From f4ab03afb87546b107b3a713cf33a906689d016b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Wed, 3 Jan 2018 02:02:38 +0100 Subject: [PATCH] Dimat. --- Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.dvi | Bin 0 -> 414752 bytes Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex | 128 ++++++++++++++++--- 2 files changed, 111 insertions(+), 17 deletions(-) create mode 100644 Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.dvi diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.dvi b/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.dvi new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a7cdce1c4e6f46d5114c9894772a53398179dc05 GIT binary patch literal 414752 zcmeIb3wRvWmEhm<3uDJ24uOP(umyS9i`@@BtOwX@$;Oxk6k;2P86mQz?ozAVkJ40? zBuh4%P9~Fu;BMTmMG+>X#SCG>BW!lQBs*&boQ!7`$mZLS5u4p%c6TC}e8^SkG~y{h34Pkry|8$9r{`WGMK4heU0 z(vUhhq;ie^K%3Ve@cNrN{DDC00}!KuL@W364*VpuscSjkV7Pz(G4k(#AchB2PBNKjJ|u9*;O5SI={+Q!kSKGLg1;P?zAaXcM9g^>K|{Y$(bFI6g#c4Bz#(*kSx7acIjynjvxcqOa$B zv)#zS`Zv&QTwvKAtE<_IoubNqLQo^Qsxv@mLdYz%xw>FvJ{PSt;W5ig85KZ zy~0p75DG)RFxH?I?&V}*P~cTA#>){d&;pG{GYCcnUREU~&bDiEl z2Li`97_fsp3|KM<*{`2#+TrJTImiX0;$T4(GHQi*=xBcI8zH0l5Wlx=0n_0?emW>B z6x@BWV>f9a)@FBM$v*B*fy7y3%-3tS?{md^2TxjW%k` zw~-%Oo^%D|7!>6oEdu#43In21Z~T1Ina4uE2ptdIkWU_ZVf9@`4pq#OX3H!gHOUpp zXbm=w;S!mFw6q~oTQY6PBqLQ}&81g^HRUL0xtX?L$(xS~q*;ut*<`Og>-^oLIl*Au zT{`chiYg4|dW0sUH-uGCu$qpVZy3$pFiPi?ktJ;+azm}94{Ipv-vE;=tUwjZoZKkT zdz4imKQ4n&NfGFjpC_6YB7~Sww1}ogT{abr$6S&0zOo&5dTF7ydiSt678%!EnT&(U zwI+5gr$2Xt$8xidl&atI9U9@7-VlY+V8$LJ)3zW~kVw!m{ZHYQW4!SkmyKs56}^64 zw6L(a5QZl``Bo`%gEF6{k_$Vz12?+^N zmFIl=pOFDUCd)H;RMLQZxnur&Ik8`eDp2_$HJ2E8e$8s~k_pb(x3+BkeQ6b2YVM9h* zxyWRU8gcV8%V(FYc_qkF*M~G&en_zV*gGr^Du<*y_U=2@+URX;rR#!18A6w5K8SHh zqOpyLWD#MC2!9D zJ=DK@K!P_3@?n^Kh!26tC!Oru@9l!Ac|ZuNJ>+UM3JWOu7uF;2cSzR156Ppw?1qEf zu>w(ME&_R?kxqhy%+d|yZ@v$ROwYxm<;u-#b5dkwV&@; zwI*rOP*Y>*Rn`knuIKWl9c9huK#8``-Dxf{XKvD5tDCD(O`&sH%`as3+Cd(MB&qVw z=9U(3V{@~=ZBX52`kcyM7*skA?#(?bp`T?bGz5=M`oy5mCnIFbUQtm&j0^Hs1zz}I z{*V@Bzr!RWDZa(aF6P>teb~|jyC7SIKQLq@ll=btRzz-nLSF-Yd!!**6l8dI#6$fO zJgEb)!$H;-^b2`9kwEB7_+Q^QAh{1nBRK&}rYL>3=|ZUBGps*AkR~(V`OmK>(=*#& z&R%J0iT&P#B!*4+0UCabC4P_ZuqcdhJ-)ks@Ao;F?Y+LeurA@Ybo0Yvm?w*-z*g9Y zh=UNk>EIzUr}Z~x+bl|Fy|==w2l=qzEtYF4^|gk7`|Ep>PhI%jxN6*#mkN8qHN`^ft8zpbAairnc6mCa%rfxTD?QPIgJ#Tm1pDI;Srbu>9ie()`bQ znoZ_3Sw%0ZSy=rni7Z}oki9jZUixNp>8&lY!`t54)ZPp&;@4ZF)!PO=(gq#U41WWx z*I96rw-JJK-5Usy?}0{WVf%2{fn!4<0F@;vnu6NAJ4gt-+1TSXLRmu_11vxX9BeKY z3lEUQV2H8!tZ0^S^8RAq-K5P%^)_oUw;9XO(phW*u)n1z!s7Ng?Ekg5w(cNZHUgs> z>J6ismD6ZO=o<)zzG2};0o#q}tlTU*YhM;_L}#f(YHTp%QYK-RRLMZHrbxn!XvJGU zE9y2(3Y!!k#~T`1L@7m#NrzddKPSrZYnF2pr*1GmnLM2 zUupDB!K$X9Z&<}FeUp=KEZiv70tFC@&g#ahOuw6&!bqJJ#$09iOhve<&MZ|^|KvKu z)IlYiX7yK%rYTr06*LWdTC=C8wea(^^21`Qtwnz%!QDG{_yar0GNRqTqdh09S$LB- z(Bg030dH>JKx1<|43`~kI~p6gc5m~J<{eGB@9_FhmCanRlZeZcZ#-`RbvTr50SA(l`sz?x(JU6rNHVi-+m^h|)M z>4W@WP70Vh6(&+!fG(H(9GxWo9k6t2&wXa2ij|nfffj)=)5x{Zzxm}78_Vo3yRXsP zPR3ZS2rONe4*SmjvisPgty*#Ur51P zX{~c#So*9OxeKhkxinZsncQICb9c6q7RoP=a*OX=N_0k=UQTj%wv*LvBdA&n>z+%& zQh6u=EUL*XQ^5+g_!P}Xjrm#d<`Dp;ujQG=-j7(Tu%?BW?2-`#nb8+9yVsomXyjJ# zrf^ZYvCJ*SZK03W{6oMf8;i~UR#4bGO0= z{oY(Axw^6&p}0ksTG_Z!*McQ!uCCT9(h{(Rj8O*?#)9(QT`a$hkze7;5t6WN(tMRz z4yH`EvoIr9n}X!-w?r+`AgA;KHWn;Ai#7-}KJ*)OT&^%i0m&V?+{qU7SX@?`vOP!^fDanwDOly?%99(AB%i!