mirror of
https://github.com/Relintai/Documents.git
synced 2024-11-21 00:57:17 +01:00
Dimat.
This commit is contained in:
parent
5f2edd89ec
commit
9ac7373ae6
35
Diszkrét Matematika/Vizsga/CompileAll.bat
Normal file
35
Diszkrét Matematika/Vizsga/CompileAll.bat
Normal file
@ -0,0 +1,35 @@
|
||||
@echo off
|
||||
|
||||
cd Headers
|
||||
|
||||
pdflatex Article1d3A4Page.tex
|
||||
copy Article1d3A4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_Scaled1d3A4.pdf
|
||||
|
||||
pdflatex Article1d4A4Page.tex
|
||||
copy Article1d4A4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_Scaled1d4A4.pdf
|
||||
|
||||
pdflatex Article1d5A4Page.tex
|
||||
copy Article1d5A4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_Scaled1d5A4.pdf
|
||||
|
||||
pdflatex Article1d6A4Page.tex
|
||||
copy Article1d6A4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_Scaled1d6A4.pdf
|
||||
|
||||
pdflatex ArticleA4Page.tex
|
||||
copy ArticleA4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_Normal.pdf
|
||||
|
||||
pdflatex ArticleHalfA4Page.tex
|
||||
copy ArticleHalfA4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_HalfA4.pdf
|
||||
|
||||
pdflatex ArticleHalfA4Page2x1.tex
|
||||
copy ArticleHalfA4Page2x1.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_HalfA4_2x1.pdf
|
||||
|
||||
pdflatex ArticleA4Page2x2.tex
|
||||
copy ArticleA4Page2x2.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_A4Page_2x2.pdf
|
||||
|
||||
pdflatex ArticleHalfA4Page4x2.tex
|
||||
copy ArticleHalfA4Page4x2.pdf ..\Build\DiMat_1_Article_HalfA4_4x2.pdf
|
||||
|
||||
pdflatex PrezA4Page.tex
|
||||
copy PrezA4Page.pdf ..\Build\DiMat_1_Prez_Normal.pdf
|
||||
|
||||
pause
|
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d3A4Page.tex
Normal file
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d3A4Page.tex
Normal file
@ -0,0 +1,38 @@
|
||||
% Compile twice!
|
||||
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
||||
|
||||
% Uncomment these to get the presentation form
|
||||
%\documentclass{beamer}
|
||||
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
|
||||
\documentclass[10pt]{article}
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
\usepackage{beamerarticle}
|
||||
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
|
||||
\setbeamertemplate{note page}[plain]
|
||||
|
||||
% Half A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% "1/3" A4 geometry
|
||||
\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/6" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/5" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/4" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
|
||||
%\usepackage{pgfpages}
|
||||
% Choose one
|
||||
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
|
||||
|
||||
\input{../szamtudv.tex}
|
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d4A4Page.tex
Normal file
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d4A4Page.tex
Normal file
@ -0,0 +1,38 @@
|
||||
% Compile twice!
|
||||
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
||||
|
||||
% Uncomment these to get the presentation form
|
||||
%\documentclass{beamer}
|
||||
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
|
||||
\documentclass[10pt]{article}
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
\usepackage{beamerarticle}
|
||||
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
|
||||
\setbeamertemplate{note page}[plain]
|
||||
|
||||
% Half A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% "1/3" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/6" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/5" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/4" A4 geometry
|
||||
\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
|
||||
%\usepackage{pgfpages}
|
||||
% Choose one
|
||||
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
|
||||
|
||||
\input{../szamtudv.tex}
|
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d5A4Page.tex
Normal file
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d5A4Page.tex
Normal file
@ -0,0 +1,38 @@
|
||||
% Compile twice!
|
||||
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
||||
|
||||
% Uncomment these to get the presentation form
|
||||
%\documentclass{beamer}
|
||||
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
|
||||
\documentclass[10pt]{article}
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
\usepackage{beamerarticle}
|
||||
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
|
||||
\setbeamertemplate{note page}[plain]
|
||||
|
||||
% Half A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% "1/3" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/6" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/5" A4 geometry
|
||||
\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/4" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
|
||||
%\usepackage{pgfpages}
|
||||
% Choose one
|
||||
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
|
||||
|
||||
\input{../szamtudv.tex}
|
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d6A4Page.tex
Normal file
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/Article1d6A4Page.tex
Normal file
@ -0,0 +1,38 @@
|
||||
% Compile twice!
