diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/CompileAll.bat b/Diszkrét Matematika/Vizsga/CompileAll.bat new file mode 100644 index 0000000..0ca781f --- /dev/null +++ b/Diszkrét Matematika/Vizsga/CompileAll.bat @@ -0,0 +1,35 @@ +@echo off + +cd Headers + +pdflatex Article1d3A4Page.tex +copy Article1d3A4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_Scaled1d3A4.pdf + +pdflatex Article1d4A4Page.tex +copy Article1d4A4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_Scaled1d4A4.pdf + +pdflatex Article1d5A4Page.tex +copy Article1d5A4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_Scaled1d5A4.pdf + +pdflatex Article1d6A4Page.tex +copy Article1d6A4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_Scaled1d6A4.pdf + +pdflatex ArticleA4Page.tex +copy ArticleA4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_Normal.pdf + +pdflatex ArticleHalfA4Page.tex +copy ArticleHalfA4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_HalfA4.pdf + +pdflatex ArticleHalfA4Page2x1.tex +copy ArticleHalfA4Page2x1.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_HalfA4_2x1.pdf + +pdflatex ArticleA4Page2x2.tex +copy ArticleA4Page2x2.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_A4Page_2x2.pdf + +pdflatex ArticleHalfA4Page4x2.tex +copy ArticleHalfA4Page4x2.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_HalfA4_4x2.pdf + +pdflatex PrezA4Page.tex +copy PrezA4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Prez_Normal.pdf + +pause \ No newline at end of file diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d3A4Page.tex b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d3A4Page.tex new file mode 100644 index 0000000..17acdaa --- /dev/null +++ b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d3A4Page.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +% Compile twice! +% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! + +% Uncomment these to get the presentation form +%\documentclass{beamer} +%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article +\documentclass[10pt]{article} +\usepackage{geometry} +%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} +\usepackage{beamerarticle} +\renewcommand{\\}{\par\noindent} +\setbeamertemplate{note page}[plain] + +% Half A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% "1/3" A4 geometry +\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/6" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/5" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/4" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page. +%\usepackage{pgfpages} +% Choose one +%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper] + +\input{../szamtudv.tex} \ No newline at end of file diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d4A4Page.tex b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d4A4Page.tex new file mode 100644 index 0000000..0d701a1 --- /dev/null +++ b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d4A4Page.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +% Compile twice! +% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! + +% Uncomment these to get the presentation form +%\documentclass{beamer} +%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article +\documentclass[10pt]{article} +\usepackage{geometry} +%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} +\usepackage{beamerarticle} +\renewcommand{\\}{\par\noindent} +\setbeamertemplate{note page}[plain] + +% Half A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% "1/3" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/6" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/5" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/4" A4 geometry +\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page. +%\usepackage{pgfpages} +% Choose one +%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper] + +\input{../szamtudv.tex} \ No newline at end of file diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d5A4Page.tex b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d5A4Page.tex new file mode 100644 index 0000000..15d69df --- /dev/null +++ b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d5A4Page.