From 7aa3543a73ad8c08984288637654f0bd9601aa61 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Sat, 13 Jan 2018 17:57:32 +0100 Subject: [PATCH] Szamtud. --- Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex | 187 ++++++++++++++++++++++++--- 1 file changed, 171 insertions(+), 16 deletions(-) diff --git a/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex b/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex index 3d7752c..390a11f 100644 --- a/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex +++ b/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex @@ -3,7 +3,7 @@ % Uncomment these to get the presentation form \documentclass{beamer} -\geometry{paperwidth=170mm,paperheight=170mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} +\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} % Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article %\documentclass[10pt]{article} @@ -535,25 +535,96 @@ Tetszőleges formulahalmaz, akkor és csak akkor konzisztens, ha kielégíthető \begin{frame} +\begin{tcolorbox}[title={Függvény}] +Legyen $n \geq 0$ és $f : A^n \rightarrow A$ egy $n$ változós függvény.\\ +\tcblower +({\small $n = 0$ esetén $f$-et azonosítjuk $A$ halmaz egy elemével.}) +\end{tcolorbox} + \begin{tcolorbox}[title={$A$ feletti n változó predikátum}] \textbf{$A$ feletti n változó predikátum} a következő függvény:\\ -$p \rightarrow A^n \rightarrow \{0, 1\}$ +$$p : A^n \rightarrow \{0, 1\}$$ +\tcblower +{\small $n = 0$ esetben $p \in \{0, 1\}$ $\rightarrow$ a predikátum konstans 0, vagy 1 kell legyen.}\\ +\msmallskip +{\small Ha valamely $a_1, ..., a_n \in A$-ra $p (a_1, ..., a_n) = 1$},\\ +{\small akkor azt mondjuk, hogy $p(a_1, ..., a_n)$ helyen igaz.} \end{tcolorbox} -\begin{tcolorbox}[title={Az $L$ elsőrendű nyelv szimbólumai}] -TODO +\begin{tcolorbox}[title={Az $\mathcal{L}$ elsőrendű nyelv szimbólumai}] +Változók: $x, y, u, v, w, ..., x_1, x_2, ...$\\ +Függvényszimbólumok: $f, g, h, ..., f_1, f_2, ...$\\ +Predikátumszimbólumok: $p, q, r, ..., p_1, p_2, ...$\\ +Logikai szimbólumok: ${\neg}, {\lor}, {\land}, {\exists}, {\forall}$\\ +Elválasztó szimbólumok: $($, $),$ és a $,$ (vessző).\\ +\tcblower +A változók halmaza $Var$\\ +A predikátumszimbólumok halmaza nem üres.\\ +A függvény- és predikátumszimbólumoknak van aritása (rangja = Hány változós)\\ +A 0 aritású függvényszimbólumok a konstansok: $a, b, c, ...$ +\end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} +\begin{tcolorbox}[title={Az $\mathcal{L}$ elsőrendű nyelv formulái}] +\underline{\textbf{Termek:}} a legszűkebb olyan halmaz, amelyre az alábbi két feltétel teljesül:\\ +\begin{enumerate} +\item Minden változó term. +\item Ha $t_1, ..., t_n$ termek valamely $n \geq 0$-ra, $f$ pedig egy $n$ változós függvényszimbólum, +akkor $f(t_1, ..., t_n)$ is term. (Ha $n = 0$, akkor $f()$ helyett csak $f$-et írunk.) +\end{enumerate} +\mmedskip + +\underline{\textbf{Atomi formulák:}} a legszűkebb olyan halmaz, amely kielégíti az alábbi feltételt:\\ +\begin{enumerate} +\item Ha $t_1, ..., t_n$ termek valamely $n \geq 0$-ra, $p$ pedig egy $n$ változós predikátumszimbólum, akkor $p(t_1, ..., t_n)$ atomi formula. (Az $n = 0$ esetben $p()$ helyett most is csak $p$-t írunk.) +\end{enumerate} +{\small Termeket "összegyúrjuk" egy predikátum segítségével.