From 910a24a2ccc45a9fa47d9c16f33a49f3a0fd6ae6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Sun, 21 Jan 2018 01:33:08 +0100 Subject: [PATCH] Dimat. --- Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex | 792 +++++++++++++------ 1 file changed, 551 insertions(+), 241 deletions(-) diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex b/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex index e4c6aeb..ee96bd8 100644 --- a/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex +++ b/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex @@ -146,8 +146,8 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók! {\footnotesize A sorrend nem számít!)} \end{tcolorbox} - \begin{tcolorbox}[title={Def.: Az üres halmz axiómája}] - Van olyaqn halmaz, amelynek nicns eleme.\\ + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Az üres halaz axiómája}] + Van olyan halmaz, amelynek nincs eleme.\\ Jel: $\emptyset$ \end{tcolorbox} @@ -169,13 +169,18 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók! Legyen $A$ és $B$ tetszőleges halmaz, és $B = \{x \in A, x \neq x \}$ \msmallskip - + + Belátható, hogy $B \notin A$ + \msmallskip + Ami azt jelenti, hogy tetszőleges halmazhoz konstruálunk olyan halmazt, amely nem lehet eleme.\\ + \mtinyskip + (egy x se tartalmazza magát elemként (ne legyen tartalmazkodó (= rendes halmaz)).\\ \mmedskip TFH (Indirekt):\\ - $B \in A$, ekkr:\\ + $B \in A$, ekkor:\\ \textbf{1.eset}\\ \msmallskip @@ -203,7 +208,7 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók! \begin{enumerate} \item $A \cup \emptyset = A$ \item $A \cup B = B \cup A$ (Kommutativitás) - \item $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup )$ (Asszociativitás) + \item $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C)$ (Asszociativitás) \item $A \cup A = A$ (Idempotencia) \item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $A \cup B = B$ \end{enumerate} @@ -234,8 +239,8 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók! Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor: \begin{enumerate} - \item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (B \cap C)$ (A metszet disztributivitása az unióra nézve) - \item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (B \cup C)$ (Az unió disztributivitása a metszetre nézve) + \item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ (A metszet disztributivitása az unióra nézve) + \item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ (Az unió disztributivitása a metszetre nézve) \end{enumerate} \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -259,33 +264,34 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók! \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Definíció: Komplementer}] - Ha X halmaz, A $\wedge$ X, akkor A halmaz X-re vonatkoztatott komplementere:\\ + Ha X halmaz, A $\subseteq$ X, akkor A halmaz X-re vonatkoztatott komplementere:\\ $$A' = X \setminus A$$ \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: A komplementer tulajdonságai}] - Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor: + Legyenek A, B $\subseteq$ X halmazok. Ekkor: \begin{enumerate} \item $(A')' = A$ \item $\emptyset' = X$ + \item $X' = \emptyset$ \item $A \cap A' = \emptyset$ \item $A \cup A' = X$ - \item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $B' \subseteq A'$ - \item $(A \cap B)' = A' \cup B'$ + \item $A \subseteq B$ akkor, és csak akkor, ha $B' \subseteq A'$ \item $(A \cup B)' = A' \cap B'$ + \item $(A \cap B)' = A' \cup B'$ \end{enumerate} \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Definíció: Hatványhalmaz}] - Ha $A$ halmaz, akkor azt a halmazrendszert melynek elemei $A$ részhalmazai, az \textbf{$A$ hatványhalmazának} nevezzük.\\ - Jele: $p(A)$, (A $p$ betű a "Potenz" szóra utal (gyakori a $2^A$ jelölés is.) + Ha $A$ halmaz, akkor azt a halmazrendszert, melynek elemei $A$ részhalmazai, az \textbf{$A$ hatványhalmazának} nevezzük.\\ + Jele: ${\wp}(A)$, (A $\wp$ betű a "Potenz" szóra utal (gyakori a $2^A$ jelölés is.) \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Axióma: Végtelenségi Axióma}] - Van olyan $A$ halmaz, amelynej az $\emptyset$ eleme, és ha valamely $x$ halmaz eleme $A$-nak, akkor az $x \cup \{ x \}$ halmaz is eleme $A$-nak.\\ + Van olyan $A$ halmaz, amelynek az $\emptyset$ eleme, és ha valamely $x$ halmaz eleme $A$-nak, akkor az $x \cup \{ x \}$ halmaz is eleme $A$-nak.\\ $\emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \}, \{ \emptyset , \{ \emptyset \}, \{ \emptyset , \{ \emptyset \} \} \}, ...$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -301,7 +307,7 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók! \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Rendezett pár}] - $(a:0m a_2) := \{ \{ a_1 \}, \{ a_1, a_2 \} \}$. + $(a_1, a_2) := \{ \{ a_1 \}, \{ a_1, a_2 \} \}$. