diff --git a/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex b/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex
index bd94820..3d7752c 100644
--- a/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex
+++ b/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex
@@ -25,7 +25,8 @@
 
 % Includes
 \usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{shapes,arrows}
+\usepackage{tkz-graph}
+\usetikzlibrary{shapes,arrows,automata}
 \usepackage[T1]{fontenc}
 \usepackage{amsfonts}
 \usepackage{amsmath}
@@ -34,7 +35,8 @@
 \usepackage{array}
 \usepackage{arydshln}
 \usepackage{enumerate}
-\usepackage[many]{tcolorbox}
+\usepackage[many, poster]{tcolorbox}
+\usepackage{pgf}
 
 % Colors
 \definecolor{myred}{rgb}{0.87,0.18,0}
@@ -81,12 +83,17 @@
 \setlength\dashlinegap{1.5pt}
 \setlength\arrayrulewidth{0.3pt}
 
+\newcommand{\mtinyskip}{\vspace{0.2em}}
+\newcommand{\msmallskip}{\vspace{0.3em}}
+\newcommand{\mmedskip}{\vspace{0.5em}}
+\newcommand{\mbigskip}{\vspace{1em}}
+
 \begin{document}
 
 \begin{frame}[plain]
 \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
 {\Huge A Számítástudomány Alapjai I}\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \\
 A kisbetűs szövegek (LaTeX-ben tiny), (Ha nincs előttük (S) jelzés, akkor lemaradt)\\
 a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók!
@@ -98,35 +105,35 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók!
 \begin{frame}[plain]
 \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}]
     {\Huge Logika}
-    \medskip
+    \mmedskip
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
 
 \begin{tcolorbox}[squeezed title={(Ítélet) változók, Logikai szimbólumok, Elválasztó szimbólumok, Logikai formula}]
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{(Ítélet) változók:} $p_1, p_2, ...$\\
 \hspace{1ex} \textbf{Jel: } $Var = \{p_1, p_2, ...\}$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{Logikai szimbólumok:} ${\neg}, {\land}, {\lor}, {\Rightarrow}, {\iff}.$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{Elválasztó szimbólumok:} $(, )$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{Logikai Formula:} Minden változó formula, továbbá ha $A, B$ formula, akkor:\\
 \textbf{${\neg}A, (A \land B), (A \lor B), (A \Rightarrow B), (A \iff B)$} is formula.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Legyen $Form$ az összes formula halmaza.
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Megj}]
 \textbf{Precedencia:}\\ 
-\bigskip
+\mbigskip
 $1. {\neg}, 2. {\land}, 3. {\lor}$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 $A \Rightarrow B \equiv {\neg}A \lor B$\\
 $(A \iff B) \equiv (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A) \equiv ({\neg}A \lor B) \land ({\neg}B \lor A)$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 (Az $\equiv$ jel itt a jobb elválasztást szolgálja, de egyébként alapból használható ugyanarra mint az $\iff$ jel!)
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
@@ -147,7 +154,7 @@ F formulára a következő állítások közül pontosan egy teljesül:
 \begin{tcolorbox}[title={Részformula, Közvetlen részformula}]
 Ha $F$ és formulákra  $f = G_1GG_2$, alkalmas $G_1, G_2, E(G)$ szavakra, ($G_1, G_2$ üres szavak is lehetnek!)\\
 akkor $G$ \textbf{részformulája} $F$-nek.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 A tétel 2-4 pontjában szereplő $G$ és $H$ \textbf{közvetlen részformulái} $F$-nek.
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
@@ -156,34 +163,34 @@ A tétel 2-4 pontjában szereplő $G$ és $H$ \textbf{közvetlen részformulái}
 \begin{tcolorbox}[title={Hozzárendelés}]
 Egy $\mathcal{A} : Var \rightarrow \{0, 1\}$ leképzést \textbf{hozzárendelésnek} nevezünk.\\
 {\tiny (S) Ítéletváltozóhoz (Var az összes ítéletváltozó halmaza) hozzárendelünk elemet a {0, 1} halmazból. Kb értékadás. (kb függvény)}\\
-\bigskip
+\mbigskip
 $\mathcal{A} : Form \rightarrow \{0, 1\}$ kiterjesztéshez legyen $F$ formula.\\
 {\tiny (S) Ugyan az, csak formulának adunk értéket.}\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \begin{enumerate}
 \item Ha $F = p$ valamely $p \in Var$ esetén, akkor $\mathcal{A}(F) = \mathcal{A}(p)$.\\
 {\tiny (S) Ha F formula értéke mindíg ugyan az mint egy tetszőleges p ítéletváltozó értéke, akkor hozzárendelés után is megegyezik az értékük. Kb mint monotonitás. }\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \item Ha $F = {\neg}G$ akkor:\\
-\medskip
+\mmedskip
 $\mathcal{A}(F)$ = $
 \begin{cases}
 1 &$ ha $\mathcal{A}(G) = 0\\
 0 &$ ha $\mathcal{A}(G) = 1\\
 \end{cases}
 $
-\bigskip
+\mbigskip
 \item Ha $F = G \lor H$ akkor:\\ 
-\medskip
+\mmedskip
 $\mathcal{A}(F)$ = $
 \begin{cases}
 1 &$ ha $\mathcal{A}(G) = 1$ vagy $\mathcal{A}(H) = 1\\
 0 &$ különben$\\
 \end{cases}
 $
-\bigskip
+\mbigskip
 \item Ha $F = G \land H$ akkor:\\
-\medskip
+\mmedskip
 $\mathcal{A}(F)$ = $
 \begin{cases}
 1 &$ ha $\mathcal{A}(G) = 1$ és $\mathcal{A}(H) = 1\\
@@ -200,20 +207,20 @@ $
 
 \begin{tcolorbox}[squeezed title={Formula modellje, Kielégíthető, Tautológia, Kielégíthetetlen}]
 Legyen $F$ formula, Legyen $\mathcal{A}$ egy hozzárendelés.s Ekkor\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ha $\mathcal{A}(F) = 1$, akkor ezt a tényt $\mathcal{A} \models F$-fel jelöljük, és azt mondjuk, hogy $\mathcal{A}$ \textbf{kielégíti} $F$-et, vagy hogy $\mathcal{A}$ \underline{\textbf{modellje}} $F$-nek.\\
 {\tiny (S) Mint egy függvén kb. F formulához hozzárendelünk egy értéket, és ha ez 1)}\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ha $F$-nek van modellje, akkor azt mondjuk, hogy $F$ \underline{\textbf{kielégíthető}}.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ha minden $\mathcal{A}$ hozzárendelés esetén $\mathcal{A} \models F$, akkor $F$ \underline{\textbf{tautológia}} (vagy másképpen érvényes).\\
 Jele: $\models F$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ha $F$-nek nincs modellje, akkor azt mondjuk, hogy $F$ \underline{\textbf{kielégíthetetlen}}.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Legyen $\Sigma$ formulák egy halmaza. Ha valamely $\mathcal{A}$ hozzárendelés esetén minden $F \in \Sigma$-re $\mathcal{A} \models F$, akkor ezen tényt $\mathcal{A} \models \Sigma$-val jelöljük, és azt mondjuk, hogy $\mathcal{A}$ kielégíti $\Sigma$-t vagy, hogy $\mathcal{A}$ modellje $\Sigma$-nak.\\
 {\tiny (S) Ha van egy olyan $\mathcal{A}$ hozzárendelésünk, amire a $\Sigma$ halmaz összes formulája igazat ad.}\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ha $\Sigma$-nak van modellje, akkor azt mondjuk, hogy $\Sigma$ kielégíthető.
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
@@ -233,7 +240,7 @@ Tetszőleges $k \in \mathbb{N}$ esetén az IT: $\{0, 1\}^k \rightarrow \{0, 1\}$
 \begin{table}[h!]
 \centering
 Negáció (unér művelet)\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \begin{tabular}{@{}C{3em}C{3em}@{}}
 \toprule
 \textbf{$A$} & \textbf{${\neg}A$} \\
@@ -244,12 +251,12 @@ h & i\\
 \toprule
 \end{tabular}
 \end{table}
-\bigskip
+\mbigskip
 
 \begin{table}[h!]
 \centering
 A többi művelet\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \begin{tabular}{C{1em}C{1em}rC{4.4em}C{4.4em}C{4.4em}C{4.6em}}
 \toprule
 \textbf{$A$} & \textbf{$B$} & \textbf{$|$} & \textbf{$A \land B$} & \textbf{$A \lor B$} & \textbf{$A \Rightarrow B$} & \textbf{$A \iff B$} \\
@@ -286,7 +293,7 @@ $IT: \{0, 1\}^k \rightarrow \{0, 1\}, k \geq 1$ igazságtábla esetén van olyan
 \item $IT = IT_F$.
 \end{enumerate} 
 \end{tcolorbox}
-\bigskip
+\mbigskip
 
