mirror of
https://github.com/Relintai/Documents.git
synced 2024-11-21 00:57:17 +01:00
Dimat.
This commit is contained in:
parent
b489388924
commit
d6ea571d86
@ -2,8 +2,8 @@
|
||||
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
||||
|
||||
% Uncomment these to get the presentation form
|
||||
\documentclass{beamer}
|
||||
\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
%\documentclass{beamer}
|
||||
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
|
||||
% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article
|
||||
%\documentclass[10pt]{article}
|
||||
@ -736,141 +736,248 @@ TODO táblázat
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.:Algebrai struktúrák, izomorfiájuk}]
|
||||
%\begin{tcolorbox}[title={Def.: Művelet, Eredmény, Operandus, Algebrai Struktúra, Tartóhalmaz (Alaphalmaz)}]
|
||||
Ha $A$ tetszőleges halmaz, akkor egy\\
|
||||
\textbf{A-n értelmezett $n$-lr műveleten ($n$-változós)} egy\\
|
||||
$f : (A^n =) A x A ... x A$ és $n \in \mathbb{N}_0$.\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
Ha $x_1, x_2, ..., x_n\in A$, akkor\\
|
||||
$f(x_1, x_2, ..., x_n)$ a művelet \textbf{eredménye}, míg $x_1, x_2, ..., x_n$ a művelet \textbf{operandusai}.\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
Az $(A, {\Omega})$ pár \textbf{algebrai struktúra}, ha az $A$ nem üres halmaz, és $\Omega$ az $A$-n értelmezett véges változós műveletek halmaza.\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
Szokásos jelölés, ha $\Omega$ $1$ vagy $2$ elemű: $(A, {\oplus})$, ill $(A, {\oplus}, {\otimes})$,\\
|
||||
ahol $\otimes$, $\oplus$, $A$-n értelmezett $n$-ér műveletek.\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
$A$-t \textbf{tartóhalmaznak (alaphalmaz)} hívjuk.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Műveleti zártság}]
|
||||
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Grupoid}]
|
||||
\tcblower
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Morfizmusok}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Félcsoport}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Baloldali, Jobboldali egységelem, Egységelem}]
|
||||
Ha $\otimes$ egy $A$-n értelmezett $n$-ér művelet, akkor mondjuk, hogy \textbf{${\otimes}$ zárt $A$-n ($A$ zárt a ${\otimes}$ műveletre nézve)}, azaz ${\forall}x_1, x_2, ..., x_n \in A$ esetén $x_1 \otimes x_2 \otimes ... \otimes x_n \in A$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Balinverz, Jobbinverz, Inverz (Félcsoport)}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Grupoid}]
|
||||
Egy $(G, {\cdot})$ algebrai struktúrát, amelyben $\cdot$ binér művelet, \textbf{grupoidnak} nevezzük.
