diff --git a/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex b/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex index 76f7132..046b4cd 100644 --- a/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex +++ b/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex @@ -12,6 +12,9 @@ \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{booktabs} +\usepackage{array} +\usepackage{arydshln} \usetheme{boxes} @@ -25,6 +28,13 @@ minimum height=2em] \tikzstyle{arrow} = [thick,->,>=stealth] +\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}} +\renewcommand{\arraystretch}{1.2} + +\setlength\dashlinedash{0.2pt} +\setlength\dashlinegap{1.5pt} +\setlength\arrayrulewidth{0.3pt} + \begin{document} \begin{frame}[plain] @@ -115,20 +125,59 @@ A tétel 2-4 pontjában szereplő $G$ és $H$ \textbf{közvetlen részformulái} Egy $A : Var \rightarrow \{0, 1\}$ leképzést \textbf{hozzárendelésnek} nevezünk.\\ \bigskip $A : Form \rightarrow \{0, 1\}$ kiterjesztéshez legyen $F$ formula.\\ +\bigskip \begin{enumerate} \item Ha $F = p$ valamely $p \in Var$ esetén, akkor $A(F) = A(p)$. -\item Ha $F = {\neg}G$ akkor $ +\bigskip +\item Ha $F = {\neg}G$ akkor:\\ +\medskip +$A(F)$ = $ \begin{cases} -{\delta}(q, a) & q \in Q $ és $q \notin F\\ -{\delta}(q, a) & q \in F$ és $a \neq \epsilon \\ -{\delta}(q, a) \cup \{q0\} & q \in F$ és $a = \epsilon \\ -\{q_0\} & q = s_0$ és $a = \epsilon \\ -\emptyset & q = s_0$ és $a \neq \epsilon \\ +1 & ha A(G) = 0\\ +0 & ha A(G) = 1\\ +\end{cases} +$ +\bigskip +\item Ha $F = G \lor H$ akkor:\\ +\medskip +$A(F)$ = $ +\begin{cases} +1 & ha A(G) = 1$ vagy $A(H) = 1\\ +0 &$ különben$\\ +\end{cases} +$ +\bigskip +\item Ha $F = G \land H$ akkor:\\ +\medskip +$A(F)$ = $ +\begin{cases} +1 & ha A(G) = 1$ és $A(H) = 1\\ +0 &$ különben$\\ \end{cases} $ \end{enumerate} +\end{block} +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{block}{Formula modellje, Kielégíthető, Tautológia, Kielégíthetetlen} +Legyen $F$ formula. Ekkor\\ +\bigskip +Legyen $A$ egy hozzárendelés. Ha $A(F) = 1$, akkor ezt a tényt $A \models F$-fel jelöljük, és azt mondjuk, hogy $A$ \textbf{kielégíti} $F$-et, vagy hogy $A$ \underline{\textbf{modellje}} $F$-nek.\\ +\bigskip +Ha $F$-nek van modellje, akkor azt mondjuk, hogy $F$ \underline{\textbf{kielégíthető}}.\\ +\bigskip +Ha minden $A$ hozzárendelés esetén $A \models F$, akkor $F$ \underline{\textbf{tautológia}} (vagy másképpen érvényes).\\ +Jele: $\models F$.\\ +\bigskip +Ha $F$-nek nincs modellje, akkor azt mondjuk, hogy $F$ \underline{\textbf{kielégíthetetlen}}.\\ +\bigskip +Legyen $\Sigma$ formulák egy halmaza. Ha valamely $A$ hozzárendelés esetén minden $F \in \Sigma$-re $A \models F$, akkor ezen tényt $A \models \Sigma$-val jelöljük, és azt mondjuk, hogy $A$ kielégíti $\Sigma$-t vagy, hogy $A$ modellje $\Sigma$-nak.