diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex index 30be832..ed9adad 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex @@ -463,42 +463,146 @@ Az $\mathbb{R}^{m x n}$-re is teljesül az 1/3 oldali 10 tulajdonság megfelelő \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Nullmátrix}] - Nullmátrix:\begin{align} - 0 &:= \begin{bmatrix} + Nullmátrix: 0 := $\begin{bmatrix} {\lambda}a_1 \\ {\lambda}a_2 \\ ... \\ {\lambda}a_n - \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^k - \end{align} + \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^k$ \end{tcolorbox} \end{frame} - - \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Mátrixszorzás}] - $A$ $in$ $\mathbb{R}^{m x n}$, $B$ $\in$ $\mathbb{R}^{n x k}$ esetén $AB$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x k}$ úgy, hogy minden szóbajövő $i, j$-re (most $1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq k$) -\mmedskip + $A$ $in$ $\mathbb{R}^{m x n}$, $B$ $\in$ $\mathbb{R}^{n x k}$ esetén $AB$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x k}$ úgy, hogy minden szóbajövő $i, j$-re (most $1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq k$) + \mmedskip -$_{i} [AB]_j$ $=$ $_{i} [A]_1$ $_{1} [B]_j$ + $_{i} [A]_2$ $_{2} [A]_j$ + $...$ + $_{i} [A]_n$ $_{n} [B]_j$ = $\sum_{l = 1}^n$ $_{i} [A]_l$ $_{l} [B]_j$ -\mmedskip + $_{i} [AB]_j$ $=$ $_{i} [A]_1$ $_{1} [B]_j$ + $_{i} [A]_2$ $_{2} [A]_j$ + $...$ + $_{i} [A]_n$ $_{n} [B]_j$ = $\sum_{l = 1}^n$ $_{i} [A]_l$ $_{l} [B]_j$ + \mmedskip -Ez az ún. sor-oszlop szorzás: a szorzatmátrix i-edik sora j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorának és a jobb oldali mátrix j-edik oszlopának megfelelő elemeit összeszorozzuk, s a kapott szorzatokat összeadjuk. + Ez az ún. sor-oszlop szorzás: a szorzatmátrix i-edik sora j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorának és a jobb oldali mátrix j-edik oszlopának megfelelő elemeit összeszorozzuk, s a kapott szorzatokat összeadjuk. \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Egységmátrix}] + $I_n$ = $\begin{bmatrix} + 1 & 0 & \cdots & 0 \\ + 0 & 1 & \cdots & 0 \\ + \vdots & \vdots & & \vdots \\ + 0 & 0 & \cdots & 1 + \end{bmatrix}$ $\in \mathbb{R}$ az $n$ x $n$-es egységmátrix\\ + + + \[ + {\delta}_{ij} = + \begin{cases} + 1, & \text{ha } i = j\\ + 0, & \text{ha } i \neq j \\ + \end{cases} + \]\\ + + (A ${\delta}_{ij}$ egyik szokásos elnevezése: Kronecker-szimbólum.) + \end{tcolorbox} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egységmátrix}] + $A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$ esetén $I_mA$ = $A$ és $AI_n$ = $A$. + \end{tcolorbox} + + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Tranzponált}] + A $\mathbb{R}^{m x n}$ esetén az $A$ mátrix transzponáltja: $A^T$ $\mathbb{R}^{m x n}$, melyre minden szóbajövő $i$, $j$-re $_{i} [A^T]_j$ = $_{j} [A]_i$. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Tranzponálás tulajdonságai}] + $A$, $B$ $\mathbb{R}^{m x n}$ $\Rightarrow$ $(A + B)^T$ = $A^T$ + $B^T$\\ + ${\lambda}$ $\in$ $\mathbb{R}$, $A$ $\mathbb{R}^{m x n}$ $\Rightarrow$ $({\lambda}A)^T$ = ${\lambda}A^T$\\ + $A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$, $B$ $\in$ $\mathbb{R}^{n x k}$ $\Rightarrow$ $(AB)T$ = $B^TA^T$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Mátrixszorzás, és asszociativitás}] + $A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n_1}$ , $B$ $\in$ $\mathbb{R}^{n_2 x k_2}$, $C$ $\in$ $\mathbb{R}^{k_3 x s}$, esetén\\ + \mmedskip + + $\exists$ $(AB)C)$ $\iff$ $\{n_1 = n_2$ és $k_2 = k_3\}$ $\iff$ ${\exists}A(BC)$\\ + \mmedskip + + ($\{n_1 = n_2$ és $k_2 = k_3\}$ = $(AB)C$ = $A(BC)$) + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Mátrixszorzás és összeadás disztributivitása}] + $A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n_1}$ , $B$ $\in$ $\mathbb{R}^{n_2 x k_2}$, $C$ $\in$ $\mathbb{R}^{n_3 x k_3}$, esetén\\ + \mmedskip + + $\exists$ $A(B + C)$ $\iff$ $\{n_1 = n_2$ és $k_2 = k_3\}$ $\iff$ ${\exists}$ $AB + BC$\\ + \mmedskip + + ($\{n_1 = n_2$ és $k_2 = k_3\}$ = $A(B + C)$ = $AB + BC$) + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Számmal való szorzás és mátrixszorzás kapcsolata}] + $\lambda$ $\in$ $\mathbb{R}$, $A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$, $B$ $\in$ $\mathbb{R}^{n x k}$ $\Rightarrow$\\ + \mmedskip + + ${\lambda}(AB)$ = $({\lambda}A)B$ = $A({\lambda}B)$\\ + \end{tcolorbox} \end{frame} + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Sorrang, Oszloprang}] + $A$ = $[a_1, {\cdots}, a_n]$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$ \\ + \mmedskip + + oszloprangja: ${\rho}_{O}(A)$ = $r(a_1, {\cdots}, a_n)$ $($ = $dim$ $Span(a_1, {\cdots}, a_n))$\\ + sorrangja: ${\rho}_{s}(A)$ = ${\rho}_{O}(A^T)$\\ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Mátrixszorzás, dimenzió}] + Legyenek $C$ = $[c_1, {\cdots}, c_n]$ és $D$ = $[d_1, {\cdots}, d_k]$ ebben a sorrendben összeszorozható +R feletti mátrixok. Ekkor:\\ + \mmedskip + + ${\rho}_{s}(CD)$ $\leq$ ${\rho}_{s}(C)$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Mátrix, rang}] + Tetszőleges $\mathbb{R}$ feletti $A$ mátrixra ${\rho}_{o}(A)$ $\leq$ ${\rho}_{s}(A)$\\ + \mmedskip + + (ezentúl ${\rho}_{o}(A)$ $\leq$ ${\rho}_{s}(A)$ = ${\rho}(A)$ (az $\rho$ helyett használatos a $p$, vagy $r$ is.) + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Inverz}] + $A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$ esetén:\\ + \mmedskip + + Az $A^{(j)}$ egy jobb oldali inverze az $A$-nak, ha $A^{(j)}$ $\in$ $\mathbb{R}^{n x m}$ és $AA^{(j)}$ = $I_m$\\ + Az $A^{(b)}$ egy bal oldali inverze az $A$-nak, ha $A^{(b)}$ $\in$ $\mathbb{R}^{n x m}$ és $A^{(b)}A$ = $I_n$\\ + Az $A^{-1}$ kétoldali inverze $A$-nak, ha bal oldali inverze is és jobb oldali inverze is $A$-nak. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Inverz létezése}] + $A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$ esetén:\\ + + \begin{enumerate} + \item $\exists$ $A^{(j)}$ $\iff$ ${\rho}(A)$ = $m$ + \item $\exists$ $A^{(b)}$ $\iff$ ${\rho}(A)$ = $n$ + \item $\exists$ $A^{-1}$ $\Rightarrow$ ${\rho}(A)$ = $m$ = $n$ $\Rightarrow$ $\exists$ $A^{(b)}$), $\exists$ $A^{(j)}$ és egyenlők $\Rightarrow$ $\exists$ $A^{-1}$. + \end{enumerate} + \end{tcolorbox} + \end{frame} + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: 05 adjugált}] + \end{tcolorbox} + \end{frame} + - - - - +