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Adekvát halmazok}]
 $\{\neg, \lor, \land\}, \{\neg, \lor\}, \{\neg, \land\}$ adekvát (azaz bármilyen formula leírható ezekkel), $\{\lor, \land\}$ nem adekvát.
@@ -301,7 +308,7 @@ Azt mondjuk, hogy $F$ \underline{\textbf{logikai következménye}} $\Sigma$-nak,
 ha minden $\mathcal{A}$ hozzárendelés esetén valahányszor $\mathcal{A} \models \Sigma$, mindannyiszor $\mathcal{A} \models F$ is teljesül.\\
 {\tiny (S) logikai következmény egyenlő a $A \Rightarrow B$ boole függvénnyel, ha kikötjük, hogy A csak igaz lehet. (Mivel az alap Boole függvényben ha $A$ hamis, akkor az eredmény igaz!)}
 \end{tcolorbox}
-\medskip
+\mmedskip
 \begin{tcolorbox}[title={Ész}]
 \begin{enumerate}
 \item $F$ akkor és csak akkor érvényes (tautológia), ha $\emptyset \models F$. Tehát $\models F$. és $\emptyset \models F$ ugyanazt jelenti.\\
@@ -348,34 +355,34 @@ $F \land \downarrow \equiv \downarrow$, és $\downarrow \land F \equiv \downarro
 $F \land \uparrow \equiv F$, és $\uparrow \land F \equiv F$\\
 $F \lor \uparrow \equiv \uparrow$, és $\uparrow \lor F \equiv \uparrow$\\
 $F \lor \downarrow \equiv F$, és $\downarrow \lor F \equiv F$\\
-\smallskip
+\mmedskip
 Kontrapozíció (Modus Tollens):\\
 $A \Rightarrow B \iff {\neg}B \Rightarrow {\neg}A$\\
-\smallskip
+\mmedskip
 A de Morgan szabályok:\\
 ${\neg}(F \land G) \equiv {\neg}F \lor {\neg}G$\\
 ${\neg}(F \lor G) \equiv {\neg}F \land {\neg}G$\\
-\smallskip
+\mmedskip
 Az idempotencia szabályai:\\
 $F \land F \equiv F$\\
 $F \lor F \equiv F$\\
-\smallskip
+\mmedskip
 A kommutativitás szabályai:\\
 $F \land G \equiv G \land F$\\
 $F \lor G \equiv G \lor F$\\
-\smallskip
+\mmedskip
 Az asszociativitás szabályai:\\
 $(F \land G) \land H \equiv F \land (G \land H)$\\
 $(F \lor G) \lor H \equiv F \lor (G \lor H)$\\
-\smallskip
+\mmedskip
 Az adszorpció szabályai:\\
 $F \land (F \lor G) \equiv F$\\
 $F \lor (F \land G) \equiv F$\\
-\smallskip
+\mmedskip
 A disztributivitás szabályai:\\
 $F \land (G \lor H) \equiv (F \land G) \lor (F \land H)$\\
 $F \lor (G \land H) \equiv (F \lor G) \land (F \lor H)$\\
-\smallskip
+\mmedskip
 A dupla negáció szabálya:\\
 ${\neg}{\neg}F \equiv F$
 \end{tcolorbox}
@@ -413,11 +420,11 @@ ahol $l_{i, j}$-k literálok.
 \begin{tcolorbox}[squeezed title={Tétel: Konjunktív és diszjunktív normálforma létezése}]
 Minden $F$ Formulához létezik vele logikailag ekvivalens konjunktív és diszjunktív normálforma.
 %\tcbsubtitle{Bizonyítás}
-%\medskip
+%\mmedskip
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \\
 Konjunktív:
 \begin{enumerate}
@@ -434,7 +441,7 @@ Konjunktív:
 		\item $(F \land G) \lor H$ alakú részformulákat $(F \lor H) \land (G \lor H)$-val.
 	\end{itemize}
 \end{enumerate}
-\bigskip
+\mbigskip
 Diszjunktív:
 \begin{enumerate}
 	\item Ugyanaz mint a konjunktív normálforma esetén.
@@ -452,7 +459,7 @@ Diszjunktív:
 
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Elmélet}]
 Legyen $\Sigma$ egy formulahalmaz, ekkor:\\
-\smallskip
+\msmallskip
 $Th({\Sigma}) = \{F | \Sigma \models F\}$ a \textbf{$\Sigma$ által generált elmélet}.\\
 ($Th({\Sigma})$ a $\Sigma$ összes logikai következménye).
 \end{tcolorbox}
@@ -464,9 +471,9 @@ Ha $\Sigma$ formulák egy halmaza, akkor az $F_1, ... F_n$ formulák sorozatát
 \item $F_i$ tautológia
 \item van olyan $k, l < i$, hogy $F_l = F_k \rightarrow F_i$
 \end{enumerate}
-\bigskip
+\mbigskip
 Egy $F$ formula \textbf{bizonyítható (levezethető)} $\Sigma$-ból, ha van olyan $\Sigma$ feletti $F_1, ..., F_n$ bizonyítás, hogy $F_n = F$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{Jel.: $\Sigma \vdash F$}
 \end{tcolorbox}
 
@@ -564,13 +571,13 @@ TODO
 
 \begin{tcolorbox}[title={Gráf}]
 A $G = (V, E, {\phi})$ hármast \textbf{(irányítatlan) gráfnak} nevezzük, ha $V, E$ halmazok, $V \neq \emptyset, V \cap E = \emptyset$, és $\phi : E \rightarrow [V]^2$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 $[V]^2 = \{ [a, b] | a, b \in V \}$, ahol $[a, b] = [b, a]$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{V}: pont-, csúcshalmaz. $V(G)$ $G$ pontjai, $v(G) = |V(G)| = \#V$ G pontjainak száma.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{E}: élhalmaz. $E(G)$ $G$ élei, $e(G) = |E(G)| = \#E$ G éleinek száma.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 (E = Edge, V = Vertex)
 \end{tcolorbox}
 
@@ -609,9 +616,9 @@ $e \in E$ él végpontjai ($e$ illeszkedik $a$-ra, és $b$-re) ha $a, b \in V$ e
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Fokszám-Élszám}]
 Legyen $G = (V, E)$ (Gráf). Ekkor $G$-ben a páratlan fokú csúcsok száma páros.\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \\
 $$\sum_{a \in V} d(a) = \sum_{d(a) \equiv 0 (mod 2)} d(a) + \sum_{d(a) \equiv 1 (mod 2)} d(a) \equiv 0 (mod 2)$$
 amiből kapjuk, hogy $$\sum_{d(a) \equiv 1 (mod 2)} d(a) \equiv 0 (mod 2)$$.
@@ -625,15 +632,15 @@ amiből kapjuk, hogy $$\sum_{d(a) \equiv 1 (mod 2)} d(a) \equiv 0 (mod 2)$$.
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Gráfok izomorfiája}]
 A $G = (V, E)$ és $G' = (V', E')$ gráf \textbf{izomorf},\\
 ha létezik ${\pi} : V \rightarrow V'$, és $\rho : E \rightarrow E'$ bijekció úgy, hogy ha $a \in V$ és $e \in E$ illeszkedik $G$-ben $\iff$ ${\pi}(a)$ és ${\rho}(e)$ illeszkedik $G'$-ben.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 A $G = (V, E)$ és $G' = (V', E')$ egyszerű gráf \textbf{izomorf}, ha létezik ${\pi} : V \rightarrow V'$ bijekció úgy, hogy $a, b \in V$ szomszédos $G$-ben $\iff$ ${\pi}(a)$ és ${\pi}(b)$ szomszédos G'-ben.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 A $G = (V, E)$ egyszerű gráf \textbf{teljes gráf}, ha bármely két pontja szomszédos. \textbf{$K_n$} jelöli az \textbf{n} pontú teljes gráfot.
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Ész}]
 Ugyanannyi csússzámú teljes gráfok izomorfak.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 $K_n$-nek $\frac{n(n - 1)}{2}$ éle van.
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
@@ -642,7 +649,7 @@ $K_n$-nek $\frac{n(n - 1)}{2}$ éle van.
 