}\\ +\mmedskip + +\underline{\textbf{Formulák:}} a legszűkebb olyan halmaz, amelyre az alábbi feltételek teljesülnek (Formulák halmaza: $Form(S)$):\\ +\begin{enumerate} +\item Minden atomi formula egyben formula is. +\item Ha $F$ és $G$ formulák, akkor ${\neg}F, (F \lor G), (F \land G)$ is formulák. +\item Ha $F$ formula, $x$ pedig egy változó akkor ${\exists}xF$ és ${\forall}xF$ is formulák. +\end{enumerate} +\mmedskip + +A formulák halmazát $Form(\mathcal{L})$-lel, vagy ha csak egy $\mathcal{L}$-ről beszélünk, akkor $Form$-al jelöljük. \end{tcolorbox} -\begin{tcolorbox}[title={Az $L$ elsőrendű nyelv formulái}] -TODO -\end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Kötött, szabad változó, nyílt, zárt formula}] -TODO +\begin{enumerate} +\item Az olyan termeket, amelyekben nem szerepelnek változók \textbf{ground termeknek} nevezzük. +\item Ha egy $F$ formula, $F = F_1GF_2$ és $G$ is formula, akkor $G$ az $F$ részformulája. +\item Egy $x$ változó valamely (nem közvetlenül kvantor utáni) előfordulása egy $F$ formulában kötött, ha ez az előfordulás $F$-nek egy ${\exists}xG$ vagy ${\forall}xG$ alakú részformulája $G$ részéban van. Különben $x$ szóban forgó előfordulása szabad. +\item Egy $x$ változó szabad $F$-ben, ha van $F$-ben szabad előfordulása. +\item A szabad változó nélküli formulákat zárt formuláknak vagy mondatoknak hívjuk. +\item Egy $F$ formula mátrixának azt az $F^*$ formulát nevezzük, amelyet úgy kaponk $F$-ből, hogy töröljük belőle a ${\forall}x$ és ${\exists}$x alakú részeket. +\end{enumerate} \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Az elsőrendű nyelv szemantikája}] -TODO +Legyen $\mathcal{L}$ egy elsőrendű nyelv.\\ +\mmedskip + +$\mathcal{L}$ típusú struktúrának nevezünk egy $\mathcal{A} = (\mathcal{U}, \mathcal{I}, {\phi})$ hármast, ahol:\\ +\mmedskip + +\begin{itemize} +\item $\mathcal{U}$ egy nem üres halmaz, az univerzum. +\item ${\phi} : Var \rightarrow \mathcal{U}$ egy változó hozzátrendelés. +\item $\mathcal{I}$ egy olyan leképzés, amely: +\begin{itemize} +\item Minden $\mathcal{L}$-beli $n$ változós $f$ függvényszimbólumhoz hozzárendel egy $\mathcal{I}(f) : \mathcal{U}^n \rightarrow \mathcal{U}$ függvényt. (Ha $n = 0$, akkor $\mathcal{I}(f) \in \mathcal{U}$.) +\item Minden $\mathcal{L}$-beli $n$ változós $p$ predikátumszimbólumhoz hozzárendel egy $\mathcal{I}(p) : \mathcal{U}^n \rightarrow \{0, 1\}$ prdeikátumot. (Ha $n = 0$, akkor $\mathcal{I}(p) \in \{0, 1\}$.) +\end{itemize} +\end{itemize} + \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -983,11 +1054,36 @@ Egy \textbf{mohó algoritmus} minden döntést az adott pillanatban rendelkezés \textbf{Hátrány:}\\ Nem mindíg adja az optimális megoldást. \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Ellenpélda: TSP / Travelling Salesman Problem}] Egy utazóügynöknek $n$ városba kell ellátogatnia. Szeretné az útiköltséget minimalizálni úgy, hogy minden várost pontosan egyszer érintsen.