~**cb3gOFH8 zqp=_m^DR5t+Bx=@g_Ef4Gi$c()<~vS*Hg&_klS;&v2=3x=RdGZB!2E@b|cF!cY(#u z-OmEd+2t26Iele+kc|04HEiypLNAg@WK~_-?x+3C=n%_et;nn*Jw*yfiDmqG&PyHgQ9IYh}!g@$qgrWn{Ks=cuL|H(av zZ@KBy1quM4H9hXw9$w|6QW!ShZFbsiloGne;6s*#;Du}lC?h(l#^Pqn#bO$Zy;5-d zL4w8=(^sVCC3FYX8iBHAONeNAx$C*Sw#au#Q~?OtvekERsP72qH_696pjHKFgWGZ& zPmtLW5s<(xfsa8F!6>gNTYa5F>Hvwb)px5fIszJ81wPZ}yQO>ICkvWyzJ|bV_q(E4 zMD_5iS3VE>^w~8~OD?++{_W_YKuB-)Qu2jN6e+ubex%St_A>gJK6|NxBD+}+Fuf`z z%{M^e=G)Dmx6?a&*rXt1oqgWk((Y|(^ux2bmkUbqAdr~(0x9~(9?)3zCg&F@uhd8; zGe0}GG5bN2QUwrF@|ZV%TQi&gq$imUUH9d=_a1%w&!;>enB7l**9$>KX>4w5dk*?` zEFve)tLaPr{TsIft`h_ORwVt-J)L|iv+3c}$y1)kzI5%}<=^z|+wFOGe?R@Dw+BE6 z`TSvVOaYA;+%H6h2+?K~X=ORPi8cr0LM&h5zQXJ5JJT&%F6Ub-XlgBze=4)a<0-0b zvKdUtQw`UAUA4K8{qVeo-9Z*l^q;miqPWUjNO%@7xHw}hnUf)_yd3yjZnWjA-Dqu) z`GsvGN&@;%dvn1c%?06{>j+V>mK6s=~SH(3+8 z=y{%oMzNWil@0#2*1-<}B?rPdxuag^x(i3V!I9XF_-Z>9YiS_LAT9L=luM+SZ}%%p zC%tx91y427tHqkg#Y-<}lxhch8l~6#MUSH+e#xa*V%{>W2CL5I9mSU=)sEeT3F#%T zCS85)o4tAIq&dO1|!;$sP6jx|iN)tu6$Vt}eO59S_^#>#kkG z!D`*ptah+MEvg=@msoob0!sGYIJx7#c`L%j-I(j*gOQqU%PoBWmEQ5in$~+CoEEBS ztrxZ)exRn6y;<5P$s@d6S&iY;i04Z%%=1f0)5rNoN(wHfQYRh&!!@hQ8Lu&}|4Ter z=HS6HV>8;}gJs2XWe3Y97x7>j9tb1n-b^#n^pPqsZ4QJ@(gR^ReKtKy=RTb_@M3Mv zpm4lMo%S1df33VuTl~d;du~4;jqzhrWE;_49}uF6*`S!1LoIX}!~wO?U@HL*pz5rI zSr@bR5);745<->{Z8+&6g6~MYXT* zSj#2SLYI?XsD&n|sYQCB7P^k57iyuM5z_A17)LF%jr>9_G|DgY>+`}^UrRo*SCaff zEi`JOOY1SI-g?RBB;D#jEi`JOi8abp`BOlsg>-%tW2FvVey=>w`DQT3D-cMK~MdfM>+{8i6i1UVQ>=yD(PCB$SI?tz2e(} zrJLt&Jtqu}QtdvAn@_6LV6HE0_skIuZ3(SjwVjH!Tp|r^a~bJ%{gJ+>B39}+G?ib6U;azS<=5h$6NXyYOq+@bReI{TV6Owu2@{{EIfFtj($Gfle{%^3 zt94Ja+H=BCi>e1JYG_eITVQ%JZ}!V==Y$h5%=2>9^f6`nZ2CwJAr{yD*eF1frkhP4 z^}~$CPcxEJjFT5;kdvgSWR52hJ;};D449g7Dm_2#xi5p=4kmkXD$ar zw#m%fyHAunSh)VInw)#ztJAM;@VpDu(&SgSbPK*C&K{yRZadOz+aA0f&ZP_S@zuYK zhQQirSR0_{5P7I?X4ReMlbxAOeIJ2*=N|pvHm#O<7hIfs&xZ4vpLjORHPK%^JAZr2 zRJRxpD&wmsV^VbVd(E7Nf<`^fG|?-I(B|Md02jY@tPK&;t9( zD>2m!&wevgDl3mZxy4grfw6$qo@CDQUGj<4(4rI z*EVgBrV6S812-y!1tmA|z3Dao{pUADA`{Yt+yQw3PBq`%ypH}PZLTEKm%Men6b}^e znkb-D`aRK?%->V#D}H{&7_~jx4P;oK*$Klq_4s=TFH}{IQ;iGAQlDmLb{cbK^{06< z_d3%sxu>?=3MiTsiw&vZBz{;_6SKiWlTDG`)7jUB9yjy0i}g9v2N2#a!W{v4MIsIRft1rs&BKF zib?^QPrsMQ%Qg4CI+c^++sMc#GCrvAk-TuH!2>*#luXXD0g%cx-1~`w0a_cGQBSG5 zf<*&2w3YnacMY;=4zg&5;>uwbtyr$eq9KchESe&y;OYfgG&8zhfoa9@bpX59E4hIz znu}Pp5}wTIK_g_*Y_y@vlto(^lvW9TX&JF-E2Ea>q!+SiHqr}OG-NrD<){mm16ed1 z`GqVR$}f~(bs@iyMMD-1Sv0U&-_+jLLLOx!Tr#U$_EPv^fiphCg#a2(lHwew1P%`M zsiT8}uN!QsgnZq;o24#37}>RpUEqATiSYDOr|> zd@9&~rFVQ0jNu&ID+bv)ti{E%_JIYNn$~(@2k6jnl5tQR7#H|C)sQ;;Y=P>1vfI%bTFl?#vEorA}wZ*T}6%g-beJO+VF3Xk2b<=`$aA9D~N zGjvT3<735gMSKkLF~r9ZAM>`gEqwdJIee@J7y{yBF2cuJ(Ue&S7Z*kb;kX=^)$Lsy zt4dC{cWtAxNCLitq}@(b}X#K#aHLwwBN+a<{%LGF}c%li&q4G#GBfOjvM>j`jv z&fn|n45}jHV`gj)@v)+qAkbSLcbhVM>D8~+$mU9(a$JDlJ+tvAYQ~H}Jj7ZJ19?KC zGN#I6-w?ArMEvcU(Xx&M#L(IFH;NlNt4}LXI>7QsDeFgOfTf4>E)zP)VpvKdrkgrT zw4}z5Y1Gyhn0JzSEuJ_(HY{vSWvVwhwGfL_gwLVXqwGyd<4%OnA<-v@O{yHrL#t=h zK$|~Kz*3zth-4vOw^iT$k!kdxi@i{}&*T#6V5q!)52HhNv; zQc$mpdfmFv>mrw8BfpSKLHUL9t1jdhaw*8AAeVw%3UVn6=5dfqsbenXwgqq_``W81V&ZTcQ<>aKYn_jG4^+Fjd$ zTNsw&ycz)?X3`iq-;z{S0|#aKatL`xd*68U12dh;%x}gXn!Eb>TVL4dSq}3A9(?}3joq#)ev5|0p3k;36O-@MTirlC0LNgnuE zGCBE<@{PZ-@l=<2SKmjHcCPXC;pirZc)Fc7Qikxd%LA6li|lVA!cz=X+BN^Jh0d@0p9JcP+ixbtQ>=Pc~H6egDqs_flh2 zx#p|B$##@?zDLF>abim7yRJv5NhzDA%atX)cIU^aXVc__QR3=L*Sdhx5hs5YmX1^; zU%CuZb5=8WuAt_~At4&@ih zuey+5NX;QNhtwQWb4bl0HCNhX*FH%e;pNKQAG+U~(<6s}T61b{A=aGs3RlMyuLs4% zTt|9s+k^Z0XpA3A1HdGK6{o~(bhKZH_MJRV=D0gn0PiSgat)oNS&(9U4P4|KRV&rFxNzX*9$@AXu#jz@>7=oLr=9!V`D>+ zN7k(E-ogSkDI)U|eJAgnhH@Plifof2O~uW zJsoz*Q=Tth|NEI=|K!