% Compile twice! % With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! % !TEX root = ./Headers/PrezA4Page.tex % Uncomment these to get the presentation form %\documentclass{beamer} %\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} % Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article %\documentclass[10pt]{article} %\usepackage{geometry} %\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} %\usepackage{beamerarticle} %\renewcommand{\\}{\par\noindent} %\setbeamertemplate{note page}[plain] % Half A4 geometry %\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} % "1/3" A4 geometry %\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} % "1/6" A4 geometry %\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} % "1/5" A4 geometry %\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} % "1/4" A4 geometry %\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} % Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page. %\usepackage{pgfpages} % Choose one %\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper] %\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper] %\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper] % Includes \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-graph} \usetikzlibrary{shapes,arrows,automata} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{booktabs} \usepackage{array} \usepackage{arydshln} \usepackage{enumerate} \usepackage[many, poster]{tcolorbox} \usepackage{pgf} \usepackage[makeroom]{cancel} % Colors \definecolor{myred}{rgb}{0.87,0.18,0} \definecolor{myorange}{rgb}{1,0.4,0} \definecolor{myyellowdarker}{rgb}{1,0.69,0} \definecolor{myyellowlighter}{rgb}{0.91,0.73,0} \definecolor{myyellow}{rgb}{0.97,0.78,0.36} \definecolor{myblue}{rgb}{0,0.38,0.47} \definecolor{mygreen}{rgb}{0,0.52,0.37} \colorlet{mybg}{myyellow!5!white} \colorlet{mybluebg}{myyellowlighter!3!white} \colorlet{mygreenbg}{myyellowlighter!3!white} \setbeamertemplate{itemize item}{\color{black}$-$} \setbeamertemplate{itemize subitem}{\color{black}$-$} \setbeamercolor*{enumerate item}{fg=black} \setbeamercolor*{enumerate subitem}{fg=black} \setbeamercolor*{enumerate subsubitem}{fg=black} \renewcommand{\tiny}{\footnotesize} \renewcommand{\small}{\footnotesize} % These are different themes, only uncomment one at a time \tcbset{enhanced,fonttitle=\bfseries,boxsep=7pt,arc=0pt,colframe={myyellowlighter},colbacktitle={myyellow},colback={mybg},coltitle={black}, coltext={black},attach boxed title to top left={xshift=-2mm,yshift=-2mm},boxed title style={size=small,arc=0mm}} %\tcbset{colback=yellow!5!white,colframe=yellow!84!black} %\tcbset{enhanced,colback=red!10!white,colframe=red!75!black,colbacktitle=red!50!yellow,fonttitle= %\tcbset{enhanced,attach boxed title to top left} %\tcbset{enhanced,fonttitle=\bfseries,boxsep=5pt,arc=8pt,borderline={0.5pt}{0pt}{red},borderline={0.5pt}{5pt}{blue,dotted},borderline={0.5pt}{-5pt}{green}} % Beamer theme \usetheme{boxes} % tikz settings for the flowchart(s) \tikzstyle{decision} = [diamond, minimum width=3cm, minimum height=1cm, text centered, draw=black, fill=green!15] \tikzstyle{tcolorbox} = [rectangle, draw, fill=blue!15, text width=20em, text centered, minimum height=1em] \tikzstyle{line} = [draw, -latex'] \tikzstyle{cloud} = [draw, ellipse,fill=red!20, node distance=3cm, minimum height=2em] \tikzstyle{arrow} = [thick,->,>=stealth] \newcolumntype{C}[1]{>{\centering\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \setlength\dashlinedash{0.2pt} \setlength\dashlinegap{1.5pt} \setlength\arrayrulewidth{0.3pt} \newcommand{\mtinyskip}{\vspace{0.2em}} \newcommand{\msmallskip}{\vspace{0.3em}} \newcommand{\mmedskip}{\vspace{0.5em}} \newcommand{\mbigskip}{\vspace{1em}} \renewcommand{\u}[1]{\underline{#1}} \begin{document} \begin{frame}[plain] \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] {\Huge Lineáris Algebra és Geometria}\\ \mbigskip \\ A kisbetűs szövegek (LaTeX-ben