Dimat.

Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex

@@ -117,6 +117,10 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók!
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
 
+
+%\begin{tcolorbox}[title={Def.: }]
+%\end{tcolorbox}
+
 % --------------------  HALMAZOK, RELÁCIÓK --------------------
 
 \begin{frame}[plain]
@@ -127,19 +131,29 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók!
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: A halmazelmélet "Definiálatlan alapfogalmai"}]
+\end{tcolorbox}
 
+\begin{tcolorbox}[title={Def.:  Meghatározottsági Axióma (Halmazok egyenlősége)}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Az üres halmz axiómája}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Részhalmaz-axióma}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Minden dolog halmaza}]
 Nincs olyan halmaz, amelynek minden dolog eleme.
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Biz}]
-asasdad
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Definíció: Unió}]
 Ha A és B halmazok, akkor A és B unióján a következő halmazt értjük:\\
 $$A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}$$
@@ -155,13 +169,10 @@ Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
 \item $A \cup A = A$ (Idempotencia)
 \item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cup B = B$
 \end{enumerate}
-
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Definíció: Metszet}]
 Ha A és B halmazok, akkor A és B metszetén a következő halmazt értjük:\\
 $$A \cap B = \{x \in A \wedge x \in B\}$$
@@ -178,11 +189,9 @@ Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
 \item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cap B = A$
 \end{enumerate}
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Unió és metszet disztributivitása}]
 Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
 
@@ -192,11 +201,20 @@ Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
 \item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (B \cup C)$ (Az unió disztributivitása a metszetre nézve)
 \end{enumerate}
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Diszjunkt, Páronként diszjunkt halmazok.}]
+\end{tcolorbox}
 
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Halmazok Különbsége}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Halmazok Szimmetrikus Differenciája}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Definíció: Komplementer}]
 Ha X halmaz, A $\wedge$ X, akkor A halmaz X-re vonatkoztatott komplementere:\\
 $$A' = X \setminus A$$
@@ -215,11 +233,9 @@ Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor:
 \item $(A \cup B)' = A' \cap B'$
 \end{enumerate}
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Definíció: Halmaz osztályfelbontása}]
 A tetszőleges X halmazt \textbf{osztályozzuk (osztályokra bontjuk)}, ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak uniójaként állítjuk elő.
 \end{tcolorbox}
@@ -233,11 +249,203 @@ Valamely X halmazon értelmezett $\sim$ ekvivalenciareláció X-nek egy osztály
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Biz}]
-asasdad
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Rendezett pár}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Rendezett $n$-es}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Descartes (Direkt) szorzat}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: $n$ változós reláció}]
+
+(1 változós = unér, 2 változós = binér)
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Homogén reláció}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Identikus leképzés}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Relávió értelmezési tartománya}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Reláció értékkészlete}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Leszűkítés, kierjesztés}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Az $R$ reláció $X$ halmazra való Leszűkítése}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ar $r \subset X x Y$ reláció inverze}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Az $A$ halmaz képe, (ős)képe / inverz képe}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Az $S$ és $R$ relációk kompozíciója}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Homogén binér relációk tulajdonságai}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ekvivalenciareláció}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Halmaz osztályfelbontása}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Az $c \in X$ elem ekvivalencia osstálya}]
+\end{tcolorbox}
+
+%\begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Ekvivalenciarelácó, és osztályfelbontás}]
+%\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Részbenrendezés, Szigorú részbenrendezés}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Teljes rendezés}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Részbenrendezett, vagy rendezett struktúra}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Diagonális reláció}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Szigorú-gyenge reláció}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Zárt, nyílt intervallum}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Minimális Legkisebb, Maximális, Legnagyobb elem}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Alsó korlát, Felős korlát}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Infinum, Supremum}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Jólrendezett halmaz}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+% ----------------   FÜGGVÉNYEK ------------------
+
+\begin{frame}[plain]
+\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
+\node[anchor=center] at (current page.center) {
+\begin{beamercolorbox}[center]{title}
+    {\Huge Függvények}
+\end{beamercolorbox}};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Függvény, Parciális függvény}]
+\tcblower
+%Kapcsolódó jelölések, fogalmak
+\end{tcolorbox}
+
+%\begin{tcolorbox}[title={Mikor egyenlő két függvény?}]
+%\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Függvények típusai}]
+Szürjektív, inj...
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Kanonikus leképzés}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Monoton, Szigorúan monoton függvények}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Család, (Indexhalmaz, Indexelt halmaz, Indexelt család)}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Kiválasztási függvény}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Halmazcsalád Descartes-szorzata}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Leképzás $j$-edik projekciója}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: $n$-változós művelet}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Műveleti tábla, Operandus}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+% ---------------------- ALGEBRAI STRUKTÚRÁK, SZÁMHALMAZOK ---------------------
 
 \begin{frame}[plain]
 \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
@@ -250,11 +458,37 @@ asasdad
 
 \begin{frame}
 
-\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}]
-Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik.
+\begin{tcolorbox}[title={Def.:Algebrai struktúrák, izomorfiájuk}]
 \end{tcolorbox}
 