|
||||
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
||||
|
||||
% Uncomment these to get the presentation form
|
||||
%\documentclass{beamer}
|
||||
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
|
||||
\documentclass[10pt]{article}
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
\usepackage{beamerarticle}
|
||||
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
|
||||
\setbeamertemplate{note page}[plain]
|
||||
|
||||
% Half A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% "1/3" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/6" A4 geometry
|
||||
\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/5" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/4" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
|
||||
%\usepackage{pgfpages}
|
||||
% Choose one
|
||||
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
|
||||
|
||||
\input{../szamtudv.tex}
|
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleA4Page.tex
Normal file
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleA4Page.tex
Normal file
@ -0,0 +1,38 @@
|
||||
% Compile twice!
|
||||
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
||||
|
||||
% Uncomment these to get the presentation form
|
||||
%\documentclass{beamer}
|
||||
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
|
||||
\documentclass[10pt]{article}
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
\usepackage{beamerarticle}
|
||||
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
|
||||
\setbeamertemplate{note page}[plain]
|
||||
|
||||
% Half A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% "1/3" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/6" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/5" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/4" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
|
||||
%\usepackage{pgfpages}
|
||||
% Choose one
|
||||
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
|
||||
|
||||
\input{./../szamtudv.tex}
|
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleA4Page2x2.tex
Normal file
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleA4Page2x2.tex
Normal file
@ -0,0 +1,38 @@
|
||||
% Compile twice!
|
||||
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
||||
|
||||
% Uncomment these to get the presentation form
|
||||
%\documentclass{beamer}
|
||||
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
|
||||
\documentclass[10pt]{article}
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\geometry{top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
\usepackage{beamerarticle}
|
||||
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
|
||||
\setbeamertemplate{note page}[plain]
|
||||
|
||||
% Half A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% "1/3" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/6" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/5" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/4" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
|
||||
\usepackage{pgfpages}
|
||||
% Choose one
|
||||
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
|
||||
\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
|
||||
|
||||
\input{../szamtudv.tex}
|
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page.tex
Normal file
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page.tex
Normal file
@ -0,0 +1,38 @@
|
||||
% Compile twice!
|
||||
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
||||
|
||||
% Uncomment these to get the presentation form
|
||||
%\documentclass{beamer}
|
||||
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
|
||||
\documentclass[10pt]{article}
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
\usepackage{beamerarticle}
|
||||
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
|
||||
\setbeamertemplate{note page}[plain]
|
||||
|
||||
% Half A4 geometry
|
||||
\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% "1/3" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/6" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/5" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/4" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
|
||||
%\usepackage{pgfpages}
|
||||
% Choose one
|
||||
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
|
||||
|
||||
\input{../szamtudv.tex}
|
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page2x1.tex
Normal file
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page2x1.tex
Normal file
@ -0,0 +1,38 @@
|
||||
% Compile twice!
|
||||
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
||||
|
||||
% Uncomment these to get the presentation form
|
||||
%\documentclass{beamer}
|
||||
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
|
||||
\documentclass[10pt]{article}
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
\usepackage{beamerarticle}
|
||||
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
|
||||
\setbeamertemplate{note page}[plain]
|
||||
|
||||
% Half A4 geometry
|
||||
\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% "1/3" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/6" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/5" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/4" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
|
||||
\usepackage{pgfpages}
|
||||
% Choose one
|
||||
\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
|
||||
|
||||
\input{../szamtudv.tex}
|
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page4x2.tex
Normal file
38
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/ArticleHalfA4Page4x2.tex
Normal file
@ -0,0 +1,38 @@
|
||||
% Compile twice!
|
||||
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
||||
|
||||
% Uncomment these to get the presentation form
|
||||
%\documentclass{beamer}
|
||||
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
|
||||
\documentclass[10pt]{article}
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
\usepackage{beamerarticle}
|
||||
\renewcommand{\\}{\par\noindent}
|
||||
\setbeamertemplate{note page}[plain]
|
||||
|
||||
% Half A4 geometry
|
||||
\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% "1/3" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/6" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/5" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/4" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
|
||||
\usepackage{pgfpages}
|
||||
% Choose one
|
||||
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
|
||||
\pgfpagesuselayout{16 on 1}[a4paper]
|
||||
|
||||
\input{../szamtudv.tex}
|
5
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/PrezA4Page.tex
Normal file
5
Diszkrét Matematika/Vizsga/Headers/PrezA4Page.tex
Normal file
@ -0,0 +1,5 @@
|
||||
|
||||
\documentclass{beamer}
|
||||
\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
\input{../szamtudv.tex}
|
@ -1,60 +1,151 @@
|
||||
% Compile twice!