\\ +\bigskip +Ha $\Sigma$-nak van modellje, akkor azt mondjuk, hogy $\Sigma$ kielégíthető. \end{block} \end{frame} @@ -140,25 +189,155 @@ Egy formulahalmaz akkor és csak akkor elégíthető ki, ha minden véges részh \end{block} -\begin{block}{Tétel: Adekvát halmazok} -$\{\neg, \lor, \land\}, \{\neg, \lor\}, \{\neg, \land\}$ adekvát (azaz bármilyen formula leírható ezekkel), $\{\lor, \land\}$ nem adekvát. +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{block}{K változós igazságtábla} +Tetszőleges $k \in \mathbb{N}$ esetén az IT: $\{0, 1\}^k \rightarrow \{0, 1\}$ leképzést \textbf{$k$ változós igazságtáblának (Boole függvény)} nevezzük. +\end{block} + +\begin{block}{Igazságtáblák:} +\begin{table}[h!] +\centering +Negáció (unér művelet)\\ +\bigskip +\begin{tabular}{@{}C{3em}C{3em}@{}} +\toprule +\textbf{$A$} & \textbf{${\neg}A$} \\ +\hline +i & h\\ +\hdashline +h & i\\ +\toprule +\end{tabular} +\end{table} +\bigskip + +\begin{table}[h!] +\centering +A többi művelet\\ +\bigskip +\begin{tabular}{C{1em}C{1em}rC{4.4em}C{4.4em}C{4.4em}C{4.4em}} +\toprule +\textbf{$A$} & \textbf{$B$} & \textbf{$|$} & \textbf{$A \land B$} & \textbf{$A \lor B$} & \textbf{$A \Rightarrow B$} & \textbf{$A \iff B$} \\ +\hline +i & i & | & i & i & i & i\\ +\hdashline +i & h & | & h & i & h & h\\ +\hdashline +h & i & | & h & i & i & h\\ +\hdashline +h & h & | & h & h & i & i\\ +\toprule +\end{tabular} +\end{table} \end{block} \end{frame} +%\begin{frame} +%\begin{block}{Def: {Az $F$ formula által meghatározott Igazság tábla} +%\textbf{Az $F$ formula által meghatározott $IT_F$ igazságtábla:}\\ +%ha $p_1, ..., p_n$ az $F$ változói és $x_1, ..., x_n \in \{0, 1\}$, akkor\\ +%$IT_F(x_1, ..., x_n) = A(F)$, ahol $A(p_j) = x_j, 1 \leq j \leq n$. +%\end{block} +%\end{frame} \begin{frame} -\begin{block}{tétel: Equivalens állítások formulákra} -Legyenek $F, F_1, ... , F_n$ tetszőleges formulák, ekkor a következő állítások equivalensek: +\begin{block}{Def: Adekvát halmaz} +A ${\neg}, {\land}, {\lor}, \rightarrow$ műveleti jelek C halmaza \textbf{adekvát}, ha\\ +$IT: \{0, 1\}^k \rightarrow \{0, 1\}, k \geq 1$ igazságtábla esetén van olyan $F \in Form$, hogy\\ +\begin{enumerate} +\item $F$-ben csak $C$-beli műveletei jelek szerepelhetnek, +\item $IT = IT_F$. +\end{enumerate} +\end{block} +\bigskip +\begin{block}{Tétel: Adekvát halmazok} +$\{\neg, \lor, \land\}, \{\neg, \lor\}, \{\neg, \land\}$ adekvát (azaz bármilyen formula leírható ezekkel), $\{\lor, \land\}$ nem adekvát. +\end{block} + +\end{frame} + +\begin{frame} +\begin{block}{Def.: Logikai következmény} +Legyen $\Sigma \subseteq Form$ és $F \in Form$.