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Rendezett $n$-es}] @@ -326,7 +332,7 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók! \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Identikus leképzés}] - $\mathbb{I}_X := \{(x, x) \in X x X : x \in X \}$ + $\mathbb{I}_X := \{(x, x) \in X x X : x \in X \}$, (Pl.: (1, 1), (2, 2), ...) \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Reláció értelmezési tartománya}] @@ -335,7 +341,7 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók! \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Reláció értékkészlete}] - \textbf{$R \subseteq X x Y$ reléció értékkészlete}\\ + \textbf{$R \subseteq X x Y$ reláció értékkészlete}\\ $rng(R) := \{ b \in Y | {\exists} a \in X : (a, b) \in R \}$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -343,29 +349,28 @@ a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók! \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Leszűkítés, kierjesztés}] Ha $S \subseteq R$, akkor $S$ az $R$ \textbf{ledszűkítése}, $R$ az $S$ \textbf{kiterjesztése}. -TODO a diában nem bozt h melyik fajta jelölést használták, lehet h valódi részhalmazt akar jelenteni. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Az $R$ reláció $X$ halmazra való Leszűkítése}] Az $R$ reláció $X$ halmazra való \textbf{leszűkítése}:\\ -$R|_X := \{(a, b) \in R | a |in X \}$. +$R|_X := \{(a, b) \in R | a \in X \}$. \end{tcolorbox} -\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ar $r \subset X x Y$ reláció inverze}] +\begin{tcolorbox}[title={Def.: Ar $r \subseteq X x Y$ reláció inverze}] $R^{-1} = \{(b, a) \in Y x X | (a, b) \in R \}$. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Ész}] $(R^{-1})^{-1} = R$\\ $dmn(R^{-1}) = rng(R)$\\ -$rng(R^{-1} = dmn(R)$\\ +$rng(R^{-1}) = dmn(R)$\\ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Az $A$ halmaz képe, (ős)képe / inverz képe}] Az $A$ halmaz \textbf{képe}:\\ -$R(A) := \{ y : van olyan x \in A$, hogy $(x, y) \in R \}$\\ +$R(A) := \{ y :$ van olyan $x \in A$, hogy $(x, y) \in R \}$\\ \mmedskip \textbf{Inverz (Ős) képe}:\\ @@ -385,9 +390,9 @@ $rng(S) \cap dmn(R) = \emptyset \Rightarrow R \circ S = \emptyset$. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Kompozíció tulajdonságai}] -Legyenek $R, S,$ és $T$ binéár relációk. Ekkor:\\ +Legyenek $R, S,$ és $T$ binér relációk. Ekkor:\\ \begin{enumerate} -\item Ha $rng(S) \subseteq dmn(R)$, akkor $rng(R \circ S) = rng(R)$. +\item Ha $rng(S) \supseteq dmn(R)$, akkor $rng(R \circ S) = rng(R)$. \item $R \circ (S \circ T) = (R \circ S) \circ T$ (asszociativitás). \item $(R \circ S)^{1} = s^{-1} \circ R^{-1}$. \end{enumerate} @@ -423,7 +428,7 @@ ha \textbf{reflexív, tranzitív, szimmetrikus}. A tetszőleges X halmazt \textbf{osztályozzuk (osztályokra bontjuk)}, ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak uniójaként állítjuk elő. \end{tcolorbox} -\begin{tcolorbox}[title={Az X $\in$ X elem \textbf{ekvivalencia osztálya}:}] +\begin{tcolorbox}[title={Az x $\in$ X elem \textbf{ekvivalencia osztálya}:}] $$\overline{x} = \{y \in X : y \sim x\}$$ \end{tcolorbox} @@ -436,13 +441,16 @@ Bizonyítás:\\ \textbf{1. Rész ($\Rightarrow$)}\\ \mmedskip +Tfh $\sim$ ekvivalenciareláció X-n. +\msmallskip + Reflexivitás $\Rightarrow$ $x \in \tilde{x}$ $\Rightarrow$ osztályok nem üresek.\\ \msmallskip Mi újság a két osztály metszetével?\\ \msmallskip -\textbf{Tfh} van nem üres: $z \in \tilde{x} \cap \tilde{y}$ tranz + szimm $\rightarrow$ $x \sim y$, továbbá:\\ +\textbf{Tfh} van nem üres: $z \in \tilde{x} \cap \tilde{y}$ tranz + szimm $\Rightarrow$ $x \sim y$, továbbá:\\ \msmallskip tranz + szimm $\Rightarrow$ $w \in \tilde{x} \Rightarrow w \in \tilde{y}$ és $w \in \tilde{y} \Rightarrow w \in \tilde{x}$. @@ -459,11 +467,11 @@ $\tilde{X} = \{ \tilde{x} : x \in X \}$\\ Tfh ${\exists}X$-nek osztályfelbontása:\\ -$X_1 \cup X_2 \cup ... \cup X_n = 'X$\\ +$X_1 \cup X_2 \cup ... \cup X_n = X$\\ Legyen a relációnk:\\ -$p := \{(a,b) \in X x X | a, b \in X-i$ valamely $q \leq i \leq n$-re $\}$.\\ +$p := \{(a,b) \in X x X | a, b \in X_i$ valamely $1 \leq i \leq n$-re $\}$.\\ \mmedskip Reflexív? $\rightarrow$ Igen\\ @@ -475,7 +483,7 @@ Szimmetrikus? $\rightarrow$ Igen \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Részbenrendezés, Szigorú részbenrendezés}] -Az $R \subset X x X$ reláció \textbf{részbenrendezés (${\leq}$)}, ha:\\ +Az $R \subseteq X x X$ reláció \textbf{részbenrendezés (${\leq}$)}, ha:\\ \begin{itemize} \item Reflexív \item Tranzitív @@ -502,7 +510,10 @@ Tetszőleges részbenrendezett halmaz esetén, ha bármely két elem relációba \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Szigorú, gyenge reláció, Lánc}] -Tetszőleges $X$, a $\leq$ relációval részbenrendezett halmaz bármely $Y$ részhalmaza részbenrendezett a ($\leq \subseteq Y x Y$) struktúra rendezés, akkor \textbf{lánc}.