% Compile twice!
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!

% Uncomment these to get the presentation form
%\documentclass{beamer}
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}

% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
%\documentclass[10pt]{article}
%\usepackage{geometry}
%\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
%\usepackage{beamerarticle}
%\renewcommand{\\}{\par\noindent}
%\setbeamertemplate{note page}[plain]

% Half A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}

% "1/3" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=455mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}

% "1/6" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=891mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}

% "1/5" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=740mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}

% "1/4" A4 geometry
%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=594mm,top=0.1in, bottom=0.1in, left=0.1in, right=0.1in}

% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page.
%\usepackage{pgfpages}
% Choose one
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper]
%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper]

% Includes
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-graph}
\usetikzlibrary{shapes,arrows,automata}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{array}
\usepackage{arydshln}
\usepackage{enumerate}
\usepackage[many, poster]{tcolorbox}
\usepackage{pgf}

\providecommand{\includecolors}{\input{../Colors/Default.tex}}% fallback definition
\includecolors

\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
%\renewcommand{\familydefault}{\rmdefault}

\renewcommand{\footnotesize}{\fontsize{1.2em}{0.2em}}
\renewcommand{\normalsize}{\fontsize{1.2em}{0.2em}}
\renewcommand{\large}{\footnotesize}
\renewcommand{\Large}{\footnotesize}


\renewcommand{\scriptsize}{\footnotesize}
\renewcommand{\LARGE}{\footnotesize}
\renewcommand{\Huge}{\footnotesize}

\renewcommand{\tiny}{\footnotesize}
\renewcommand{\small}{\footnotesize}

\fontsize{1.2em}{0.2em}
\selectfont

\newcommand{\RHuge}{\fontsize{1.8em}{0.3em}\selectfont}

\newsavebox\CBox 
%\newcommand<>*\textBF[1]{\sbox\CBox{#1}\resizebox{\wd\CBox}{\ht\CBox}{\textbf#2{#1}}}
\newcommand<>*\textBF[1]{\only#2{\sbox\CBox{#1}\resizebox{\wd\CBox}{\ht\CBox}{\textbf{#1}}}}

% Beamer theme
\usetheme{boxes}

% tikz settings for the flowchart(s)
\tikzstyle{decision} = [diamond, minimum width=3cm, minimum height=1cm, text centered, draw=black, fill=green!15]
\tikzstyle{block} = [rectangle, draw, fill=blue!15, text width=20em, text centered, minimum height=1em]
    
\tikzstyle{line} = [draw, -latex']
\tikzstyle{cloud} = [draw, ellipse,fill=red!20, node distance=3cm,
    minimum height=2em]
\tikzstyle{arrow} = [thick,->,>=stealth]

\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}

\setlength\dashlinedash{0.2pt}
\setlength\dashlinegap{1.5pt}
\setlength\arrayrulewidth{0.3pt}

\newcommand{\mtinyskip}{\vspace{0.2em}}
\newcommand{\msmallskip}{\vspace{0.3em}}
\newcommand{\mmedskip}{\vspace{0.5em}}
\newcommand{\mbigskip}{\vspace{1em}}

\begin{document}

\begin{frame}[plain]
\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
{\RHuge A Számítástudomány Alapjai I}\\
\end{tcolorbox}
\end{frame}

% --------------------  LOGIKA --------------------

\begin{frame}[plain]
\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
    {\RHuge Logika}
    \mmedskip
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[squeezed title={(Ítélet) változók, Logikai szimbólumok, Elválasztó szimbólumok, Logikai formula}]
\mbigskip
\textBF{(Ítélet) változók:} $p_1, p_2, ...$\\
\hspace{1ex} \textBF{Jel: } $Var = \{p_1, p_2, ...\}$\\
\mbigskip
\textBF{Logikai szimbólumok:} ${\neg}, {\land}, {\lor}, {\Rightarrow}, {\iff}.$\\
\mbigskip
\textBF{Elválasztó szimbólumok:} $(, )$\\
\mbigskip
\textBF{Logikai Formula:} Minden változó formula, továbbá ha $A, B$ formula, akkor:\\
\textBF{${\neg}A, (A \land B), (A \lor B), (A \Rightarrow B), (A \iff B)$} is formula.\\
\mbigskip
Legyen $Form$ az összes formula halmaza.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Megj}]
\textBF{Precedencia:}\\ 
\mbigskip
$1. {\neg}, 2. {\land}, 3. {\lor}$\\
\mbigskip
$A \Rightarrow B \equiv {\neg}A \lor B$\\
$(A \iff B) \equiv (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A) \equiv ({\neg}A \lor B) \land ({\neg}B \lor A)$\\
\mbigskip
(Az $\equiv$ jel itt a jobb elválasztást szolgálja, de egyébként alapból használható ugyanarra mint az $\iff$ jel!)
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Minden formula egyértelműen olvasható}]
F formulára a következő állítások közül pontosan egy teljesül:
\begin{enumerate}
\item F egy változó.
\item Pontosan egy G formulára $F = \neg G$
\item Pontosan egy G és pontosan egy H formuláta $F = (G \land H)$
\item Pontosan egy G és pontosan egy H formulára $F = (G \lor H)$
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Részformula, Közvetlen részformula}]
Ha $F$ és formulákra  $f = G_1GG_2$, alkalmas $G_1, G_2, E(G)$ szavakra, ($G_1, G_2$ üres szavak is lehetnek!)\\
akkor $G$ \textBF{részformulája} $F$-nek.\\
\mbigskip
A tétel 2-4 pontjában szereplő $G$ és $H$ \textBF{közvetlen részformulái} $F$-nek.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Hozzárendelés}]
Egy $\mathcal{A} : Var \rightarrow \{0, 1\}$ leképzést \textBF{hozzárendelésnek} nevezünk.\\
{\tiny (S) Ítéletváltozóhoz (Var az összes ítéletváltozó halmaza) hozzárendelünk elemet a {0, 1} halmazból. Kb értékadás. (kb függvény)}\\
\mbigskip
$\mathcal{A} : Form \rightarrow \{0, 1\}$ kiterjesztéshez legyen $F$ formula.\\
{\tiny (S) Ugyan az, csak formulának adunk értéket.}\\
\mbigskip
\begin{enumerate}
\item Ha $F = p$ valamely $p \in Var$ esetén, akkor $\mathcal{A}(F) = \mathcal{A}(p)$.\\
{\tiny (S) Ha F formula értéke mindíg ugyan az mint egy tetszőleges p ítéletváltozó értéke, akkor hozzárendelés után is megegyezik az értékük. Kb mint monotonitás. }\\
\mbigskip
\item Ha $F = {\neg}G$ akkor:\\
\mmedskip
$\mathcal{A}(F)$ = $
\begin{cases}
1 &$ ha $\mathcal{A}(G) = 0\\
0 &$ ha $\mathcal{A}(G) = 1\\
\end{cases}
$
\mbigskip
\item Ha $F = G \lor H$ akkor:\\ 
\mmedskip
$\mathcal{A}(F)$ = $
\begin{cases}
1 &$ ha $\mathcal{A}(G) = 1$ vagy $\mathcal{A}(H) = 1\\
0 &$ különben$\\
\end{cases}
$
\mbigskip
\item Ha $F = G \land H$ akkor:\\
\mmedskip
$\mathcal{A}(F)$ = $
\begin{cases}
1 &$ ha $\mathcal{A}(G) = 1$ és $\mathcal{A}(H) = 1\\
0 &$ különben$\\
\end{cases}
$
\end{enumerate}

\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[squeezed title={Formula modellje, Kielégíthető, Tautológia, Kielégíthetetlen}]
Legyen $F$ formula, Legyen $\mathcal{A}$ egy hozzárendelés.s Ekkor\\
\mbigskip
Ha $\mathcal{A}(F) = 1$, akkor ezt a tényt $\mathcal{A} \models F$-fel jelöljük, és azt mondjuk, hogy $\mathcal{A}$ \textBF{kielégíti} $F$-et, vagy hogy $\mathcal{A}$ \underline{\textBF{modellje}} $F$-nek.\\
{\tiny (S) Mint egy függvén kb. F formulához hozzárendelünk egy értéket, és ha ez 1)}\\
\mbigskip
Ha $F$-nek van modellje, akkor azt mondjuk, hogy $F$ \underline{\textBF{kielégíthető}}.\\
\mbigskip
Ha minden $\mathcal{A}$ hozzárendelés esetén $\mathcal{A} \models F$, akkor $F$ \underline{\textBF{tautológia}} (vagy másképpen érvényes).\\
Jele: $\models F$.\\
\mbigskip
Ha $F$-nek nincs modellje, akkor azt mondjuk, hogy $F$ \underline{\textBF{kielégíthetetlen}}.\\
\mbigskip
Legyen $\Sigma$ formulák egy halmaza. Ha valamely $\mathcal{A}$ hozzárendelés esetén minden $F \in \Sigma$-re $\mathcal{A} \models F$, akkor ezen tényt $\mathcal{A} \models \Sigma$-val jelöljük, és azt mondjuk, hogy $\mathcal{A}$ kielégíti $\Sigma$-t vagy, hogy $\mathcal{A}$ modellje $\Sigma$-nak.\\
{\tiny (S) Ha van egy olyan $\mathcal{A}$ hozzárendelésünk, amire a $\Sigma$ halmaz összes formulája igazat ad.}\\
\mbigskip
Ha $\Sigma$-nak van modellje, akkor azt mondjuk, hogy $\Sigma$ kielégíthető.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Az ítéletkalkulus kompaktsági tétele}]
Egy formulahalmaz akkor és csak akkor elégíthető ki, ha minden véges részhalmaza kielégíthető.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={K változós igazságtábla}]
Tetszőleges $k \in \mathbb{N}$ esetén az IT: $\{0, 1\}^k \rightarrow \{0, 1\}$ leképzést \textBF{$k$ változós igazságtáblának (Boole függvény)} nevezzük.
\end{tcolorbox}

\begin{block}{Igazságtáblák:}
\begin{table}[h!]
\centering
Negáció (unér művelet)\\
\mbigskip
\begin{tabular}{@{}C{3em}C{3em}@{}}
\toprule
\textBF{$A$} & \textBF{${\neg}A$} \\
\hline
i & h\\
\hdashline
h & i\\
\toprule
\end{tabular}
\end{table}
\mbigskip

\begin{table}[h!]
\centering
A többi művelet\\
\mbigskip
\begin{tabular}{C{1em}C{1em}rC{4.4em}C{4.4em}C{4.4em}C{4.6em}}
\toprule
\textBF{$A$} & \textBF{$B$} & \textBF{$|$} & \textBF{$A \land B$} & \textBF{$A \lor B$} & \textBF{$A \Rightarrow B$} & \textBF{$A \iff B$} \\
\hline
i & i & | & i & i & i & i\\
\hdashline
i & h & | & h & i & h & h\\
\hdashline
h & i & | & h & i & i & h\\
\hdashline
h & h & | & h & h & i & i\\
\toprule
\end{tabular}
\end{table}
\end{block}

\end{frame}

%\begin{frame}
%\begin{tcolorbox}[title={Def: {Az $F$ formula által meghatározott Igazság tábla}]
%\textBF{Az $F$ formula által meghatározott $IT_F$ igazságtábla:}\\
%ha $p_1, ..., p_n$ az $F$ változói és $x_1, ..., x_n \in \{0, 1\}$, akkor\\
%$IT_F(x_1, ..., x_n) = A(F)$, ahol $A(p_j) = x_j, 1 \leq j \leq n$.
%\end{tcolorbox}
%\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={Def: Adekvát halmaz}]
A ${\neg}, {\land}, {\lor}, \rightarrow$ műveleti jelek C halmaza \textBF{adekvát}, ha\\
$IT: \{0, 1\}^k \rightarrow \{0, 1\}, k \geq 1$ igazságtábla esetén van olyan $F \in Form$, hogy\\
\begin{enumerate}
\item $F$-ben csak $C$-beli műveletei jelek szerepelhetnek,
\item $IT = IT_F$.
\end{enumerate} 
\end{tcolorbox}
\mbigskip