\\ +Azt mondjuk, hogy $F$ \underline{\textbf{logikai következménye}} $\Sigma$-nak, (jele: $\Sigma \models F$),\\ +ha minden $A$ hozzárendelés esetén valahányszor $A \models \Sigma$, mindannyiszor $A \models F$ is teljesül. +\end{block} +\bigskip +\begin{block}{Ész} +\begin{enumerate} +\item $F$ akkor és csak akkor érvényes (tautológia), ha $\emptyset \models F$. Tehát $\models F$. és $\emptyset \models F$ ugyanazt jelenti. +\item Ha $F$ érvényes, akkor minden $\Sigma$-ra $\Sigma \models F$ +\item Ha $F \in \Sigma$, akkor $\Sigma \models F$ +\item Minden $F$-re $\downarrow \models F$. +\item Minden $F$-re és $G$-re $F \models G$ akkor és csak akkor teljesül, ha $F \rightarrow G$ érvényes. +\item (Modus Ponens, röviden MP) Minden $\Sigma$-ra, $F$-re és $G$-re $\Sigma \cup \{F, F \rightarrow G\} \models \Sigma \cup \{G\}$ +\item (Monotonitás) Ha $\Sigma \subseteq {\Sigma}_1$, akkor minden $F$-re, ha $\Sigma \models F$, akkor ${\Sigma}_1 \models F$. +\item (Következmény) Minden $\Sigma$-ra, F-re, G-re $\Sigma \models F \rightarrow G$ akkor és csak akkor teljesül, ha $\Sigma \cup \{F\} \models G$. +\end{enumerate} +\end{block} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{block}{tétel: Ekvivalens állítások formulákra} +Legyenek $F, F_1, ... , F_n$ tetszőleges formulák, ekkor a következő állítások equivalensek: \begin{enumerate} \item $\{F_1, ... , F_n\} \models F$ \item $F_1 \land ... \land F_n \rightarrow F$ tautológia \item $F_1 \land ... \land F_n \land \neg F$ kielégíthetetlen. \end{enumerate} +\end{block} +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{block}{Ekvivalens formulák} +Az igaz és hamis szabályok:\\ +${\neg}\downarrow \equiv \uparrow$\\ +${\neg}\uparrow \equiv \downarrow$\\ +$F \land \downarrow \equiv \downarrow$, és $\downarrow \land F \equiv \downarrow$\\ +$F \land \uparrow \equiv F$, és $\uparrow \land F \equiv F$\\ +$F \lor \uparrow \equiv \uparrow$, és $\uparrow \lor F \equiv \uparrow$\\ +$F \lor \downarrow \equiv F$, és $\downarrow \lor F \equiv F$\\ +\smallskip +Kontrapozíció (Modus Tollens):\\ +$A \Rightarrow B \iff {\neg}B \Rightarrow {\neg}A$\\ +\smallskip +A de Morgan szabályok:\\ +${\neg}(F \land G) \equiv {\neg}F \lor {\neg}G$\\ +${\neg}(F \lor G) \equiv {\neg}F \land {\neg}G$\\ +\smallskip +Az idempotencia szabályai:\\ +$F \land F \equiv F$\\ +$F \lor F \equiv F$\\ +\smallskip +A kommutativitás szabályai:\\ +$F \land G \equiv G \land F$\\ +$F \lor G \equiv G \lor F$\\ +\smallskip +Az asszociativitás szabályai:\\ +$(F \land G) \land H \equiv F \land (G \land H)$\\ +$(F \lor G) \lor H \equiv F \lor (G \lor H)$\\ +\smallskip +Az adszorpció szabályai:\\ +$F \land (F \lor G) \equiv F$\\ +$F \lor (F \land G) \equiv F$\\ +\smallskip +A disztributivitás szabályai:\\ +$F \land (G \lor H) \equiv (F \land G) \lor (F \land H)$\\ +$F \lor (G \land H) \equiv (F \lor G) \land (F \lor H)$\\ +\smallskip +A dupla negáció szabálya:\\ +${\neg}{\neg}F \equiv F$ \end{block} \end{frame} @@ -169,17 +348,30 @@ Legyenek $F, F_1, ... , F_n$ tetszőleges formulák, ekkor a következő állít Legyenek $F, G, H$ formulák úgy, hogy $F \equiv G$ és $F$ a $H$ részformulája.