|
||||
\tcblower
|
||||
Egy $(G, {\cdot})$ grupoidban a művelet:\\
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \textbf{Asszociatívnak} nevezzük, ha minden $a, b, c \in G$ esetén $a(bc) = (ab)c$
|
||||
\item \textbf{Kommutatívnak} nevezzük, ha minden $a, b \in G$ esetén $ab = ba$
|
||||
\item \textbf{Regulárisnak} nevezzük, ha minden $a, b, c \in G$ esetén $ac = bc$-ből következik, hogy $a = b$, valamint $ca = cb$-ből is következik, hogy $a = b$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Morfizmusok}]
|
||||
Legyen $(G, {\cdot})$ és $(G', {\cdot})$ kát grupoid. A ${\phi} : G \rightarrow G'$ függvényt \textbf{homomorfizmusnak} nevezzük, ha \textbf{művelettartó}, vagyis ${\forall}a_1, a_2 \in G : {\phi}(a_1a_2) = {qphi}(a_1) \otimes {\phi}(a_2)$\\
|
||||
|
||||
\textbf{Izomorfizmus}: bijektív homomorfizmus.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Félcsoport}]
|
||||
A $(G, {\cdot})$ grupoid \textbf{félcsoport}, ha $\cdot$ asszociatív.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Baloldali, Jobboldali egységelem, Egységelem}]
|
||||
A $(G, {\cdot})$ félcsoportban:\\
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $e_b \in G$ \textbf{bal oldali egységelem}, ha minden $a \in G$ esetén $e_ba = a$
|
||||
\item $e_j \in G$ \textbf{jobb olodali egységelem}, ha minden $a \in G$ esetén $ae_j = a$
|
||||
\item $e \in G$ \textbf{egységelem}, ha egyszerre bal és jobb oldali egységelem.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Balinverz, Jobbinverz, Inverz (Félcsoport)}]
|
||||
Legyen $(G, {\cdot})$ félcsoportban $e_b$ bal oldali egységelem. Az $a \in G$ elemnek \\
|
||||
$a_b \in G$ az \textbf{$e_b$-re vonatkoztatott balinverze}, ha $a_ba = e_b$\\
|
||||
illetve az \textbf{$e_b$-re vonatkoztatott jobbinverze}, ha $aa_b = e_b$\\
|
||||
A bal-é s jobbinverz fogalma jobboldali egységelemre hasonlóan.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}]
|
||||
Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik.
|
||||
\tcblower
|
||||
Legyen $(G, *)$ félcsoport, $e_b$ bal oldali, $e_j$ pedig jobb oldali egységelem $G$-ben.\\
|
||||
Ekkor $e_b = e_j$, hiszen:\\
|
||||
$e_be_j = e_j$ és $e_be_j = e_b$, (nyíl éshez $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!)\\
|
||||
mert $e_b$ bal, $e_j$ jobb oldali egységelem.\\
|
||||
Ha az $a \in G$ elemnek $a_b$ balinverze, $a_j$ pedig jobbinverze, akkor $a_b = a_j$.
|
||||
$a_baa_j = a_b(aa_j) = a_be = a_b$ és $a_baa_j = (a_ba)a_j = ea_j = a_j$. (Asszociatív tulajdonság) (nyíl éshez ide is $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!).d
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}]
|
||||
Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik.
|
||||
\tcblower
|
||||
Legyen $(G, *)$ félcsoport, $e_b$ bal oldali, $e_j$ pedig jobb oldali egységelem $G$-ben.\\
|
||||
Ekkor $e_b = e_j$, hiszen:\\
|
||||
$e_be_j = e_j$ és $e_be_j = e_b$, (nyíl éshez $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!)\\
|
||||
mert $e_b$ bal, $e_j$ jobb oldali egységelem.\\
|
||||
Ha az $a \in G$ elemnek $a_b$ balinverze, $a_j$ pedig jobbinverze, akkor $a_b = a_j$.
|
||||
$a_baa_j = a_b(aa_j) = a_be = a_b$ és $a_baa_j = (a_ba)a_j = ea_j = a_j$. (Asszociatív tulajdonság) (nyíl éshez ide is $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!).
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Abel-csoport}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Csoport, Abel-csoport}]
|
||||
A $(H, {\cdot})$ félcsoport \textbf{csoport}, ha:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Létezik benne $e$ egységelem
|
||||
\item Minden $a \in H$ elemnek létezik erre az egységelemre vonatkozó $a^{-1}$ inverze: $a^{-1}a = aa^{-1} = e$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: $n$ tényezős szorzat / Hatványozás egész kitevővel}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\textbf{Abel-csoportnak} nevezzük a kommutatív csoportokat.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: $n$ tényezős szorzat / Hatványozás egész kitevővel}]
|
||||
Ha $G$ csoport, $g \in G, n \in \mathbb{N}^+$, akkor legyen $n \mapsto g^n$, ahol $g^{-n} = (g^{-1})^n$.\\
|
||||
érvényesek $g, h \in G$ és $m, n \in \mathbb{Z}$-re.\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
$g^{n . m} = g^m \cdot g^n$ és $(g^m)^n = g^{m \cdot n}$\\
|
||||
ha $g, h$ felcserélhető, akkor $(g \cdot h)^m = g^m \cdot h^m$\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
Additív írásmód esetén:\\
|
||||
$(m + n)g = mg + ng, m(ng) = (mn)g$ és $n(g + h) = ng + nh$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Gyűrűk}]
|
||||
Az $(R, +, {\cdot})$ algebrai struktúra \textbf{gyűrű}, ha $+$ és $\cdot$ $R$-ben binér műveletek, valamint:\\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $(R, +)$ Abel-csoport.