\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Adekvát halmazok}]
$\{\neg, \lor, \land\}, \{\neg, \lor\}, \{\neg, \land\}$ adekvát (azaz bármilyen formula leírható ezekkel), $\{\lor, \land\}$ nem adekvát.
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Logikai következmény}]
Legyen $\Sigma \subseteq Form$ és $F \in Form$.\\
Azt mondjuk, hogy $F$ \underline{\textBF{logikai következménye}} $\Sigma$-nak, (jele: $\Sigma \models F$),\\
ha minden $\mathcal{A}$ hozzárendelés esetén valahányszor $\mathcal{A} \models \Sigma$, mindannyiszor $\mathcal{A} \models F$ is teljesül.\\
{\tiny (S) logikai következmény egyenlő a $A \Rightarrow B$ boole függvénnyel, ha kikötjük, hogy A csak igaz lehet. (Mivel az alap Boole függvényben ha $A$ hamis, akkor az eredmény igaz!)}
\end{tcolorbox}
\mmedskip
\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
\begin{enumerate}
\item $F$ akkor és csak akkor érvényes (tautológia), ha $\emptyset \models F$. Tehát $\models F$. és $\emptyset \models F$ ugyanazt jelenti.\\
{\tiny (S) Kb mintha csak rövidítva lenne}\\
\item Ha $F$ érvényes, akkor minden $\Sigma$-ra $\Sigma \models F$\\
{\tiny (S) Igen, mert bármikor amikor $\Sigma$ összes formulája egyszerre igazat ad vissza $F$ is igaz (mivel F tautológia).}\\
\item Ha $F \in \Sigma$, akkor $\Sigma \models F$\\
{\tiny (S) Igen, mert bármikor amikor $\Sigma$ összes formulája egyszerre igazat ad vissza $F$ garantáltan igaz (Persze F lehet többször igaz).}\\
\item Minden $F$-re $\downarrow \models F$.\\
{\tiny (S) Ugyan az mint az előbb, csak mivel $\downarrow$ sose igaz, ezért a feltétel mindíg teljesül.}\\
\item Minden $F$-re és $G$-re $F \models G$ akkor és csak akkor teljesül, ha $F \rightarrow G$ érvényes (= tautológia).\\
{\tiny (S) A $\rightarrow$ boole függvény, ha $F$ hamis, akkor igazat ad vissza mindíg. (Ez nem probléma, mert az $F$ hamis rész, a logikai következménynény definícióban nem számít)}\\
\item (Modus Ponens, röviden MP) Minden $\Sigma$-ra, $F$-re és $G$-re $\Sigma \cup \{F, F \rightarrow G\} \models \Sigma \cup \{G\}$\\
{\tiny (S) 3. 5. 8. pontok összekombinálása eggyé.}\\
\item (Monotonitás) Ha $\Sigma \subseteq {\Sigma}_1$, akkor minden $F$-re, ha $\Sigma \models F$, akkor ${\Sigma}_1 \models F$.\\
{\tiny (S) Persze, ${\Sigma}_1$ részhalmaz.}\\
\item (Következmény) Minden $\Sigma$-ra, F-re, G-re $\Sigma \models F \rightarrow G$ akkor és csak akkor teljesül, ha $\Sigma \cup \{F\} \models G$.\\
{\tiny (S) Persze, mert ha $F$ hamis, akkor a $\Sigma$ halmaz gyakorlatilag hamisat ad vissza, mert egy eleme hamis (ekkor nem számít), ha pedig $F$ igaz (ettől még nem muszály $\Sigma$-nak igazat visszaadnia, ha esetleg ilyenkor is hamis, attól még ugyanúgy működik, pl $\Sigma$ $\downarrow$, ekkor logikai következmény lesz akkor is, ha $F \rightarrow G$ hamisat ad vissza. (Lásd 4. pont)), akkor meg kell nézni $G$-t, viszont ha ilyenkor $G$ hamis, akkor nem logikai következmény.}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={tétel: Ekvivalens állítások formulákra}]
Legyenek $F, F_1, ... , F_n$ tetszőleges formulák, ekkor a következő állítások equivalensek:
\begin{enumerate}
\item $\{F_1, ... , F_n\} \models F$
\item $F_1 \land ... \land F_n \rightarrow F$ tautológia
\item $F_1 \land ... \land F_n \land \neg F$ kielégíthetetlen.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={Ekvivalens formulák}]
Az igaz és hamis szabályok:\\
${\neg}\downarrow \equiv \uparrow$\\
${\neg}\uparrow \equiv \downarrow$\\
$F \land \downarrow \equiv \downarrow$, és $\downarrow \land F \equiv \downarrow$\\
$F \land \uparrow \equiv F$, és $\uparrow \land F \equiv F$\\
$F \lor \uparrow \equiv \uparrow$, és $\uparrow \lor F \equiv \uparrow$\\
$F \lor \downarrow \equiv F$, és $\downarrow \lor F \equiv F$\\
\mmedskip
Kontrapozíció (Modus Tollens):\\
$A \Rightarrow B \iff {\neg}B \Rightarrow {\neg}A$\\
\mmedskip
A de Morgan szabályok:\\
${\neg}(F \land G) \equiv {\neg}F \lor {\neg}G$\\
${\neg}(F \lor G) \equiv {\neg}F \land {\neg}G$\\
\mmedskip
Az idempotencia szabályai:\\
$F \land F \equiv F$\\
$F \lor F \equiv F$\\
\mmedskip
A kommutativitás szabályai:\\
$F \land G \equiv G \land F$\\
$F \lor G \equiv G \lor F$\\
\mmedskip
Az asszociativitás szabályai:\\
$(F \land G) \land H \equiv F \land (G \land H)$\\
$(F \lor G) \lor H \equiv F \lor (G \lor H)$\\
\mmedskip
Az adszorpció szabályai:\\
$F \land (F \lor G) \equiv F$\\
$F \lor (F \land G) \equiv F$\\
\mmedskip
A disztributivitás szabályai:\\
$F \land (G \lor H) \equiv (F \land G) \lor (F \land H)$\\
$F \lor (G \land H) \equiv (F \lor G) \land (F \lor H)$\\
\mmedskip
A dupla negáció szabálya:\\
${\neg}{\neg}F \equiv F$
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={Lemma: Helyettesítési Lemma}]
Legyenek $F, G, H$ formulák úgy, hogy $F \equiv G$ és $F$ a $H$ részformulája.\\
Ha $H[F/G]$ azt a formulát jelöli, amelyben $F$ valamely előfordulását helyettesítettük $G$-vel, akkor
$$H \equiv H[F/G]$$
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Literál}]
Egy $F$ formulát \textBF{pozitíb literálnak} nevezünk, ha $F = p$, és \textBF{negatív literálnak}, ha $F = {\neg}o$, ahol $p$ változó.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Konjunktív, diszjunktív normálforma}]
Egy $F$ formula \textBF{Konjunktív normálforma}, ha:\\
$$F = \bigwedge_{i = 1}^n (\bigvee_{j = 1}^{m_i} l_{i, j}))$$\\
Egy $F$ formula \textBF{Diszjunktív normálforma}, ha:\\
$$F = \bigvee_{i = 1}^n (\bigwedge_{j = 1}^{m_i} l_{i, j}))$$\\
ahol $l_{i, j}$-k literálok.
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[squeezed title={Tétel: Konjunktív és diszjunktív normálforma létezése}]
Minden $F$ Formulához létezik vele logikailag ekvivalens konjunktív és diszjunktív normálforma.
%\tcbsubtitle{Bizonyítás}
%\mmedskip
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás}}\\
\mmedskip
\\
Konjunktív:
\begin{enumerate}
\color{black}
	\item (Negáció bevitele.) Amíg lehetséges, helyettesítsük $F$-ben a
	\begin{itemize}
		\item $\neg \neg G$ alakú részformulákat $G$-vel,
		\item $\neg (G \land H)$ alakú részformulákat $\neg G \lor \neg H$-val,
		\item $\neg (G \lor H)$ alakú részformulákat $\neg G \land \neg H$-val.
	\end{itemize}
	\item Amíg lehetséges, helyettesítsük $F$-ben a
	\begin{itemize}
		\item $F \lor (G \land H)$ alakú részformulákat $(F \lor G) \land (F \lor H)$-val,
		\item $(F \land G) \lor H$ alakú részformulákat $(F \lor H) \land (G \lor H)$-val.
	\end{itemize}
\end{enumerate}
\mbigskip
Diszjunktív:
\begin{enumerate}
	\item Ugyanaz mint a konjunktív normálforma esetén.
	\item Amíg lehetséges, helyettesítsük $F$-ben a
	\begin{itemize}
		\item $F \land (G \lor H)$ alakú részformulákat $(F \land G) \lor (F \land H)$-val,
		\item $(F \lor G) \land H$ alakú részformulákat $(F \land H) \lor (G \land H)$-val.
	\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Elmélet}]
Legyen $\Sigma$ egy formulahalmaz, ekkor:\\
\msmallskip
$Th({\Sigma}) = \{F | \Sigma \models F\}$ a \textBF{$\Sigma$ által generált elmélet}.\\
($Th({\Sigma})$ a $\Sigma$ összes logikai következménye).
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Levezetés, bizonyítható formula}]
Ha $\Sigma$ formulák egy halmaza, akkor az $F_1, ... F_n$ formulák sorozatát a \textBF{$\Sigma$-ból történő ($\Sigma$ feletti) bizonyításnak levezetésnek)} nevezünk, ha minden $1 \leq i \leq n$ esetén az aláőbbi feltételek valamelyike teljesül:\\
\begin{enumerate}
\item $F_i \in \Sigma$
\item $F_i$ tautológia
\item van olyan $k, l < i$, hogy $F_l = F_k \rightarrow F_i$
\end{enumerate}
\mbigskip
Egy $F$ formula \textBF{bizonyítható (levezethető)} $\Sigma$-ból, ha van olyan $\Sigma$ feletti $F_1, ..., F_n$ bizonyítás, hogy $F_n = F$.\\
\mbigskip
\textBF{Jel.: $\Sigma \vdash F$}
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Modus Ponens}]
Ha valamely $A$ hozzáredelésre teljesül, hogy:\\
$A \models F$ és $A \models F \rightarrow G$, akkor $A \models G$.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Modus Tollens (Kontrapozíció)}]
$A \Rightarrow B \iff {\neg}B \Rightarrow {\neg}A$.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Indirekt Bizonyítás}]
Tetszőleges $\Sigma$ formulahalmaz esetén $\Sigma \vdash F \rightarrow G$ akkor és csak akkor teljesül, ha:\\
$\Sigma \cup \{F\} \vdash G$.
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Dedukció tétel}]
Tetszőleges $\Sigma$ formulahalmaz esetén $\Sigma \vdash F \rightarrow G$ akkor és csak akkor teljesül, ha $\Sigma \cup \{F\} \vdash G$.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Dichotómia tétel}]
Tetszőleges $\Sigma$ formulahalmaz esetén, ha $\Sigma \cup \{F\} \vdash$ (levezethető) $G$ és $\Sigma \cup \{\neg F\} \vdash G$, akkor $\Sigma \vdash G$.\\
("Az $F$ Formula nem szól bele").
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Helyességi tétel}]
Tetszőleges $\Sigma$ és $F$ esetén, ha $\Sigma \vdash F$, akkor $\Sigma \models F$.\\
(Helyes, ha csak az elélethez tartozó formulákat lehet bizonyítani.)
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Teljességi tétel}]
Minden $\Sigma$-ra és $F$-re, ha $\Sigma \models F$, akkor $\Sigma \vdash F$.\\
(Teljes, ha minden, az elmélethez tartozó formulát be lehet bizonyítani.)
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Konzisztencia tétel}]
Tetszőleges formulahalmaz, akkor és csak akkor konzisztens, ha kielégíthető.\\
(Konzisztens, ha nem vezethető le belőle a $\downarrow$.)
\end{tcolorbox}

\end{frame}

% --------------------  PREDIKÁTUMKALKULUS (1-RENDŰ LOGIKA) --------------------

\begin{frame}[plain]
\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
    {\RHuge Predikátumkalkulus (1-Rendű Logika)}
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={Függvény}]
Legyen $n \geq 0$ és $f : A^n \rightarrow A$ egy $n$ változós függvény.\\
\tcblower
({\small $n = 0$ esetén $f$-et azonosítjuk $A$ halmaz egy elemével.})
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={$A$ feletti n változó predikátum}]
\textBF{$A$ feletti n változó predikátum} a következő függvény:\\
$$p : A^n \rightarrow \{0, 1\}$$
\tcblower
{\small $n = 0$ esetben $p \in \{0, 1\}$ $\rightarrow$  a predikátum konstans 0, vagy 1 kell legyen.}\\
\msmallskip
{\small Ha valamely $a_1, ..., a_n \in A$-ra $p (a_1, ..., a_n) = 1$},\\
{\small akkor azt mondjuk, hogy $p(a_1, ..., a_n)$ helyen igaz.}
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Az $\mathcal{L}$ elsőrendű nyelv szimbólumai}]
Változók: $x, y, u, v, w, ..., x_1, x_2, ...$\\
Függvényszimbólumok: $f, g, h, ..., f_1, f_2, ...$\\
Predikátumszimbólumok: $p, q, r, ..., p_1, p_2, ...$\\
Logikai szimbólumok: ${\neg}, {\lor}, {\land}, {\exists}, {\forall}$\\
Elválasztó szimbólumok: $($, $),$ és a $,$ (vessző).\\
\tcblower
A változók halmaza $Var$\\
A predikátumszimbólumok halmaza nem üres.\\
A függvény- és predikátumszimbólumoknak van aritása (rangja = Hány változós)\\
A 0 aritású függvényszimbólumok a konstansok: $a, b, c, ...$
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Az $\mathcal{L}$ elsőrendű nyelv formulái}]
\underline{\textBF{Termek:}} a legszűkebb olyan halmaz, amelyre az alábbi két feltétel teljesül:\\
\begin{enumerate}
\item Minden változó term.
\item Ha $t_1, ..., t_n$ termek valamely $n \geq 0$-ra, $f$ pedig egy $n$ változós függvényszimbólum,
akkor $f(t_1, ..., t_n)$ is term. (Ha $n = 0$, akkor $f()$ helyett csak $f$-et írunk.)
\end{enumerate}
\mmedskip

