This commit is contained in:
Relintai 2018-09-18 13:39:50 +02:00
parent 32aec0c216
commit b3940e414e
4 changed files with 520 additions and 0 deletions

13
Adatbázisok/02.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,13 @@
UML modell
kulcs -> aláhúzva
ha egy érték több érték lehet dupla vonalas elipszissel jelöljük
Amikor meghatározható a többi segítségével, akkor szaggatott vonal (ellipszis)
Kapcsolatok
1:n es Kapcsolatok
dopla nyíl, 1, n jelölés
Remációs algebrába van osztás, de sqlbe nincs

160
Algoritmusok2/01.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,160 @@
\begin{document}
Algo 2
Ajánlott irodalom:
Algoritmusok, (Rónyai, Szabó, ?)
Ismétlés
Algo1 -> ADT, ADS, etc
Verem
Axiómák
1. Üres-e(Üres) Igaz
2. ...
5. etc
1. ADT
2. ADS
szrekezeti gráf + { műveletek + axiómák } -> ADT
pl (10)->(20)->(30)->(40) lehet pl verem, sor (attól függ, milyen műveletek )
3. reprezentáci
(1) tömbös
(2) pointeres
----
Műveletigények
1. Buborékrendezés
Alulról felfele a szomzédos elemek cseréjével felbuborékoztatjuk az elemeket
1. elem összehas. Ö(sz) = n - 1
2. elem n - 2
3. elem n - 3
etc
Ö_{sz} = \frac{n(n - 1)}{2} = {\Theta}(n^2) vagy O(N^2)
f: {\mathbb{N}} \rightarrow {R}_0^+
Def:
O(g) = {f | {\exists}c>0, elég nagy n-re f(n) \leq cg(n) }
O(g) = {f | {\exists}c>0, elég nagy n-re f(n) < cg(n) }
{\Omega}(g) = {f | {\exists}c>0, elég nagy n-re f(n) \geq cg(n) }
{\omega}(g) = {f | {\exists}c>0, elég nagy n-re f(n) > cg(n) }
Összehasonlító rendezések Műveletigénye
(A) alsó becslés:
műv. igény:
ÖH(n) = {\Omega}(n \cdot log(n))
Döntési fa:
* \forall alg-hoz konstruálható
* igaz/hamis kérdések
pl.: "A[3] > A[1]^2"
füzet (1)
n! levél (n elemet hányféleképp lehet sorbarendezni: n!)
Beszúró rendezés
1 | 2 | 5 | 7 || 4 | 1
1 | 2 | 5 | 7 || [] | 1
1 | 2 | 5 | [] | 7 ||1
1 | 2 | [] | 5 | 7 ||1
1 | 2 | 4 | 5 | 7 ||1
n*log n es rendezések:
verseny, kupac, összefésülő, gyors
Verseny rendezés
n = 2^k
(binfa)
(általában a tárhely igény miatt nem használják)
füzet(2)
Kupac renndezés
Kupac:
Def (ADS)
-Teljes, balra tömörített, bnáris fa.
-Szülő < Gyerek (kupactulajdonság)
Műveletek (ADT)
Beszúr, Mintöröl
Füzet (3)
Felszivárog(v) (logn)
{
ha v > szülő(v1, v2)
{
csere a kisebbel.
}
}
Összefésölő Rendezés
(Oszdmeg és uralkodj) = rekurzió
Füzet
Műv igény:
k és l hosszú rendezett tömb esetén k + l - 1
műv igény: n \cdot log(n)
n = 2^k
T(n) = összehasonlítások
T(n) \leq n - 1 + 2T(\frac{n}{2}) \leq n - 1 + 2 (\frac{n}{2} - 1 + 2T(\frac{n}{4})) \leq
\leq n - 1 + 2(\frac{n}{2}) + 4T(\frac{n}{4}) + ... + 2^{k - 1}(\frac{n}{2^{k - 1}}) + 2^{k - 1} + 2^{k - 1} T(\frac{n}{2^{k-1}}) =
= k \ cdot n - k = nlogn - log_2n = O(nlog_2n)
Gyorsrendezés
Veszünk egy véletlen számon 1 től n ig,
Műv igény
...
C(n) = (n - 1) + \frac{2}{n}(C(1) + C(2) + ... + C(n))
-C(n - 1) = n - 2 + \frac{2}{n - 1}(c(1)+ ... + C(n - 1))
--------------------------------------------------------
Rendezés után:
\frac{C(n)}{n + 1} = \frac{2(n - 1)}{n(n + 1)} + \frac{c(n - 1)}{n} < \frac{2}{n} + \frac{C(n - 1)}{n} <
< \frac{2}{n} + \frac{2}{n-1} + \frac{B(n-2){n-1}} < ...
(2 kiemel)
... < 2(\frac{1}{n} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-2} + ... + \frac{1}{2} + \frac{1}{1}) ~= 2nlogn = O(n log n)
\end{document}

0
Algoritmusok2/02.tex Normal file
View File

347
Analizis 1/01.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,347 @@
1. Valós számok axiómái:
R \neq \emptyset (sima R, mert halmaz)
A.
\exists \theta \epsilon \in R, \forall x, y \in R
x + y \in R
xy \in R
tetszőleges a, b, c \in R esetén:
1. a + b = b + a
2. (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) etc (6 db)
B.
Adott R halmazon \leq teljes rendezés (reflexív, tranzitív, antiszimmetrikus) reláció
(teljes rendezés: a \leq b és b \leq a relációk közül az egyik legalább teljesül.)
C.
a \leq b
(i) a + c \leq b + c
(ii) c \geq 1 \Rightarrow ac \ leq bc
a (c \geq 1 nél az 1 az előbbi \theta, egységelem)
D.
Minden felülről korlátos halmaznak \exists legkisebb felső korlátja
(vesszük a felső korlátok halmazát)
(írott) K := {(sima) K \in R: x \leq (sima) K (x \in A)}
(legyen) !A \neq \emptyset, felölről korlátos, ha {\exists}M,
a legkisebb felső korlát = sup A (az A halmaz supremuma).
Ehhez hasonlóan:
Minden aluról korlátos halmaznak \exists legnagyobb alsó korlátja.
Ez az inf A (az A halmaz infinuma).
A - D, \RIghtarrow számtest, (\mathbb) Z, R, Q, C, R^n
!A \neq \emptyset felölről korlátos, \forall x \in A: x \leq sup A := \alpha \iff
\iff \forall \epsilon > 0: "\aplha - \epsilon már nem supremum" azaz \exists y \in A: \alpha > y \geq \alpha - \epsilon
példa:
A:= { -\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}, n \geq 1}
azaz: -1, -1/2, -1/3, -1/4, .... \leq 0 = sup A
Valüs számok alaptételei:
1. Tétel (1.3.1):
Legyen x, y \in \mathbb{R} x > 0:
\forall y \in \mathbb{R} esetén \exists n \in \mathbb{N}, hogy nx > y
Biz.: (Indirekt)
Tfh.: \exists x, y \in \mathbb{R}, x > 0 és \forall n \in \mathbb{N} nx \leq y
Ekkor létezik a halmaznak legkisebb felső korlátja, legyen ez az \alpha :
A := { nx : n \in \mathbb{N}}
\alpha := sup A
ekkor:
\exists \epsilon > 0 : \exists x \in A, hogy nx = y > \alpha - \epsilon
\epsilon := x \Rightarrow nx > \aplha - x =
(n + 1)x > \aplha \Rightarrow ELLENTMONDÁS
2. Tétel (Dedekind) (1.3.2)
A, B \neq \emptyset halmazok, \forall a \in A és \forall b \in B esetén:
a \leq b \Rightarrow \exists \gamma \in \mathbb{R}
a \leq \gamma \leq b tetszőleges a \in A és b \in B esetén.
Biz.:
(írott) K := { (sima)K \in \mathbb{R}: x \leq (sima) K (x \in A)} (azaz az A halmaz felölről korlátos halmaz.)
min (írott) K = sup A : (legyen sup A = {\gamma}): a \leq \gamma
viszont a \gamma \leq b, mivel a B (részhalmaza) (írott) K-nak.
3. Tétel (Cantor):
"Bármely egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozatnak \exists közös pontja."
