mirror of
https://github.com/Relintai/Documents.git
synced 2024-11-14 10:37:19 +01:00
340 lines
9.7 KiB
TeX
340 lines
9.7 KiB
TeX
% Compile twice!
|
|
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
|
|
|
\documentclass{beamer}
|
|
\usepackage{tikz}
|
|
\usetikzlibrary{shapes,arrows}
|
|
|
|
\usepackage[T1]{fontenc}
|
|
\usepackage{amsfonts}
|
|
\usepackage{amsmath}
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
|
|
|
\usetheme{boxes}
|
|
|
|
% tikz settings for the flowchart(s)
|
|
|
|
% Define block styles
|
|
|
|
\tikzstyle{decision} = [diamond, minimum width=3cm, minimum height=1cm, text centered, draw=black, fill=green!15]
|
|
\tikzstyle{block} = [rectangle, draw, fill=blue!15, text width=20em, text centered, minimum height=1em]
|
|
|
|
\tikzstyle{line} = [draw, -latex']
|
|
\tikzstyle{cloud} = [draw, ellipse,fill=red!20, node distance=3cm,
|
|
minimum height=2em]
|
|
\tikzstyle{arrow} = [thick,->,>=stealth]
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\begin{frame}[plain]
|
|
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
|
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
|
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
|
{\Huge A Számítástudomány Alapjai I}\\
|
|
{\Large Vizsgatételek}
|
|
\end{beamercolorbox}};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
% -------------------- LOGIKA --------------------
|
|
|
|
\begin{frame}[plain]
|
|
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
|
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
|
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
|
{\Huge Logika}
|
|
\end{beamercolorbox}};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Minden formula egyértelműen olvasható}
|
|
F formulára a következő állítások közül pontosan egy teljesül:
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item F egy változó.
|
|
\item Pontosan egy G formulára $F = \neg G$
|
|
\item Pontosan egy G és pontosan egy H formuláta $F = (G \land H)$
|
|
\item Pontosan egy G és pontosan egy H formulára $F = (G \lor H)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Az ítéletkalkulus kompaktsági tétele}
|
|
Egy formulahalmaz akkor és csak akkor elégíthető ki, ha minden véges részhalmaza kielégíthető.
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Adekvát halmazok}
|
|
$\{\neg, \lor, \land\}, \{\neg, \lor\}, \{\neg, \land\}$ adekvát (azaz bármilyen formula leírható ezekkel), $\{\lor, \land\}$ nem adekvát.
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{block}{tétel: Equivalens állítások formulákra}
|
|
Legyenek $F, F_1, ... , F_n$ tetszőleges formulák, ekkor a következő állítások equivalensek:
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\{F_1, ... , F_n\} \models F$
|
|
\item $F_1 \land ... \land F_n \implies F$ tautológia
|
|
\item $F_1 \land ... \land F_n \land \neg F$ kielégíthetetlen.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{block}{Lemma: Helyettesítési Lemma}
|
|
Legyenek $F, G, H$ formulák úgy, hogy $F \equiv G$ és $F$ a $G$ részformulája.\\
|
|
Ha $H[F/G]$ azt a formulát jelöli, amelyben $F$ valamely előfordulását helyettesítettük $G$-vel, akkor
|
|
$$H \equiv H[F/G]$$
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Konjunktív és diszjunktív normálforma létezése}
|
|
Minden $F$ Formulához létezik vele logikailag ekvivalens konjunktív és diszjunktív normálforma.
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\begin{block}{Bizonyítás}
|
|
Konjunktív:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item (Negáció bevitele.) Amíg lehetséges, helyettesítsük $F$-ben a
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\neg \neg G$ alakú részformulákat $G$-vel,
|
|
\item $\neg (G \land H)$ alakú részformulákat $\neg G \lor \neg H$-val,
|
|
\item $\neg (G \lor H)$ alakú részformulákat $\neg G \land \neg H$-val.
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Amíg lehetséges, helyettesítsük $F$-ben a
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $F \lor (G \land H)$ alakú részformulákat $(F \lor G) \land (F \lor H)$-val,
|
|
\item $(F \land G) \lor H$ alakú részformulákat $(F \lor H) \land (G \lor H)$-val.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
Diszjunktív:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Ugyanaz mint a konjunktív normálforma esetén.
|
|
\item Amíg lehetséges, helyettesítsük $F$-ben a
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $F \land (G \lor H)$ alakú részformulákat $(F \land G) \lor (F \land H)$-val,
|
|
\item $(F \lor G) \land H$ alakú részformulákat $(F \land H) \lor (G \land H)$-val.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Dedukció tétel}
|
|
Tetszőleges $\Sigma$ formulahalmaz esetén $\Sigma \vdash F \rightarrow G$ akkor és csak akkor teljesül, ha $\Sigma \cup \{F\} \vdash G$.
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Dichotómia tétel}
|
|
Tetszőleges $\Sigma$ formulahalmaz esetén, ha $\Sigma \cup \{F\} \vdash$ (levezethető) $G$ és $\Sigma \cup \{\neg F\} \vdash G$, akkor $\Sigma \vdash G$.\\
|
|
("Az $F$ Formula nem szól bele").
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Helyességi tétel}
|
|
Tetszőleges $\Sigma$ és $F$ esetén, ha $\Sigma \vdash F$, akkor $\Sigma \models F$.\\
|
|
(Helyes, ha csak az elélethez tartozó formulákat lehet bizonyítani.)
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Teljességi tétel}
|
|
Minden $\Sigma$-ra és $F$-re, ha $\Sigma \models F$, akkor $\Sigma \vdash F$.\\
|
|
(Teljes, ha minden, az elmélethez tartozó formulát be lehet bizonyítani.)