\underline{\textBF{Atomi formulák:}} a legszűkebb olyan halmaz, amely kielégíti az alábbi feltételt:\\
\begin{enumerate}
\item Ha $t_1, ..., t_n$ termek valamely $n \geq 0$-ra, $p$ pedig egy $n$ változós predikátumszimbólum, akkor $p(t_1, ..., t_n)$ atomi formula. (Az $n = 0$ esetben $p()$ helyett most is csak $p$-t írunk.)
\end{enumerate}
{\small Termeket "összegyúrjuk" egy predikátum segítségével.}\\
\mmedskip

\underline{\textBF{Formulák:}} a legszűkebb olyan halmaz, amelyre az alábbi feltételek teljesülnek (Formulák halmaza: $Form(S)$):\\
\begin{enumerate}
\item Minden atomi formula egyben formula is.
\item Ha $F$ és $G$ formulák, akkor ${\neg}F, (F \lor G), (F \land G)$ is formulák.
\item Ha $F$ formula, $x$ pedig egy változó akkor ${\exists}xF$ és ${\forall}xF$ is formulák.
\end{enumerate}
\mmedskip

A formulák halmazát $Form(\mathcal{L})$-lel, vagy ha csak egy $\mathcal{L}$-ről beszélünk, akkor $Form$-al jelöljük.
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={Kötött, szabad változó, nyílt, zárt formula}]
\begin{enumerate}
\item Az olyan termeket, amelyekben nem szerepelnek változók \textBF{ground termeknek} nevezzük.
\item Ha egy $F$ formula, $F = F_1GF_2$ és $G$ is formula, akkor $G$ az $F$ részformulája.
\item Egy $x$ változó valamely (nem közvetlenül kvantor utáni) előfordulása egy $F$ formulában kötött, ha ez az előfordulás $F$-nek egy ${\exists}xG$ vagy ${\forall}xG$ alakú részformulája $G$ részéban van. Különben $x$ szóban forgó előfordulása szabad.
\item Egy $x$ változó szabad $F$-ben, ha van $F$-ben szabad előfordulása.
\item A szabad változó nélküli formulákat zárt formuláknak vagy mondatoknak hívjuk.
\item Egy $F$ formula mátrixának azt az $F^*$ formulát nevezzük, amelyet úgy kaponk $F$-ből, hogy töröljük belőle a ${\forall}x$ és ${\exists}$x alakú részeket.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Az elsőrendű nyelv szemantikája}]
Legyen $\mathcal{L}$ egy elsőrendű nyelv.\\
\mmedskip

$\mathcal{L}$ típusú struktúrának nevezünk egy $\mathcal{A} = (\mathcal{U}, \mathcal{I}, {\phi})$ hármast, ahol:\\
\mmedskip

\begin{itemize}
\item $\mathcal{U}$ egy nem üres halmaz, az univerzum.
\item ${\phi} : Var \rightarrow \mathcal{U}$ egy változó hozzátrendelés.
\item $\mathcal{I}$ egy olyan leképzés, amely:
\begin{itemize}
\item Minden $\mathcal{L}$-beli $n$ változós $f$ függvényszimbólumhoz hozzárendel egy $\mathcal{I}(f) : \mathcal{U}^n \rightarrow \mathcal{U}$ függvényt. (Ha $n = 0$, akkor $\mathcal{I}(f) \in \mathcal{U}$.)
\item Minden $\mathcal{L}$-beli $n$ változós $p$ predikátumszimbólumhoz hozzárendel egy $\mathcal{I}(p) : \mathcal{U}^n \rightarrow \{0, 1\}$ prdeikátumot. (Ha $n = 0$, akkor $\mathcal{I}(p) \in \{0, 1\}$.)
\end{itemize}
\end{itemize}

\end{tcolorbox}

\end{frame}

% --------------------  GRÁFELMÉLET --------------------

\begin{frame}[plain]
\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
    {\RHuge Gráfelmélet}
\end{tcolorbox}
\end{frame}


\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={Gráf}]
A $G = (V, E, {\phi})$ hármast \textBF{(irányítatlan) gráfnak} nevezzük, ha $V, E$ halmazok, $V \neq \emptyset, V \cap E = \emptyset$, és $\phi : E \rightarrow [V]^2$.\\
\mbigskip
$[V]^2 = \{ [a, b] | a, b \in V \}$, ahol $[a, b] = [b, a]$\\
\mbigskip
\textBF{V}: pont-, csúcshalmaz. $V(G)$ $G$ pontjai, $v(G) = |V(G)| = \#V$ G pontjainak száma.\\
\mbigskip
\textBF{E}: élhalmaz. $E(G)$ $G$ élei, $e(G) = |E(G)| = \#E$ G éleinek száma.\\
\mbigskip
(E = Edge, V = Vertex)
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
\begin{enumerate}
\item $E = dmn({\phi})$
\item ${\phi}(e) = \{v_1, v_2\} \subseteq V$ minden $e \in E$-re.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\end{frame}


\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={Egyéb definíciók}]
\begin{itemize}
\item \textBF{Véges gráf:} Ha $V(G)$ és $E(G)$ is véges.
\item \textBF{Él végpontjai / él illeszkedése:}\\
$e \in E$ él végpontjai ($e$ illeszkedik $a$-ra, és $b$-re) ha $a, b \in V$ esetén ${\phi}(e) = [a, b]$
\item \textBF{Hurokél:} Ha a = b.
\item \textBF{Párhuzamos (többszörös él):} Ha $e, f \in E$, és ${\phi}(e) = {\phi}(f)$
\item \textBF{Szomszédos él:} Ha $e, f \in E$ és ${\phi}(e) = [a_1, a_2], {\phi}(f) = [b_1, b_2]$ esetén $\{a_1, a_2\} \cap \{b_1, b_2\} \neq \emptyset$
\item \textBF{Szomszédos csúcsok:} Ha $a_1, a_2 \in V$, és $a_1 \neq a_2$, és ${\exists}e \in E$, amire ${\phi}(e) = [a_1, a_2]$
\item \textBF{Csúcs foka:} A rá illeszkedő élek száma (huroknál 2), jelölés: \textBF{d(a)}
\item \textBF{Izolált csúcs:} $a$ csúcs izolált, ha d(a) = 0
\item \textBF{Egyszerű gráf:} Hurok és többszörös él nélküli gráf.
\item \textBF{Reguláris gráf:} A $G = (V, E)$ gráf \textBF{reguláris}, ha $d(a)$ értéke azonos minden $a \in V$-re, \textBF{n-reguláris}, ha ekkor $d(a) = n$ valamely $n \in \mathbb{N}$-re.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Fokszám-Élszám}]
Legyen $G = (V, E)$ (Gráf). Ekkor $G$-ben a páratlan fokú csúcsok száma páros.\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás}}\\
\mmedskip
\\
$$\sum_{a \in V} d(a) = \sum_{d(a) \equiv 0 (mod 2)} d(a) + \sum_{d(a) \equiv 1 (mod 2)} d(a) \equiv 0 (mod 2)$$
amiből kapjuk, hogy $$\sum_{d(a) \equiv 1 (mod 2)} d(a) \equiv 0 (mod 2)$$.