~L9?u}>S-0uY%sTJR#3|}409oJ^HAcvDnzNwyva0jPCqjugQ%D# z0+kuYVotRdF06=<10CJ7!YGV3VxBJqeS#E zi7LfG?#WQJm;g>)RSibblzC`R>B)zV@ZR*A z|Nisag>b(F*~%dhio-k=reKhcWv#`)OR*5QPmQM;6)%knK;3`@PoBvbSQAub!Ha`F zUMtAiZqPsNFD+#cy_7uLC619^G1-kI<0F}wd$hPMM_%ET5Ff(cgx+)of(ZK#75p?@ z^PdnwbPz!_^py@Hh{bY61krf}v4kJ_$qT=F~?x*PrwTnwvAu*d3#I1 z+uG!BY2$jipcD`Cs>#`zqWeAT5kUGS=NBmdB!Q>M8+U)LY=UBVH@0M z2{67d(7_uNAhX8fNv2=+zG$s?CM$hv&TqnbjRILXw#a3C{wC2xp84 zb24PSz)O~%Rk<;f_iNW^X)l|?wl%}(q5rfu7Ywglrv$8td-!$zpJh^aK6h^on-(A1=`*3{daBtD==!;iQ-&A4VgM3)SD2N5-{Cn`bdrGZ*nH)&~0Y?{z*!YjTVSh|VsRxK?wO4Tny zE>?5YV6wY#XNfJz_ItZHUuSnWHyG-V@p6Q0lvUfSSj`+v;26&qaFL=>2axzT1(9 z3atB@)#_=X7S*nh(x|7^cjw5_nUeCAo~`-fJYCRY>ZegpTT)M(fMIU0r!5k!t73}i ze{7T>$>QliQl}bHho3dYNTntl&h0v`pKzSK@O12w!UK+rW(_4@=W2~Tgh!Rc`7p61 z!t6VU@nJz8)A|$VqhQT}7gfS6LKY~dcW`}{4kyv;ryf6LE`(FbGc4N9_98)5)Kr+$Y*Fm<@ zSYl4ot0v^q_dV&Lr z(`JNZrs0KW=eBYOuKaG!q2aq@ygCpOxkfBD_1K0c~R(GVXMjT^uH zcP}4Fr7z(wpBg-U`)7oZ7}kzRFx>S>WYp(Iyk5eo?R^tM+^gFuxhWC>(@&BnlR6j$ zp;>v~GMp%q!s&Ue{_GP|+q40&3nj!m!1PEy`uN(9ev*Ep5g%FirQ7G-ObQ6|EM1U| zUUhoYgz1hKo`oW4x_PQCq<^AhiVg^4+Vr*B6c1A4x8d+GSeqIp)uV=|sP&e_cdp$E z<%$WiYORjma`T$3NK1JkmHj+P15CBd@afeb|LAn%Bda(3DYW34e>^nBq{IwQd(PB1 z#^i^L$R$(XoHX@KE)vgLpEiprG1B@IrX)zylS1V)q)pD}GofuxiqJ`J~JV(X1vQZB}`x?8y(^duD6Cz~g$H86j6djpdRb zOVmEjmQF<(lc06Lgp`_ieVDX_IuzxPgrvBVm<^K-)yDwo4r3UIAwd(B3PyvM*iZq# zZeOd7=&7ev%N(hv%t-B)Dh8_tglq*r4Z=^6RdbS6Gjv+>ps`|abvEJjb zkyS%h4V}56MUm>AxjAwQqZVKX!fI}U)f$VR!$w#whsOp@_Nr2;wDYi9-OhG5VqC_e zY`N2FE2Ns`BpA|aHna!QYDjw^?NL%2=@!}pX*C=9g|r&VFO*+(A-|ATLt3p2_v0R` zB1o$tt%kH(fhpts>9YrFiss!cEiadD&ma75jg;qkTJ7=6siT!QfBK%1Ch|9I{m10l z+k{w*r=E!tFDhfQ0CWlX0}>*{t6O+9@f|twod|L1Cd4UFaHrn{;$`~#J_e}J=|}&@ z4i&oa!u>YEkAc43CODbCnH!)JWjekqbgsFhInGVELbh6Q4&0$Vmps&=fe$02Rv?86aeUkO4vl$n6YJ4fM#! z0J(_)YC;C6gIl0wx@F4%)nK-}kpU_}jo6^y^=k4xutKU?PJ$r=WTQhz1_*WNs6(#{ z9Xc{VHu4J@Ae3Jyzv@DMAp?XA5HdjEHK3`zt%W?wMz~~wr*pJeMIB=MI)kbx#W_$6 z7_P8=-F!?4f#>X-r7k`g*|m#Z(0ydX6L9fNPN%^@m06vdBmpJmE4>3PR+aT@Ub*|I z<;4IU`_RT3spRJ|KyU9pQHrX`tUs%o8K7<;W^{yr*{hO;Fc>8vCaNgz01(iVs|q2Y z5B}ykfPj9!W{(ZlquUEQKyVv_v*{!DVB#9D#fGA)I2aWpr~hn{8bHxviSG;puA^#T z9cBV71nG=QP~jsiM5Coi%udLn0tR__?SO8WYAkVH9#Zsz#{_^g6fYFCMr~Y2*h6hv zz+!g_h_1}rRT!Om!X#8DJ^$l{2b0Okceb|vL9t=<(||X<_U?fLfE|tL;MLTj{sA(y z3`0db&g>+1fTsLlu}q5#F)eR0%EZP{qh~-15!{KI<_V@f=bti+3>l#mg5raZz=d-= z$5+MwVcJ7&3IzdFA{kC?x!wvx5pz8x)m4A_l{43;;T8at2sKeN@Kou>Rc6QzS% zBq;`KY1eBZFfgUcqHgZUoDwCfDEU;F8bzf5oHFM*!=h*eRwFrVxm6T^fFq37HjT}u zyzQ%~Fd%>}t^pn@00lOsHtm@TvWCo=0sAet_p}vgF zbbM^ee`afX-P7+g3PvC_3hL?QBv+>TNJ=}kpf{Dd3h=w1HkyXfV@dNEg7Vo8nQcII z4J2k&W)Ukl(CAoV=JcST;{>6Ds}oaxG6Y~e5bICS=}<0JP?a%g3IP~0$_WO?SO3$e z4C`74(ge8ME(;xL;1prh=vJd>RgIw;Oha^igd3wuADU;bhkib@Wy%kR#K3Zvj?F=S zBoe*D7|iL_ca7^KlMep3K0M{yvR5B*eM71^OvSrCiVJQe2ClY1qvvnevmkYtx(NWw zxEhn5MZU~4VAW~9+iAJtK8Q*3&r7hW+M5d$_c;@xt=2^H8oFwoP9fli@(blxUC1v4 z+z@apg9@RMs}8b851>m%1l&dkg&f$2E*b0CCF74?f2l^w^ZfF;N|%g>((kMl1erM0 z8WR8%BX+KU%b1Nx5rT}F(%SyZh?@9k8B7=P@d;ufiZU+e)d@zrP4I<2z_v|9G$|GvQYjF(ZNk9aG{D^q zw{-;2BPOjV*kj8?P=bUKC$}@g4jjehT#T9U2^up%*c8g_fHyKg@#HaHr9L4e69Dk& z&h+HOT$IsCz={wHP+&SM@fH+b;0gI5^CXq&wwc%?t8ct_x{ zpjxfX!~jvDp4wvRRg-@KAv&}|_?T4ctFeb`G-m1u*mDKO@$Sknj{gxxjKfKc!