2017-12-28 23:06:55 +01:00
% Compile twice!
\documentclass { beamer}
\usepackage { tikz}
\usepackage [T1] { fontenc}
\usepackage { amsfonts}
\usepackage { amsmath}
\usepackage [utf8] { inputenc}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
\usepackage [makeroom] { cancel}
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\usetheme { boxes}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
\geometry { paperwidth=160mm,paperheight=160mm}
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\begin { document}
\begin { frame} [plain]
\begin { tikzpicture} [overlay, remember picture]
\node [anchor=center] at (current page.center) {
\begin { beamercolorbox} [center]{ title}
{ \Huge Diszkrét Matematika} \\
{ \Large Vizsgatételek}
\end { beamercolorbox} } ;
\end { tikzpicture}
\end { frame}
\begin { frame} [plain]
\begin { tikzpicture} [overlay, remember picture]
\node [anchor=center] at (current page.center) {
\begin { beamercolorbox} [center]{ title}
{ \Huge Halmazok, Relációk}
\end { beamercolorbox} } ;
\end { tikzpicture}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Minden dolog halmaza}
Nincs olyan halmaz, amelynek minden dolog eleme.
\end { block}
\begin { block} { Biz}
asasdad
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Definíció: Unió}
Ha A és B halmazok, akkor A és B unióján a következő halmazt értjük:\\
$$ A \cup B = \{ x | x \in A \vee x \in B \} $$
\end { block}
\begin { block} { Tétel: Az unió tulajdonságai}
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
\begin { enumerate}
\item $ A \cup \emptyset = A $
\item $ A \cup B = B \cup A $ (Kommutativitás)
\item $ A \cup ( B \cup C ) = ( A \cup B ) \cup ) $ (Asszociativitás)
\item $ A \cup A = A $ (Idempotencia)
\item $ A \subseteq B $ akkor, és csak akkor, ha $ A \cup B = B $
\end { enumerate}
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Definíció: Metszet}
Ha A és B halmazok, akkor A és B metszetén a következő halmazt értjük:\\
$$ A \cap B = \{ x \in A \wedge x \in B \} $$
\end { block}
\begin { block} { Tétel: A metszet tulajdonságai}
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
\begin { enumerate}
\item $ A \cap \emptyset = \emptyset $
\item $ A \cap B = B \cap A $ (Kommutativitás)
\item $ A \cap ( B \cap C ) = ( A \cap B ) \cap C $ (Asszociativitás)
\item $ A \cap A = A $ (Idempotencia)
\item $ A \subseteq B $ akkor, és csak akkor, ha $ A \cap B = A $
\end { enumerate}
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Unió és metszet disztributivitása}
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
\begin { enumerate}
\item $ A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( B \cap C ) $ (A metszet disztributivitása az unióra nézve)
\item $ A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( B \cup C ) $ (Az unió disztributivitása a metszetre nézve)
\end { enumerate}
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Definíció: Komplementer}
Ha X halmaz, A $ \wedge $ X, akkor A halmaz X-re vonatkoztatott komplementere:\\
$$ A' = X \setminus A $$
\end { block}
\begin { block} { Tétel: A komplementer tulajdonságai}
Legyenek A, B $ \wedge $ X halmazok. Ekkor:
\begin { enumerate}
\item $ ( A' ) ' = A $
\item $ \emptyset ' = X $
\item $ A \cap A' = \emptyset $
\item $ A \cup A' = X $
\item $ A \subseteq B $ akkor, és csak akkor, ha $ B' \subseteq A' $
\item $ ( A \cap B ) ' = A' \cup B' $
\item $ ( A \cup B ) ' = A' \cap B' $
\end { enumerate}
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Definíció: Halmaz osztályfelbontása}
A tetszőleges X halmazt \textbf { osztályozzuk (osztályokra bontjuk)} , ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak uniójaként állítjuk elő.