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +% Compile twice! +% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! + +% Uncomment these to get the presentation form +%\documentclass{beamer} +%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article +\documentclass[10pt]{article} +\usepackage{geometry} +%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} +\usepackage{beamerarticle} +\renewcommand{\\}{\par\noindent} +\setbeamertemplate{note page}[plain] + +% Half A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% "1/3" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/6" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/5" A4 geometry +\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/4" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page. +%\usepackage{pgfpages} +% Choose one +%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper] + +\input{../szamtudv.tex} \ No newline at end of file diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d6A4Page.tex b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d6A4Page.tex new file mode 100644 index 0000000..70f56cd --- /dev/null +++ b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d6A4Page.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +% Compile twice! +% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! + +% Uncomment these to get the presentation form +%\documentclass{beamer} +%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article +\documentclass[10pt]{article} +\usepackage{geometry} +%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} +\usepackage{beamerarticle} +\renewcommand{\\}{\par\noindent} +\setbeamertemplate{note page}[plain] + +% Half A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% "1/3" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/6" A4 geometry +\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/5" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/4" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page. +%\usepackage{pgfpages} +% Choose one +%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper] + +\input{../szamtudv.tex} \ No newline at end of file diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleA4Page.tex b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleA4Page.tex new file mode 100644 index 0000000..b93ffc0 --- /dev/null +++ b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleA4Page.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +% Compile twice! +% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! + +% Uncomment these to get the presentation form +%\documentclass{beamer} +%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article +\documentclass[10pt]{article} +\usepackage{geometry} +\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} +\usepackage{beamerarticle} +\renewcommand{\\}{\par\noindent} +\setbeamertemplate{note page}[plain] + +% Half A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% "1/3" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/6" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/5" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/4" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page. +%\usepackage{pgfpages} +% Choose one +%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper] + +\input{./../szamtudv.tex} \ No newline at end of file diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleA4Page2x2.tex b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleA4Page2x2.tex new file mode 100644 index 0000000..dea16cc --- /dev/null +++ b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleA4Page2x2.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +% Compile twice! +% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! + +% Uncomment these to get the presentation form +%\documentclass{beamer} +%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article +\documentclass[10pt]{article} +\usepackage{geometry} +\geometry{top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} +\usepackage{beamerarticle} +\renewcommand{\\}{\par\noindent} +\setbeamertemplate{note page}[plain] + +% Half A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% "1/3" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/6" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/5" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/4" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page. +\usepackage{pgfpages} +% Choose one +%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper] +\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper] + +\input{../szamtudv.tex} \ No newline at end of file diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page.tex b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page.tex new file mode 100644 index 0000000..c0100f2 --- /dev/null +++ b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +% Compile