|
||||
\item $(R, {\cdot})$ félcsoport
|
||||
\item Teljesül mindkét oldalról a disztributivitás, vagyis:\\
|
||||
$a(b + c) = ab + ac$\\
|
||||
$(b+ c)a = ba + ca$, minden $a, b, c \in R$ esetén.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\mbigskip
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Gyűrűk}]
|
||||
\textbf{Kommutatív} a gyűrű, ha a szorzás kommutatív.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
Az additív csoport egységeleme a gyűrű \textbf{nulleleme}, jelben 0.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\textbf{Egységelemes} a gyűrű, ha a szorzásra vonatkozóan van egységelem (amit $e$-vel, vagy $1$-gyel jelölünk.)\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\textbf{Nullgyűrű}: egyetlen elemből áll.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\textbf{Zérógyűrű}: ha tetszőleges két elem szorzata a nullelem.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\textbf{Nullosztó}: Az $R$ gyűrűben \textbf{$a$ bal oldali, $b$ jobb oldali nullosztó}, ha $a \neq 0$, $b \neq 0$, és $ab = 0$\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\textbf{Integritási tartomány}: A (legalább két elemű), kommutatív, nullosztómentes gyűrűt \textbf{integritási tartománynak} nevezzük.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\textbf{Osztó}: Legyen $R$ integritási tartomány és $a, b \in R$. $a$ \textbf{osztója} $b$-nek ha létezik $c \in R$, amelyre $b = ac$, jelben $a | b$.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\textbf{Egység}: $x \in R$ \textbf{egység}, ha $x | r$ minden $r \in R$-re.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\textbf{Test}: Az $R$ gyűrű \textbf{test}, ha $(R^*, {\cdot})$ Abel csoport.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Algebrai struktúrák kpacsolata (Kép)}]
|
||||
TODO
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Lemma: Észrevételek gyűrűkben}]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \textbf{Szorzás nullelemmel:} Legyen 0 az R gyűrű nulleleme. Ekkor $a0 = 0a = 0$, minden $a \in R$ esetén.
|
||||
\item \textbf{Előjelszabály:} Legyen R gyűrű, és $a, b \in R$. Az $a$ elem additív inverzés jelöljük $-a$-val. Ekkor $-(ab) = (-a)b = a(-b)$, tobábbá $(-a)(-b) = ab$.
|
||||
\item \textbf{Véges integritási tartomány test.}
|
||||
\item \textbf{Testben nincs nullosztó.}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Lemma: Észrevételek gyűrűkben}]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \textbf{Szorzás nullelemmel:} Legyen 0 az R gyűrű nulleleme. Ekkor $a0 = 0a = 0$, minden $a \in R$ esetén.
|
||||
\item \textbf{Előjelszabály:} Legyen R gyűrű, és $a, b \in R$. Az $a$ elem additív inverzés jelöljük $-a$-val. Ekkor $-(ab) = (-a)b = a(-b)$, tobábbá $(-a)(-b) = ab$.
|
||||
\item \textbf{Véges integritási tartomány test.}
|
||||
\item \textbf{Testben nincs nullosztó.}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Lemma: Nullosztó és regularitás}]
|
||||
R gyűrűben a multiplikatív művelet akkor, és csak akkor reguláris, ha R zérusosztómentes.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Lemma: Nullosztó és regularitás}]
|
||||
R gyűrűben a multiplikatív művelet akkor, és csak akkor reguláris, ha R zérusosztómentes.