`SR~ z8sjLIEn*yqaUjNl7>C<2jvA-}5#w+Z#?gWp2VxuyAY|2YV*sO6 z`)o}k#(@|I+9~q)&RgbIZo&rb6b%YBu+Frw-5K;%MgV4M5cKWj=Tt-L@Utf7A(fhJ zIJfI~GMRqa`{Lw<*?)Lcj&8EL>I@wD4;$LJLkp3&z%_)6hb(Y!O;O zXaS)GgcjTmE!052htPtXpoJ2e0lH;=#kT{Q3kgql4QOMy!X;+zY@t+e|#yqvba+tF%3_@1bW#gs75u_7Q*= z2EZi4tR{n%1!aQQ#3kkaWmWhJ# zWVy>QZlXIIVlIX{w7HMo_nj+W@NAfC@@xRSV_i(?iv|2Y-aQjfQ!^vlkGnN6FftQA znqIT<8`D>4Go$GS-&yJ~r*n)SBO`xQ(`NzoFC=L);5_OPo?HPFCNp68WW%4H*{MzU zlSCRC)=eKVB|aUdPHuD}D9%TSk&~Mu#E1(dM3NW=|2a}z)$%TY#?os%9>dCsGBns( zIJL&ot3x+Ud#G<9TIO>%PRzh94^0!tNF>Gih4rQ{`B{?9PAI^P7z3|qV7O+@*cYbT z_0pc{pcYr+M<0Q9IJZlKG-*b}@XE~5^d(mwVhNJGPl`G zJb5zk)68$zJwJElw6Y`ZSr1)He%A(LiqiJ|>r?3scfC2?I02nIeXTZi2go9Uk4qYV z6fmq9e=Qlr4WBt%n`u{1sk*{g%zG;0u2x<38gf@oa#x0S#%b=VShmPrA$Nt`RdqCm z)iP#PG=}vMk!cB7C5=(7%09hdcgo}Bj=Dt@kh^jdchy?_L^g6)#k79QmAhIYKvD@( zr&=NILT;fHkhGktSx$l>cZJ*)8jG=6BqO&_7u*6Gi?NYk$Xy|Kh4QN|PeaFT5>c0iqG8;WI%Yy+|l$TlF`;C7obHBbX0+u$a)p$*vvbcDkk zEYx7OyHV+1LL0t9l>W=9n&l)IvJE!6L9{7@xrf(yty${(!$4vfBH)Dtl!$<#mFqKSS)|Mup@Ar7de&$*Gw||_u^uqs2o^1rCAbr)U4Db)sXAU0} zrFddCDk=mvX!zou1>p`;-C{hb5ai*@-AQ6kgqRMw+mENW5+f}$F=i%(ZoS5EfvI;W} zR$=ri59$V=B!${@nbD2LXmIVud(Z47wTILqY0vqm&fSnE?HWn1{-;k(H-b$a)|gPL z+6>ovO4Su0(t9fdk^W69f=Et+NQSz?X%MMcwg@62h=d>#f=F%$k!ql`M-a(PAW}Pm zNC+Y^5UB>U-Hjkp33O$J5IW1Ln&l)If=D)sd<2nDk&lY}x=`dJh-4$b5JW=xh4QN| zND;d{s(ILRFtyOU0H2gR~Q?!bBOpoAO5 z$qT=F<@3Zm(#zf#vunVcAy@dw$XWT9vKy$cL+TkZdl~)g=RkiRCKN$-vmW4WYHw>H zyCoxB(tJa*;G6kMc00YZC*bwN3RVAQpSQO(djrjZKoi%?1*Le9S2^9qBFRB9d0R}* zFHrsw1y7DQ?*3XyPImL3^dwJt9{9nj=MIh~W`Ris?}|}DC8%AI=8&_x>qo=$BWL*v z_Z41e-{Zo_Ag>NsZgb=BrV87tSsNLJ=T!n1%;z!{xx z-UlH=LJs!@rKlvA9Txd&qu(0m{MOV!`-n(|i;#*&e;K6W{gbh!o9WFK$!H^%+M3}} zK>ulPE_hbto<>d9MDpUkN=ciBMyXaQon8w*r%WY)lNO%R8&2co4rjbn)nK-}5veGl zgs-++v6?}Z>l4Ca98^6AIPepa(wrHzWhIzz_bW>$!FE`M&xiHZ&ft(Tz`@#w39ph8 zti_s$Nq!iY7PwYSL!(qX)T@+WpM?eB!M$Q`nDqDz>&@O4j{e{4+t2yBeO;0q5@fCi zmiL^^E^L7(dEZ{}GR|%3=7$*+R{UvJZFLtmvsXqf9eElxuMA6LrK(9i2kx7_dFkX= zn^p8wBfna$iCnz=f<~!!LZke$X*u@DM)|d9&!SQj+olH&l0{R}<_*WZW3sS^(UOa4 zD!=ae+_xN;U;6$d?ED3+{)wx7<%3#O+i7V;DoVfMrZ+nEhFfY*(!n}>-L*?NSgkvo z)ecsuMb(4#66^j11e8R##>pM`&0F19vY4;bf6L8M7axpNWb>oydN0^}IQ2LF#hTU| z{nnK9Tk|Ct=J}EnDQR>4KX3&;B^Q$l~O4VBOiDxukaj>AgmqS>Mn+Ib~3(Jz9Y z`Lz>Q+2|%yBz&^r2fL1&Cv~ydHVK$+GkqiqT$=5vhNph`kj-r=dSQOX#p2r}G1)Nn z{PAS^cb`aSubHANhV~e?9nM)I%qd& zXR}&OE!3jg6;c{CwfgoPQN)&%uc)c*sfewuTpho>yl}Yw@VlgpsRO*4m{St7VND&1 z@<&2aoP6O$?WS7}5q}xv_}{8K{U+^529LtSd4yg=M-(=WUz(1BmN_s-DFi1e1Y@t#X$qlOwn!l$g@7jb@w~Xp zP4L%3VTTlgn<#`vq!7>qzj4~K7PH-r>iH6S>uNV|u$oIoA(WF~NFms0@sL75Egov| zO71edMT>_Nf{pw_3IXL8%CEYRUq~S!g-}MH>z?!CNFgAFfD}T3VXyqDf(L4PIR0j7 zc~J;2-}>=F1HxB8^L21xYDGCd6pe<2VKFF}^w)*abtA$yYHpL(`SHsiJ`D##-`;(q zq>bbCXVv7{L)656M|y4BgLlY@*JH#Af8xBNiLxw&hJs?B7!?%_jPS=y2!biE%qE%_ zTH@EcaXx-f*nNxD+nLn`20R`k-Tkz`bax+mDcL2CN%7Id>uO?F0bBu5l8%lZIAzvb z*hxj_m@80{D=R}u{%#MVBu=6v#)h-gC`qww5hX#C1W^)1N!*T-)IjTsD2ba;k|sn+ z5G7$KNeyPZ8ySld@WFCINmfWT%SkXqNo-WHh?1Zx7FDrzp^8P6#72H0N`mqWI=xhF5U*r3Jj{6o)-$b2YqKB7qqVM>T`3xE!^-{0PM z^5A_!9IA*ENu7}g@2`kFSiLTVX10)X^c~FDd?nd&Ugs$3|S9nLf(KfD-YL=5=NFLZ|?vOk{%^hm)>OymeEYH+|;xtE15J{Z}xiy;X$(7{v3 z7?&EJs6n}$L{}PIp8!q+V4ZP*I2lc8StJh@LLSty5ewuGsNeTL3Ik6-wq?+X<7_uZbx>#gMP#253*t*cgB1>W; zzmO$C`GxYUF60-oB*>B=OM)y3vLp*;X!eQmP)!M%h3(EDOR`K@l1^f{LK#cU#)N1r zaXu=j8Xx5cRq8TD01FmRuDa82wqmhy?