-\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Műveleti zártság}]
+
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Grupoid}]
+\tcblower
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Morfizmusok}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Félcsoport}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Baloldali, Jobboldali egységelem, Egységelem}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Balinverz, Jobbinverz, Inverz (Félcsoport)}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}]
+Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik.
+\tcblower
 Legyen $(G, *)$ félcsoport, $e_b$ bal oldali, $e_j$ pedig jobb oldali egységelem $G$-ben.\\
 Ekkor $e_b = e_j$, hiszen:\\
 $e_be_j = e_j$ és $e_be_j = e_b$, (nyíl éshez $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!)\\
@@ -262,11 +496,29 @@ mert $e_b$ bal, $e_j$ jobb oldali egységelem.\\
 Ha az $a \in G$ elemnek $a_b$ balinverze, $a_j$ pedig jobbinverze, akkor $a_b = a_j$.
 $a_baa_j = a_b(aa_j) = a_be = a_b$ és $a_baa_j = (a_ba)a_j = ea_j = a_j$. (Asszociatív tulajdonság) (nyíl éshez ide is $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!).d
 \end{tcolorbox}
+\end{frame}
 
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Abel-csoport}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: $n$ tényezős szorzat / Hatványozás egész kitevővel}]
+\end{tcolorbox}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
 
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Gyűrűk}]
+
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Algebrai struktúrák kpacsolata (Kép)}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Lemma: Észrevételek gyűrűkben}]
 \begin{enumerate}
 \item \textbf{Szorzás nullelemmel:} Legyen 0 az R gyűrű nulleleme. Ekkor $a0 = 0a = 0$, minden $a \in R$ esetén.
@@ -275,11 +527,9 @@ $a_baa_j = a_b(aa_j) = a_be = a_b$ és $a_baa_j = (a_ba)a_j = ea_j = a_j$. (Assz
 \item \textbf{Testben nincs nullosztó.}
 \end{enumerate}
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Lemma: Nullosztó és regularitás}]
 R gyűrűben a multiplikatív művelet akkor, és csak akkor reguláris, ha R zérusosztómentes.
 \end{tcolorbox}
@@ -300,34 +550,115 @@ $ac = ac / +0 (0 = ab)$\\
 $ac = ac + ab$ /(Disztributivitás)\\
 $ac = a(c + b)$ Ellentmondás!\\
 Mivel $(b \neq 0) \implies (c \neq (c + b))$ (A b nem additív egységelem).
-
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
 
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Rendezett Integritási Tartomány}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Egységelemes Integritási Tartomány}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+
+% ---------------------- SZÁMHALMAZOK ---------------------
+
+\begin{frame}[plain]
+\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
+\node[anchor=center] at (current page.center) {
+\begin{beamercolorbox}[center]{title}
+    {\Huge Számhalmazok}
+\end{beamercolorbox}};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+
+\begin{tcolorbox}
+{\Huge Természetes számok}
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Peano-axiómák}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Természetes számok halmaza}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.:}]
+TODO Műveletek
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Természetes számok}]
 A $(N, +, *)$ struktúrában mindkét művelet asszociatív, kommutatív, reguláris.\\
 Nullelem (additív egységelem): 0.\\
 Multiplikatív egységelem: 1.\\
 A szorzat mindkét oldalról disztributív az összeadásra.\\
 ${\forall}m \in N : 0 * m = m * 0 = 0$.
-
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: $\mathbb{N}$ rendezése}]
+\end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: N rendezése}]
 A természetes számok halmaza a $\leq$ relációval jólrendezett.
 \end{tcolorbox}
 
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Végtelen sorozatok}]
+\end{tcolorbox}
+
+%\begin{tcolorbox}[title={Def.: Fibonacci számok}]
+%\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
+\end{tcolorbox}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Egész számok}]
+\end{tcolorbox}
 
