Documents/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex
2018-05-22 00:43:28 +02:00

674 lines
24 KiB
TeX

% Compile twice!
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
% !TEX root = ./Headers/PrezA4Page.tex
% Uncomment these to get the presentation form
%\documentclass{beamer}
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
%\documentclass[10pt]{article}
%\usepackage{geometry}
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
%\usepackage{beamerarticle}
%\renewcommand{\\}{\par\noindent}
%\setbeamertemplate{note page}[plain]
% Half A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% "1/3" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/6" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/5" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/4" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
%\usepackage{pgfpages}
% Choose one
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
% Includes
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-graph}
\usetikzlibrary{shapes,arrows,automata}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{array}
\usepackage{arydshln}
\usepackage{enumerate}
\usepackage[many, poster]{tcolorbox}
\usepackage{pgf}
\usepackage[makeroom]{cancel}
\usepackage{verbatim}
% Colors
\definecolor{myred}{rgb}{0.87,0.18,0}
\definecolor{myorange}{rgb}{1,0.4,0}
\definecolor{myyellowdarker}{rgb}{1,0.69,0}
\definecolor{myyellowlighter}{rgb}{0.91,0.73,0}
\definecolor{myyellow}{rgb}{0.97,0.78,0.36}
\definecolor{myblue}{rgb}{0,0.38,0.47}
\definecolor{mygreen}{rgb}{0,0.52,0.37}
\colorlet{mybg}{myyellow!5!white}
\colorlet{mybluebg}{myyellowlighter!3!white}
\colorlet{mygreenbg}{myyellowlighter!3!white}
\setbeamertemplate{itemize item}{\color{black}$-$}
\setbeamertemplate{itemize subitem}{\color{black}$-$}
\setbeamercolor*{enumerate item}{fg=black}
\setbeamercolor*{enumerate subitem}{fg=black}
\setbeamercolor*{enumerate subsubitem}{fg=black}
\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
%\renewcommand{\familydefault}{\rmdefault}
\renewcommand{\footnotesize}{\fontsize{1.2em}{0.2em}}
\renewcommand{\normalsize}{\fontsize{1.2em}{0.2em}}
\renewcommand{\large}{\footnotesize}
\renewcommand{\Large}{\footnotesize}
\renewcommand{\scriptsize}{\footnotesize}
\renewcommand{\LARGE}{\footnotesize}
\renewcommand{\Huge}{\footnotesize}
\renewcommand{\tiny}{\footnotesize}
\renewcommand{\small}{\footnotesize}
\fontsize{1.2em}{0.2em}
\selectfont
\newcommand{\RHuge}{\fontsize{1.8em}{0.3em}\selectfont}
\newsavebox\CBox
%\newcommand<>*\textBF[1]{\sbox\CBox{#1}\resizebox{\wd\CBox}{\ht\CBox}{\textbf#2{#1}}}
\newcommand<>*\textBF[1]{\only#2{\sbox\CBox{#1}\resizebox{\wd\CBox}{\ht\CBox}{\textbf{#1}}}}
% These are different themes, only uncomment one at a time
\tcbset{enhanced,fonttitle=\mdseries,boxsep=7pt,arc=0pt,colframe={myyellowlighter},colbacktitle={myyellow},colback={mybg},coltitle={black}, coltext={black},attach boxed title to top left={xshift=-2mm,yshift=-2mm},boxed title style={size=small,arc=0mm}}
%\tcbset{colback=yellow!5!white,colframe=yellow!84!black}
%\tcbset{enhanced,colback=red!10!white,colframe=red!75!black,colbacktitle=red!50!yellow,fonttitle=
%\tcbset{enhanced,attach boxed title to top left}
%\tcbset{enhanced,fonttitle=\bfseries,boxsep=5pt,arc=8pt,borderline={0.5pt}{0pt}{red},borderline={0.5pt}{5pt}{blue,dotted},borderline={0.5pt}{-5pt}{green}}
% Beamer theme
\usetheme{boxes}
% tikz settings for the flowchart(s)
\tikzstyle{decision} = [diamond, minimum width=3cm, minimum height=1cm, text centered, draw=black, fill=green!15]
\tikzstyle{tcolorbox} = [rectangle, draw, fill=blue!15, text width=20em, text centered, minimum height=1em]
\tikzstyle{line} = [draw, -latex']
\tikzstyle{cloud} = [draw, ellipse,fill=red!20, node distance=3cm,
minimum height=2em]
\tikzstyle{arrow} = [thick,->,>=stealth]
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\setlength\dashlinedash{0.2pt}
\setlength\dashlinegap{1.5pt}
\setlength\arrayrulewidth{0.3pt}