-6jsfxb}c(HF`S*pYQ+j^wJ!5RzLCAwuFL zLSk$*JB^SO%N7w5L`V=JL4?HZ2uTgpkcg1D2_e~m2nix23?Zq(Y+u+Wg)??KNH>T%OYvl9<@Kf^IiL0`k4a+k_$^aLp zni!j)r0HhUM@WYJoN7oNezqXEz!8dz&5_(R6p0EV_(4&|(g2g>(GgQ^GMgSgjo3(U zc2hlKBN;@1I(oo{Qg5NHlA?X-3gaUmtc)Cqd>P3RC&>|Gf7xkrq*%5{jvzULdtmHPI?Wyw%NE%KWDk%%K=#1x>_H9mSI8c? zi9KjT_5j%f#vasQw!4u%D50%hPVB)7sb)C|hU|fj?he@l)ZL-(t}b+U$R60pFJuo; zexdxT3;BiY0kQ|k9w2*w>;bX|D~UaDvDJ!C#^Pe%klADf&<19t0WDU9#W-55h=zn= zF(_m&C6+rDLSobiy4gs}(I?Q(SuB*t6&5S5u8bOa_I9L3oTNsKy=AAVkz&~*HGxSblQf#wmZ5jRmI?MRIvHNvQo8q9V#QX?fegXKhxtdMG!lVC`V*l1mm8bPfq zYF+C>>x$Hfjr>At1mzdXuey+5NR1#hg4767BS?)PHGcOyJf0ykJr@W{%jW?2b_@Q97_72y$7zM}HAE|jkbkJ!jB zghx<*q5P@~`GxQZ!XpTeAUuNb2*M)>kJJVp@tiEp7Q8c9;O=D0t)jAZeDyD*IetV_ zsWTJ`9lZ0B30=r+c=(4vFEq4{WH*}}s)TjrRjQtBOVm?Y5g=I#n=h^aNUo_2Ao&vV0=6y`un3UY$S(v)P=2BO zstfsr00{yl2#_E^f&d8uBnXhy1|ZpeqBKBqRxJQXIte@y5~Y4Vu8NT%MH9lK#1u(9 zDyUja2uslrn6TghCwX$!oqjV;vT^Sb#7XMZnavZ}k?~M(Ax5-`c){VqvY@DvYzX zVnz-&J$xG3krM2PE06=OGUTB3c0>-GL=KFNNvDy6V%Z{cfXD$N2Z$WF9XY6h+6s{a zHz5a2h#Vktz>tF)%yu^-2PKr$%LzGHA=NA=!4NsHQQ0AKfGRsw+0}*04v_;J`Gv>< z$}f~(bs@hHIY8t9kpn~y5II2P0Fi^mHD6IBa&T}gF&h)2vBY_>S3%K({={#?;o-#j zI5lGtp?*-%a77Oow5=<92iH~xAAA~pXJnj&4~#8Jr{RNQ*&=*^@BzXH2p_l|KB$2L z3*iGd!3WIb~nNYCDhf+2|idM)hs8$5I(R`-XVN|$~#ov)rIm7;R74_ zh42B&FO*+(A-@nlK==UR1B4F{K0x?jCBX+T-}>>I+dFu?I(r9KQ&R^+QB@p_iV?7Q zz^mf0sG`3NF=+OmP}qG%-7FMFTP&*a4nVsfGie-!Z2=XJyk03wdc7CJ=I!NS4+{BNx zAU}fq2;)a;Fx%b8kCY$|mJ>g+LaJF#f+0U*qklzy1of||f2|AsEAk^Y@(cM9lwT;n z>Oy`YKZ5)S@*~KPAU}fq2=XI~YrKN-Bc79`!Gd=NlV=Yl&Z|PSBfYlm!K=5#w-SUT zA}Yj;g%mZ&k<6-hUNSKYnGFyB5WQuT@Rs3bawM|~jgQow@sW>I29KP+7vT{n;Spnt z*=cyBShfg{I1i7cQl}bHho3b)9aE{vhI6})CzF#Ge)Y=dlgVWIW$%mGHQ*GBD|{|o zO8sOFhWn-L2KteD%*tLyKl?d=Ai@L%$!^vIyiM(GEo94UgiD%lNEUoEU&(H#clHFl zet6B$f7$2lEzRCQb0E;f^>RTe9^_Rnn=6o_f23kEIln-c2BoMZ6KyrD0^Yd$YbDnh zoByOIdCK$oPak^j*70}l>6Bu9Vw_hcO%@{>4ck3!KsQ=48mgfW-Bz$_k2U1RFVXg-1izMcO;-e5AGF%D%U53#W>gF+e624kGF-R|M&X#bG~k0 zmn4S-nd^Z`!`Zx`9vtdZM+XJYcbgcG`1ZmO<+gP5!%SaZ0}U(EF>az`c9fxG-ai>z zx|!Z=ouu={Qu&$QWKHCvXL=eMrRv$f);ilEp!94fchv1{cOxBBf~TmqTd|tC2ho1- z0S=Bdq%?;HZ8-_%+x^PYNw6JO;ZuzSYq2JB@e&LgrP`sMu1bb6qx@R5 zcjrz>bj%W?Uo??S>3W5Bx4Q|0DP8fsB(r=^jODgB0< z-ssdDZmBs*AGX8SUAu&X)w;7;?O=skR6STPvF=YmKsr1R`-=`J{mig0lGEm z>kO)*6z4$mVQfnJy7`z8f<4Ter7k`g*|m#Z(040=5AEW7o!#BsV5mRF%Ml_$tFHHg zcVX$i?H6lW?|ouCRMT27?0ND)O)Gn|v`>;pc)79~gSN`^B^c)UrKIWOd{tJ##Z>CV z1E7ZfXl1JC@18+bw3Di6jCQ~GQvf&52j+-ZS zvDh{Vm~JzDB>GdD?Wu;Re)y2hZJ-{93-dEB7T+d`$%d)tk0;Z=`$Rf>%{&Ebpapc6 z^q-c-7IVQemnJ;PQ|}yq^eZ+=mU&?yHFA7GlT)%<*E2SSEw8_^uHem0V{9xeP*d*Q z8o@zLZ4HzfsHt_6rna?=ruK?&2bON8yH!&QjZ*b&uTIb5$liEU4QBho-UXbg=E_h3 zG_8%yl|+0A3LV_+k{(2fDhFO**;H7E{|a%JTg z+A%;)ZE0Pfi!`;-``>hYyCaVkSa&w7)zm^Qs$C(aQB$jL&y_tdgPPi&ip~O6u8v=* zrZxe?++I^#Bv@C*6wv_Ls6mp&(}ARl9&98B8YeHjI(vIev)8;X69&?l}C%Dq|4-<|bqioMaG; zol2(}gksqugMbVI`clBt;%@h)Py;;{G6-&B5ZaJIKwk>XHbf0(y9>2GO(nF})o$Hj zHJ9wPcsU7%41$dg4;cj1;h_$%E_8UvAlS$+WDrn(q5P@~`GpJuG6={Zz)7$oHc}01 zmc+CHG6;BD987oSPRZkGabm+1Ryy;o0+7?q7r@7quNOZV-emy%uLm=qsP zysm;z4Cu=z%#_N;y+Q&kdeJDEjbK-zqlcO??#;S8)iO4==>hWEQA>v5 zijP+Yjr`_Cghrf%MvSdxr=gKz*&;N8&I~K_l%5jUY6_pphEP zb~n-#B`|~K1dXhaYL=5=2#we%T@e~Vr7J33>q6;@(1?xvLTCi#7s{`?kY5OmAT)x| z2tp$^{!J^lX@D*Um>XDIgu&9V{< z=@A?4E7BvVeMRkSU1(pC95;?4;)o`T2#*L{d?