+\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Racionális számok}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}
+{\Huge Valós Számok}
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Rendezett test}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Arkhimédészi tulajdonság}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Felső határ tulajdonság}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság}]
 $T$ felső határ tulajdonságú test, $\implies$ $T$ arkhimédészi tulajdonságú.
 \end{tcolorbox}
@@ -340,20 +671,16 @@ Ekkor viszont létezik $z = sup A$ $\implies$ $z - x < z$ nem felső korlát. $\
 $implies$ ${\exists}n : nx > z - x \implies (n + 1)x > z$. ($(n + 1)x \in A$).\\
 Ellentmondás, mivel ha $n \in \mathbb{N}$, akkor $n^+ \in \mathbb{N}$ $\rightarrow$ Peano axióma!
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Q nem felső határ tulajdonságú}]
 $\mathbb{Q}$ arkhimédészi tulajdonságú, de nem felső határ tulajdonságú.
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális}]
 Nincs $\mathbb{Q}$-ban olyan szám, amelynek négyzete 2.
 \end{tcolorbox}
@@ -366,17 +693,58 @@ Ebből következik, hogy $m$ páros. $\implies$ $m = 2k, k \in \mathbb{N}^+$\\
 Ebből következik, hogy $n$ is páros: $n = 2j, j \in \mathbb{N}^+$\\
 Ekkor viszont $\frac{m}{n} = \frac{2k}{2j} = \frac{k}{j}$.\\
 Viszont ebből koövetkezik, hogy m nem minimális $\rightarrow$ Ellentmondás!
-
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Valós számok halmaza}]
+\end{tcolorbox}
 
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: néhány Függvény (?)}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Bővített valós számok}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}
+{\Huge Komplex Számok}
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Komplex számok}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Alakok}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Moivre azonosságok}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Gyökvonás komplex számokból}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: $n$-edik primitív egységgyökök}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Az algebra alaptétele}]
 Ha $n \in \mathbb{N}^+$, valamint $c_0, c_1, ... c_n$ komplex számok, $c_n \neq 0$, akkor van olyan $u$ komplex szám, amelyre:\\
 $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}[plain]
@@ -389,7 +757,11 @@ $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Oszthatóság egységelemes integritási tarományban (Emlékeztető)}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
 
+\begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Az oszthatóság tulajdonságai EIT-ban}]
 \begin{enumerate}
 \item Ha $b|a$ és $b'|a'$, akkor $bb'|aa'$.
@@ -402,11 +774,9 @@ $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$
 \item Az $|$ reláció reflexív, és tranzitív.
 \end{enumerate}
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban}]
 Tetszőleges $R$ egységelemes integritási tartományban minden $p$ elemre:\\
 Ha $p$ prím $\implies$ $p$ felbonthatatlan.
@@ -416,22 +786,22 @@ Ha $p$ prím $\implies$ $p$ felbonthatatlan.
 Tfh $p$ prím, és, $p = bc$\\
 Ekkor vagy $p|b$, vagy $p|c$\\
 $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak.
-
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Legnagyobb közös osztó}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
 
+\begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Maradékos osztás $\mathbb{Z}$-ben}]
 ${\exists}a, b({\neq}0) \in \mathbb{Z}$ számhoz egyértelműen létezik olyan $q, r \in \mathbb{Z}$, hogy\\
 $a = qb + r \land 0 \leq r < |b|$.
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Prím és irreducibilis elem $\mathbb{Z}$-ben}]
 Az egész számok körében $p$ prím $\iff$ $p$ felbonthatatlan.
 \end{tcolorbox}
@@ -488,10 +858,21 @@ Legyen $n = p_1p_2...p_k$.\\
 Számelmélet alaptételéből következik hogy létezik $p_j : p_j | n + 1$\\
 $p_j : p_j | n + 1 \implies p_j | 1$ Ellentmondás!
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Kanonikus alak, Módosított kanonikus alak}]
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Erathosztenész SZitája}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris Kongruencia}]
+$a \equiv b \pmod{m}$, ha $m | a - b$.
+\end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kongruencia tulajdonságai}]
 \begin{enumerate}
@@ -503,10 +884,24 @@ $p_j : p_j | n + 1 \implies p_j | 1$ Ellentmondás!
 \end{enumerate}
 \end{tcolorbox}
 
+\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
+\end{tcolorbox}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Az Euler-féle $\phi$ függvény}]
+\end{tcolorbox}
 