\newcommand{\mtinyskip}{\vspace{0.2em}}
\newcommand{\msmallskip}{\vspace{0.3em}}
\newcommand{\mmedskip}{\vspace{0.5em}}
\newcommand{\mbigskip}{\vspace{1em}}
\renewcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
\begin{document}
\begin{frame}[plain]
\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
{\RHuge Lineáris Algebra és Geometria}\\
\end{tcolorbox}
\end{frame}
%\begin{tcolorbox}[title={Def.: }]
%\end{tcolorbox}
% -------------------- HALMAZOK, RELÁCIÓK --------------------
\begin{frame}[plain]
\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
{\RHuge Vektorterek, Leképzések}
\mmedskip
\end{tcolorbox}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Linearitás}]
$f$ leképzés lineáris, ha:\\
\begin{itemize}
\item $f(a + b) = f(a) + f(b)$
\item ${\lambda}f(a) = f({\lambda}b)$
\end{itemize}
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektorok}]
$\u{a} = (a_1, a_2), \u{b} = (b_1, b_2)$\\
\mmedskip
Összeadás: $\u{a + b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$\\
Nyújtás: ${\lambda}a = (a_1, a_2) \lor {\lambda}\u{a} = ({\lambda}a_1, {\lambda}a_2)$
\end{tcolorbox}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Összeadás}]
\begin{align}
\u{a} + \u{b} &= \begin{bmatrix}
a_1 + b_1 \\
a_2 + b_2 \\
... \\
a_n + b_n
\end{bmatrix}
\end{align}
\tcblower
\textBF{Tulajdonságok} \\
\msmallskip
\begin{enumerate}
\item Van értelme
\item Kommutativitás - $\u{a} + \u{b} = \u{b} + \u{a}$
\item Asszociativitás - $(\u{a} + \u{b}) + \u{c} = \u{a} + (\u{b} + \u{c})$
\item Van nullelem - ${\exists}0 \rightarrow \u{0}$
\item Minden elemre létezik additív inverz - ${\forall}\u{a} \in \mathbb{R}^n : {\exists}\u{-a}$, ahol $\u{a} + \u{-a} = \u{0}$ \\
$\u{-a} = -1 \cdot \u{a} = \u{-a}$, $\u{a} + \u{-a} = \u{0}$
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Szorzás számmal}]
\begin{align}
\u{a} + \u{b} &= \begin{bmatrix}
{\lambda}a_1 \\
{\lambda}a_2 \\
... \\
{\lambda}a_n
\end{bmatrix}
\end{align}
\tcblower
\textBF{Tulajdonságok} \\
\msmallskip
\begin{enumerate}
\item Van értelme
\item Asszociativitás ${\lambda}, {\mu} \in \mathbb{R}$, $({\lambda}{\mu})\u{a} = {\lambda}({\mu}\u{a})$
\item Disztributivitás ${\lambda}, {\mu} \in \mathbb{R}$, $({\lambda} + {\mu})\u{a} = {\lambda}\u{a} + {\mu}\u{b}$
\item Disztributivitás $\u{a}, \u{b} \in \mathbb{R}^n, {\lambda} \in \mathbb{R}$, ${\lambda}\u{a} + \u{b}) = {\lambda}\u{a} + {\lambda}\u{b}$
\item Létezik egységelem. $1 \cdot \u{a} = \u{a}$
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortér}]
$\mathbb{R}^n$vektortér $\mathbb{R}$ felett, ha igazak rá az összeadás, és a szorzás tulajdonságai.\\
\mmedskip
Azaz, ha egy $V \neq \emptyset$ tudja ezeket a tulajdonságokat, akkor $V$ vektortér $\mathbb{R}$ felett.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Altér}]
Azt mondjuk, hogy $W \leq \mathbb{R}^n$ altere $\mathbb{R}^n$-nek, ha
\begin{enumerate}
\item $W \neq \emptyset$
\item Ha zárt az összeadásra ($\u{a}, \u{b} \in W \Rightarrow \u{a} + \u{b} \in W$)
\item Ha zárt a számmal való szorzásra ($\u{a} \in W, {\lambda}\u{a} \in W$)
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Megj}]
$\mathbb{R}^2$ $\rightarrow$ alterei: $x, y$ tengely\\
$\mathbb{R}^3$ $\rightarrow$ alteret: A síkok is.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektorrendszer, Lineáris kombináció}]
\textBF{Vektorrendszer}:\\
Legyen $k \geq 1$ egész. és legyenek $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$.\\
Ezeket a vektorokat együtt \textBF{vektorrendszernek} hívjuk.\\
\msmallskip
\textBF{Lineáris kombináció}:\\
Legyenek ${\lambda}_1, {\lambda}_2, ..., {\lambda}_k \in \mathbb{R}$ adottak,\\
ekkor a ${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k}$ kifejezést a\\
$\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer \u{lineáris kombinációjának} nevezzük.\\
\msmallskip
\textBF{triviális lineáris kombináció}:\\
Ha ${\lambda}_1 = {\lambda}_2 = ... = {\lambda}_k = 0$, akkor a lineáris kombináció triviális.