\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Gráfok izomorfiája}]
A $G = (V, E)$ és $G' = (V', E')$ gráf \textBF{izomorf},\\
ha létezik ${\pi} : V \rightarrow V'$, és $\rho : E \rightarrow E'$ bijekció úgy, hogy ha $a \in V$ és $e \in E$ illeszkedik $G$-ben $\iff$ ${\pi}(a)$ és ${\rho}(e)$ illeszkedik $G'$-ben.\\
\mbigskip
A $G = (V, E)$ és $G' = (V', E')$ egyszerű gráf \textBF{izomorf}, ha létezik ${\pi} : V \rightarrow V'$ bijekció úgy, hogy $a, b \in V$ szomszédos $G$-ben $\iff$ ${\pi}(a)$ és ${\pi}(b)$ szomszédos G'-ben.\\
\mbigskip
A $G = (V, E)$ egyszerű gráf \textBF{teljes gráf}, ha bármely két pontja szomszédos. \textBF{$K_n$} jelöli az \textBF{n} pontú teljes gráfot.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
Ugyanannyi csússzámú teljes gráfok izomorfak.\\
\mbigskip
$K_n$-nek $\frac{n(n - 1)}{2}$ éle van.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Páros Gráf}]
A $G = (V, E, {\phi})$ hármast \textBF{páros gráfnak} nevezzük, ha $V = V' \cup V'', V' \cap V'' = \emptyset$, és $G$ minden élének egyik végpontja $V'$-ben, másik végpontja $V''$-ben van.\\
\mmedskip
($K_{3, 3}$ 6 pontú teljes páros gráf, $K_5$ 5 pontú teljes gráf.)
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Részgráf}]
A $G' = (V', E', {\phi}')$ gráf a $G = (V, E, {\phi})$ gráf \textBF{részgráfja}, ha\\
$V' \subseteq V$ és $E' \subseteq E$, valamint ${\phi}'(e) = {\phi}(e)$ minden $e \in E'$-re.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Telített Részgráf}]
Ha a $G' = (V', E', {\phi}')$ gráf a $G = (V, E, {\phi})$ gráf részgráfja, és $E'$ mindazon $E$-beli elemeket tartalmazza, amelyek végpontjai $V'$-ben vannak, akkor $G'$-t \textBF{telített részgráfnak} nevezzük, vagy pontosabban \textBF{$V'$ által meghatározott telített részgráfnak.}
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Komplementer Gráf}]
$\overline{G}$ an $n$-pontú egyszerű $G = (V, E)$ gráf \textBF{komplementer gráfja}, ha\\
\msmallskip
$\overline{V}(G) = V(G)$ és\\
$E(\overline{G}) = E(K_n) \setminus E(G)$.
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Zárt, Nyílt élsorozat (Séta)}]
Legyen $k$ természetes szám.\\
\textBF{$k$ hosszú élsorozat (séta) $a_0$-ból $a_k$-ba} az\\
\msmallskip
$[a_0, e_1, a_1, e_2, a_2, ..., e_k, a_k]$ sorozat, ha $a_0, a_1, ..., a_k \in V(G), e_1, e_2, ..., e_k \in E(G)$ és ${\phi}(e_i) = [a_{i - 1}, a_i]$ minden $i = 1, 2, ..., k$-ra.\\
\mbigskip
\textBF{Út, Vonal:}\\
Egy élsorozat \textBF{út}, ha benne minden csúcs különböző és \textBF{vonal}, ha minden éle különboző.\\
\mbigskip
\textBF{Zárt, Nyílt:}\\
Egy élsorozat \textBF{zárt}, ha $a_0 = a_k$ különben \textBF{nyílt}.\\
\mbigskip
\textBF{Kör:}\\
\textBF{Kör} az a zárt élsorozat, melyben a többi csúcs egymástól és $a_0$-tól különbözik, és élei is mind különbözőek.\\
\mbigskip
Út $\subset$ Vonal $\subset$ Séta\\
\mmedskip
Kör $\subset$ Zárt vonal $\subset$ Zárt séta
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
\begin{itemize}
\item Út és kör hossza az éleinek száma.
\item 0 hosszúságú séta út
\item út mindig vonal
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Összeföggőség}]
Egy gráf \textBF{összefüggő}, ha benne bármilyen két csúcs összeköthető sétával (következtetésképpen úttal is).
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Komponensek}]
Legyen $\sim$ a következő ekvivalenciareláció (Reflexív, Tranzitív, Szimmetrikus):\\
\mbigskip
$a_1, a_2 \in V(G)$ esetén $a_1 \sim a_2$, ha $a_1 = a_2$ vagy $a_1$ és $a_2$ között van út.\\
\mbigskip
Az azonos osztályokba eső csúcsok által meghatározott telített részgráfok a $G$ gráf \textBF{(összefüggő) komponensei}, számuk \textBF{c(G)}.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
\begin{itemize}
\item Különböző osztályokba eső csúcsok nem szomszédosak
\item Minden él hozzárendelhető egy komponenshez
\item Egy gráf összefüggő, ha egy komponense van
\end{itemize}
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Fa}]
Összefüggő körmentes gráf.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Equivalens állítások fákra}]
Egy $G$ egyszerű gráfra a következő állítások equivalensek:
\begin{enumerate}
\item $G$ Fa
\item $G$ Összefüggő, de bármely él elhagyásával kapott részgráf már nem összefüggő.
\item Ha $v, v'$ a $G$ különböző csúcsai, akkor pontosan egy út vezet $v$-ből $v'$be.
\item $G$-ben nincs kör, de bármely új él hozzáadásával kapott gráf már tartalmaz kört.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Elsőfokú pontok}]
Ha egy véges gráfban nincs kör, de van él, akkor van benne legalább két elsőfokú pont.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame} 
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ekvivalens állítások n-pontú fákra}]
Egy $G$ egyszerű gráfra a következő álítások ekvivalensek:
\begin{enumerate}
\item $G$ fa.
\item $G$-ben nincs kör és $n - 1$ éle van.
\item $G$ összefüggő és $n - 1$ éle van.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Feszítőfa}]
Az $F$ gráf a $G$ gráf \textBF{feszítőfája}, ha\\
$F$ részgráfja $G$-nek, $F$ fa és $V(T) = V(G)$.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Feszítőfa létezése}]
Minden véges összefüggő $G$ gráfnak létezik feszítőfája.
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame} 
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Körök száma}]
Egy véges összefüggő $G = (E, V)$ gráfban létezik \underline{legalább} $e(G) - v(G) + 1$ különböző kör.\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás}}\\
\mmedskip
\\
A feszítőfa létezése téltel miatt ($\Rightarrow$) $\exists T$ feszítőfa, aminek $v(G) - 1$ éle van.\\
Legyen $K_f$ az a kör, ami $T \cup \{f\}$-ben van, ahol $f \in E(G) \setminus E(T)$\\
$T_G$ komplementerben legalább $e(G) - e(T) = e(G) - (v(G) - 1) = e(G) - v(G) - 1$ ilyen $f$ él van.\\
$\Rightarrow$ legalább $e(G) - v(G) + 1$ különbző kör.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Elvágó élhalmaz, vágás}]
Legyen $G =  (V, E, {\phi})$ egy gráf, $v, w \in V$, és $V' \subseteq V$.\\
\mbigskip
Ha minden $v$-ből $w$-be vezető út tartalmaz $V'$-beli csúcsot, akkor\\
\mmedskip
\textBF{$V'$ elvágja $v$-t, és $w$-t}.\\
\mmedskip
Ha $E' \subseteq E$ és minden $v$-ből $w$-be vezető út tartalmaz $E'$-beli élet, akkor\\
\mmedskip
\textBF{$E'$ elvágja $v$-t, és $w$-t}.\\
\mbigskip
Ha $V'$, illetve $E'$ egy elemű, akkor \textBF{elvágó (szeparáló) pontról}, ill \textBF{elvágó (szeparáló) élről} beszélünk.\\
\mbigskip
$E' \subseteq E$ \textBF{elvágó, (szeparáló) élhalmaz}, ha a $G' = (V, E \setminus E')$ több komponensből áll, mint $G$. (azaz vannak olyan csúcsok $G$-ben, amelyeket $E'$ elvág.)\\
\mbigskip
$E' \subseteq E$ \textBF{vágás}, ha elvágó élhalmaz, de semelyik  valódi részhalmaza nem az.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Vágások száma}]
Egy véges összefüggő $G = (V, E)$ gráfban létezik legalább $v(G) - 1$ vágás.\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás}}\\
\mmedskip
\\
$T$ Feszítőfa összefüggő.\\
$\Rightarrow$ $T_G$ komplementer nem vágás.\\
Ha $T_G$ komplementerhez hozzáveszünk egy $e$ élt $T$-ből, akkor elvágó élhalmazt kapunk, amely tartalmaz egy vágást.\\
Ez a vágás tartalmazza $e$ élt, de másikat nem $T$ből.\\
Mivel $T$-nek $v(G) - 1$ éle van $\Rightarrow$ legalább ennyi különböző vágást kapunk.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Erdő, Feszítő erdő}]
Egy körmentes gráfot \textBF{erdőnek} nevezünk.\\
(Nincs kikötve, hogy összefüggő legyen,)\\
(Egy fa is erdő).\\
\mmedskip
$G$ gráf maximállis élszámú körmentes részgráfja $G$ \textBF{feszítő erdője}.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
A feszítő erdő minden összefüggő komponense $G$ megfelelő komponensének feszítőfája.\\
\mmedskip
Egy véges erdő élszáma: $v(G) - c(G)$, ahol $c$ a komponensek száma.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Rang, Nullitás}]
$G$ \textBF{rangja}: $r(G) = v(G) - c(G)$\\
(Minimálisan kiválasztható vágások száma)\\
\mmedskip
$G$ \textBF{Nullitása}: $n(G) = e(G) - v(G) + c(G)$\\
(Minimálisan kiválaszthatü körök száma.)
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Euler gráfok}]
Ha egy $G$ gráfban van olyam $Z$ élsorozat (vagy zárt vonal), amelyik $G$ minden élét pontosan egyszer tartalmazza, akkor $G$-t \textBF{Euler-gráfnak}, $Z$-t pedig \textBF{Euler-vonal}-nak \textBF{(Euler-körnek)} nevezzük.
\end{tcolorbox}
\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
\begin{enumerate}
\item Ha $v \neq v'$ (nyílt), akkor $v$ és $v'$ fokszáma páratlan, és $v, v'$ kivételével minden fokszám páros.
\item Ha $v = v'$ (zárt), akkor minden fokszám páros, mivel az Euler-vonal minden pontban ugyanannyiszor "megy be" és "ki".
\item A königsbergi hidak problémájának megoldása: lehetetlen.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Euler gráfok}]
Ha $G$ összefüggő véges gráf, akkor a következő állítások ekvivalensek:\\
\begin{enumerate}
\item $G$ Euler-gráf.
\item $d(v)$ páros minden $v \in V(G)$-re.
\item $G$ éldiszjunkt körök egyesítése.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Hamilton gráfok}]
Egy út \textBF{Hamilton-út}, ha $G$ gráf minden pontját tartalmazza.\\
\mmedskip
Ha egy kör a $G$ minden pontját tartalmazza, akkor \textBF{Hamilton-körnek}, $G$-t pedig \textBF{Hamilton-gráfnak} nevezzük.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
$K_n(n > 2)$ Hamilton-gráf, ha $n$ páratlan, akkor Euler-gráf is.
\end{tcolorbox}



\begin{tcolorbox}[title={Példák}]
\begin{tcbposter}[
poster = {height=7cm,spacing=2mm,rows=3},
boxes = {colframe=mybg, colback=mybg},
]

\posterbox[]{column=2,row=1}{\hspace{0.5em}Euler}
\posterbox[]{column=3,row=1}{\hspace{0.5em}Nem Euler}

\posterbox[]{column=1,row=2}{\vspace{1.5em}Hamilton}
\posterbox[]{column=1,row=3}{\vspace{1.5em}Nem Hamilton}

\posterbox[]{column=2,row=2}{
  \SetGraphUnit{2}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexSimple[MinSize    = 8pt, LineColor = black, FillColor = mygreen]
\begin{tikzpicture}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexNoLabel
  \Vertex{1}
  \EA[unit=1](1){2}
  \SO[unit=1](2){3}
  \SO[unit=1](1){4}
  \Edges(1,2,3,4,1)
\end{tikzpicture}
}

\posterbox[]{column=3,row=2}{
  \SetGraphUnit{2}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexSimple[MinSize    = 8pt, LineColor = black, FillColor = mygreen]
\begin{tikzpicture}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexNoLabel
  \Vertex{1}
  \EA[unit=1](1){2}
  \SO[unit=1](2){3}
  \SO[unit=1](1){4}
  \Edges(1,2,3,4,1,3,4,2)
\end{tikzpicture}
}

\posterbox[]{column=2,row=3}{
  \SetGraphUnit{2}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexSimple[MinSize    = 8pt, LineColor = black, FillColor = mygreen]
\begin{tikzpicture}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexNoLabel
  \Vertex{1}
  \EA[unit=1](1){2}
  \SO[unit=1](2){3}
  \SO[unit=1](1){4}
  \SOEA[unit=0.5](1){5}
  \Edges(1,5,3,2,5,4,1)
\end{tikzpicture}
}

\posterbox[]{column=3,row=3}{
  \SetGraphUnit{2}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexSimple[MinSize    = 8pt, LineColor = black, FillColor = mygreen]
\begin{tikzpicture}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexNoLabel
  \Vertex{1}
  \EA[unit=1](1){2}
  \SO[unit=1](2){3}
  \SO[unit=1](1){4}
  \SOEA[unit=0.5](1){5}
  \Edges(1,2,3,4,1,5,3)
\end{tikzpicture}
}
\end{tcbposter}

\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ore tétel}]
Legyen $G$ egy $n \geq 3$ pontú egyszerű véges gráf. Ha $$d(v) + d(w) \geq n$$ minden $v$, $w$ nem-szomszédos pontra, akkor $G$ Hamilton-gráf.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Dirac tétel}]
Legyen $G$ egy $n \geq 3$ pontú egyszerű véges gráf. Ha $$d(v) \geq \frac{n}{2}$$ minden $v$ csúcsra, akkor $G$ Hamilton-gráf.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Gráf súlya}]
Legyen $G = (V, E, {\phi}, w)$ olyan gráf ($w$ a súlyfüggvény (Az él súlya)), ahol $w$ függvény egy $e \in E(G)$ élhez rendel valós számhalmazbeli értéket, amelyet $e$ \textBF{súlyának} nevezük. $X \subseteq E(G)$ esetén az $X$ részhalmaz súlya:\\
\mmedskip
$\sum_{e \in X} w(e)$.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Mohó algoritmus}]
Egy \textBF{mohó algoritmus} minden döntést az adott pillanatban rendelkezésre álló információk alapján hoz meg, nem törődve a döntés "jövőre" gyakorolt hatásával.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
\textBF{Előny:}\\
\mmedskip
\begin{enumerate}
\item Könnyen kitalálható
\item Könnyen Implementálható
\item Sok esetben nagyon gyors és hatékony
\end{enumerate}
\textBF{Hátrány:}\\
Nem mindíg adja az optimális megoldást.
\end{tcolorbox}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Ellenpélda: TSP / Travelling Salesman Problem}]
Egy utazóügynöknek $n$ városba kell ellátogatnia. Szeretné az útiköltséget minimalizálni úgy, hogy minden várost pontosan egyszer érintsen.\\
\tcblower
Egy lehetséges mohó algoritmus, amikor mindíg a legrövideb utat választja:\\
\\
\mmedskip
\SetGraphUnit{2}
\GraphInit[vstyle=Normal]
\SetVertexSimple[MinSize    = 16pt, LineColor = black, FillColor = mygreen]
\begin{tikzpicture}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexLabel
  \Vertex{v1}
  \EA[unit=3](v1){v3}
  \SO[unit=2](v3){v4}
  \SO[unit=2](v1){v2}
  \Edge[label=2](v1)(v3)
  \Edge[label=99](v3)(v4)
  \Edge[label=2](v4)(v2)
  \Edge[label=0](v2)(v1)
  \Edge[style={pos=0.75},label=1](v3)(v2)
  \Edge[style={pos=0.75},label=99](v1)(v4)
\end{tikzpicture}\\
\mmedskip
Mohó algoritmusnál lehet: v1 (0) v2 (1) v3 (99) v4 (99) v1 = 199.\\
Legolcsóbb út: v1 (0) v2 (2) v4 (99) v3 (1) v2 (0) v1 = 103.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kruskal algoritmus}]
Legyen $G = (V, E, {\phi}, w)$ egy véges összefüggő gráf. A következő algoritmus megtalál egy minimális súlyú feszítőfát $G$-ben.
\end{tcolorbox}

\begin{tikzpicture}[node distance = 2cm, auto]
    % Place nodes
    \node [block] (step1) {\tiny{$V(F)=V(G)$ és $E(F) = \emptyset$.}};
    \node [block, below of=step1] (step2) {\tiny{Bővítsük $F$-et egy $e \in G$ éllel, amely minimális súlyú azon élek közül, amelyek F-hez adva még nem eredményeznek kört.}};
    \node [decision, below of=step2] (step3) {\tiny{Van még ilyen él?}};
    \node [block, below of=step3] (step4) {\tiny{STOP}};

    \draw [arrow] (step1) -- (step2);
    \draw [arrow] (step2) -- (step3);
	\draw [arrow] (step3) -- node {Nem} (step4);    
    \draw[arrow] (step3) -- node {Igen} + (5, 0.1) |- (step2);
\end{tikzpicture}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Irányított gráf}]
A $G = ({\psi}, V, E)$ hármast \textBF{irányított gráfnak} nevezzük, ha $V, E$ halmazok, $V \neq \emptyset, V \cap E = \emptyset$ és $\psi : E \rightarrow V x V$.\\
\\
Legyen $e \in E$. Ha ${\psi}(e) = (u, v)$, akkor az $e$ irányított él \textBF{kezdőpontja $u$}, \textBF{végpontja $v$}.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Gráf irányítása}]
Egy $G = ({\psi}, E, V)$ irányított gráfból az "irányítás törlésével" megkaphatjuk a \textBF{$G$-nek megfelelő irányítatlan gráfot}: $G' = ({\phi}, E, V)$, azaz ha ${\psi}(e) = (u, v)$, akkor ${\psi}(e) = \{u, v\}$.\\
\\
Ekkor $G$ egy irányítása $G'$-nek.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
Általában egy gráfnak több irányítása is lehet.
\end{tcolorbox}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[squeezed title={Def.: Irányított gráf megfordítása}]
A $G = ({\psi}, E, V)$ \textBF{irányított gráf megfordítása} a $G' = ({\psi}', E, V)$ gráf amelyre ${\psi}(e) = (u, v) \iff {\psi}'(e) = (v, u)$.\\
\\
Hurok megfordítása önmaga.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Sigorúan Párhuzamos Élek}]
$e \neq f$ \textBF{szigorúan párhuzamos élek}, ha ${\psi}(e) = (u, v)$ és ${\psi}(f) = (u, v)$.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Kifok, Nyelő}]
Pont \textBF{kifoka}, $d^+(a)$ a kimenő élek száma, ha $d^+(v) = 0$, akkor v \textBF{nyelő}.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Befok, Forrás}]
Pont \textBF{befoka}, $d^-(a)$ a bemenő élek száma, ha $d^-(v) = 0$, akkor v \textBF{forrás}.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
$$\sum_{a \in V(G)} d^+(a) = \sum_{a \in V(G)} d^-(a) = e(G)$$
\end{tcolorbox}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[ title={Def.: Összefüggőség (Irányított gráf)}]
A $G$ irányított gráf \textBF{összefüggő}, ha a megfelelő $G' = (V, E')$ irányítatlan gráf összefüggő.\\
\\
A $G$ irányított gráf \textBF{komponensei} a megfelelő $G'$ irányítatlan gráf komponenseit jelentik.\\
A komponensek száma $c(G) = c(G')$.\\
\\
A $G = (V, E)$ gráf \textBF{erősen összefüggő}, ha minden $v_1, v_2 \in V(G)$ esetén $v_1 = v_2$, vagy $v_1$-ből vezet $v_2$-be irányított út, és $v_2$-ből $v_1$-be is.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Erős összefüggőség}]
Egy összefüggő gráf akkor, és csak akkor irányítható úgy, hogy erősen összefüggő legyen, ha minden \textBF{éléhez} tartozik rajta áthaladó kör.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
Hasonló nem mondható el olyan gráfról, amelyben minden \textBF{csúcson} halad át kör.
\end{tcolorbox}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Irányított Fa}]
Egy irányított gráfot \textBF{irányított fának} hívunk, ha pontosan egy olyan pontot tartalmaz, amelynek befoka 0, és a többi csúcs befoka 1.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
A 0 befokú csúcs egyértelműen meghatározott és belőle minden további csúcshoz pontosan egy út vezet.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[squeezed title={Def.: Gyökér, n-edik szint, Magasság, Szülő, Gyerekek, Levél}]
Irányított fában a 0 befokú pont neve \textBF{gyökér}.\\
\\
\textBF{$n$-edik szint}: azon csúcsok halmaza, amelyekhez $n$ hosszúságú út vezet a gyökérből.\\
\\
A szintek maximuma a fa \textBF{magassága}.\\
\\
Ha $v$ kezdő, $v'$ és $v''$ végpontja egy élnek, akkor $v$ a \textBF{szülő}, $v'$ és $v''$ a \textBF{gyereket (testvérek)}.\\
\\
Irányított fa 0 kifukú csúcsa a \textBF{levél}.
\end{tcolorbox}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Síkgráf}]
Egy gráf \textBF{síkbarajzolható}, ha lerajzolható a síkra úgy, hogy élei csak a csúcspontokban metszik egymást.\\
\\
Az így "lerajzolt" gráfokat szokás \textBF{síkgráfoknak} is nevezni.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Tartomány}]
Egy síkgráfban a sík egy részhalmazának egy olyan összefüggő komponensét, amely diszjunkt a gráf csúcsaival, és éleivel \textBF{tartománynak nevezzük}.\\
\\
Ezek közül pontosan egy végtelen, neve \textBF{külső tartomány}.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Minimális fokszáma síkgráfban.}]
Ha $G$ egyszerű, síkba rajzolható gráf, akkor $$\delta = \min_{{q \in V(G)}} d(a) \leq 5$$\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás (Indirekt)}}\\
\mmedskip
TFH $\delta \geq 6$.
Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy $v(G) \geq 3$.\\
$\sum_{{a \in V(G)}} d(a) = 2e(G)$ (fokok száma = 2 x az élek száma)\\
Mivel $\delta \geq 6 \implies 6v(G) \leq 2e(G)$\\
A síkgráf élszáma tételből következik, hogy:\\
$2e(G) \leq 6v(G) - 12.$\\
\mbigskip
$2e(G) \leq 6v(G) - 12$ \hspace{1ex} $/\cdot2$\\
$6v(G) \leq 6v(G) - 12$ $\rightarrow$ Ellentmondás!
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kuratowski gráfok}]
A Kuratowski gráfok ($K_5$ és $K_{3,3}$) Nem rajzolhatók síkba.\\

\begin{tcbposter}[
poster = {height=4.8em,spacing=2mm,rows=1,columns=4},
boxes = {colframe=mybg, colback=mybg},
]

\posterbox[]{column=1,row=1}{\vspace{1.5em}$K_{3,3}:$}


\posterbox[]{column=3,row=1}{\vspace{1.5em}$K_{5}:$}

\posterbox[]{column=2,row=1}{
  \SetGraphUnit{2}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexSimple[MinSize    = 2pt, LineColor = black, FillColor = mygreen]
\begin{tikzpicture}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexNoLabel
  \Vertex{1}
  \EA[unit=1](1){2}
  \EA[unit=1](2){3}
  \SO[unit=1](1){4}
  \SO[unit=1](2){5}
  \SO[unit=1](3){6}
  \Edge(1)(4)
  \Edge(1)(5)
  \Edge(1)(6)
  \Edge(2)(4)
  \Edge(2)(5)
  \Edge(2)(6)
  \Edge(3)(4)
  \Edge(3)(5)
  \Edge(3)(6)
\end{tikzpicture}
}

\posterbox[]{column=4,row=1}{
  \SetGraphUnit{0.5}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexSimple[MinSize    = 2pt, LineColor = black, FillColor = mygreen]
\begin{tikzpicture}[rotate=-53]
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexNoLabel
  \Vertices{circle}{1,2,3,4,5}
  \Edge(1)(2)
  \Edge(1)(3)
  \Edge(1)(4)
  \Edge(1)(5)
  \Edge(2)(3)
  \Edge(2)(4)
  \Edge(2)(5)
  \Edge(3)(4)
  \Edge(3)(5)
  \Edge(4)(5)
\end{tikzpicture}
}


\end{tcbposter}

\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás (Indirekt)}}\\
\mmedskip
TFH $K_5$ és $K_{3,3}$ síkbarajzolható.\\
\msmallskip
\textBF{$K_{3,3}$ esetén}:\\
$v(G) = 6$, és $e(G) = 9$\\
Euler forumlából következik, hogy $t = 5$.\\
Viszont $K_{3,3}$ nem tartalmaz háromszöget, és nincs szeparáló éle. $\implies$\\
$\implies$ $4t \leq 2e(G) \implies 20 \leq 18$. $\rightarrow$ Ellentmondás!\\
\msmallskip
\textBF{$K_5$ esetén}:\\
$v(G) = 5$ és $e(G) = 10$\\
Alkalmazzuk a síkgráf élszáma tételt ($e(G) \leq 3v(G) - 6$), ekkor\\
$10 \leq 9$ $\rightarrow$ Ellentmondás!
\end{tcolorbox}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Szubdivízió, Simítás}]
Egy $e$ és \textBF{szubdiviziójáról} beszélünk, ha $e$-t egy 2 hosszúságú úttal helyettesítjük.\\
\\
Egy másodfokú $v$ pont \textBF{simítása} az a transzformáció, amikor $v$-t töröljük, és szomszédait összekötjük egy éllel.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Topologikus izomorfia}]
Két gráf \textBF{topologikusan izomorf}, ha a szubdivizió és simítás véges sokszori alkalmazásával izomorf gráfokba transzformálhatóak.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kuratowski tétel}]
Egy egyszerű véges gráf \textBF{akkor, és csak akkor} rajzolható síkba, ha nem tartalmaz a Kuratowski gráfok valamelyikével topologikusan izomorf részgráfot.
\end{tcolorbox}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Szomszédsági mátrix}]
Legyen a $G$ gráfban: $V = \{v_1, ..., v_n\}$ és $E = \{e_1, ..., e_m\}$\\
\\
egy $B_{n x m}$ mátrix, ahol\\
\\
Ha irányított:\\
$b_{y} =$ ahány él van $v_i$ kezdő és $v_j$ végponttal.\\
\\
Ha irányítatlan:\\
$b_{y} = $
$
\begin{cases}
i = j$ esetén ahány hurokél illeszkedik $v_i$-re$\\
i \neq j$ esetén ahány él van $v_i$ és $v_j$ közt$\\
\end{cases}
$\\
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[sidebyside]
  \SetGraphUnit{2}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexSimple[MinSize    = 16pt, LineColor = black, FillColor = mygreen]
\begin{tikzpicture}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexLabel
  \Vertex{1}
  \EA[unit=3](1){2}
  \SO[unit=2](2){3}
  \SO[unit=2](1){4}
  \Loop[dist=0.7cm,dir=NOWE,style={thick,-}](1)
  \Loop[dist=1.4cm,dir=NOWE,style={thick,-}](1)
  \Edges(1,2,3,4,1,2,4)
  \tikzset{EdgeStyle/.append style = {bend left}}
  \Edge(2)(3)
\end{tikzpicture}
\vspace{12mm}
\tcblower
\[
B_{4 x 4} = 
\begin{bmatrix}
	2 & 1 & 0 & 1\\
	1 & 0 & 2 & 1\\
	0 & 2 & 0 & 1\\
	1 & 1 & 1 & 0\\
\end{bmatrix}
\]
\end{tcolorbox}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Euler formula}]
Egy összefüggő síkbeli gráf, amelynek $t$ tartománya van, (a külső tartományt is beleértve), eleget tesz az Euler-formulának:
$$v(G) - e(G) + t = 2$$\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás (Sematikus)}}\\
\mmedskip
Tekintsünk egy $K$ kört $G$-ben és egy $e \in E(K)$ élet.\\
Mivel $e$ két tartomány határán van $\implies$ $e$ törlésével két szomszéd régió eggyé válik.