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Páros Gráf}]
 A $G = (V, E, {\phi})$ hármast \textbf{páros gráfnak} nevezzük, ha $V = V' \cup V'', V' \cap V'' = \emptyset$, és $G$ minden élének egyik végpontja $V'$-ben, másik végpontja $V''$-ben van.\\
-\medskip
+\mmedskip
 ($K_{3, 3}$ 6 pontú teljes páros gráf, $K_5$ 5 pontú teljes gráf.)
 \end{tcolorbox}
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Részgráf}]
@@ -654,7 +661,7 @@ Ha a $G' = (V', E', {\phi}')$ gráf a $G = (V, E, {\phi})$ gráf részgráfja, 
 \end{tcolorbox}
 \begin{tcolorbox}[title={Komplementer Gráf}]
 $\overline{G}$ an $n$-pontú egyszerű $G = (V, E)$ gráf \textbf{komplementer gráfja}, ha\\
-\smallskip
+\msmallskip
 $\overline{V}(G) = V(G)$ és\\
 $E(\overline{G}) = E(K_n) \setminus E(G)$.
 \end{tcolorbox}
@@ -665,20 +672,20 @@ $E(\overline{G}) = E(K_n) \setminus E(G)$.
 \begin{tcolorbox}[title={Zárt, Nyílt élsorozat (Séta)}]
 Legyen $k$ természetes szám.\\
 \textbf{$k$ hosszú élsorozat (séta) $a_0$-ból $a_k$-ba} az\\
-\smallskip
+\msmallskip
 $[a_0, e_1, a_1, e_2, a_2, ..., e_k, a_k]$ sorozat, ha $a_0, a_1, ..., a_k \in V(G), e_1, e_2, ..., e_k \in E(G)$ és ${\phi}(e_i) = [a_{i - 1}, a_i]$ minden $i = 1, 2, ..., k$-ra.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{Út, Vonal:}\\
 Egy élsorozat \textbf{út}, ha benne minden csúcs különböző és \textbf{vonal}, ha minden éle különboző.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{Zárt, Nyílt:}\\
 Egy élsorozat \textbf{zárt}, ha $a_0 = a_k$ különben \textbf{nyílt}.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{Kör:}\\
 \textbf{Kör} az a zárt élsorozat, melyben a többi csúcs egymástól és $a_0$-tól különbözik, és élei is mind különbözőek.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Út $\subset$ Vonal $\subset$ Séta\\
-\medskip
+\mmedskip
 Kör $\subset$ Zárt vonal $\subset$ Zárt séta
 \end{tcolorbox}
 \begin{tcolorbox}[title={Ész}]
@@ -697,9 +704,9 @@ Egy gráf \textbf{összefüggő}, ha benne bármilyen két csúcs összeköthet
 \end{tcolorbox}
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Komponensek}]
 Legyen $\sim$ a következő ekvivalenciareláció (Reflexív, Tranzitív, Szimmetrikus):\\
-\bigskip
+\mbigskip
 $a_1, a_2 \in V(G)$ esetén $a_1 \sim a_2$, ha $a_1 = a_2$ vagy $a_1$ és $a_2$ között van út.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Az azonos osztályokba eső csúcsok által meghatározott telített részgráfok a $G$ gráf \textbf{(összefüggő) komponensei}, számuk \textbf{c(G)}.
 \end{tcolorbox}
 \begin{tcolorbox}[title={Ész}]
@@ -758,9 +765,9 @@ Minden véges összefüggő $G$ gráfnak létezik feszítőfája.
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Körök száma}]
 Egy véges összefüggő $G = (E, V)$ gráfban létezik \underline{legalább} $e(G) - v(G) + 1$ különböző kör.\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \\
 A feszítőfa létezése téltel miatt ($\Rightarrow$) $\exists T$ feszítőfa, aminek $v(G) - 1$ éle van.\\
 Legyen $K_f$ az a kör, ami $T \cup \{f\}$-ben van, ahol $f \in E(G) \setminus E(T)$\\
@@ -772,19 +779,19 @@ $\Rightarrow$ legalább $e(G) - v(G) + 1$ különbző kör.
 \begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Elvágó élhalmaz, vágás}]
 Legyen $G =  (V, E, {\phi})$ egy gráf, $v, w \in V$, és $V' \subseteq V$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ha minden $v$-ből $w$-be vezető út tartalmaz $V'$-beli csúcsot, akkor\\
-\medskip
+\mmedskip
 \textbf{$V'$ elvágja $v$-t, és $w$-t}.\\
-\medskip
+\mmedskip
 Ha $E' \subseteq E$ és minden $v$-ből $w$-be vezető út tartalmaz $E'$-beli élet, akkor\\
-\medskip
+\mmedskip
 \textbf{$E'$ elvágja $v$-t, és $w$-t}.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ha $V'$, illetve $E'$ egy elemű, akkor \textbf{elvágó (szeparáló) pontról}, ill \textbf{elvágó (szeparáló) élről} beszélünk.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 $E' \subseteq E$ \textbf{elvágó, (szeparáló) élhalmaz}, ha a $G' = (V, E \setminus E')$ több komponensből áll, mint $G$. (azaz vannak olyan csúcsok $G$-ben, amelyeket $E'$ elvág.)\\
-\bigskip
+\mbigskip
 $E' \subseteq E$ \textbf{vágás}, ha elvágó élhalmaz, de semelyik  valódi részhalmaza nem az.
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
@@ -793,9 +800,9 @@ $E' \subseteq E$ \textbf{vágás}, ha elvágó élhalmaz, de semelyik  valódi r
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Vágások száma}]
 Egy véges összefüggő $G = (V, E)$ gráfban létezik legalább $v(G) - 1$ vágás.\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \\
 $T$ Feszítőfa összefüggő.\\
 $\Rightarrow$ $T_G$ komplementer nem vágás.\\
@@ -810,20 +817,20 @@ Mivel $T$-nek $v(G) - 1$ éle van $\Rightarrow$ legalább ennyi különböző v
 Egy körmentes gráfot \textbf{erdőnek} nevezünk.\\
 (Nincs kikötve, hogy összefüggő legyen,)\\
 (Egy fa is erdő).\\
-\medskip
+\mmedskip
 $G$ gráf maximállis élszámú körmentes részgráfja $G$ \textbf{feszítő erdője}.
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Ész}]
 A feszítő erdő minden összefüggő komponense $G$ megfelelő komponensének feszítőfája.\\
-\medskip
+\mmedskip
 Egy véges erdő élszáma: $v(G) - c(G)$, ahol $c$ a komponensek száma.
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={Rang, Nullitás}]
 $G$ \textbf{rangja}: $r(G) = v(G) - c(G)$\\
 (Minimálisan kiválasztható vágások száma)\\
-\medskip
+\mmedskip
 $G$ \textbf{Nullitása}: $n(G) = e(G) - v(G) + c(G)$\\
 (Minimálisan kiválaszthatü körök száma.)
 \end{tcolorbox}
@@ -856,7 +863,7 @@ Ha $G$ összefüggő véges gráf, akkor a következő állítások ekvivalensek
 \begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Hamilton gráfok}]
 Egy út \textbf{Hamilton-út}, ha $G$ gráf minden pontját tartalmazza.\\
-\medskip
+\mmedskip
 Ha egy kör a $G$ minden pontját tartalmazza, akkor \textbf{Hamilton-körnek}, $G$-t pedig \textbf{Hamilton-gráfnak} nevezzük.
 \end{tcolorbox}
 
@@ -864,8 +871,83 @@ Ha egy kör a $G$ minden pontját tartalmazza, akkor \textbf{Hamilton-körnek},
 $K_n(n > 2)$ Hamilton-gráf, ha $n$ páratlan, akkor Euler-gráf is.
 \end{tcolorbox}
 