|
||||
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
||||
|
||||
% Uncomment these to get the presentation form
|
||||
\documentclass{beamer}
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
|
||||
%\documentclass[10pt]{article}
|
||||
%\usepackage{geometry}
|
||||
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
%\usepackage{beamerarticle}
|
||||
%\renewcommand{\\}{\par\noindent}
|
||||
%\setbeamertemplate{note page}[plain]
|
||||
|
||||
% Half A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% "1/3" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/6" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/5" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% "1/4" A4 geometry
|
||||
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
|
||||
%\usepackage{pgfpages}
|
||||
% Choose one
|
||||
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
|
||||
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]
|
||||
|
||||
% Includes
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
\usepackage{tkz-graph}
|
||||
\usetikzlibrary{shapes,arrows,automata}
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc}
|
||||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage{booktabs}
|
||||
\usepackage{array}
|
||||
\usepackage{arydshln}
|
||||
\usepackage{enumerate}
|
||||
\usepackage[many, poster]{tcolorbox}
|
||||
\usepackage{pgf}
|
||||
\usepackage[makeroom]{cancel}
|
||||
|
||||
% Colors
|
||||
\definecolor{myred}{rgb}{0.87,0.18,0}
|
||||
\definecolor{myorange}{rgb}{1,0.4,0}
|
||||
\definecolor{myyellowdarker}{rgb}{1,0.69,0}
|
||||
\definecolor{myyellowlighter}{rgb}{0.91,0.73,0}
|
||||
\definecolor{myyellow}{rgb}{0.97,0.78,0.36}
|
||||
\definecolor{myblue}{rgb}{0,0.38,0.47}
|
||||
\definecolor{mygreen}{rgb}{0,0.52,0.37}
|
||||
\colorlet{mybg}{myyellow!5!white}
|
||||
\colorlet{mybluebg}{myyellowlighter!3!white}
|
||||
\colorlet{mygreenbg}{myyellowlighter!3!white}
|
||||
|
||||
\setbeamertemplate{itemize item}{\color{black}$-$}
|
||||
\setbeamertemplate{itemize subitem}{\color{black}$-$}
|
||||
\setbeamercolor*{enumerate item}{fg=black}
|
||||
\setbeamercolor*{enumerate subitem}{fg=black}
|
||||
\setbeamercolor*{enumerate subsubitem}{fg=black}
|
||||
|
||||
\renewcommand{\tiny}{\footnotesize}
|
||||
\renewcommand{\small}{\footnotesize}
|
||||
|
||||
% These are different themes, only uncomment one at a time
|
||||
\tcbset{enhanced,fonttitle=\bfseries,boxsep=7pt,arc=0pt,colframe={myyellowlighter},colbacktitle={myyellow},colback={mybg},coltitle={black}, coltext={black},attach boxed title to top left={xshift=-2mm,yshift=-2mm},boxed title style={size=small,arc=0mm}}
|
||||
|
||||
%\tcbset{colback=yellow!5!white,colframe=yellow!84!black}
|
||||
%\tcbset{enhanced,colback=red!10!white,colframe=red!75!black,colbacktitle=red!50!yellow,fonttitle=
|
||||
%\tcbset{enhanced,attach boxed title to top left}
|
||||
%\tcbset{enhanced,fonttitle=\bfseries,boxsep=5pt,arc=8pt,borderline={0.5pt}{0pt}{red},borderline={0.5pt}{5pt}{blue,dotted},borderline={0.5pt}{-5pt}{green}}
|
||||
|
||||
% Beamer theme
|
||||
\usetheme{boxes}
|
||||
|
||||
\geometry{paperwidth=160mm,paperheight=160mm}
|
||||
% tikz settings for the flowchart(s)
|
||||
\tikzstyle{decision} = [diamond, minimum width=3cm, minimum height=1cm, text centered, draw=black, fill=green!15]
|
||||
\tikzstyle{tcolorbox} = [rectangle, draw, fill=blue!15, text width=20em, text centered, minimum height=1em]
|
||||
|
||||
\tikzstyle{line} = [draw, -latex']
|
||||
\tikzstyle{cloud} = [draw, ellipse,fill=red!20, node distance=3cm,
|
||||
minimum height=2em]
|
||||
\tikzstyle{arrow} = [thick,->,>=stealth]
|
||||
|
||||
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}
|
||||
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
|
||||
|
||||
\setlength\dashlinedash{0.2pt}
|
||||
\setlength\dashlinegap{1.5pt}
|
||||
\setlength\arrayrulewidth{0.3pt}
|
||||
|
||||
\newcommand{\mtinyskip}{\vspace{0.2em}}
|
||||
\newcommand{\msmallskip}{\vspace{0.3em}}
|
||||
\newcommand{\mmedskip}{\vspace{0.5em}}
|
||||
\newcommand{\mbigskip}{\vspace{1em}}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
{\Huge Diszkrét Matematika}\\
|
||||
{\Large Vizsgatételek}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
|
||||
{\Huge Diszkrét Matematika I}\\
|
||||
\mbigskip
|
||||
\\
|
||||
A kisbetűs szövegek (LaTeX-ben tiny), (Ha nincs előttük (S) jelzés, akkor lemaradt)\\
|
||||
a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók!