\\ +Tetszőleges $X$, a $\leq$ relációval részbenrendezett halmaz bármely $Y$ részhalmaza részbenrendezett a $\leq \subseteq Y x Y$ relációval.\\ +\msmallskip + +Ha ($\leq \subseteq Y x Y$) struktúra rendezés, akkor \textbf{lánc}.\\ \mmedskip Tfh $R$ $X$-beli reláció. Ha $S$ $X$-beli reláció olyan, hogy $xSy$ akkor áll fenn, ha $xRy$ ls $x \neq y$, akkor $S$ az $R$-nek megfelelő \textbf{szigorú reláció}.\\ @@ -539,7 +550,7 @@ Jel: $] {\leftarrow}, x [$ ($\rightarrow$ = közvetlenül megelőzi) \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Minimális, Maximális, Legkisebb, Legnagyobb elem}] -Legyen $(X, {\leq}))$ részbenrendezett struktúra, ekkor\\ +Legyen $(X, {\leq})$ részbenrendezett struktúra, ekkor\\ $m \in X$\\ \msmallskip @@ -554,14 +565,14 @@ az $X$ \textbf{minimális eleme}, ha nem létezik olyan $(m {\neq}) x \in X$, am \begin{tcolorbox}[title={Ész}] Legkisebb és legnagyobb elem legfeljebb egy van.\\ -Minimális nés maximális elem több is lehet.\\ +Minimális és maximális elem több is lehet.\\ Rendezett halmazban legkisebb és minimális elem egybeesik. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Alsó korlát, Felső korlát}] -Legyen $B \subset A$ ($A$ részbenrendezett), ekkor:\\ +Legyen $B \subseteq A$ ($A$ részbenrendezett), ekkor:\\ \msmallskip $a \in A$\\ @@ -574,14 +585,18 @@ $a \in A$\\ Észrevételek:\\ \begin{itemize} \item Lehet 0, vagy több korlát. -\item A korlát nem boztos, hoyg $B$ eleme. +\item A korlát nem biztos, hogy $B$ eleme. \item Ha egy korlát $B$-ben van, akkor 1! (Legkisebb, vagy legnagyobb elem) \end{itemize} \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Infinum, Supremum}] $B$ \textbf{infinuma} (inf $B$), ha létezik, $B$ legnagyobb alsó korlátja.\\ +\mmedskip + \textbf{pontos felső/alsó korlát, felső/alsó határ}\\ +\mmedskip + $B$ \textbf{supremuma} (sup $B$), ha létezik, $B$ legkisebb felő korlátja. \end{tcolorbox} @@ -609,52 +624,62 @@ Az $f$ \textbf{reláció} függvény, ha\\ $(x, y) \in f \land (x, y') \in f \Rightarrow y = y'$.\\ \tcblower Kapcsolódó jelölések, fogalmak:\\ +\mmedskip + $f(x) = y$\\ $f : x \rightarrow y$\\ -$Y \rightarrow Y$ (Az összes olyan fggvény halmaza, amelynek értelmezési tartománya X-nek, értékkészlete pedig Y-nak része.\\ +$X \rightarrow Y$ (Az összes olyan fggvény halmaza, amelynek értelmezési tartománya X-nek, értékkészlete pedig Y-nak része.)\\ \mmedskip \textbf{Parciális függvény}:\\ -$f: X \rightarrow Y$, $f \in X \rightarrow Y$\\ -$rng(f) = X$, $dmn(f) \subset X$, $rng(f) \subset Y$ ($\subset$ az = is megengedett) +\msmallskip + +$f: X \rightarrow Y$, ($dmn(f) = X$)\\ +$f \in X \rightarrow Y$ ($dmn(f) \subseteq X$) $\leftarrow$ Parciális függvény.\\ +Mindkettőnél: $rng(f) \subseteq X$ \end{tcolorbox} -%\begin{tcolorbox}[title={Mikor egyenlő két függvény?}] -%\end{tcolorbox} +\begin{tcolorbox}[title={Mikor egyenlő két függvény?}] +$f = g \iff (dmn(f) = dmg(g)) \land ({\forall}x \in dmn(f) \Rightarrow f(x) = g(x))$\\ +\mmedskip + +Akkor, és csak akkor, ha minden érték megegyezik, és az értelmezési tartomány is. +\end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={Def.: Függvények típusai}] Az $f: A \rightarrow B$ függvény\\ \begin{itemize} \item \textbf{Szürjektív}, ha $B = rng(f)$ (Ráképzés) -\item \textbf{Injektív}, ha ${\forall} am b \in dmn(f) : (a \neq b) \Rightarrow f(a) \neq f(b)$ (Kölcsönösen egyértelmű) +\item \textbf{Injektív}, ha ${\forall} a, b \in dmn(f) : (a \neq b) \Rightarrow f(a) \neq f(b)$ (Kölcsönösen egyértelmű) \item \textbf{Bijektív}, ha Injektív, és Szürjektív is. \end{itemize} \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Ész}] -Injektív függvényinverze is függvény. +Injektív függvény inverze is függvény. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Kanonikus leképzés}] -Ha adott egy $X$ halmazon értelmezett ekvivalenciareláció, akkor az $X$ elemeihez sajét ekvivalenciaosztályukat rendelő leképzést (függvényt) \textbf{kanonikus leképzésnek (függvénynek)} nevezzük. +Ha adott egy $X$ halmazon értelmezett ekvivalenciareláció, akkor az $X$ elemeihez saját ekvivalenciaosztályukat rendelő leképzést (függvényt) \textbf{kanonikus leképzésnek (függvénynek)} nevezzük.\\ +\msmallskip Fordítva: ha $f: X \rightarrow Y$ függvény, akkor $\sim \subset X x X$ ekvivalenciareláció, ahol $(x, y) \in {\sim}$, ha $f(x) = f(y)$. \end{tcolorbox} \end{frame} - \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Monoton, Szigorúan monoton függvények}] Legyen $(A, {\leq}_1), (B, {\leq}_2)$ részbenrendezett struktúra.\\ Ekkor az $f : A \rightarrow B$ függvény\\ +\mmedskip + \textbf{monoton növő}, ha:\\ ${\forall}x, y \in dmn(f) : x {\leq}_1 y \Rightarrow f(x) {\leq}_2 f(y)$.