\end{tcolorbox}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris összefüggőség}]
Legyen $k \geq 1$ egész. és legyen $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$. vektorrendszer.\\
Ekkor azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszerünk \textBF{lineárisan összefüggő}, ha létezik nemtriviális lineáris kombinációja, melyre:\\
${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k} = \u{0}$
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függetlenség}]
Legyen $k \geq 1$ egész. és legyen $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$. vektorrendszer.\\
Ekkor azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszerünk \textBF{lineárisan független}, ha csak a triviális lineáris kombinációjára igaz, hogy:\\
${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k} = \u{0}$
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Bázis}]
Legyen $ V \leq \mathbb{R}^k$ altér, és legyen adott $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer.\\
Azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer \textBF{bázis} $V$-ben, ha:\\
\begin{itemize}
\item Lineárisan függetlenek
\item Tetszőleges eleme $V$-nek előáll belőlük lineáris kobinációként.
\end{itemize}
\mmedskip
(Megj: $n$ dimenzóban $n$ elemű egy bázis)
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Lineáris kombináció, és bázisok}]
$\u{b_1}, \u{b_2}, ..., \u{b_k}$ bázis $V$-ben, akkor $\forall \u{v} \in V$ elem \textBF{egyértelműen} előáll belőle lineáris kombinációjaként.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Bázisok, és Lineáris kombináció}]
Ha a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer olyan V-ben, hogy ha $\forall a \in V$ egyértelműen létezik ${\alpha}_1, ..., {\alpha}_k \in \mathbb{R}$, hogy $\u{a} = {\alpha}_1\u{b_1} + {\alpha}_2\u{b_2} + ... + {\alpha}_k\u{b_k} \Rightarrow \u{b_1}, \u{b_2}, ..., \u{b_k}$ bázis.
\end{tcolorbox}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Bázistransformáció}]
Legyen $V \leq \mathbb{R}^n$, $\u{b_1}, u{b_2}, ..., u{b_k}$ bázis $V$-ben.\\
Legyen $a \in V$ adott, és $\u{a} = {\alpha}_1\u{v_1} + {\alpha}_2\u{v_2} + ... + {\alpha}_k\u{v_k}$.\\
Ekkor $\u{b_1}, u{b_2}, ..., u{b_k} \iff {\alpha}_i \neq 0$ bázis.\\
\mmedskip
Akkor cserélhetjük ki, ha az együtthatója nem 0 az $\u{a}$-ban.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Képlet}]
$x_j = x_j - \frac{x_i}{{{\alpha}_i}} {\alpha}_j$
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Öf táblázat}]
\end{tcolorbox}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függőség}]
$A \neq \emptyset$, $A \subseteq \mathbb{R}^n$, azt mondjuk hogy $\u{v} \in \mathbb{R}^n$ \textBF{lineárisan függ} $A$-tól,\\
ha létezik véges sok elem $A$-ban, hogy $\u{v}$ előáll az ő lineáris kombinációjaként.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függőség}]
$k \geq 2$, $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k} \in \mathbb{R}^n$,\\
ekkor $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$ összefüggő $\iff$ $\exists i \in \{ 1, ..., k \}$, hogy $a_i$ lineárisan függ a többitől.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Áll.: Lineáris függőség}]
Ha$\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$, $\u{b} \in \mathbb{R}^n$\\
$\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$ lineárisan független, de $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}, \u{b}$ lineárisan összefüggő, akkor\\
$\u{b}$ lineárisan független az $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$ vektorrendszertől.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Halmaz által generált altér / Lineáris Burok}]
$A \neq \emptyset$, $A \leq \mathbb{R}^n$:\\
$: W(A) = \{ \u{b} \in \mathbb{R}^n | \u{v}$ lineárisan függ $A$-tól $\}$
