mirror of
https://github.com/Relintai/Documents.git
synced 2025-04-05 05:32:44 +02:00
Merge branch 'master' of https://github.com/Relintai/documents
This commit is contained in:
commit
78ee8baae1
@ -147,18 +147,298 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók!
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Összeadás: $\u{a + b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$\\
|
||||
Nagyítás: ${\lambda}a = (a_1, a_2) \lor {\lambda}\u{a} = ({\lambda}a_1, {\lambda}a_2)$
|
||||
Nyújtás: ${\lambda}a = (a_1, a_2) \lor {\lambda}\u{a} = ({\lambda}a_1, {\lambda}a_2)$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Összeadás}]
|
||||
$f$ leképzés lineáris, ha:\\
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $f(a + b) = f(a) + f(b)$
|
||||
\item ${\lambda}f(a) = f({\lambda}b)$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Összeadás}]
|
||||
\begin{align}
|
||||
\u{a} + \u{b} &= \begin{bmatrix}
|
||||
a_1 + b_1 \\
|
||||
a_2 + b_2 \\
|
||||
... \\
|
||||
a_n + b_n
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\tcblower
|
||||
|
||||
\textbf{Tulajdonságok} \\
|
||||
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Van értelme
|
||||
\item Kommutativitás - $\u{a} + \u{b} = \u{b} + \u{a}$
|
||||
\item Asszociativitás - $(\u{a} + \u{b}) + \u{c} = \u{a} + (\u{b} + \u{c})$
|
||||
\item Van nullelem - ${\exists}0 \rightarrow \u{0}$
|
||||
\item Minden elemre létezik additív inverz - ${\forall}\u{a} \in \mathbb{R}^n : {\exists}\u{-a}$, ahol $\u{a} + \u{-a} = \u{0}$ \\
|
||||
$\u{-a} = -1 \cdot \u{a} = \u{-a}$, $\u{a} + \u{-a} = \u{0}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Szorzás számmal}]
|
||||
\begin{align}
|
||||
\u{a} + \u{b} &= \begin{bmatrix}
|
||||
{\lambda}a_1 \\
|
||||
{\lambda}a_2 \\
|
||||
... \\
|
||||
{\lambda}a_n
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\tcblower
|
||||
|
||||
\textbf{Tulajdonságok} \\
|
||||
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Van értelme
|
||||
\item Asszociativitás ${\lambda}, {\mu} \in \mathbb{R}$, $({\lambda}{\mu})\u{a} = {\lambda}({\mu}\u{a})$
|
||||
\item Disztributivitás ${\lambda}, {\mu} \in \mathbb{R}$, $({\lambda} + {\mu})\u{a} = {\lambda}\u{a} + {\mu}\u{b}$
|
||||
\item Disztributivitás $\u{a}, \u{b} \in \mathbb{R}^n, {\lambda} \in \mathbb{R}$, ${\lambda}\u{a} + \u{b}) = {\lambda}\u{a} + {\lambda}\u{b}$
|
||||
\item Létezik egységelem. $1 \cdot \u{a} = \u{a}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortér}]
|
||||
$\mathbb{R}^n$vektortér $\mathbb{R}$ felett, ha igazak rá az összeadás, és a szorzás tulajdonságai.\\
|
||||
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Azaz, ha egy $V \neq \emptyset$ tudja ezeket a tulajdonságokat, akkor $V$ vektortér $\mathbb{R}$ felett.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Altér}]
|
||||
Azt mondjuk, hogy $W \leq \mathbb{R}^n$ altere $\mathbb{R}^n$-nek, ha
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $W \neq \emptyset$
|
||||
\item Ha zárt az összeadásra ($\u{a}, \u{b} \in W \Rightarrow \u{a} + \u{b} \in W$)
|
||||
\item Ha zárt a számmal való szorzásra ($\u{a} \in W, {\lambda}\u{a} \in W$)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Megj}]
|
||||
$\mathbb{R}^2$ $\rightarrow$ alterei: $x, y$ tengely\\
|
||||
$\mathbb{R}^3$ $\rightarrow$ alteret: A síkok is.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektorrendszer, Lineáris kombináció}]
|
||||
\textbf{Vektorrendszer}:\\
|
||||
Legyen $k \geq 1$ egész. és legyenek $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$.\\
|
||||
Ezeket a vektorokat együtt \textbf{vektorrendszernek} hívjuk.\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
\textbf{Lineáris kombináció}:\\
|
||||
Legyenek ${\lambda}_1, {\lambda}_2, ..., {\lambda}_k \in \mathbb{R}$ adottak,\\
|
||||
ekkor a ${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k}$ kifejezést a\\
|
||||
$\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer \u{lineáris kombinációjának} nevezzük.\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