\\ Ha $H[F/G]$ azt a formulát jelöli, amelyben $F$ valamely előfordulását helyettesítettük $G$-vel, akkor $$H \equiv H[F/G]$$ - \end{block} \end{frame} +\begin{frame} + +\begin{block}{Def.: Literál} +Egy $F$ formulát \textbf{pozitíb literálnak} nevezünk, ha $F = p$, és \textbf{negatív literálnak}, ha $F = {\neg}o$, ahol $p$ változó. +\end{block} + +\begin{block}{Def.: Konjunktív, diszjunktív normálforma} +Egy $F$ formula \textbf{Konjunktív normálforma}, ha:\\ +$$F = \bigwedge_{i = 1}^n (\bigvee_{j = 1}^{m_i} l_{i, j}))$$\\ +Egy $F$ formula \textbf{Diszjunktív normálforma}, ha:\\ +$$F = \bigvee_{i = 1}^n (\bigwedge_{j = 1}^{m_i} l_{i, j}))$$\\ +ahol $l_{i, j}$-k literálok. +\end{block} + +\end{frame} \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Konjunktív és diszjunktív normálforma létezése} Minden $F$ Formulához létezik vele logikailag ekvivalens konjunktív és diszjunktív normálforma. - \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} @@ -197,7 +389,7 @@ Konjunktív: \item $(F \land G) \lor H$ alakú részformulákat $(F \lor H) \land (G \lor H)$-val. \end{itemize} \end{enumerate} - +\bigskip Diszjunktív: \begin{enumerate} \item Ugyanaz mint a konjunktív normálforma esetén. @@ -213,33 +405,106 @@ Diszjunktív: \begin{frame} +\begin{block}{Def.: Elmélet} +Legyen $\Sigma$ egy formulahalmaz, ekkor:\\ +\smallskip +$Th({\Sigma}) = \{F | \Sigma \models F\}$ a \textbf{$\Sigma$ által generált elmélet}.\\ +($Th({\Sigma})$ a $\Sigma$ összes logikai következménye). +\end{block} + +\begin{block}{Def.: Levezetés, bizonyítható formula} +Ha $\Sigma$ formulák egy halmaza, akkor az $F_1, ... F_n$ formulák sorozatát a \textbf{$\Sigma$-ból történő ($\Sigma$ feletti) bizonyításnak levezetésnek)} nevezünk, ha minden $1 \leq i \leq n$ esetén az aláőbbi feltételek valamelyike teljesül:\\ +\begin{enumerate} +\item $F_i \in \Sigma$ +\item $F_i$ tautológia +\item van olyan $k, l < i$, hogy $F_l = F_k \rightarrow F_i$ +\end{enumerate} +\bigskip +Egy $F$ formula \textbf{bizonyítható (levezethető)} $\Sigma$-ból, ha van olyan $\Sigma$ feletti $F_1, ..., F_n$ bizonyítás, hogy $F_n = F$.\\ +\bigskip +\textbf{Jel.: $\Sigma \vdash F$} +\end{block} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{block}{Def.: Modus Ponens} +Ha valamely $A$ hozzáredelésre teljesül, hogy:\\ +$A \models F$ és $A \models F \rightarrow G$, akkor $A \models G$. +\end{block} + +\begin{block}{Def.: Modus Tollens (Kontrapozíció)} +$A \Rightarrow B \iff {\neg}B \Rightarrow {\neg}A$. +\end{block} + +\begin{block}{Def.: Indirekt Bizonyítás} +Tetszőleges $\Sigma$ formulahalmaz esetén $\Sigma \vdash F \rightarrow G$ akkor és csak akkor teljesül, ha:\\ +$\Sigma \cup \{F\} \vdash G$. +\end{block} + +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{block}{Tétel: Dedukció tétel} Tetszőleges $\Sigma$ formulahalmaz esetén $\Sigma \vdash F \rightarrow G$ akkor és csak akkor teljesül, ha $\Sigma \cup \{F\} \vdash G$. - \end{block} \begin{block}{Tétel: Dichotómia tétel} Tetszőleges $\Sigma$ formulahalmaz esetén, ha $\Sigma \cup \{F\} \vdash$ (levezethető) $G$ és $\Sigma \cup \{\neg F\} \vdash G$, akkor $\Sigma \vdash G$.\\ ("Az $F$ Formula nem szól bele"). - \end{block} \begin{block}{Tétel: Helyességi tétel} Tetszőleges $\Sigma$ és $F$ esetén, ha $\Sigma \vdash F$, akkor $\Sigma \models F$.\\ (Helyes, ha csak az elélethez tartozó formulákat lehet bizonyítani.) - \end{block} \begin{block}{Tétel: Teljességi tétel} Minden $\Sigma$-ra és $F$-re, ha $\Sigma \models F$, akkor $\Sigma \vdash F$.\\ (Teljes, ha minden, az elmélethez tartozó formulát be lehet bizonyítani.) - \end{block} \begin{block}{Tétel: Konzisztencia tétel} Tetszőleges formulahalmaz, akkor és csak akkor konzisztens, ha kielégíthető.\\ (Konzisztens, ha nem vezethető le belőle a $\downarrow$.) +\end{block} +\end{frame} + +% -------------------- PREDIKÁTUMKALKULUS (1-RENDŰ LOGIKA) -------------------- + +\begin{frame}[plain] +\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] +\node[anchor=center] at (current page.center) { +\begin{beamercolorbox}[center]{title} + {\Huge Predikátumkalkulus (1-Rendű Logika)} +\end{beamercolorbox}}; +\end{tikzpicture} +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{block}{$A$ feletti n változó predikátum} +\textbf{$A$ feletti n változó predikátum} a következő függvény:\\ +$p \rightarrow A^n \rightarrow \{0, 1\}$ +\end{block} + +\begin{block}{Az $L$ elsőrendű nyelv szimbólumai} +TODO +\end{block} + +\begin{block}{Az $L$ elsőrendű nyelv formulái} +TODO +\end{block} + +\begin{block}{Kötött, szabad változó, nyílt, zárt formula} +TODO +\end{block} + +\begin{block}{Az elsőrendű nyelv szemantikája} +TODO \end{block} \end{frame} @@ -256,6 +521,50 @@ Tetszőleges formulahalmaz, akkor és csak akkor konzisztens, ha kielégíthető \end{frame} +\begin{frame} + +\begin{block}{Gráf} +A $G = (V, E, {\phi})$ hármast \textbf{(irányítatlan) gráfnak} nevezzük, ha $V, E$ halmazok, $V \neq \emptyset, V \cap E = \emptyset$, és $\phi : E \rightarrow [V]^2$.\\ +\bigskip +$[V]^2 = \{ [a, b] | a, b \in V \}$, ahol $[a, b] = [b, a]$\\ +\bigskip +\textbf{V}: pont-, csúcshalmaz. $V(G)$ $G$ pontjai, $v(G) = |V(G)| = \#V$ G pontjainak száma.\\ +\bigskip +\textbf{E}: élhalmaz. $E(G)$ $G$ élei, $e(G) = |E(G)| = \#E$ G éleinek száma.\\ +\bigskip +(E = Edge, V = Vertex) +\end{block} + +\begin{block}{Ész} +\begin{enumerate} +\item $E = dmn({\phi})$ +\item ${\phi}(e) = \{v_1, v_2\} \subseteq V$ minden $e \in E$-re. +\end{enumerate} +\end{block} + +\end{frame} + + +\begin{frame} + +\begin{block}{Egyéb definíciók} +\begin{itemize} +\item \textbf{Véges gráf:} Ha $V(G)$ és $E(G)$ is véges. +\item \textbf{Él végpontjai / él illeszkedése:}\\ +$e \in E$ él végpontjai ($e$ illeszkedik $ä$-ra, és $b$-re) ha $a, b \in V$ esetén ${\phi}(e) = [a, b]$ +\item \textbf{Hurokél:} Ha a = b. +\item \textbf{Párhuzamos (többszörös