\end { block}
\begin { block} { Az X $ \in $ X elem \textbf { ekvivalencia osztálya} :}
$$ \overline { x } = \{ y \in X : y \sim x \} $$
\end { block}
\begin { block} { Tétel: Ekvivalenciareláció és osztályfelbontás kapcsolata}
Valamely X halmazon értelmezett $ \sim $ ekvivalenciareláció X-nek egy osztályfelbontását adja. Megfordítva, az X halmaz minden osztályfelbontása egy $ \sim $ ekvivalenciarelációt hoz létre.
\end { block}
\begin { block} { Biz}
asasdad
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame} [plain]
\begin { tikzpicture} [overlay, remember picture]
\node [anchor=center] at (current page.center) {
\begin { beamercolorbox} [center]{ title}
{ \Huge Algebrai struktúrák, számhalmazok}
\end { beamercolorbox} } ;
\end { tikzpicture}
\end { frame}
\begin { frame}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
\begin { block} { Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}
Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
Legyen $ ( G, * ) $ félcsoport, $ e _ b $ bal oldali, $ e _ j $ pedig jobb oldali egységelem $ G $ -ben.\\
Ekkor $ e _ b = e _ j $ , hiszen:\\
$ e _ be _ j = e _ j $ és $ e _ be _ j = e _ b $ , (nyíl éshez $ \rightarrow $ a függvény egyértelmű!)\\
mert $ e _ b $ bal, $ e _ j $ jobb oldali egységelem.\\
Ha az $ a \in G $ elemnek $ a _ b $ balinverze, $ a _ j $ pedig jobbinverze, akkor $ a _ b = a _ j $ .
$ a _ baa _ j = a _ b ( aa _ j ) = a _ be = a _ b $ és $ a _ baa _ j = ( a _ ba ) a _ j = ea _ j = a _ j $ . (Asszociatív tulajdonság) (nyíl éshez ide is $ \rightarrow $ a függvény egyértelmű!).d
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
\begin { block} { Lemma: Észrevételek gyűrűkben}
\begin { enumerate}
\item \textbf { Szorzás nullelemmel:} Legyen 0 az R gyűrű nulleleme. Ekkor $ a 0 = 0 a = 0 $ , minden $ a \in R $ esetén.
\item \textbf { Előjelszabály:} Legyen R gyűrű, és $ a, b \in R $ . Az $ a $ elem additív inverzés jelöljük $ - a $ -val. Ekkor $ - ( ab ) = ( - a ) b = a ( - b ) $ , tobábbá $ ( - a ) ( - b ) = ab $ .
\item \textbf { Véges integritási tartomány test.}
\item \textbf { Testben nincs nullosztó.}
\end { enumerate}
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
\begin { block} { Lemma: Nullosztó és regularitás}
R gyűrűben a multiplikatív művelet akkor, és csak akkor reguláris, ha R zérusosztómentes.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
\textbf { 1. Rész} \\
Tfh $ a \neq 0 $ , a nem bal oldali nullosztó és $ ab = ac $ .\\
$ ab = ac / - ( ac ) $ (+ additív inverz)\\
$ ab + ( - ( ac ) ) = 0 $ . Előjel szabály + disztri.\\
$ ab + ( a ( - c ) ) = a ( b + ( - c ) ) = 0 $ (Kiemeljük, csak akkor lehet, ha $ ( b + - 1 = 0 ) \implies ( b = c ) $ )\\
A feltételből ($ a $ nem baloldali nullosztó) következik, hogy $ b + ( - c ) = 0 ) $ $ \implies $ \\
$ \implies $ b = c.\\
\bigskip
\textbf { 2. Rész} \\
Tfh $ a $ bal oldali nullosztó, tehát $ a \neq 0 $ és létezik $ b \neq 0 \: ab = 0 $ .\\
tetszőleges $ c \in R $ -re: $ ac = ac $ .\\
$ ac = ac / + 0 ( 0 = ab ) $ \\
$ ac = ac + ab $ /(Disztributivitás)\\
$ ac = a ( c + b ) $ Ellentmondás!\\
Mivel $ ( b \neq 0 ) \implies ( c \neq ( c + b ) ) $ (A b nem additív egységelem).