tiny), (Ha nincs előttük (S) jelzés, akkor lemaradt)\\ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók! \end{tcolorbox} \end{frame} %\begin{tcolorbox}[title={Def.: }] %\end{tcolorbox} % -------------------- HALMAZOK, RELÁCIÓK -------------------- \begin{frame}[plain] \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] {\Huge Vektorterek, Leképzések} \mmedskip \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Linearitás}] $f$ leképzés lineáris, ha:\\ \begin{itemize} \item $f(a + b) = f(a) + f(b)$ \item ${\lambda}f(a) = f({\lambda}b)$ \end{itemize} \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektorok}] $\u{a} = (a_1, a_2), \u{b} = (b_1, b_2)$\\ \mmedskip Összeadás: $\u{a + b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$\\ Nyújtás: ${\lambda}a = (a_1, a_2) \lor {\lambda}\u{a} = ({\lambda}a_1, {\lambda}a_2)$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Összeadás}] \begin{align} \u{a} + \u{b} &= \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ ... \\ a_n + b_n \end{bmatrix} \end{align} \tcblower \textbf{Tulajdonságok} \\ \msmallskip \begin{enumerate} \item Van értelme \item Kommutativitás - $\u{a} + \u{b} = \u{b} + \u{a}$ \item Asszociativitás - $(\u{a} + \u{b}) + \u{c} = \u{a} + (\u{b} + \u{c})$ \item Van nullelem - ${\exists}0 \rightarrow \u{0}$ \item Minden elemre létezik additív inverz - ${\forall}\u{a} \in \mathbb{R}^n : {\exists}\u{-a}$, ahol $\u{a} + \u{-a} = \u{0}$ \\ $\u{-a} = -1 \cdot \u{a} = \u{-a}$, $\u{a} + \u{-a} = \u{0}$ \end{enumerate} \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Szorzás számmal}] \begin{align} \u{a} + \u{b} &= \begin{bmatrix} {\lambda}a_1 \\ {\lambda}a_2 \\ ... \\ {\lambda}a_n \end{bmatrix} \end{align} \tcblower \textbf{Tulajdonságok} \\ \msmallskip \begin{enumerate} \item Van értelme \item Asszociativitás ${\lambda}, {\mu} \in \mathbb{R}$, $({\lambda}{\mu})\u{a} = {\lambda}({\mu}\u{a})$ \item Disztributivitás ${\lambda}, {\mu} \in \mathbb{R}$, $({\lambda} + {\mu})\u{a} = {\lambda}\u{a} + {\mu}\u{b}$ \item Disztributivitás $\u{a}, \u{b} \in \mathbb{R}^n, {\lambda} \in \mathbb{R}$, ${\lambda}\u{a} + \u{b}) = {\lambda}\u{a} + {\lambda}\u{b}$ \item Létezik egységelem. $1 \cdot \u{a} = \u{a}$ \end{enumerate} \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortér}] $\mathbb{R}^n$vektortér $\mathbb{R}$ felett, ha igazak rá az összeadás, és a szorzás tulajdonságai.\\ \mmedskip Azaz, ha egy $V \neq \emptyset$ tudja ezeket a tulajdonságokat, akkor $V$ vektortér $\mathbb{R}$ felett. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Altér}] Azt mondjuk, hogy $W \leq \mathbb{R}^n$ altere $\mathbb{R}^n$-nek, ha \begin{enumerate} \item $W \neq \emptyset$ \item Ha zárt az összeadásra ($\u{a}, \u{b} \in W \Rightarrow \u{a} + \u{b} \in W$) \item Ha zárt a számmal való szorzásra ($\u{a} \in W, {\lambda}\u{a} \in W$) \end{enumerate} \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Megj}] $\mathbb{R}^2$ $\rightarrow$ alterei: $x, y$ tengely\\ $\mathbb{R}^3$ $\rightarrow$ alteret: A síkok is. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektorrendszer, Lineáris kombináció}] \textbf{Vektorrendszer}:\\ Legyen $k \geq 1$ egész. és legyenek $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$.\\ Ezeket a vektorokat együtt \textbf{vektorrendszernek} hívjuk.\\ \msmallskip \textbf{Lineáris kombináció}:\\ Legyenek ${\lambda}_1, {\lambda}_2, ..., {\lambda}_k \in \mathbb{R}$ adottak,\\ ekkor a ${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k}$ kifejezést a\\ $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer \u{lineáris kombinációjának} nevezzük.\\ \msmallskip \textbf{triviális lineáris kombináció}:\\ Ha ${\lambda}_1 = {\lambda}_2 = ... = {\lambda}_k = 0$, akkor a lineáris kombináció triviális. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris összefüggőség}] Legyen $k \geq 1$ egész. és legyen $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$. vektorrendszer.\\ Ekkor azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszerünk \textbf{lineárisan összefüggő}, ha létezik nemtriviális lineáris kombinációja, melyre:\\ ${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k} = \u{0}$ \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függetlenség}] Legyen $k \geq 1$ egész. és legyen $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$. vektorrendszer.\\ Ekkor azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszerünk \textbf{lineárisan független}, ha csak a triviális lineáris kombinációjára igaz, hogy:\\ ${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k} = \u{0}$ \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Bázis}] Legyen $ V \leq \mathbb{R}^k$ altér, és legyen adott $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer.\\ Azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer \textbf{bázis} $V$-ben, ha:\\ \begin{itemize} \item Lineárisan függetlenek \item Tetszőleges eleme $V$-nek előáll belőlük lineáris kobinációként. \end{itemize} \mmedskip (Megj: $n$ dimenzóban $n$ elemű egy bázis) \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Lineáris kombináció, és bázisok}] $\u{b_1}, \u{b_2}, ..., \u{b_k}$ bázis $V$-ben, akkor $\forall \u{v} \in V$ elem \textbf{egyértelműen} előáll belőle lineáris kombinációjaként. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Bázisok, és Lineáris kombináció}] Ha a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer olyan V-ben, hogy ha $\forall a \in V$ egyértelműen létezik ${\alpha}_1, ..., {\alpha}_k \in \mathbb{R}$, hogy $\u{a} = {\alpha}_1\u{b_1} + {\alpha}_2\u{b_2} + ... + {\alpha}_k\u{b_k} \Rightarrow \u{b_1}, \u{b_2}, ..., \u{b_k}$ bázis. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Bázistransformáció}] Legyen $V \leq \mathbb{R}^n$, $\u{b_1}, u{b_2}, ..., u{b_k}$ bázis $V$-ben.\\ Legyen $a \in V$ adott, és $\u{a} = {\alpha}_1\u{v_1} + {\alpha}_2\u{v_2} + ... + {\alpha}_k\u{v_k}$.\\ Ekkor $\u{b_1}, u{b_2}, ..., u{b_k} \iff {\alpha}_i \neq 0$ bázis.\\ \mmedskip Akkor cserélhetjük ki, ha az együtthatója nem 0 az $\u{a}$-ban. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Képlet}] $x_j = x_j - \frac{x_i}{{{\alpha}_i}} {\alpha}_j$ \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Öf táblázat}] \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függőség}] $A \neq \emptyset$, $A \subseteq \mathbb{R}^n$, azt mondjuk hogy $\u{v} \in \mathbb{R}^n$ \textbf{lineárisan függ} $A$-tól,\\ ha létezik véges sok elem $A$-ban, hogy $\u{v}$ előáll az ő lineáris kombinációjaként. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függőség}] $k \geq 2$, $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k} \in \mathbb{R}^n$,\\ ekkor $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$ összefüggő $\iff$ $\exists i \in \{ 1, ..., k \}$, hogy $a_i$ lineárisan függ a többitől. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Áll.: Lineáris függőség}] Ha$\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$, $\u{b} \in \mathbb{R}^n$\\ $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$ lineárisan független, de $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}, \u{b}$ lineárisan összefüggő, akkor\\ $\u{b}$ lineárisan független az $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$ vektorrendszertől. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Halmaz által generált altér / Lineáris Burok}] $A \neq \emptyset$, $A \leq \mathbb{R}^n$:\\ $: W(A) = \{ \u{b} \in \mathbb{R}^n | \u{v}$ lineárisan függ $A$-tól $\}$ \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektor koordinátái}] \begin{align} [a]_{\u{b_1}, \u{b_2}, ..., \u{b_k}} &= \begin{bmatrix} {\lambda}a_1 \\ {\lambda}a_2 \\ ... \\ {\lambda}a_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^k \end{align} \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Altér}] $W(A)$ altér $(A \neq \emptyset)$ \end{tcolorbox} \end{frame} \end{document}