diff --git a/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex b/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex index 8a0bc3a..4d9c98e 100644 --- a/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex +++ b/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex @@ -1,4 +1,5 @@ % Compile twice! +% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! \documentclass{beamer} \usepackage{tikz} @@ -17,7 +18,7 @@ \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] \node[anchor=center] at (current page.center) { \begin{beamercolorbox}[center]{title} - {\Huge Diszkrét Matematika}\\ + {\Huge A Számítástudomány Alapjai I}\\ {\Large Vizsgatételek} \end{beamercolorbox}}; \end{tikzpicture} @@ -27,7 +28,7 @@ \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] \node[anchor=center] at (current page.center) { \begin{beamercolorbox}[center]{title} - {\Huge Halmazok, Relációk} + {\Huge Logika} \end{beamercolorbox}}; \end{tikzpicture} \end{frame} @@ -35,32 +36,45 @@ \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Minden dolog halmaza} -Nincs olyan halmaz, amelynek minden dolog eleme. -\end{block} +\begin{block}{Tétel: Minden formula egyértelműen olvasható} +F formulára a következő állítások közül pontosan egy teljesül: + +\begin{enumerate} +\item F egy változó. +\item Pontosan egy G formulára $F = \neg G$ +\item Pontosan egy G és pontosan egy H formuláta $F = (G \land H)$ +\item Ponsotan egy G és pontosan egy H formulára $F = (G \lor H)$ +\end{enumerate} -\begin{block}{Biz} -rrrrrrrrrrrrrrrrrr \end{block} \end{frame} + \begin{frame} -\begin{block}{Definíció: Unió} -Ha A és B halmazok, akkor A és B unióján a következő halmazt értjük:\\ -$$A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}$$ +\begin{block}{Tétel: Az ítéletkalkulus kompaktsági tétele} +Egy formulahalmaz akkor és csak akkor elégíthető ki, ha minden véges részhalmaza kielégíthető. + \end{block} -\begin{block}{Tétel: Az unió tulajdonságai} -Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor: +\begin{block}{Tétel: Adekvát halmazok} +$\{\neg, \lor, \land\}, \{\neg, \lor\}, \{\neg, \land\}$ adekvát (azaz bármilyen formula leírható ezekkel), $\{\lor, \land\}$ nem adekvát. + +\end{block} + +\end{frame} + + +\begin{frame} + +\begin{block}{tétel: Equivalens állítások formulákra} +Legyenek $F, F_1, ... , F_n$ tetszőleges formulák, ekkor a következő állítások equivalensek: \begin{enumerate} -\item $A \cup \emptyset = A$ -\item $A \cup B = B \cup A$ (Kommutativitás) -\item $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup )$ (Asszociativitás) -\item $A \cup A = A$ (Idempotencia) -\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cup B = B$ +\item $\{F_1, ... , F_n\} \models F$ +\item $F_1 \land ... \land F_n \implies F$ tautológia +\item $F_1 \land ... \land F_n \land \neg F$ kielégíthetetlen. \end{enumerate} \end{block} @@ -69,441 +83,50 @@ Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor: \begin{frame} -\begin{block}{Definíció: Metszet} -Ha A és B halmazok, akkor A és B metszetén a következő halmazt értjük:\\ -$$A \cap B = \{x \in A \wedge x \in B\}$$ +\begin{block}{Lemma: Helyettesítési Lemma} +Legyenek $F, G, H$ formulák úgy, hogy $F \equiv G$ és $F$ a $G$ részformulája.\\ +Ha $H[F/G]$ azt a formulát jelöli, amelyben $F$ valamely előfordulását helyettesítettük $G$-vel, akkor +$$H \equiv H[F/G]$$ + \end{block} -\begin{block}{Tétel: A metszet tulajdonságai} -Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor: +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{block}{Tétel: Konjunktív és diszjunktív normálforma létezése} +Minden $F$ Formulához létezik vele logikailag ekvivalens konjunktív és diszjunktív normálforma. + +\end{block} + +\begin{block}{Bizonyítás} +Konjunktív: \begin{enumerate} -\item $A \cap \emptyset = \emptyset$ -\item $A \cap B = B \cap A$ (Kommutativitás) -\item $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ (Asszociativitás) -\item $A \cap A = A$ (Idempotencia) -\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cap B = A$ + \item (Negáció bevitele.) Amíg lehetséges, helyettesítsük $F$-ben a + \begin{itemize} + \item $\neg \neg G$ alakú részformulákat $G$-vel, + \item $\neg (G \land H)$ alakú részformulákat $\neg G \lor \neg H$-val, + \item $\neg (G \lor H)$ alakú részformulákat $\neg G \land \neg H$-val. + \end{itemize} + \item Amíg lehetséges, helyettesítsük $F$-ben a + \begin{itemize} + \item $F \lor (G \land H)$ alakú részformulákat $(F \lor G) \land (F \lor H)$-val, + \item $(F \land G) \lor H$ alakú részformulákat $(F \lor H) \land (G \lor H)$-val. + \end{itemize} +\end{enumerate} + +Diszjunktív: +\begin{enumerate} + \item Ugyanaz mint a konjunktív normálforma esetén. + \item Amíg lehetséges, helyettesítsük $F$-ben a + \begin{itemize} + \item $F \land (G \lor H)$ alakú részformulákat $(F \land G) \lor (F \land H)$-val, + \item $(F \lor G) \land H$ alakú részformulákat $(F \land H) \lor (G \land H)$-val. + \end{itemize} \end{enumerate} \end{block} \end{frame} -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Unió és metszet disztributivitása} -Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor: - -\begin{enumerate} -\item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (B \cap C)$ (A metszet disztributivitása az unióra nézve) - -\item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (B \cup C)$ (Az unió disztributivitása a metszetre nézve) -\end{enumerate} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Definíció: Komplementer} -Ha X halmaz, A $\wedge$ X, akkor A halmaz X-re vonatkoztatott komplementere:\\ -$$A' = X \setminus A$$ -\end{block} - -\begin{block}{Tétel: A komplementer tulajdonságai} -Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor: - -\begin{enumerate} -\item $(A')' = A$ -\item $\emptyset' = X$ -\item $A \cap A' = \emptyset$ -\item $A \cup A' = X$ -\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $B' \subseteq A'$ -\item $(A \cap B)' = A' \cup B'$ -\item $(A \cup B)' = A' \cap B'$ -\end{enumerate} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Definíció: Halmaz osztályfelbontása} -A tetszőleges X halmazt \textbf{osztályozzuk (osztályokra bontjuk)}, ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak uniójaként állítjuk elő. -\end{block} - -\begin{block}{Az X $\in$ X elem \textbf{ekvivalencia osztálya}:} -$$\overline{x} = \{y \in X : y \sim x\}$$ -\end{block} - -\begin{block}{Tétel: Ekvivalenciareláció és osztályfelbontás kapcsolata} -Valamely X halmazon értelmezett $\sim$ ekvivalenciareláció X-nek egy osztályfelbontását adja. Megfordítva, az X halmaz minden osztályfelbontása egy $\sim$ ekvivalenciarelációt hoz létre. -\end{block} - -\begin{block}{Biz} -asasdad -\end{block} - -\end{frame} - - -\begin{frame}[plain] -\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] -\node[anchor=center] at (current page.center) { -\begin{beamercolorbox}[center]{title} - {\Huge Algebrai struktúrák, számhalmazok} -\end{beamercolorbox}}; -\end{tikzpicture} -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban -Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik.} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Észrevételek gyűrűkben} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Nullosztó és regularitás} - -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Természetes számok} -Halmaz, egy nullér, és egy injektív unér művelettel (rákövetkezés) - - -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: N rendezése} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Q nem felső határ tulajdonságú} -(12. dia lap alja) -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális} -Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2. -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Az algebra alaptétele} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame}[plain] -\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] -\node[anchor=center] at (current page.center) { -\begin{beamercolorbox}[center]{title} - {\Huge Számelmélet} -\end{beamercolorbox}}; -\end{tikzpicture} -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Az oszthatóság tulajdonságai EIT-ban} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Maradékos osztás Z-ben} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem Z-ben} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: A számelmélet alaptétele} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Eukleidész tétele} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Kongruencia tulajdonságai} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Omnibusz tétel} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Euler-Fermat tétel} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: (Kis) Fermat tétel} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: A diofantikus egyenlet megoldása} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Kínai maradéktétel} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Számelméleti függvények} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: fi multiplikativitása} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: fi(n) kiszámolása} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame}[plain] -\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] -\node[anchor=center] at (current page.center) { -\begin{beamercolorbox}[center]{title} - {\Huge Kombinatorika} -\end{beamercolorbox}}; -\end{tikzpicture} -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Véges halmaz valódi részhalmaza} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Skatulya-elv} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Permutációk száma} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Variációk száma} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Ismétléses variációk száma} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Kombinációk száma} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Ismétléses kombinációk száma} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Ismétléses permutációk száma} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Binomiális tétel} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Logikai szita formula} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - - - - - - - - -\begin{frame} - -\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban} -\end{block} - -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} - -\end{frame} - - \end{document} \ No newline at end of file