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
\begin { block} { Tétel: Természetes számok}
A $ ( N, + , * ) $ struktúrában mindkét művelet asszociatív, kommutatív, reguláris.\\
Nullelem (additív egységelem): 0.\\
Multiplikatív egységelem: 1.\\
A szorzat mindkét oldalról disztributív az összeadásra.\\
$ { \forall } m \in N : 0 * m = m * 0 = 0 $ .
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: N rendezése}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
A természetes számok halmaza a $ \leq $ relációval jólrendezett.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
$ T $ felső határ tulajdonságú test, $ \implies $ $ T $ arkhimédészi tulajdonságú.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
\begin { block} { Bizonyítás (Indirekt)}
Tfh $ T $ felső határ tulajdonságú rendezett test, de nem arkhimédészi tulajdonságú.\\
$ \implies : { \nexists } n \in \mathbb { N } : nx \geq y $ .\\
Azaz y felső korlátja az $ A = \{ nx | n \in \mathbb { N } \} $ halmaznak.\\
Ekkor viszont létezik $ z = sup A $ $ \implies $ $ z - x < z $ nem felső korlát. $ \implies $ \\
$ implies $ $ { \exists } n : nx > z - x \implies ( n + 1 ) x > z $ . ($ ( n + 1 ) x \in A $ ).\\
Ellentmondás, mivel ha $ n \in \mathbb { N } $ , akkor $ n ^ + \in \mathbb { N } $ $ \rightarrow $ Peano axióma!
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Q nem felső határ tulajdonságú}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
$ \mathbb { Q } $ arkhimédészi tulajdonságú, de nem felső határ tulajdonságú.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: $ \sqrt { 2 } $ nem racionális}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
Nincs $ \mathbb { Q } $ -ban olyan szám, amelynek négyzete 2.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
\begin { block} { Bizonyítás (Indirekt)}
Tfh van, és ez $ x $ .\\
$ x = \frac { m } { n } , m,n \in \mathbb { N } ^ + $ , és az $ m $ minimális.\\
$ 2 = x ^ 2 = \frac { m ^ 2 } { n ^ 2 } \implies m ^ 2 = 2 n ^ 2 $ \\
Ebből következik, hogy $ m $ páros. $ \implies $ $ m = 2 k, k \in \mathbb { N } ^ + $ \\
Ebből következik, hogy $ n $ is páros: $ n = 2 j, j \in \mathbb { N } ^ + $ \\
Ekkor viszont $ \frac { m } { n } = \frac { 2 k } { 2 j } = \frac { k } { j } $ .\\
Viszont ebből koövetkezik, hogy m nem minimális $ \rightarrow $ Ellentmondás!
2017-12-28 23:06:55 +01:00
2018-01-03 02:02:38 +01:00
\end { block}
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Az algebra alaptétele}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
Ha $ n \in \mathbb { N } ^ + $ , valamint $ c _ 0 , c _ 1 , ... c _ n $ komplex számok, $ c _ n \neq 0 $ , akkor van olyan $ u $ komplex szám, amelyre:\\
$$ \sum _ { k = 0 } ^ n c _ kz ^ k = 0 $$
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame} [plain]
\begin { tikzpicture} [overlay, remember picture]
\node [anchor=center] at (current page.center) {
\begin { beamercolorbox} [center]{ title}
{ \Huge Számelmélet}
\end { beamercolorbox} } ;
\end { tikzpicture}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Az oszthatóság tulajdonságai EIT-ban}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
\begin { enumerate}
\item Ha $ b|a $ és $ b'|a' $ , akkor $ bb'|aa' $ .
\item A nullának minden elem osztója.
\item A nulla csak saját magának osztója.
\item Az 1 egységelem minden elemnek osztója.
\item Ha $ b|a $ , akkor $ bc|ac $ minden $ c \in R $ -re.
\item Ha $ bc|ac $ és $ c \neq 0 $ , akkor $ b|a $ .