twice! +% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! + +% Uncomment these to get the presentation form +%\documentclass{beamer} +%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article +\documentclass[10pt]{article} +\usepackage{geometry} +%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} +\usepackage{beamerarticle} +\renewcommand{\\}{\par\noindent} +\setbeamertemplate{note page}[plain] + +% Half A4 geometry +\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% "1/3" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/6" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/5" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/4" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page. +%\usepackage{pgfpages} +% Choose one +%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper] + +\input{../szamtudv.tex} \ No newline at end of file diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page2x1.tex b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page2x1.tex new file mode 100644 index 0000000..d238f42 --- /dev/null +++ b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page2x1.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +% Compile twice! +% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! + +% Uncomment these to get the presentation form +%\documentclass{beamer} +%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article +\documentclass[10pt]{article} +\usepackage{geometry} +%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} +\usepackage{beamerarticle} +\renewcommand{\\}{\par\noindent} +\setbeamertemplate{note page}[plain] + +% Half A4 geometry +\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% "1/3" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/6" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/5" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/4" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page. +\usepackage{pgfpages} +% Choose one +\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper] + +\input{../szamtudv.tex} \ No newline at end of file diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page4x2.tex b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page4x2.tex new file mode 100644 index 0000000..98c89ab --- /dev/null +++ b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page4x2.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +% Compile twice! +% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! + +% Uncomment these to get the presentation form +%\documentclass{beamer} +%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article +\documentclass[10pt]{article} +\usepackage{geometry} +%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} +\usepackage{beamerarticle} +\renewcommand{\\}{\par\noindent} +\setbeamertemplate{note page}[plain] + +% Half A4 geometry +\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% "1/3" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/6" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/5" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/4" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page. +\usepackage{pgfpages} +% Choose one +%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper] +\pgfpagesuselayout{16 on 1}[a4paper] + +\input{../szamtudv.tex} \ No newline at end of file diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/PrezA4Page.tex b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/PrezA4Page.tex new file mode 100644 index 0000000..e0361cd --- /dev/null +++ b/Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/PrezA4Page.tex @@ -0,0 +1,5 @@ + +\documentclass{beamer} +\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +\input{../szamtudv.tex} \ No newline at end of file diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex b/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex index 06baca8..a133e8b 100644 --- a/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex +++ b/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex @@ -1,60 +1,151 @@ % Compile twice! +% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! +% Uncomment these to get the presentation form \documentclass{beamer} -\usepackage{tikz} +\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} +% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article +%\documentclass[10pt]{article} +%\usepackage{geometry} +%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} +%\usepackage{beamerarticle} +%\renewcommand{\\}{\par\noindent} +%\setbeamertemplate{note page}[plain] + +% Half