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektor koordinátái}]
\begin{align}
[a]_{\u{b_1}, \u{b_2}, ..., \u{b_k}} &= \begin{bmatrix}
{\lambda}a_1 \\
{\lambda}a_2 \\
... \\
{\lambda}a_n
\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^k
\end{align}
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Altér}]
$W(A)$ altér $(A \neq \emptyset)$
\end{tcolorbox}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Alterek metszete}]
Ha $V_1$ és $V_2$ is altér $\Rightarrow$ $V_1 \cap V_2$ is altér.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Span}]
Azt mondjuk, hogy az $A \subseteq \mathbb{R}^n$ halmaz által \textBF{generált / kifeszített altér} az $A$-t tartalmazó alterek / vektorterek metszete.\\
\msmallskip
Jel.: $Span(A)$
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Span és Lineáris burok}]
$Span(A) = W(A)$
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Generátorrendszer}]
Azt mondjuk, hogy $G$ vektorrendszer \textBF{generátorrendszere} $V$ altérnek, ha $Span(G) = W(G)$
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Generátorrendszer létezése}]
Ha $V \leq \mathbb{R}^n$-ben létezik véges méretű generátorrendszer $\Rightarrow$ belőle kiválasztható bázis.
\end{tcolorbox}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kicserélési tétel}]
Legyen $V \leq \mathbb{R}^n$, legyen $a_1, ..., a_k$ lineárisan független, és $b_1, ..., b_n$ generátorrendszer. Ekkor:\\
\begin{itemize}
\item $\exists j$, hogy tetszőleges $i$-re $v_j, a_2, ..., a_k$ is Lineárisan független.\\
(megj.: Igazából $a_1, ..., a_k$ bármilyen eleme lecserélhető)
\item $|LF| \leq |GR|$ ($|LF|$ = $LF$ elemszáma, $LF$ = $a_1, ..., a_k$)
\end{itemize}
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Bázis}]
Ha $V \leq \mathbb{R}^n,$ és $B_1, B_2$ bázis, akkor\\
$|B_1| < + \infty \rightarrow |B_1| = |B_2|$
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Bázis}]
\begin{itemize}
\item Minden bázis mérete $\mathbb{R}^n$-ben $n$
\item $V \leq \mathbb{R}^n$ és van véges generátorrendszer $\Rightarrow$ Leszűkíthető bázissá.
\item $V \leq \mathbb{R}^n$ és $v_1, ..., v_k$ vektorrendszer lineárisan független a $V$-ben. $\Rightarrow$ Leszűkíthető bázissá.
\end{itemize}
\mmedskip
Ezekből követketik, hogy a bázis a maximális elemszámú lineárisan független vektorrendszer.\\
\mmedskip
Maximális lineárisan független vektorrendszer elemszáma = minimális generátorrendszer elemszáma = bázis elemszáma
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Dimenzió}]
$V \leq \mathbb{R}^n$ dimenziója:\\
\mmedskip
\[
dim(V) =
\begin{cases}
0, & \text{ha } V = \{ \u{0} \}\\
|B|, & \text{ha } V \neq \{ \u{0} \} \text{ (B a V-nek egy bázisa.) } \\
\end{cases}
\]
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Rang}]
$v_1, ..., v_k \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer rangja, az általuk generált altér dimenziója.
\end{tcolorbox}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Mátrix}]
Legyen $e_k$ adott $a_k$ az $m$ és $n$ pozitív egész számok, továbbá minden
$i \in \{1, ..., m\} és j \in \{1, ..., n\}$ esetére az $aij$ valós számok. Az
táblázatot egy $\mathbb{R}$ feletti mátrixnak nevezzük, és $A$-val jelöljük, részletesebben $A = [aij]mn$, vagy
Az $A$ mátrix $i$-ed $i_k$ sora $j$-edik elemén $e_k$ jelölése: $aij$ vagy $i[A]j$.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Mátrixok egyenlősége}]
Az $A$ és a $B$ mátrixok egyenlők, ha alakjuk azonos (mondjuk $m x n$-es) és a megfelelő elemeik megegyeznek, azaz minden „szóbajövő" $i$, $j$ párra $(1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$ teljesül, hogy $i[A]j = i[B]j$. Az $\mathbb{R}$ feletti $m x n$-es mátrixok halmazát $\mathbb{R}^{m x n}$-mel jelöljük ($\mathbb{R}^{m}$ = $\mathbb{R}^{m x 1}$).