\\ \mmedskip -\textbf{Szigorúan onoton növő}, ha:\\ +\textbf{Szigorúan monoton növő}, ha:\\ ${\forall}x, y \in dmn(f) : x <_1 y \Rightarrow f(x) <_2 f(y)$.\\ \mmedskip @@ -671,7 +696,7 @@ $f$ injektív $\land$ monoton $\Rightarrow$ szigorúan monoton és $f$ inverze i \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Családok (Indexhalmaz, Indexelt halmaz, Indexelt család)}] -Legyen $x$ függvény, $dmg(x) = I$ és $x(i) = y$ helyett írjuk $x(i) = x_i$-t.\\ +Legyen $x$ függvény, $dmn(x) = I$ és $x(i) = y$ helyett írjuk $x(i) = x_i$-t.\\ \mmedskip Ekkor:\\ @@ -685,7 +710,7 @@ ${\bigcup}_{i \in I} X_i := {\bigcup}\{ X_i : i \in I\}$\\ \mmedskip $i \leq \emptyset$ esetén \textbf{halmazcsalád metszetét} így definiáljuk:\\ -${\bigvee}_{i \in I} X_i := {\bigvee}\{ X_i : i \in I\}$ +${\bigcap}_{i \in I} X_i := {\bigcap}\{ X_i : i \in I\}$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -722,7 +747,17 @@ Jel: $f(a_1, a_2, ..., a_n)$ \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Műveleti tábla, Operandus}] -TODO táblázat +----------------------------------\\ +| + | $a_1$ | $a_2$ | ... | $a_n$ |\\ +| $a_1$ | $a_1$ + $a_1$ ....\\ +...\\ +| $a_n$ | ...\\ +---------------------------------\\ +\mmedskip + ++: Binér művelet\\ +Felül jobb oldali operandusok.\\ +Bal oldalon bal oldali operandusok. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -740,8 +775,8 @@ TODO táblázat \begin{tcolorbox}[title={Def.:Algebrai struktúrák, izomorfiájuk}] %\begin{tcolorbox}[title={Def.: Művelet, Eredmény, Operandus, Algebrai Struktúra, Tartóhalmaz (Alaphalmaz)}] Ha $A$ tetszőleges halmaz, akkor egy\\ -\textbf{A-n értelmezett $n$-lr műveleten ($n$-változós)} egy\\ -$f : (A^n =) A x A ... x A$ és $n \in \mathbb{N}_0$.\\ +\textbf{A-n értelmezett $n$-ér műveleten ($n$-változós)} egy\\ +$f : (A^n =) A x A ... x \rightarrow A$ és $n \in \mathbb{N}_0$.\\ \msmallskip Ha $x_1, x_2, ..., x_n\in A$, akkor\\ @@ -777,16 +812,17 @@ Ha $\otimes$ egy $A$-n értelmezett $n$-ér művelet, akkor mondjuk, hogy \textb \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Morfizmusok}] - Legyen $(G, {\cdot})$ és $(G', {\cdot})$ kát grupoid. A ${\phi} : G \rightarrow G'$ függvényt \textbf{homomorfizmusnak} nevezzük, ha \textbf{művelettartó}, vagyis ${\forall}a_1, a_2 \in G : {\phi}(a_1a_2) = {qphi}(a_1) \otimes {\phi}(a_2)$\\ + Legyen $(G, {\cdot})$ és $(G', {\otimes})$ két grupoid. A ${\phi} : G \rightarrow G'$ függvényt \textbf{homomorfizmusnak} nevezzük, ha \textbf{művelettartó}, vagyis ${\forall}a_1, a_2 \in G : {\phi}(a_1a_2) = {\phi}(a_1) \otimes {\phi}(a_2)$\\ \textbf{Izomorfizmus}: bijektív homomorfizmus. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Félcsoport}] A $(G, {\cdot})$ grupoid \textbf{félcsoport}, ha $\cdot$ asszociatív. - \end{tcolorbox} - - \begin{tcolorbox}[title={Def.: Baloldali, Jobboldali egységelem, Egységelem}] + \tcblower + \textbf{Baloldali, Jobboldali egységelem, Egységelem}:\\ + \mmedskip + A $(G, {\cdot})$ félcsoportban:\\ \begin{itemize} \item $e_b \in G$ \textbf{bal oldali egységelem}, ha minden $a \in G$ esetén $e_ba = a$ @@ -797,10 +833,24 @@ Ha $\otimes$ egy $A$-n értelmezett $n$-ér művelet, akkor mondjuk, hogy \textb \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={Def.: Balinverz, Jobbinverz, Inverz (Félcsoport)}] + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Balinverz, Jobbinverz, Inverz (Félcsoport)}] + Legyen $(G, {\cdot})$ félcsoportban $e$ egységelem. Ekkor az $a \in G$ elemnek:\\ + \msmallskip + + \begin{itemize} + \item $a_b \in G$ \textbf{balinverze}, ha $a_ba = e$. + \item $a_j \in G$ \textbf{jobbinverze}, ha $aa_j = e$. + \item $a' \in G$ \textbf{inverze}, ha $aa' / a'a = e$. + \end{itemize} + \mmedskip + Legyen $(G, {\cdot})$ félcsoportban $e_b$ bal oldali egységelem. Az $a \in G$ elemnek \\ + \msmallskip + $a_b \in G$ az \textbf{$e_b$-re vonatkoztatott balinverze}, ha $a_ba = e_b$\\ illetve az \textbf{$e_b$-re vonatkoztatott jobbinverze}, ha $aa_b = e_b$\\ + \mmedskip + A bal-é s jobbinverz fogalma jobboldali egységelemre hasonlóan. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -808,13 +858,21 @@ Ha $\otimes$ egy $A$-n értelmezett $n$-ér művelet, akkor mondjuk, hogy \textb \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egységelem és inverz félcsoportban}] - Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik. + Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik (egyszerre jobb és bal), és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik. \tcblower - Legyen $(G, *)$ félcsoport, $e_b$ bal oldali, $e_j$ pedig jobb oldali egységelem $G$-ben.\\ + Legyen $(G, {\cdot})$ félcsoport, $e_b$ bal oldali, $e_j$ pedig jobb oldali egységelem $G$-ben.