Documents/Diszkrét Matematika/Kombinatorika/kombinatorika.tex

\documentclass[paper=a4,
fontsize=2.2mm]{scrartcl} \addtokomafont{sectioning}{\rmfamily} 

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[makeroom]{cancel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[margin=50pt]{geometry}


\begin{document}
\noindent
\setlength\parindent{0pt}
\title{Kombinatorika}

\begin{center}
{\huge Kombinatorika}
\end{center}

\section{Permutáció}

Elemek összes különböző sorbarendezéseinek a száma. Az elemek nem ismétlődhetnek.

Sorrend $\Rightarrow$ IGEN

Ismétléses $\Rightarrow$ IGEN

Minden elem $\Rightarrow$ IGEN

$$P_n = n!$$

A "képek" szó betűiből összeálítható összes szó:

képek $\Rightarrow$ 5 betű (különbözők!)

$P_5 = 5! = 120.$

\section{Permutáció Ismétléses}

Elemek összes különböző sorbarendezéseinek a száma. Az elemek ismétlődhetnek!

Sorrend $\Rightarrow$ IGEN

Ismétléses $\Rightarrow$ IGEN

Minden elem $\Rightarrow$ IGEN


$$P_n^{i_1, i_2, ... , i_r} = \frac{n!}{(i_1)!(i_2)! ... (i_r)!}$$

A "terep" szó betűiből összeálítható összes szó:


terep $\Rightarrow$ 5 betű (2 ugyan az!)


$P_5^{2} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 * 4 * 3 * 2 * 1}{2 * 1} = 5 * 4 * 3 = 60$


A "tollaslabda" szó betűiből összeálítható összes szó:


tollaslabda $\Rightarrow$ 11 betű (több ismétlődés van (3 * l, 3 * a) !) $\Rightarrow$ $P_{11}^{3, 3} = \frac{5!}{3! * 3!} = 1108800$


\section{Variáció}

Több elemből választunk kevesebb helyre.

Sorrend $\Rightarrow$ IGEN

Ismétléses $\Rightarrow$ IGEN

Minden elem $\Rightarrow$ NEM


$$V_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)$$

Rendszám, ha nem lehet ismétlődés:

Betűk: $V_{26}^3 = \frac{26!}{26 - 3)!} = \frac{26!}{23!} = 26 * 25 * 24 = 15600$

Számok: $V_{10}^3 = \frac{10!}{10 - 3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 * 9 * 8 = 720$

Az egész: $V_{26}^3 * V_{10}^3 = 11232000$

\section{Variáció Ismétléses}

Több elemből választunk kevesebb helyre.

Sorrend $\Rightarrow$ IGEN

Ismétléses $\Rightarrow$ IGEN

Minden elem $\Rightarrow$ NEM


$$V_n^{k, i} = n^k$$

Rendszám

3 betű, 3 szám

3 Betű: $V_n^{k, i} = V_{26}^{3, i} = 26^3 =  17576$ ($3 hely : 26 * 26 * 26$)
3 Szám: $V_n^{k, i} = V_{10}^{3, i} = 10^3 =  1000$ ($3 hely : 10 * 10 * 10$)

$V_{26}^{3, i} * V_{10}^{3, i} = 26^3 * 10^3 = 17576000$

\section{Kombináció}

Több elemből választunk kevesebb helyre.

Sorrend $\Rightarrow$ NEM

Ismétléses $\Rightarrow$ NEM

Minden elem $\Rightarrow$ NEM


$$C_n^k = {{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$

Pl szövegesen:

A gyümölcssalátában van banán, alma, szőlő $\Rightarrow$ Kombináció

3 Embert választunk 10 ből $\Rightarrow$ Kombináció

Kiválasztunk egy zenekarba zongoristát, gitárost 10 emberből (a helyek miatt) $\Rightarrow$ Variáció

Egy étterembe rendelünk 3 desszertet 10 ből $\Rightarrow$ Kombináció

Felsorolni 3 külömböző kedvenc desszertet 10 ből $\Rightarrow$ Variáció

A zár nyitó kombinációja 1233 volt $\Rightarrow$ Variáció

Lottó $\Rightarrow$ Kombináció


\section{Kombináció Ismétléses}

Több elemből választunk kevesebb helyre.

Sorrend $\Rightarrow$ NEM

Ismétléses $\Rightarrow$ IGEN

Minden elem $\Rightarrow$ IGEN


$$C_n^{k, i} = C_{n + k -1}^k = {{n + k - 1}\choose{k}} = \frac{(n + k - 1)!}{k!((n + k - 1) - k)!} $$


Ki akarunk választani 17 emberből egy hat tagú bizottságot, hány féleképpen lehet?

$C_{17}^6 = C_{12 + 6 - 1}^6 = {{17 + 6 - 1}\choose{6}} = \frac{(17 + 6 - 1)!}{6!((17 + 6 - 1) - 6)!} = \frac{22!}{6!(22 - 6)!} = \frac{22!}{6!(22 - 6)!} = \frac{22!}{6! * 16!} = \frac{22 * 21 * 20 * 19 * 18 * 17}{6!} = 74613 $






\end{document}