él):} Ha $e, f \in E$, és ${\phi}(e) = {\phi}(f)$ +\item \textbf{Szomszédos él:} Ha $e, f \in E$ és ${\phi}(e) = [a_1, a_2], {\phi}(f) = [b_1, b_2]$ esetén $\{a_1, a_2\} \cap \{b_1, b_2\} \neq \emptyset$ +\item \textbf{Szomszédos csúcsok:} Ha $a_1, a_2 \in V$, és $a_1 \neq a_2$, és ${\exists}e \in E$, amire ${\phi}(e) = [a_1, a_2]$ +\item \textbf{Csúcs foka:} A rá illeszkedő élek száma (huroknál 2), jelölés: \textbf{d(a)} +\item \textbf{Izolált csúcs:} $a$ csúcs izolált, ha d(a) = 0 +\item \textbf{Egyszerű gráf:} Hurok és többszörös él nélküli gráf. +\item \textbf{Reguláris gráf:} A $G = (V, E)$ gráf \textbf{reguláris}, ha $d(a)$ értéke azonos minden $a \in V$-re, \textbf{n-reguláris}, ha ekkor $d(a) = n$ valamely $n \in \mathbb{N}$-re. +\end{itemize} +\end{block} + +\end{frame} + \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Fokszám-Élszám} @@ -273,6 +582,41 @@ amiből kapjuk, hogy $$\sum_{d(a) \equiv 1 (mod 2)} d(a) \equiv 0 (mod 2)$$. \begin{frame} +\begin{block}{Def.: Gráfok izomorfiája} +A $G = (V, E)$ és $G' = (V', E')$ gráf \textbf{izomorf},\\ +ha létezik ${\pi} : V \rightarrow V'$, és $\rho : E \rightarrow E'$ bijekció úgy, hogy ha $a \in V$ és $e \in E$ illeszkedik $G$-ben $\iff$ ${\pi}(a)$ és ${\rho}(e)$ illeszkedik $G'$-ben.\\ +\bigskip +A $G = (V, E)$ és $G' = (V', E')$ egyszerű gráf \textbf{izomorf}, ha létezik ${\pi} : V \rightarrow V'$ bijekció úgy, hogy $a, b \in V$ szomszédos $G$-ben $\iff$ ${\pi}(a)$ és ${\pi}(b)$ szomszédos G'-ben.\\ +\bigskip +A $G = (V, E)$ egyszerű gráf \textbf{teljes gráf}, ha bármely két pontja szomszédos. \textbf{$K_n$} jelöli az \textbf{n} pontú teljes gráfot. +\end{block} + +\begin{block}{Ész} +Ugyanannyi csússzámú teljes gráfok izomorfak.\\ +\bigskip +$K_n$-nek $\frac{n(n - 1)}{2}$ éle van. +\end{block} +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{block}{Def.: Páros Gráf} +A $G = (V, E, {\phi})$ hármast \textbf{páros gráfnak} nevezzük, ha $V = V' \cup V'', V' \cap V'' = \emptyset$, és $G$ minden élének egyik végpontja $V'$-ben, másik végpontja $V''$-ben van.\\ +\medskip +($K_{3, 3}$ 6 pontú teljes páros gráf, $K_5$ 5 pontú teljes gráf.) +\end{block} +\begin{block}{Def.: Részgráf} +A $G' = (V', E', {\phi}')$ gráf a $G = (V, E, {\phi})$ gráf \textbf{részgráfja}, ha\\ +$V' \subseteq V$ és $E' \subseteq E$, valamint ${\phi}'(e) = {\phi}(e)$ minden $e \in E'$-re. +\end{block} +\begin{block}{Def.: Telített Részgráf} +Ha a $G' = (V', E', {\phi}')$ gráf a $G = (V, E, {\phi})$ gráf részgráfja, és $E'$ mindazon $E$-beli elemeket tartalmazza, amelyek végpontjai $V'$-ben vannak, akkor $G'$-t \textbf{telített részgráfnak} nevezzük, vagy pontosabban \textbf{$V'$ által meghatározott telített részgráfnak.} +\end{block} + +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{block}{Tétel: Equivalens állítások fákra} Egy $G$ egyszerű gráfra a következő állítások equivalensek: