From f546bb8311bb8c63b0214564506a9c4408102604 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Sun, 18 Mar 2018 22:32:51 +0100 Subject: [PATCH] Linalg. --- Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex | 144 +++++++++++++++++++-- 1 file changed, 135 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex index 3004d74..a9293de 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex @@ -147,18 +147,144 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók! \mmedskip Összeadás: $\u{a + b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$\\ - Nagyítás: ${\lambda}a = (a_1, a_2) \lor {\lambda}\u{a} = ({\lambda}a_1, {\lambda}a_2)$ + Nyújtás: ${\lambda}a = (a_1, a_2) \lor {\lambda}\u{a} = ({\lambda}a_1, {\lambda}a_2)$ \end{tcolorbox} - \begin{tcolorbox}[title={Def.: Összeadás}] - $f$ leképzés lineáris, ha:\\ - \begin{itemize} - \item $f(a + b) = f(a) + f(b)$ - \item ${\lambda}f(a) = f({\lambda}b)$ - \end{itemize} - \end{tcolorbox} + \end{frame} + + \begin{frame} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Összeadás}] + \begin{align} + \u{a} + \u{b} &= \begin{bmatrix} + a_1 + b_1 \\ + a_2 + b_2 \\ + ... \\ + a_n + b_n + \end{bmatrix} + \end{align} + + \tcblower + + \textbf{Tulajdonságok} \\ + + \msmallskip + + \begin{enumerate} + \item Van értelme + \item Kommutativitás - $\u{a} + \u{b} = \u{b} + \u{a}$ + \item Asszociativitás - $(\u{a} + \u{b}) + \u{c} = \u{a} + (\u{b} + \u{c})$ + \item Van nullelem - ${\exists}0 \rightarrow \u{0}$ + \item Minden elemre létezik additív inverz - ${\forall}\u{a} \in \mathbb{R}^n : {\exists}\u{-a}$, ahol $\u{a} + \u{-a} = \u{0}$ \\ + $\u{-a} = -1 \cdot \u{a} = \u{-a}$, $\u{a} + \u{-a} = \u{0}$ + \end{enumerate} + \end{tcolorbox} -\end{frame} + \end{frame} + + \begin{frame} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Szorzás számmal}] + \begin{align} + \u{a} + \u{b} &= \begin{bmatrix} + {\lambda}a_1 \\ + {\lambda}a_2 \\ + ... \\ + {\lambda}a_n + \end{bmatrix} + \end{align} + + \tcblower + + \textbf{Tulajdonságok} \\ + + \msmallskip + + \begin{enumerate} + \item Van értelme + \item Asszociativitás ${\lambda}, {\mu} \in \mathbb{R}$, $({\lambda}{\mu})\u{a} = {\lambda}({\mu}\u{a})$ + \item Disztributivitás ${\lambda}, {\mu} \in \mathbb{R}$, $({\lambda} + {\mu})\u{a} = {\lambda}\u{a} + {\mu}\u{b}$ + \item Disztributivitás $\u{a}, \u{b} \in \mathbb{R}^n, {\lambda} \in \mathbb{R}$, ${\lambda}\u{a} + \u{b}) = {\lambda}\u{a} + {\lambda}\u{b}$ + \item Létezik egységelem. $1 \cdot \u{a} = \u{a}$ + \end{enumerate} + + \end{tcolorbox} + + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortér}] + $\mathbb{R}^n$vektortér $\mathbb{R}$ felett, ha igazak rá az összeadás, és a szorzás tulajdonságai.\\ + \mmedskip + + Azaz, ha egy $V \neq \emptyset$ tudja ezeket a tulajdonságokat, akkor $V$ vektortér $\mathbb{R}$ felett. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Altér}] + Azt mondjuk, hogy $W \leq \mathbb{R}^n$ altere $\mathbb{R}^n$-nek, ha + \begin{enumerate} + \item $W \neq \emptyset$ + \item Ha zárt az összeadásra ($\u{a}, \u{b} \in W \Rightarrow \u{a} + \u{b} \in W$) + \item Ha zárt a számmal való szorzásra ($\u{a} \in W, {\lambda}\u{a} \in W$) + \end{enumerate} + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Megj}] + $\mathbb{R}^2$ $\rightarrow$ alterei: $x, y$ tengely\\ + $\mathbb{R}^3$ $\rightarrow$ alteret: A síkok is. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektorrendszer, Lineáris kombináció}] + \textbf{Vektorrendszer}:\\ + Legyen $k \geq 1$ egész. és legyenek $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$.\\ + Ezeket a vektorokat együtt \textbf{vektorrendszernek} hívjuk.\\ + \msmallskip + + \textbf{Lineáris kombináció}:\\ + Legyenek ${\lambda}_1, {\lambda}_2, ..., {\lambda}_k \in \mathbb{R}$ adottak,\\ + ekkor a ${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k}$ kifejezést a\\ + $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer \u{lineáris kombinációjának} nevezzük.\\ + \msmallskip + + \textbf{triviális lineáris kombináció}:\\ + Ha ${\lambda}_1 = {\lambda}_2 = ... = {\lambda}_k = 0$, akkor a lineáris kombináció triviális. + \end{tcolorbox} + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris összefüggőség}] + Legyen $k \geq 1$ egész. és legyen $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$. vektorrendszer.\\ + Ekkor azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszerünk \textbf{lineárisan összefüggő}, ha létezik nemtriviális lineáris kombinációja, melyre:\\ + ${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k} = \u{0}$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függetlenség}] + Legyen $k \geq 1$ egész. és legyen $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$. vektorrendszer.\\ + Ekkor azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszerünk \textbf{lineárisan független}, ha csak a triviális lineáris kombinációjára igaz, hogy:\\ + ${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k} = \u{0}$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Bázis}] + Legyen $ V \leq \mathbb{R}^k$ altér, és legyen adott $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer.\\ + Azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer \textbf{bázis} $V$-ben, ha:\\ + \begin{itemize} + \item Lineárisan függetlenek + \item Tetszőleges eleme $V$-nek előáll belőlük lineáris kobinációként. + \end{itemize} + \mmedskip + + (Megj: $n$ dimenzóban $n$ elemű egy bázis) + \end{tcolorbox} + + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Bázistransformáció}] + Legyen $V \leq \mathbb{R}^n$, $\u{b_1}, u{b_2}, ..., u{b_k}$ bázis $V$-ben.\\ + Legyen $a \in V$ adott, és $\u{a} = {\alpha}_1\u{v_1} + {\alpha}_2\u{v_2} + ... + {\alpha}_k\u{v_k}$.\\ + Ekkor $\u{b_1}, u{b_2}, ..., u{b_k}$ nyd + \end{tcolorbox} + \end{frame} \end{document}