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
% -------------------- HALMAZOK, RELÁCIÓK --------------------
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
|
||||
{\Huge Halmazok, Relációk}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\mmedskip
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Minden dolog halmaza}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Minden dolog halmaza}]
|
||||
Nincs olyan halmaz, amelynek minden dolog eleme.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Biz}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Biz}]
|
||||
asasdad
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Unió}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Definíció: Unió}]
|
||||
Ha A és B halmazok, akkor A és B unióján a következő halmazt értjük:\\
|
||||
$$A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}$$
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Az unió tulajdonságai}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Az unió tulajdonságai}]
|
||||
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
@ -65,18 +156,18 @@ Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cup B = B$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Metszet}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Definíció: Metszet}]
|
||||
Ha A és B halmazok, akkor A és B metszetén a következő halmazt értjük:\\
|
||||
$$A \cap B = \{x \in A \wedge x \in B\}$$
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A metszet tulajdonságai}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: A metszet tulajdonságai}]
|
||||
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
@ -86,13 +177,13 @@ Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
\item $A \cap A = A$ (Idempotencia)
|
||||
\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cap B = A$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Unió és metszet disztributivitása}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Unió és metszet disztributivitása}]
|
||||
Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
@ -100,18 +191,18 @@ Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (B \cup C)$ (Az unió disztributivitása a metszetre nézve)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Komplementer}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Definíció: Komplementer}]
|
||||
Ha X halmaz, A $\wedge$ X, akkor A halmaz X-re vonatkoztatott komplementere:\\
|
||||
$$A' = X \setminus A$$
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A komplementer tulajdonságai}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: A komplementer tulajdonságai}]
|
||||
Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
@ -123,27 +214,27 @@ Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor:
|
||||
\item $(A \cap B)' = A' \cup B'$
|
||||
\item $(A \cup B)' = A' \cap B'$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Definíció: Halmaz osztályfelbontása}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Definíció: Halmaz osztályfelbontása}]
|
||||
A tetszőleges X halmazt \textbf{osztályozzuk (osztályokra bontjuk)}, ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak uniójaként állítjuk elő.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Az X $\in$ X elem \textbf{ekvivalencia osztálya}:}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Az X $\in$ X elem \textbf{ekvivalencia osztálya}:}]
|
||||
$$\overline{x} = \{y \in X : y \sim x\}$$
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ekvivalenciareláció és osztályfelbontás kapcsolata}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ekvivalenciareláció és osztályfelbontás kapcsolata}]
|
||||
Valamely X halmazon értelmezett $\sim$ ekvivalenciareláció X-nek egy osztályfelbontását adja. Megfordítva, az X halmaz minden osztályfelbontása egy $\sim$ ekvivalenciarelációt hoz létre.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Biz}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Biz}]
|
||||
asasdad
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
@ -159,41 +250,41 @@ asasdad
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}]
|
||||
Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Legyen $(G, *)$ félcsoport, $e_b$ bal oldali, $e_j$ pedig jobb oldali egységelem $G$-ben.\\
|
||||
Ekkor $e_b = e_j$, hiszen:\\
|
||||
$e_be_j = e_j$ és $e_be_j = e_b$, (nyíl éshez $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!)\\
|
||||
mert $e_b$ bal, $e_j$ jobb oldali egységelem.\\
|
||||
Ha az $a \in G$ elemnek $a_b$ balinverze, $a_j$ pedig jobbinverze, akkor $a_b = a_j$.
|
||||
$a_baa_j = a_b(aa_j) = a_be = a_b$ és $a_baa_j = (a_ba)a_j = ea_j = a_j$. (Asszociatív tulajdonság) (nyíl éshez ide is $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!).d
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Lemma: Észrevételek gyűrűkben}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Lemma: Észrevételek gyűrűkben}]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \textbf{Szorzás nullelemmel:} Legyen 0 az R gyűrű nulleleme. Ekkor $a0 = 0a = 0$, minden $a \in R$ esetén.
|
||||
\item \textbf{Előjelszabály:} Legyen R gyűrű, és $a, b \in R$. Az $a$ elem additív inverzés jelöljük $-a$-val. Ekkor $-(ab) = (-a)b = a(-b)$, tobábbá $(-a)(-b) = ab$.
|
||||
\item \textbf{Véges integritási tartomány test.}
|
||||
\item \textbf{Testben nincs nullosztó.}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Lemma: Nullosztó és regularitás}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Lemma: Nullosztó és regularitás}]
|
||||
R gyűrűben a multiplikatív művelet akkor, és csak akkor reguláris, ha R zérusosztómentes.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
\textbf{1. Rész}\\
|
||||
Tfh $a \neq 0$, a nem bal oldali nullosztó és $ab = ac$.\\
|
||||
$ab = ac / -(ac)$ (+ additív inverz)\\
|
||||
@ -210,64 +301,64 @@ $ac = ac + ab$ /(Disztributivitás)\\
|
||||
$ac = a(c + b)$ Ellentmondás!\\
|
||||
Mivel $(b \neq 0) \implies (c \neq (c + b))$ (A b nem additív egységelem).
