Relintai/Documents
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/Relintai/Documents.git synced 2025-04-15 02:48:25 +02:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

Dimat.

Browse Source
This commit is contained in:
Relintai 2018-01-15 17:07:02 +01:00
parent 5f2edd89ec
commit 9ac7373ae6
12 changed files with 632 additions and 159 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

35
Diszkrét Matematika/Vizsga/CompileAll.bat Normal file
View File

@ -0,0 +1,35 @@
@echo off
cd Headers
pdflatex Article1d3A4Page.tex
copy Article1d3A4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_Scaled1d3A4.pdf
pdflatex Article1d4A4Page.tex
copy Article1d4A4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_Scaled1d4A4.pdf
pdflatex Article1d5A4Page.tex
copy Article1d5A4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_Scaled1d5A4.pdf
pdflatex Article1d6A4Page.tex
copy Article1d6A4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_Scaled1d6A4.pdf
pdflatex ArticleA4Page.tex
copy ArticleA4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_Normal.pdf
pdflatex ArticleHalfA4Page.tex
copy ArticleHalfA4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_HalfA4.pdf
pdflatex ArticleHalfA4Page2x1.tex
copy ArticleHalfA4Page2x1.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_HalfA4_2x1.pdf
pdflatex ArticleA4Page2x2.tex
copy ArticleA4Page2x2.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_A4Page_2x2.pdf
pdflatex ArticleHalfA4Page4x2.tex
copy ArticleHalfA4Page4x2.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_HalfA4_4x2.pdf
pdflatex PrezA4Page.tex
copy PrezA4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Prez_Normal.pdf
pause

38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d3A4Page.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,38 @@
% Compile twice!
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
% Uncomment these to get the presentation form
%\documentclass{beamer}
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{geometry}
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
\usepackage{beamerarticle}
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
\setbeamertemplate{note page}[plain]
% Half A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% "1/3" A4 geometry
\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/6" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/5" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/4" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
%\usepackage{pgfpages}
% Choose one
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
\input{../szamtudv.tex}

38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d4A4Page.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,38 @@
% Compile twice!
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
% Uncomment these to get the presentation form
%\documentclass{beamer}
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{geometry}
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
\usepackage{beamerarticle}
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
\setbeamertemplate{note page}[plain]
% Half A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% "1/3" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/6" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/5" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/4" A4 geometry
\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
%\usepackage{pgfpages}
% Choose one
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
\input{../szamtudv.tex}

38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d5A4Page.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,38 @@
% Compile twice!
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
% Uncomment these to get the presentation form
%\documentclass{beamer}
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{geometry}
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
\usepackage{beamerarticle}
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
\setbeamertemplate{note page}[plain]
% Half A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% "1/3" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/6" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/5" A4 geometry
\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/4" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
%\usepackage{pgfpages}
% Choose one
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
\input{../szamtudv.tex}

38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d6A4Page.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,38 @@
% Compile twice!
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
% Uncomment these to get the presentation form
%\documentclass{beamer}
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{geometry}
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
\usepackage{beamerarticle}
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
\setbeamertemplate{note page}[plain]
% Half A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% "1/3" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/6" A4 geometry
\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/5" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/4" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
%\usepackage{pgfpages}
% Choose one
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
\input{../szamtudv.tex}

38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleA4Page.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,38 @@
% Compile twice!
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
% Uncomment these to get the presentation form
%\documentclass{beamer}
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
\usepackage{beamerarticle}
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
\setbeamertemplate{note page}[plain]
% Half A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% "1/3" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/6" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/5" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/4" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
%\usepackage{pgfpages}
% Choose one
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
\input{./../szamtudv.tex}

38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleA4Page2x2.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,38 @@
% Compile twice!
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
% Uncomment these to get the presentation form
%\documentclass{beamer}
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
\usepackage{beamerarticle}
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
\setbeamertemplate{note page}[plain]
% Half A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% "1/3" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/6" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/5" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/4" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
\usepackage{pgfpages}
% Choose one
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
\input{../szamtudv.tex}

38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,38 @@
% Compile twice!
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
% Uncomment these to get the presentation form
%\documentclass{beamer}
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{geometry}
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
\usepackage{beamerarticle}
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
\setbeamertemplate{note page}[plain]
% Half A4 geometry
\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% "1/3" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/6" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/5" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/4" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
%\usepackage{pgfpages}
% Choose one
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
\input{../szamtudv.tex}

38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page2x1.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,38 @@
% Compile twice!
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
% Uncomment these to get the presentation form
%\documentclass{beamer}
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{geometry}
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
\usepackage{beamerarticle}
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
\setbeamertemplate{note page}[plain]
% Half A4 geometry
\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% "1/3" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/6" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/5" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/4" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
\usepackage{pgfpages}
% Choose one
\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
\input{../szamtudv.tex}

38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page4x2.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,38 @@
% Compile twice!
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
% Uncomment these to get the presentation form
%\documentclass{beamer}
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{geometry}
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
\usepackage{beamerarticle}
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
\setbeamertemplate{note page}[plain]
% Half A4 geometry
\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% "1/3" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/6" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/5" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/4" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
\usepackage{pgfpages}
% Choose one
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
\pgfpagesuselayout{16 on 1}[a4paper]
\input{../szamtudv.tex}

5
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/PrezA4Page.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,5 @@
\documentclass{beamer}
\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
\input{../szamtudv.tex}