|
||||
\tcblower
|
||||
\textbf{Bizonyítás}\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
\textbf{1. Rész}\\
|
||||
Tfh $a \neq 0$, a nem bal oldali nullosztó és $ab = ac$.\\
|
||||
$ab = ac / -(ac)$ (+ additív inverz)\\
|
||||
$ab + (-(ac)) = 0$. Előjel szabály + disztri.\\
|
||||
$ab + (a(-c)) = a(b+(-c)) = 0$ (Kiemeljük, csak akkor lehet, ha $(b + -1 = 0) \implies (b = c)$)\\
|
||||
A feltételből ($a$ nem baloldali nullosztó) következik, hogy $b + (-c) = 0)$ $\implies$\\
|
||||
$\implies$ b = c.\\
|
||||
\bigskip
|
||||
\textbf{2. Rész}\\
|
||||
Tfh $a$ bal oldali nullosztó, tehát $a \neq 0$ és létezik $b \neq 0\: ab = 0$.\\
|
||||
tetszőleges $c \in R$-re: $ac = ac$.\\
|
||||
$ac = ac / +0 (0 = ab)$\\
|
||||
$ac = ac + ab$ /(Disztributivitás)\\
|
||||
$ac = a(c + b)$ Ellentmondás!\\
|
||||
Mivel $(b \neq 0) \implies (c \neq (c + b))$ (A b nem additív egységelem).
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\textbf{1. Rész}\\
|
||||
Tfh $a \neq 0$, a nem bal oldali nullosztó és $ab = ac$.\\
|
||||
$ab = ac / -(ac)$ (+ additív inverz)\\
|
||||
$ab + (-(ac)) = 0$. Előjel szabály + disztri.\\
|
||||
$ab + (a(-c)) = a(b+(-c)) = 0$ (Kiemeljük, csak akkor lehet, ha $(b + -1 = 0) \implies (b = c)$)\\
|
||||
A feltételből ($a$ nem baloldali nullosztó) következik, hogy $b + (-c) = 0)$ $\implies$\\
|
||||
$\implies$ b = c.\\
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
\textbf{2. Rész}\\
|
||||
Tfh $a$ bal oldali nullosztó, tehát $a \neq 0$ és létezik $b \neq 0\: ab = 0$.\\
|
||||
tetszőleges $c \in R$-re: $ac = ac$.\\
|
||||
$ac = ac / +0 (0 = ab)$\\
|
||||
$ac = ac + ab$ /(Disztributivitás)\\
|
||||
$ac = a(c + b)$ Ellentmondás!\\
|
||||
Mivel $(b \neq 0) \implies (c \neq (c + b))$ (A b nem additív egységelem).
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Rendezett Integritási Tartomány}]
|
||||
$(R, +, {\cdot})$ integritási tartomány \textbf{rendezett integritási tartomány}, ha $R$ rendezett halmaz és\\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ha $x, y \in R$ és $x \leq y$, akkor $x + z \leq y + z$ (Az összeadás monoton)
|
||||
\item Ha $x, y \in R$ és $x, y \geq 0$, akkor $x \cdot y \geq 0$ (A szorzás monoton)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Rendezett Integritási Tartomány}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Egységelemes Integritási Tartomány}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Felbonthatatlan, Prím}]
|
||||
Legyen $R$ egységelemes integritási tartomány, $U(R)$ az $R$-beli egységek halmaza, ekkor:\\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $a \in R^* \setminus U(R)$ \textbf{felbonthatatlan}, ha $a = b \cdot c (b, c \in R)$ esetén $b \in U(R)$, vagy $c \in U(R)$
|
||||
\item $a \in ^* \setminus U(R)$ \textbf{prím}, ha $a | b \cdot c (b, c \in R) \Rightarrow a|b$ vagy $a|c$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
% ---------------------- SZÁMHALMAZOK ---------------------
|
||||
|
||||
\begin{frame}[plain]
|
||||
\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
|
||||
\node[anchor=center] at (current page.center) {
|
||||
\begin{beamercolorbox}[center]{title}
|
||||
\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
|
||||
{\Huge Számhalmazok}
|
||||
\end{beamercolorbox}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\mmedskip
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}
|
||||