+
+
 \begin{tcolorbox}[title={Példák}]
-TODO
+\begin{tcbposter}[
+poster = {height=7cm,spacing=2mm,rows=3},
+boxes = {colframe=mybg, colback=mybg},
+]
+
+\posterbox[]{column=2,row=1}{\hspace{0.5em}Euler}
+\posterbox[]{column=3,row=1}{\hspace{0.5em}Nem Euler}
+
+\posterbox[]{column=1,row=2}{\vspace{1.5em}Hamilton}
+\posterbox[]{column=1,row=3}{\vspace{1.5em}Nem Hamilton}
+
+\posterbox[]{column=2,row=2}{
+  \SetGraphUnit{2}
+  \GraphInit[vstyle=Normal]
+  \SetVertexSimple[MinSize    = 8pt, LineColor = black, FillColor = mygreen]
+\begin{tikzpicture}
+  \GraphInit[vstyle=Normal]
+  \SetVertexNoLabel
+  \Vertex{1}
+  \EA[unit=1](1){2}
+  \SO[unit=1](2){3}
+  \SO[unit=1](1){4}
+  \Edges(1,2,3,4,1)
+\end{tikzpicture}
+}
+
+\posterbox[]{column=3,row=2}{
+  \SetGraphUnit{2}
+  \GraphInit[vstyle=Normal]
+  \SetVertexSimple[MinSize    = 8pt, LineColor = black, FillColor = mygreen]
+\begin{tikzpicture}
+  \GraphInit[vstyle=Normal]
+  \SetVertexNoLabel
+  \Vertex{1}
+  \EA[unit=1](1){2}
+  \SO[unit=1](2){3}
+  \SO[unit=1](1){4}
+  \Edges(1,2,3,4,1,3,4,2)
+\end{tikzpicture}
+}
+
+\posterbox[]{column=2,row=3}{
+  \SetGraphUnit{2}
+  \GraphInit[vstyle=Normal]
+  \SetVertexSimple[MinSize    = 8pt, LineColor = black, FillColor = mygreen]
+\begin{tikzpicture}
+  \GraphInit[vstyle=Normal]
+  \SetVertexNoLabel
+  \Vertex{1}
+  \EA[unit=1](1){2}
+  \SO[unit=1](2){3}
+  \SO[unit=1](1){4}
+  \SOEA[unit=0.5](1){5}
+  \Edges(1,5,3,2,5,4,1)
+\end{tikzpicture}
+}
+
+\posterbox[]{column=3,row=3}{
+  \SetGraphUnit{2}
+  \GraphInit[vstyle=Normal]
+  \SetVertexSimple[MinSize    = 8pt, LineColor = black, FillColor = mygreen]
+\begin{tikzpicture}
+  \GraphInit[vstyle=Normal]
+  \SetVertexNoLabel
+  \Vertex{1}
+  \EA[unit=1](1){2}
+  \SO[unit=1](2){3}
+  \SO[unit=1](1){4}
+  \SOEA[unit=0.5](1){5}
+  \Edges(1,2,3,4,1,5,3)
+\end{tikzpicture}
+}
+\end{tcbposter}
+
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
 
@@ -882,7 +964,7 @@ Legyen $G$ egy $n \geq 3$ pontú egyszerű véges gráf. Ha $$d(v) \geq \frac{n}
 \begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Gráf súlya}]
 Legyen $G = (V, E, {\phi}, w)$ olyan gráf ($w$ a súlyfüggvény (Az él súlya)), ahol $w$ függvény egy $e \in E(G)$ élhez rendel valós számhalmazbeli értéket, amelyet $e$ \textbf{súlyának} nevezük. $X \subseteq E(G)$ esetén az $X$ részhalmaz súlya:\\
-\medskip
+\mmedskip
 $\sum_{e \in X} w(e)$.
 \end{tcolorbox}
 
@@ -892,7 +974,7 @@ Egy \textbf{mohó algoritmus} minden döntést az adott pillanatban rendelkezés
 
 \begin{tcolorbox}[title={Ész}]
 \textbf{Előny:}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \begin{enumerate}
 \item Könnyen kitalálható
 \item Könnyen Implementálható
@@ -904,7 +986,7 @@ Nem mindíg adja az optimális megoldást.
 
 \begin{tcolorbox}[title={Ellenpélda: TSP / Travelling Salesman Problem}]
 Egy utazóügynöknek $n$ városba kell ellátogatnia. Szeretné az útiköltséget minimalizálni úgy, hogy minden várost pontosan egyszer érintsen.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 TODO kép
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
@@ -1033,16 +1115,16 @@ Ezek közül pontosan egy végtelen, neve \textbf{külső tartomány}.
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Minimális fokszáma síkgráfban.}]
 Ha $G$ egyszerű, síkba rajzolható gráf, akkor $$\delta = \min_{{q \in V(G)}} d(a) \leq 5$$\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás (Indirekt)}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 TFH $\delta \geq 6$.
 Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy $v(G) \geq 3$.\\
 $\sum_{{a \in V(G)}} d(a) = 2e(G)$ (fokok száma = 2 x az élek száma)\\
 Mivel $\delta \geq 6 \implies 6v(G) \leq 2e(G)$\\
 A síkgráf élszáma tételből következik, hogy:\\
 $2e(G) \leq 6v(G) - 12.$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 $2e(G) \leq 6v(G) - 12$ \hspace{1ex} $/\cdot2$\\
 $6v(G) \leq 6v(G) - 12$ $\rightarrow$ Ellentmondás!
 \end{tcolorbox}
@@ -1053,17 +1135,17 @@ $6v(G) \leq 6v(G) - 12$ $\rightarrow$ Ellentmondás!
 A Kuratovski gráfok ($K_5$ és $K_{3,3}$) Nem rajzolhatók síkba.\\
 TODO: kép\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás (Indirekt)}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 TFH $K_5$ és $K_{3,3}$ síkbarajzolható.\\
-\smallskip
+\msmallskip
 \textbf{$K_{3,3}$ esetén}:\\
 $v(G) = 6$, és $e(G) = 9$\\
 Euler forumlából következik, hogy $t = 5$.\\
 Viszont $K_{3,3}$ nem tartalmaz háromszöget, és nincs szeparáló éle. $\implies$\\
 $\implies$ $4t \leq 2e(G) \implies 20 \leq 18$. $\rightarrow$ Ellentmondás!\\
-\smallskip
+\msmallskip
 \textbf{$K_5$ esetén}:\\
 $v(G) = 5$ és $e(G) = 10$\\
 Alkalmazzuk a síkgráf élszáma tételt ($e(G) \leq 3v(G) - 6$), ekkor\\
@@ -1091,7 +1173,51 @@ Egy egyszerű véges gráf \textbf{akkor, és csak akkor} rajzolható síkba, ha
 
 \begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Szomszédsági mátrix}]
-TODO
+Legyen a $G$ gráfban: $V = \{v_1, ..., v_n\}$ és $E = \{e_1, ..., e_m\}$\\
+\\
+egy $B_{n x m}$ mátrix, ahol\\
+\\
+Ha irányított:\\
+$b_{y} =$ ahány él van $v_i$ kezdő és $v_j$ végponttal.\\
+\\
+Ha irányítatlan:\\
+$b_{y} = $
+$
+\begin{cases}
+i = j$ esetén ahány hurokél illeszkedik $v_i$-re$\\
+i \neq j$ esetén ahány él van $v_i$ és $v_j$ közt$\\
+\end{cases}
+$\\
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[sidebyside]
+  \SetGraphUnit{2}
+  \GraphInit[vstyle=Normal]
+  \SetVertexSimple[MinSize    = 16pt, LineColor = black, FillColor = mygreen]
+\begin{tikzpicture}
+  \GraphInit[vstyle=Normal]
+  \SetVertexLabel
+  \Vertex{1}
+  \EA[unit=3](1){2}
+  \SO[unit=2](2){3}
+  \SO[unit=2](1){4}
+  \Loop[dist=0.7cm,dir=NOWE,style={thick,-}](1)
+  \Loop[dist=1.4cm,dir=NOWE,style={thick,-}](1)
+  \Edges(1,2,3,4,1,2,4)
+  \tikzset{EdgeStyle/.append style = {bend left}}
+  \Edge(2)(3)
+\end{tikzpicture}
+\vspace{12mm}
+\tcblower
+\[
+B_{4 x 4} = 
+\begin{bmatrix}
+	2 & 1 & 0 & 1\\
+	1 & 0 & 2 & 1\\
+	0 & 2 & 0 & 1\\
+	1 & 1 & 1 & 0\\
+\end{bmatrix}
+\]
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
 
@@ -1101,9 +1227,9 @@ TODO
 Egy összefüggő síkbeli gráf, amelynek $t$ tartománya van, (a külső tartományt is beleértve), eleget tesz az Euler-formulának:
 $$v(G) - e(G) + t = 2$$\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás (Sematikus)}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 Tekintsünk egy $K$ kört $G$-ben és egy $e \in E(K)$ élet.\\
 Mivel $e$ két tartomány határán van $\implies$ $e$ törlésével két szomszéd régió eggyé válik.
 
