From a286c770254d5ebbe9a0f1ea053a251e7ea72a03 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Sat, 13 Jan 2018 02:45:34 +0100 Subject: [PATCH] Szamtud. --- Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex | 135 +++++++++++++++++++++++---- 1 file changed, 118 insertions(+), 17 deletions(-) diff --git a/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex b/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex index fd667ea..bd94820 100644 --- a/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex +++ b/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex @@ -2,24 +2,24 @@ % With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! % Uncomment these to get the presentation form -%\documentclass{beamer} -%\geometry{paperwidth=170mm,paperheight=170mm, top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} +\documentclass{beamer} +\geometry{paperwidth=170mm,paperheight=170mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} % Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article -\documentclass[10pt]{article} -\usepackage{geometry} +%\documentclass[10pt]{article} +%\usepackage{geometry} %\geometry{top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} -\usepackage{beamerarticle} -\renewcommand{\\}{\par\noindent} -\setbeamertemplate{note page}[plain] +%\usepackage{beamerarticle} +%\renewcommand{\\}{\par\noindent} +%\setbeamertemplate{note page}[plain] % Half A4 geometry -\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} +%\geometry{paperwidth=105mm,paperheight=297mm,top=0.2in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} % Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page. -\usepackage{pgfpages} +%\usepackage{pgfpages} % Choose one -\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper] %\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper] %\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper] @@ -930,14 +930,103 @@ Legyen $G = (V, E, {\phi}, w)$ egy véges összefüggő gráf. A következő alg \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Irányított gráf}] +A $G = ({\psi}, V, E)$ hármast \textbf{irányított gráfnak} nevezzük, ha $V, E$ halmazok, $V \neq \emptyset, V \cap E = \emptyset$ és $\psi : E \rightarrow V x V$.\\ +\\ +Legyen $e \in E$. Ha ${\psi}(e) = (u, v)$, akkor az $e$ irányított él \textbf{kezdőpontja $u$}, \textbf{végpontja $v$}. +\end{tcolorbox} +\begin{tcolorbox}[title={Def.: Gráf irányítása}] +Egy $G = ({\psi}, E, V)$ irányított gráfból az "irányítás törlésével" megkaphatjuk a \textbf{$G$-nek megfelelő irányítatlan gráfot}: $G' = ({\phi}, E, V)$, azaz ha ${\psi}(e) = (u, v)$, akkor ${\psi}(e) = \{u, v\}$.\\ +\\ +Ekkor $G$ egy irányítása $G'$-nek. +\end{tcolorbox} + +\begin{tcolorbox}[title={Ész}] +Általában egy gráfnak több irányítása is lehet. \end{tcolorbox} \end{frame} + \begin{frame} +\begin{tcolorbox}[squeezed title={Def.: Irányított gráf megfordítása}] +A $G = ({\psi}, E, V)$ \textbf{irányított gráf megfordítása} a $G' = ({\psi}', E, V)$ gráf amelyre ${\psi}(e) = (u, v) \iff {\psi}'(e) = (v, u)$.\\ +\\ +Hurok megfordítása önmaga. +\end{tcolorbox} + +\begin{tcolorbox}[title={Def.: Sigorúan Párhuzamos Élek}] +$e \neq f$ \textbf{szigorúan párhuzamos élek}, ha ${\psi}(e) = (u, v)$ és ${\psi}(f) = (u, v)$. +\end{tcolorbox} + +\begin{tcolorbox}[title={Def.: Kifok, Nyelő}] +Pont \textbf{kifoka}, $d^+(a)$ a kimenő élek száma, ha $d^+(v) = 0$, akkor v \textbf{nyelő}. +\end{tcolorbox} + +\begin{tcolorbox}[title={Def.: Befok, Forrás}] +Pont \textbf{befoka}, $d^-(a)$ a bemenő élek száma, ha $d^-(v) = 0$, akkor v \textbf{forrás}. +\end{tcolorbox} + +\begin{tcolorbox}[title={Ész}] +$$\sum_{a \in V(G)} d^+(a) = \sum_{a \in V(G)} d^-(a) = e(G)$$ +\end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} +\begin{tcolorbox}[ title={Def.: Összefüggőség (Irányított gráf)}] +A $G$ irányított gráf \textbf{összefüggő}, ha a megfelelő $G' = (V, E')$ irányítatlan gráf összefüggő.