mirror of
https://github.com/Relintai/Documents.git
synced 2024-11-21 00:57:17 +01:00
Linalg.
This commit is contained in:
parent
2b16b7ca19
commit
f546bb8311
@ -147,18 +147,144 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók!
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Összeadás: $\u{a + b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$\\
|
||||
Nagyítás: ${\lambda}a = (a_1, a_2) \lor {\lambda}\u{a} = ({\lambda}a_1, {\lambda}a_2)$
|
||||
Nyújtás: ${\lambda}a = (a_1, a_2) \lor {\lambda}\u{a} = ({\lambda}a_1, {\lambda}a_2)$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Összeadás}]
|
||||
$f$ leképzés lineáris, ha:\\
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $f(a + b) = f(a) + f(b)$
|
||||
\item ${\lambda}f(a) = f({\lambda}b)$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Összeadás}]
|
||||
\begin{align}
|
||||
\u{a} + \u{b} &= \begin{bmatrix}
|
||||
a_1 + b_1 \\
|
||||
a_2 + b_2 \\
|
||||
... \\
|
||||
a_n + b_n
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\tcblower
|
||||
|
||||
\textbf{Tulajdonságok} \\
|
||||
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Van értelme
|
||||
\item Kommutativitás - $\u{a} + \u{b} = \u{b} + \u{a}$
|
||||
\item Asszociativitás - $(\u{a} + \u{b}) + \u{c} = \u{a} + (\u{b} + \u{c})$
|
||||
\item Van nullelem - ${\exists}0 \rightarrow \u{0}$
|
||||
\item Minden elemre létezik additív inverz - ${\forall}\u{a} \in \mathbb{R}^n : {\exists}\u{-a}$, ahol $\u{a} + \u{-a} = \u{0}$ \\
|
||||
$\u{-a} = -1 \cdot \u{a} = \u{-a}$, $\u{a} + \u{-a} = \u{0}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Szorzás számmal}]
|
||||
\begin{align}
|
||||
\u{a} + \u{b} &= \begin{bmatrix}
|
||||
{\lambda}a_1 \\
|
||||
{\lambda}a_2 \\
|
||||
... \\
|
||||
{\lambda}a_n
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\tcblower
|
||||
|
||||
\textbf{Tulajdonságok} \\
|
||||
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Van értelme
|
||||
\item Asszociativitás ${\lambda}, {\mu} \in \mathbb{R}$, $({\lambda}{\mu})\u{a} = {\lambda}({\mu}\u{a})$
|
||||
\item Disztributivitás ${\lambda}, {\mu} \in \mathbb{R}$, $({\lambda} + {\mu})\u{a} = {\lambda}\u{a} + {\mu}\u{b}$
|
||||
\item Disztributivitás $\u{a}, \u{b} \in \mathbb{R}^n, {\lambda} \in \mathbb{R}$, ${\lambda}\u{a} + \u{b}) = {\lambda}\u{a} + {\lambda}\u{b}$
|
||||
\item Létezik egységelem. $1 \cdot \u{a} = \u{a}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortér}]
|
||||
$\mathbb{R}^n$vektortér $\mathbb{R}$ felett, ha igazak rá az összeadás, és a szorzás tulajdonságai.\\
|
||||
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Azaz, ha egy $V \neq \emptyset$ tudja ezeket a tulajdonságokat, akkor $V$ vektortér $\mathbb{R}$ felett.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Altér}]
|
||||
Azt mondjuk, hogy $W \leq \mathbb{R}^n$ altere $\mathbb{R}^n$-nek, ha
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $W \neq \emptyset$
|
||||
\item Ha zárt az összeadásra ($\u{a}, \u{b} \in W \Rightarrow \u{a} + \u{b} \in W$)
|
||||
\item Ha zárt a számmal való szorzásra ($\u{a} \in W, {\lambda}\u{a} \in W$)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Megj}]
|
||||
$\mathbb{R}^2$ $\rightarrow$ alterei: $x, y$ tengely\\
|
||||
$\mathbb{R}^3$ $\rightarrow$ alteret: A síkok is.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektorrendszer, Lineáris kombináció}]
|
||||
\textbf{Vektorrendszer}:\\
|
||||
Legyen $k \geq 1$ egész. és legyenek $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$.\\
|
||||
Ezeket a vektorokat együtt \textbf{vektorrendszernek} hívjuk.\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
\textbf{Lineáris kombináció}:\\
|
||||
Legyenek ${\lambda}_1, {\lambda}_2, ..., {\lambda}_k \in \mathbb{R}$ adottak,\\
|
||||
ekkor a ${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k}$ kifejezést a\\
|
||||
$\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer \u{lineáris kombinációjának} nevezzük.\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
\textbf{triviális lineáris kombináció}:\\
|
||||
Ha ${\lambda}_1 = {\lambda}_2 = ... = {\lambda}_k = 0$, akkor a lineáris kombináció triviális.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris összefüggőség}]
|
||||
Legyen $k \geq 1$ egész. és legyen $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$. vektorrendszer.\\
|
||||
Ekkor azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszerünk \textbf{lineárisan összefüggő}, ha létezik nemtriviális lineáris kombinációja, melyre:\\
|
||||
${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k} = \u{0}$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függetlenség}]
|
||||
Legyen $k \geq 1$ egész. és legyen $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$. vektorrendszer.\\
|
||||
Ekkor azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszerünk \textbf{lineárisan független}, ha csak a triviális lineáris kombinációjára igaz, hogy:\\
|
||||
${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k} = \u{0}$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Bázis}]
|
||||
Legyen $ V \leq \mathbb{R}^k$ altér, és legyen adott $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer.\\
|
||||
Azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer \textbf{bázis} $V$-ben, ha:\\
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Lineárisan függetlenek
|
||||
\item Tetszőleges eleme $V$-nek előáll belőlük lineáris kobinációként.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
(Megj: $n$ dimenzóban $n$ elemű egy bázis)
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Bázistransformáció}]
|
||||
Legyen $V \leq \mathbb{R}^n$, $\u{b_1}, u{b_2}, ..., u{b_k}$ bázis $V$-ben.\\
|
||||
Legyen $a \in V$ adott, és $\u{a} = {\alpha}_1\u{v_1} + {\alpha}_2\u{v_2} + ... + {\alpha}_k\u{v_k}$.\\
|
||||
Ekkor $\u{b_1}, u{b_2}, ..., u{b_k}$ nyd
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user