*?X3BzJgC`yHFA_g=#ghwu=hD3yTsJD=s zakza7GhZx&Cay3&vZXS3WcQ5-k2naAuq|eX;gO=*B0Pfd2*M)>kGLHkseu9#;So2% zBLRd*5FTOhNDXGY3*iyAD6=zzx{TnFl~T=e5)9!H8|5p)BdB~uHY+Wc~5hSsZUkH+*{6hIv7xD{15(G&QBteh_K@tQ>5G3Kk3O{_2wl6N) z3dya&jYzRRF^*I5u`^LJyL_&?nZi~1aGjM=#dpt&2kb9 z=@A?4E7BvVeMRkSU1(pC9_0D7^=P)u!1hSVliS9r9!zA}{LPd$i|IEj)N8_rInB*n5tlmt-{L`e`O zaXU&<19c>#ByK`Unh_;Il!T!qHJI&gL`h1(2g?a1Ss~RdC&3UUu~Ee$N`k6bRK?bX zDi%=^8~KGO3Cb^&Uv(kB5G6sB1W^)1Nf0GLlmt-{SE3|?ClB5y$gv?XVG$G)bCEns z^5m*J{U)0jnT>mofLV-&){*RHlUa1TQUiS?vLtR|Nm`I4L6(HE zBsG}rZe&SH&x}j@%}N#mMPrMtE@?xDjPc zRC%pmngBB-Q6Bgav^)aNT;{_Mb;*#R<&gz+q$>atZ$$vfx=k-3K;k4oVr(-z4UiPe z76B3jNDv@FfW++pNez^c2#_E^LQKc`y-n?HEkrpm!X>jCs5v=>9~L+rUnUot4e;AA zGRI{2qQ^uvZFfz!i1Khlrv`|oxpb4o?rP5b? zJ5ViYkY4NYm;nD&k_4382p%VQB%mY*_liN4qh2bx9^W1*D#=`rw}qqs_xkp8zHVQa zB!>hD_H*!Gul}u5&h1o{caviHTw3oqaL@j?NzXx107i=teQM~h}swFNUv>s@TTynk~kk0qC$)iB#HBiCdP*a zc}(k1oR0<-iMX|qPChdtt9^VNs)|SnA|=^H8^0ULBeREYWcRu})g?zt{-0-^e{;hh zp8DR^HxRI7^)DL!?XT}?==-A)&wD-IxhBu5d#~`k3oek~^+HfN8ff(U=e*Zmx9v0y z+W_I~f-z+@;GetxmQ#Op!m|PHBENcUe|yW^R_?%+-}S5~DZuZ$W1tF&2yz_mQpC2o zE&t`t#`9pkTU$lXj5Rs3yGgpc0$ohx6+-L@{K^u-|d)z9Dh!p2zx7HDqv&%O8P+kZag`M~Uc`b)zbo7>vvHlIB9qX`c@*XgfbmmN@-_iQ+y j`H5Z>qv4bQX}HT`A9?P8xrhpc|Jt+eKxoz9!q5K?W$pl< literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex b/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex index bea83d5..5d055a0 100644 --- a/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex +++ b/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex @@ -10,6 +10,7 @@ \usetheme{boxes} +\geometry{paperwidth=160mm,paperheight=160mm} \begin{document} @@ -157,38 +158,69 @@ asasdad \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban -Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik.} +\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban} +Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} +Legyen $(G, *)$ félcsoport, $e_b$ bal oldali, $e_j$ pedig jobb oldali egységelem $G$-ben.\\ +Ekkor $e_b = e_j$, hiszen:\\ +$e_be_j = e_j$ és $e_be_j = e_b$, (nyíl éshez $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!)\\ +mert $e_b$ bal, $e_j$ jobb oldali egységelem.\\ +Ha az $a \in G$ elemnek $a_b$ balinverze, $a_j$ pedig jobbinverze, akkor $a_b = a_j$. +$a_baa_j = a_b(aa_j) = a_be = a_b$ és $a_baa_j = (a_ba)a_j = ea_j = a_j$. (Asszociatív tulajdonság) (nyíl éshez ide is $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!).d \end{block} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Észrevételek gyűrűkben} +\begin{block}{Lemma: Észrevételek gyűrűkben} +\begin{enumerate} +\item \textbf{Szorzás nullelemmel:} Legyen 0 az R gyűrű nulleleme. Ekkor $a0 = 0a = 0$, minden $a \in R$ esetén. +\item \textbf{Előjelszabály:} Legyen R gyűrű, és $a, b \in R$. Az $a$ elem additív inverzés jelöljük $-a$-val. Ekkor $-(ab) = (-a)b = a(-b)$, tobábbá $(-a)(-b) = ab$. +\item \textbf{Véges integritási tartomány test.} +\item \textbf{Testben nincs nullosztó.} +\end{enumerate} \end{block} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Nullosztó és regularitás} - +\begin{block}{Lemma: Nullosztó és regularitás} +R gyűrűben a multiplikatív művelet akkor, és csak akkor reguláris, ha R zérusosztómentes. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} +\textbf{1. Rész}\\ +Tfh $a \neq 0$, a nem bal oldali nullosztó és $ab = ac$.\\ +$ab = ac / -(ac)$ (+ additív inverz)\\ +$ab + (-(ac)) = 0$. Előjel szabály + disztri.\\ +$ab + (a(-c)) = a(b+(-c)) = 0$ (Kiemeljük, csak akkor lehet, ha $(b + -1 = 0) \implies (b = c)$)\\ +A feltételből ($a$ nem baloldali nullosztó) következik, hogy $b + (-c) = 0)$ $\implies$\\ +$\implies$ b = c.