(kép)

$\implies$ az élek, és tartományok száma is eggyel csökken.\\
A formula: $v(G) - e(G) + t = 2$ $\rightarrow$ $e(G)$ Az $e(G)$ nél ha kivonunk 1-et: $-(-1) = +1$, A $t$-nél pedig -1 $\implies$ a formula értéke ugyan az marad.\\

Az eltörléseket ismételve előbb-utóbb megkapjuk G egy feszítőfáját. (Tétel, feszítőfa létezése)

Fánál $t = 1$ és az élek száma $v(G) - 1$. $\implies$
$$\implies v(G) - e(G) + t = v(G) - (v(G) - 1) + 1 = 2$$

\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Síkgráf élszáma}]
Ha $G$ egyszerű, síkba rajzolható gráf, és $v(G) \geq 3$, akkor $$e(G) \leq 3v(G) - 6$$.\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás}}\\
\mmedskip
\\
\textBF{1. Eset}\\
TFH $G$ összefüggő.\\
Mivel $v(G) = 3$-ra igaz, ezért tfh (legyen) v(G) > 3.\\
Mivel G egyszeű $\implies$ minden tartományát legalább 3 él határolja. $\implies$\\
$\implies$ legalább 3t élet számoltunk.\\
Mivel az elvágó éleket egyszer számoltuk, a többit kétszer $\implies$ $3t \leq 2e(G)$.\\
Az Euler formulából következik, hogy $$3(e(G) - v(G) + 2) \leq 2e(G) \implies e(G) \leq 3v(G) - 6$$\\
\msmallskip
\textBF{2. Eset}\\
TFH $G$ nem összefüggő.\\
Ekkor visszavezetjük az első esetre, élek hozzáadásával.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Illeszkedési mátrix}]
Legyen a $G$ gráfban: $V = \{v_1, ..., v_n\}$ és $E = \{e_1, ..., e_m\}$\\
\mmedskip
egy $B_{n x m}$ mátrix, ahol\\
\mmedskip
Ha irányított:\\
$b_{y} = $
$
\begin{cases}
1$ ha $e_j$-nek $v_i$ kezdőpontja$\\
-1$ ha $e_j$ nem hurokél és $v_i$ a végpontja$\\
0$ egyébként$\\
\end{cases}
$\\
Ha irányítatlan:\\
$b_{y} = $
$
\begin{cases}
1$ ha $e_j$ illeszkedik $v_i$ pontra$\\
0$ egyébként$\\
\end{cases}
$\\
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[sidebyside]
  \SetGraphUnit{2}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexSimple[MinSize    = 16pt, LineColor = black, FillColor = mygreen]
\begin{tikzpicture}
  \GraphInit[vstyle=Normal]
  \SetVertexLabel
  \Vertex{1}
  \EA[unit=3](1){2}
  \SO[unit=2](2){3}
  \SO[unit=2](1){4}
  \Edge[label=$e_1$](1)(2)
  \Edge[label=$e_2$](2)(3)
  \Edge[label=$e_3$](3)(4)
  \Edge[label=$e_4$](4)(1)
  \Edge[label=$e_5$](2)(4)
\end{tikzpicture}
\tcblower
\[
B_{4 x 5} = 
\begin{bmatrix}
	1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
	1 & 1 & 0 & 0 & 1\\
	0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
	0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
\end{bmatrix}
\]
\end{tcolorbox}
\end{frame}

% --------------------  FORÁLIS NYELVEK, ÉS AUTOMATÁK --------------------

\begin{frame}[plain]
\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
    {\RHuge Formális nyelvek, és Automaták}
\end{tcolorbox}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: $\Sigma$ feletti szó}]
Legyen $\Sigma$ véges nemüres halmaz.\\
\mmedskip
\textBF{$\Sigma$ feletti szón} a $\Sigma$ elemeiből (betűiből) képzett véges sorozatot értjük: \\
\mmedskip
$w = w_1 ... w_n$, $w_1 \in {\Sigma}, i = 1, ..., n$\\
\mmedskip
\textBF{Szó hossza:} Az $n$ nemnegatív, egész szám a w szó hossza. Jelölés: $|w|$.\\
($|w|_0$ a $w$-ben található $0$-k száma.)\\
\mmedskip
\textBF{Üres szó:} A $0$ hosszúságú szó, jelölése : $\epsilon$\\
\mmedskip
${\Sigma}^*$ jelöli a $\Sigma$ feletti szavak halmazát.\\
(Végtelen, viszont a szavak végesek)
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: $\Sigma$ feletti nyelv}]
${\Sigma}^*$ egy részhalmazát \textBF{$\Sigma$ feletti nyelvnek} nevezzük.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Véges automata}]
\textBF{$(Q, {\Sigma}, {\delta}, q_0, F)$}\\
\mmedskip
$Q$: Állapotok véges, nemüres halmaza.\\
\mmedskip
$\Sigma$: bemenő jelek (betűk) véges, nemüres halmaza.\\
\mmedskip
$\delta : Q x \Sigma \rightarrow Q$: átmeneti függvény.\\
\mmedskip
$q_0 \in Q$: Kezdőállapot.\\
\mmedskip
$F \subseteq Q$: Végállapotok halmaza.\\
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[squeezed title={Def.: Számítási sorozat, elfogadott szó, felismert nyelv}]
Legyen $M = (Q, {\Sigma}, {\delta}, q_0, F)$ véges automata, $q \in Q$ és $w = w_1...w_n \in {\Sigma}^*$, ekkor az\\
\mmedskip
$r_0, r_1, ..., r_n (r_i \in Q, i = 1, ..., n)$\\
\mmedskip
állapotsorozat az $M$ $q$-ból induló számítási sorozata a $w$ szón, ha\\
\mmedskip
$r_0 = q$ és $r_i = {\delta}(r_{i - 1}, w_i)(i = 1, ..., n)$\\
\mbigskip
\textBF{Elfogadott szó:} Azt mondjuk, hogy \textBF{$M$ elfogadja a $w$ szót}, ha létezik a $q_0$ kezdőállapotból induló számítási sorozat a $w$ szón és $r_n \in F$.\\
\mbigskip
\textBF{Felismert nyelv:} Az M által felismert nyelv: $L(M) = \{w \in {\Sigma}^* | M$ elfogadja $w$-t$\}$.\\
\mbigskip
Két automata \textBF{ekvivalens}, ha ugyanazt a nyelvet ismerik fel.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Felismerhető nyelv}]
Az $L \subseteq {\Sigma}^*$ nyelvet \textBF{felismerhető nyelvnek} nevezzük, ha létezik olyan véges automata, amely felismeri.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Konkatenáció}]
$A$ $\cdot : {\Sigma}^* x {\Sigma}^* \rightarrow {\Sigma}^*$ műveletet konkatenációnak nevezzük, ahol\\
\mmedskip
$u, v \in {\Sigma}^*, u = u_1...u_n, v = v_1...v_n$ esetén\\
$u \cdot v = u1...u_nv_1...v_n$
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
$({\Sigma}^*, {\cdot})$ egységelemes félcsoport (monoid).\\
\begin{enumerate}
\item $\cdot$ zárt, mivel $u \cdot v = u_1...u_nv_1...v_n \in {\Sigma}^*$.
\item Asszociatív: $(u \cdot v) \cdot w = u \cdot (v \cdot w)$.
\item $\epsilon$ egységelem: $u \cdot \epsilon = \epsilon \cdot u = u$.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[squeezed title={Def.: Egyesítés,Metszet, Komplementer, Konkatenáció, Iteráció}]
Legyen $L, L_1, L_2 \subseteq {\Sigma}^*$, ekkor\\
\mmedskip
\begin{enumerate}
\item $L_1 \cup L_2 = \{v \in {\Sigma}^* : v \in L_1 \lor v \in L_2\}$ (Egyesítés) (Reguláris művelet)
\item $L_1 \cap L_2 = \{v \in {\Sigma}^* : v \in L_1 \land v \in L_2\}$ (Metszet)
\item $\overline{L} = \{v \in {\Sigma}^* : v \notin L\}$ (Komplementer)
\item $L_1 \cdot  L_2 = \{uv : v \in L_1 \land u \in L_2\}$ (Konkatenáció) (Reguláris művelet)\\
Nem kommutatív! ($L_1$ $=$ $\{$alma, fűz$\}$, $L_2$ $=$ $\{$fa$\}$, $L_1 \cdot L_2$ $=$ $\{$almafa, fűzfa$\}$, de fordítva nem!) (Minden elemet minden elemmel, úgy, hogy a sorrend számít!)
\item $L^* = \{v_1...v_n : n \geq 0, v_1, ..., v_n \in L\}$ (Iteráció) (Reguláris művelet)\\
(Klíni-féle iteráció) (Összes lehetséges módon képezzük, + $\epsilon$)
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Műveleti azonosságok}]
$L_1 \cup (L_2 \cup L_3) = (L_1 \cup L_2) \cup L_3$\\
$L_1 \cup L_2 = L_2  \cup L_1$\\
$L \cup L = L$\\
$L \cup \emptyset = L$\\
\mbigskip
$L_1 \cdot (L_2 \cdot L_3) = (L_1 \cdot L_2) \cdot L_3$\\
$L \cdot \{{\epsilon}\} = L$\\
$\{{\epsilon}\} \cdot L = L$\\
$L \cdot \emptyset = \emptyset$\\
$\emptyset \cdot L = \emptyset$\\
\mbigskip
$L_1 \cdot (L_2 \cup L_3) = (L_1 \cdot L_2) \cup (L_1 \cdot L_3)$\\
$(L_1 \cup L_2) \cdot L_3 = (L_1 \cdot L_3) \cup (L_2 \cdot L_3)$\\
\mbigskip
Jelölések:\\
\mmedskip
$L^+ = L \cdot L^* = L^* \cdot L$\\
$L^n = L \cdot ... \cdot L$ ($n$-szer), $L^0 = \{{\epsilon}\}$\\
\mmedskip
Észrevétel:\\
\mmedskip
$L^* = \bigcup_{n \geq 0} L^n$\\
$L^+ = \bigcup_{n \geq 1} L^n$\\
\msmallskip
Tehát: $L^* = L^+ \cup \{{\epsilon}\}$
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Reguláris nyelv}]
Az $L \subseteq {\Sigma}^*$ nyelvet \textBF{reguláris nyelvnek} nevezzük, ha előáll az\\
$\emptyset$ és $\{a\}$ $(a \in {\Sigma})$\\
nyelvekből a három reguláris művelet véges sokszori alkalmazásával.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kleene tétel}]
Egy nyelv akkor, és csak akkor felismerhető, ha reguláris.
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felismerhető nyelvek komplementere}]
$L$ Felismerhető $\implies$ $\overline{L}$\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás}}\\
\mmedskip
\\
Legyen $M = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F)$ véges automata és $L = L(M)$ (M automata felismeri az L nyelvet).\\
Tekintsük a következő konstrukciót:\\
Legyen $\overline{M} = (Q, \Sigma , \delta, q_0, \overline{L})$, ahol $\overline{F} = Q - F$.\\
Ekkor  $L(\overline{M}) = \overline{L}$. (Azaz az $\overline{M}$ automata biztosan felismeri az $\overline{L}$ nyelvet.\\ 
(Triviális, mert amit $L$ nem ismer fel, azt ez biztosan, amit $\overline{L}$ felismer, azt pedig ez nem ismeri fel biztosan.