\textbf{triviális lineáris kombináció}:\\
|
||||
Ha ${\lambda}_1 = {\lambda}_2 = ... = {\lambda}_k = 0$, akkor a lineáris kombináció triviális.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris összefüggőség}]
|
||||
Legyen $k \geq 1$ egész. és legyen $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$. vektorrendszer.\\
|
||||
Ekkor azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszerünk \textbf{lineárisan összefüggő}, ha létezik nemtriviális lineáris kombinációja, melyre:\\
|
||||
${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k} = \u{0}$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függetlenség}]
|
||||
Legyen $k \geq 1$ egész. és legyen $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$. vektorrendszer.\\
|
||||
Ekkor azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszerünk \textbf{lineárisan független}, ha csak a triviális lineáris kombinációjára igaz, hogy:\\
|
||||
${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k} = \u{0}$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Bázis}]
|
||||
Legyen $ V \leq \mathbb{R}^k$ altér, és legyen adott $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer.\\
|
||||
Azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer \textbf{bázis} $V$-ben, ha:\\
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Lineárisan függetlenek
|
||||
\item Tetszőleges eleme $V$-nek előáll belőlük lineáris kobinációként.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
(Megj: $n$ dimenzóban $n$ elemű egy bázis)
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Lineáris kombináció, és bázisok}]
|
||||
$\u{b_1}, \u{b_2}, ..., \u{b_k}$ bázis $V$-ben, akkor $\forall \u{v} \in V$ elem \textbf{egyértelműen} előáll belőle lineáris kombinációjaként.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Bázisok, és Lineáris kombináció}]
|
||||
Ha a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer olyan V-ben, hogy ha $\forall a \in V$ egyértelműen létezik ${\alpha}_1, ..., {\alpha}_k \in \mathbb{R}$, hogy $\u{a} = {\alpha}_1\u{b_1} + {\alpha}_2\u{b_2} + ... + {\alpha}_k\u{b_k} \Rightarrow \u{b_1}, \u{b_2}, ..., \u{b_k}$ bázis.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Bázistransformáció}]
|
||||
Legyen $V \leq \mathbb{R}^n$, $\u{b_1}, u{b_2}, ..., u{b_k}$ bázis $V$-ben.\\
|
||||
Legyen $a \in V$ adott, és $\u{a} = {\alpha}_1\u{v_1} + {\alpha}_2\u{v_2} + ... + {\alpha}_k\u{v_k}$.\\
|
||||
Ekkor $\u{b_1}, u{b_2}, ..., u{b_k} \iff {\alpha}_i \neq 0$ bázis.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Akkor cserélhetjük ki, ha az együtthatója nem 0 az $\u{a}$-ban.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Képlet}]
|
||||
$x_j = x_j - \frac{x_i}{{{\alpha}_i}} {\alpha}_j$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Öf táblázat}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függőség}]
|
||||
$A \neq \emptyset$, $A \subseteq \mathbb{R}^n$, azt mondjuk hogy $\u{v} \in \mathbb{R}^n$ \textbf{lineárisan függ} $A$-tól,\\
|
||||
ha létezik véges sok elem $A$-ban, hogy $\u{v}$ előáll az ő lineáris kombinációjaként.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függőség}]
|
||||
$k \geq 2$, $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k} \in \mathbb{R}^n$,\\
|
||||
ekkor $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$ összefüggő $\iff$ $\exists i \in \{ 1, ..., k \}$, hogy $a_i$ lineárisan függ a többitől.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Áll.: Lineáris függőség}]
|
||||
Ha$\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$, $\u{b} \in \mathbb{R}^n$\\
|
||||
$\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$ lineárisan független, de $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}, \u{b}$ lineárisan összefüggő, akkor\\
|
||||
$\u{b}$ lineárisan független az $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$ vektorrendszertől.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Halmaz által generált altér / Lineáris Burok}]
