Initial commit.

.gitignore

@@ -0,0 +1,13 @@
+*.pdf
+*.aux
+*.log
+*.gz
+*.ini
+*.nav
+*.out
+*.toc
+*.synctex*
+*.bm
+*.snm
+
+

Diszkrét Matematika/Kombinatorika/kombinatorika.tex

@@ -0,0 +1,163 @@
+
+\documentclass[paper=a4,
+fontsize=2.2mm]{scrartcl} \addtokomafont{sectioning}{\rmfamily} 
+
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage[makeroom]{cancel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[margin=50pt]{geometry}
+
+
+\begin{document}
+\noindent
+\setlength\parindent{0pt}
+\title{Kombinatorika}
+
+\begin{center}
+{\huge Kombinatorika}
+\end{center}
+
+\section{Permutáció}
+
+Elemek összes különböző sorbarendezéseinek a száma. Az elemek nem ismétlődhetnek.
+
+Sorrend $\Rightarrow$ IGEN
+
+Ismétléses $\Rightarrow$ IGEN
+
+Minden elem $\Rightarrow$ IGEN
+
+$$P_n = n!$$
+
+A "képek" szó betűiből összeálítható összes szó:
+
+képek $\Rightarrow$ 5 betű (különbözők!)
+
+$P_5 = 5! = 120.$
+
+\section{Permutáció Ismétléses}
+
+Elemek összes különböző sorbarendezéseinek a száma. Az elemek ismétlődhetnek!
+
+Sorrend $\Rightarrow$ IGEN
+
+Ismétléses $\Rightarrow$ IGEN
+
+Minden elem $\Rightarrow$ IGEN
+
+
+$$P_n^{i_1, i_2, ... , i_r} = \frac{n!}{(i_1)!(i_2)! ... (i_r)!}$$
+
+A "terep" szó betűiből összeálítható összes szó:
+
+
+terep $\Rightarrow$ 5 betű (2 ugyan az!)
+
+
+$P_5^{2} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 * 4 * 3 * 2 * 1}{2 * 1} = 5 * 4 * 3 = 60$
+
+
+A "tollaslabda" szó betűiből összeálítható összes szó:
+
+
+tollaslabda $\Rightarrow$ 11 betű (több ismétlődés van (3 * l, 3 * a) !) $\Rightarrow$ $P_{11}^{3, 3} = \frac{5!}{3! * 3!} = 1108800$
+
+
+\section{Variáció}
+
+Több elemből választunk kevesebb helyre.
+
+Sorrend $\Rightarrow$ IGEN
+
+Ismétléses $\Rightarrow$ IGEN
+
+Minden elem $\Rightarrow$ NEM
+
+
+$$V_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)$$
+
+Rendszám, ha nem lehet ismétlődés:
+
+Betűk: $V_{26}^3 = \frac{26!}{26 - 3)!} = \frac{26!}{23!} = 26 * 25 * 24 = 15600$