\\ + \msmallskip + Ekkor $e_b = e_j$, hiszen:\\ + \msmallskip + $e_be_j = e_j$ és $e_be_j = e_b$, (nyíl éshez $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!)\\ mert $e_b$ bal, $e_j$ jobb oldali egységelem.\\ - Ha az $a \in G$ elemnek $a_b$ balinverze, $a_j$ pedig jobbinverze, akkor $a_b = a_j$. + \msmallskip + + Ha az $a \in G$ elemnek $a_b$ balinverze, $a_j$ pedig jobbinverze, akkor $a_b = a_j$.\\ + \msmallskip + $a_baa_j = a_b(aa_j) = a_be = a_b$ és $a_baa_j = (a_ba)a_j = ea_j = a_j$. (Asszociatív tulajdonság) (nyíl éshez ide is $\rightarrow$ a függvény egyértelmű!). \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -824,7 +882,10 @@ Ha $\otimes$ egy $A$-n értelmezett $n$-ér művelet, akkor mondjuk, hogy \textb A $(H, {\cdot})$ félcsoport \textbf{csoport}, ha: \begin{enumerate} \item Létezik benne $e$ egységelem - \item Minden $a \in H$ elemnek létezik erre az egységelemre vonatkozó $a^{-1}$ inverze: $a^{-1}a = aa^{-1} = e$ + \item Minden $a \in H$ elemnek létezik erre az egységelemre vonatkozó $a^{-1}$ inverze:\\ + \msmallskip + + $a^{-1}a = aa^{-1} = e$ \end{enumerate} \mmedskip @@ -832,11 +893,13 @@ Ha $\otimes$ egy $A$-n értelmezett $n$-ér művelet, akkor mondjuk, hogy \textb \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: $n$ tényezős szorzat / Hatványozás egész kitevővel}] - Ha $G$ csoport, $g \in G, n \in \mathbb{N}^+$, akkor legyen $n \mapsto g^n$, ahol $g^{-n} = (g^{-1})^n$.\\ - érvényesek $g, h \in G$ és $m, n \in \mathbb{Z}$-re.\\ + Ha $G$ csoport, $g \in G, n \in \mathbb{N}^+$, akkor legyen:\\ + \msmallskip + + $n \mapsto g^n$, ahol $g^{-n} = (g^{-1})^n$ érvényesek $g, h \in G$ és $m, n \in \mathbb{Z}$-re.\\ \msmallskip - $g^{n . m} = g^m \cdot g^n$ és $(g^m)^n = g^{m \cdot n}$\\ + $g^{n + m} = g^m \cdot g^n$ és $(g^m)^n = g^{m \cdot n}$\\ ha $g, h$ felcserélhető, akkor $(g \cdot h)^m = g^m \cdot h^m$\\ \msmallskip @@ -853,15 +916,18 @@ Ha $\otimes$ egy $A$-n értelmezett $n$-ér művelet, akkor mondjuk, hogy \textb \item $(R, +)$ Abel-csoport. \item $(R, {\cdot})$ félcsoport \item Teljesül mindkét oldalról a disztributivitás, vagyis:\\ + \msmallskip + $a(b + c) = ab + ac$\\ - $(b+ c)a = ba + ca$, minden $a, b, c \in R$ esetén. + $(b+ c)a = ba + ca$,\\ + minden $a, b, c \in R$ esetén. \end{enumerate} \mbigskip \textbf{Kommutatív} a gyűrű, ha a szorzás kommutatív.\\ \mmedskip - Az additív csoport egységeleme a gyűrű \textbf{nulleleme}, jelben 0.\\ + \textbf{Nullelem}: Az additív csoport egységeleme a gyűrű \textbf{nulleleme}, jelben 0.\\ \mmedskip \textbf{Egységelemes} a gyűrű, ha a szorzásra vonatkozóan van egységelem (amit $e$-vel, vagy $1$-gyel jelölünk.)\\ @@ -885,14 +951,29 @@ Ha $\otimes$ egy $A$-n értelmezett $n$-ér művelet, akkor mondjuk, hogy \textb \textbf{Egység}: $x \in R$ \textbf{egység}, ha $x | r$ minden $r \in R$-re.\\ \mmedskip - \textbf{Test}: Az $R$ gyűrű \textbf{test}, ha $(R^*, {\cdot})$ Abel csoport. + \textbf{Test}: Az $R$ gyűrű \textbf{test}, ha $(R^*, {\cdot})$ Abel csoport.\\ + \msmallskip + + {\footnotesize $R^* =$ R struktúra, additív egységelem nélkül. (0)} \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Algebrai struktúrák kpacsolata (Kép)}] -TODO +% Yes this is bad, but too tired atm to mess with tables +-------------------------------------------------------------------------\\ +|-----------------------|----------Gyűrű--------|-----------------------|\\ +|-----------------------/-|-----------|-----------|--{\textbackslash}----------------------|\\ +|--Nullosztómentes--|-----Kommutatív----|----Egységelemes-----|\\ +|-----------------------|-----------|$\rightarrow$-----------|-----------|-----------|\\ +|-----------------------|-Integritási Tartomány-|-------|--------------|\\ +|-----------------------|------------{\textbackslash}----------|-------------|-------------|\\ +|-----------------------|-----------------------|------------EIT---------|\\ +|-----------------------|-----------------------|-------Gauss-gyűrű------|\\ +|-----------------------|-----------------------|-------Főideál-gyűrű------|\\ +|----Ferdetest-------|-----------------------|-----Euklideszi gyűrű-----|\\ +|-----------I$\rightarrow$--------|-----------------------|----------Test------------|\\ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -900,7 +981,7 @@ TODO \begin{tcolorbox}[title={Lemma: Észrevételek gyűrűkben}] \begin{enumerate} \item \textbf{Szorzás nullelemmel:} Legyen 0 az R gyűrű nulleleme. Ekkor $a0 = 0a = 0$, minden $a \in R$ esetén. - \item \textbf{Előjelszabály:} Legyen R gyűrű, és $a, b \in R$. Az $a$ elem additív inverzés jelöljük $-a$-val. Ekkor $-(ab) = (-a)b = a(-b)$, tobábbá $(-a)(-b) = ab$. + \item \textbf{Előjelszabály:} Legyen R gyűrű, és $a, b \in R$. Az $a$ elem additív inverzét jelöljük $-a$-val. Ekkor $-(ab) = (-a)b = a(-b)$, továbbá $(-a)(-b) = ab$. \item \textbf{Véges integritási tartomány test.