|
||||
$A \neq \emptyset$, $A \leq \mathbb{R}^n$:\\
|
||||
$: W(A) = \{ \u{b} \in \mathbb{R}^n | \u{v}$ lineárisan függ $A$-tól $\}$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektor koordinátái}]
|
||||
\begin{align}
|
||||
[a]_{\u{b_1}, \u{b_2}, ..., \u{b_k}} &= \begin{bmatrix}
|
||||
{\lambda}a_1 \\
|
||||
{\lambda}a_2 \\
|
||||
... \\
|
||||
{\lambda}a_n
|
||||
\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^k
|
||||
\end{align}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Altér}]
|
||||
$W(A)$ altér $(A \neq \emptyset)$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Alterek metszete}]
|
||||
Ha $V_1$ és $V_2$ is altér $\Rightarrow$ $V_1 \cap V_2$ is altér.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Span}]
|
||||
Azt mondjuk, hogy az $A \subseteq \mathbb{R}^n$ halmaz által \textbf{generált / kifeszített altér} az $A$-t tartalmazó alterek / vektorterek metszete.\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
Jel.: $Span(A)$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Span és Lineáris burok}]
|
||||
$Span(A) = W(A)$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Generátorrendszer}]
|
||||
Azt mondjuk, hogy $G$ vektorrendszer \textbf{generátorrendszere} $V$ altérnek, ha $Span(G) = W(G)$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Generátorrendszer létezése}]
|
||||
Ha $V \leq \mathbb{R}^n$-ben létezik véges méretű generátorrendszer $\Rightarrow$ belőle kiválasztható bázis.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kicserélési tétel}]
|
||||
Legyen $V \leq \mathbb{R}^n$, legyen $a_1, ..., a_k$ lineárisan független, és $b_1, ..., b_n$ generátorrendszer. Ekkor:\\
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\exists j$, hogy tetszőleges $i$-re $v_j, a_2, ..., a_k$ is Lineárisan független.\\
|
||||
(megj.: Igazából $a_1, ..., a_k$ bármilyen eleme lecserélhető)
|
||||
\item $|LF| \leq |GR|$ ($|LF|$ = $LF$ elemszáma, $LF$ = $a_1, ..., a_k$)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Bázis}]
|
||||
Ha $V \leq \mathbb{R}^n,$ és $B_1, B_2$ bázis, akkor\\
|
||||
$|B_1| < + \infty \rightarrow |B_1| = |B_2|$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bázis}]
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Minden bázis mérete $\mathbb{R}^n$-ben $n$
|
||||
\item $V \leq \mathbb{R}^n$ és van véges generátorrendszer $\Rightarrow$ Leszűkíthető bázissá.
|
||||
\item $V \leq \mathbb{R}^n$ és $v_1, ..., v_k$ vektorrendszer lineárisan független a $V$-ben. $\Rightarrow$ Leszűkíthető bázissá.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Ezekből követketik, hogy a bázis a maximális elemszámú lineárisan független vektorrendszer.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Maximális lineárisan független vektorrendszer elemszáma = minimális generátorrendszer elemszáma = bázis elemszáma
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Dimenzió}]
|
||||
$V \leq \mathbb{R}^n$ dimenziója:\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\[
|
||||
dim(V) =
|
||||
\begin{cases}
|
||||
0, & \text{ha } V = \{ \u{0} \}\\
|
||||
|B|, & \text{ha } V \neq \{ \u{0} \} \text{ (B a V-nek egy bázisa.) } \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Rang}]
|
||||
$v_1, ..., v_k \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer rangja, az általuk generált altér dimenziója.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
%Kiegészítések / Számolások
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bázistranzformáció}]
|
||||
Kérdés: Hány dimenziós?\\
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{ c|c c c c }
|
||||
\hline
|
||||
& a & b & c & d \\
|
||||
${e_1}$ & 3 & 9 & 1 & 5 \\
|
||||
${e_2}$ & 2 & 10 & 2 & 2 \\
|
||||
${e_3}$ & -1 & 1 & 1 & -3 \\
|
||||
${e_4}$ & 0 & -3 & -1 & 1 \\
|
||||
${e_5}$ & 1 & 2 & 0 & 2 \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
asd
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user