+
+Számok: $V_{10}^3 = \frac{10!}{10 - 3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 * 9 * 8 = 720$
+
+Az egész: $V_{26}^3 * V_{10}^3 = 11232000$
+
+\section{Variáció Ismétléses}
+
+Több elemből választunk kevesebb helyre.
+
+Sorrend $\Rightarrow$ IGEN
+
+Ismétléses $\Rightarrow$ IGEN
+
+Minden elem $\Rightarrow$ NEM
+
+
+$$V_n^{k, i} = n^k$$
+
+Rendszám
+
+3 betű, 3 szám
+
+3 Betű: $V_n^{k, i} = V_{26}^{3, i} = 26^3 =  17576$ ($3 hely : 26 * 26 * 26$)
+3 Szám: $V_n^{k, i} = V_{10}^{3, i} = 10^3 =  1000$ ($3 hely : 10 * 10 * 10$)
+
+$V_{26}^{3, i} * V_{10}^{3, i} = 26^3 * 10^3 = 17576000$
+
+\section{Kombináció}
+
+Több elemből választunk kevesebb helyre.
+
+Sorrend $\Rightarrow$ NEM
+
+Ismétléses $\Rightarrow$ NEM
+
+Minden elem $\Rightarrow$ NEM
+
+
+$$C_n^k = {{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$
+
+Pl szövegesen:
+
+A gyümölcssalátában van banán, alma, szőlő $\Rightarrow$ Kombináció
+
+3 Embert választunk 10 ből $\Rightarrow$ Kombináció
+
+Kiválasztunk egy zenekarba zongoristát, gitárost 10 emberből (a helyek miatt) $\Rightarrow$ Variáció
+
+Egy étterembe rendelünk 3 desszertet 10 ből $\Rightarrow$ Kombináció
+
+Felsorolni 3 külömböző kedvenc desszertet 10 ből $\Rightarrow$ Variáció
+
+A zár nyitó kombinációja 1233 volt $\Rightarrow$ Variáció
+
+Lottó $\Rightarrow$ Kombináció
+
+
+\section{Kombináció Ismétléses}
+
+Több elemből választunk kevesebb helyre.
+
+Sorrend $\Rightarrow$ NEM
+
+Ismétléses $\Rightarrow$ IGEN
+
+Minden elem $\Rightarrow$ IGEN
+
+
+$$C_n^{k, i} = C_{n + k -1}^k = {{n + k - 1}\choose{k}} = \frac{(n + k - 1)!}{k!((n + k - 1) - k)!} $$
+
+
+Ki akarunk választani 17 emberből egy hat tagú bizottságot, hány féleképpen lehet?
+
+$C_{17}^6 = C_{12 + 6 - 1}^6 = {{17 + 6 - 1}\choose{6}} = \frac{(17 + 6 - 1)!}{6!((17 + 6 - 1) - 6)!} = \frac{22!}{6!(22 - 6)!} = \frac{22!}{6!(22 - 6)!} = \frac{22!}{6! * 16!} = \frac{22 * 21 * 20 * 19 * 18 * 17}{6!} = 74613 $
+
+
+
+
+
+
+\end{document}

Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex

@@ -0,0 +1,509 @@
+% Compile twice!
+
+\documentclass{beamer}
+\usepackage{tikz}
+
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+
+\usetheme{boxes}
+
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}[plain]
+\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
+\node[anchor=center] at (current page.center) {
+\begin{beamercolorbox}[center]{title}
+    {\Huge Diszkrét Matematika}\\
+    {\Large Vizsgatételek}
+\end{beamercolorbox}};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[plain]
+\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
+\node[anchor=center] at (current page.center) {
+\begin{beamercolorbox}[center]{title}
+    {\Huge Halmazok, Relációk}
+\end{beamercolorbox}};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Minden dolog halmaza}
+Nincs olyan halmaz, amelynek minden dolog eleme.
+\end{block}
+
+\begin{block}{Biz}
+asasdad
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Definíció: Unió}
+Ha A és B halmazok, akkor A és B unióján a következő halmazt értjük:\\
+$$A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}$$
+\end{block}
+
+\begin{block}{Tétel: Az unió tulajdonságai}
+Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
+
+\begin{enumerate}
+\item $A \cup \emptyset = A$
+\item $A \cup B = B \cup A$ (Kommutativitás)
+\item $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup )$ (Asszociativitás)
+\item $A \cup A = A$ (Idempotencia)
+\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cup B = B$
+\end{enumerate}
+
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Definíció: Metszet}
+Ha A és B halmazok, akkor A és B metszetén a következő halmazt értjük:\\
+$$A \cap B = \{x \in A \wedge x \in B\}$$
+\end{block}
+
+\begin{block}{Tétel: A metszet tulajdonságai}
+Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
+
+\begin{enumerate}
+\item $A \cap \emptyset = \emptyset$
+\item $A \cap B = B \cap A$ (Kommutativitás)
+\item $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ (Asszociativitás)
+\item $A \cap A = A$ (Idempotencia)
+\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cap B = A$
+\end{enumerate}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Unió és metszet disztributivitása}
+Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
+
+\begin{enumerate}
+\item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (B \cap C)$ (A metszet disztributivitása az unióra nézve)
+
+\item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (B \cup C)$ (Az unió disztributivitása a metszetre nézve)
+\end{enumerate}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Definíció: Komplementer}
+Ha X halmaz, A $\wedge$ X, akkor A halmaz X-re vonatkoztatott komplementere:\\
+$$A' = X \setminus A$$
+\end{block}
+
+\begin{block}{Tétel: A komplementer tulajdonságai}
+Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor:
+
+\begin{enumerate}
+\item $(A')' = A$
+\item $\emptyset' = X$
+\item $A \cap A' = \emptyset$
+\item $A \cup A' = X$
+\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $B' \subseteq A'$
+\item $(A \cap B)' = A' \cup B'$
+\item $(A \cup B)' = A' \cap B'$
+\end{enumerate}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Definíció: Halmaz osztályfelbontása}
+A tetszőleges X halmazt \textbf{osztályozzuk (osztályokra bontjuk)}, ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak uniójaként állítjuk elő.
+\end{block}
+
+\begin{block}{Az X $\in$ X elem \textbf{ekvivalencia osztálya}:}
+$$\overline{x} = \{y \in X : y \sim x\}$$
+\end{block}
+
+\begin{block}{Tétel: Ekvivalenciareláció és osztályfelbontás kapcsolata}
+Valamely X halmazon értelmezett $\sim$ ekvivalenciareláció X-nek egy osztályfelbontását adja. Megfordítva, az X halmaz minden osztályfelbontása egy $\sim$ ekvivalenciarelációt hoz létre.
+\end{block}
+
+\begin{block}{Biz}
+asasdad
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}[plain]
+\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
+\node[anchor=center] at (current page.center) {
+\begin{beamercolorbox}[center]{title}
+    {\Huge Algebrai struktúrák, számhalmazok}
+\end{beamercolorbox}};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban
+Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik.}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Észrevételek gyűrűkben}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Nullosztó és regularitás}
+
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Természetes számok}
+Halmaz, egy nullér, és egy injektív unér művelettel (rákövetkezés)
+
+
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: N rendezése}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Q nem felső határ tulajdonságú}
+(12. dia lap alja)
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális}
+Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2.
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Az algebra alaptétele}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[plain]
+\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
+\node[anchor=center] at (current page.center) {
+\begin{beamercolorbox}[center]{title}
+    {\Huge Számelmélet}
+\end{beamercolorbox}};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Az oszthatóság tulajdonságai EIT-ban}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Maradékos osztás Z-ben}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem Z-ben}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: A számelmélet alaptétele}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Eukleidész tétele}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Kongruencia tulajdonságai}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Omnibusz tétel}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Euler-Fermat tétel}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: (Kis) Fermat tétel}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: A diofantikus egyenlet megoldása}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Kínai maradéktétel}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Számelméleti függvények}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: fi multiplikativitása}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: fi(n) kiszámolása}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[plain]
+\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
+\node[anchor=center] at (current page.center) {
+\begin{beamercolorbox}[center]{title}
+    {\Huge Kombinatorika}
+\end{beamercolorbox}};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Véges halmaz valódi részhalmaza}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Skatulya-elv}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Permutációk száma}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Variációk száma}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Ismétléses variációk száma}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Kombinációk száma}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Ismétléses kombinációk száma}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Ismétléses permutációk száma}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Binomiális tétel}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Logikai szita formula}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+
+
+
+
+
+
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+
+\end{document}

Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex

@@ -0,0 +1,509 @@
+% Compile twice!
+
+\documentclass{beamer}
+\usepackage{tikz}
+
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+
+\usetheme{boxes}
+
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}[plain]
+\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
+\node[anchor=center] at (current page.center) {
+\begin{beamercolorbox}[center]{title}
+    {\Huge Diszkrét Matematika}\\
+    {\Large Vizsgatételek}
+\end{beamercolorbox}};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[plain]
+\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
+\node[anchor=center] at (current page.center) {
+\begin{beamercolorbox}[center]{title}
+    {\Huge Halmazok, Relációk}
+\end{beamercolorbox}};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Minden dolog halmaza}
+Nincs olyan halmaz, amelynek minden dolog eleme.
+\end{block}
+
+\begin{block}{Biz}
+rrrrrrrrrrrrrrrrrr
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Definíció: Unió}
+Ha A és B halmazok, akkor A és B unióján a következő halmazt értjük:\\
+$$A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}$$
+\end{block}
+
+\begin{block}{Tétel: Az unió tulajdonságai}
+Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
+
+\begin{enumerate}
+\item $A \cup \emptyset = A$
+\item $A \cup B = B \cup A$ (Kommutativitás)
+\item $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup )$ (Asszociativitás)
+\item $A \cup A = A$ (Idempotencia)
+\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cup B = B$
+\end{enumerate}
+
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Definíció: Metszet}
+Ha A és B halmazok, akkor A és B metszetén a következő halmazt értjük:\\
+$$A \cap B = \{x \in A \wedge x \in B\}$$
+\end{block}
+
+\begin{block}{Tétel: A metszet tulajdonságai}
+Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
+
+\begin{enumerate}
+\item $A \cap \emptyset = \emptyset$
+\item $A \cap B = B \cap A$ (Kommutativitás)
+\item $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ (Asszociativitás)
+\item $A \cap A = A$ (Idempotencia)
+\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cap B = A$
+\end{enumerate}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Unió és metszet disztributivitása}
+Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
+
+\begin{enumerate}
+\item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (B \cap C)$ (A metszet disztributivitása az unióra nézve)
+
+\item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (B \cup C)$ (Az unió disztributivitása a metszetre nézve)
+\end{enumerate}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Definíció: Komplementer}
+Ha X halmaz, A $\wedge$ X, akkor A halmaz X-re vonatkoztatott komplementere:\\
+$$A' = X \setminus A$$
+\end{block}
+
+\begin{block}{Tétel: A komplementer tulajdonságai}
+Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor:
+
+\begin{enumerate}
+\item $(A')' = A$
+\item $\emptyset' = X$
+\item $A \cap A' = \emptyset$
+\item $A \cup A' = X$
+\item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $B' \subseteq A'$
+\item $(A \cap B)' = A' \cup B'$
+\item $(A \cup B)' = A' \cap B'$
+\end{enumerate}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Definíció: Halmaz osztályfelbontása}
+A tetszőleges X halmazt \textbf{osztályozzuk (osztályokra bontjuk)}, ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak uniójaként állítjuk elő.
+\end{block}
+
+\begin{block}{Az X $\in$ X elem \textbf{ekvivalencia osztálya}:}
+$$\overline{x} = \{y \in X : y \sim x\}$$
+\end{block}
+
+\begin{block}{Tétel: Ekvivalenciareláció és osztályfelbontás kapcsolata}
+Valamely X halmazon értelmezett $\sim$ ekvivalenciareláció X-nek egy osztályfelbontását adja. Megfordítva, az X halmaz minden osztályfelbontása egy $\sim$ ekvivalenciarelációt hoz létre.
+\end{block}
+
+\begin{block}{Biz}
+asasdad
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}[plain]
+\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
+\node[anchor=center] at (current page.center) {
+\begin{beamercolorbox}[center]{title}
+    {\Huge Algebrai struktúrák, számhalmazok}
+\end{beamercolorbox}};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban
+Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik.}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Észrevételek gyűrűkben}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Nullosztó és regularitás}
+
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Természetes számok}
+Halmaz, egy nullér, és egy injektív unér művelettel (rákövetkezés)
+
+
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: N rendezése}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Q nem felső határ tulajdonságú}
+(12. dia lap alja)
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális}
+Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2.
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Az algebra alaptétele}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[plain]
+\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
+\node[anchor=center] at (current page.center) {
+\begin{beamercolorbox}[center]{title}
+    {\Huge Számelmélet}
+\end{beamercolorbox}};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Az oszthatóság tulajdonságai EIT-ban}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Maradékos osztás Z-ben}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Prím és irreducibilis elem Z-ben}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: A számelmélet alaptétele}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Eukleidész tétele}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Kongruencia tulajdonságai}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Omnibusz tétel}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Euler-Fermat tétel}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: (Kis) Fermat tétel}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: A diofantikus egyenlet megoldása}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Kínai maradéktétel}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Számelméleti függvények}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: fi multiplikativitása}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: fi(n) kiszámolása}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[plain]
+\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
+\node[anchor=center] at (current page.center) {
+\begin{beamercolorbox}[center]{title}
+    {\Huge Kombinatorika}
+\end{beamercolorbox}};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Véges halmaz valódi részhalmaza}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Skatulya-elv}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Permutációk száma}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Variációk száma}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Ismétléses variációk száma}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Kombinációk száma}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Ismétléses kombinációk száma}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Ismétléses permutációk száma}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Binomiális tétel}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Logikai szita formula}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+
+
+
+
+
+
+
+\begin{frame}
+
+\begin{block}{Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}
+\end{block}
+
+\begin{block}{Bizonyítás}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+
+\end{document}