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Mátrix összeadás, számmal való szorzás}]
Az $\mathbb{R}^{m}$-beli komponensenkénti összeadás és valós számmal való szorzás (1/2) mintájára természetes módon kínálkoznak $m x n$-es mátrixok esetén a megfelelő elemek összeadásával, illetve az összes elemnek egy valós számmal szorzásával a következő műveletek:
$+$ : $\mathbb{R}^{m x n}$ x $\mathbb{R}^{m x n} \rightarrow \mathbb{R}^{m x n}$, A, B $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$ esetén $A + B$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$ és minden szóbajövő
$i, j$-re $_{i} [A + B]_j$ = $_{i} [A]_j + _{i} [B]_j$.
${\lambda}$ : $\mathbb{R}$ x $\mathbb{R}^{m x n} \rightarrow \mathbb{R}^{m x n}$, ${\lambda} \in \mathbb{R}$, $A \in \mathbb{R}^{m x n}$ esetén ${\lambda}A \in \mathbb{R}^{m x n}$ és minden szóbajövő $i, j$-re $_{i} [{\lambda}A]_j$ = ${\lambda} _{i} [A]_j$.
Az $\mathbb{R}^{m x n}$-re is teljesül az 1/3 oldali 10 tulajdonság megfelelője a fenti $+$, ${\lambda}$ műveletekre nézve, így $\mathbb{R}^{m x n}$-et is $\mathbb{R}$ feletti vektortérnek mondjuk.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Nullmátrix}]
Nullmátrix: 0 := $\begin{bmatrix}
{\lambda}a_1 \\
{\lambda}a_2 \\
... \\
{\lambda}a_n
\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^k$
\end{tcolorbox}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Mátrixszorzás}]
$A$ $in$ $\mathbb{R}^{m x n}$, $B$ $\in$ $\mathbb{R}^{n x k}$ esetén $AB$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x k}$ úgy, hogy minden szóbajövő $i, j$-re (most $1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq k$)
\mmedskip
$_{i} [AB]_j$ $=$ $_{i} [A]_1$ $_{1} [B]_j$ + $_{i} [A]_2$ $_{2} [A]_j$ + $...$ + $_{i} [A]_n$ $_{n} [B]_j$ = $\sum_{l = 1}^n$ $_{i} [A]_l$ $_{l} [B]_j$
\mmedskip
Ez az ún. sor-oszlop szorzás: a szorzatmátrix i-edik sora j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorának és a jobb oldali mátrix j-edik oszlopának megfelelő elemeit összeszorozzuk, s a kapott szorzatokat összeadjuk.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Egységmátrix}]
$I_n$ = $\begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}$ $\in \mathbb{R}$ az $n$ x $n$-es egységmátrix\\
\[
{\delta}_{ij} =
\begin{cases}
1, & \text{ha } i = j\\
0, & \text{ha } i \neq j \\
\end{cases}
\]\\
(A ${\delta}_{ij}$ egyik szokásos elnevezése: Kronecker-szimbólum.)
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egységmátrix}]
$A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$ esetén $I_mA$ = $A$ és $AI_n$ = $A$.