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: A $\tau$ függvény}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: TMR, RMR}]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Omnibusz tétel}]
 Legyen: $m > 1$ egész, $\{a_1, ..., a_m\}$ TMR modulo $m$, $\{b_1, ..., b_{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$, $c, d \in \mathbb{Z}$, és $(c,m) = 1$.\\
 \smallskip
@@ -521,13 +916,10 @@ Tfh van két nem inkongruens elem\\
 $ca_i + d = ca_i + d$\\
 ${\cancel{c}}a_i + {\cancel{d}} = {\cancel{c}}a_i + {\cancel{d}}$ $(c, m) = 1$, és pontosan $m$ db elem!\\
 $(c, m) = 1$ és $(b_j,m) = 1$ $\implies$ $(cb_j, m) = 1$
-
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Euler-Fermat tétel}]
 Legyen $m > 1$ egész és $a$ relatív prím $m$-hez. Ekkor $a^{{\phi}(m)} \equiv 1 \pmod{m}$
 \end{tcolorbox}
@@ -545,7 +937,6 @@ $$a^{{\phi}(m)} \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \equiv \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: (Kis) Fermat tétel}]
 Legyen $p$ prím és $a \in \mathbb{Z}$. Ekkor\\
 (első alak) ha $p \nmid a$, akkor $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.\\
@@ -561,11 +952,9 @@ Ha $p|a$ $\rightarrow$ $0 \equiv 0$ $\rightarrow$ kész.\\
 Ha $p{\nmid}a$ $\rightarrow$ ekkor ez az első alak $\rightarrow$ kész.
 
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: A diofantikus egyenlet megoldása}]
 Rögzített $a, b, c$ egész számok esetén az \textbf{$ax + by = c$} diofantikus egyenletnek akkor, és csak akkor van megoldása, ha $(a, b)|c$.
 \end{tcolorbox}
@@ -584,13 +973,10 @@ $c = (a, b)q$\\
 $c = (au + bv)q$\\
 $c = a(uq) + b(vq)$\\
 $c = a(uq) + b(vq)$ $\implies$ egy megoldás: $x = uq, y = vq$.\\
-
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kínai maradéktétel}]
 Legyen $n \in \mathbb{N}^+, m_1, m_2, ..., m_n \in \mathbb{N}^+, a_i, b_i \in \mathbb{Z} (1 <leq i \leq n)$, ahol
 \begin{enumerate}
@@ -605,13 +991,16 @@ Ekkor az\\
 	$a_nx \equiv b_n \pmod{m_n}$\\
 \bigskip
 Kongruenciarendszer megoldható és bármely két megoldása kongruens modulo $m_1m_2...m_n$.
-
 \end{tcolorbox}
 
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: A kínai maradéktétel megoldása}]
+\end{tcolorbox}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
 
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: A számelméleti függvények}]
+\end{tcolorbox}
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Számelméleti függvények}]
 Legyen $n \in \mathbb{N}^+$ kanonikus alakja $p_1^{{\alpha}_1}...p_k^{{\alpha}_k}$. Ekkor:\\
 \begin{enumerate}
@@ -620,13 +1009,10 @@ Legyen $n \in \mathbb{N}^+$ kanonikus alakja $p_1^{{\alpha}_1}...p_k^{{\alpha}_k
 \item Ha $f$ teljesen additív számelméleti függvény, akkor $$f(n) = {\alpha}_1f(p_1) + ... + {\alpha}_kf(p_k)$$
 \item Ha $f$ teljesen multiplikatív számelméleti függvény, akkor $$f(n) = f(p_1)^{{\alpha}_1}...f(p_k)^{{\alpha}_k}$$
 \end{enumerate}
-
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: $\phi$ multiplikativitása}]
 $\phi$ multiplikatív.
 \end{tcolorbox}
@@ -649,13 +1035,10 @@ $\implies$ minden oszlopban ${\phi}(b)$ rel. prím $b$-hez.\\
 | Minden oszlom kongruens elemeket tart mod $a$.\\
 | Minden sor egy TMR mod $a$ $\implies$ minden sorban ${\phi}(a)$ db elem relatív prím $a$-hoz.\\
 $\implies$ ${\phi}(a)$ db oszlopnak rel prímek az elemei $a$-hoz. $\implies$ összesen ${\phi}(a){\phi}(b)$ rel. prím van $ab$-hez.
-
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: ${\phi}$(n) kiszámolása}]
 Ha $n \in \mathbb{N}^+$ kanonikus alakja $p_1^{{\alpha}_1}...p_k^{{\alpha}_k}$, akkor\\
 $${\phi}(n) = \prod^k_{j=1} (p_j^{{\alpha}_j} - p_j^{{\alpha}_j - 1}) = n \prod^k_{j=1} (1 - \frac{1}{p_j}).$$
@@ -671,9 +1054,7 @@ Melyek nem relatív prímek $p$-hez?\\
 $p^2$-ig $p - 1$ db van + maga $p^2$, azaz ${\phi}(p^2) = p^2 - p^1$.\\
 Tovább számolva:\\
 ${\phi}(p^{\alpha}) = p^{\alpha} - p^{\phi - 1}$
-
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}[plain]
@@ -687,18 +1068,17 @@ ${\phi}(p^{\alpha}) = p^{\alpha} - p^{\phi - 1}$
 
 \begin{frame}
 
-\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Véges halmaz valódi részhalmaza}]
-Ha $n$ természetes szám, akkor nem létezik ekvivalencia $\{1, 2, ..., n\}$ és egy valódi részhalmaza között.
-
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Halmazok ekvivalenciája}]
 \end{tcolorbox}
 
