diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex index 3004d74..8a1a629 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex @@ -147,18 +147,298 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók! \mmedskip Összeadás: $\u{a + b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$\\ - Nagyítás: ${\lambda}a = (a_1, a_2) \lor {\lambda}\u{a} = ({\lambda}a_1, {\lambda}a_2)$ + Nyújtás: ${\lambda}a = (a_1, a_2) \lor {\lambda}\u{a} = ({\lambda}a_1, {\lambda}a_2)$ \end{tcolorbox} - \begin{tcolorbox}[title={Def.: Összeadás}] - $f$ leképzés lineáris, ha:\\ - \begin{itemize} - \item $f(a + b) = f(a) + f(b)$ - \item ${\lambda}f(a) = f({\lambda}b)$ - \end{itemize} - \end{tcolorbox} + \end{frame} + + \begin{frame} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Összeadás}] + \begin{align} + \u{a} + \u{b} &= \begin{bmatrix} + a_1 + b_1 \\ + a_2 + b_2 \\ + ... \\ + a_n + b_n + \end{bmatrix} + \end{align} + + \tcblower + + \textbf{Tulajdonságok} \\ + + \msmallskip + + \begin{enumerate} + \item Van értelme + \item Kommutativitás - $\u{a} + \u{b} = \u{b} + \u{a}$ + \item Asszociativitás - $(\u{a} + \u{b}) + \u{c} = \u{a} + (\u{b} + \u{c})$ + \item Van nullelem - ${\exists}0 \rightarrow \u{0}$ + \item Minden elemre létezik additív inverz - ${\forall}\u{a} \in \mathbb{R}^n : {\exists}\u{-a}$, ahol $\u{a} + \u{-a} = \u{0}$ \\ + $\u{-a} = -1 \cdot \u{a} = \u{-a}$, $\u{a} + \u{-a} = \u{0}$ + \end{enumerate} + \end{tcolorbox} -\end{frame} + \end{frame} + + \begin{frame} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Szorzás számmal}] + \begin{align} + \u{a} + \u{b} &= \begin{bmatrix} + {\lambda}a_1 \\ + {\lambda}a_2 \\ + ... \\ + {\lambda}a_n + \end{bmatrix} + \end{align} + + \tcblower + + \textbf{Tulajdonságok} \\ + + \msmallskip + + \begin{enumerate} + \item Van értelme + \item Asszociativitás ${\lambda}, {\mu} \in \mathbb{R}$, $({\lambda}{\mu})\u{a} = {\lambda}({\mu}\u{a})$ + \item Disztributivitás ${\lambda}, {\mu} \in \mathbb{R}$, $({\lambda} + {\mu})\u{a} = {\lambda}\u{a} + {\mu}\u{b}$ + \item Disztributivitás $\u{a}, \u{b} \in \mathbb{R}^n, {\lambda} \in \mathbb{R}$, ${\lambda}\u{a} + \u{b}) = {\lambda}\u{a} + {\lambda}\u{b}$ + \item Létezik egységelem. $1 \cdot \u{a} = \u{a}$ + \end{enumerate} + + \end{tcolorbox} + + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortér}] + $\mathbb{R}^n$vektortér $\mathbb{R}$ felett, ha igazak rá az összeadás, és a szorzás tulajdonságai.\\ + \mmedskip + + Azaz, ha egy $V \neq \emptyset$ tudja ezeket a tulajdonságokat, akkor $V$ vektortér $\mathbb{R}$ felett. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Altér}] + Azt mondjuk, hogy $W \leq \mathbb{R}^n$ altere $\mathbb{R}^n$-nek, ha + \begin{enumerate} + \item $W \neq \emptyset$ + \item Ha zárt az összeadásra ($\u{a}, \u{b} \in W \Rightarrow \u{a} + \u{b} \in W$) + \item Ha zárt a számmal való szorzásra ($\u{a} \in W, {\lambda}\u{a} \in W$) + \end{enumerate} + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Megj}] + $\mathbb{R}^2$ $\rightarrow$ alterei: $x, y$ tengely\\ + $\mathbb{R}^3$ $\rightarrow$ alteret: A síkok is. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektorrendszer, Lineáris kombináció}] + \textbf{Vektorrendszer}:\\ + Legyen $k \geq 1$ egész. és legyenek $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$.\\ + Ezeket a vektorokat együtt \textbf{vektorrendszernek} hívjuk.\\ + \msmallskip + + \textbf{Lineáris kombináció}:\\ + Legyenek ${\lambda}_1, {\lambda}_2, ..., {\lambda}_k \in \mathbb{R}$ adottak,\\ + ekkor a ${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k}$ kifejezést a\\ + $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer \u{lineáris kombinációjának} nevezzük.