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Természetes számok}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Természetes számok}]
|
||||
A $(N, +, *)$ struktúrában mindkét művelet asszociatív, kommutatív, reguláris.\\
|
||||
Nullelem (additív egységelem): 0.\\
|
||||
Multiplikatív egységelem: 1.\\
|
||||
A szorzat mindkét oldalról disztributív az összeadásra.\\
|
||||
${\forall}m \in N : 0 * m = m * 0 = 0$.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: N rendezése}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: N rendezése}]
|
||||
A természetes számok halmaza a $\leq$ relációval jólrendezett.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság}]
|
||||
$T$ felső határ tulajdonságú test, $\implies$ $T$ arkhimédészi tulajdonságú.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}]
|
||||
Tfh $T$ felső határ tulajdonságú rendezett test, de nem arkhimédészi tulajdonságú.\\
|
||||
$\implies : {\nexists}n \in \mathbb{N} : nx \geq y$.\\
|
||||
Azaz y felső korlátja az $A = \{ nx | n \in \mathbb{N} \}$ halmaznak.\\
|
||||
Ekkor viszont létezik $z = sup A$ $\implies$ $z - x < z$ nem felső korlát. $\implies$\\
|
||||
$implies$ ${\exists}n : nx > z - x \implies (n + 1)x > z$. ($(n + 1)x \in A$).\\
|
||||
Ellentmondás, mivel ha $n \in \mathbb{N}$, akkor $n^+ \in \mathbb{N}$ $\rightarrow$ Peano axióma!
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Q nem felső határ tulajdonságú}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Q nem felső határ tulajdonságú}]
|
||||
$\mathbb{Q}$ arkhimédészi tulajdonságú, de nem felső határ tulajdonságú.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális}]
|
||||
Nincs $\mathbb{Q}$-ban olyan szám, amelynek négyzete 2.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}]
|
||||
Tfh van, és ez $x$.\\
|
||||
$x = \frac{m}{n}, m,n \in \mathbb{N}^+$, és az $m$ minimális.\\
|
||||
$2 = x^2 = \frac{m^2}{n^2} \implies m^2 = 2n^2$\\
|
||||
@ -276,15 +367,15 @@ Ebből következik, hogy $n$ is páros: $n = 2j, j \in \mathbb{N}^+$\\
|
||||
Ekkor viszont $\frac{m}{n} = \frac{2k}{2j} = \frac{k}{j}$.\\
|
||||
Viszont ebből koövetkezik, hogy m nem minimális $\rightarrow$ Ellentmondás!
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Az algebra alaptétele}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Az algebra alaptétele}]
|
||||
Ha $n \in \mathbb{N}^+$, valamint $c_0, c_1, ... c_n$ komplex számok, $c_n \neq 0$, akkor van olyan $u$ komplex szám, amelyre:\\
|
||||
$$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
@ -299,7 +390,7 @@ $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Az oszthatóság tulajdonságai EIT-ban}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Az oszthatóság tulajdonságai EIT-ban}]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ha $b|a$ és $b'|a'$, akkor $bb'|aa'$.
|
||||
\item A nullának minden elem osztója.
|
||||
@ -310,42 +401,42 @@ $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$
|
||||
\item Ha $b|a_i$ és $c_i \in R, (i = 1, 2, ..., j)$, akkor $b|\sum^j_{i=1} c_ia_i$.
|
||||
\item Az $|$ reláció reflexív, és tranzitív.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban}]
|
||||
Tetszőleges $R$ egységelemes integritási tartományban minden $p$ elemre:\\
|
||||
Ha $p$ prím $\implies$ $p$ felbonthatatlan.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Tfh $p$ prím, és, $p = bc$\\
|
||||
Ekkor vagy $p|b$, vagy $p|c$\\
|
||||
$b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Maradékos osztás $\mathbb{Z}$-ben}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Maradékos osztás $\mathbb{Z}$-ben}]
|
||||
${\exists}a, b({\neq}0) \in \mathbb{Z}$ számhoz egyértelműen létezik olyan $q, r \in \mathbb{Z}$, hogy\\
|
||||
$a = qb + r \land 0 \leq r < |b|$.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem $\mathbb{Z}$-ben}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Prím és irreducibilis elem $\mathbb{Z}$-ben}]
|
||||
Az egész számok körében $p$ prím $\iff$ $p$ felbonthatatlan.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Már láttuk, hogy prím felbonthatatlan!\\
|
||||
Tfh p felbonthatatlan\\
|
||||
Legyen $p|bc$, ekkor vagy $p | b$-nek, ekkor ksz vagyunk.
|
||||
@ -353,17 +444,17 @@ Vagy $p \nmid b$ ekkor $(p,b) = 1$.\\
|
||||
$c = pcx +bcx \implies 0 mod p \implies p | c$.\\
|
||||
(Észrevétel: $(a, b) = 1 \land a | bc \implies a | c$
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A számelmélet alaptétele}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: A számelmélet alaptétele}]
|
||||
Minden $m$ nemnulla, nemegység, egész szám sorrendre és asszociáltásgra való tekintet nélkül egyértelműen bontható fel felbonthatatlanok szorzatára.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás (Pozitívakra)}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Pozitívakra)}]
|
||||
\textbf{(egzisztencia)}\\
|
||||
Tfh $n > 1$\\
|
||||
Teljes indukció: $n = 2$ kész, tfk $n - 1$-ig kész.\\
|
||||
@ -380,29 +471,29 @@ $p_1|q_1$, $p_1|q_2 ... q_r$\\
|
||||
$p_1|q_i \implies p_1 = q_i \implies$\\
|
||||
$\implies$ $n_1 = \frac{n}{p_1} = p_2 ... p_k = q_1 ... q_{i-1}q_{i+1} ... q_r$\\
|
||||
$n_1 < n$ és van két lényegesen különböző felbontása!
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Eukleidész tétele}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Eukleidész tétele}]
|
||||
Végetlen sok prímszám van.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}]
|
||||
Tfh véges sok van:\\
|
||||
$p_1, p_2, ... ,p_k$.\\
|
||||
Legyen $n = p_1p_2...p_k$.\\
|
||||
Számelmélet alaptételéből következik hogy létezik $p_j : p_j | n + 1$\\
|
||||
$p_j : p_j | n + 1 \implies p_j | 1$ Ellentmondás!
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Kongruencia tulajdonságai}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kongruencia tulajdonságai}]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ekvivalencia reláció
|
||||
\item $a \equiv b \pmod{m} \land c \equiv d \pmod{m} \implies$ \textbf{$a + c \equiv b + d \pmod{m}$}
|
||||
@ -410,38 +501,38 @@ $p_j : p_j | n + 1 \implies p_j | 1$ Ellentmondás!
|
||||
\item $a \equiv b \pmod{m} \land f(x) \in z[x] \implies$ \textbf{$f(a) \equiv f(b) \pmod{m}$}
|
||||
\item Ha $(c, m) = d$, $ac \equiv bc \pmod{m} \iff a \equiv b \pmod{\frac{m}{d}}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Omnibusz tétel}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Omnibusz tétel}]
|
||||
Legyen: $m > 1$ egész, $\{a_1, ..., a_m\}$ TMR modulo $m$, $\{b_1, ..., b_{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$, $c, d \in \mathbb{Z}$, és $(c,m) = 1$.\\
|
||||
\smallskip
|
||||
Ekkor:\\
|
||||
\smallskip
|
||||
$\{ ca_1 + d, ..., ca_m + d \}$ TMR modulo $m$\\
|
||||
$\{ cb_1, ..., cb{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}]
|
||||
Tfh van két nem inkongruens elem\\
|
||||
$ca_i + d = ca_i + d$\\
|
||||
${\cancel{c}}a_i + {\cancel{d}} = {\cancel{c}}a_i + {\cancel{d}}$ $(c, m) = 1$, és pontosan $m$ db elem!\\
|
||||
$(c, m) = 1$ és $(b_j,m) = 1$ $\implies$ $(cb_j, m) = 1$
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Euler-Fermat tétel}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Euler-Fermat tétel}]
|
||||
Legyen $m > 1$ egész és $a$ relatív prím $m$-hez. Ekkor $a^{{\phi}(m)} \equiv 1 \pmod{m}$
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Legyen $\{ r_1, ..., r_{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$, $(a, m) = 1$.\\
|
||||
Az omnibusz tétel miatt, ekkor $\{ ar_1, ..., ar_{{\phi}(m)}\}$ is RMR modulo $m$.\\
|
||||
Megfelelő párosítás $\implies$ $r_i \equiv ar_j \pmod{m}$.\\
|
||||
@ -449,37 +540,37 @@ Megfelelő párosítás $\implies$ $r_i \equiv ar_j \pmod{m}$.\\
|
||||
\smallskip
|
||||
$$a^{{\phi}(m)} \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \equiv \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \pmod{m}$$
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: (Kis) Fermat tétel}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: (Kis) Fermat tétel}]
|
||||
Legyen $p$ prím és $a \in \mathbb{Z}$. Ekkor\\
|
||||
(első alak) ha $p \nmid a$, akkor $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.\\
|
||||
(második alak) ha $a$ tetszőleges, akkor $a^p \equiv a \pmod{p}$.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Első alak: ${\phi}(p) \equiv p - 1$ $\rightarrow$ előző tétel miatt kész.\\
|
||||
\bigskip
|
||||
Második alak:\\
|
||||
Ha $p|a$ $\rightarrow$ $0 \equiv 0$ $\rightarrow$ kész.\\
|
||||
Ha $p{\nmid}a$ $\rightarrow$ ekkor ez az első alak $\rightarrow$ kész.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: A diofantikus egyenlet megoldása}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: A diofantikus egyenlet megoldása}]
|
||||
Rögzített $a, b, c$ egész számok esetén az \textbf{$ax + by = c$} diofantikus egyenletnek akkor, és csak akkor van megoldása, ha $(a, b)|c$.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Tfh $ax + by = c$ egyenletnek van megoldása.\\
|
||||
\textbf{1. Rész ($\implies$)}\\
|
||||
\smallskip
|
||||
@ -494,13 +585,13 @@ $c = (au + bv)q$\\
|
||||
$c = a(uq) + b(vq)$\\
|
||||
$c = a(uq) + b(vq)$ $\implies$ egy megoldás: $x = uq, y = vq$.\\
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Kínai maradéktétel}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kínai maradéktétel}]
|
||||
Legyen $n \in \mathbb{N}^+, m_1, m_2, ..., m_n \in \mathbb{N}^+, a_i, b_i \in \mathbb{Z} (1 <leq i \leq n)$, ahol
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $m_i, m_j$ páronként relatív prímek.
|
||||
@ -515,13 +606,13 @@ Ekkor az\\
|
||||
\bigskip
|
||||
Kongruenciarendszer megoldható és bármely két megoldása kongruens modulo $m_1m_2...m_n$.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Számelméleti függvények}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Számelméleti függvények}]
|
||||
Legyen $n \in \mathbb{N}^+$ kanonikus alakja $p_1^{{\alpha}_1}...p_k^{{\alpha}_k}$. Ekkor:\\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ha $f$ additív számelméleti függvény, akkor $$f(n) = f(p_1^{{\alpha}_1}) + ... + f(p_k^{{\alpha}_k})$$
|
||||
@ -530,17 +621,17 @@ Legyen $n \in \mathbb{N}^+$ kanonikus alakja $p_1^{{\alpha}_1}...p_k^{{\alpha}_k
|
||||
\item Ha $f$ teljesen multiplikatív számelméleti függvény, akkor $$f(n) = f(p_1)^{{\alpha}_1}...f(p_k)^{{\alpha}_k}$$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: $\phi$ multiplikativitása}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: $\phi$ multiplikativitása}]
|
||||
$\phi$ multiplikatív.
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
\smallskip
|
||||
\begin{tabular}{c c c c}
|
||||
1 & 2 & ... & a \\
|
||||
@ -559,18 +650,18 @@ $\implies$ minden oszlopban ${\phi}(b)$ rel. prím $b$-hez.\\
|
||||
| Minden sor egy TMR mod $a$ $\implies$ minden sorban ${\phi}(a)$ db elem relatív prím $a$-hoz.\\
|
||||
$\implies$ ${\phi}(a)$ db oszlopnak rel prímek az elemei $a$-hoz. $\implies$ összesen ${\phi}(a){\phi}(b)$ rel. prím van $ab$-hez.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: ${\phi}$(n) kiszámolása}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: ${\phi}$(n) kiszámolása}]
|
||||
Ha $n \in \mathbb{N}^+$ kanonikus alakja $p_1^{{\alpha}_1}...p_k^{{\alpha}_k}$, akkor\\
|
||||
$${\phi}(n) = \prod^k_{j=1} (p_j^{{\alpha}_j} - p_j^{{\alpha}_j - 1}) = n \prod^k_{j=1} (1 - \frac{1}{p_j}).$$
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
$\phi$ multiplikatív\\
|
||||
Kiszámoljuk az értékeket prímhatványhelyeken, majd összeszorozzuk az értékeket.\\
|
||||
${\phi}(p^{\alpha}) = ?$\\
|
||||
@ -581,7 +672,7 @@ $p^2$-ig $p - 1$ db van + maga $p^2$, azaz ${\phi}(p^2) = p^2 - p^1$.\\
|
||||
Tovább számolva:\\
|
||||
${\phi}(p^{\alpha}) = p^{\alpha} - p^{\phi - 1}$
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
@ -596,21 +687,21 @@ ${\phi}(p^{\alpha}) = p^{\alpha} - p^{\phi - 1}$
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Véges halmaz valódi részhalmaza}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Véges halmaz valódi részhalmaza}]
|
||||
Ha $n$ természetes szám, akkor nem létezik ekvivalencia $\{1, 2, ..., n\}$ és egy valódi részhalmaza között.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Skatulya-elv}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Skatulya-elv}]
|
||||
Ha $X, Y$ véges halmazok, és $|X| > |Y|$, akkor nem létezik $f: X \rightarrow Y$ bijekció.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}]
|
||||
Tfh $f$ bijektív.\\
|
||||
$Y ~ \{1, 2, ..., m\}$ és $X ~ \{1, 2, ..., m\}$, ahol $m < n$ $\implies$\\
|
||||
$\implies$ $\{1, 2, ..., m\}$ bármely részhalmaza $\{1, 2, ..., n\}$-nek is részhalmaza,\\
|
||||
@ -619,18 +710,18 @@ $f$ bijektív $\implies$ $\{1, 2, ..., n\}$ $~$ saját valódi részhalmazával.