\\ +\bigskip +\textbf{2. Rész}\\ +Tfh $a$ bal oldali nullosztó, tehát $a \neq 0$ és létezik $b \neq 0\: ab = 0$.\\ +tetszőleges $c \in R$-re: $ac = ac$.\\ +$ac = ac / +0 (0 = ab)$\\ +$ac = ac + ab$ /(Disztributivitás)\\ +$ac = a(c + b)$ Ellentmondás!\\ +Mivel $(b \neq 0) \implies (c \neq (c + b))$ (A b nem additív egységelem). + \end{block} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Természetes számok} -Halmaz, egy nullér, és egy injektív unér művelettel (rákövetkezés) - +\begin{block}{Tétel: Természetes számok} +A $(N, +, *)$ struktúrában mindkét művelet asszociatív, kommutatív, reguláris.\\ +Nullelem (additív egységelem): 0.\\ +Multiplikatív egységelem: 1.\\ +A szorzat mindkét oldalról disztributív az összeadásra.\\ +${\forall}m \in N : 0 * m = m * 0 = 0$. \end{block} @@ -197,6 +229,7 @@ Halmaz, egy nullér, és egy injektív unér művelettel (rákövetkezés) \begin{frame} \begin{block}{Tétel: N rendezése} +A természetes számok halmaza a $\leq$ relációval jólrendezett. \end{block} \end{frame} @@ -204,9 +237,16 @@ Halmaz, egy nullér, és egy injektív unér művelettel (rákövetkezés) \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság} +$T$ felső határ tulajdonságú test, $\implies$ $T$ arkhimédészi tulajdonságú. \end{block} -\begin{block}{Bizonyítás} +\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)} +Tfh $T$ felső határ tulajdonságú rendezett test, de nem arkhimédészi tulajdonságú.\\ +$\implies : {\nexists}n \in \mathbb{N} : nx \geq y$.\\ +Azaz y felső korlátja az $A = \{ nx | n \in \mathbb{N} \}$ halmaznak.\\ +Ekkor viszont létezik $z = sup A$ $\implies$ $z - x < z$ nem felső korlát. $\implies$\\ +$implies$ ${\exists}n : nx > z - x \implies (n + 1)x > z$. ($(n + 1)x \in A$).\\ +Ellentmondás, mivel ha $n \in \mathbb{N}$, akkor $n^+ \in \mathbb{N}$ $\rightarrow$ Peano axióma! \end{block} \end{frame} @@ -214,26 +254,35 @@ Halmaz, egy nullér, és egy injektív unér művelettel (rákövetkezés) \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Q nem felső határ tulajdonságú} -(12. dia lap alja) +$\mathbb{Q}$ arkhimédészi tulajdonságú, de nem felső határ tulajdonságú. \end{block} \end{frame} + \begin{frame} \begin{block}{Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális} -Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2. +Nincs $\mathbb{Q}$-ban olyan szám, amelynek négyzete 2. \end{block} -\begin{block}{Bizonyítás} -\end{block} +\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)} +Tfh van, és ez $x$.\\ +$x = \frac{m}{n}, m,n \in \mathbb{N}^+$, és az $m$ minimális.\\ +$2 = x^2 = \frac{m^2}{n^2} \implies m^2 = 2n^2$\\ +Ebből következik, hogy $m$ páros. $\implies$ $m = 2k, k \in \mathbb{N}^+$\\ +Ebből következik, hogy $n$ is páros: $n = 2j, j \in \mathbb{N}^+$\\ +Ekkor viszont $\frac{m}{n} = \frac{2k}{2j} = \frac{k}{j}$.