\\ + \msmallskip + + \textbf{triviális lineáris kombináció}:\\ + Ha ${\lambda}_1 = {\lambda}_2 = ... = {\lambda}_k = 0$, akkor a lineáris kombináció triviális. + \end{tcolorbox} + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris összefüggőség}] + Legyen $k \geq 1$ egész. és legyen $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$. vektorrendszer.\\ + Ekkor azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszerünk \textbf{lineárisan összefüggő}, ha létezik nemtriviális lineáris kombinációja, melyre:\\ + ${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k} = \u{0}$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függetlenség}] + Legyen $k \geq 1$ egész. és legyen $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k} \in \mathbb{R}^n$. vektorrendszer.\\ + Ekkor azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszerünk \textbf{lineárisan független}, ha csak a triviális lineáris kombinációjára igaz, hogy:\\ + ${\lambda}_1\u{v_1} + {\lambda}_2\u{v_2} + ... + {\lambda}_k\u{v_k} = \u{0}$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Bázis}] + Legyen $ V \leq \mathbb{R}^k$ altér, és legyen adott $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer.\\ + Azt mondjuk, hogy a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer \textbf{bázis} $V$-ben, ha:\\ + \begin{itemize} + \item Lineárisan függetlenek + \item Tetszőleges eleme $V$-nek előáll belőlük lineáris kobinációként. + \end{itemize} + \mmedskip + + (Megj: $n$ dimenzóban $n$ elemű egy bázis) + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Lineáris kombináció, és bázisok}] + $\u{b_1}, \u{b_2}, ..., \u{b_k}$ bázis $V$-ben, akkor $\forall \u{v} \in V$ elem \textbf{egyértelműen} előáll belőle lineáris kombinációjaként. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Bázisok, és Lineáris kombináció}] + Ha a $\u{v_1}, \u{v_2}, ..., \u{v_k}$ vektorrendszer olyan V-ben, hogy ha $\forall a \in V$ egyértelműen létezik ${\alpha}_1, ..., {\alpha}_k \in \mathbb{R}$, hogy $\u{a} = {\alpha}_1\u{b_1} + {\alpha}_2\u{b_2} + ... + {\alpha}_k\u{b_k} \Rightarrow \u{b_1}, \u{b_2}, ..., \u{b_k}$ bázis. + \end{tcolorbox} + + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Bázistransformáció}] + Legyen $V \leq \mathbb{R}^n$, $\u{b_1}, u{b_2}, ..., u{b_k}$ bázis $V$-ben.\\ + Legyen $a \in V$ adott, és $\u{a} = {\alpha}_1\u{v_1} + {\alpha}_2\u{v_2} + ... + {\alpha}_k\u{v_k}$.\\ + Ekkor $\u{b_1}, u{b_2}, ..., u{b_k} \iff {\alpha}_i \neq 0$ bázis.\\ + \mmedskip + + Akkor cserélhetjük ki, ha az együtthatója nem 0 az $\u{a}$-ban. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Képlet}] + $x_j = x_j - \frac{x_i}{{{\alpha}_i}} {\alpha}_j$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Öf táblázat}] + \end{tcolorbox} + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függőség}] + $A \neq \emptyset$, $A \subseteq \mathbb{R}^n$, azt mondjuk hogy $\u{v} \in \mathbb{R}^n$ \textbf{lineárisan függ} $A$-tól,\\ + ha létezik véges sok elem $A$-ban, hogy $\u{v}$ előáll az ő lineáris kombinációjaként. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris függőség}] + $k \geq 2$, $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k} \in \mathbb{R}^n$,\\ + ekkor $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$ összefüggő $\iff$ $\exists i \in \{ 1, ..., k \}$, hogy $a_i$ lineárisan függ a többitől. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Áll.: Lineáris függőség}] + Ha$\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$, $\u{b} \in \mathbb{R}^n$\\ + $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$ lineárisan független, de $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}, \u{b}$ lineárisan összefüggő, akkor\\ + $\u{b}$ lineárisan független az $\u{a_1}, u{a_2}, ..., u{a_k}$ vektorrendszertől. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Halmaz által generált altér / Lineáris Burok}] + $A \neq \emptyset$, $A \leq \mathbb{R}^n$:\\ + $: W(A) = \{ \u{b} \in \mathbb{R}^n | \u{v}$ lineárisan függ $A$-tól $\}$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektor koordinátái}] + \begin{align} + [a]_{\u{b_1}, \u{b_2}, ..., \u{b_k}} &= \begin{bmatrix} + {\lambda}a_1 \\ + {\lambda}a_2 \\ + ... \\ + {\lambda}a_n + \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^k + \end{align} + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Altér}] + $W(A)$ altér $(A \neq \emptyset)$ + \end{tcolorbox} + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Alterek metszete}] + Ha $V_1$ és $V_2$ is altér $\Rightarrow$ $V_1 \cap V_2$ is altér. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Span}] + Azt mondjuk, hogy az $A \subseteq \mathbb{R}^n$ halmaz által \textbf{generált / kifeszített altér} az $A$-t tartalmazó alterek / vektorterek metszete.\\ + \msmallskip + + Jel.: $Span(A)$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Span és Lineáris burok}] + $Span(A) = W(A)$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Generátorrendszer}] + Azt mondjuk, hogy $G$ vektorrendszer \textbf{generátorrendszere} $V$ altérnek, ha $Span(G) = W(G)$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Generátorrendszer létezése}] + Ha $V \leq \mathbb{R}^n$-ben létezik véges méretű generátorrendszer $\Rightarrow$ belőle kiválasztható bázis. + \end{tcolorbox} + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kicserélési tétel}] + Legyen $V \leq \mathbb{R}^n$, legyen $a_1, ..., a_k$ lineárisan független, és $b_1, ..., b_n$ generátorrendszer. Ekkor:\\ + \begin{itemize} + \item $\exists j$, hogy tetszőleges $i$-re $v_j, a_2, ..., a_k$ is Lineárisan független.\\ + (megj.: Igazából $a_1, ..., a_k$ bármilyen eleme lecserélhető) + \item $|LF| \leq |GR|$ ($|LF|$ = $LF$ elemszáma, $LF$ = $a_1, ..., a_k$) + \end{itemize} + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Bázis}] + Ha $V \leq \mathbb{R}^n,$ és $B_1, B_2$ bázis, akkor\\ + $|B_1| < + \infty \rightarrow |B_1| = |B_2|$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Bázis}] + \begin{itemize} + \item Minden bázis mérete $\mathbb{R}^n$-ben $n$ + \item $V \leq \mathbb{R}^n$ és van véges generátorrendszer $\Rightarrow$ Leszűkíthető bázissá. + \item $V \leq \mathbb{R}^n$ és $v_1, ..., v_k$ vektorrendszer lineárisan független a $V$-ben. $\Rightarrow$ Leszűkíthető bázissá. + \end{itemize} + \mmedskip + + Ezekből követketik, hogy a bázis a maximális elemszámú lineárisan független vektorrendszer.\\ + \mmedskip + + Maximális lineárisan független vektorrendszer elemszáma = minimális generátorrendszer elemszáma = bázis elemszáma + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Dimenzió}] + $V \leq \mathbb{R}^n$ dimenziója:\\ + \mmedskip + + \[ + dim(V) = + \begin{cases} + 0, & \text{ha } V = \{ \u{0} \}\\ + |B|, & \text{ha } V \neq \{ \u{0} \} \text{ (B a V-nek egy bázisa.) } \\ + \end{cases} + \] + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Rang}] + $v_1, ..., v_k \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer rangja, az általuk generált altér dimenziója. + \end{tcolorbox} + \end{frame} + + + + %Kiegészítések / Számolások + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Bázistranzformáció}] + Kérdés: Hány dimenziós?\\ + + \begin{center} + \begin{tabular}{ c|c c c c } + \hline + & a & b & c & d \\ + ${e_1}$ & 3 & 9 & 1 & 5 \\ + ${e_2}$ & 2 & 10 & 2 & 2 \\ + ${e_3}$ & -1 & 1 & 1 & -3 \\ + ${e_4}$ & 0 & -3 & -1 & 1 \\ + ${e_5}$ & 1 & 2 & 0 & 2 \\ + \hline + \end{tabular} + \end{center} + \mmedskip + + asd + \end{tcolorbox} + \end{frame} \end{document}