} \item \textbf{Testben nincs nullosztó.} \end{enumerate} @@ -909,26 +990,38 @@ TODO \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Lemma: Nullosztó és regularitás}] - R gyűrűben a multiplikatív művelet akkor, és csak akkor reguláris, ha R zérusosztómentes. + R gyűrűben a multiplikatív művelet \textbf{akkor, és csak akkor} reguláris, ha R zérusosztómentes. \tcblower \textbf{Bizonyítás}\\ \mmedskip \textbf{1. Rész}\\ + \msmallskip + Tfh $a \neq 0$, a nem bal oldali nullosztó és $ab = ac$.\\ - $ab = ac / -(ac)$ (+ additív inverz)\\ + \msmallskip + + $ab = ac$ $/ -(ac)$ (+ additív inverz)\\ $ab + (-(ac)) = 0$. Előjel szabály + disztri.\\ $ab + (a(-c)) = a(b+(-c)) = 0$ (Kiemeljük, csak akkor lehet, ha $(b + -1 = 0) \implies (b = c)$)\\ + \msmallskip + A feltételből ($a$ nem baloldali nullosztó) következik, hogy $b + (-c) = 0)$ $\implies$\\ $\implies$ b = c.\\ \bigskip \textbf{2. Rész}\\ + \msmallskip + Tfh $a$ bal oldali nullosztó, tehát $a \neq 0$ és létezik $b \neq 0\: ab = 0$.\\ + \msmallskip + tetszőleges $c \in R$-re: $ac = ac$.\\ - $ac = ac / +0 (0 = ab)$\\ + $ac = ac$ $/ +0 (0 = ab)$\\ $ac = ac + ab$ /(Disztributivitás)\\ - $ac = a(c + b)$ Ellentmondás!\\ + $ac = a(c + b)$ $\rightarrow$ Ellentmondás!\\ + \msmallskip + Mivel $(b \neq 0) \implies (c \neq (c + b))$ (A b nem additív egységelem). \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -946,7 +1039,7 @@ TODO Legyen $R$ egységelemes integritási tartomány, $U(R)$ az $R$-beli egységek halmaza, ekkor:\\ \begin{enumerate} \item $a \in R^* \setminus U(R)$ \textbf{felbonthatatlan}, ha $a = b \cdot c (b, c \in R)$ esetén $b \in U(R)$, vagy $c \in U(R)$ - \item $a \in ^* \setminus U(R)$ \textbf{prím}, ha $a | b \cdot c (b, c \in R) \Rightarrow a|b$ vagy $a|c$ + \item $a \in R^* \setminus U(R)$ \textbf{prím}, ha $a | b \cdot c$ $(b, c \in R) \Rightarrow a|b$ vagy $a|c$ \end{enumerate} \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -961,30 +1054,42 @@ TODO \end{tcolorbox} \end{frame} +\begin{frame} + \begin{tcolorbox} + $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{A} \rightarrow \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$\\ + \msmallskip + + $\mathbb{Q}$, és "felfele" $\rightarrow$ test. + \mmedskip + + $\mathbb{N}$: Nem gyűrű.\\ + $\mathbb{Z}$ Gyűrű\\ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + \begin{frame} -\begin{tcolorbox} -{\Huge Természetes számok} -\end{tcolorbox} + \begin{tcolorbox} + {\Huge Természetes számok} + \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={Def.: Természetes számok}] - Halmaz, egy nullér és egy injektív unér művelettel. - \end{tcolorbox} - \begin{tcolorbox}[title={Def.: Peano-axiómák}] + Halmaz, egy nullér(1) és egy injektív unér(4) művelettel (rákövetkezés (2)).\\ + \mmedskip + \begin{enumerate} - \item $q \in \mathbb{N}$. + \item $0 \in \mathbb{N}$. \item Ha $n \in \mathbb{N}$, akkor $n^+ \in \mathbb{N}$. \item Ha $n \in \mathbb{N}$, akkor $n^+ \neq 0$. (Nincs benne -1 $\rightarrow$ $-1 + 1 = 0$). \item Ha $n, m \in \mathbb{N}$ és $n^+ = m^+$, akkor $n = m$ - \item Ha $s \subset \mathbb{N}, 0 \in S$ és ha $n \in S$, akkor $n^+ \in S$, akkor $S = \mathbb{N}$. (Teljes indukvió elve). + \item Ha $S \subset \mathbb{N}, 0 \in S$ és ha $n \in S$, akkor $n^+ \in S$, akkor $S = \mathbb{N}$. (Teljes indukvió elve). \end{enumerate} \end{tcolorbox} - \begin{tcolorbox}[title={Ész}] - \end{tcolorbox} + %\begin{tcolorbox}[title={Ész}] + %\end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Természetes számok halmaza}] Az a lényegében egyértelműen létező halmaz, amely eleget tesz a Peano-axiómáknak, a \textbf{természetes számok halmaza}.\\ @@ -997,12 +1102,13 @@ TODO ${\forall}m \in \mathbb{N} : {\exists} s_m : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ függvény, amelyre\\ \mmedskip - $S_m(0) = m \land {\forall}n \in \mathbb{N} : S_m(n^+) = (s_m(n))^+$,\\ + $s_m(0) = m \land {\forall}n \in \mathbb{N} : s_m(n^+) = (s_m(n))^+$,\\ $s_m(n)$ $m$ én $n$ szám \textbf{összege}.\\ Jelölés: $m + n$ - \end{tcolorbox} - - \begin{tcolorbox}[title={Ész}] + \tcblower + \textbf{Észrevételek}:\\ + \mmedskip + $m^+ = (S_m(0))^+ = s_m(0^+) = S_m(1) = m + 1$\\ $m = (S_m(0)) = m + 0$ \end{tcolorbox} @@ -1013,23 +1119,26 @@ TODO ${\forall}m \in \mathbb{N} : {\exists} p_m : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ függvény, amelyre\\ \mmedskip - $p_m(0) = 0 \land {\forall}n\in \mathbb{N} : p_m(n^+) = pm(n) + m$,\\ - $p_m(n)$ $m$ én $n$ szám \textbf{szorzata}.\\ + $p_m(0) = 0 \land {\forall}n\in \mathbb{N} : p_m(n^+) = p_m(n) + m$,\\ + $p_m(n)$ $m$ és $n$ szám \textbf{szorzata}.