\\ -\mbigskip -TODO kép +\tcblower +Egy lehetséges mohó algoritmus, amikor mindíg a legrövideb utat választja:\\ +\\ +\mmedskip +\SetGraphUnit{2} +\GraphInit[vstyle=Normal] +\SetVertexSimple[MinSize = 16pt, LineColor = black, FillColor = mygreen] +\begin{tikzpicture} + \GraphInit[vstyle=Normal] + \SetVertexLabel + \Vertex{v1} + \EA[unit=3](v1){v3} + \SO[unit=2](v3){v4} + \SO[unit=2](v1){v2} + \Edge[label=2](v1)(v3) + \Edge[label=99](v3)(v4) + \Edge[label=2](v4)(v2) + \Edge[label=0](v2)(v1) + \Edge[style={pos=0.75},label=1](v3)(v2) + \Edge[style={pos=0.75},label=99](v1)(v4) +\end{tikzpicture}\\ +\mmedskip +Mohó algoritmusnál lehet: v1 (0) v2 (1) v3 (99) v4 (99) v1 = 199.\\ +Legolcsóbb út: v1 (0) v2 (2) v4 (99) v3 (1) v2 (0) v1 = 103. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1131,9 +1227,68 @@ $6v(G) \leq 6v(G) - 12$ $\rightarrow$ Ellentmondás! \end{frame} \begin{frame} -\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kuratovski gráfok}] -A Kuratovski gráfok ($K_5$ és $K_{3,3}$) Nem rajzolhatók síkba.\\ -TODO: kép\\ +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kuratowski gráfok}] +A Kuratowski gráfok ($K_5$ és $K_{3,3}$) Nem rajzolhatók síkba.\\ + +\begin{tcbposter}[ +poster = {height=4.8em,spacing=2mm,rows=1,columns=4}, +boxes = {colframe=mybg, colback=mybg}, +] + +\posterbox[]{column=1,row=1}{\vspace{1.5em}$K_{3,3}:$} + + +\posterbox[]{column=3,row=1}{\vspace{1.5em}$K_{5}:$} + +\posterbox[]{column=2,row=1}{ + \SetGraphUnit{2} + \GraphInit[vstyle=Normal] + \SetVertexSimple[MinSize = 2pt, LineColor = black, FillColor = mygreen] +\begin{tikzpicture} + \GraphInit[vstyle=Normal] + \SetVertexNoLabel + \Vertex{1} + \EA[unit=1](1){2} + \EA[unit=1](2){3} + \SO[unit=1](1){4} + \SO[unit=1](2){5} + \SO[unit=1](3){6} + \Edge(1)(4) + \Edge(1)(5) + \Edge(1)(6) + \Edge(2)(4) + \Edge(2)(5) + \Edge(2)(6) + \Edge(3)(4) + \Edge(3)(5) + \Edge(3)(6) +\end{tikzpicture} +} + +\posterbox[]{column=4,row=1}{ + \SetGraphUnit{0.5} + \GraphInit[vstyle=Normal] + \SetVertexSimple[MinSize = 2pt, LineColor = black, FillColor = mygreen] +\begin{tikzpicture}[rotate=-53] + \GraphInit[vstyle=Normal] + \SetVertexNoLabel + \Vertices{circle}{1,2,3,4,5} + \Edge(1)(2) + \Edge(1)(3) + \Edge(1)(4) + \Edge(1)(5) + \Edge(2)(3) + \Edge(2)(4) + \Edge(2)(5) + \Edge(3)(4) + \Edge(3)(5) + \Edge(4)(5) +\end{tikzpicture} +} + + +\end{tcbposter} + \tcblower \msmallskip \underline{\textbf{Bizonyítás (Indirekt)}}\\ @@ -1165,8 +1320,8 @@ Egy másodfokú $v$ pont \textbf{simítása} az a transzformáció, amikor $v$-t Két gráf \textbf{topologikusan izomorf}, ha a szubdivizió és simítás véges sokszori alkalmazásával izomorf gráfokba transzformálhatóak. \end{tcolorbox} -\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kuratovski tétel}] -Egy egyszerű véges gráf \textbf{akkor, és csak akkor} rajzolható síkba, ha nem tartalmaz a Kuratovski gráfok valamelyikével topologikusan izomorf részgráfot. +\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kuratowski tétel}] +Egy egyszerű véges gráf \textbf{akkor, és csak akkor} rajzolható síkba, ha nem tartalmaz a Kuratowski gráfok valamelyikével topologikusan izomorf részgráfot. \end{tcolorbox} \end{frame}