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Konzisztencia tétel}
|
|
Tetszőleges formulahalmaz, akkor és csak akkor konzisztens, ha kielégíthető.\\
|
|
(Konzisztens, ha nem vezethető le belőle a $\downarrow$.)
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
% -------------------- GRÁFELMÉLET --------------------
|
|
|
|
\begin{frame}[plain]
|
|
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
|
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
|
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
|
{\Huge Gráfelmélet}
|
|
\end{beamercolorbox}};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Fokszám-Élszám}
|
|
Legyen $G = (V, E)$ (Gráf). Ekkor $G$-ben a páratlan fokú csúcsok száma páros.
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\begin{block}{Bizonyítás}
|
|
$$\sum_{a \in V} d(a) = \sum_{d(a) \equiv 0 (mod 2)} d(a) + \sum_{d(a) \equiv 1 (mod 2)} \equiv 0 (mod 2)$$
|
|
amiből kapjuk, hogy $$\sum_{d(a) \equiv 1 (mod 2)} d(a) \equiv 0 (mod 2)$$.
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Equivalens állítások fákra}
|
|
Egy $G$ egyszerű gráfra a következő állítások equivalensek:
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $G$ Fa
|
|
\item $G$ Összefüggő, de bármely él elhagyásával kapott részgráf már nem összefüggő.
|
|
\item Ha $v, v'$ a $G$ különböző csúcsai, akkor pontosan egy út vezet $v$-ből $v'$be.
|
|
\item $G$-ben nincs kör, de bármely új él hozzáadásával kapott gráf már tartalmaz kört.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Elsőfokú pontok}
|
|
Ha egy véges gráfban nincs kör, de van él, akkor van benne legalább két elsőfokú pont.
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Ekvivalens állítások n-pontú fákra}
|
|
Egy $G$ egyszerű gráfra a következő álítások ekvivalensek:
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $G$ fa.
|
|
\item $G$-ben nincs kör és $n - 1$ éle van.
|
|
\item $G$ összefüggő és $n - 1$ éle van.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Feszítőfa létezése}
|
|
Minden véges összefüggő $G$ gráfnak létezik feszítőfája.
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Körök száma}
|
|
Egy véges összefüggő $G = (E, V)$ gráfban létezik \underline{legalább} $e(G) - v(G) + 1$ különböző kör.
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\begin{block}{Bizonyítás}
|
|
A feszítőfa létezése téltel miatt ($\Rightarrow$) $\exists T$ feszítőfa, aminek $v(G) - 1$ éle van.\\
|
|
Legyen $K_f$ az a kör, ami $T \cup \{f\}$-ben van, ahol $f \in E(G) \setminus E(T)$\\
|
|
$T_G$ komplementerben legalább $e(G) - e(T) = e(G) - (v(G) - 1) = e(G) - v(G) - 1$ ilyen $f$ él van.\\
|
|
$\Rightarrow$ legalább $e(G) - v(G) + 1$ különbző kör.
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\begin{block}{Tétel: Vágások száma}
|
|
Egy véges összefüggő $G = (V, E)$ gráfban létezik legalább $v(G) - 1$ vágás.
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\begin{block}{Bizonyítás}
|
|
$T$ Feszítőfa összefüggő.\\
|
|
$\Rightarrow$ $T_G$ komplementer nem vágás.\\
|
|
Ha $T_G$ komplementerhez hozzáveszünk egy élt $T$-ből, akkor elvágó élhalmazt kapunk, amely tartalmaz egy vágást.\\
|
|
Ez a vágás tartalmazza $e$ élt, de másikat nem $T$ből.\\
|
|
Mivel $T$-nek $v(G) - 1$ éle van $\Rightarrow$ legalább ennyi különböző vágást kapunk.
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Euler gráfok}
|
|
Ha $G$ összefüggő véges gráf, akkor a következő állítások ekvivalensek:\\
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $G$ Euler-gráf.
|
|
\item $d(v)$ páros minden $v \in V(G)$-re.
|
|
\item $G$ éldiszjunkt körök egyesítése.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Ore tétel}
|
|
Legyen $G$ egy $n \geq 3$ pontú egyszerű véges gráf. Ha $$d(v) + d(w) \geq n$$ minden $v$, $w$ nem-szomszédos pontra, akkor $G$ Hamilton-gráf.
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Dirac tétel}
|
|
Legyen $G$ egy $n \geq 3$ pontú egyszerű véges gráf. Ha $$d(v) \geq \frac{n}{2}$$ minden $v$ csúcsra, akkor $G$ Hamilton-gráf.
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Kruskal algoritmus}
|
|
Legyen $G = (V, E, fi , w)$ egy véges összefüggő gráf. A következő algoritmus megtalál egy minimális súlyú feszítőfát $G$-ben.
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[node distance = 2cm, auto]
|
|
% Place nodes
|
|
\node [block] (step1) {\tiny{$V(F)=V(G)$ és $E(F) = \emptyset$.}};
|
|
\node [block, below of=step1] (step2) {\tiny{Bővítsük $F$-et egy $e$ éllel, amely minimális súlyú azon élek közül, amelyek F-hez adva még nem eredményeznek kört.}};
|
|
\node [decision, below of=step2] (step3) {\tiny{Van még ilyen él?}};
|
|
\node [block, below of=step3] (step4) {\tiny{STOP}};
|
|
|
|
\draw [arrow] (step1) -- (step2);
|
|
\draw [arrow] (step2) -- (step3);
|
|
\draw [arrow] (step3) -- node {Nem} (step4);
|
|
\draw[arrow] (step3) -- node {Igen} + (5, 0.1) |- (step2);
|
|
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{block}{Tétel: Erős összefüggőség}
|
|
|
|
\end{block}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\end{document} |