\\ Jelölés: $m \cdot n$ vagy $mn$ - \end{tcolorbox} - - \begin{tcolorbox}[title={Ész}] + \tcblower + \textbf{Észrevételek}:\\ + \mmedskip + $1 \cdot 1 = p_1(1) = p_1(0^+) = p_1(0) + 1 = 0 + 1 = 1$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Természetes számok}] - A $(N, +, *)$ struktúrában mindkét művelet asszociatív, kommutatív, reguláris.\\ + A $(N, +, {\cdot})$ struktúrában mindkét művelet \textbf{asszociatív, kommutatív, reguláris}.\\ + \msmallskip + Nullelem (additív egységelem): 0.\\ Multiplikatív egységelem: 1.\\ A szorzat mindkét oldalról disztributív az összeadásra.\\ - ${\forall}m \in N : 0 * m = m * 0 = 0$. + ${\forall}m \in N : 0 \cdot m = m \cdot 0 = 0$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1051,7 +1160,7 @@ A természetes számok halmaza a $\leq$ relációval jólrendezett.\\ %\end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Ész}] - A $(\mathbb{N}, +, {\cdot})$ nem gyűrű, mert $(\mathbb{N}, +)$ nem Abel-csoport. + A $(\mathbb{N}, +, {\cdot})$ struktúra nem gyűrű, mert $(\mathbb{N}, +)$ nem Abel-csoport. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1098,18 +1207,25 @@ A természetes számok halmaza a $\leq$ relációval jólrendezett.\\ \end{frame} \begin{frame} -\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság}] -$T$ felső határ tulajdonságú test, $\implies$ $T$ arkhimédészi tulajdonságú. -\end{tcolorbox} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Felső határ és arkhimédészi tulajdonság}] + $T$ felső határ tulajdonságú test $\implies$ $T$ arkhimédészi tulajdonságú. + \tcblower + \textbf{Bizonyítás (Indirekt)}\\ + \mmedskip + + Tfh (indirekte) $T$ felső határ tulajdonságú rendezett test, de nem arkhimédészi tulajdonságú.\\ + \msmallskip + + $\Rightarrow {\exists}y : {\nexists}n \in \mathbb{N} : nx \geq y$.\\ + Azaz y felső korlátja az $A = \{ nx | n \in \mathbb{N} \}$ halmaznak.\\ + \msmallskip -\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}] -Tfh $T$ felső határ tulajdonságú rendezett test, de nem arkhimédészi tulajdonságú.\\ -$\implies : {\nexists}n \in \mathbb{N} : nx \geq y$.\\ -Azaz y felső korlátja az $A = \{ nx | n \in \mathbb{N} \}$ halmaznak.\\ -Ekkor viszont létezik $z = sup A$ $\implies$ $z - x < z$ nem felső korlát. $\implies$\\ -$implies$ ${\exists}n : nx > z - x \implies (n + 1)x > z$. ($(n + 1)x \in A$).\\ -Ellentmondás, mivel ha $n \in \mathbb{N}$, akkor $n^+ \in \mathbb{N}$ $\rightarrow$ Peano axióma! -\end{tcolorbox} + Ekkor viszont létezik $z = sup A$ $\Rightarrow$ $z - x < z$ ($z - x$ nem feltétlenül arkhimédeszi tulajdonságú) nem felső korlát. $\Rightarrow$\\ + $\Rightarrow$ ${\exists}n : nx > z - x \Rightarrow (n + 1)x > z$. ($(n + 1) \in A$).\\ + \msmallskip + + Ellentmondás, mivel ha $n \in \mathbb{N}$, akkor $n^+ \in \mathbb{N}$ $\rightarrow$ Peano axióma! + \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} @@ -1120,19 +1236,35 @@ $\mathbb{Q}$ arkhimédészi tulajdonságú, de nem felső határ tulajdonságú. \begin{frame} -\begin{tcolorbox}[title={Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális}] -Nincs $\mathbb{Q}$-ban olyan szám, amelynek négyzete 2. -\end{tcolorbox} - -\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}] -Tfh van, és ez $x$.\\ -$x = \frac{m}{n}, m,n \in \mathbb{N}^+$, és az $m$ minimális.\\ -$2 = x^2 = \frac{m^2}{n^2} \implies m^2 = 2n^2$\\ -Ebből következik, hogy $m$ páros. $\implies$ $m = 2k, k \in \mathbb{N}^+$\\ -Ebből következik, hogy $n$ is páros: $n = 2j, j \in \mathbb{N}^+$\\ -Ekkor viszont $\frac{m}{n} = \frac{2k}{2j} = \frac{k}{j}$.\\ -Viszont ebből koövetkezik, hogy m nem minimális $\rightarrow$ Ellentmondás! -\end{tcolorbox} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: $\sqrt{2}$ nem racionális}] + Nincs $\mathbb{Q}$-ban olyan szám, amelynek négyzete 2. + \tcblower + \textbf{Bizonyítás (Indirekt)}\\ + \mmedskip + + Tfh (indirekte) van, és ez $x$.\\ + \msmallskip + + $x = \frac{m}{n}, m,n \in \mathbb{N}^+$, és az $m$ minimális.\\ + \msmallskip + + $2 = x^2 = \frac{m^2}{n^2} \implies m^2 = 2n^2$\\ + \msmallskip + + Ebből következik, hogy $m$ páros. $\implies$ $m = 2k, k \in \mathbb{N}^+$\\ + \msmallskip + + $m^2 = 2n^2 \Rightarrow (2k)^2 = 2n^2 \Rightarrow 2k^2 = n^2$\\ + \msmallskip + + Ebből következik, hogy $n$ is páros: $n = 2j, j \in \mathbb{N}^+$\\ + \msmallskip + + Ekkor viszont $\frac{m}{n} = \frac{2k}{2j} = \frac{k}{j}$.\\ + \msmallskip + + Viszont ebből következik, hogy m nem minimális $\rightarrow$ Ellentmondás! + \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} @@ -1143,16 +1275,24 @@ Viszont ebből koövetkezik, hogy m nem minimális $\rightarrow$ Ellentmondás! \begin{tcolorbox}[title={Def.: néhány Függvény (?)}] \textbf{Abszolút érték}: |x| = $x$, ha $x \geq 0$ | $-x$, ha $x < 0$.\\ + \msmallskip + \textbf{Előjel}: sgn(x) = $0$, ha $x = 0$ | $x / |x|$, különben.