|
||||
\textbf{Más megfogalmazás:} Ha $n$ db tárgyat $m$ db skatulyába teszünk, akkor van olyan skatulya, amelyik legalább\\
|
||||
$\lfloor (n - 1) / m \rfloor + 1$ tárgyat tartalmaz.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Permutációk száma}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Permutációk száma}]
|
||||
$$P_n = n!$$
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Teljes indukció $n$ szerint\\
|
||||
1. lépés: $P_0 = P_1 = 1$ Igaz. (Megegyezés szerint $0! = 1$)\\
|
||||
2. lépés: Tfh $n > 1$ és $n - 1$-ig már beláttuk.\\
|
||||
@ -639,103 +730,103 @@ amely sorozatok 1. eleme megegyezik $\implies$ $n$ db osztály.\\
|
||||
Ind. feltétel $\implies$ $\forall$ osztályban $P_{n - 1}$ elem.\\
|
||||
$P_n = nP_{n - 1} = n(n - 1)! = n!$
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Variációk száma}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Variációk száma}]
|
||||
$$V_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)$$, ha $k \leq n$, kölünben 0.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Legyen két sorozat egy ekv. osztályban, ha első $k$ elemük megegyezik.\\
|
||||
Ekkor: $P_n = $ (osztályok száma ($V_n^k = \frac{P_n}{P_n - k}$))*(ahány elem egy osztályban ($P_{n - k}$)
|
||||
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ismétléses variációk száma}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses variációk száma}]
|
||||
$$V_n^{k, i} = n^k$$
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Teljes indukció $k$ szerint, $n$ rögzített\\
|
||||
1. lépés: $k = 1$-re igaz: $V_n^{1, i} = n \rightarrow n^1$\\
|
||||
2. lépés: Tfh $k > 1$ és $k - 1$-ig már beláttuk, ekkor\\
|
||||
$(k - 1)$-es osztályú variációból $k$-ad osztályú:\\
|
||||
$n$ db választás $\implies$ $V_n^{k, i}$ (n választás) $= V_n^{k - 1, j} * n$ (n - 1 választás).
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Kombinációk száma}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kombinációk száma}]
|
||||
$$C_n^k = {{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$, ha $k \neq n$, különben 0.
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
$V_n^k$ db különböző $k$-tagú sorozat, sorrend nem számít $\implies$\\
|
||||
$\implies$ minden $P_k$ sb sorozat ugyanaz $\implies$ számoljuk egyszer.\\
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ismétléses kombinációk száma}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses kombinációk száma}]
|
||||
$$C_n^{k, i} = C_{n + k -1}^k = {{n + k - 1}\choose{k}} = \frac{(n + k - 1)!}{k!((n + k - 1) - k)!} $$
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Legyen $A = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$.\\
|
||||
MInden egyes választási lehetőségnek feleltessünk meg egy bitsorozatot:\\
|
||||
$1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 0 ... 0 1 1 1 ... 1$\\
|
||||
|
||||
|
||||
\end{block}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Ismétléses permutációk száma}
|
||||
\end{block}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses permutációk száma}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Binomiális tétel}
|
||||
\end{block}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Binomiális tétel}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Logikai szita formula}
|
||||
\end{block}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Logikai szita formula}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
@ -748,11 +839,11 @@ $1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 0 ... 0 1 1 1 ... 1$\\
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}
|
||||
\end{block}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{block}{Bizonyítás}
|
||||
\end{block}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
Loading…
Reference in New Issue
Block a user