Legyenek [a_n, b:n] intervallumok adottak, az [a_{n+1}, b_{n+1}] (részhalmaz =) [a_n, b_n] \Rightarrow
\bigcap_{n = 0}^{+ \infty} [a_n, b_n] \neq \emptyset
Biz.:
A := {a_n : n \in \mathbb{N}}
B := {b_n : n \in \mathbb{N}}
Egymásba skatulyázott intervallumok, azaz a_n \leq b_n
a_l \leq b_m triviális
\Rightarrow Dedekind \Rightarrow \exists \gamma \in \mathbb{R}, hogy \gamma \in \bigcap_{n = 0}^{+ \infty} [a_n, b_n] \neq \emptyset
1.3.6 Tétel (négyzetgyök):
{\exists}! \aphy \in \mathbb{R}, \alpha > 0: \alpha^2 = 2
Biz:
A := { x > 0: x^2 \leq 2 } (A felölről korlátos.)
\forall x \leq 2
(x \in A)
felülről korlátos: (Ha \exists x \in A: x > 2, x \cdot x > 4, x^2 \leq 2 kellene.)
legyen \alphy := sup A.
áll.: {\alpha}^2 = 2 (\alpha \in A)
tfh (indirekt):
{\alpha}^2 \neq 2, {\alpha}^2 < 2, {\alpha}^2 > 2
\exists \epsilon > 0: {\alpha} + {\epsilon} nem a legkisebb felső korlát.
(\aplha + \epsilon)^2 = \alpha^2 + 2\alpha \epsilon + \epsilon^2 < 2 \rightarrow ELLENTMONDÁS
Áll.:
\forall a, b > 0 (a, b) tartalmaz racionális számot:
Biz.:
vegyük az a számot, hogy b - a.
b - a biztosan > 0.
Arkhim.:
\exists n \in \mathbb{N}: n(b - a) > 1
b - a > 1 / n := x *
\exists M \in \mathbb{N}: mx > a
mx = m / n
!A := { m \in \mathbb{N}: m/n > a }
\exists p \in A, p legkisebb: p/n > a
p-1/n < leq a
p/n = p-1/n + 1/n < p-1/n \leq (= lehúzva) a + *(b - a)
(* szerint)
nem teljesülhet az egyenlőség.
3. Relációk:
Def (Descarted szorzat):
(legyen)!A, B \neq \emptyset : A x B
c = { (a, b): a \in A, b \in B }
(a, b) := { {a}, {a, b}}
Def.:
Az A x B tetszőleges részhalmazát relációnak nevezzük.
(relációk a függvények általánosításai)
Def.:
!r (részh) A x B reláció
Ért. Tartomány: D_r := {x \in A : \exists y, (x, y) \in r }
Értékkészlet: R_r := {y \in B : \exists x \in A, (x, y) \in r}
Def.:
Amh. az r (részh) A x B reláció homogén, ha A = B.
Ekkor amh a reláció:
(i) Szimmetrikus: (a, b) \in r \rightarrow (b, a) \in r
(ii) reflexív: (a, a) \in r
(iii) tranzitív: (a, b) \in r, és (b, c) \in r \Rightarrow (a, c) \in r
(iv) Antiszimmetrikus: (a, b) \in r és (b, a) \in r \Rightarrow a = b
(ii) + (i) + (iii) => ekvivalencia reláció.
(ii)+(iii)+ (iv) => rendezési reláció, teljes, ha (a, b) \in r, ls (a, b) \in r közül legalább az egyik fennáll.
Függvények:
!f (részh) A x B reláció, x \in A
f_x := {y \in B : (x, y) \in f}
x -hez tartozó képtér
def.:
amh az f reláció függvény, ha
f_x halmaz lgefeljebb egy elemű.
jel.: f \in A \rightarrow B
Def. (Jelölés):
Ha D_f = A, akkor mondhatjuk, hogy f: A \rightarrow B,
Def:
Amh f = g (fv-ek) \iff D_f = D_g (f(x) = g(x))
f: A \rightarrow B -> f (részh) A x B -> (a, b) \in f
(x, y) \in f \iff (x, y) \in g
Def.:
Amh f injektív, ha x \neq y \in D_f \Rightarrow f(x) \neq f(y)
relációk nyelvén: (f_x \neq f_y)
(ekvivalens: ha f(x) = f(y) \Rightarrow x = y)
Def.:
szürjektív
Amh. f szürjektív ("f képtere teljes"), ha R_f = B.
Def.:
Amh f bijektív, ha f injektív, és szürjektív is.
def.:
Halmaz képe:
A 'V' halmaz f függvény által létesített képe:
jel: f(V). (V (részh) D_f)
f(V) := {y \in R_f : \exists x \in V : f(x) = y }
Őskép:
A 'W' halmaz ősképe f szerint:
f^{-1}(W) = {x \in D_f : \exists y \in W, hogy f(x) = y}
ha egy függvény injektív, akkor lehet az inverzéről beszélni.
1. Számtani, mértani közép:
\sqrt{a_1a_2} \leq (a_1 + a_2) / 2
Biz.:
/ *2, ^2
4a_1a_2 \leq (a_1 + a_2)^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2
0 \leq a_1^2 + a_2^2 - 2a_1a_2 = (a_1 - a_2)^2
Megj. =-ség csak akko van, ha a_1, és a_2 megegyezik.
Áll.:
!n \in \mathbb{N} adott, ill a_1, a_2, ... a_n \geq 0 \Rightarrow \sqrt{n}{a_1 \cdot a_2 \cdot ,,, \cdot a_n } \leq \frac{a_1 + ... + a_n}{n}
Biz.: (teljes ind)
n = 2 done
tfh n-re igaz, belátjuk, hogy 2n-re is igaz.
{a_1 + a_2 + .. + a_n + a_{n + 1} + ... + a_{2n}}/2n \geq \sqrt{2n}{a_1 \cdot ... \cdot a_n \cdot a_{n + 1} \cdot ... \cdot a_{2n}}
a_1 + a_2 + ... + a_n / n + a_{n + 1} + ... + a_{2n} / n \geq 1/2 (\sqrt{n}{a_1 \cdot ... \cdot a_n} (= A) + \sqrt{b}{a_{n + 1} + ... + a_{2n}} (= B)) (aésó \geq felső -> trivi)
A + B / 2 \geq \sqrt{AB}
\Rightarrow 2 hatványokra beláttuk
2^{k - 1} n < 2^k
A = \frac{a_1 + ... + a_n}{n}
a_1 + ... + a_n = nA
\frac{a_1 + ... + a_n + A + A + ... + A}{2k}
A = nA + (2^k - n)A / 2^k = \frac{a_1 + ... + a_n + (A + A + ... + A (=2^k - n))}{2k} \geq \sqrt{2^k}{a_1 \cdot ... \cdot a_n \cdot A^{2^k - n}}
A \geq \sqrt{2^k}{a_1 \cdot ... \cdot a_n \cdot A^{2^k - n}}
A^{2^k} \geq a_1 \cdot ... \a_n \cdot A^{2^k - n} (egyszerüsít)
(a_1 + ... + a_n /n )^n = A^n \geq a_1 \cdot ... \cdot a_n
2. Bernoulli egyenlőtlenség:
(1 + h)^n \geq 1 + nh
Biz: (teljes ind)
h \geq -1
1. n = 1 re 1 + h \geq 1 + h (igaz)
n \in \mathbb{N}, n \geq 1
Indukciós feltevés:
(1 + h)^n \geq 1 + nh
Kellene: (n + 1)-re:
(1 + h)^{n + 1} \geq 1 + (n + 1)h
(1 + h)^{n + 1} = (1 + h)^n \cdot (1 + h) \geq (1 + n^h)(1 + h) =
1 + nh + h + nh^2 = 1 + (n + 1)h + nh^2 \geq 1 + (n + 1)h
3.
n! \leq (\frac{n + 1}{2})^n
Biz.:
4.
\sum_{k = 1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} > 2 \sqrt{n + 1} - 2
Biz.:
5.
Ha a_1, ..., q_n > 0 és \sqrt_{i = 1}^n a_i = 1 \Rightarrow (1 + a_1) \cdot ... \cdot (1 + a_n) \geq 2^n
Biz.:
6.
2 \leq (1 + 1/n)^n < 4
Biz.:
7.
8abc \geq (a + b)(b + c)(a + c) \geq 8/27 (a + b + c)^3
(részh = részh = nélkül)