mirror of
https://github.com/Relintai/Documents.git
synced 2024-11-11 03:32:09 +01:00
commit.
This commit is contained in:
parent
32aec0c216
commit
b3940e414e
13
Adatbázisok/02.tex
Normal file
13
Adatbázisok/02.tex
Normal file
@ -0,0 +1,13 @@
|
||||
|
||||
UML modell
|
||||
|
||||
kulcs -> aláhúzva
|
||||
ha egy érték több érték lehet dupla vonalas elipszissel jelöljük
|
||||
Amikor meghatározható a többi segítségével, akkor szaggatott vonal (ellipszis)
|
||||
|
||||
Kapcsolatok
|
||||
|
||||
1:n es Kapcsolatok
|
||||
dopla nyíl, 1, n jelölés
|
||||
|
||||
Remációs algebrába van osztás, de sqlbe nincs
|
160
Algoritmusok2/01.tex
Normal file
160
Algoritmusok2/01.tex
Normal file
@ -0,0 +1,160 @@
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
Algo 2
|
||||
|
||||
Ajánlott irodalom:
|
||||
Algoritmusok, (Rónyai, Szabó, ?)
|
||||
|
||||
|
||||
Ismétlés
|
||||
Algo1 -> ADT, ADS, etc
|
||||
|
||||
Verem
|
||||
|
||||
Axiómák
|
||||
1. Üres-e(Üres) Igaz
|
||||
2. ...
|
||||
5. etc
|
||||
|
||||
1. ADT
|
||||
|
||||
2. ADS
|
||||
|
||||
szrekezeti gráf + { műveletek + axiómák } -> ADT
|
||||
|
||||
pl (10)->(20)->(30)->(40) lehet pl verem, sor (attól függ, milyen műveletek )
|
||||
|
||||
3. reprezentáci
|
||||
(1) tömbös
|
||||
(2) pointeres
|
||||
|
||||
----
|
||||
|
||||
Műveletigények
|
||||
|
||||
1. Buborékrendezés
|
||||
Alulról felfele a szomzédos elemek cseréjével felbuborékoztatjuk az elemeket
|
||||
|
||||
1. elem összehas. Ö(sz) = n - 1
|
||||
2. elem n - 2
|
||||
3. elem n - 3
|
||||
etc
|
||||
|
||||
Ö_{sz} = \frac{n(n - 1)}{2} = {\Theta}(n^2) vagy O(N^2)
|
||||
|
||||
f: {\mathbb{N}} \rightarrow {R}_0^+
|
||||
|
||||
Def:
|
||||
O(g) = {f | {\exists}c>0, elég nagy n-re f(n) \leq cg(n) }
|
||||
O(g) = {f | {\exists}c>0, elég nagy n-re f(n) < cg(n) }
|
||||
{\Omega}(g) = {f | {\exists}c>0, elég nagy n-re f(n) \geq cg(n) }
|
||||
{\omega}(g) = {f | {\exists}c>0, elég nagy n-re f(n) > cg(n) }
|
||||
|
||||
Összehasonlító rendezések Műveletigénye
|
||||
|
||||
(A) alsó becslés:
|
||||
|
||||
műv. igény:
|
||||
|
||||
ÖH(n) = {\Omega}(n \cdot log(n))
|
||||
|
||||
Döntési fa:
|
||||
* \forall alg-hoz konstruálható
|
||||
* igaz/hamis kérdések
|
||||
|
||||
pl.: "A[3] > A[1]^2"
|
||||
|
||||
füzet (1)
|
||||
|
||||
n! levél (n elemet hányféleképp lehet sorbarendezni: n!)
|
||||
|
||||
Beszúró rendezés
|
||||
|
||||
1 | 2 | 5 | 7 || 4 | 1
|
||||
1 | 2 | 5 | 7 || [] | 1
|
||||
1 | 2 | 5 | [] | 7 ||1
|
||||
1 | 2 | [] | 5 | 7 ||1
|
||||
1 | 2 | 4 | 5 | 7 ||1
|
||||
|
||||
n*log n es rendezések:
|
||||
verseny, kupac, összefésülő, gyors
|
||||
|
||||
Verseny rendezés
|
||||
|
||||
n = 2^k
|
||||
(binfa)
|
||||
(általában a tárhely igény miatt nem használják)
|
||||
füzet(2)
|
||||
|
||||
|
||||
Kupac renndezés
|
||||
|
||||
Kupac:
|
||||
Def (ADS)
|
||||
-Teljes, balra tömörített, bnáris fa.
|
||||
-Szülő < Gyerek (kupactulajdonság)
|
||||
|
||||
Műveletek (ADT)
|
||||
Beszúr, Mintöröl
|
||||
|
||||
Füzet (3)
|
||||
|
||||
Felszivárog(v) (logn)
|
||||
{
|
||||
ha v > szülő(v1, v2)
|
||||
{
|
||||
csere a kisebbel.
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
Összefésölő Rendezés
|
||||
(Oszdmeg és uralkodj) = rekurzió
|
||||
|
||||
Füzet
|
||||
|
||||
Műv igény:
|
||||
k és l hosszú rendezett tömb esetén k + l - 1
|
||||
|
||||
műv igény: n \cdot log(n)
|
||||
|
||||
n = 2^k
|
||||
|
||||
T(n) = összehasonlítások
|
||||
|
||||
T(n) \leq n - 1 + 2T(\frac{n}{2}) \leq n - 1 + 2 (\frac{n}{2} - 1 + 2T(\frac{n}{4})) \leq
|
||||
\leq n - 1 + 2(\frac{n}{2}) + 4T(\frac{n}{4}) + ... + 2^{k - 1}(\frac{n}{2^{k - 1}}) + 2^{k - 1} + 2^{k - 1} T(\frac{n}{2^{k-1}}) =
|
||||
= k \ cdot n - k = nlogn - log_2n = O(nlog_2n)
|
||||
|
||||
|
||||
Gyorsrendezés
|
||||
|
||||
Veszünk egy véletlen számon 1 től n ig,
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Műv igény
|
||||
|
||||
...
|
||||
|
||||
C(n) = (n - 1) + \frac{2}{n}(C(1) + C(2) + ... + C(n))
|
||||
-C(n - 1) = n - 2 + \frac{2}{n - 1}(c(1)+ ... + C(n - 1))
|
||||
--------------------------------------------------------
|
||||
Rendezés után:
|
||||
\frac{C(n)}{n + 1} = \frac{2(n - 1)}{n(n + 1)} + \frac{c(n - 1)}{n} < \frac{2}{n} + \frac{C(n - 1)}{n} <
|
||||
< \frac{2}{n} + \frac{2}{n-1} + \frac{B(n-2){n-1}} < ...
|
||||
(2 kiemel)
|
||||
... < 2(\frac{1}{n} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-2} + ... + \frac{1}{2} + \frac{1}{1}) ~= 2nlogn = O(n log n)
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
0
Algoritmusok2/02.tex
Normal file
0
Algoritmusok2/02.tex
Normal file
347
Analizis 1/01.tex
Normal file
347
Analizis 1/01.tex
Normal file
@ -0,0 +1,347 @@
|
||||
|
||||
1. Valós számok axiómái:
|
||||
R \neq \emptyset (sima R, mert halmaz)
|
||||
|
||||
A.
|
||||
\exists \theta \epsilon \in R, \forall x, y \in R
|
||||
x + y \in R
|
||||
xy \in R
|
||||
tetszőleges a, b, c \in R esetén:
|
||||
1. a + b = b + a
|
||||
2. (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) etc (6 db)
|
||||
|
||||
B.
|
||||
Adott R halmazon \leq teljes rendezés (reflexív, tranzitív, antiszimmetrikus) reláció
|
||||
|
||||
(teljes rendezés: a \leq b és b \leq a relációk közül az egyik legalább teljesül.)
|
||||
|
||||
C.
|
||||
a \leq b
|
||||
|
||||
(i) a + c \leq b + c
|
||||
(ii) c \geq 1 \Rightarrow ac \ leq bc
|
||||
a (c \geq 1 nél az 1 az előbbi \theta, egységelem)
|
||||
|
||||
D.
|
||||
Minden felülről korlátos halmaznak \exists legkisebb felső korlátja
|
||||
|
||||
(vesszük a felső korlátok halmazát)
|
||||
(írott) K := {(sima) K \in R: x \leq (sima) K (x \in A)}
|
||||
|
||||
(legyen) !A \neq \emptyset, felölről korlátos, ha {\exists}M,
|
||||
|
||||
a legkisebb felső korlát = sup A (az A halmaz supremuma).
|
||||
|
||||
Ehhez hasonlóan:
|
||||
|
||||
Minden aluról korlátos halmaznak \exists legnagyobb alsó korlátja.
|
||||
Ez az inf A (az A halmaz infinuma).
|
||||
|
||||
|
||||
A - D, \RIghtarrow számtest, (\mathbb) Z, R, Q, C, R^n
|
||||
|
||||
!A \neq \emptyset felölről korlátos, \forall x \in A: x \leq sup A := \alpha \iff
|
||||
\iff \forall \epsilon > 0: "\aplha - \epsilon már nem supremum" azaz \exists y \in A: \alpha > y \geq \alpha - \epsilon
|
||||
|
||||
példa:
|
||||
|
||||
A:= { -\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}, n \geq 1}
|
||||
|
||||
azaz: -1, -1/2, -1/3, -1/4, .... \leq 0 = sup A
|
||||
|
||||
Valüs számok alaptételei:
|
||||
|
||||
1. Tétel (1.3.1):
|
||||
|
||||
Legyen x, y \in \mathbb{R} x > 0:
|
||||
|
||||
\forall y \in \mathbb{R} esetén \exists n \in \mathbb{N}, hogy nx > y
|
||||
|
||||
Biz.: (Indirekt)
|
||||
|
||||
Tfh.: \exists x, y \in \mathbb{R}, x > 0 és \forall n \in \mathbb{N} nx \leq y
|
||||
|
||||
Ekkor létezik a halmaznak legkisebb felső korlátja, legyen ez az \alpha :
|
||||
A := { nx : n \in \mathbb{N}}
|
||||
\alpha := sup A
|
||||
|
||||
ekkor:
|
||||
\exists \epsilon > 0 : \exists x \in A, hogy nx = y > \alpha - \epsilon
|
||||
|
||||
\epsilon := x \Rightarrow nx > \aplha - x =
|
||||
(n + 1)x > \aplha \Rightarrow ELLENTMONDÁS
|
||||
|
||||
2. Tétel (Dedekind) (1.3.2)
|
||||
|
||||
A, B \neq \emptyset halmazok, \forall a \in A és \forall b \in B esetén:
|
||||
a \leq b \Rightarrow \exists \gamma \in \mathbb{R}
|
||||
a \leq \gamma \leq b tetszőleges a \in A és b \in B esetén.
|
||||
|
||||
Biz.:
|
||||
|
||||
(írott) K := { (sima)K \in \mathbb{R}: x \leq (sima) K (x \in A)} (azaz az A halmaz felölről korlátos halmaz.)
|
||||
|
||||
min (írott) K = sup A : (legyen sup A = {\gamma}): a \leq \gamma
|
||||
viszont a \gamma \leq b, mivel a B (részhalmaza) (írott) K-nak.
|
||||
|
||||
3. Tétel (Cantor):
|
||||
|
||||
"Bármely egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozatnak \exists közös pontja."
|
||||
|
||||
Legyenek [a_n, b:n] intervallumok adottak, az [a_{n+1}, b_{n+1}] (részhalmaz =) [a_n, b_n] \Rightarrow
|
||||
|
||||
\bigcap_{n = 0}^{+ \infty} [a_n, b_n] \neq \emptyset
|
||||
|
||||
Biz.:
|
||||
A := {a_n : n \in \mathbb{N}}
|
||||
B := {b_n : n \in \mathbb{N}}
|
||||
|
||||
Egymásba skatulyázott intervallumok, azaz a_n \leq b_n
|
||||
a_l \leq b_m triviális
|
||||
|
||||
\Rightarrow Dedekind \Rightarrow \exists \gamma \in \mathbb{R}, hogy \gamma \in \bigcap_{n = 0}^{+ \infty} [a_n, b_n] \neq \emptyset
|
||||
|
||||
1.3.6 Tétel (négyzetgyök):
|
||||
|
||||
{\exists}! \aphy \in \mathbb{R}, \alpha > 0: \alpha^2 = 2
|
||||
|
||||
Biz:
|
||||
|
||||
A := { x > 0: x^2 \leq 2 } (A felölről korlátos.)
|
||||
|
||||
\forall x \leq 2
|
||||
(x \in A)
|
||||
|
||||
|
||||
felülről korlátos: (Ha \exists x \in A: x > 2, x \cdot x > 4, x^2 \leq 2 kellene.)
|
||||
|
||||
legyen \alphy := sup A.
|
||||
|
||||
áll.: {\alpha}^2 = 2 (\alpha \in A)
|
||||
|
||||
|
||||
tfh (indirekt):
|
||||
{\alpha}^2 \neq 2, {\alpha}^2 < 2, {\alpha}^2 > 2
|
||||
|
||||
\exists \epsilon > 0: {\alpha} + {\epsilon} nem a legkisebb felső korlát.
|
||||
|
||||
(\aplha + \epsilon)^2 = \alpha^2 + 2\alpha \epsilon + \epsilon^2 < 2 \rightarrow ELLENTMONDÁS
|
||||
|
||||
|
||||
Áll.:
|
||||
\forall a, b > 0 (a, b) tartalmaz racionális számot:
|
||||
|
||||
Biz.:
|
||||
vegyük az a számot, hogy b - a.
|
||||
b - a biztosan > 0.
|
||||
|
||||
Arkhim.:
|
||||
\exists n \in \mathbb{N}: n(b - a) > 1
|
||||
|
||||
b - a > 1 / n := x *
|
||||
|
||||
|
||||
\exists M \in \mathbb{N}: mx > a
|
||||
mx = m / n
|
||||
|
||||
!A := { m \in \mathbb{N}: m/n > a }
|
||||
|
||||
|
||||
\exists p \in A, p legkisebb: p/n > a
|
||||
p-1/n < leq a
|
||||
|
||||
p/n = p-1/n + 1/n < p-1/n \leq (= lehúzva) a + *(b - a)
|
||||
(* szerint)
|
||||
nem teljesülhet az egyenlőség.
|
||||
|
||||
|
||||
3. Relációk:
|
||||
|
||||
Def (Descarted szorzat):
|
||||
(legyen)!A, B \neq \emptyset : A x B
|
||||
|
||||
c = { (a, b): a \in A, b \in B }
|
||||
(a, b) := { {a}, {a, b}}
|
||||
|
||||
Def.:
|
||||
|
||||
Az A x B tetszőleges részhalmazát relációnak nevezzük.
|
||||
(relációk a függvények általánosításai)
|
||||
|
||||
Def.:
|
||||
|
||||
!r (részh) A x B reláció
|
||||
|
||||
Ért. Tartomány: D_r := {x \in A : \exists y, (x, y) \in r }
|
||||
Értékkészlet: R_r := {y \in B : \exists x \in A, (x, y) \in r}
|
||||
|
||||
Def.:
|
||||
|
||||
Amh. az r (részh) A x B reláció homogén, ha A = B.
|
||||
|
||||
Ekkor amh a reláció:
|
||||
|
||||
(i) Szimmetrikus: (a, b) \in r \rightarrow (b, a) \in r
|
||||
(ii) reflexív: (a, a) \in r
|
||||
(iii) tranzitív: (a, b) \in r, és (b, c) \in r \Rightarrow (a, c) \in r
|
||||
(iv) Antiszimmetrikus: (a, b) \in r és (b, a) \in r \Rightarrow a = b
|
||||
|
||||
(ii) + (i) + (iii) => ekvivalencia reláció.
|
||||
(ii)+(iii)+ (iv) => rendezési reláció, teljes, ha (a, b) \in r, ls (a, b) \in r közül legalább az egyik fennáll.
|
||||
|
||||
Függvények:
|
||||
|
||||
!f (részh) A x B reláció, x \in A
|
||||
|
||||
f_x := {y \in B : (x, y) \in f}
|
||||
|
||||
x -hez tartozó képtér
|
||||
|
||||
def.:
|
||||
amh az f reláció függvény, ha
|
||||
|
||||
f_x halmaz lgefeljebb egy elemű.
|
||||
|
||||
jel.: f \in A \rightarrow B
|
||||
|
||||
Def. (Jelölés):
|
||||
|
||||
Ha D_f = A, akkor mondhatjuk, hogy f: A \rightarrow B,
|
||||
|
||||
|
||||
Def:
|
||||
Amh f = g (fv-ek) \iff D_f = D_g (f(x) = g(x))
|
||||
|
||||
f: A \rightarrow B -> f (részh) A x B -> (a, b) \in f
|
||||
|
||||
(x, y) \in f \iff (x, y) \in g
|
||||
|
||||
Def.:
|
||||
Amh f injektív, ha x \neq y \in D_f \Rightarrow f(x) \neq f(y)
|
||||
relációk nyelvén: (f_x \neq f_y)
|
||||
|
||||
(ekvivalens: ha f(x) = f(y) \Rightarrow x = y)
|
||||
|
||||
Def.:
|
||||
szürjektív
|
||||
|
||||
Amh. f szürjektív ("f képtere teljes"), ha R_f = B.
|
||||
|
||||
Def.:
|
||||
Amh f bijektív, ha f injektív, és szürjektív is.
|
||||
|
||||
def.:
|
||||
Halmaz képe:
|
||||
|
||||
A 'V' halmaz f függvény által létesített képe:
|
||||
jel: f(V). (V (részh) D_f)
|
||||
|
||||
f(V) := {y \in R_f : \exists x \in V : f(x) = y }
|
||||
|
||||
|
||||
Őskép:
|
||||
A 'W' halmaz ősképe f szerint:
|
||||
|
||||
f^{-1}(W) = {x \in D_f : \exists y \in W, hogy f(x) = y}
|
||||
|
||||
ha egy függvény injektív, akkor lehet az inverzéről beszélni.
|
||||
|
||||
|
||||
1. Számtani, mértani közép:
|
||||
|
||||
\sqrt{a_1a_2} \leq (a_1 + a_2) / 2
|
||||
|
||||
Biz.:
|
||||
|
||||
/ *2, ^2
|
||||
|
||||
4a_1a_2 \leq (a_1 + a_2)^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2
|
||||
|
||||
0 \leq a_1^2 + a_2^2 - 2a_1a_2 = (a_1 - a_2)^2
|
||||
|
||||
Megj. =-ség csak akko van, ha a_1, és a_2 megegyezik.
|
||||
|
||||
Áll.:
|
||||
|
||||
!n \in \mathbb{N} adott, ill a_1, a_2, ... a_n \geq 0 \Rightarrow \sqrt{n}{a_1 \cdot a_2 \cdot ,,, \cdot a_n } \leq \frac{a_1 + ... + a_n}{n}
|
||||
|
||||
Biz.: (teljes ind)
|
||||
n = 2 done
|
||||
tfh n-re igaz, belátjuk, hogy 2n-re is igaz.
|
||||
|
||||
{a_1 + a_2 + .. + a_n + a_{n + 1} + ... + a_{2n}}/2n \geq \sqrt{2n}{a_1 \cdot ... \cdot a_n \cdot a_{n + 1} \cdot ... \cdot a_{2n}}
|
||||
|
||||
a_1 + a_2 + ... + a_n / n + a_{n + 1} + ... + a_{2n} / n \geq 1/2 (\sqrt{n}{a_1 \cdot ... \cdot a_n} (= A) + \sqrt{b}{a_{n + 1} + ... + a_{2n}} (= B)) (aésó \geq felső -> trivi)
|
||||
|
||||
A + B / 2 \geq \sqrt{AB}
|
||||
|
||||
\Rightarrow 2 hatványokra beláttuk
|
||||
|
||||
2^{k - 1} n < 2^k
|
||||
|
||||
A = \frac{a_1 + ... + a_n}{n}
|
||||
|
||||
a_1 + ... + a_n = nA
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\frac{a_1 + ... + a_n + A + A + ... + A}{2k}
|
||||
|
||||
A = nA + (2^k - n)A / 2^k = \frac{a_1 + ... + a_n + (A + A + ... + A (=2^k - n))}{2k} \geq \sqrt{2^k}{a_1 \cdot ... \cdot a_n \cdot A^{2^k - n}}
|
||||
|
||||
A \geq \sqrt{2^k}{a_1 \cdot ... \cdot a_n \cdot A^{2^k - n}}
|
||||
|
||||
|
||||
A^{2^k} \geq a_1 \cdot ... \a_n \cdot A^{2^k - n} (egyszerüsít)
|
||||
|
||||
(a_1 + ... + a_n /n )^n = A^n \geq a_1 \cdot ... \cdot a_n
|
||||
|
||||
2. Bernoulli egyenlőtlenség:
|
||||
(1 + h)^n \geq 1 + nh
|
||||
|
||||
Biz: (teljes ind)
|
||||
|
||||
h \geq -1
|
||||
1. n = 1 re 1 + h \geq 1 + h (igaz)
|
||||
n \in \mathbb{N}, n \geq 1
|
||||
|
||||
Indukciós feltevés:
|
||||
(1 + h)^n \geq 1 + nh
|
||||
|
||||
Kellene: (n + 1)-re:
|
||||
|
||||
(1 + h)^{n + 1} \geq 1 + (n + 1)h
|
||||
|
||||
(1 + h)^{n + 1} = (1 + h)^n \cdot (1 + h) \geq (1 + n^h)(1 + h) =
|
||||
1 + nh + h + nh^2 = 1 + (n + 1)h + nh^2 \geq 1 + (n + 1)h
|
||||
|
||||
3.
|
||||
|
||||
n! \leq (\frac{n + 1}{2})^n
|
||||
|
||||
Biz.:
|
||||
|
||||
4.
|
||||
|
||||
\sum_{k = 1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} > 2 \sqrt{n + 1} - 2
|
||||
|
||||
Biz.:
|
||||
|
||||
5.
|
||||
|
||||
Ha a_1, ..., q_n > 0 és \sqrt_{i = 1}^n a_i = 1 \Rightarrow (1 + a_1) \cdot ... \cdot (1 + a_n) \geq 2^n
|
||||
|
||||
Biz.:
|
||||
|
||||
6.
|
||||
|
||||
2 \leq (1 + 1/n)^n < 4
|
||||
|
||||
Biz.:
|
||||
|
||||
7.
|
||||
|
||||
8abc \geq (a + b)(b + c)(a + c) \geq 8/27 (a + b + c)^3
|
||||
|
||||
|
||||
(részh = részh = nélkül)
|
Loading…
Reference in New Issue
Block a user