@@ -1124,9 +1250,9 @@ $$\implies v(G) - e(G) + t = v(G) - (v(G) - 1) + 1 = 2$$
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Síkgráf élszáma}]
 Ha $G$ egyszerű, síkba rajzolható gráf, és $v(G) \geq 3$, akkor $$e(G) \leq 3v(G) - 6$$.\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \\
 \textbf{1. Eset}\\
 TFH $G$ összefüggő.\\
@@ -1135,15 +1261,67 @@ Mivel G egyszeű $\implies$ minden tartományát legalább 3 él határolja. $\i
 $\implies$ legalább 3t élet számoltunk.\\
 Mivel az elvágó éleket egyszer számoltuk, a többit kétszer $\implies$ $3t \leq 2e(G)$.\\
 Az Euler formulából következik, hogy $$3(e(G) - v(G) + 2) \leq 2e(G) \implies e(G) \leq 3v(G) - 6$$\\
-\smallskip
+\msmallskip
 \textbf{2. Eset}\\
 TFH $G$ nem összefüggő.\\
 Ekkor visszavezetjük az első esetre, élek hozzáadásával.
-
 \end{tcolorbox}
-
 \end{frame}
 
+\begin{frame}
+\begin{tcolorbox}[title={Def.: Illeszkedési mátrix}]
+Legyen a $G$ gráfban: $V = \{v_1, ..., v_n\}$ és $E = \{e_1, ..., e_m\}$\\
+\mmedskip
+egy $B_{n x m}$ mátrix, ahol\\
+\mmedskip
+Ha irányított:\\
+$b_{y} = $
+$
+\begin{cases}
+1$ ha $e_j$-nek $v_i$ kezdőpontja$\\
+-1$ ha $e_j$ nem hurokél és $v_i$ a végpontja$\\
+0$ egyébként$\\
+\end{cases}
+$\\
+Ha irányítatlan:\\
+$b_{y} = $
+$
+\begin{cases}
+1$ ha $e_j$ illeszkedik $v_i$ pontra$\\
+0$ egyébként$\\
+\end{cases}
+$\\
+\end{tcolorbox}
+
+\begin{tcolorbox}[sidebyside]
+  \SetGraphUnit{2}
+  \GraphInit[vstyle=Normal]
+  \SetVertexSimple[MinSize    = 16pt, LineColor = black, FillColor = mygreen]
+\begin{tikzpicture}
+  \GraphInit[vstyle=Normal]
+  \SetVertexLabel
+  \Vertex{1}
+  \EA[unit=3](1){2}
+  \SO[unit=2](2){3}
+  \SO[unit=2](1){4}
+  \Edge[label=$e_1$](1)(2)
+  \Edge[label=$e_2$](2)(3)
+  \Edge[label=$e_3$](3)(4)
+  \Edge[label=$e_4$](4)(1)
+  \Edge[label=$e_5$](2)(4)
+\end{tikzpicture}
+\tcblower
+\[
+B_{4 x 5} = 
+\begin{bmatrix}
+	1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
+	1 & 1 & 0 & 0 & 1\\
+	0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
+	0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
+\end{bmatrix}
+\]
+\end{tcolorbox}
+\end{frame}
 
 % --------------------  FORÁLIS NYELVEK, ÉS AUTOMATÁK --------------------
 
@@ -1157,16 +1335,16 @@ Ekkor visszavezetjük az első esetre, élek hozzáadásával.
 \begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: $\Sigma$ feletti szó}]
 Legyen $\Sigma$ véges nemüres halmaz.\\
-\medskip
+\mmedskip
 \textbf{$\Sigma$ feletti szón} a $\Sigma$ elemeiből (betűiből) képzett véges sorozatot értjük: \\
-\medskip
+\mmedskip
 $w = w_1 ... w_n$, $w_1 \in {\Sigma}, i = 1, ..., n$\\
-\medskip
+\mmedskip
 \textbf{Szó hossza:} Az $n$ nemnegatív, egész szám a w szó hossza. Jelölés: $|w|$.\\
 ($|w|_0$ a $w$-ben található $0$-k száma.)\\
-\medskip
+\mmedskip
 \textbf{Üres szó:} A $0$ hosszúságú szó, jelölése : $\epsilon$\\
-\medskip
+\mmedskip
 ${\Sigma}^*$ jelöli a $\Sigma$ feletti szavak halmazát.\\
 (Végtelen, viszont a szavak végesek)
 \end{tcolorbox}
@@ -1177,15 +1355,15 @@ ${\Sigma}^*$ egy részhalmazát \textbf{$\Sigma$ feletti nyelvnek} nevezzük.
 
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Véges automata}]
 \textbf{$(Q, {\Sigma}, {\delta}, q_0, F)$}\\
-\medskip
+\mmedskip
 $Q$: Állapotok véges, nemüres halmaza.\\
-\medskip
+\mmedskip
 $\Sigma$: bemenő jelek (betűk) véges, nemüres halmaza.\\
-\medskip
+\mmedskip
 $\delta : Q x \Sigma \rightarrow Q$: átmeneti függvény.\\
-\medskip
+\mmedskip
 $q_0 \in Q$: Kezdőállapot.\\
-\medskip
+\mmedskip
 $F \subseteq Q$: Végállapotok halmaza.\\
 \end{tcolorbox}
 
@@ -1194,17 +1372,17 @@ $F \subseteq Q$: Végállapotok halmaza.\\
 \begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[squeezed title={Def.: Számítási sorozat, elfogadott szó, felismert nyelv}]
 Legyen $M = (Q, {\Sigma}, {\delta}, q_0, F)$ véges automata, $q \in Q$ és $w = w_1...w_n \in {\Sigma}^*$, ekkor az\\
-\medskip
+\mmedskip
 $r_0, r_1, ..., r_n (r_i \in Q, i = 1, ..., n)$\\
-\medskip
+\mmedskip
 állapotsorozat az $M$ $q$-ból induló számítási sorozata a $w$ szón, ha\\
-\medskip
+\mmedskip
 $r_0 = q$ és $r_i = {\delta}(r_{i - 1}, w_i)(i = 1, ..., n)$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{Elfogadott szó:} Azt mondjuk, hogy \textbf{$M$ elfogadja a $w$ szót}, ha létezik a $q_0$ kezdőállapotból induló számítási sorozat a $w$ szón és $r_n \in F$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{Felismert nyelv:} Az M által felismert nyelv: $L(M) = \{w \in {\Sigma}^* | M$ elfogadja $w$-t$\}$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Két automata \textbf{ekvivalens}, ha ugyanazt a nyelvet ismerik fel.
 \end{tcolorbox}
 
@@ -1214,7 +1392,7 @@ Az $L \subseteq {\Sigma}^*$ nyelvet \textbf{felismerhető nyelvnek} nevezzük, h
 
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Konkatenáció}]
 $A$ $\cdot : {\Sigma}^* x {\Sigma}^* \rightarrow {\Sigma}^*$ műveletet konkatenációnak nevezzük, ahol\\
-\medskip
+\mmedskip
 $u, v \in {\Sigma}^*, u = u_1...u_n, v = v_1...v_n$ esetén\\
 $u \cdot v = u1...u_nv_1...v_n$
 \end{tcolorbox}
@@ -1233,7 +1411,7 @@ $({\Sigma}^*, {\cdot})$ egységelemes félcsoport (monoid).\\
 \begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[squeezed title={Def.: Egyesítés,Metszet, Komplementer, Konkatenáció, Iteráció}]
 Legyen $L, L_1, L_2 \subseteq {\Sigma}^*$, ekkor\\
-\medskip
+\mmedskip
 \begin{enumerate}
 \item $L_1 \cup L_2 = \{v \in {\Sigma}^* : v \in L_1 \lor v \in L_2\}$ (Egyesítés) (Reguláris művelet)
 \item $L_1 \cap L_2 = \{v \in {\Sigma}^* : v \in L_1 \land v \in L_2\}$ (Metszet)
@@ -1253,26 +1431,26 @@ $L_1 \cup (L_2 \cup L_3) = (L_1 \cup L_2) \cup L_3$\\
 $L_1 \cup L_2 = L_2  \cup L_1$\\
 $L \cup L = L$\\
 $L \cup \emptyset = L$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 $L_1 \cdot (L_2 \cdot L_3) = (L_1 \cdot L_2) \cdot L_3$\\
 $L \cdot \{{\epsilon}\} = L$\\
 $\{{\epsilon}\} \cdot L = L$\\
 $L \cdot \emptyset = \emptyset$\\
 $\emptyset \cdot L = \emptyset$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 $L_1 \cdot (L_2 \cup L_3) = (L_1 \cdot L_2) \cup (L_1 \cdot L_3)$\\
 $(L_1 \cup L_2) \cdot L_3 = (L_1 \cdot L_3) \cup (L_2 \cdot L_3)$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Jelölések:\\
-\medskip
+\mmedskip
 $L^+ = L \cdot L^* = L^* \cdot L$\\
 $L^n = L \cdot ... \cdot L$ ($n$-szer), $L^0 = \{{\epsilon}\}$\\
-\medskip
+\mmedskip
 Észrevétel:\\
-\medskip
+\mmedskip
 $L^* = \bigcup_{n \geq 0} L^n$\\
 $L^+ = \bigcup_{n \geq 1} L^n$\\
-\smallskip
+\msmallskip
 Tehát: $L^* = L^+ \cup \{{\epsilon}\}$
 \end{tcolorbox}
 