\\ +\\ +A $G$ irányított gráf \textbf{komponensei} a megfelelő $G'$ irányítatlan gráf komponenseit jelentik.\\ +A komponensek száma $c(G) = c(G')$.\\ +\\ +A $G = (V, E)$ gráf \textbf{erősen összefüggő}, ha minden $v_1, v_2 \in V(G)$ esetén $v_1 = v_2$, vagy $v_1$-ből vezet $v_2$-be irányított út, és $v_2$-ből $v_1$-be is. +\end{tcolorbox} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Erős összefüggőség}] Egy összefüggő gráf akkor, és csak akkor irányítható úgy, hogy erősen összefüggő legyen, ha minden \textbf{éléhez} tartozik rajta áthaladó kör. \end{tcolorbox} + +\begin{tcolorbox}[title={Ész}] +Hasonló nem mondható el olyan gráfról, amelyben minden \textbf{csúcson} halad át kör. +\end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} +\begin{tcolorbox}[title={Def.: Irányított Fa}] +Egy irányított gráfot \textbf{irányított fának} hívunk, ha pontosan egy olyan pontot tartalmaz, amelynek befoka 0, és a többi csúcs befoka 1. +\end{tcolorbox} + +\begin{tcolorbox}[title={Ész}] +A 0 befokú csúcs egyértelműen meghatározott és belőle minden további csúcshoz pontosan egy út vezet. +\end{tcolorbox} + +\begin{tcolorbox}[squeezed title={Def.: Gyökér, n-edik szint, Magasság, Szülő, Gyerekek, Levél}] +Irányított fában a 0 befokú pont neve \textbf{gyökér}.\\ +\\ +\textbf{$n$-edik szint}: azon csúcsok halmaza, amelyekhez $n$ hosszúságú út vezet a gyökérből.\\ +\\ +A szintek maximuma a fa \textbf{magassága}.\\ +\\ +Ha $v$ kezdő, $v'$ és $v''$ végpontja egy élnek, akkor $v$ a \textbf{szülő}, $v'$ és $v''$ a \textbf{gyereket (testvérek)}.\\ +\\ +Irányított fa 0 kifukú csúcsa a \textbf{levél}. +\end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} +\begin{tcolorbox}[title={Def.: Síkgráf}] +Egy gráf \textbf{síkbarajzolható}, ha lerajzolható a síkra úgy, hogy élei csak a csúcspontokban metszik egymást.\\ +\\ +Az így "lerajzolt" gráfokat szokás \textbf{síkgráfoknak} is nevezni. +\end{tcolorbox} + +\begin{tcolorbox}[title={Def.: Tartomány}] +Egy síkgráfban a sík egy részhalmazának egy olyan összefüggő komponensét, amely diszjunkt a gráf csúcsaival, és éleivel \textbf{tartománynak nevezzük}.\\ +\\ +Ezek közül pontosan egy végtelen, neve \textbf{külső tartomány}. +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} @@ -956,9 +1045,7 @@ $2e(G) \leq 6v(G) - 12.$\\ \bigskip $2e(G) \leq 6v(G) - 12$ \hspace{1ex} $/\cdot2$\\ $6v(G) \leq 6v(G) - 12$ $\rightarrow$ Ellentmondás! - \end{tcolorbox} - \end{frame} \begin{frame} @@ -981,21 +1068,35 @@ $\implies$ $4t \leq 2e(G) \implies 20 \leq 18$. $\rightarrow$ Ellentmondás!\\ $v(G) = 5$ és $e(G) = 10$\\ Alkalmazzuk a síkgráf élszáma tételt ($e(G) \leq 3v(G) - 6$), ekkor\\ $10 \leq 9$ $\rightarrow$ Ellentmondás! - \end{tcolorbox} - \end{frame} + \begin{frame} +\begin{tcolorbox}[title={Def.: Szubdivízió, Simítás}] +Egy $e$ és \textbf{szubdiviziójáról} beszélünk, ha $e$-t egy 2 hosszúságú úttal helyettesítjük.\\ +\\ +Egy másodfokú $v$ pont \textbf{simítása} az a transzformáció, amikor $v$-t töröljük, és szomszédait összekötjük egy éllel. +\end{tcolorbox} + +\begin{tcolorbox}[title={Def.: Topologikus izomorfia}] +Két gráf \textbf{topologikusan izomorf}, ha a szubdivizió és simítás véges sokszori alkalmazásával izomorf gráfokba transzformálhatóak. +\end{tcolorbox} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kuratovski tétel}] Egy egyszerű véges gráf \textbf{akkor, és csak akkor} rajzolható síkba, ha nem tartalmaz a Kuratovski gráfok valamelyikével topologikusan izomorf részgráfot. - \end{tcolorbox} - \end{frame} -\begin{frame} +\begin{frame} +\begin{tcolorbox}[title={Def.: Szomszédsági mátrix}] +TODO +\end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Euler formula}] Egy összefüggő síkbeli gráf, amelynek $t$ tartománya van, (a külső tartományt is beleértve), eleget tesz az Euler-formulának: $$v(G) - e(G) + t = 2$$\\