127 lines
3.0 KiB
TeX
127 lines
3.0 KiB
TeX
|
\documentclass[a4paper,9pt,leqno]{article}
|
||
|
|
|
||
|
|
\usepackage{amsfonts}
|
||
|
|
\usepackage{amsmath}
|
||
|
|
\usepackage[makeroom]{cancel}
|
||
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
|
|
\usepackage[margin=50pt]{geometry}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
\noindent
|
||
|
|
\setlength\parindent{0pt}
|
||
|
|
\title{Kombinatorika}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
{\huge Kombinatorika}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
\section{Permutáció}
|
||
|
|
|
||
|
|
$$P_n = n!$$
|
||
|
|
|
||
|
|
Elemek összes különböző sorbarendezéseinek a száma. Az elemek nem ismétlődhetnek.
|
||
|
|
|
||
|
|
A "képek" szó betűiből összeálítható összes szó:
|
||
|
|
|
||
|
|
képek $\Rightarrow$ 5 betű (különbözők!)
|
||
|
|
|
||
|
|
$P_5 = 5! = 120.$
|
||
|
|
|
||
|
|
\section{Permutáció Ismétléses}
|
||
|
|
|
||
|
|
$$P_n^{i_1, i_2, ... , i_r} = \frac{n!}{(i_1)!(i_2)! ... (i_r)!}$$
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Elemek összes különböző sorbarendezéseinek a száma. Az elemek ismétlődhetnek!
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
A "terep" szó betűiből összeálítható összes szó:
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
terep $\Rightarrow$ 5 betű (2 ugyan az!)
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
$P_5^{2} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 * 4 * 3 * 2 * 1}{2 * 1} = 5 * 4 * 3 = 60$
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
A "tollaslabda" szó betűiből összeálítható összes szó:
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
tollaslabda $\Rightarrow$ 11 betű (több ismétlődés van (3 * l, 3 * a) !)
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
$P_{11}^{3, 3} = \frac{5!}{3! * 3!} = 1108800$
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\section{Variáció Ismétlés nélkül}
|
||
|
|
|
||
|
|
Variáció Ismétlés nélkül $\iff$ Permutáció, több elemből kevesebb helyre
|
||
|
|
|
||
|
|
$$V_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)$$
|
||
|
|
|
||
|
|
Rendszám, ha nem lehet ismétlődés:
|
||
|
|
|
||
|
|
Betűk:
|
||
|
|
$V_{26}^3 = \frac{26!}{26 - 3)!} = \frac{26!}{23!} = 26 * 25 * 24 = 15600$
|
||
|
|
|
||
|
|
Számok:
|
||
|
|
|
||
|
|
$V_{10}^3 = \frac{10!}{10 - 3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 * 9 * 8 = 720$
|
||
|
|
|
||
|
|
Az egész:
|
||
|
|
$V_{26}^3 * V_{10}^3 = 11232000$
|
||
|
|
|
||
|
|
\section{Variáció Ismétléses}
|
||
|
|
|
||
|
|
$$V_n^{k, i} = n^k$$
|
||
|
|
|
||
|
|
Rendszám
|
||
|
|
|
||
|
|
3 betű, 3 szám
|
||
|
|
|
||
|
|
3 Betű: $V_n^{k, i} = V_{26}^{3, i} = 26^3 = 17576$ ($3 hely : 26 26 26$)
|
||
|
|
3 Szám: $V_n^{k, i} = V_{10}^{3, i} = 10^3 = 1000$ ($3 hely : 10 10 10$)
|
||
|
|
|
||
|
|
$V_{26}^{3, i} * V_{10}^{3, i} = 26^3 * 10^3 = 17576000$
|
||
|
|
|
||
|
|
\section{Kombinációk}
|
||
|
|
|
||
|
|
Permutáció, ahol az elemek sorrendje nem számít.
|
||
|
|
|
||
|
|
$$C_n^k = {{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$
|
||
|
|
|
||
|
|
Pl szövegesen:
|
||
|
|
|
||
|
|
A gyümölcssalátában van banán, alma, szőlő $\Rightarrow$ Kombináció
|
||
|
|
|
||
|
|
3 Embert választunk 10 ből $\Rightarrow$ Kombináció
|
||
|
|
|
||
|
|
Kiválasztunk egy zenekarba zongoristát, gitárost 10 emberből (a helyek miatt) $\Rightarrow$ Permutáció
|
||
|
|
|
||
|
|
Egy étterembe rendelünk 3 desszertet 10 ből $\Rightarrow$ Kombináció
|
||
|
|
|
||
|
|
Felsorolni 3 külömböző kedvenc desszertet 10 ből $\Rightarrow$ Permutáció
|
||
|
|
|
||
|
|
A zár nyitó kombinációja 1233 volt $\Rightarrow$ Permutáció
|
||
|
|
|
||
|
|
Lottó $\Rightarrow$ Kombináció
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\section{Kombinációk Ismétléses}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
$$C_n^{k, i} = C_{n + k -1}^k = {{n + k - 1}\choose{k}} = \frac{(n + k - 1)!}{k!((n + k - 1) - k)!} $$
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Ki akarunk választani 17 emberből egy hat tagú bizottságot, hány féleképpen lehet?
|
||
|
|
|
||
|
|
$C_{17}^6 = C_{12 + 6 - 1}^6 = {{17 + 6 - 1}\choose{6}} = \frac{(17 + 6 - 1)!}{6!((17 + 6 - 1) - 6)!} = \frac{22!}{6!(22 - 6)!} = \frac{22!}{6!(22 - 6)!} = \frac{22!}{6! * 16!} = \frac{22 * 21 * 20 * 19 * 18 * 17}{6!} = 74613 $
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|