@@ -1296,9 +1474,9 @@ Egy nyelv akkor, és csak akkor felismerhető, ha reguláris.
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felismerhető nyelvek komplementere}]
 $L$ Felismerhető $\implies$ $\overline{L}$\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \\
 Legyen $M = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F)$ véges automata és $L = L(M)$ (M automata felismeri az L nyelvet).\\
 Tekintsük a következő konstrukciót:\\
@@ -1314,21 +1492,21 @@ Ekkor  $L(\overline{M}) = \overline{L}$. (Azaz az $\overline{M}$ automata biztos
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felismerhető nyelvek metszete}]
 $L_1, L_2$ felismerhető $\implies$ $L_1 \cap L_2$\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \\
 Legyen: $L_1 = L(M_1), L_2 = L(M_2)$.\\
 Legyen: $M_1 = (Q_1, \Sigma , {\delta}_1, q_1, F_1), M_2 = (Q_2, \Sigma , {\delta}_2, q_2, F_2)$.\\
 Legyen: $Q = Q_1 x Q_2$ (Párokból áll, ha pl $Q_1$ 2 elemű, $Q_2$ 3 elemű, akkor $Q$ 6 elemből fog állni.)\\
 Legyen: $\delta = Q x \Sigma \rightarrow Q$ (Párok lesznek).\\
 Legyen: $\delta(s, a), s \in Q = \delta((s_1, s_2), a) = ({\delta}_1(s_1, a), {\delta}_2(s_2, a))$, $s_1 \in Q_1, s_2 \in Q_2, a \in \Sigma$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Legyen: $q_0 = (q_1, q_2)$\\
 Legyen: \underline{\textbf{$F_{\cap} = F_1 x F_2$}} (Az összes lehetséges módon párokat képzünk mindkét alap automata végállapot halmazaiból) $\implies$ csak akkor fog egy nyelvet felismerni, a "nagy" automata, ha mindkét "kis" automata az egyik eredeti végállapotában áll.)\\
-\smallskip
+\msmallskip
 Legyen: $M_{\cap} = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F_{\cap})$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ekkor: \underline{$L(M_{\cap}) = L_1 \cap L_2$}\\
 \end{tcolorbox}
 
@@ -1338,21 +1516,21 @@ Ekkor: \underline{$L(M_{\cap}) = L_1 \cap L_2$}\\
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felismerhető nyelvek egyesítése}]
 $L_1, L_2$ felismerhető $\implies$ $L_1 \cup L_2$\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \\
 Legyen: $L_1 = L(M_1), L_2 = L(M_2)$.\\
 Legyen: $M_1 = (Q_1, \Sigma , {\delta}_1, q_1, F_1), M_2 = (Q_2, \Sigma , {\delta}_2, q_2, F_2)$.\\
 Legyen: $Q = Q_1 x Q_2$
 Legyen: $\delta = Q x \Sigma \rightarrow Q$ (Párok lesznek).\\
 Legyen: $\delta((s_1, s_2), a) = ({\delta}_1(s_1, a), {\delta}_2(s_2, a))$, $s_1 \in Q_1, s_2 \in Q_2, a \in \Sigma$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Legyen: $q_0 = (q_1, q_2)$\\
 Legyen: \underline{\textbf{$F_{\cup} = F_1 x Q_2 \cup F_2 x Q_1$}} (Az \textbf{első} "kicsi" automata összes \textbf{végállapotát} párba vesszük a \textbf{második} "kicsi" automata összes \textbf{állapotával}, unió a \textbf{második} "kicsi" automata összes végállapota az első "kicsi" automata \textbf{állapotával} $\implies$ bármelyik "kicsi" automata végállapotba kerül, az a másiknak is végállapota lesz a pár másik felén. (Mivel pároknál számít az elemek sorrendje))\\
-\smallskip
+\msmallskip
 Legyen: $M_{\cup} = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F_{\cup})$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ekkor: \underline{$L(M_{\cup}) = L_1 \cup L_2$}\\
 \end{tcolorbox}
 
@@ -1361,31 +1539,31 @@ Ekkor: \underline{$L(M_{\cup}) = L_1 \cup L_2$}\\
 \begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Nemdeterminisztikus automata}]
 \textbf{Véges nemdeterminisztikus (üres átmenetekkel ellátott) automata:}\\
-\medskip
+\mmedskip
 $M = (Q, {\Sigma}, {\delta}, q_0, F)$,\\
-\medskip
+\mmedskip
 ahol $Q, {\Sigma}, q_0, F$ ugyanazok, mint véges automatában, továbbá:\\
-\medskip
+\mmedskip
 $\delta : Q$ $x$ $({\Sigma} \cup \{{\epsilon}\}) \rightarrow p(Q)$
 \end{tcolorbox}
 
 \begin{tcolorbox}[title={squeezed Def.: Számítási sorozat, elfogadott szó, felismert nyelv}]
 Legyen $M = (Q, {\Sigma}, {\delta}, q_0, F)$ véges \underline{nemdeterminisztikus} automata, $q \in Q$ és \underline{$w \in {\Sigma}^*$}, ekkor az\\
-\medskip
+\mmedskip
 $r_0, r_1, ..., r_n (r_i \in Q, i = 1, ..., n)$\\
-\medskip
+\mmedskip
 állapotsorozat az $M$ $q$-ból induló számítási sorozata a $w$ szón, ha \underline{$w$ felírható}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \underline{$w = w_1 ... w_n, w_i \in {\Sigma}_{\epsilon}, (i = 1, ..., n)$}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \underline{alakban úgy, hogy:}\\
-\medskip
+\mmedskip
 $r_0 = q$ és $r_i = {\delta}(r_{i - 1}, w_i)(i = 1, ..., n)$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{Elfogadott szó:} Azt mondjuk, hogy \textbf{$M$ elfogadja a $w$ szót}, ha létezik a $q_0$ kezdőállapotból induló számítási sorozat a $w$ szón és $r_n \in F$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{Felismert nyelv:} Az M által felismert nyelv: $L(M) = \{w \in {\Sigma}^* | M$ elfogadja $w$-t$\}$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 (az aláhúzotta különböznek a determinisztikus automatáshoz képest)
 \end{tcolorbox}
 
@@ -1402,9 +1580,9 @@ $\widehat{X} = \{s \in Q : {\exists}r_0,r_1,...,r_n, n \geq 0, r_0 \in X, r_n =
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Nemdeterminisztikus automata}]
 Minden $M = (Q, \Sigma , \delta , q_0, F)$ véges nemdeterminisztikus automatával felismerhető nyelv, felismerhető véges automatával.\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \\
 Tekintsük az $M' = (Q', \Sigma , {\delta}', Q_0, F')$ véges automatát ($Q_0$ halmaz!), ahol\\
 $Q' = p(Q)$ ($p(Q)$ $\rightarrow$ hatványhalmaz)\\
@@ -1423,15 +1601,15 @@ Megjegyzés: Elég lenne $p(Q)$ azon elemeivel számolni, amelyek elérhetők $Q
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felismerhető nyelvek szorzata}]
 $L_1, L_2$ felismerhető $\implies$ $L_1 \cdot L_2$\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \\
 Legyen: $L_1 = L(M_1), L_2 = L(M_2)$.\\
 Legyen: $M_1 = (Q_1, \Sigma , {\delta}_1, q_1, F_1), M_2 = (Q_2, \Sigma , {\delta}_2, q_2, F_2)$.\\
 Legyen: $Q_1 \cap Q_2 = \emptyset$\\
 Legyen: $L(M_1) = L_1, L(M_2) = L_2$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Legyen: ${\delta}(q, a) = $
 $
 \begin{cases}
@@ -1445,9 +1623,9 @@ $\\
 {\small (2) $\rightarrow$ Végállapot}\\
 {\small (3) $\rightarrow$ (Végállapot) Ha üres betű, akkor átugrunk a második automata kezdőállapotába.}\\
 \\
-\bigskip
+\mbigskip
 Legyen: $M_1 \cdot M_2 = (Q_1 \cup Q_2, \Sigma , \delta , q_1, F_2)$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ekkor: \textbf{$L(M_1 \cdot M_2) = L_1 \cdot L_2$}\\
 \end{tcolorbox}
 
@@ -1457,13 +1635,13 @@ Ekkor: \textbf{$L(M_1 \cdot M_2) = L_1 \cdot L_2$}\\
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felismerhető nyelvek iterációja}]
 $L$ felismerhető $\implies$ $L^*$ is felismerhető.\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \\
 Legyen: $M = (Q, \Sigma , {\delta}, q_0, F)$.\\
 Legyen: $M^* = (Q \cup \{s_0\}, \Sigma , {\delta}_*, s_0, F \cup \{s_0\})$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Legyen: ${\delta}(q, a)_* = $
 $
 \begin{cases}
@@ -1474,7 +1652,7 @@ $
 \emptyset & q = s_0$ és $a \neq \epsilon \\
 \end{cases}
 $\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{Ekkor: $L(M^*) = L^*$}\\
 \end{tcolorbox}
 
@@ -1483,7 +1661,7 @@ $\\
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Reguláris kifejezések}]
 $\Sigma$ véges, nemüres halmaz.\\
 Azt mondjuk, hogy $R$ reguláris kifejezés ($\Sigma$ felett), ha:\\
-\medskip
+\mmedskip
 \begin{enumerate}
 \item $R = a$  valamely $a \in \Sigma$-ra, és ekkor $R$ a $\{a\}$ nyelvet jelöli, vagy
 \item $R = \emptyset$ és ekkor $R$ az $\emptyset$ nyelvet jelöli, vagy
@@ -1491,7 +1669,7 @@ Azt mondjuk, hogy $R$ reguláris kifejezés ($\Sigma$ felett), ha:\\
 \item $R = (R_1 \cdot R_2)$ és ekkor $R$ az $R_1$ és $R_2$ által jelölt nyelvek konkatenációját jelöli, vagy
 \item $R = (R^*_1)$ és ekkor az $R$ az $R_1$ által jelölt nyelv iterációját jelöli.
 \end{enumerate}
-\medskip
+\mmedskip
 ahol $R_1, R_2$ reguláris kifejezések.
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
@@ -1506,9 +1684,9 @@ alakban úgy, hogy\\
 \item $xy'z \in L$ minden $i \geq 0$ egészre.
 \end{enumerate}
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \\
 Az L reguláris nyelvhez konstruáljuk meg az $M = (Q, {\Sigma}, {\delta}, q_0, F)$ véges automatát úgy, hogy legyen $p = |Q|$.\\
 Ha $u \in L$ és $|u| \geq p \implies$ a $q_0, q_1, ...,q_n (q_i \in Q, i = 0, ..., n)$\\
@@ -1518,14 +1696,14 @@ számítási sorozatra az $u$ szón teljesüljön, hogy\\
 \item $q_n \in F$
 \item ${\exists}i, j : 0 \leq i < j \leq p$ és $q_i = q_j$
 \end{enumerate}
-\bigskip
+\mbigskip
 Legyen továbbá:
 \begin{itemize}
 \item $x$ az $u$ szó $i$ hosszú kezdőszelete
 \item $y$ az $x$-et követő $j - i$ hosszú rész-szó
 \item $z$ az $u$-nak az $n - j$ hosszú zárószelete 
 \end{itemize}
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{Ekkor az $u = xyz$ felbontásra teljesülnek a lemma állításai.}
 \end{tcolorbox}
 
@@ -1535,19 +1713,17 @@ Legyen továbbá:
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Példa nemreguláris nyelvre}]
 Az $L = \{0^n1^n : n \geq 0\} \subseteq \{0, 1\}^*$ nyelv nem reguláris.\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \\
 Legyen $p$  tetszőleges, ekkor $u$ (szó) $ = 0^p1^p$.\\
 Tfh $x, y, z$ olyan szavak, amelyekre:\\
 $u = xyz, |xy| \leq p, |y| > 0$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ekkor $xy$ csupa 0-ból áll és $y$ tartalmaz legalább egy 0-t. $\implies$\\
 $\implies$ $i \neq 1$ esetén $xy'z \notin L$, mert több 0 lessz benne, mint 1-es! $\implies$\\
 $\implies$ Sosem találunk megfelelő $p$-t $\implies$ \textbf{A nyelv nem reguláris.}\\
-\bigskip
-TODO: Példa értékek
 \end{tcolorbox}
 
 \end{frame}
@@ -1567,21 +1743,21 @@ $G = (V, {\Sigma}, R, S)$ négyest, ahol\\
 
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Deriváció, közvetlen derivált}]
 Legyen $G = (V, {\Sigma}, R, S)$ környezetfüggetlen nyelvtan, $u, v \in (V \cup {\Sigma})^*$.\\
-\medskip
+\mmedskip
 \textbf{Közvetlen derivált:}\\
 Azt mondjuk, hogy \textbf{$u$ közvetlen deriváltja a $v$ szó}, Jelölés: $u \Rightarrow v$,\\
 ha létezik az $u = u_1Au_2$ és $v = u_1wu_2$ felbontás úgy, hogy $A  \rightarrow w \in R$.\\
-\medskip
+\mmedskip
 \textbf{$v$ szó $u$ ból való derivációja:}\\
 Egy $u_0, u_1, ..., u_n (n \geq 0)$ sorozatot a \textbf{$v$ szó $u$-ból való derivációjának} nevezünk, ha:\\
 $u_0 = u, u_n = v$ és\\
 $u_{i - 1} \Rightarrow u_i, i = 1, ..., n$.\\
-\medskip
+\mmedskip
 \textbf{Levezethető:}\\
 Azt mondjuk, hogy a \textbf{$v$ deriválható vagy levezethető $u$-ból},
 \\ha létezik a $v$-nek $u$-ból való derivációja.\\
 Jele: $u {\Rightarrow}^* v$.\\
-\medskip
+\mmedskip
 A \textbf{$G$ által generált nyelv}:\\
 $L(G) = \{w \in {\Sigma}^* : S {\Rightarrow}^* w\}$.
 
@@ -1598,14 +1774,14 @@ Egy nyelv \textbf{Környezetfüggetlen}, ha generálható környezetfüggetlen n
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Derivációs fa}]
 Legyen $G = (V, {\Sigma}, R, S)$ környezetfüggetlen nyelvtan.\\
 \textbf{$G$ feletti derivációs fa} olyan véges, irányított, rendezett fa, amely csúcsai a $V \cup {\Sigma} \cup \{{\epsilon}\}$ halmaz elemeive címkézettek úgy, hogy valahányszor egy csúcs és leszármazottainak címét rendre\\
-\medskip
+\mmedskip
 $X, X_1, ..., X_n (n \geq 1)$,\\
 mindannyiszor $X \rightarrow X_1...X_n \in R$.\\
-\medskip
+\mmedskip
 Továbbá minden levél címkéje az $\{{\epsilon}\} \cup {\Sigma} = {\Sigma}_g$ halmazban van, és ha egy csúcs valamely leszármazottja $\epsilon$-nal címkézett, akkor a csúcsnak egyetlen leszármazottja van.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ha a gyökér címkéje $X$, akkor a \textbf{derivációs fa $X$-ből indul}.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 A derivációs fa leveleinek, illetve a levelek címkéinek sorozata a \textbf{derivációs fa határa}, amely egy ${\Sigma}^*$-beli szó.
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
@@ -1617,15 +1793,15 @@ Egy $X \in (V \cup {\Sigma}_{\epsilon})$-ből induló derivációs fa, amelynek
 