{\Huge Természetes számok}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Peano-axiómák}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Peano-axiómák}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Természetes számok halmaza}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Természetes számok halmaza}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
@ -1342,147 +1449,216 @@ ${\phi}(p^{\alpha}) = p^{\alpha} - p^{\phi - 1}$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Halmazok ekvivalenciája}]
|
||||
$X$ és $Y$ halmaz \textbf{ekvivalens}, ha ${\exists} f$ bijekció $X$-ből $Y$-ra. Jelben $X \sim Y$.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Halmazok ekvivalenciája}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
Egy $Y$ halmaz véges, ha valamely $n$ természetes számra ekvivalens az $\{ 1, 2, ..., n \}$ halmazzal, egyébként \textbf{végtelen}.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Véges halmaz valódi részhalmaza}]
|
||||
Ha $n$ természetes szám, akkor nem létezik ekvivalencia $\{1, 2, ..., n\}$ és egy valódi részhalmaza között.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
Ezt az egyértelműen létező $n$ számot $X$ \textbf{számosságának} nevezzük.\\
|
||||
Jelben: $|X|, \#(X), card(X)$ (Kardinális).
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Véges halmaz valódi részhalmaza}]
|
||||
Ha $n$ természetes szám, akkor nem létezik ekvivalencia $\{ 1, 2, ..., n \}$ és egy valódi részhalmaza között.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Skatulya-elv}]
|
||||
Ha $X, Y$ véges halmazok, és $|X| > |Y|$, akkor nem létezik $f: X \rightarrow Y$ bijekció.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Skatulya-elv}]
|
||||
Ha $X, Y$ véges halmazok, és $|X| > |Y|$, akkor nem létezik $f: X \rightarrow Y$ bijekció.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}]
|
||||
Tfh $f$ bijektív.\\
|
||||
$Y ~ \{1, 2, ..., m\}$ és $X ~ \{1, 2, ..., m\}$, ahol $m < n$ $\implies$\\
|
||||
$\implies$ $\{1, 2, ..., m\}$ bármely részhalmaza $\{1, 2, ..., n\}$-nek is részhalmaza,\\
|
||||
$f$ bijektív $\implies$ $\{1, 2, ..., n\}$ $~$ saját valódi részhalmazával. $\rightarrow$ Ellentmondás!\\
|
||||
\bigskip
|
||||
\textbf{Más megfogalmazás:} Ha $n$ db tárgyat $m$ db skatulyába teszünk, akkor van olyan skatulya, amelyik legalább\\
|
||||
$\lfloor (n - 1) / m \rfloor + 1$ tárgyat tartalmaz.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}]
|
||||
Tfh $f$ bijektív.\\
|
||||
$Y ~ \{1, 2, ..., m\}$ és $X ~ \{1, 2, ..., m\}$, ahol $m < n$ $\implies$\\
|
||||
$\implies$ $\{1, 2, ..., m\}$ bármely részhalmaza $\{1, 2, ..., n\}$-nek is részhalmaza,\\
|
||||
$f$ bijektív $\implies$ $\{1, 2, ..., n\}$ $~$ saját valódi részhalmazával. $\rightarrow$ Ellentmondás!\\
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
\textbf{Más megfogalmazás:} Ha $n$ db tárgyat $m$ db skatulyába teszünk, akkor van olyan skatulya, amelyik legalább\\
|
||||
$\lfloor (n - 1) / m \rfloor + 1$ tárgyat tartalmaz.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Permutáció}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Permutáció}]
|
||||
$n \in \mathbb{N}$ elemű halmaz egy \textbf{permutációján} a halmaz önmagára való bijektív leképzését értjük.\\
|
||||
$P_n$ a halmaz különböző permutációinak száma.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Permutációk száma}]
|
||||
$$P_n = n!$$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Permutációk száma}]
|
||||
$$P_n = n!$$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Teljes indukció $n$ szerint\\