\\ + \msmallskip + \textbf{Alsó egész rész}: ${\lfloor}x{\rfloor} = \mathbb{Z}$ legnagyobb eleme, amely nem nagyobb, mint $x$\\ + \msmallskip + \textbf{Felső egész rész}: ${\lceil}x{\rceil} = \mathbb{Z}$ legkisebb eleme, amely nem kisebb, mint $x$\\ \mbigskip \textbf{Észrevételek:}\\ - \mmedskip + \msmallskip - $c = 0 \Rightarrow {\lceil}x{\rceil} = {\lfloor}x{\rfloor} = 0$,\\ - Ha $x > 0$: arkhi. tul. ból és $\mathbb{N}$ jólrendezettségéből $\Rightarrow$ ${\exists}n \in \mathbb{N}$, ahol $n$ a legkisebb olyan természetes szám, amely $n \geq x \Rightarrow n = {\lceil}x{\rceil}$, ekkor ha $x = n \in \mathbb{N}^+ \Rightarrow$ ${\lfloor}x{\rfloor} = n$, különben ${\lfloor}x{\rfloor} = n - 1$.\\ + $x = 0 \Rightarrow {\lceil}x{\rceil} = {\lfloor}x{\rfloor} = 0$,\\ + \msmallskip + + Ha $x > 0$: arkhi. tul. ból és $\mathbb{N}$ jólrendezettségéből $\Rightarrow$ ${\exists}n \in \mathbb{N}^+$, ahol $n$ a legkisebb olyan természetes szám, amely $n \geq x \Rightarrow n = {\lceil}x{\rceil}$, ekkor ha $x = n \in \mathbb{N}^+ \Rightarrow$ ${\lfloor}x{\rfloor} = n$, különben ${\lfloor}x{\rfloor} = n - 1$.\\ \mmedskip ha $x < 0 \Rightarrow {\lceil}x{\rceil} = -{\lfloor}-x{\rfloor} = n$, különben ${\lfloor}x{\rfloor} = -{\lceil}-x{\rceil}$. @@ -1161,18 +1301,26 @@ Viszont ebből koövetkezik, hogy m nem minimális $\rightarrow$ Ellentmondás! \begin{frame} -\begin{tcolorbox}[title={Def.: Bővített valós számok}] +\begin{tcolorbox}[title={Def.: Bővített valós számok (?)}] $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ -{\infty}, {\infty}\}$\\ \mbigskip Rendezés kiterjesztése:\\ + \mmedskip + $-{\infty} < x < +{\infty}$ teljesüljön minden $x$ valósra.\\ + \msmallskip + Bármely részhalmaznak van szuprémuma, és infinuma:\\ + \msmallskip + $sup{\emptyset} = -{\infty}, inf{\emptyset} = +{\infty}$\\ \mmedskip Összeadás $x$ valósra (nem mindenütt értelmezett):\\ - $x + (-{\infty}) = (-{\infty}) + x = -{\infty}$, ha $x < +{\infty}$, és $x + (+{\infty}) = (+{\infty}) + x = +{\infty}$, ha $x < +{\infty}$\\ + \msmallskip + + $x + (-{\infty}) = (-{\infty}) + x = -{\infty}$, ha $x < +{\infty}$, és $x + (+{\infty}) = (+{\infty}) + x = +{\infty}$, ha $x < -{\infty}$\\ \mmedskip Ellentett képzés: $-(+{\infty}) = -{\infty}$, és $-(-{\infty}) = +{\infty}$. @@ -1191,11 +1339,13 @@ Viszont ebből koövetkezik, hogy m nem minimális $\rightarrow$ Ellentmondás! \textbf{Komplex számoknak} nevezzük a valós számpárok\\ $\mathbb{C} = \mathbb{R} x \mathbb{R}$\\ halmazát a következő műveletekkel:\\ - \mmedskip + \msmallskip $a, b, c, d \in \mathbb{R}$:\\ - $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$\\ - $(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ + \begin{itemize} + \item $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$\\ + \item $(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ + \end{itemize} \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Ész}] @@ -1222,24 +1372,25 @@ Viszont ebből koövetkezik, hogy m nem minimális $\rightarrow$ Ellentmondás! \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Alakok}] -$Re(z) = {\Re}z)$, $Im(z) = {\Im}(z)$\\ +$Re(z) = {\Re}(z)$, $Im(z) = {\Im}(z)$\\ \mmedskip -algebrai: $z = x + yi$\\ +\textbf{Algebrai}: $z = x + yi$\\ (Imaginárius egység: $i = (0, 1)$, ahol $i^2 = -1$)\\ \mmedskip -Trigonometrikus: $z = r{\cos}(t) + i{\sin}(t)$\\ +\textbf{Trigonometrikus}: $z = r({\cos}(t) + i{\sin}(t))$\\ r: Abszolút érték / hossz: $|(x, y)| = \sqrt{x^2 + y^2}$\\ \mmedskip -Euler-féle: $z = re^{i{\phi}}$\\ +\textbf{Euler-féle}: $z = re^{i{\phi}}$\\ \mmedskip -Konjugált: Ha $x = x + iy$, akkor $\overline{x} = x - iy$\\ +\textbf{Konjugált}: Ha $x = x + iy$, akkor $\overline{x} = x - iy$\\ +(Tükrözés a valós tengelyre)\\ \mmedskip -A kompley számok halmaza \textbf{nem rendezhető}, mert rendezett integritási tartományban negatív szám négyzete pozitív kell hogy legyen! +A komplex számok halmaza \textbf{nem rendezhető}, mert rendezett integritási tartományban negatív szám négyzete pozitív kell hogy legyen! \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Ész}] @@ -1248,7 +1399,7 @@ A kompley számok halmaza \textbf{nem rendezhető}, mert rendezett integritási \item $\overline{(z + n)} = \overline{z} + \overline{n}$ \item $\overline{(z \cdot n)} = \overline{z} \cdot \overline{n}$ \item $z + \overline{z} = 2Re(z)$ -\item $z - \overline{z} = 2iLm(z)$ +\item $z - \overline{z} = 2iIm(z)$ \item $z \cdot \overline{z} = |z|^2$ \item $z \neq 0, z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}$ \item $|0| = 0, z \neq 0 : |z| > 0$ @@ -1265,33 +1416,40 @@ A kompley számok halmaza \textbf{nem rendezhető}, mert rendezett integritási Legyen $z, w \in \mathbb{C}, z = |z|({\cos}(t) + i{\sin}(t))$ és $w = |w|({\cos}s + i {\sin}s)$, ahol $t, s \in \mathbb{R}$. