mirror of
https://github.com/Relintai/Documents.git
synced 2024-11-14 10:37:19 +01:00
349 lines
13 KiB
TeX
349 lines
13 KiB
TeX
% Compile twice!
|
|
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
|
|
|
% !TEX root = ./Headers/PrezA4Page.tex
|
|
|
|
% Uncomment these to get the presentation form
|
|
%\documentclass{beamer}
|
|
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
|
|
|
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
|
|
%\documentclass[10pt]{article}
|
|
%\usepackage{geometry}
|
|
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
|
%\usepackage{beamerarticle}
|
|
%\renewcommand{\\}{\par\noindent}
|
|
%\setbeamertemplate{note page}[plain]
|
|
|
|
% Half A4 geometry
|
|
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
|
|
|
% "1/3" A4 geometry
|
|
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
|
|
|
% "1/6" A4 geometry
|
|
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
|
|
|
% "1/5" A4 geometry
|
|
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
|
|
|
% "1/4" A4 geometry
|
|
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
|
|
|
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
|
|
%\usepackage{pgfpages}
|
|
% Choose one
|
|
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
|
|
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
|
|
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
|
|
|
|
% Includes
|
|
\usepackage{tikz}
|
|
\usepackage{tkz-graph}
|
|
\usetikzlibrary{shapes,arrows,automata}
|
|
\usepackage[T1]{fontenc}
|
|
\usepackage{amsfonts}
|
|
\usepackage{amsmath}
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
|
\usepackage{booktabs}
|
|
\usepackage{array}
|
|
\usepackage{arydshln}
|
|
\usepackage{enumerate}
|
|
\usepackage[many, poster]{tcolorbox}
|
|
\usepackage{pgf}
|
|
\usepackage[makeroom]{cancel}
|
|
|
|
% Colors
|
|
\definecolor{myred}{rgb}{0.87,0.18,0}
|
|
\definecolor{myorange}{rgb}{1,0.4,0}
|
|
\definecolor{myyellowdarker}{rgb}{1,0.69,0}
|
|
\definecolor{myyellowlighter}{rgb}{0.91,0.73,0}
|
|
\definecolor{myyellow}{rgb}{0.97,0.78,0.36}
|
|
\definecolor{myblue}{rgb}{0,0.38,0.47}
|
|
\definecolor{mygreen}{rgb}{0,0.52,0.37}
|
|
\colorlet{mybg}{myyellow!5!white}
|
|
\colorlet{mybluebg}{myyellowlighter!3!white}
|
|
\colorlet{mygreenbg}{myyellowlighter!3!white}
|
|
|
|
\setbeamertemplate{itemize item}{\color{black}$-$}
|
|
\setbeamertemplate{itemize subitem}{\color{black}$-$}
|
|
\setbeamercolor*{enumerate item}{fg=black}
|
|
\setbeamercolor*{enumerate subitem}{fg=black}
|
|
\setbeamercolor*{enumerate subsubitem}{fg=black}
|
|
|
|
\renewcommand{\tiny}{\footnotesize}
|
|
\renewcommand{\small}{\footnotesize}
|
|
|
|
% These are different themes, only uncomment one at a time
|
|
\tcbset{enhanced,fonttitle=\bfseries,boxsep=7pt,arc=0pt,colframe={myyellowlighter},colbacktitle={myyellow},colback={mybg},coltitle={black}, coltext={black},attach boxed title to top left={xshift=-2mm,yshift=-2mm},boxed title style={size=small,arc=0mm}}
|
|
|
|
%\tcbset{colback=yellow!5!white,colframe=yellow!84!black}
|
|
%\tcbset{enhanced,colback=red!10!white,colframe=red!75!black,colbacktitle=red!50!yellow,fonttitle=
|
|
%\tcbset{enhanced,attach boxed title to top left}
|
|
%\tcbset{enhanced,fonttitle=\bfseries,boxsep=5pt,arc=8pt,borderline={0.5pt}{0pt}{red},borderline={0.5pt}{5pt}{blue,dotted},borderline={0.5pt}{-5pt}{green}}
|
|
|
|
% Beamer theme
|
|
\usetheme{boxes}
|
|
|
|
% tikz settings for the flowchart(s)
|
|
\tikzstyle{decision} = [diamond, minimum width=3cm, minimum height=1cm, text centered, draw=black, fill=green!15]
|
|
\tikzstyle{tcolorbox} = [rectangle, draw, fill=blue!15, text width=20em, text centered, minimum height=1em]
|
|
|
|
\tikzstyle{line} = [draw, -latex']
|
|
\tikzstyle{cloud} = [draw, ellipse,fill=red!20, node distance=3cm,
|
|
minimum height=2em]
|
|
\tikzstyle{arrow} = [thick,->,>=stealth]
|
|
|
|
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
|
|
|
|
\setlength\dashlinedash{0.2pt}
|
|
\setlength\dashlinegap{1.5pt}
|
|
\setlength\arrayrulewidth{0.3pt}
|
|
|
|
\newcommand{\mtinyskip}{\vspace{0.2em}}
|
|
\newcommand{\msmallskip}{\vspace{0.3em}}
|
|
\newcommand{\mmedskip}{\vspace{0.5em}}
|
|
\newcommand{\mbigskip}{\vspace{1em}}
|
|
\renewcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\begin{frame}[plain]
|
|
\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
|
|
{\Huge Lineáris Algebra és Geometria}\\
|
|
\mbigskip
|
|
\\
|
|
A kisbetűs szövegek (LaTeX-ben tiny), (Ha nincs előttük (S) jelzés, akkor lemaradt)\\
|
|
a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók!
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
|
|
%\begin{tcolorbox}[title={Def.: }]
|
|
%\end{tcolorbox}
|
|
|
|
% -------------------- HALMAZOK, RELÁCIÓK --------------------
|
|
|
|
\begin{frame}[plain]
|
|
\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
|
|
{\Huge Vektorterek, Leképzések}
|
|
\mmedskip
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Linearitás}]
|
|
$f$ leképzés lineáris, ha:\\
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $f(a + b) = f(a) + f(b)$
|
|
\item ${\lambda}f(a) = f({\lambda}b)$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektorok}]
|
|
$\u{a} = (a_1, a_2), \u{b} = (b_1, b_2)$\\
|
|
\mmedskip
|
|
|
|
Összeadás: $\u{a + b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$\\
|
|
Nyújtás: ${\lambda}a = (a_1, a_2) \lor {\lambda}\u{a} = ({\lambda}a_1, {\lambda}a_2)$
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Összeadás}]
|
|
\begin{align}
|
|
\u{a} + \u{b} &= \begin{bmatrix}
|
|
a_1 + b_1 \\
|
|
a_2 + b_2 \\
|
|
... \\
|
|
a_n + b_n
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\end{align}
|
|
|
|
\tcblower
|
|
|
|
\textbf{Tulajdonságok} \\
|
|
|
|
\msmallskip
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Van értelme
|
|
\item Kommutativitás - $\u{a} + \u{b} = \u{b} + \u{a}$
|
|
\item Asszociativitás - $(\u{a} + \u{b}) + \u{c} = \u{a} + (\u{b} + \u{c})$
|
|
\item Van nullelem - ${\exists}0 \rightarrow \u{0}$
|
|
\item Minden elemre létezik additív inverz - ${\forall}\u{a} \in \mathbb{R}^n : {\exists}\u{-a}$, ahol $\u{a} + \u{-a} = \u{0}$ \\
|
|
$\u{-a} = -1 \cdot \u{a} = \u{-a}$, $\u{a} + \u{-a} = \u{0}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Szorzás számmal}]
|
|
\begin{align}
|
|
\u{a} + \u{b} &= \begin{bmatrix}
|
|
{\lambda}a_1 \\
|
|
{\lambda}a_2 \\
|
|
... \\
|
|
{\lambda}a_n
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\end{align}
|
|
|
|
\tcblower
|
|
|
|
\textbf{Tulajdonságok} \\
|
|
|
|
\msmallskip
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Van értelme
|
|
\item Asszociativitás ${\lambda}, {\mu} \in \mathbb{R}$, $({\lambda}{\mu})\u{a} = {\lambda}({\mu}\u{a})$
|
|
\item Disztributivitás ${\lambda}, {\mu} \in \mathbb{R}$, $({\lambda} + {\mu})\u{a} = {\lambda}\u{a} + {\mu}\u{b}$
|
|
\item Disztributivitás $\u{a}, \u{b} \in \mathbb{R}^n, {\lambda} \in \mathbb{R}$, ${\lambda}\u{a} + \u{b}) = {\lambda}\u{a} + {\lambda}\u{b}$
|
|
\item Létezik egységelem. $1 \cdot \u{a} = \u{a}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortér}]
|
|
$\mathbb{R}^n$vektortér $\mathbb{R}$ felett, ha igazak rá az összeadás, és a szorzás tulajdonságai.\\
|
|
|
|
\mmedskip
|
|
|
|
Azaz, ha egy $V \neq \emptyset$ tudja ezeket a tulajdonságokat, akkor $V$ vektortér $\mathbb{R}$ felett.
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Altér}]
|
|
Azt mondjuk, hogy $W \leq \mathbb{R}^n$ altere $\mathbb{R}^n$-nek, ha
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $W \neq \emptyset$
|
|
\item Ha zárt az összeadásra ($\u{a}, \u{b} \in W \Rightarrow \u{a} + \u{b} \in W$)
|
|
\item Ha zárt a számmal való szorzásra ($\u{a} \in W, {\lambda}\u{a} \in W$)
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Megj}]
|
|
$\mathbb{R}^2$ $\rightarrow$ alterei: $x, y$ tengely\\
|
|
$\mathbb{R}^3$ $\rightarrow$ alteret: A síkok is.
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektorrendszer, Lineáris kombináció}]
|
|
\textbf{Vektorrendszer}:\\
|
|
Legyen $k \geq 1$ egész. és legyenek $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$.\\
|
|
Ezeket a vektorokat együtt \textbf{vektorrendszernek} hívjuk.\\
|
|
\msmallskip
|
|
|
|
\textbf{Lineáris kombináció}:\\
|
|
Legyenek ${\lambda}_1, {\lambda}_2, ..., {\lambda}_k \in \mathbb{R}$ adottak,\\
|
|
ekkor a ${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k}$ kifejezést a\\
|
|
$\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer \u{lineáris kombinációjának} nevezzük.\\
|
|
\msmallskip
|
|
|
|
\textbf{triviális lineáris kombináció}:\\
|
|
Ha ${\lambda}_1 = {\lambda}_2 = ... = {\lambda}_k = 0$, akkor a lineáris kombináció triviális.
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris összefüggőség}]
|
|
Legyen $k \geq 1$ egész. és legyen $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$. vektorrendszer.\\
|
|
Ekkor azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszerünk \textbf{lineárisan összefüggő}, ha létezik nemtriviális lineáris kombinációja, melyre:\\
|
|
${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k} = \u{0}$
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függetlenség}]
|
|
Legyen $k \geq 1$ egész. és legyen $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$. vektorrendszer.\\
|
|
Ekkor azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszerünk \textbf{lineárisan független}, ha csak a triviális lineáris kombinációjára igaz, hogy:\\
|
|
${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k} = \u{0}$
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Bázis}]
|
|
Legyen $ V \leq \mathbb{R}^k$ altér, és legyen adott $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer.\\
|
|
Azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer \textbf{bázis} $V$-ben, ha:\\
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Lineárisan függetlenek
|
|
\item Tetszőleges eleme $V$-nek előáll belőlük lineáris kobinációként.
|
|
\end{itemize}
|
|
\mmedskip
|
|
|
|
(Megj: $n$ dimenzóban $n$ elemű egy bázis)
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Lineáris kombináció, és bázisok}]
|
|
$\u{b_1}, \u{b_2}, ..., \u{b_k}$ bázis $V$-ben, akkor $\forall \u{v} \in V$ elem \textbf{egyértelműen} előáll belőle lineáris kombinációjaként.
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Bázisok, és Lineáris kombináció}]
|
|
Ha a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer olyan V-ben, hogy ha $\forall a \in V$ egyértelműen létezik ${\alpha}_1, ..., {\alpha}_k \in \mathbb{R}$, hogy $\u{a} = {\alpha}_1\u{b_1} + {\alpha}_2\u{b_2} + ... + {\alpha}_k\u{b_k} \Rightarrow \u{b_1}, \u{b_2}, ..., \u{b_k}$ bázis.
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Bázistransformáció}]
|
|
Legyen $V \leq \mathbb{R}^n$, $\u{b_1}, u{b_2}, ..., u{b_k}$ bázis $V$-ben.\\
|
|
Legyen $a \in V$ adott, és $\u{a} = {\alpha}_1\u{v_1} + {\alpha}_2\u{v_2} + ... + {\alpha}_k\u{v_k}$.\\
|
|
Ekkor $\u{b_1}, u{b_2}, ..., u{b_k} \iff {\alpha}_i \neq 0$ bázis.\\
|
|
\mmedskip
|
|
|
|
Akkor cserélhetjük ki, ha az együtthatója nem 0 az $\u{a}$-ban.
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Képlet}]
|
|
$x_j = x_j - \frac{x_i}{{{\alpha}_i}} {\alpha}_j$
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Öf táblázat}]
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függőség}]
|
|
$A \neq \emptyset$, $A \subseteq \mathbb{R}^n$, azt mondjuk hogy $\u{v} \in \mathbb{R}^n$ \textbf{lineárisan függ} $A$-tól,\\
|
|
ha létezik véges sok elem $A$-ban, hogy $\u{v}$ előáll az ő lineáris kombinációjaként.
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függőség}]
|
|
$k \geq 2$, $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k} \in \mathbb{R}^n$,\\
|
|
ekkor $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$ összefüggő $\iff$ $\exists i \in \{ 1, ..., k \}$, hogy $a_i$ lineárisan függ a többitől.
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Áll.: Lineáris függőség}]
|
|
Ha$\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$, $\u{b} \in \mathbb{R}^n$\\
|
|
$\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$ lineárisan független, de $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}, \u{b}$ lineárisan összefüggő, akkor\\
|
|
$\u{b}$ lineárisan független az $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$ vektorrendszertől.
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Halmaz által generált altér / Lineáris Burok}]
|
|
$A \neq \emptyset$, $A \leq \mathbb{R}^n$:\\
|
|
$: W(A) = \{ \u{b} \in \mathbb{R}^n | \u{v}$ lineárisan függ $A$-tól $\}$
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektor koordinátái}]
|
|
\begin{align}
|
|
[a]_{\u{b_1}, \u{b_2}, ..., \u{b_k}} &= \begin{bmatrix}
|
|
{\lambda}a_1 \\
|
|
{\lambda}a_2 \\
|
|
... \\
|
|
{\lambda}a_n
|
|
\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^k
|
|
\end{align}
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
|
|
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Altér}]
|
|
$W(A)$ altér $(A \neq \emptyset)$
|
|
\end{tcolorbox}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|