|
||||
1. lépés: $P_0 = P_1 = 1$ Igaz. (Megegyezés szerint $0! = 1$)\\
|
||||
2. lépés: Tfh $n > 1$ és $n - 1$-ig már beláttuk.\\
|
||||
ekvivalencia reláció:\\
|
||||
amely sorozatok 1. eleme megegyezik $\implies$ $n$ db osztály.\\
|
||||
Ind. feltétel $\implies$ $\forall$ osztályban $P_{n - 1}$ elem.\\
|
||||
$P_n = nP_{n - 1} = n(n - 1)! = n!$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Teljes indukció $n$ szerint\\
|
||||
1. lépés: $P_0 = P_1 = 1$ Igaz. (Megegyezés szerint $0! = 1$)\\
|
||||
2. lépés: Tfh $n > 1$ és $n - 1$-ig már beláttuk.\\
|
||||
ekvivalencia reláció:\\
|
||||
amely sorozatok 1. eleme megegyezik $\implies$ $n$ db osztály.\\
|
||||
Ind. feltétel $\implies$ $\forall$ osztályban $P_{n - 1}$ elem.\\
|
||||
$P_n = nP_{n - 1} = n(n - 1)! = n!$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ciklikus permutáció}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ciklikus permutáció}]
|
||||
Minden elem egy hellyeljobbra/balra kerül, az utolsó/első az első/utolsó helyre.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.:Ismétlés nélküli variáció}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.:Ismétlés nélküli variáció}]
|
||||
Egy $A$ halmaz elemeiből képezhető $k$ tagú, csupa különböző elemeket tartalmazó sorozatokat, azaz $\{ 1, 2, ..., k \}$-t $A$-ba képező injektív leképezéseket az \textbf{$A$ halmaz $k$-ad osztályú ismétlés nélküli variációjának} nevezzük.\\
|
||||
Ha $|A| = n$, akkor $A$ összes $k$-ad osztáylú ismétlés nélküli variávcióinak száma: $V_n^k$.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Variációk száma}]
|
||||
$$V_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)$$, ha $k \leq n$, kölünben 0.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Variációk száma}]
|
||||
$$V_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)$$, ha $k \leq n$, kölünben 0.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Legyen két sorozat egy ekv. osztályban, ha első $k$ elemük megegyezik.\\
|
||||
Ekkor: $P_n = $ (osztályok száma ($V_n^k = \frac{P_n}{P_n - k}$))*(ahány elem egy osztályban ($P_{n - k}$)
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Legyen két sorozat egy ekv. osztályban, ha első $k$ elemük megegyezik.\\
|
||||
Ekkor: $P_n = $ (osztályok száma ($V_n^k = \frac{P_n}{P_n - k}$))*(ahány elem egy osztályban ($P_{n - k}$)
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ismétléses Variáció}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ismétléses Variáció}]
|
||||
Egy $A$ halmaz elemeiből képezhető $k$ tagú, nem feltétlenül különböző elemeket tartalmazó sorozatokat, azaz $\{ 1, 2, ..., k \}$-t $A$-ba képező leképezéseket az \textbf{$A$ halmaz $k$-ad osztályú ismétléses variációjának} nevezzük.\\
|
||||
Ha $|A| = n$, akkor $A$ összes $k$-ad osztáylú ismétléses variációinak száma: $V_n^{k, i}$.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses variációk száma}]
|
||||
$$V_n^{k, i} = n^k$$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses variációk száma}]
|
||||
$$V_n^{k, i} = n^k$$
|
||||
\tcblower
|
||||
\textbf{Bizonyítás}\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Teljes indukció $k$ szerint, $n$ rögzített\\
|
||||
1. lépés: $k = 1$-re igaz: $V_n^{1, i} = n \rightarrow n^1$\\
|
||||
2. lépés: Tfh $k > 1$ és $k - 1$-ig már beláttuk, ekkor\\
|
||||
$(k - 1)$-es osztályú variációból $k$-ad osztályú:\\
|
||||
$n$ db választás $\implies$ $V_n^{k, i}$ (n választás) $= V_n^{k - 1, j} * n$ (n - 1 választás).