\end{tcolorbox}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Tranzponált}]
A $\mathbb{R}^{m x n}$ esetén az $A$ mátrix transzponáltja: $A^T$ $\mathbb{R}^{m x n}$, melyre minden szóbajövő $i$, $j$-re $_{i} [A^T]_j$ = $_{j} [A]_i$.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Tranzponálás tulajdonságai}]
$A$, $B$ $\mathbb{R}^{m x n}$ $\Rightarrow$ $(A + B)^T$ = $A^T$ + $B^T$\\
${\lambda}$ $\in$ $\mathbb{R}$, $A$ $\mathbb{R}^{m x n}$ $\Rightarrow$ $({\lambda}A)^T$ = ${\lambda}A^T$\\
$A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$, $B$ $\in$ $\mathbb{R}^{n x k}$ $\Rightarrow$ $(AB)T$ = $B^TA^T$
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Mátrixszorzás, és asszociativitás}]
$A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n_1}$ , $B$ $\in$ $\mathbb{R}^{n_2 x k_2}$, $C$ $\in$ $\mathbb{R}^{k_3 x s}$, esetén\\
\mmedskip
$\exists$ $(AB)C)$ $\iff$ $\{n_1 = n_2$ és $k_2 = k_3\}$ $\iff$ ${\exists}A(BC)$\\
\mmedskip
($\{n_1 = n_2$ és $k_2 = k_3\}$ = $(AB)C$ = $A(BC)$)
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Mátrixszorzás és összeadás disztributivitása}]
$A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n_1}$ , $B$ $\in$ $\mathbb{R}^{n_2 x k_2}$, $C$ $\in$ $\mathbb{R}^{n_3 x k_3}$, esetén\\
\mmedskip
$\exists$ $A(B + C)$ $\iff$ $\{n_1 = n_2$ és $k_2 = k_3\}$ $\iff$ ${\exists}$ $AB + BC$\\
\mmedskip
($\{n_1 = n_2$ és $k_2 = k_3\}$ = $A(B + C)$ = $AB + BC$)
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Számmal való szorzás és mátrixszorzás kapcsolata}]
$\lambda$ $\in$ $\mathbb{R}$, $A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$, $B$ $\in$ $\mathbb{R}^{n x k}$ $\Rightarrow$\\
\mmedskip
${\lambda}(AB)$ = $({\lambda}A)B$ = $A({\lambda}B)$\\
\end{tcolorbox}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Sorrang, Oszloprang}]
$A$ = $[a_1, {\cdots}, a_n]$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$ \\
\mmedskip
oszloprangja: ${\rho}_{O}(A)$ = $r(a_1, {\cdots}, a_n)$ $($ = $dim$ $Span(a_1, {\cdots}, a_n))$\\
sorrangja: ${\rho}_{s}(A)$ = ${\rho}_{O}(A^T)$\\
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Mátrixszorzás, dimenzió}]
Legyenek $C$ = $[c_1, {\cdots}, c_n]$ és $D$ = $[d_1, {\cdots}, d_k]$ ebben a sorrendben összeszorozható
R feletti mátrixok. Ekkor:\\
\mmedskip
${\rho}_{s}(CD)$ $\leq$ ${\rho}_{s}(C)$
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Mátrix, rang}]
Tetszőleges $\mathbb{R}$ feletti $A$ mátrixra ${\rho}_{o}(A)$ $\leq$ ${\rho}_{s}(A)$\\
\mmedskip
(ezentúl ${\rho}_{o}(A)$ $\leq$ ${\rho}_{s}(A)$ = ${\rho}(A)$ (az $\rho$ helyett használatos a $p$, vagy $r$ is.)
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Inverz}]
$A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$ esetén:\\
\mmedskip
Az $A^{(j)}$ egy jobb oldali inverze az $A$-nak, ha $A^{(j)}$ $\in$ $\mathbb{R}^{n x m}$ és $AA^{(j)}$ = $I_m$\\
Az $A^{(b)}$ egy bal oldali inverze az $A$-nak, ha $A^{(b)}$ $\in$ $\mathbb{R}^{n x m}$ és $A^{(b)}A$ = $I_n$\\
Az $A^{-1}$ kétoldali inverze $A$-nak, ha bal oldali inverze is és jobb oldali inverze is $A$-nak.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Inverz létezése}]
$A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$ esetén:\\
\begin{enumerate}
\item $\exists$ $A^{(j)}$ $\iff$ ${\rho}(A)$ = $m$
\item $\exists$ $A^{(b)}$ $\iff$ ${\rho}(A)$ = $n$
\item $\exists$ $A^{-1}$ $\Rightarrow$ ${\rho}(A)$ = $m$ = $n$ $\Rightarrow$ $\exists$ $A^{(b)}$), $\exists$ $A^{(j)}$ és egyenlők $\Rightarrow$ $\exists$ $A^{-1}$.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: 05 adjugált}]
\end{tcolorbox}
\end{frame}
%Kiegészítések / Számolások
\begin{comment}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Bázistranzformáció}]
Kérdés: Hány dimenziós?\\
\begin{center}
\begin{tabular}{ c|c c c c }
\hline
& a & b & c & d \\
${e_1}$ & 3 & 9 & 1 & 5 \\
${e_2}$ & 2 & 10 & 2 & 2 \\
${e_3}$ & -1 & 1 & 1 & -3 \\
${e_4}$ & 0 & -3 & -1 & 1 \\
${e_5}$ & 1 & 2 & 0 & 2 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\mmedskip
asd
\end{tcolorbox}
\end{frame}
\end{comment}
\end{document}