A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +% "1/3" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/6" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/5" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% "1/4" A4 geometry +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in} + +% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page. +%\usepackage{pgfpages} +% Choose one +%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper] + +% Includes +\usepackage{tikz} +\usepackage{tkz-graph} +\usetikzlibrary{shapes,arrows,automata} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{booktabs} +\usepackage{array} +\usepackage{arydshln} +\usepackage{enumerate} +\usepackage[many, poster]{tcolorbox} +\usepackage{pgf} \usepackage[makeroom]{cancel} +% Colors +\definecolor{myred}{rgb}{0.87,0.18,0} +\definecolor{myorange}{rgb}{1,0.4,0} +\definecolor{myyellowdarker}{rgb}{1,0.69,0} +\definecolor{myyellowlighter}{rgb}{0.91,0.73,0} +\definecolor{myyellow}{rgb}{0.97,0.78,0.36} +\definecolor{myblue}{rgb}{0,0.38,0.47} +\definecolor{mygreen}{rgb}{0,0.52,0.37} +\colorlet{mybg}{myyellow!5!white} +\colorlet{mybluebg}{myyellowlighter!3!white} +\colorlet{mygreenbg}{myyellowlighter!3!white} + +\setbeamertemplate{itemize item}{\color{black}$-$} +\setbeamertemplate{itemize subitem}{\color{black}$-$} +\setbeamercolor*{enumerate item}{fg=black} +\setbeamercolor*{enumerate subitem}{fg=black} +\setbeamercolor*{enumerate subsubitem}{fg=black} + +\renewcommand{\tiny}{\footnotesize} +\renewcommand{\small}{\footnotesize} + +% These are different themes, only uncomment one at a time +\tcbset{enhanced,fonttitle=\bfseries,boxsep=7pt,arc=0pt,colframe={myyellowlighter},colbacktitle={myyellow},colback={mybg},coltitle={black}, coltext={black},attach boxed title to top left={xshift=-2mm,yshift=-2mm},boxed title style={size=small,arc=0mm}} + +%\tcbset{colback=yellow!5!white,colframe=yellow!84!black} +%\tcbset{enhanced,colback=red!10!white,colframe=red!75!black,colbacktitle=red!50!yellow,fonttitle= +%\tcbset{enhanced,attach boxed title to top left} +%\tcbset{enhanced,fonttitle=\bfseries,boxsep=5pt,arc=8pt,borderline={0.5pt}{0pt}{red},borderline={0.5pt}{5pt}{blue,dotted},borderline={0.5pt}{-5pt}{green}} + +% Beamer theme \usetheme{boxes} -\geometry{paperwidth=160mm,paperheight=160mm} +% tikz settings for the flowchart(s) +\tikzstyle{decision} = [diamond, minimum width=3cm, minimum height=1cm, text centered, draw=black, fill=green!15] +\tikzstyle{tcolorbox} = [rectangle, draw, fill=blue!15, text width=20em, text centered, minimum height=1em] + +\tikzstyle{line} = [draw, -latex'] +\tikzstyle{cloud} = [draw, ellipse,fill=red!20, node distance=3cm, + minimum height=2em] +\tikzstyle{arrow} = [thick,->,>=stealth] + +\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}} +\renewcommand{\arraystretch}{1.2} + +\setlength\dashlinedash{0.2pt} +\setlength\dashlinegap{1.5pt} +\setlength\arrayrulewidth{0.3pt} + +\newcommand{\mtinyskip}{\vspace{0.2em}} +\newcommand{\msmallskip}{\vspace{0.3em}} +\newcommand{\mmedskip}{\vspace{0.5em}} +\newcommand{\mbigskip}{\vspace{1em}} + \begin{document} \begin{frame}[plain] -\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] -\node[anchor=center] at (current page.center) { -\begin{beamercolorbox}[center]{title} - {\Huge Diszkrét Matematika}\\ - {\Large Vizsgatételek} -\end{beamercolorbox}}; -\end{tikzpicture} +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] +{\Huge Diszkrét Matematika I}\\ +\mbigskip +\\ +A kisbetűs szövegek (LaTeX-ben tiny), (Ha nincs előttük (S) jelzés, akkor lemaradt)\\ +a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók! +\end{tcolorbox} \end{frame} +% -------------------- HALMAZOK, RELÁCIÓK -------------------- + \begin{frame}[plain] -\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] -\node[anchor=center] at (current page.center) { -\begin{beamercolorbox}[center]{title} +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] {\Huge Halmazok, Relációk} -\end{beamercolorbox}}; -\end{tikzpicture} + \mmedskip +\end{tcolorbox} \end{frame} - \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Minden dolog halmaza} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Minden dolog halmaza}] Nincs olyan halmaz, amelynek minden dolog eleme. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Biz} +\begin{tcolorbox}[title={Biz}] asasdad -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Definíció: Unió} +\begin{tcolorbox}[title={Definíció: Unió}] Ha A és B halmazok, akkor A és B unióján a következő halmazt értjük:\\ $$A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}$$ -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Tétel: Az unió tulajdonságai} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Az unió tulajdonságai}] Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor: \begin{enumerate} @@ -65,18 +156,18 @@ Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor: \item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cup B = B$ \end{enumerate} -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Definíció: Metszet} +\begin{tcolorbox}[title={Definíció: Metszet}] Ha A és B halmazok, akkor A és B metszetén a következő halmazt értjük:\\ $$A \cap B = \{x \in A \wedge x \in B\}$$ -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Tétel: A metszet tulajdonságai} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: A metszet tulajdonságai}] Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor: \begin{enumerate} @@ -86,13 +177,13 @@ Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor: \item $A \cap A = A$ (Idempotencia) \item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cap B = A$ \end{enumerate} -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Unió és metszet disztributivitása} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Unió és metszet disztributivitása}] Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor: \begin{enumerate} @@ -100,18 +191,18 @@ Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor: \item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (B \cup C)$ (Az unió disztributivitása a metszetre nézve) \end{enumerate} -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Definíció: Komplementer} +\begin{tcolorbox}[title={Definíció: Komplementer}] Ha X halmaz, A $\wedge$ X, akkor A halmaz X-re vonatkoztatott komplementere:\\ $$A' = X \setminus A$$ -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Tétel: A komplementer tulajdonságai} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: A komplementer tulajdonságai}] Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor: \begin{enumerate} @@ -123,27 +214,27 @@ Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor: \item $(A \cap B)' = A' \cup B'$ \item $(A \cup B)' = A' \cap B'$ \end{enumerate} -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Definíció: Halmaz osztályfelbontása} +\begin{tcolorbox}[title={Definíció: Halmaz osztályfelbontása}] A tetszőleges X halmazt \textbf{osztályozzuk (osztályokra bontjuk)}, ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak uniójaként állítjuk elő. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Az X $\in$ X elem \textbf{ekvivalencia osztálya}:} +\begin{tcolorbox}[title={Az X $\in$ X elem \textbf{ekvivalencia osztálya}:}] $$\overline{x} = \{y \in X : y \sim x\}$$ -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Tétel: Ekvivalenciareláció és osztályfelbontás kapcsolata} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ekvivalenciareláció és osztályfelbontás kapcsolata}] Valamely X halmazon értelmezett $\sim$ ekvivalenciareláció X-nek egy osztályfelbontását adja. Megfordítva, az X halmaz minden osztályfelbontása egy $\sim$ ekvivalenciarelációt hoz létre. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Biz} +\begin{tcolorbox}[title={Biz}] asasdad -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} @@ -159,41 +250,41 @@ asasdad \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}] Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] Legyen $(G, *)$ félcsoport, $e_b$ bal oldali, $e_j$ pedig jobb oldali egységelem $G$-ben.\\ Ekkor $e_b = e_j$, hiszen:\\ $e_be_j = e_j$ és $e_be_j = e_b$, (nyíl éshez $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!)\\ mert $e_b$ bal, $e_j$ jobb oldali egységelem.\\ Ha az $a \in G$ elemnek $a_b$ balinverze, $a_j$ pedig jobbinverze, akkor $a_b = a_j$. $a_baa_j = a_b(aa_j) = a_be = a_b$ és $a_baa_j = (a_ba)a_j = ea_j = a_j$. (Asszociatív tulajdonság) (nyíl éshez ide is $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!).d -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Lemma: Észrevételek gyűrűkben} +\begin{tcolorbox}[title={Lemma: Észrevételek gyűrűkben}] \begin{enumerate} \item \textbf{Szorzás nullelemmel:} Legyen 0 az R gyűrű nulleleme. Ekkor $a0 = 0a = 0$, minden $a \in R$ esetén. \item \textbf{Előjelszabály:} Legyen R gyűrű, és $a, b \in R$. Az $a$ elem additív inverzés jelöljük $-a$-val. Ekkor $-(ab) = (-a)b = a(-b)$, tobábbá $(-a)(-b) = ab$. \item \textbf{Véges integritási tartomány test.} \item \textbf{Testben nincs nullosztó.} \end{enumerate} -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Lemma: Nullosztó és regularitás} +\begin{tcolorbox}[title={Lemma: Nullosztó és regularitás}] R gyűrűben a multiplikatív művelet akkor, és csak akkor reguláris, ha R zérusosztómentes. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] \textbf{1. Rész}\\ Tfh $a \neq 0$, a nem bal oldali nullosztó és $ab = ac$.\\ $ab = ac / -(ac)$ (+ additív inverz)\\ @@ -210,64 +301,64 @@ $ac = ac + ab$ /(Disztributivitás)\\ $ac = a(c + b)$ Ellentmondás!\\ Mivel $(b \neq 0) \implies (c \neq (c + b))$ (A b nem additív egységelem). -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Természetes számok} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Természetes számok}] A $(N, +, *)$ struktúrában mindkét művelet asszociatív, kommutatív, reguláris.\\ Nullelem (additív egységelem): 0.\\ Multiplikatív egységelem: 1.\\ A szorzat mindkét oldalról disztributív az összeadásra.\\ ${\forall}m \in N : 0 * m = m * 0 = 0$. -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: N rendezése} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: N rendezése}] A természetes számok halmaza a $\leq$ relációval jólrendezett. -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság}] $T$ felső határ tulajdonságú test, $\implies$ $T$ arkhimédészi tulajdonságú. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}] Tfh $T$ felső határ tulajdonságú rendezett test, de nem arkhimédészi tulajdonságú.\\ $\implies : {\nexists}n \in \mathbb{N} : nx \geq y$.\\ Azaz y felső korlátja az $A = \{ nx | n \in \mathbb{N} \}$ halmaznak.\\ Ekkor viszont létezik $z = sup A$ $\implies$ $z - x < z$ nem felső korlát. $\implies$\\ $implies$ ${\exists}n : nx > z - x \implies (n + 1)x > z$. ($(n + 1)x \in A$).\\ Ellentmondás, mivel ha $n \in \mathbb{N}$, akkor $n^+ \in \mathbb{N}$ $\rightarrow$ Peano axióma! -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Q nem felső határ tulajdonságú} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Q nem felső határ tulajdonságú}] $\mathbb{Q}$ arkhimédészi tulajdonságú, de nem felső határ tulajdonságú. -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális}] Nincs $\mathbb{Q}$-ban olyan szám, amelynek négyzete 2. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}] Tfh van, és ez $x$.\\ $x = \frac{m}{n}, m,n \in \mathbb{N}^+$, és az $m$ minimális.\\ $2 = x^2 = \frac{m^2}{n^2} \implies m^2 = 2n^2$\\ @@ -276,15 +367,15 @@ Ebből következik, hogy $n$ is páros: $n = 2j, j \in \mathbb{N}^+$\\ Ekkor viszont $\frac{m}{n} = \frac{2k}{2j} = \frac{k}{j}$.\\ Viszont ebből koövetkezik, hogy m nem minimális $\rightarrow$ Ellentmondás! -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Az algebra alaptétele} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Az algebra alaptétele}] Ha $n \in \mathbb{N}^+$, valamint $c_0, c_1, ... c_n$ komplex számok, $c_n \neq 0$, akkor van olyan $u$ komplex szám, amelyre:\\ $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$ -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} @@ -299,7 +390,7 @@ $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$ \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Az oszthatóság tulajdonságai EIT-ban} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Az oszthatóság tulajdonságai EIT-ban}] \begin{enumerate} \item Ha $b|a$ és $b'|a'$, akkor $bb'|aa'$. \item A nullának minden elem osztója. @@ -310,42 +401,42 @@ $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$ \item Ha $b|a_i$ és $c_i \in R, (i = 1, 2, ..., j)$, akkor $b|\sum^j_{i=1} c_ia_i$. \item Az $|$ reláció reflexív, és tranzitív. \end{enumerate} -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban}] Tetszőleges $R$ egységelemes integritási tartományban minden $p$ elemre:\\ Ha $p$ prím $\implies$ $p$ felbonthatatlan. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] Tfh $p$ prím, és, $p = bc$\\ Ekkor vagy $p|b$, vagy $p|c$\\ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Maradékos osztás $\mathbb{Z}$-ben} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Maradékos osztás $\mathbb{Z}$-ben}] ${\exists}a, b({\neq}0) \in \mathbb{Z}$ számhoz egyértelműen létezik olyan $q, r \in \mathbb{Z}$, hogy\\ $a = qb + r \land 0 \leq r < |b|$. -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem $\mathbb{Z}$-ben} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Prím és irreducibilis elem $\mathbb{Z}$-ben}] Az egész számok körében $p$ prím $\iff$ $p$ felbonthatatlan. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] Már láttuk, hogy prím felbonthatatlan!\\ Tfh p felbonthatatlan\\ Legyen $p|bc$, ekkor vagy $p | b$-nek, ekkor ksz vagyunk. @@ -353,17 +444,17 @@ Vagy $p \nmid b$ ekkor $(p,b) = 1$.\\ $c = pcx +bcx \implies 0 mod p \implies p | c$.\\ (Észrevétel: $(a, b) = 1 \land a | bc \implies a | c$ -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: A számelmélet alaptétele} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: A számelmélet alaptétele}] Minden $m$ nemnulla, nemegység, egész szám sorrendre és asszociáltásgra való tekintet nélkül egyértelműen bontható fel felbonthatatlanok szorzatára. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás (Pozitívakra)} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Pozitívakra)}] \textbf{(egzisztencia)}\\ Tfh $n > 1$\\ Teljes indukció: $n = 2$ kész, tfk $n - 1$-ig kész.\\ @@ -380,29 +471,29 @@ $p_1|q_1$, $p_1|q_2 ... q_r$\\ $p_1|q_i \implies p_1 = q_i \implies$\\ $\implies$ $n_1 = \frac{n}{p_1} = p_2 ... p_k = q_1 ... q_{i-1}q_{i+1} ... q_r$\\ $n_1 < n$ és van két lényegesen különböző felbontása! -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Eukleidész tétele} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Eukleidész tétele}] Végetlen sok prímszám van. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}] Tfh véges sok van:\\ $p_1, p_2, ... ,p_k$.\\ Legyen $n = p_1p_2...p_k$.\\ Számelmélet alaptételéből következik hogy létezik $p_j : p_j | n + 1$\\ $p_j : p_j | n + 1 \implies p_j | 1$ Ellentmondás! -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Kongruencia tulajdonságai} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kongruencia tulajdonságai}] \begin{enumerate} \item Ekvivalencia reláció \item $a \equiv b \pmod{m} \land c \equiv d \pmod{m} \implies$ \textbf{$a + c \equiv b + d \pmod{m}$} @@ -410,38 +501,38 @@ $p_j : p_j | n + 1 \implies p_j | 1$ Ellentmondás! \item $a \equiv b \pmod{m} \land f(x) \in z[x] \implies$ \textbf{$f(a) \equiv f(b) \pmod{m}$} \item Ha $(c, m) = d$, $ac \equiv bc \pmod{m} \iff a \equiv b \pmod{\frac{m}{d}}$ \end{enumerate} -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Omnibusz tétel} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Omnibusz tétel}] Legyen: $m > 1$ egész, $\{a_1, ..., a_m\}$ TMR modulo $m$, $\{b_1, ..., b_{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$, $c, d \in \mathbb{Z}$, és $(c,m) = 1$.\\ \smallskip Ekkor:\\ \smallskip $\{ ca_1 + d, ..., ca_m + d \}$ TMR modulo $m$\\ $\{ cb_1, ..., cb{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$ -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}] Tfh van két nem inkongruens elem\\ $ca_i + d = ca_i + d$\\ ${\cancel{c}}a_i + {\cancel{d}} = {\cancel{c}}a_i + {\cancel{d}}$ $(c, m) = 1$, és pontosan $m$ db elem!\\ $(c, m) = 1$ és $(b_j,m) = 1$ $\implies$ $(cb_j, m) = 1$ -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Euler-Fermat tétel} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Euler-Fermat tétel}] Legyen $m > 1$ egész és $a$ relatív prím $m$-hez. Ekkor $a^{{\phi}(m)} \equiv 1 \pmod{m}$ -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] Legyen $\{ r_1, ..., r_{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$, $(a, m) = 1$.\\ Az omnibusz tétel miatt, ekkor $\{ ar_1, ..., ar_{{\phi}(m)}\}$ is RMR modulo $m$.\\ Megfelelő párosítás $\implies$ $r_i \equiv ar_j \pmod{m}$.\\ @@ -449,37 +540,37 @@ Megfelelő párosítás $\implies$ $r_i \equiv ar_j \pmod{m}$.\\ \smallskip $$a^{{\phi}(m)} \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \equiv \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \pmod{m}$$ -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: (Kis) Fermat tétel} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: (Kis) Fermat tétel}] Legyen $p$ prím és $a \in \mathbb{Z}$. Ekkor\\ (első alak) ha $p \nmid a$, akkor $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.\\ (második alak) ha $a$ tetszőleges, akkor $a^p \equiv a \pmod{p}$. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] Első alak: ${\phi}(p) \equiv p - 1$ $\rightarrow$ előző tétel miatt kész.\\ \bigskip Második alak:\\ Ha $p|a$ $\rightarrow$ $0 \equiv 0$ $\rightarrow$ kész.\\ Ha $p{\nmid}a$ $\rightarrow$ ekkor ez az első alak $\rightarrow$ kész. -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: A diofantikus egyenlet megoldása} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: A diofantikus egyenlet megoldása}] Rögzített $a, b, c$ egész számok esetén az \textbf{$ax + by = c$} diofantikus egyenletnek akkor, és csak akkor van megoldása, ha $(a, b)|c$. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] Tfh $ax + by = c$ egyenletnek van megoldása.\\ \textbf{1. Rész ($\implies$)}\\ \smallskip @@ -494,13 +585,13 @@ $c = (au + bv)q$\\ $c = a(uq) + b(vq)$\\ $c = a(uq) + b(vq)$ $\implies$ egy megoldás: $x = uq, y = vq$.\\ -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Kínai maradéktétel} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kínai maradéktétel}] Legyen $n \in \mathbb{N}^+, m_1, m_2, ..., m_n \in \mathbb{N}^+, a_i, b_i \in \mathbb{Z} (1 |Y|$, akkor nem létezik $f: X \rightarrow Y$ bijekció. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}] Tfh $f$ bijektív.\\ $Y ~ \{1, 2, ..., m\}$ és $X ~ \{1, 2, ..., m\}$, ahol $m < n$ $\implies$\\ $\implies$ $\{1, 2, ..., m\}$ bármely részhalmaza $\{1, 2, ..., n\}$-nek is részhalmaza,\\ @@ -619,18 +710,18 @@ $f$ bijektív $\implies$ $\{1, 2, ..., n\}$ $~$ saját valódi részhalmazával. \textbf{Más megfogalmazás:} Ha $n$ db tárgyat $m$ db skatulyába teszünk, akkor van olyan skatulya, amelyik legalább\\ $\lfloor (n - 1) / m \rfloor + 1$ tárgyat tartalmaz. -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Permutációk száma} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Permutációk száma}] $$P_n = n!$$ -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] Teljes indukció $n$ szerint\\ 1. lépés: $P_0 = P_1 = 1$ Igaz. (Megegyezés szerint $0! = 1$)\\ 2. lépés: Tfh $n > 1$ és $n - 1$-ig már beláttuk.\\ @@ -639,103 +730,103 @@ amely sorozatok 1. eleme megegyezik $\implies$ $n$ db osztály.\\ Ind. feltétel $\implies$ $\forall$ osztályban $P_{n - 1}$ elem.\\ $P_n = nP_{n - 1} = n(n - 1)! = n!$ -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Variációk száma} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Variációk száma}] $$V_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)$$, ha $k \leq n$, kölünben 0. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] Legyen két sorozat egy ekv. osztályban, ha első $k$ elemük megegyezik.\\ Ekkor: $P_n = $ (osztályok száma ($V_n^k = \frac{P_n}{P_n - k}$))*(ahány elem egy osztályban ($P_{n - k}$) -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Ismétléses variációk száma} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses variációk száma}] $$V_n^{k, i} = n^k$$ -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] Teljes indukció $k$ szerint, $n$ rögzített\\ 1. lépés: $k = 1$-re igaz: $V_n^{1, i} = n \rightarrow n^1$\\ 2. lépés: Tfh $k > 1$ és $k - 1$-ig már beláttuk, ekkor\\ $(k - 1)$-es osztályú variációból $k$-ad osztályú:\\ $n$ db választás $\implies$ $V_n^{k, i}$ (n választás) $= V_n^{k - 1, j} * n$ (n - 1 választás). -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Kombinációk száma} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kombinációk száma}] $$C_n^k = {{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$, ha $k \neq n$, különben 0. -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] $V_n^k$ db különböző $k$-tagú sorozat, sorrend nem számít $\implies$\\ $\implies$ minden $P_k$ sb sorozat ugyanaz $\implies$ számoljuk egyszer.\\ -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Ismétléses kombinációk száma} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses kombinációk száma}] $$C_n^{k, i} = C_{n + k -1}^k = {{n + k - 1}\choose{k}} = \frac{(n + k - 1)!}{k!((n + k - 1) - k)!} $$ -\end{block} +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] Legyen $A = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$.\\ MInden egyes választási lehetőségnek feleltessünk meg egy bitsorozatot:\\ $1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 0 ... 0 1 1 1 ... 1$\\ -\end{block} +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Ismétléses permutációk száma} -\end{block} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses permutációk száma}] +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Binomiális tétel} -\end{block} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Binomiális tétel}] +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Logikai szita formula} -\end{block} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Logikai szita formula}] +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] +\end{tcolorbox} \end{frame} @@ -748,11 +839,11 @@ $1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 0 ... 0 1 1 1 ... 1$\\ \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban} -\end{block} +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}] +\end{tcolorbox} -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} +\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] +\end{tcolorbox} \end{frame}