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
Teljes indukció $k$ szerint, $n$ rögzített\\
|
||||
1. lépés: $k = 1$-re igaz: $V_n^{1, i} = n \rightarrow n^1$\\
|
||||
2. lépés: Tfh $k > 1$ és $k - 1$-ig már beláttuk, ekkor\\
|
||||
$(k - 1)$-es osztályú variációból $k$-ad osztályú:\\
|
||||
$n$ db választás $\implies$ $V_n^{k, i}$ (n választás) $= V_n^{k - 1, j} * n$ (n - 1 választás).
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ismétlés nélküli Kombináció}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ismétlés nélküli Kombináció}]
|
||||
Egy $A$ halmaz $k (n \in \mathbb{N})$ elemű részhalmaza \textbf{$A$ halmaz $k$-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációja}.\\
|
||||
Ha $|A| = n$, akkor $A$ összes $k$-ad osztáylú ismétlés nélküli kombinációinak száma: $C_n^k$.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kombinációk száma}]
|
||||
$$C_n^k = {{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$, ha $k \neq n$, különben 0.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kombinációk száma}]
|
||||
$$C_n^k = {{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$, ha $k \neq n$, különben 0.
|
||||
\tcblower
|
||||
\textbf{Bizonyítás}\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
$V_n^k$ db különböző $k$-tagú sorozat, sorrend nem számít $\implies$\\
|
||||
$\implies$ minden $P_k$ sb sorozat ugyanaz $\implies$ számoljuk egyszer.\\
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
$V_n^k$ db különböző $k$-tagú sorozat, sorrend nem számít $\implies$\\
|
||||
$\implies$ minden $P_k$ sb sorozat ugyanaz $\implies$ számoljuk egyszer.\\
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ismétléses Kombináció}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ismétléses Kombináció}]
|
||||
Egy $A$ halmaz $k (n \in \mathbb{N})$ nem feltétlenül különböző elem kiválasztása sorrendre való tekintet nélkül, az \textbf{$A$ halmaz $k$-ad osztályú ismétléses kombinációja}.\\
|
||||
Ha $|A| = n$, akkor $A$ összes $k$-ad osztáylú ismétléses kombinációinak száma: $C_n^{k, i}$.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses kombinációk száma}]
|
||||
$$C_n^{k, i} = C_{n + k -1}^k = {{n + k - 1}\choose{k}} = \frac{(n + k - 1)!}{k!((n + k - 1) - k)!} $$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses kombinációk száma}]
|
||||
$$C_n^{k, i} = C_{n + k -1}^k = {{n + k - 1}\choose{k}} = \frac{(n + k - 1)!}{k!((n + k - 1) - k)!}$$
|
||||
\tcblower
|
||||
\textbf{Bizonyítás}\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Legyen $A = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$.\\
|
||||
MInden egyes választási lehetőségnek feleltessünk meg egy bitsorozatot:\\
|
||||
$1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 0 ... 0 1 1 1 ... 1$\\
|
||||
$k_1$ db, $k_2$ db, $k_3$ db 1es.\\
|
||||
Az $a_i$ elemet $k_i$-szer választottuk, tehát $k_1 + ... + k_n = k$ az összes $1$-es száma (ennyi elemet választottunk összesen).\\
|
||||
Továbbá az elválasztó $0$k száma $n - 1$, tehát a sorozatban $n - 1 + k$ pozíció lesz\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
Legyen $A = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$.\\
|
||||
MInden egyes választási lehetőségnek feleltessünk meg egy bitsorozatot:\\
|
||||
$1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 0 ... 0 1 1 1 ... 1$\\
|
||||
$k_1$ db, $k_2$ db, $k_3$ db 1es.\\
|
||||
Az $a_i$ elemet $k_i$-szer választottuk, tehát $k_1 + ... + k_n = k$ az összes $1$-es száma (ennyi elemet választottunk összesen).\\
|
||||
Továbbá az elválasztó $0$k száma $n - 1$, tehát a sorozatban $n - 1 + k$ pozíció lesz\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Ekkor a $k$ db $1$-es beírása $k$ különböző pozícióba nem más, mint $k$ db választás egy $n - 1 + k$ elemű halmazból ismétlés nélkül:\\
|
||||
$$C_{n + k - 1}^k = {n + k - 1 \choose k}$$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
Ekkor a $k$ db $1$-es beírása $k$ különböző pozícióba nem más, mint $k$ db választás egy $n - 1 + k$ elemű halmazból ismétlés nélkül:\\
|
||||
$$C_{n + k - 1}^k = {n + k - 1 \choose k}$$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ismétléses Permutáció}]
|
||||
$n$ elem valamely sorrendben való felsorolása, amelyben $k$ elem fordul elő rendre $n_1, n_2, ..., n_k$ gyakorisággal $(n_1 + n_2 + ... + n_k = n)$, \textbf{$n$ elem egy $n_1, n_2, ..., n_k$-ad osztályú ismétléses permutációja}.\\
|
||||
Ezek száma: $P_n^{n1, ..., n_k}$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ismátláses Permutáció}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses permutációk száma}]
|
||||
$P_n^{i_1, i_2, ..., i_r} = \frac{n!}{i_1!i_2!...i_r!}$
|
||||
\tcblower
|
||||
\textbf{Bizonyítás}\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses permutációk száma}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
Teljes indukcció $k$ szerint , $n$ rögzített\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
1. lépés: k = 1-re igaz: $P_n^n = \frac{n!}{n!} = 1$\\
|
||||
\mbigskip
|
||||
|
||||
2.lépés: Tfh $k > 1$ és $k - 1$-ig már beláttuk, ekkor:\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
ekvivalencia reláció:\\
|
||||
amely sorozatok megegyeznek, ha kivesszük az $n_k$-szor előforduló elemet ($k$-adik elem).\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
Ind. feltétel $\Rightarrow$ $P_{n - n_k}^{n_1, ..., n_{k - 1}}$ db osztály van.\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
Hány elem van az osztályban? $\rightarrow$ $n - n_k$ db elem.\\
|
||||
a $k$-adik elemet $n - n_k + 1$ helyre szúrhatjuk be.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
$c_{n - n_k + 1}^{n_k, i} = C^{n_n}_{(n - n_k + 1) + n_k - 1} = c_n^{n_k}$\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
$P_n^{n_1, ..., n_k} = P_{n - n_k}^{n_1, ..., n_{k - 1}} C_n^{n_k} = \frac{(n - n_k)!}{n_1!...n_{k - 1}!} \cdot \frac{n!}{(n - n_k)!n_k!} = \frac{n!}{n_1...n_k!}$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Binomiális tétel}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Binomiális tétel}]
|
||||
Adott $x, y \in R$ és $n \in \mathbb{N}$ esetén:\\
|
||||
$(x + y)^n = \sum_{k = 0}^n {n \choose k} x^ky^{n - k}$.
|
||||
\tcblower
|
||||
\textbf{Bizonyítás}\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
$p(x + y) ... (x + y) = x^n + ... + x^ky^{n - k} + ... + y^n$ ($n$ db tényező)\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Hány ilyen tag van? ($x^ky^{n - k}$).\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
$k$ db tényezőből az $x$-et $n - k$-ből az $y$-t választottuk.\\
|
||||
Összesen $n$ elemből $k$ elemet, sorrend nem számít! $\Rightarrow$\\
|
||||
$\Rightarrow$ ${n \choose k}$ db $x^ky^{n - k}$ alakú tag van.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Következmény (Binomiális tétel)}]
|
||||
$\sum_{k = 0}^n {n \choose k} = 2^n$ és $\sum_{i = 0}^n {n \choose k} (-1)^k = 0$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Logikai szita formula}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Logikai szita formula}]
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\tcblower
|
||||
\textbf{Bizonyítás}\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user