\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felismerhető nyelvek metszete}]
$L_1, L_2$ felismerhető $\implies$ $L_1 \cap L_2$\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás}}\\
\mmedskip
\\
Legyen: $L_1 = L(M_1), L_2 = L(M_2)$.\\
Legyen: $M_1 = (Q_1, \Sigma , {\delta}_1, q_1, F_1), M_2 = (Q_2, \Sigma , {\delta}_2, q_2, F_2)$.\\
Legyen: $Q = Q_1 x Q_2$ (Párokból áll, ha pl $Q_1$ 2 elemű, $Q_2$ 3 elemű, akkor $Q$ 6 elemből fog állni.)\\
Legyen: $\delta = Q x \Sigma \rightarrow Q$ (Párok lesznek).\\
Legyen: $\delta(s, a), s \in Q = \delta((s_1, s_2), a) = ({\delta}_1(s_1, a), {\delta}_2(s_2, a))$, $s_1 \in Q_1, s_2 \in Q_2, a \in \Sigma$\\
\mbigskip
Legyen: $q_0 = (q_1, q_2)$\\
Legyen: \underline{\textBF{$F_{\cap} = F_1 x F_2$}} (Az összes lehetséges módon párokat képzünk mindkét alap automata végállapot halmazaiból) $\implies$ csak akkor fog egy nyelvet felismerni, a "nagy" automata, ha mindkét "kis" automata az egyik eredeti végállapotában áll.)\\
\msmallskip
Legyen: $M_{\cap} = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F_{\cap})$\\
\mbigskip
Ekkor: \underline{$L(M_{\cap}) = L_1 \cap L_2$}\\
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felismerhető nyelvek egyesítése}]
$L_1, L_2$ felismerhető $\implies$ $L_1 \cup L_2$\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás}}\\
\mmedskip
\\
Legyen: $L_1 = L(M_1), L_2 = L(M_2)$.\\
Legyen: $M_1 = (Q_1, \Sigma , {\delta}_1, q_1, F_1), M_2 = (Q_2, \Sigma , {\delta}_2, q_2, F_2)$.\\
Legyen: $Q = Q_1 x Q_2$
Legyen: $\delta = Q x \Sigma \rightarrow Q$ (Párok lesznek).\\
Legyen: $\delta((s_1, s_2), a) = ({\delta}_1(s_1, a), {\delta}_2(s_2, a))$, $s_1 \in Q_1, s_2 \in Q_2, a \in \Sigma$\\
\mbigskip
Legyen: $q_0 = (q_1, q_2)$\\
Legyen: \underline{\textBF{$F_{\cup} = F_1 x Q_2 \cup F_2 x Q_1$}} (Az \textBF{első} "kicsi" automata összes \textBF{végállapotát} párba vesszük a \textBF{második} "kicsi" automata összes \textBF{állapotával}, unió a \textBF{második} "kicsi" automata összes végállapota az első "kicsi" automata \textBF{állapotával} $\implies$ bármelyik "kicsi" automata végállapotba kerül, az a másiknak is végállapota lesz a pár másik felén. (Mivel pároknál számít az elemek sorrendje))\\
\msmallskip
Legyen: $M_{\cup} = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F_{\cup})$\\
\mbigskip
Ekkor: \underline{$L(M_{\cup}) = L_1 \cup L_2$}\\
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Nemdeterminisztikus automata}]
\textBF{Véges nemdeterminisztikus (üres átmenetekkel ellátott) automata:}\\
\mmedskip
$M = (Q, {\Sigma}, {\delta}, q_0, F)$,\\
\mmedskip
ahol $Q, {\Sigma}, q_0, F$ ugyanazok, mint véges automatában, továbbá:\\
\mmedskip
$\delta : Q$ $x$ $({\Sigma} \cup \{{\epsilon}\}) \rightarrow p(Q)$
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={squeezed Def.: Számítási sorozat, elfogadott szó, felismert nyelv}]
Legyen $M = (Q, {\Sigma}, {\delta}, q_0, F)$ véges \underline{nemdeterminisztikus} automata, $q \in Q$ és \underline{$w \in {\Sigma}^*$}, ekkor az\\
\mmedskip
$r_0, r_1, ..., r_n (r_i \in Q, i = 1, ..., n)$\\
\mmedskip
állapotsorozat az $M$ $q$-ból induló számítási sorozata a $w$ szón, ha \underline{$w$ felírható}\\
\mmedskip
\underline{$w = w_1 ... w_n, w_i \in {\Sigma}_{\epsilon}, (i = 1, ..., n)$}\\
\mmedskip
\underline{alakban úgy, hogy:}\\
\mmedskip
$r_0 = q$ és $r_i = {\delta}(r_{i - 1}, w_i)(i = 1, ..., n)$\\
\mbigskip
\textBF{Elfogadott szó:} Azt mondjuk, hogy \textBF{$M$ elfogadja a $w$ szót}, ha létezik a $q_0$ kezdőállapotból induló számítási sorozat a $w$ szón és $r_n \in F$.\\
\mbigskip
\textBF{Felismert nyelv:} Az M által felismert nyelv: $L(M) = \{w \in {\Sigma}^* | M$ elfogadja $w$-t$\}$.\\
\mbigskip
(az aláhúzotta különböznek a determinisztikus automatáshoz képest)
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: $X \epsilon$-lezártja}]
Legyen $X \subseteq Q$. Ekkor \textBF{$X \epsilon$-lezártján} s állapotok olyan $\widehat{X}$ halmazát értjük, amelyekre létezik $X$-beli $q$ állapotból induló számítási sorozat az $\epsilon$ szón, amely $s$-ben végződik.\\
Formalizálva:\\
$\widehat{X} = \{s \in Q : {\exists}r_0,r_1,...,r_n, n \geq 0, r_0 \in X, r_n = s, r_i \in {\delta}(r_{i - 1}, {\epsilon}), i = 1, ..., n\}$.\\
{\tiny (S) Azaz ha egy számítási sorozat végéből átmenet van csak $\epsilon$-al, akkor hozzávesszük azokat is, ameddig szükséges, és az első nem $\epsilon$-os átmenet lessza vége.}\\
{\tiny (S) A definíció listában nincs benne, de az egyik bizonyításban fel van használva}
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Nemdeterminisztikus automata}]
Minden $M = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F)$ véges nemdeterminisztikus automatával felismerhető nyelv, felismerhető véges automatával.\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás}}\\
\mmedskip
\\
Tekintsük az $M' = (Q', \Sigma , {\delta}', Q_0, F')$ véges automatát ($Q_0$ halmaz!), ahol\\
$Q' = p(Q)$ ($p(Q)$ $\rightarrow$ hatványhalmaz)\\
${\delta}' : p(Q) x \Sigma \rightarrow p(Q)$ (Az állapotok is halmazok!)\\
${\delta}'(X, a) = \widehat{Y}$ (Y lezártja!), $Y = U_{q \in X} \delta(q, a)$\\
$Q_0 = \widehat{\{q_0\}}$\\
$F' = \{X \subseteq Q : X \cap F \neq \emptyset \}$.\\
Ekkor nyilvánvaló, hogy $L(M') = L(M)$.\\
Megjegyzés: Elég lenne $p(Q)$ azon elemeivel számolni, amelyek elérhetők $Q_0$-ból.

\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felismerhető nyelvek szorzata}]
$L_1, L_2$ felismerhető $\implies$ $L_1 \cdot L_2$\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás}}\\
\mmedskip
\\
Legyen: $L_1 = L(M_1), L_2 = L(M_2)$.\\
Legyen: $M_1 = (Q_1, \Sigma , {\delta}_1, q_1, F_1), M_2 = (Q_2, \Sigma , {\delta}_2, q_2, F_2)$.\\
Legyen: $Q_1 \cap Q_2 = \emptyset$\\
Legyen: $L(M_1) = L_1, L(M_2) = L_2$.\\
\mbigskip
Legyen: ${\delta}(q, a) = $
$
\begin{cases}
{\delta}_1(q, a) & q \in Q_1 - F_1\\
{\delta}_1(q, a) & q \in F_1, a \neq \epsilon ${\small(2)}$\\
{\delta}_1(q, a) \cup \{q_2\} & q \in F_1, a = \epsilon ${\small (3)}$\\
{\delta}_2(q, a) & q \in Q_2 $ {\small A 2. automata} $\\
\end{cases}
$\\
\\
{\small (2) $\rightarrow$ Végállapot}\\
{\small (3) $\rightarrow$ (Végállapot) Ha üres betű, akkor átugrunk a második automata kezdőállapotába.}\\
\\
\mbigskip
Legyen: $M_1 \cdot M_2 = (Q_1 \cup Q_2, \Sigma , \delta , q_1, F_2)$\\
\mbigskip
Ekkor: \textBF{$L(M_1 \cdot M_2) = L_1 \cdot L_2$}\\
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felismerhető nyelvek iterációja}]
$L$ felismerhető $\implies$ $L^*$ is felismerhető.\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás}}\\
\mmedskip
\\
Legyen: $M = (Q, \Sigma , {\delta}, q_0, F)$.\\
Legyen: $M^* = (Q \cup \{s_0\}, \Sigma , {\delta}_*, s_0, F \cup \{s_0\})$.\\
\mbigskip
Legyen: ${\delta}(q, a)_* = $
$
\begin{cases}
{\delta}(q, a) & q \in Q $ és $q \notin F\\
{\delta}(q, a) & q \in F$ és $a \neq \epsilon \\
{\delta}(q, a) \cup \{q0\} & q \in F$ és $a = \epsilon \\
\{q_0\} & q = s_0$ és $a = \epsilon \\
\emptyset & q = s_0$ és $a \neq \epsilon \\
\end{cases}
$\\
\mbigskip
\textBF{Ekkor: $L(M^*) = L^*$}\\
\end{tcolorbox}

\end{frame}
\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Reguláris kifejezések}]
$\Sigma$ véges, nemüres halmaz.\\
Azt mondjuk, hogy $R$ reguláris kifejezés ($\Sigma$ felett), ha:\\
\mmedskip
\begin{enumerate}
\item $R = a$  valamely $a \in \Sigma$-ra, és ekkor $R$ a $\{a\}$ nyelvet jelöli, vagy
\item $R = \emptyset$ és ekkor $R$ az $\emptyset$ nyelvet jelöli, vagy
\item $R = (R_1 + R_2)$ és ekkor $R$ az $R_1$ és $R_2$ által jelölt nyelvek egyesítését jelöli, vagy
\item $R = (R_1 \cdot R_2)$ és ekkor $R$ az $R_1$ és $R_2$ által jelölt nyelvek konkatenációját jelöli, vagy
\item $R = (R^*_1)$ és ekkor az $R$ az $R_1$ által jelölt nyelv iterációját jelöli.
\end{enumerate}
\mmedskip
ahol $R_1, R_2$ reguláris kifejezések.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Pumpáló lemma reguláris nyelvre}]
Minden $L \subseteq {\Sigma}^*$ reguláris nyelvhez létezik olyan $p$ természetes szám, amelyre L minden legalább $p$ hosszúságú $u$ szava felírható $$u = xyz$$\\
alakban úgy, hogy\\
\begin{enumerate}
\item $|y| > 0$
\item $|xy| \leq p$
\item $xy'z \in L$ minden $i \geq 0$ egészre.
\end{enumerate}
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás}}\\
\mmedskip
\\
Az L reguláris nyelvhez konstruáljuk meg az $M = (Q, {\Sigma}, {\delta}, q_0, F)$ véges automatát úgy, hogy legyen $p = |Q|$.\\
Ha $u \in L$ és $|u| \geq p \implies$ a $q_0, q_1, ...,q_n (q_i \in Q, i = 0, ..., n)$\\
számítási sorozatra az $u$ szón teljesüljön, hogy\\
\begin{enumerate}
\item $n = |u| \geq p$
\item $q_n \in F$
\item ${\exists}i, j : 0 \leq i < j \leq p$ és $q_i = q_j$
\end{enumerate}
\mbigskip
Legyen továbbá:
\begin{itemize}
\item $x$ az $u$ szó $i$ hosszú kezdőszelete
\item $y$ az $x$-et követő $j - i$ hosszú rész-szó
\item $z$ az $u$-nak az $n - j$ hosszú zárószelete 
\end{itemize}
\mbigskip
\textBF{Ekkor az $u = xyz$ felbontásra teljesülnek a lemma állításai.}
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Példa nemreguláris nyelvre}]
Az $L = \{0^n1^n : n \geq 0\} \subseteq \{0, 1\}^*$ nyelv nem reguláris.\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás}}\\
\mmedskip
\\
Legyen $p$  tetszőleges, ekkor $u$ (szó) $ = 0^p1^p$.\\
Tfh $x, y, z$ olyan szavak, amelyekre:\\
$u = xyz, |xy| \leq p, |y| > 0$.\\
\mbigskip
Ekkor $xy$ csupa 0-ból áll és $y$ tartalmaz legalább egy 0-t. $\implies$\\
$\implies$ $i \neq 1$ esetén $xy'z \notin L$, mert több 0 lessz benne, mint 1-es! $\implies$\\
$\implies$ Sosem találunk megfelelő $p$-t $\implies$ \textBF{A nyelv nem reguláris.}\\
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Környezetfüggetlen nyelvtan}]
\textBF{Környezetfüggetlen nyelvtannak} nevezzük a\\
$G = (V, {\Sigma}, R, S)$ négyest, ahol\\
\begin{itemize}
\item $V$ véges, nemüres halmaz: a változók vagy nemterminálisok abc-je
\item $\Sigma$ véges, nemüres halmaz: a terminálisok abc-je, ahol $V \cap \Sigma = \emptyset$ (Betűk)
\item $R : A \rightarrow w$ alakú átírási szabályok véges halmaza, ahol $A \in V, w \in (V \cup {\Sigma})^*$\\
(Nem terminálisokhoz hozzárendelünk terminális szimbólumokat.), (Nem biztos, hogy terminális), ($A$ helyettesíthető a $w$-vel minden esetben.), ($w$ $\rightarrow$ lehetnek végtelen hosszú szavak.)
\item $S \in V$ a kezdőszimbólum.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Deriváció, közvetlen derivált}]
Legyen $G = (V, {\Sigma}, R, S)$ környezetfüggetlen nyelvtan, $u, v \in (V \cup {\Sigma})^*$.\\
\mmedskip
\textBF{Közvetlen derivált:}\\
Azt mondjuk, hogy \textBF{$u$ közvetlen deriváltja a $v$ szó}, Jelölés: $u \Rightarrow v$,\\
ha létezik az $u = u_1Au_2$ és $v = u_1wu_2$ felbontás úgy, hogy $A  \rightarrow w \in R$.\\
\mmedskip
\textBF{$v$ szó $u$ ból való derivációja:}\\
Egy $u_0, u_1, ..., u_n (n \geq 0)$ sorozatot a \textBF{$v$ szó $u$-ból való derivációjának} nevezünk, ha:\\
$u_0 = u, u_n = v$ és\\
$u_{i - 1} \Rightarrow u_i, i = 1, ..., n$.\\
\mmedskip
\textBF{Levezethető:}\\
Azt mondjuk, hogy a \textBF{$v$ deriválható vagy levezethető $u$-ból},
\\ha létezik a $v$-nek $u$-ból való derivációja.\\
Jele: $u {\Rightarrow}^* v$.\\
\mmedskip
A \textBF{$G$ által generált nyelv}:\\
$L(G) = \{w \in {\Sigma}^* : S {\Rightarrow}^* w\}$.