+\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Véges halmaz valódi részhalmaza}]
+Ha $n$ természetes szám, akkor nem létezik ekvivalencia $\{1, 2, ..., n\}$ és egy valódi részhalmaza között.
+\end{tcolorbox}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Skatulya-elv}]
 Ha $X, Y$ véges halmazok, és $|X| > |Y|$, akkor nem létezik $f: X \rightarrow Y$ bijekció.
-
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}]
@@ -709,16 +1089,15 @@ $f$ bijektív $\implies$ $\{1, 2, ..., n\}$ $~$ saját valódi részhalmazával.
 \bigskip
 \textbf{Más megfogalmazás:} Ha $n$ db tárgyat $m$ db skatulyába teszünk, akkor van olyan skatulya, amelyik legalább\\
 $\lfloor (n - 1) / m \rfloor + 1$ tárgyat tartalmaz.
-
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Permutáció}]
+\end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Permutációk száma}]
 $$P_n = n!$$
-
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
@@ -729,32 +1108,32 @@ ekvivalencia reláció:\\
 amely sorozatok 1. eleme megegyezik $\implies$ $n$ db osztály.\\
 Ind. feltétel $\implies$ $\forall$ osztályban $P_{n - 1}$ elem.\\
 $P_n = nP_{n - 1} = n(n - 1)! = n!$
-
 \end{tcolorbox}
 
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ciklikus permutáció}]
+\end{tcolorbox}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.:Ismétlés nélküli variáció}]
+\end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Variációk száma}]
 $$V_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)$$, ha $k \leq n$, kölünben 0.
-
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
 Legyen két sorozat egy ekv. osztályban, ha első $k$ elemük megegyezik.\\
 Ekkor: $P_n = $ (osztályok száma ($V_n^k = \frac{P_n}{P_n - k}$))*(ahány elem egy osztályban ($P_{n - k}$)
-
-
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ismétléses Variáció}]
+\end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses variációk száma}]
 $$V_n^{k, i} = n^k$$
-
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
@@ -763,31 +1142,29 @@ Teljes indukció $k$ szerint, $n$ rögzített\\
 2. lépés: Tfh $k > 1$ és $k - 1$-ig már beláttuk, ekkor\\
 $(k - 1)$-es osztályú variációból $k$-ad osztályú:\\
 $n$ db választás $\implies$ $V_n^{k, i}$ (n választás) $= V_n^{k - 1, j} * n$ (n - 1 választás).
-
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ismétlés nélküli Kombináció}]
+\end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kombinációk száma}]
 $$C_n^k = {{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$, ha $k \neq n$, különben 0.
-
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
 $V_n^k$ db különböző $k$-tagú sorozat, sorrend nem számít $\implies$\\
 $\implies$ minden $P_k$ sb sorozat ugyanaz $\implies$ számoljuk egyszer.\\
-
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ismétléses Kombináció}]
+\end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses kombinációk száma}]
 $$C_n^{k, i} = C_{n + k -1}^k = {{n + k - 1}\choose{k}} = \frac{(n + k - 1)!}{k!((n + k - 1) - k)!} $$
-
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
@@ -802,55 +1179,34 @@ Továbbá az elválasztó $0$k száma $n - 1$, tehát a sorozatban $n - 1 + k$ p
 Ekkor a $k$ db $1$-es beírása $k$ különböző pozícióba nem más, mint $k$ db választás egy $n - 1 + k$ elemű halmazból ismétlés nélkül:\\
 $$C_{n + k - 1}^k = {n + k - 1 \choose k}$$
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
 
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ismátláses Permutáció}]
+\end{tcolorbox}
+
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses permutációk száma}]
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Binomiális tétel}]
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Logikai szita formula}]
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
-
-
-
-
-
-
-
-\begin{frame}
-
-\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}]
-\end{tcolorbox}
-
-\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
-\end{tcolorbox}
-
-\end{frame}
-
-
 \end{document}