { ( b ) } $ $ \iff $ $ { \rho } ( A ) $ = $ n $
\item $ \exists $ $ A ^ { - 1 } $ $ \Rightarrow $ $ { \rho } ( A ) $ = $ m $ = $ n $ $ \Rightarrow $ $ \exists $ $ A ^ { ( b ) } $ ), $ \exists $ $ A ^ { ( j ) } $ és egyenlők $ \Rightarrow $ $ \exists $ $ A ^ { - 1 } $ .
\end { enumerate}
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-22 00:43:28 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Def.: 05 adjugált} ]
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-22 00:43:28 +02:00
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-05-22 00:43:28 +02:00
2018-05-21 20:07:08 +02:00
2018-04-04 16:00:37 +02:00
2018-05-21 20:07:08 +02:00
%Kiegészítések / Számolások
\begin { comment}
2018-04-04 16:00:37 +02:00
\begin { frame}
\begin { tcolorbox} [title={ Bázistranzformáció} ]
Kérdés: Hány dimenziós?\\
\begin { center}
\begin { tabular} { c|c c c c }
\hline
& a & b & c & d \\
$ { e _ 1 } $ & 3 & 9 & 1 & 5 \\
$ { e _ 2 } $ & 2 & 10 & 2 & 2 \\
$ { e _ 3 } $ & -1 & 1 & 1 & -3 \\
$ { e _ 4 } $ & 0 & -3 & -1 & 1 \\
$ { e _ 5 } $ & 1 & 2 & 0 & 2 \\
\hline
\end { tabular}
\end { center}
\mmedskip
asd
\end { tcolorbox}
\end { frame}
2018-05-21 20:07:08 +02:00
\end { comment}
2018-02-25 19:17:05 +01:00
\end { document}