\\ +Viszont ebből koövetkezik, hogy m nem minimális $\rightarrow$ Ellentmondás! +\end{block} \end{frame} - \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Az algebra alaptétele} +Ha $n \in \mathbb{N}^+$, valamint $c_0, c_1, ... c_n$ komplex számok, $c_n \neq 0$, akkor van olyan $u$ komplex szám, amelyre:\\ +$$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$ \end{block} \end{frame} @@ -250,6 +299,16 @@ Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2. \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Az oszthatóság tulajdonságai EIT-ban} +\begin{enumerate} +\item Ha $b|a$ és $b'|a'$, akkor $bb'|aa'$. +\item A nullának minden elem osztója. +\item A nulla csak saját magának osztója. +\item Az 1 egységelem minden elemnek osztója. +\item Ha $b|a$, akkor $bc|ac$ minden $c \in R$-re. +\item Ha $bc|ac$ és $c \neq 0$, akkor $b|a$. +\item Ha $b|a_i$ és $c_i \in R, (i = 1, 2, ..., j)$, akkor $b|\sum^j_{i=1} c_ia_i$. +\item Az $|$ reláció reflexív, és tranzitív. +\end{enumerate} \end{block} \end{frame} @@ -257,26 +316,42 @@ Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2. \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban} +Tetszőleges $R$ egységelemes integritási tartományban minden $p$ elemre:\\ +Ha $p$ prím $\implies$ $p$ felbonthatatlan. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} +Tfh $p$ prím, és, $p = bc$\\ +Ekkor vagy $p|b$, vagy $p|c$\\ +$b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. + \end{block} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Maradékos osztás Z-ben} +\begin{block}{Tétel: Maradékos osztás $\mathbb{Z}$-ben} +${\exists}a, b({\neq}0) \in \mathbb{Z}$ számhoz egyértelműen létezik olyan $q, r \in \mathbb{Z}$, hogy\\ +$a = qb + r \land 0 \leq r < |b|$. \end{block} \end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem Z-ben} +\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem $\mathbb{Z}$-ben} +Az egész számok körében $p$ prím $\iff$ $p$ felbonthatatlan. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} +Már láttuk, hogy prím felbonthatatlan!\\ +Tfh p felbonthatatlan\\ +Legyen $p|bc$, ekkor vagy $p | b$-nek, ekkor ksz vagyunk. +Vagy $p \nmid b$ ekkor $(p,b) = 1$.\\ +$c = pcx +bcx \implies 0 mod p \implies p | c$.\\ +(Észrevétel: $(a, b) = 1 \land a | bc \implies a | c$ + \end{block} \end{frame} @@ -284,9 +359,26 @@ Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2. \begin{frame} \begin{block}{Tétel: A számelmélet alaptétele} +Minden $m$ nemnulla, nemegység, egész szám sorrendre és asszociáltásgra való tekintet nélkül egyértelműen bontható fel felbonthatatlanok szorzatára. \end{block} -\begin{block}{Bizonyítás} +\begin{block}{Bizonyítás (Pozitívakra)} +\textbf{(egzisztencia)}\\ +Tfh $n > 1$\\ +Teljes indukció: $n = 2$ kész, tfk $n - 1$-ig kész.\\ +Ha $n$ felbonthatatlan $\rightarrow$ kész.\\ +Ha $n$ nem felbonthatatlan $\rightarrow$ $n = ab \land a, b$ (a, b nem egység!), $a, b < n$ $\implies$ igaz rájuk az ind. feltétel.\\ +$n$ felbontása $=$ $a$ felbontása szor $b$ felbontása.\\ +\bigskip +\textbf{(unicitás) (Indirekt)}\\ +Tfh $n$ a legkisebb olyan szám, amely felbontása nem egyértelmű.\\ +$n = p_1 ... p_k = q_1 ... q_r$ $\implies$\\ +$p_j|n \implies p_1|q_1 ... q_r$\\ +$p_1|q_1$, $p_1|q_2 ... q_r$\\ + $p_1|q_2 p_1|q_3 ... q_r$\\ + $p_1|q_i \implies p_1 = q_i \implies$\\ +$\implies$ $n_1 = \frac{n}{p_1} = p_2 ... p_k = q_1 ... q_{i-1}q_{i+1} ... q_r$\\ +$n_1 < n$ és van két lényegesen különböző felbontása! \end{block} \end{frame} @@ -294,9 +386,11 @@ Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2. \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Eukleidész tétele} +Végetlen sok prímszám van. \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} + \end{block} \end{frame}