\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[squeezed title={Def.: Nyelvtanok ekvivalenciája, Környezetfüggetlen nyelv}]
Két nyelvtan \textBF{ekvivalens}, ha ugyanazt a nyelvet generálják.\\
Egy nyelv \textBF{Környezetfüggetlen}, ha generálható környezetfüggetlen nyelvtannal.
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Derivációs fa}]
Legyen $G = (V, {\Sigma}, R, S)$ környezetfüggetlen nyelvtan.\\
\textBF{$G$ feletti derivációs fa} olyan véges, irányított, rendezett fa, amely csúcsai a $V \cup {\Sigma} \cup \{{\epsilon}\}$ halmaz elemeive címkézettek úgy, hogy valahányszor egy csúcs és leszármazottainak címét rendre\\
\mmedskip
$X, X_1, ..., X_n (n \geq 1)$,\\
mindannyiszor $X \rightarrow X_1...X_n \in R$.\\
\mmedskip
Továbbá minden levél címkéje az $\{{\epsilon}\} \cup {\Sigma} = {\Sigma}_g$ halmazban van, és ha egy csúcs valamely leszármazottja $\epsilon$-nal címkézett, akkor a csúcsnak egyetlen leszármazottja van.\\
\mbigskip
Ha a gyökér címkéje $X$, akkor a \textBF{derivációs fa $X$-ből indul}.\\
\mbigskip
A derivációs fa leveleinek, illetve a levelek címkéinek sorozata a \textBF{derivációs fa határa}, amely egy ${\Sigma}^*$-beli szó.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Derivációs fák}]
Egy $X \in (V \cup {\Sigma}_{\epsilon})$-ből induló derivációs fa, amelynek határa az $u \in {\Sigma}^*$ szó, ami akkor és csak akkor létezik, ha $X {\Rightarrow}^* u \in {\Sigma}^*$.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Def.: Jobb-, Baloldali deriváció}]
Azt mondjuk, hogy egy\\
\mbigskip
$u_0 \Rightarrow u_1 \Rightarrow ... \Rightarrow u_n$\\
\mbigskip
\textBF{deriváció baloldali}, ha minden $i < n$ számra $u_{i + 1}$ úgy áll elő az $u_i$ szóból, hogy az $u_i$-ben előforduló első nemterminálist írjuk át.\\
\mbigskip
\textBF{Jobboldali derivációk} hasonlóan definiálhatóak.\\
\mbigskip
Baloldali deriváció jelölése:\\
\mbigskip
$u_0 {\Rightarrow}_l ... {\Rightarrow}_l u_g$, vagy $u_0 {\Rightarrow}^*_l u_g$.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ekvivalens állítások derivációs fákra}]
Legyen $G = (V, {\Sigma}, R, S)$ környezetfüggetlen nyelvtan. Ekkor a következők ekvivalensek az $u \in {\Sigma}^*$ szóra:\\
\begin{enumerate}
\item $u \in L(G)$
\item $S {{\Rightarrow}^*}_l u$
\item Létezik olyan $S$-ből induló derivációs fa, amelynek határa $u$.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Egyértelmű nyelvtan}]
A $G = (V, {\Sigma}, R, S)$ \textBF{nyelvtant egyértelműnek} nevezzük, ha minden $u \in L(G)$ szónak pontosan egy $S$-ből induló baloldali levezetése (derivációs fája) van.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Reguláris nyelv környezetfüggetlen}]
Minden reguláris nyelv környezetfüggetlen.\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás (Konstr)}}\\
\mmedskip
Legyen $L \in {\Sigma}^*, L = L(M)$, és\\
$M = (Q, {\Sigma}, {\delta}, q_0, F)$ nemdeterminisztikus véges automata.\\
\mbigskip
Megkonstruáljuk a $G = (Q, {\Sigma}, R, q_0)$ nyelvtant, ahol,\\
$R = \{q \rightarrow aq' : q' \in {\delta}(q, a)\} \cup \{q \rightarrow \epsilon : q \in F \}$.\\
Ekkor az $u \in  L(G) \iff \exists u$ szóra $q_0$-ból $q$-ba vezető számítási sorozat.\\
(triviális, a vizsgán is lehet mondani).
\end{tcolorbox}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Jobblineáris nyelvtan, nyelv}]
A $G = (V, {\Sigma}, R, S)$ környezetfüggetlen \textBF{nyelvtan jobblineáris},\\
Ha minden osztálya:\\
\mmedskip
$A \rightarrow uB$ vagy $A \rightarrow u$ alakú, ahol $u \in {\Sigma}^*$ és $A, B \in V$\\
\mbigskip
L \textBF{nyelv jobblineáris}, ha generálhatü jobblineáris nyelvtannal.\\
\msmallskip
(Ez a legszigorúbb szabály, a reguláris nyelveket tudja generálni.)
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[squeezed title={Tétel: Környezetfüggetlen nyelvek műveleti zártsága}]
A környezetfüggetlen nyelvek zártak a reguláris műveletekre.\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás (Kontrapozíció)}}\\
\mmedskip
A módszer: adott $E$ reguláris kifejezéshez megadjuk a\\
$G_E = (V_E, {\Sigma}, R_E, S_E)$\\
nyelvtant, amely az $E$ által jelölt nyelvet generálja.\\
\mbigskip
Legyen először $E = \emptyset$:\\
Akkor $G_{\emptyset} = (\{S\}, {\Sigma}, \emptyset, S)$.\\
\mbigskip
Ha $E = a \in {\Sigma}$:\\
Akkor $G_a = (\{S\}, {\Sigma}, \{S \rightarrow a\}, S)$.\\
\mbigskip
Ha $E = (E_1 + E_2)$:\\
Akkor $G_E = (V_{E_1} \cup V_{E_2} \cup \{S\}, \Sigma, R_{E_1} \cup R_{E_2} \cup \{S \rightarrow S_{E_1}, S \rightarrow S_{E_2}\}, S)$,\\
és feltesszük, hogy $V_{E_1} \cap V_{E_2} = {\emptyset}, S \notin V_{E_1} \cup V_{E_2}$.\\
\mbigskip
Ha $E = (E_1 \cdot E_2)$:\\
Akkor $G_E = (V_{E_1} \cup V_{E_2} \cup \{S\}, \Sigma, R_{E_1} \cup R_{E_2} \cup \{S \rightarrow S_{E_1}S_{E_2}\}, S)$,\\
és feltesszük, hogy $V_{E_1} \cap V_{E_2} = {\emptyset}, S \notin V_{E_1} \cup V_{E_2}$.\\
\mbigskip
Ha $E = (E_1)^*$:\\
Akkor $G_E = (V_{E_1} \cup \{S\}, \Sigma, R_{E_1} \cup \{S \rightarrow SS_{E_1}, S \rightarrow \epsilon \}, S)$,\\
és feltesszük, hogy $S \notin V_{E_1}$.\\

\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Veremautomata, Elfgadott szó}]
\textBF{Veremautomata} egy $M = (Q, {\Sigma}, {\Gamma}, {\delta}, q_0, F)$ rendszer,\\
ahol $Q, {\Sigma}, q_0, F$ ugyanazok, mint véges automata esetén, továbbá\\
\mmedskip
$\Gamma$ : véges, nemüres halmaz, a verem ábécé.\\
$\delta : Q x {\Sigma}_g x {\Gamma}_g \rightarrow p(Q x {\Gamma}_g)$ az átmenetfüggvény.\\
\mbigskip
\textBF{Elfogadott szó:}\\
Az \textBF{$M$ veremautomata akkor fogadja el a $w \in {\Sigma}^*$ szót,} ha\\
${\exists}w_1, ..., w_m \in {\Sigma}_g, r_0, ..., r_m \in Q, s_0, ..., s_m \in {\Gamma}^*$, ahol\\
\begin{enumerate}
\item $w = w_1...w_m$\\
\item $r_0 = q_0, s_0 = \epsilon$
\item ${\forall}i < m (r_{i + 1}, b) \in {\delta}(r_i, w_{i + 1}, a)$, ahol $s_i = at$ és $s_{i + 1} = bt$\\
valamely $a, b \in {\Gamma}_g, t \in {\Gamma}^*$ esetén.
\item $r_m \in F$
\end{enumerate}
\mmedskip
Jelölés: $L(M)$ jelöli az $M$ által elfogadott $w \in {\Sigma}^*$ szavak halmazát.\\
$L(M)$-et am $M$ által felismert nyelvnek nevezzük.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Konfiguráció}]
\textBF{Konfiguráció} a $(q, {\alpha}, u) \in Q x {\Sigma}_{\epsilon} x {\Gamma}_{\epsilon}$ rendezett hármas.\\
\mmedskip
$(q, {\alpha}, u) \vdash (q', {\alpha}', u')$,\\
{\tiny (S) A $\vdash$ kb levezethetőt jelent, de nem biztos, hogy ez a szakszó rá!}
\mmedskip
ha létezik olyan $((q, a, {\gamma}), (q', {\gamma}'))$ szabály és $\mathcal{B} \in {\Gamma}^*$, hogy\\
\mmedskip
$u = au'$, $\alpha = {\gamma}{\beta}$, ${\alpha}' = {\gamma}'{\beta}$.\\
\mmedskip
$(q, {\alpha}, u) {\vdash}^* (q', {\alpha}', u')$.\\
\mmedskip
ha valamely $(r_i, {\alpha}_i, u_i), i = 0, ..., n$ konfigurációkra\\
\mmedskip
$(r_0, {\alpha}_0, u_0) = (q, {\alpha}, u)$, $(r_n, {\alpha}_n, u_n) = (q', {\alpha}', u')$, és\\
$(r_i, {\alpha}_i, u_i) \vdash (r_{i + 1}, {\alpha}_{i + 1}, u_{i + 1})$ minden $i = 0, ..., n - 1$ esetén.\\
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[squeezed title={Tétel: Környezetfüggetlen nyelv és veremautomata}]
Minden környezetfüggetlen nyelv felismerhető veremautomatával és minden veremautomatával felismerhető nyelv környezetfüggetlen.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Pumpáló lemma környezetfüggetlen nyelvre}]
Minden $L \subseteq {\Sigma}^*$ környezetfüggetlen nyelvhez létezik olyan $p > 0$ természetes szám, amelyre L minden legalább $p$ hosszúságó $w$ szava felírható $$w = uvxyz$$\\
alakban úgy, hogy\\
\begin{enumerate}
\item $|vy| > 0$
\item $|vxy| < p$
\item $uv'xy'z \in L$ minden $i \geq 0$ egészre.
\end{enumerate}

\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Példa nem környezetfüggetlen nyelvre 1}]
Az $L = \{a^nb^nc^n : n \geq 0 \} \subseteq \{a, b, c\}^*$ nyelv nem környezetfüggetlen.\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás}}\\
\mmedskip
\\
Belátjuk, hogy ${\forall}p > 0$ egészhez ${\exists}w \in L, |w| \geq p$ úgy, hogy\\
a $w$ tetszőleges olyan $w = uvxyz$ felbontására, ahol $|vy| > 0, |vxy| < p$,\\
létezik olyan i, amelyre $uv^ixy^iz \notin L$.\\
\mbigskip
Tetszőleges $p$-hez legyen $w = a^pb^pc^p$. Ekkor bárhogyan is írjuk fel a $w$-t úgy, hogy $w = uvxyz$ felbontásra $|vy| > 0, |vxy| < p$, mindíg lesz olyan betű, amely nincs benne $vy$-ban, viszont ekkor $uxz \notin L$.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Példa nem környezetfüggetlen nyelvre 2}]
Az $L = \{w\#w : w \in \{0, 1\}^* \}$ nyelv nem környezetfüggetlen.\\
\tcblower
\msmallskip
\underline{\textBF{Bizonyítás}}\\
\mmedskip
\\
Tetszőleges $p$-hez legyen $w = 0^p1^p\#0^p1^p$, és tekintsük $w$ egy tetszőleges olyan $w = uvxyz$ felbontását, ahol $|vy| > 0, |vxy| < p$.\\
\mbigskip
1. eset: Ha $\# \notin x$ $\rightarrow$ $uv^2xy^2z \notin L$.\\
\mbigskip
2. eset: Ha $\# \in x$ $\rightarrow$ Ekkor $u$-ban csak az $1, y$-ban csak $0$ szerepelhet. $\rightarrow$ Mivel $vy \neq \epsilon \Rightarrow uxz \notin L$.
\end{tcolorbox}
\end{frame}

\end{document}