\item Ha $ b|a _ i $ és $ c _ i \in R, ( i = 1 , 2 , ..., j ) $ , akkor $ b| \sum ^ j _ { i = 1 } c _ ia _ i $ .
\item Az $ | $ reláció reflexív, és tranzitív.
\end { enumerate}
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
Tetszőleges $ R $ egységelemes integritási tartományban minden $ p $ elemre:\\
Ha $ p $ prím $ \implies $ $ p $ felbonthatatlan.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
Tfh $ p $ prím, és, $ p = bc $ \\
Ekkor vagy $ p|b $ , vagy $ p|c $ \\
$ b = pq = b ( cq ) \implies cq = 1 $ $ \implies $ $ c, q $ egység $ p, b $ asszociáltak.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
\begin { block} { Tétel: Maradékos osztás $ \mathbb { Z } $ -ben}
$ { \exists } a, b ( { \neq } 0 ) \in \mathbb { Z } $ számhoz egyértelműen létezik olyan $ q, r \in \mathbb { Z } $ , hogy\\
$ a = qb + r \land 0 \leq r < |b| $ .
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
\begin { block} { Tétel: Prím és irreducibilis elem $ \mathbb { Z } $ -ben}
Az egész számok körében $ p $ prím $ \iff $ $ p $ felbonthatatlan.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
Már láttuk, hogy prím felbonthatatlan!\\
Tfh p felbonthatatlan\\
Legyen $ p|bc $ , ekkor vagy $ p | b $ -nek, ekkor ksz vagyunk.
Vagy $ p \nmid b $ ekkor $ ( p,b ) = 1 $ .\\
$ c = pcx + bcx \implies 0 mod p \implies p | c $ .\\
(Észrevétel: $ ( a, b ) = 1 \land a | bc \implies a | c $
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: A számelmélet alaptétele}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
Minden $ m $ nemnulla, nemegység, egész szám sorrendre és asszociáltásgra való tekintet nélkül egyértelműen bontható fel felbonthatatlanok szorzatára.
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás (Pozitívakra)}
\textbf { (egzisztencia)} \\
Tfh $ n > 1 $ \\
Teljes indukció: $ n = 2 $ kész, tfk $ n - 1 $ -ig kész.\\
Ha $ n $ felbonthatatlan $ \rightarrow $ kész.\\
Ha $ n $ nem felbonthatatlan $ \rightarrow $ $ n = ab \land a, b $ (a, b nem egység!), $ a, b < n $ $ \implies $ igaz rájuk az ind. feltétel.\\
$ n $ felbontása $ = $ $ a $ felbontása szor $ b $ felbontása.\\
\bigskip
\textbf { (unicitás) (Indirekt)} \\
Tfh $ n $ a legkisebb olyan szám, amely felbontása nem egyértelmű.\\
$ n = p _ 1 ... p _ k = q _ 1 ... q _ r $ $ \implies $ \\
$ p _ j|n \implies p _ 1 |q _ 1 ... q _ r $ \\
$ p _ 1 |q _ 1 $ , $ p _ 1 |q _ 2 ... q _ r $ \\
$ p _ 1 |q _ 2 p _ 1 |q _ 3 ... q _ r $ \\
$ p _ 1 |q _ i \implies p _ 1 = q _ i \implies $ \\
$ \implies $ $ n _ 1 = \frac { n } { p _ 1 } = p _ 2 ... p _ k = q _ 1 ... q _ { i - 1 } q _ { i + 1 } ... q _ r $ \\
$ n _ 1 < n $ és van két lényegesen különböző felbontása!
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Eukleidész tétele}
2018-01-03 02:02:38 +01:00
Végetlen sok prímszám van.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
\begin { block} { Bizonyítás (Indirekt)}
Tfh véges sok van:\\
$ p _ 1 , p _ 2 , ... ,p _ k $ .\\
Legyen $ n = p _ 1 p _ 2 ...p _ k $ .\\
Számelmélet alaptételéből következik hogy létezik $ p _ j : p _ j | n + 1 $ \\
$ p _ j : p _ j | n + 1 \implies p _ j | 1 $ Ellentmondás!