409
Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex
View File

@ -1,60 +1,151 @@
% Compile twice! % Compile twice!
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
% Uncomment these to get the presentation form
\documentclass{beamer} \documentclass{beamer}
\usepackage{tikz} \geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
%\documentclass[10pt]{article}
%\usepackage{geometry}
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
%\usepackage{beamerarticle}
%\renewcommand{\\}{\par\noindent}
%\setbeamertemplate{note page}[plain]
% Half A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
% "1/3" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/6" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/5" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% "1/4" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
%\usepackage{pgfpages}
% Choose one
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
% Includes
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-graph}
\usetikzlibrary{shapes,arrows,automata}
\usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsfonts} \usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath} \usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{array}
\usepackage{arydshln}
\usepackage{enumerate}
\usepackage[many, poster]{tcolorbox}
\usepackage{pgf}
\usepackage[makeroom]{cancel} \usepackage[makeroom]{cancel}
% Colors
\definecolor{myred}{rgb}{0.87,0.18,0}
\definecolor{myorange}{rgb}{1,0.4,0}
\definecolor{myyellowdarker}{rgb}{1,0.69,0}
\definecolor{myyellowlighter}{rgb}{0.91,0.73,0}
\definecolor{myyellow}{rgb}{0.97,0.78,0.36}
\definecolor{myblue}{rgb}{0,0.38,0.47}
\definecolor{mygreen}{rgb}{0,0.52,0.37}
\colorlet{mybg}{myyellow!5!white}
\colorlet{mybluebg}{myyellowlighter!3!white}
\colorlet{mygreenbg}{myyellowlighter!3!white}
\setbeamertemplate{itemize item}{\color{black}$-$}
\setbeamertemplate{itemize subitem}{\color{black}$-$}
\setbeamercolor*{enumerate item}{fg=black}
\setbeamercolor*{enumerate subitem}{fg=black}
\setbeamercolor*{enumerate subsubitem}{fg=black}
\renewcommand{\tiny}{\footnotesize}
\renewcommand{\small}{\footnotesize}
% These are different themes, only uncomment one at a time
\tcbset{enhanced,fonttitle=\bfseries,boxsep=7pt,arc=0pt,colframe={myyellowlighter},colbacktitle={myyellow},colback={mybg},coltitle={black}, coltext={black},attach boxed title to top left={xshift=-2mm,yshift=-2mm},boxed title style={size=small,arc=0mm}}
%\tcbset{colback=yellow!5!white,colframe=yellow!84!black}
%\tcbset{enhanced,colback=red!10!white,colframe=red!75!black,colbacktitle=red!50!yellow,fonttitle=
%\tcbset{enhanced,attach boxed title to top left}
%\tcbset{enhanced,fonttitle=\bfseries,boxsep=5pt,arc=8pt,borderline={0.5pt}{0pt}{red},borderline={0.5pt}{5pt}{blue,dotted},borderline={0.5pt}{-5pt}{green}}
% Beamer theme
\usetheme{boxes} \usetheme{boxes}
\geometry{paperwidth=160mm,paperheight=160mm} % tikz settings for the flowchart(s)
\tikzstyle{decision} = [diamond, minimum width=3cm, minimum height=1cm, text centered, draw=black, fill=green!15]
\tikzstyle{tcolorbox} = [rectangle, draw, fill=blue!15, text width=20em, text centered, minimum height=1em]
\tikzstyle{line} = [draw, -latex']
\tikzstyle{cloud} = [draw, ellipse,fill=red!20, node distance=3cm,
minimum height=2em]
\tikzstyle{arrow} = [thick,->,>=stealth]
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\setlength\dashlinedash{0.2pt}
\setlength\dashlinegap{1.5pt}
\setlength\arrayrulewidth{0.3pt}
\newcommand{\mtinyskip}{\vspace{0.2em}}
\newcommand{\msmallskip}{\vspace{0.3em}}
\newcommand{\mmedskip}{\vspace{0.5em}}
\newcommand{\mbigskip}{\vspace{1em}}
\begin{document} \begin{document}
\begin{frame}[plain] \begin{frame}[plain]
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
\node[anchor=center] at (current page.center) { {\Huge Diszkrét Matematika I}\\
\begin{beamercolorbox}[center]{title} \mbigskip
{\Huge Diszkrét Matematika}\\ \\
{\Large Vizsgatételek} A kisbetűs szövegek (LaTeX-ben tiny), (Ha nincs előttük (S) jelzés, akkor lemaradt)\\
\end{beamercolorbox}}; a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók!
\end{tikzpicture} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
% -------------------- HALMAZOK, RELÁCIÓK --------------------
\begin{frame}[plain] \begin{frame}[plain]
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
\node[anchor=center] at (current page.center) {
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
{\Huge Halmazok, Relációk} {\Huge Halmazok, Relációk}
\end{beamercolorbox}}; \mmedskip
\end{tikzpicture} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Minden dolog halmaza} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Minden dolog halmaza}]
Nincs olyan halmaz, amelynek minden dolog eleme. Nincs olyan halmaz, amelynek minden dolog eleme.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Biz} \begin{tcolorbox}[title={Biz}]
asasdad asasdad
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Definíció: Unió} \begin{tcolorbox}[title={Definíció: Unió}]
Ha A és B halmazok, akkor A és B unióján a következő halmazt értjük:\\ Ha A és B halmazok, akkor A és B unióján a következő halmazt értjük:\\
$$A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}$$ $$A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}$$
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Tétel: Az unió tulajdonságai} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Az unió tulajdonságai}]
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor: Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
@ -65,18 +156,18 @@ Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cup B = B$ \item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cup B = B$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Definíció: Metszet} \begin{tcolorbox}[title={Definíció: Metszet}]
Ha A és B halmazok, akkor A és B metszetén a következő halmazt értjük:\\ Ha A és B halmazok, akkor A és B metszetén a következő halmazt értjük:\\
$$A \cap B = \{x \in A \wedge x \in B\}$$ $$A \cap B = \{x \in A \wedge x \in B\}$$
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Tétel: A metszet tulajdonságai} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: A metszet tulajdonságai}]
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor: Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
@ -86,13 +177,13 @@ Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
\item $A \cap A = A$ (Idempotencia) \item $A \cap A = A$ (Idempotencia)
\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cap B = A$ \item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cap B = A$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Unió és metszet disztributivitása} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Unió és metszet disztributivitása}]
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor: Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
@ -100,18 +191,18 @@ Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
\item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (B \cup C)$ (Az unió disztributivitása a metszetre nézve) \item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (B \cup C)$ (Az unió disztributivitása a metszetre nézve)
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Definíció: Komplementer} \begin{tcolorbox}[title={Definíció: Komplementer}]
Ha X halmaz, A $\wedge$ X, akkor A halmaz X-re vonatkoztatott komplementere:\\ Ha X halmaz, A $\wedge$ X, akkor A halmaz X-re vonatkoztatott komplementere:\\
$$A' = X \setminus A$$ $$A' = X \setminus A$$
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Tétel: A komplementer tulajdonságai} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: A komplementer tulajdonságai}]
Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor: Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor:
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
@ -123,27 +214,27 @@ Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor:
\item $(A \cap B)' = A' \cup B'$ \item $(A \cap B)' = A' \cup B'$
\item $(A \cup B)' = A' \cap B'$ \item $(A \cup B)' = A' \cap B'$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Definíció: Halmaz osztályfelbontása} \begin{tcolorbox}[title={Definíció: Halmaz osztályfelbontása}]
A tetszőleges X halmazt \textbf{osztályozzuk (osztályokra bontjuk)}, ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak uniójaként állítjuk elő. A tetszőleges X halmazt \textbf{osztályozzuk (osztályokra bontjuk)}, ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak uniójaként állítjuk elő.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Az X $\in$ X elem \textbf{ekvivalencia osztálya}:} \begin{tcolorbox}[title={Az X $\in$ X elem \textbf{ekvivalencia osztálya}:}]
$$\overline{x} = \{y \in X : y \sim x\}$$ $$\overline{x} = \{y \in X : y \sim x\}$$
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Tétel: Ekvivalenciareláció és osztályfelbontás kapcsolata} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ekvivalenciareláció és osztályfelbontás kapcsolata}]
Valamely X halmazon értelmezett $\sim$ ekvivalenciareláció X-nek egy osztályfelbontását adja. Megfordítva, az X halmaz minden osztályfelbontása egy $\sim$ ekvivalenciarelációt hoz létre. Valamely X halmazon értelmezett $\sim$ ekvivalenciareláció X-nek egy osztályfelbontását adja. Megfordítva, az X halmaz minden osztályfelbontása egy $\sim$ ekvivalenciarelációt hoz létre.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Biz} \begin{tcolorbox}[title={Biz}]
asasdad asasdad
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
@ -159,41 +250,41 @@ asasdad
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}]
Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik. Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
Legyen $(G, *)$ félcsoport, $e_b$ bal oldali, $e_j$ pedig jobb oldali egységelem $G$-ben.\\ Legyen $(G, *)$ félcsoport, $e_b$ bal oldali, $e_j$ pedig jobb oldali egységelem $G$-ben.\\
Ekkor $e_b = e_j$, hiszen:\\ Ekkor $e_b = e_j$, hiszen:\\
$e_be_j = e_j$ és $e_be_j = e_b$, (nyíl éshez $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!)\\ $e_be_j = e_j$ és $e_be_j = e_b$, (nyíl éshez $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!)\\
mert $e_b$ bal, $e_j$ jobb oldali egységelem.\\ mert $e_b$ bal, $e_j$ jobb oldali egységelem.\\
Ha az $a \in G$ elemnek $a_b$ balinverze, $a_j$ pedig jobbinverze, akkor $a_b = a_j$. Ha az $a \in G$ elemnek $a_b$ balinverze, $a_j$ pedig jobbinverze, akkor $a_b = a_j$.
$a_baa_j = a_b(aa_j) = a_be = a_b$ és $a_baa_j = (a_ba)a_j = ea_j = a_j$. (Asszociatív tulajdonság) (nyíl éshez ide is $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!).d $a_baa_j = a_b(aa_j) = a_be = a_b$ és $a_baa_j = (a_ba)a_j = ea_j = a_j$. (Asszociatív tulajdonság) (nyíl éshez ide is $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!).d
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Lemma: Észrevételek gyűrűkben} \begin{tcolorbox}[title={Lemma: Észrevételek gyűrűkben}]
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item \textbf{Szorzás nullelemmel:} Legyen 0 az R gyűrű nulleleme. Ekkor $a0 = 0a = 0$, minden $a \in R$ esetén. \item \textbf{Szorzás nullelemmel:} Legyen 0 az R gyűrű nulleleme. Ekkor $a0 = 0a = 0$, minden $a \in R$ esetén.
\item \textbf{Előjelszabály:} Legyen R gyűrű, és $a, b \in R$. Az $a$ elem additív inverzés jelöljük $-a$-val. Ekkor $-(ab) = (-a)b = a(-b)$, tobábbá $(-a)(-b) = ab$. \item \textbf{Előjelszabály:} Legyen R gyűrű, és $a, b \in R$. Az $a$ elem additív inverzés jelöljük $-a$-val. Ekkor $-(ab) = (-a)b = a(-b)$, tobábbá $(-a)(-b) = ab$.
\item \textbf{Véges integritási tartomány test.} \item \textbf{Véges integritási tartomány test.}
\item \textbf{Testben nincs nullosztó.} \item \textbf{Testben nincs nullosztó.}
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Lemma: Nullosztó és regularitás} \begin{tcolorbox}[title={Lemma: Nullosztó és regularitás}]
R gyűrűben a multiplikatív művelet akkor, és csak akkor reguláris, ha R zérusosztómentes. R gyűrűben a multiplikatív művelet akkor, és csak akkor reguláris, ha R zérusosztómentes.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
\textbf{1. Rész}\\ \textbf{1. Rész}\\
Tfh $a \neq 0$, a nem bal oldali nullosztó és $ab = ac$.\\ Tfh $a \neq 0$, a nem bal oldali nullosztó és $ab = ac$.\\
$ab = ac / -(ac)$ (+ additív inverz)\\ $ab = ac / -(ac)$ (+ additív inverz)\\
@ -210,64 +301,64 @@ $ac = ac + ab$ /(Disztributivitás)\\
$ac = a(c + b)$ Ellentmondás!\\ $ac = a(c + b)$ Ellentmondás!\\
Mivel $(b \neq 0) \implies (c \neq (c + b))$ (A b nem additív egységelem). Mivel $(b \neq 0) \implies (c \neq (c + b))$ (A b nem additív egységelem).
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Természetes számok} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Természetes számok}]
A $(N, +, *)$ struktúrában mindkét művelet asszociatív, kommutatív, reguláris.\\ A $(N, +, *)$ struktúrában mindkét művelet asszociatív, kommutatív, reguláris.\\
Nullelem (additív egységelem): 0.\\ Nullelem (additív egységelem): 0.\\
Multiplikatív egységelem: 1.\\ Multiplikatív egységelem: 1.\\
A szorzat mindkét oldalról disztributív az összeadásra.\\ A szorzat mindkét oldalról disztributív az összeadásra.\\
${\forall}m \in N : 0 * m = m * 0 = 0$. ${\forall}m \in N : 0 * m = m * 0 = 0$.
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: N rendezése} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: N rendezése}]
A természetes számok halmaza a $\leq$ relációval jólrendezett. A természetes számok halmaza a $\leq$ relációval jólrendezett.
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság}]
$T$ felső határ tulajdonságú test, $\implies$ $T$ arkhimédészi tulajdonságú. $T$ felső határ tulajdonságú test, $\implies$ $T$ arkhimédészi tulajdonságú.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}]
Tfh $T$ felső határ tulajdonságú rendezett test, de nem arkhimédészi tulajdonságú.\\ Tfh $T$ felső határ tulajdonságú rendezett test, de nem arkhimédészi tulajdonságú.\\
$\implies : {\nexists}n \in \mathbb{N} : nx \geq y$.\\ $\implies : {\nexists}n \in \mathbb{N} : nx \geq y$.\\
Azaz y felső korlátja az $A = \{ nx | n \in \mathbb{N} \}$ halmaznak.\\ Azaz y felső korlátja az $A = \{ nx | n \in \mathbb{N} \}$ halmaznak.\\
Ekkor viszont létezik $z = sup A$ $\implies$ $z - x < z$ nem felső korlát. $\implies$\\ Ekkor viszont létezik $z = sup A$ $\implies$ $z - x < z$ nem felső korlát. $\implies$\\
$implies$ ${\exists}n : nx > z - x \implies (n + 1)x > z$. ($(n + 1)x \in A$).\\ $implies$ ${\exists}n : nx > z - x \implies (n + 1)x > z$. ($(n + 1)x \in A$).\\
Ellentmondás, mivel ha $n \in \mathbb{N}$, akkor $n^+ \in \mathbb{N}$ $\rightarrow$ Peano axióma! Ellentmondás, mivel ha $n \in \mathbb{N}$, akkor $n^+ \in \mathbb{N}$ $\rightarrow$ Peano axióma!
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Q nem felső határ tulajdonságú} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Q nem felső határ tulajdonságú}]
$\mathbb{Q}$ arkhimédészi tulajdonságú, de nem felső határ tulajdonságú. $\mathbb{Q}$ arkhimédészi tulajdonságú, de nem felső határ tulajdonságú.
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális}]
Nincs $\mathbb{Q}$-ban olyan szám, amelynek négyzete 2. Nincs $\mathbb{Q}$-ban olyan szám, amelynek négyzete 2.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}]
Tfh van, és ez $x$.\\ Tfh van, és ez $x$.\\
$x = \frac{m}{n}, m,n \in \mathbb{N}^+$, és az $m$ minimális.\\ $x = \frac{m}{n}, m,n \in \mathbb{N}^+$, és az $m$ minimális.\\
$2 = x^2 = \frac{m^2}{n^2} \implies m^2 = 2n^2$\\ $2 = x^2 = \frac{m^2}{n^2} \implies m^2 = 2n^2$\\
@ -276,15 +367,15 @@ Ebből következik, hogy $n$ is páros: $n = 2j, j \in \mathbb{N}^+$\\
Ekkor viszont $\frac{m}{n} = \frac{2k}{2j} = \frac{k}{j}$.\\ Ekkor viszont $\frac{m}{n} = \frac{2k}{2j} = \frac{k}{j}$.\\
Viszont ebből koövetkezik, hogy m nem minimális $\rightarrow$ Ellentmondás! Viszont ebből koövetkezik, hogy m nem minimális $\rightarrow$ Ellentmondás!
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Az algebra alaptétele} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Az algebra alaptétele}]
Ha $n \in \mathbb{N}^+$, valamint $c_0, c_1, ... c_n$ komplex számok, $c_n \neq 0$, akkor van olyan $u$ komplex szám, amelyre:\\ Ha $n \in \mathbb{N}^+$, valamint $c_0, c_1, ... c_n$ komplex számok, $c_n \neq 0$, akkor van olyan $u$ komplex szám, amelyre:\\
$$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$ $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
@ -299,7 +390,7 @@ $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Az oszthatóság tulajdonságai EIT-ban} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Az oszthatóság tulajdonságai EIT-ban}]
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Ha $b|a$ és $b'|a'$, akkor $bb'|aa'$. \item Ha $b|a$ és $b'|a'$, akkor $bb'|aa'$.
\item A nullának minden elem osztója. \item A nullának minden elem osztója.
@ -310,42 +401,42 @@ $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$
\item Ha $b|a_i$ és $c_i \in R, (i = 1, 2, ..., j)$, akkor $b|\sum^j_{i=1} c_ia_i$. \item Ha $b|a_i$ és $c_i \in R, (i = 1, 2, ..., j)$, akkor $b|\sum^j_{i=1} c_ia_i$.
\item Az $|$ reláció reflexív, és tranzitív. \item Az $|$ reláció reflexív, és tranzitív.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban}]
Tetszőleges $R$ egységelemes integritási tartományban minden $p$ elemre:\\ Tetszőleges $R$ egységelemes integritási tartományban minden $p$ elemre:\\
Ha $p$ prím $\implies$ $p$ felbonthatatlan. Ha $p$ prím $\implies$ $p$ felbonthatatlan.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
Tfh $p$ prím, és, $p = bc$\\ Tfh $p$ prím, és, $p = bc$\\
Ekkor vagy $p|b$, vagy $p|c$\\ Ekkor vagy $p|b$, vagy $p|c$\\
$b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak.
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Maradékos osztás $\mathbb{Z}$-ben} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Maradékos osztás $\mathbb{Z}$-ben}]
${\exists}a, b({\neq}0) \in \mathbb{Z}$ számhoz egyértelműen létezik olyan $q, r \in \mathbb{Z}$, hogy\\ ${\exists}a, b({\neq}0) \in \mathbb{Z}$ számhoz egyértelműen létezik olyan $q, r \in \mathbb{Z}$, hogy\\
$a = qb + r \land 0 \leq r < |b|$. $a = qb + r \land 0 \leq r < |b|$.
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem $\mathbb{Z}$-ben} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Prím és irreducibilis elem $\mathbb{Z}$-ben}]
Az egész számok körében $p$ prím $\iff$ $p$ felbonthatatlan. Az egész számok körében $p$ prím $\iff$ $p$ felbonthatatlan.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
Már láttuk, hogy prím felbonthatatlan!\\ Már láttuk, hogy prím felbonthatatlan!\\
Tfh p felbonthatatlan\\ Tfh p felbonthatatlan\\
Legyen $p|bc$, ekkor vagy $p | b$-nek, ekkor ksz vagyunk. Legyen $p|bc$, ekkor vagy $p | b$-nek, ekkor ksz vagyunk.
@ -353,17 +444,17 @@ Vagy $p \nmid b$ ekkor $(p,b) = 1$.\\
$c = pcx +bcx \implies 0 mod p \implies p | c$.\\ $c = pcx +bcx \implies 0 mod p \implies p | c$.\\
(Észrevétel: $(a, b) = 1 \land a | bc \implies a | c$ (Észrevétel: $(a, b) = 1 \land a | bc \implies a | c$
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: A számelmélet alaptétele} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: A számelmélet alaptétele}]
Minden $m$ nemnulla, nemegység, egész szám sorrendre és asszociáltásgra való tekintet nélkül egyértelműen bontható fel felbonthatatlanok szorzatára. Minden $m$ nemnulla, nemegység, egész szám sorrendre és asszociáltásgra való tekintet nélkül egyértelműen bontható fel felbonthatatlanok szorzatára.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás (Pozitívakra)} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Pozitívakra)}]
\textbf{(egzisztencia)}\\ \textbf{(egzisztencia)}\\
Tfh $n > 1$\\ Tfh $n > 1$\\
Teljes indukció: $n = 2$ kész, tfk $n - 1$-ig kész.\\ Teljes indukció: $n = 2$ kész, tfk $n - 1$-ig kész.\\
@ -380,29 +471,29 @@ $p_1|q_1$, $p_1|q_2 ... q_r$\\
$p_1|q_i \implies p_1 = q_i \implies$\\ $p_1|q_i \implies p_1 = q_i \implies$\\
$\implies$ $n_1 = \frac{n}{p_1} = p_2 ... p_k = q_1 ... q_{i-1}q_{i+1} ... q_r$\\ $\implies$ $n_1 = \frac{n}{p_1} = p_2 ... p_k = q_1 ... q_{i-1}q_{i+1} ... q_r$\\
$n_1 < n$ és van két lényegesen különböző felbontása! $n_1 < n$ és van két lényegesen különböző felbontása!
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Eukleidész tétele} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Eukleidész tétele}]
Végetlen sok prímszám van. Végetlen sok prímszám van.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}]
Tfh véges sok van:\\ Tfh véges sok van:\\
$p_1, p_2, ... ,p_k$.\\ $p_1, p_2, ... ,p_k$.\\
Legyen $n = p_1p_2...p_k$.\\ Legyen $n = p_1p_2...p_k$.\\
Számelmélet alaptételéből következik hogy létezik $p_j : p_j | n + 1$\\ Számelmélet alaptételéből következik hogy létezik $p_j : p_j | n + 1$\\
$p_j : p_j | n + 1 \implies p_j | 1$ Ellentmondás! $p_j : p_j | n + 1 \implies p_j | 1$ Ellentmondás!
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Kongruencia tulajdonságai} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kongruencia tulajdonságai}]
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Ekvivalencia reláció \item Ekvivalencia reláció
\item $a \equiv b \pmod{m} \land c \equiv d \pmod{m} \implies$ \textbf{$a + c \equiv b + d \pmod{m}$} \item $a \equiv b \pmod{m} \land c \equiv d \pmod{m} \implies$ \textbf{$a + c \equiv b + d \pmod{m}$}
@ -410,38 +501,38 @@ $p_j : p_j | n + 1 \implies p_j | 1$ Ellentmondás!
\item $a \equiv b \pmod{m} \land f(x) \in z[x] \implies$ \textbf{$f(a) \equiv f(b) \pmod{m}$} \item $a \equiv b \pmod{m} \land f(x) \in z[x] \implies$ \textbf{$f(a) \equiv f(b) \pmod{m}$}
\item Ha $(c, m) = d$, $ac \equiv bc \pmod{m} \iff a \equiv b \pmod{\frac{m}{d}}$ \item Ha $(c, m) = d$, $ac \equiv bc \pmod{m} \iff a \equiv b \pmod{\frac{m}{d}}$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Omnibusz tétel} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Omnibusz tétel}]
Legyen: $m > 1$ egész, $\{a_1, ..., a_m\}$ TMR modulo $m$, $\{b_1, ..., b_{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$, $c, d \in \mathbb{Z}$, és $(c,m) = 1$.\\ Legyen: $m > 1$ egész, $\{a_1, ..., a_m\}$ TMR modulo $m$, $\{b_1, ..., b_{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$, $c, d \in \mathbb{Z}$, és $(c,m) = 1$.\\
\smallskip \smallskip
Ekkor:\\ Ekkor:\\
\smallskip \smallskip
$\{ ca_1 + d, ..., ca_m + d \}$ TMR modulo $m$\\ $\{ ca_1 + d, ..., ca_m + d \}$ TMR modulo $m$\\
$\{ cb_1, ..., cb{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$ $\{ cb_1, ..., cb{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}]
Tfh van két nem inkongruens elem\\ Tfh van két nem inkongruens elem\\
$ca_i + d = ca_i + d$\\ $ca_i + d = ca_i + d$\\
${\cancel{c}}a_i + {\cancel{d}} = {\cancel{c}}a_i + {\cancel{d}}$ $(c, m) = 1$, és pontosan $m$ db elem!\\ ${\cancel{c}}a_i + {\cancel{d}} = {\cancel{c}}a_i + {\cancel{d}}$ $(c, m) = 1$, és pontosan $m$ db elem!\\
$(c, m) = 1$ és $(b_j,m) = 1$ $\implies$ $(cb_j, m) = 1$ $(c, m) = 1$ és $(b_j,m) = 1$ $\implies$ $(cb_j, m) = 1$
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Euler-Fermat tétel} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Euler-Fermat tétel}]
Legyen $m > 1$ egész és $a$ relatív prím $m$-hez. Ekkor $a^{{\phi}(m)} \equiv 1 \pmod{m}$ Legyen $m > 1$ egész és $a$ relatív prím $m$-hez. Ekkor $a^{{\phi}(m)} \equiv 1 \pmod{m}$
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
Legyen $\{ r_1, ..., r_{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$, $(a, m) = 1$.\\ Legyen $\{ r_1, ..., r_{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$, $(a, m) = 1$.\\
Az omnibusz tétel miatt, ekkor $\{ ar_1, ..., ar_{{\phi}(m)}\}$ is RMR modulo $m$.\\ Az omnibusz tétel miatt, ekkor $\{ ar_1, ..., ar_{{\phi}(m)}\}$ is RMR modulo $m$.\\
Megfelelő párosítás $\implies$ $r_i \equiv ar_j \pmod{m}$.\\ Megfelelő párosítás $\implies$ $r_i \equiv ar_j \pmod{m}$.\\
@ -449,37 +540,37 @@ Megfelelő párosítás $\implies$ $r_i \equiv ar_j \pmod{m}$.\\
\smallskip \smallskip
$$a^{{\phi}(m)} \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \equiv \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \pmod{m}$$ $$a^{{\phi}(m)} \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \equiv \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \pmod{m}$$
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: (Kis) Fermat tétel} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: (Kis) Fermat tétel}]
Legyen $p$ prím és $a \in \mathbb{Z}$. Ekkor\\ Legyen $p$ prím és $a \in \mathbb{Z}$. Ekkor\\
(első alak) ha $p \nmid a$, akkor $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.\\ (első alak) ha $p \nmid a$, akkor $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.\\
(második alak) ha $a$ tetszőleges, akkor $a^p \equiv a \pmod{p}$. (második alak) ha $a$ tetszőleges, akkor $a^p \equiv a \pmod{p}$.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
Első alak: ${\phi}(p) \equiv p - 1$ $\rightarrow$ előző tétel miatt kész.\\ Első alak: ${\phi}(p) \equiv p - 1$ $\rightarrow$ előző tétel miatt kész.\\
\bigskip \bigskip
Második alak:\\ Második alak:\\
Ha $p|a$ $\rightarrow$ $0 \equiv 0$ $\rightarrow$ kész.\\ Ha $p|a$ $\rightarrow$ $0 \equiv 0$ $\rightarrow$ kész.\\
Ha $p{\nmid}a$ $\rightarrow$ ekkor ez az első alak $\rightarrow$ kész. Ha $p{\nmid}a$ $\rightarrow$ ekkor ez az első alak $\rightarrow$ kész.
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: A diofantikus egyenlet megoldása} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: A diofantikus egyenlet megoldása}]
Rögzített $a, b, c$ egész számok esetén az \textbf{$ax + by = c$} diofantikus egyenletnek akkor, és csak akkor van megoldása, ha $(a, b)|c$. Rögzített $a, b, c$ egész számok esetén az \textbf{$ax + by = c$} diofantikus egyenletnek akkor, és csak akkor van megoldása, ha $(a, b)|c$.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
Tfh $ax + by = c$ egyenletnek van megoldása.\\ Tfh $ax + by = c$ egyenletnek van megoldása.\\
\textbf{1. Rész ($\implies$)}\\ \textbf{1. Rész ($\implies$)}\\
\smallskip \smallskip
@ -494,13 +585,13 @@ $c = (au + bv)q$\\
$c = a(uq) + b(vq)$\\ $c = a(uq) + b(vq)$\\
$c = a(uq) + b(vq)$ $\implies$ egy megoldás: $x = uq, y = vq$.\\ $c = a(uq) + b(vq)$ $\implies$ egy megoldás: $x = uq, y = vq$.\\
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Kínai maradéktétel} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kínai maradéktétel}]
Legyen $n \in \mathbb{N}^+, m_1, m_2, ..., m_n \in \mathbb{N}^+, a_i, b_i \in \mathbb{Z} (1 <leq i \leq n)$, ahol Legyen $n \in \mathbb{N}^+, m_1, m_2, ..., m_n \in \mathbb{N}^+, a_i, b_i \in \mathbb{Z} (1 <leq i \leq n)$, ahol
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item $m_i, m_j$ páronként relatív prímek. \item $m_i, m_j$ páronként relatív prímek.
@ -515,13 +606,13 @@ Ekkor az\\
\bigskip \bigskip
Kongruenciarendszer megoldható és bármely két megoldása kongruens modulo $m_1m_2...m_n$. Kongruenciarendszer megoldható és bármely két megoldása kongruens modulo $m_1m_2...m_n$.
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Számelméleti függvények} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Számelméleti függvények}]
Legyen $n \in \mathbb{N}^+$ kanonikus alakja $p_1^{{\alpha}_1}...p_k^{{\alpha}_k}$. Ekkor:\\ Legyen $n \in \mathbb{N}^+$ kanonikus alakja $p_1^{{\alpha}_1}...p_k^{{\alpha}_k}$. Ekkor:\\
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Ha $f$ additív számelméleti függvény, akkor $$f(n) = f(p_1^{{\alpha}_1}) + ... + f(p_k^{{\alpha}_k})$$ \item Ha $f$ additív számelméleti függvény, akkor $$f(n) = f(p_1^{{\alpha}_1}) + ... + f(p_k^{{\alpha}_k})$$
@ -530,17 +621,17 @@ Legyen $n \in \mathbb{N}^+$ kanonikus alakja $p_1^{{\alpha}_1}...p_k^{{\alpha}_k
\item Ha $f$ teljesen multiplikatív számelméleti függvény, akkor $$f(n) = f(p_1)^{{\alpha}_1}...f(p_k)^{{\alpha}_k}$$ \item Ha $f$ teljesen multiplikatív számelméleti függvény, akkor $$f(n) = f(p_1)^{{\alpha}_1}...f(p_k)^{{\alpha}_k}$$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: $\phi$ multiplikativitása} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: $\phi$ multiplikativitása}]
$\phi$ multiplikatív. $\phi$ multiplikatív.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
\smallskip \smallskip
\begin{tabular}{c c c c} \begin{tabular}{c c c c}
1 & 2 & ... & a \\ 1 & 2 & ... & a \\
@ -559,18 +650,18 @@ $\implies$ minden oszlopban ${\phi}(b)$ rel. prím $b$-hez.\\
| Minden sor egy TMR mod $a$ $\implies$ minden sorban ${\phi}(a)$ db elem relatív prím $a$-hoz.\\ | Minden sor egy TMR mod $a$ $\implies$ minden sorban ${\phi}(a)$ db elem relatív prím $a$-hoz.\\
$\implies$ ${\phi}(a)$ db oszlopnak rel prímek az elemei $a$-hoz. $\implies$ összesen ${\phi}(a){\phi}(b)$ rel. prím van $ab$-hez. $\implies$ ${\phi}(a)$ db oszlopnak rel prímek az elemei $a$-hoz. $\implies$ összesen ${\phi}(a){\phi}(b)$ rel. prím van $ab$-hez.
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: ${\phi}$(n) kiszámolása} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: ${\phi}$(n) kiszámolása}]
Ha $n \in \mathbb{N}^+$ kanonikus alakja $p_1^{{\alpha}_1}...p_k^{{\alpha}_k}$, akkor\\ Ha $n \in \mathbb{N}^+$ kanonikus alakja $p_1^{{\alpha}_1}...p_k^{{\alpha}_k}$, akkor\\
$${\phi}(n) = \prod^k_{j=1} (p_j^{{\alpha}_j} - p_j^{{\alpha}_j - 1}) = n \prod^k_{j=1} (1 - \frac{1}{p_j}).$$ $${\phi}(n) = \prod^k_{j=1} (p_j^{{\alpha}_j} - p_j^{{\alpha}_j - 1}) = n \prod^k_{j=1} (1 - \frac{1}{p_j}).$$
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
$\phi$ multiplikatív\\ $\phi$ multiplikatív\\
Kiszámoljuk az értékeket prímhatványhelyeken, majd összeszorozzuk az értékeket.\\ Kiszámoljuk az értékeket prímhatványhelyeken, majd összeszorozzuk az értékeket.\\
${\phi}(p^{\alpha}) = ?$\\ ${\phi}(p^{\alpha}) = ?$\\
@ -581,7 +672,7 @@ $p^2$-ig $p - 1$ db van + maga $p^2$, azaz ${\phi}(p^2) = p^2 - p^1$.\\
Tovább számolva:\\ Tovább számolva:\\
${\phi}(p^{\alpha}) = p^{\alpha} - p^{\phi - 1}$ ${\phi}(p^{\alpha}) = p^{\alpha} - p^{\phi - 1}$
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
@ -596,21 +687,21 @@ ${\phi}(p^{\alpha}) = p^{\alpha} - p^{\phi - 1}$
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Véges halmaz valódi részhalmaza} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Véges halmaz valódi részhalmaza}]
Ha $n$ természetes szám, akkor nem létezik ekvivalencia $\{1, 2, ..., n\}$ és egy valódi részhalmaza között. Ha $n$ természetes szám, akkor nem létezik ekvivalencia $\{1, 2, ..., n\}$ és egy valódi részhalmaza között.
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Skatulya-elv} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Skatulya-elv}]
Ha $X, Y$ véges halmazok, és $|X| > |Y|$, akkor nem létezik $f: X \rightarrow Y$ bijekció. Ha $X, Y$ véges halmazok, és $|X| > |Y|$, akkor nem létezik $f: X \rightarrow Y$ bijekció.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}]
Tfh $f$ bijektív.\\ Tfh $f$ bijektív.\\
$Y ~ \{1, 2, ..., m\}$ és $X ~ \{1, 2, ..., m\}$, ahol $m < n$ $\implies$\\ $Y ~ \{1, 2, ..., m\}$ és $X ~ \{1, 2, ..., m\}$, ahol $m < n$ $\implies$\\
$\implies$ $\{1, 2, ..., m\}$ bármely részhalmaza $\{1, 2, ..., n\}$-nek is részhalmaza,\\ $\implies$ $\{1, 2, ..., m\}$ bármely részhalmaza $\{1, 2, ..., n\}$-nek is részhalmaza,\\
@ -619,18 +710,18 @@ $f$ bijektív $\implies$ $\{1, 2, ..., n\}$ $~$ saját valódi részhalmazával.
\textbf{Más megfogalmazás:} Ha $n$ db tárgyat $m$ db skatulyába teszünk, akkor van olyan skatulya, amelyik legalább\\ \textbf{Más megfogalmazás:} Ha $n$ db tárgyat $m$ db skatulyába teszünk, akkor van olyan skatulya, amelyik legalább\\
$\lfloor (n - 1) / m \rfloor + 1$ tárgyat tartalmaz. $\lfloor (n - 1) / m \rfloor + 1$ tárgyat tartalmaz.
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Permutációk száma} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Permutációk száma}]
$$P_n = n!$$ $$P_n = n!$$
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
Teljes indukció $n$ szerint\\ Teljes indukció $n$ szerint\\
1. lépés: $P_0 = P_1 = 1$ Igaz. (Megegyezés szerint $0! = 1$)\\ 1. lépés: $P_0 = P_1 = 1$ Igaz. (Megegyezés szerint $0! = 1$)\\
2. lépés: Tfh $n > 1$ és $n - 1$-ig már beláttuk.\\ 2. lépés: Tfh $n > 1$ és $n - 1$-ig már beláttuk.\\
@ -639,103 +730,103 @@ amely sorozatok 1. eleme megegyezik $\implies$ $n$ db osztály.\\
Ind. feltétel $\implies$ $\forall$ osztályban $P_{n - 1}$ elem.\\ Ind. feltétel $\implies$ $\forall$ osztályban $P_{n - 1}$ elem.\\
$P_n = nP_{n - 1} = n(n - 1)! = n!$ $P_n = nP_{n - 1} = n(n - 1)! = n!$
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Variációk száma} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Variációk száma}]
$$V_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)$$, ha $k \leq n$, kölünben 0. $$V_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)$$, ha $k \leq n$, kölünben 0.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
Legyen két sorozat egy ekv. osztályban, ha első $k$ elemük megegyezik.\\ Legyen két sorozat egy ekv. osztályban, ha első $k$ elemük megegyezik.\\
Ekkor: $P_n = $ (osztályok száma ($V_n^k = \frac{P_n}{P_n - k}$))*(ahány elem egy osztályban ($P_{n - k}$) Ekkor: $P_n = $ (osztályok száma ($V_n^k = \frac{P_n}{P_n - k}$))*(ahány elem egy osztályban ($P_{n - k}$)
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Ismétléses variációk száma} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses variációk száma}]
$$V_n^{k, i} = n^k$$ $$V_n^{k, i} = n^k$$
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
Teljes indukció $k$ szerint, $n$ rögzített\\ Teljes indukció $k$ szerint, $n$ rögzített\\
1. lépés: $k = 1$-re igaz: $V_n^{1, i} = n \rightarrow n^1$\\ 1. lépés: $k = 1$-re igaz: $V_n^{1, i} = n \rightarrow n^1$\\
2. lépés: Tfh $k > 1$ és $k - 1$-ig már beláttuk, ekkor\\ 2. lépés: Tfh $k > 1$ és $k - 1$-ig már beláttuk, ekkor\\
$(k - 1)$-es osztályú variációból $k$-ad osztályú:\\ $(k - 1)$-es osztályú variációból $k$-ad osztályú:\\
$n$ db választás $\implies$ $V_n^{k, i}$ (n választás) $= V_n^{k - 1, j} * n$ (n - 1 választás). $n$ db választás $\implies$ $V_n^{k, i}$ (n választás) $= V_n^{k - 1, j} * n$ (n - 1 választás).
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Kombinációk száma} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kombinációk száma}]
$$C_n^k = {{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$, ha $k \neq n$, különben 0. $$C_n^k = {{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$, ha $k \neq n$, különben 0.
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
$V_n^k$ db különböző $k$-tagú sorozat, sorrend nem számít $\implies$\\ $V_n^k$ db különböző $k$-tagú sorozat, sorrend nem számít $\implies$\\
$\implies$ minden $P_k$ sb sorozat ugyanaz $\implies$ számoljuk egyszer.\\ $\implies$ minden $P_k$ sb sorozat ugyanaz $\implies$ számoljuk egyszer.\\
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Ismétléses kombinációk száma} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses kombinációk száma}]
$$C_n^{k, i} = C_{n + k -1}^k = {{n + k - 1}\choose{k}} = \frac{(n + k - 1)!}{k!((n + k - 1) - k)!} $$ $$C_n^{k, i} = C_{n + k -1}^k = {{n + k - 1}\choose{k}} = \frac{(n + k - 1)!}{k!((n + k - 1) - k)!} $$
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
Legyen $A = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$.\\ Legyen $A = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$.\\
MInden egyes választási lehetőségnek feleltessünk meg egy bitsorozatot:\\ MInden egyes választási lehetőségnek feleltessünk meg egy bitsorozatot:\\
$1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 0 ... 0 1 1 1 ... 1$\\ $1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 0 ... 0 1 1 1 ... 1$\\
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Ismétléses permutációk száma} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses permutációk száma}]
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Binomiális tétel} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Binomiális tétel}]
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Logikai szita formula} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Logikai szita formula}]
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}
@ -748,11 +839,11 @@ $1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 0 ... 0 1 1 1 ... 1$\\
\begin{frame} \begin{frame}
\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}]
\end{block} \end{tcolorbox}
\begin{block}{Bizonyítás} \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
\end{block} \end{tcolorbox}
\end{frame} \end{frame}