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Jobb-, Baloldali deriváció}]
 Azt mondjuk, hogy egy\\
-\bigskip
+\mbigskip
 $u_0 \Rightarrow u_1 \Rightarrow ... \Rightarrow u_n$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{deriváció baloldali}, ha minden $i < n$ számra $u_{i + 1}$ úgy áll elő az $u_i$ szóból, hogy az $u_i$-ben előforduló első nemterminálist írjuk át.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{Jobboldali derivációk} hasonlóan definiálhatóak.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Baloldali deriváció jelölése:\\
-\bigskip
+\mbigskip
 $u_0 {\Rightarrow}_l ... {\Rightarrow}_l u_g$, vagy $u_0 {\Rightarrow}^*_l u_g$.
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
@@ -1652,12 +1828,12 @@ A $G = (V, {\Sigma}, R, S)$ \textbf{nyelvtant egyértelműnek} nevezzük, ha min
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Reguláris nyelv környezetfüggetlen}]
 Minden reguláris nyelv környezetfüggetlen.\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás (Konstr)}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 Legyen $L \in {\Sigma}^*, L = L(M)$, és\\
 $M = (Q, {\Sigma}, {\delta}, q_0, F)$ nemdeterminisztikus véges automata.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Megkonstruáljuk a $G = (Q, {\Sigma}, R, q_0)$ nyelvtant, ahol,\\
 $R = \{q \rightarrow aq' : q' \in {\delta}(q, a)\} \cup \{q \rightarrow \epsilon : q \in F \}$.\\
 Ekkor az $u \in  L(G) \iff \exists u$ szóra $q_0$-ból $q$-ba vezető számítási sorozat.\\
@@ -1670,11 +1846,11 @@ Ekkor az $u \in  L(G) \iff \exists u$ szóra $q_0$-ból $q$-ba vezető számít
 \begin{tcolorbox}[title={Jobblineáris nyelvtan, nyelv}]
 A $G = (V, {\Sigma}, R, S)$ környezetfüggetlen \textbf{nyelvtan jobblineáris},\\
 Ha minden osztálya:\\
-\medskip
+\mmedskip
 $A \rightarrow uB$ vagy $A \rightarrow u$ alakú, ahol $u \in {\Sigma}^*$ és $A, B \in V$\\
-\bigskip
+\mbigskip
 L \textbf{nyelv jobblineáris}, ha generálhatü jobblineáris nyelvtannal.\\
-\smallskip
+\msmallskip
 (Ez a legszigorúbb szabály, a reguláris nyelveket tudja generálni.)
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
@@ -1683,27 +1859,27 @@ L \textbf{nyelv jobblineáris}, ha generálhatü jobblineáris nyelvtannal.\\
 \begin{tcolorbox}[squeezed title={Tétel: Környezetfüggetlen nyelvek műveleti zártsága}]
 A környezetfüggetlen nyelvek zártak a reguláris műveletekre.\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás (Kontrapozíció)}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 A módszer: adott $E$ reguláris kifejezéshez megadjuk a\\
 $G_E = (V_E, {\Sigma}, R_E, S_E)$\\
 nyelvtant, amely az $E$ által jelölt nyelvet generálja.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Legyen először $E = \emptyset$:\\
 Akkor $G_{\emptyset} = (\{S\}, {\Sigma}, \emptyset, S)$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ha $E = a \in {\Sigma}$:\\
 Akkor $G_a = (\{S\}, {\Sigma}, \{S \rightarrow a\}, S)$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ha $E = (E_1 + E_2)$:\\
 Akkor $G_E = (V_{E_1} \cup V_{E_2} \cup \{S\}, \Sigma, R_{E_1} \cup R_{E_2} \cup \{S \rightarrow S_{E_1}, S \rightarrow S_{E_2}\}, S)$,\\
 és feltesszük, hogy $V_{E_1} \cap V_{E_2} = {\emptyset}, S \notin V_{E_1} \cup V_{E_2}$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ha $E = (E_1 \cdot E_2)$:\\
 Akkor $G_E = (V_{E_1} \cup V_{E_2} \cup \{S\}, \Sigma, R_{E_1} \cup R_{E_2} \cup \{S \rightarrow S_{E_1}S_{E_2}\}, S)$,\\
 és feltesszük, hogy $V_{E_1} \cap V_{E_2} = {\emptyset}, S \notin V_{E_1} \cup V_{E_2}$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Ha $E = (E_1)^*$:\\
 Akkor $G_E = (V_{E_1} \cup \{S\}, \Sigma, R_{E_1} \cup \{S \rightarrow SS_{E_1}, S \rightarrow \epsilon \}, S)$,\\
 és feltesszük, hogy $S \notin V_{E_1}$.\\
@@ -1715,10 +1891,10 @@ Akkor $G_E = (V_{E_1} \cup \{S\}, \Sigma, R_{E_1} \cup \{S \rightarrow SS_{E_1},
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Veremautomata, Elfgadott szó}]
 \textbf{Veremautomata} egy $M = (Q, {\Sigma}, {\Gamma}, {\delta}, q_0, F)$ rendszer,\\
 ahol $Q, {\Sigma}, q_0, F$ ugyanazok, mint véges automata esetén, továbbá\\
-\medskip
+\mmedskip
 $\Gamma$ : véges, nemüres halmaz, a verem ábécé.\\
 $\delta : Q x {\Sigma}_g x {\Gamma}_g \rightarrow p(Q x {\Gamma}_g)$ az átmenetfüggvény.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 \textbf{Elfogadott szó:}\\
 Az \textbf{$M$ veremautomata akkor fogadja el a $w \in {\Sigma}^*$ szót,} ha\\
 ${\exists}w_1, ..., w_m \in {\Sigma}_g, r_0, ..., r_m \in Q, s_0, ..., s_m \in {\Gamma}^*$, ahol\\
@@ -1729,7 +1905,7 @@ ${\exists}w_1, ..., w_m \in {\Sigma}_g, r_0, ..., r_m \in Q, s_0, ..., s_m \in {
 valamely $a, b \in {\Gamma}_g, t \in {\Gamma}^*$ esetén.
 \item $r_m \in F$
 \end{enumerate}
-\medskip
+\mmedskip
 Jelölés: $L(M)$ jelöli az $M$ által elfogadott $w \in {\Sigma}^*$ szavak halmazát.\\
 $L(M)$-et am $M$ által felismert nyelvnek nevezzük.
 \end{tcolorbox}
@@ -1738,18 +1914,18 @@ $L(M)$-et am $M$ által felismert nyelvnek nevezzük.
 \begin{frame}
 \begin{tcolorbox}[title={Def.: Konfiguráció}]
 \textbf{Konfiguráció} a $(q, {\alpha}, u) \in Q x {\Sigma}_{\epsilon} x {\Gamma}_{\epsilon}$ rendezett hármas.\\
-\medskip
+\mmedskip
 $(q, {\alpha}, u) \vdash (q', {\alpha}', u')$,\\
 {\tiny (S) A $\vdash$ kb levezethetőt jelent, de nem biztos, hogy ez a szakszó rá!}
-\medskip
+\mmedskip
 ha létezik olyan $((q, a, {\gamma}), (q', {\gamma}'))$ szabály és $\mathcal{B} \in {\Gamma}^*$, hogy\\
-\medskip
+\mmedskip
 $u = au'$, $\alpha = {\gamma}{\beta}$, ${\alpha}' = {\gamma}'{\beta}$.\\
-\medskip
+\mmedskip
 $(q, {\alpha}, u) {\vdash}^* (q', {\alpha}', u')$.\\
-\medskip
+\mmedskip
 ha valamely $(r_i, {\alpha}_i, u_i), i = 0, ..., n$ konfigurációkra\\
-\medskip
+\mmedskip
 $(r_0, {\alpha}_0, u_0) = (q, {\alpha}, u)$, $(r_n, {\alpha}_n, u_n) = (q', {\alpha}', u')$, és\\
 $(r_i, {\alpha}_i, u_i) \vdash (r_{i + 1}, {\alpha}_{i + 1}, u_{i + 1})$ minden $i = 0, ..., n - 1$ esetén.\\
 \end{tcolorbox}
@@ -1776,14 +1952,14 @@ alakban úgy, hogy\\
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Példa nem környezetfüggetlen nyelvre 1}]
 Az $L = \{a^nb^nc^n : n \geq 0 \} \subseteq \{a, b, c\}^*$ nyelv nem környezetfüggetlen.\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \\
 Belátjuk, hogy ${\forall}p > 0$ egészhez ${\exists}w \in L, |w| \geq p$ úgy, hogy\\
 a $w$ tetszőleges olyan $w = uvxyz$ felbontására, ahol $|vy| > 0, |vxy| < p$,\\
 létezik olyan i, amelyre $uv^ixy^iz \notin L$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 Tetszőleges $p$-hez legyen $w = a^pb^pc^p$. Ekkor bárhogyan is írjuk fel a $w$-t úgy, hogy $w = uvxyz$ felbontásra $|vy| > 0, |vxy| < p$, mindíg lesz olyan betű, amely nincs benne $vy$-ban, viszont ekkor $uxz \notin L$.
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}
@@ -1792,14 +1968,14 @@ Tetszőleges $p$-hez legyen $w = a^pb^pc^p$. Ekkor bárhogyan is írjuk fel a $w
 \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Példa nem környezetfüggetlen nyelvre 2}]
 Az $L = \{w\#w : w \in \{0, 1\}^* \}$ nyelv nem környezetfüggetlen.\\
 \tcblower
-\smallskip
+\msmallskip
 \underline{\textbf{Bizonyítás}}\\
-\medskip
+\mmedskip
 \\
 Tetszőleges $p$-hez legyen $w = 0^p1^p\#0^p1^p$, és tekintsük $w$ egy tetszőleges olyan $w = uvxyz$ felbontását, ahol $|vy| > 0, |vxy| < p$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 1. eset: Ha $\# \notin x$ $\rightarrow$ $uv^2xy^2z \notin L$.\\
-\bigskip
+\mbigskip
 2. eset: Ha $\# \in x$ $\rightarrow$ Ekkor $u$-ban csak az $1, y$-ban csak $0$ szerepelhet. $\rightarrow$ Mivel $vy \neq \epsilon \Rightarrow uxz \notin L$.
 \end{tcolorbox}
 \end{frame}