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Kongruencia tulajdonságai}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
\begin { enumerate}
\item Ekvivalencia reláció
\item $ a \equiv b \pmod { m } \land c \equiv d \pmod { m } \implies $ \textbf { $ a + c \equiv b + d \pmod { m } $ }
\item $ a \equiv b \pmod { m } \land c \equiv d \pmod { m } \implies $ \textbf { $ ac \equiv bd \pmod { m } $ }
\item $ a \equiv b \pmod { m } \land f ( x ) \in z [ x ] \implies $ \textbf { $ f ( a ) \equiv f ( b ) \pmod { m } $ }
\item Ha $ ( c, m ) = d $ , $ ac \equiv bc \pmod { m } \iff a \equiv b \pmod { \frac { m } { d } } $
\end { enumerate}
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Omnibusz tétel}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
Legyen: $ m > 1 $ egész, $ \{ a _ 1 , ..., a _ m \} $ TMR modulo $ m $ , $ \{ b _ 1 , ..., b _ { { \phi } ( m ) } \} $ RMR modulo $ m $ , $ c, d \in \mathbb { Z } $ , és $ ( c,m ) = 1 $ .\\
\smallskip
Ekkor:\\
\smallskip
$ \{ ca _ 1 + d, ..., ca _ m + d \} $ TMR modulo $ m $ \\
$ \{ cb _ 1 , ..., cb { { \phi } ( m ) } \} $ RMR modulo $ m $
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
\begin { block} { Bizonyítás (Indirekt)}
Tfh van két nem inkongruens elem\\
$ ca _ i + d = ca _ i + d $ \\
$ { \cancel { c } } a _ i + { \cancel { d } } = { \cancel { c } } a _ i + { \cancel { d } } $ $ ( c, m ) = 1 $ , és pontosan $ m $ db elem!\\
$ ( c, m ) = 1 $ és $ ( b _ j,m ) = 1 $ $ \implies $ $ ( cb _ j, m ) = 1 $
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Euler-Fermat tétel}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
Legyen $ m > 1 $ egész és $ a $ relatív prím $ m $ -hez. Ekkor $ a ^ { { \phi } ( m ) } \equiv 1 \pmod { m } $
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
Legyen $ \{ r _ 1 , ..., r _ { { \phi } ( m ) } \} $ RMR modulo $ m $ , $ ( a, m ) = 1 $ .\\
Az omnibusz tétel miatt, ekkor $ \{ ar _ 1 , ..., ar _ { { \phi } ( m ) } \} $ is RMR modulo $ m $ .\\
Megfelelő párosítás $ \implies $ $ r _ i \equiv ar _ j \pmod { m } $ .\\
Összehozva: $ ( r _ i, m ) = 1 $ \\
\smallskip
$$ a ^ { { \phi } ( m ) } \prod ^ { { \phi } ( m ) } _ { i = 1 } r _ i \equiv \prod ^ { { \phi } ( m ) } _ { i = 1 } r _ i \pmod { m } $$
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: (Kis) Fermat tétel}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
Legyen $ p $ prím és $ a \in \mathbb { Z } $ . Ekkor\\
(első alak) ha $ p \nmid a $ , akkor $ a ^ { p - 1 } \equiv 1 \pmod { p } $ .\\
(második alak) ha $ a $ tetszőleges, akkor $ a ^ p \equiv a \pmod { p } $ .
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
Első alak: $ { \phi } ( p ) \equiv p - 1 $ $ \rightarrow $ előző tétel miatt kész.\\
\bigskip
Második alak:\\
Ha $ p|a $ $ \rightarrow $ $ 0 \equiv 0 $ $ \rightarrow $ kész.\\
Ha $ p { \nmid } a $ $ \rightarrow $ ekkor ez az első alak $ \rightarrow $ kész.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: A diofantikus egyenlet megoldása}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
Rögzített $ a, b, c $ egész számok esetén az \textbf { $ ax + by = c $ } diofantikus egyenletnek akkor, és csak akkor van megoldása, ha $ ( a, b ) |c $ .
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
Tfh $ ax + by = c $ egyenletnek van megoldása.\\
\textbf { 1. Rész ($ \implies $ )} \\
\smallskip
Tfh $ x _ 0 , y _ 0 $ megoldás. $ \implies $ $ ( a, b ) |a \land ( a, b ) |b $ $ \implies $ lin. kombinációs tul. $ \implies $ \\
$ \implies $ $ ( a, b ) |ax _ 0 + by _ 0 = c $ (Igaz, mert az a, b osztója az $ ax _ 0 + by _ 0 $ -nak.)\\
\bigskip
\textbf { 2.Rész ($ \Longleftarrow $ )} \\
\smallskip
Tfh (a, b)|c. Ekkor:\\
$ c = ( a, b ) q $ \\
$ c = ( au + bv ) q $ \\
$ c = a ( uq ) + b ( vq ) $ \\
$ c = a ( uq ) + b ( vq ) $ $ \implies $ egy megoldás: $ x = uq, y = vq $ .\\
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Kínai maradéktétel}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
Legyen $ n \in \mathbb { N } ^ + , m _ 1 , m _ 2 , ..., m _ n \in \mathbb { N } ^ + , a _ i, b _ i \in \mathbb { Z } ( 1 <leq i \leq n ) $ , ahol
\begin { enumerate}
\item $ m _ i, m _ j $ páronként relatív prímek.
\item $ ( m _ i, a _ i ) = 1 $ , minden $ 1 \leq i \leq n $ esetén.
\end { enumerate}
Ekkor az\\
\bigskip
$ a _ 1 x \equiv b _ 1 \pmod { m _ 1 } $ \\
$ a _ 2 x \equiv b _ 2 \pmod { m _ 2 } $ \\
...\\
$ a _ nx \equiv b _ n \pmod { m _ n } $ \\
\bigskip
Kongruenciarendszer megoldható és bármely két megoldása kongruens modulo $ m _ 1 m _ 2 ...m _ n $ .
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Számelméleti függvények}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
Legyen $ n \in \mathbb { N } ^ + $ kanonikus alakja $ p _ 1 ^ { { \alpha } _ 1 } ...p _ k ^ { { \alpha } _ k } $ . Ekkor:\\
\begin { enumerate}
\item Ha $ f $ additív számelméleti függvény, akkor $$ f ( n ) = f ( p _ 1 ^ { { \alpha } _ 1 } ) + ... + f ( p _ k ^ { { \alpha } _ k } ) $$
\item Ha $ f $ multiplikatív számelméleti függvény, akkor $$ f ( n ) = f ( p _ 1 ^ { { \alpha } _ 1 } ) ...f ( p _ k ^ { { \alpha } _ k } ) $$
\item Ha $ f $ teljesen additív számelméleti függvény, akkor $$ f ( n ) = { \alpha } _ 1 f ( p _ 1 ) + ... + { \alpha } _ kf ( p _ k ) $$
\item Ha $ f $ teljesen multiplikatív számelméleti függvény, akkor $$ f ( n ) = f ( p _ 1 ) ^ { { \alpha } _ 1 } ...f ( p _ k ) ^ { { \alpha } _ k } $$
\end { enumerate}
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
\begin { block} { Tétel: $ \phi $ multiplikativitása}
$ \phi $ multiplikatív.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
\smallskip
\begin { tabular} { c c c c}
1 & 2 & ... & a \\
a + 1 & a + 2 & ... & 2a\\
& & ... & \\
(b - 1)a + 1 & (b - 1)a + 2 & ... & ba
\end { tabular}
\smallskip
Számoljuk meg, hogy a táblázatban hány relatív prím van $ ab $ -hez: ennyi lesz $ { \phi } ( ab ) $ értéke.\\
(Ha $ a $ is $ b $ is relatív prím $ c $ -hez, akkor $ ab $ is. $ \implies $ azokat kell számolni, amelyek $ a $ -hoz és $ b $ -hez is rel. prímek)\\
\smallskip
AZ Omnibusz tételből következik hogy minden oszlop TMR mod $ b $ , ha $ ( a, b ) = 1 $ $ \implies $ \\
$ \implies $ minden oszlopban $ { \phi } ( b ) $ rel. prím $ b $ -hez.\\
\smallskip
| Minden oszlom kongruens elemeket tart mod $ a $ .\\
| Minden sor egy TMR mod $ a $ $ \implies $ minden sorban $ { \phi } ( a ) $ db elem relatív prím $ a $ -hoz.\\
$ \implies $ $ { \phi } ( a ) $ db oszlopnak rel prímek az elemei $ a $ -hoz. $ \implies $ összesen $ { \phi } ( a ) { \phi } ( b ) $ rel. prím van $ ab $ -hez.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
\begin { block} { Tétel: $ { \phi } $ (n) kiszámolása}
Ha $ n \in \mathbb { N } ^ + $ kanonikus alakja $ p _ 1 ^ { { \alpha } _ 1 } ...p _ k ^ { { \alpha } _ k } $ , akkor\\
$$ { \phi } ( n ) = \prod ^ k _ { j = 1 } ( p _ j ^ { { \alpha } _ j } - p _ j ^ { { \alpha } _ j - 1 } ) = n \prod ^ k _ { j = 1 } ( 1 - \frac { 1 } { p _ j } ) . $$
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
2018-01-03 21:42:40 +01:00
$ \phi $ multiplikatív\\
Kiszámoljuk az értékeket prímhatványhelyeken, majd összeszorozzuk az értékeket.\\
$ { \phi } ( p ^ { \alpha } ) = ? $ \\
$ 1 , 2 , ..., p, ..., 2 p, ..., 3 p, ..., ( p - 1 ) p, ..., p ^ 2 , ..., ( p + 1 ) p, ..., ( p - 1 ) p ^ { { \alpha } - 1 } , ..., p ^ { \alpha } $ \\
Melyek nem relatív prímek $ p $ -hez?\\
\smallskip
$ p ^ 2 $ -ig $ p - 1 $ db van + maga $ p ^ 2 $ , azaz $ { \phi } ( p ^ 2 ) = p ^ 2 - p ^ 1 $ .\\
Tovább számolva:\\
$ { \phi } ( p ^ { \alpha } ) = p ^ { \alpha } - p ^ { \phi - 1 } $
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame} [plain]
\begin { tikzpicture} [overlay, remember picture]
\node [anchor=center] at (current page.center) {
\begin { beamercolorbox} [center]{ title}
{ \Huge Kombinatorika}
\end { beamercolorbox} } ;
\end { tikzpicture}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Véges halmaz valódi részhalmaza}
2018-01-06 01:40:29 +01:00
Ha $ n $ természetes szám, akkor nem létezik ekvivalencia $ \{ 1 , 2 , ..., n \} $ és egy valódi részhalmaza között.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Skatulya-elv}
2018-01-10 23:18:28 +01:00
Ha $ X, Y $ véges halmazok, és $ |X| > |Y| $ , akkor nem létezik $ f: X \rightarrow Y $ bijekció.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
2018-01-10 23:18:28 +01:00
\begin { block} { Bizonyítás (Indirekt)}
Tfh $ f $ bijektív.\\
$ Y ~ \{ 1 , 2 , ..., m \} $ és $ X ~ \{ 1 , 2 , ..., m \} $ , ahol $ m < n $ $ \implies $ \\
$ \implies $ $ \{ 1 , 2 , ..., m \} $ bármely részhalmaza $ \{ 1 , 2 , ..., n \} $ -nek is részhalmaza,\\
$ f $ bijektív $ \implies $ $ \{ 1 , 2 , ..., n \} $ $ ~ $ saját valódi részhalmazával. $ \rightarrow $ Ellentmondás!\\
\bigskip
\textbf { Más megfogalmazás:} Ha $ n $ db tárgyat $ m $ db skatulyába teszünk, akkor van olyan skatulya, amelyik legalább\\
$ \lfloor ( n - 1 ) / m \rfloor + 1 $ tárgyat tartalmaz.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Permutációk száma}
2018-01-10 23:18:28 +01:00
$$ P _ n = n ! $$
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
2018-01-10 23:18:28 +01:00
Teljes indukció $ n $ szerint\\
1. lépés: $ P _ 0 = P _ 1 = 1 $ Igaz. (Megegyezés szerint $ 0 ! = 1 $ )\\
2. lépés: Tfh $ n > 1 $ és $ n - 1 $ -ig már beláttuk.\\
ekvivalencia reláció:\\
amely sorozatok 1. eleme megegyezik $ \implies $ $ n $ db osztály.\\
Ind. feltétel $ \implies $ $ \forall $ osztályban $ P _ { n - 1 } $ elem.\\
$ P _ n = nP _ { n - 1 } = n ( n - 1 ) ! = n ! $
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Variációk száma}
2018-01-10 23:18:28 +01:00
$$ V _ n ^ k = \frac { n ! } { ( n - k ) ! } = n * ( n - 1 ) * ( n - 2 ) * ... * ( n - k + 1 ) $$ , ha $ k \leq n $ , kölünben 0.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
2018-01-10 23:18:28 +01:00
Legyen két sorozat egy ekv. osztályban, ha első $ k $ elemük megegyezik.\\
Ekkor: $ P _ n = $ (osztályok száma ($ V _ n ^ k = \frac { P _ n } { P _ n - k } $ ))*(ahány elem egy osztályban ($ P _ { n - k } $ )
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Ismétléses variációk száma}
2018-01-10 23:18:28 +01:00
$$ V _ n ^ { k, i } = n ^ k $$
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
2018-01-10 23:18:28 +01:00
Teljes indukció $ k $ szerint, $ n $ rögzített\\
1. lépés: $ k = 1 $ -re igaz: $ V _ n ^ { 1 , i } = n \rightarrow n ^ 1 $ \\
2. lépés: Tfh $ k > 1 $ és $ k - 1 $ -ig már beláttuk, ekkor\\
$ ( k - 1 ) $ -es osztályú variációból $ k $ -ad osztályú:\\
$ n $ db választás $ \implies $ $ V _ n ^ { k, i } $ (n választás) $ = V _ n ^ { k - 1 , j } * n $ (n - 1 választás).
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Kombinációk száma}
2018-01-10 23:18:28 +01:00
$$ C _ n ^ k = { { n } \choose { k } } = \frac { n ! } { k ! ( n - k ) ! } $$ , ha $ k \neq n $ , különben 0.
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
2018-01-10 23:18:28 +01:00
$ V _ n ^ k $ db különböző $ k $ -tagú sorozat, sorrend nem számít $ \implies $ \\
$ \implies $ minden $ P _ k $ sb sorozat ugyanaz $ \implies $ számoljuk egyszer.\\
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Ismétléses kombinációk száma}
2018-01-10 23:18:28 +01:00
$$ C _ n ^ { k, i } = C _ { n + k - 1 } ^ k = { { n + k - 1 } \choose { k } } = \frac { ( n + k - 1 ) ! } { k ! ( ( n + k - 1 ) - k ) ! } $$
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
2018-01-10 23:18:28 +01:00
Legyen $ A = \{ a _ 1 , a _ 2 , ..., a _ n \} $ .\\
MInden egyes választási lehetőségnek feleltessünk meg egy bitsorozatot:\\
$ 1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 0 ... 0 1 1 1 ... 1 $ \\
2017-12-28 23:06:55 +01:00
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Ismétléses permutációk száma}
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Binomiális tétel}
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Logikai szita formula}
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
\end { block}
\end { frame}
\begin { frame}
\begin { block} { Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}
\end { block}
\begin { block} { Bizonyítás}
\end { block}
\end { frame}
\end { document}