Szamtud.

Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex

@@ -3,6 +3,7 @@
 
 \documentclass{beamer}
 \usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{shapes,arrows}
 
 \usepackage[T1]{fontenc}
 \usepackage{amsfonts}
@@ -11,6 +12,17 @@
 
 \usetheme{boxes}
 
+% tikz settings for the flowchart(s)
+
+% Define block styles
+
+\tikzstyle{decision} = [diamond, minimum width=3cm, minimum height=1cm, text centered, draw=black, fill=green!15]
+\tikzstyle{block} = [rectangle, draw, fill=blue!15, text width=20em, text centered, minimum height=1em]
+    
+\tikzstyle{line} = [draw, -latex']
+\tikzstyle{cloud} = [draw, ellipse,fill=red!20, node distance=3cm,
+    minimum height=2em]
+\tikzstyle{arrow} = [thick,->,>=stealth]
 
 \begin{document}
 
@@ -24,6 +36,8 @@
 \end{tikzpicture}
 \end{frame}
 
+% --------------------  LOGIKA --------------------
+
 \begin{frame}[plain]
 \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
 \node[anchor=center] at (current page.center) {
@@ -43,7 +57,7 @@ F formulára a következő állítások közül pontosan egy teljesül:
 \item F egy változó.
 \item Pontosan egy G formulára $F = \neg G$
 \item Pontosan egy G és pontosan egy H formuláta $F = (G \land H)$
-\item Ponsotan egy G és pontosan egy H formulára $F = (G \lor H)$
+\item Pontosan egy G és pontosan egy H formulára $F = (G \lor H)$
 \end{enumerate}
 
 \end{block}
@@ -129,4 +143,198 @@ Diszjunktív:
 
 \end{frame}
 
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Dedukció tétel}
+Tetszőleges $\Sigma$ formulahalmaz esetén $\Sigma \vdash F \rightarrow G$ akkor és csak akkor teljesül, ha $\Sigma \cup \{F\} \vdash G$.
+
+\end{block}
+
+\begin{block}{Tétel: Dichotómia tétel}
+Tetszőleges $\Sigma$ formulahalmaz esetén, ha $\Sigma \cup \{F\} \vdash$ (levezethető) $G$ és $\Sigma \cup \{\neg F\} \vdash G$, akkor $\Sigma \vdash G$.\\
+("Az $F$ Formula nem szól bele").
+
+\end{block}
+
+\begin{block}{Tétel: Helyességi tétel}
+Tetszőleges $\Sigma$ és $F$ esetén, ha $\Sigma \vdash F$, akkor $\Sigma \models F$.\\
+(Helyes, ha csak az elélethez tartozó formulákat lehet bizonyítani.)
+
+\end{block}
+
+\begin{block}{Tétel: Teljességi tétel}
+Minden $\Sigma$-ra és $F$-re, ha $\Sigma \models F$, akkor $\Sigma \vdash F$.\\
+(Teljes, ha minden, az elmélethez tartozó formulát be lehet bizonyítani.)
+
+\end{block}
+
+\begin{block}{Tétel: Konzisztencia tétel}
+Tetszőleges formulahalmaz, akkor és csak akkor konzisztens, ha kielégíthető.\\
+(Konzisztens, ha nem vezethető le belőle a $\downarrow$.)
+
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+% --------------------  GRÁFELMÉLET --------------------
+
+\begin{frame}[plain]
+\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
+\node[anchor=center] at (current page.center) {
+\begin{beamercolorbox}[center]{title}
+    {\Huge Gráfelmélet}
+\end{beamercolorbox}};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Fokszám-Élszám}
+Legyen $G = (V, E)$ (Gráf). Ekkor $G$-ben a páratlan fokú csúcsok száma páros.
+
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+$$\sum_{a \in V} d(a) = \sum_{d(a) \equiv 0 (mod 2)} d(a) + \sum_{d(a) \equiv 1 (mod 2)} \equiv 0 (mod 2)$$
+amiből kapjuk, hogy $$\sum_{d(a) \equiv 1 (mod 2)} d(a) \equiv 0 (mod 2)$$.
+
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Equivalens állítások fákra}
+Egy $G$ egyszerű gráfra a következő állítások equivalensek:
+
+\begin{enumerate}
+\item $G$ Fa
+\item $G$ Összefüggő, de bármely él elhagyásával kapott részgráf már nem összefüggő.
+\item Ha $v, v'$ a $G$ különböző csúcsai, akkor pontosan egy út vezet $v$-ből $v'$be.
+\item $G$-ben nincs kör, de bármely új él hozzáadásával kapott gráf már tartalmaz kört.
+\end{enumerate}
+
+\end{block}
+
+
+\begin{block}{Tétel: Elsőfokú pontok}
+Ha egy véges gráfban nincs kör, de van él, akkor van benne legalább két elsőfokú pont.
+
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame} 
+
+\begin{block}{Tétel: Ekvivalens állítások n-pontú fákra}
+Egy $G$ egyszerű gráfra a következő álítások ekvivalensek:
+
+\begin{enumerate}
+\item $G$ fa.
+\item $G$-ben nincs kör és $n - 1$ éle van.
+\item $G$ összefüggő és $n - 1$ éle van.
+\end{enumerate}
+
+\end{block}
+
+\begin{block}{Tétel: Feszítőfa létezése}
+Minden véges összefüggő $G$ gráfnak létezik feszítőfája.
+
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame} 
+
+\begin{block}{Tétel: Körök száma}
+Egy véges összefüggő $G = (E, V)$ gráfban létezik \underline{legalább} $e(G) - v(G) + 1$ különböző kör.
+
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+A feszítőfa létezése téltel miatt ($\Rightarrow$) $\exists T$ feszítőfa, aminek $v(G) - 1$ éle van.\\
+Legyen $K_f$ az a kör, ami $T \cup \{f\}$-ben van, ahol $f \in E(G) \setminus E(T)$\\
+$T_G$ komplementerben legalább $e(G) - e(T) = e(G) - (v(G) - 1) = e(G) - v(G) - 1$ ilyen $f$ él van.\\
+$\Rightarrow$ legalább $e(G) - v(G) + 1$ különbző kör.
+
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{block}{Tétel: Vágások száma}
+Egy véges összefüggő $G = (V, E)$ gráfban létezik legalább $v(G) - 1$ vágás.
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+$T$ Feszítőfa összefüggő.\\
+$\Rightarrow$ $T_G$ komplementer nem vágás.\\
+Ha $T_G$ komplementerhez hozzáveszünk egy élt $T$-ből, akkor elvágó élhalmazt kapunk, amely tartalmaz egy vágást.\\
+Ez a vágás tartalmazza $e$ élt, de másikat nem $T$ből.\\
+Mivel $T$-nek $v(G) - 1$ éle van $\Rightarrow$ legalább ennyi különböző vágást kapunk.
+
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Euler gráfok}
+Ha $G$ összefüggő véges gráf, akkor a következő állítások ekvivalensek:\\
+\begin{enumerate}
+\item $G$ Euler-gráf.
+\item $d(v)$ páros minden $v \in V(G)$-re.
+\item $G$ éldiszjunkt körök egyesítése.
+\end{enumerate}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Ore tétel}
+Legyen $G$ egy $n \geq 3$ pontú egyszerű véges gráf. Ha $$d(v) + d(w) \geq n$$ minden $v$, $w$ nem-szomszédos pontra, akkor $G$ Hamilton-gráf.
+
+\end{block}
+
+\begin{block}{Tétel: Dirac tétel}
+Legyen $G$ egy $n \geq 3$ pontú egyszerű véges gráf. Ha $$d(v) \geq \frac{n}{2}$$ minden $v$ csúcsra, akkor $G$ Hamilton-gráf.
+
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Kruskal algoritmus}
+Legyen $G = (V, E, fi , w)$ egy véges összefüggő gráf. A következő algoritmus megtalál egy minimális súlyú feszítőfát $G$-ben.
+    
+\end{block}
+
+\begin{tikzpicture}[node distance = 2cm, auto]
+    % Place nodes
+    \node [block] (step1) {\tiny{$V(F)=V(G)$ és $E(F) = \emptyset$.}};
+    \node [block, below of=step1] (step2) {\tiny{Bővítsük $F$-et egy $e$ éllel, amely minimális súlyú azon élek közül, amelyek F-hez adva még nem eredményeznek kört.}};
+    \node [decision, below of=step2] (step3) {\tiny{Van még ilyen él?}};
+    \node [block, below of=step3] (step4) {\tiny{STOP}};
+
+    \draw [arrow] (step1) -- (step2);
+    \draw [arrow] (step2) -- (step3);
+	\draw [arrow] (step3) -- node {Nem} (step4);    
+    \draw[arrow] (step3) -- node {Igen} + (5, 0.1) |- (step2);
+    
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Erős összefüggőség}
+
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
 \end{document}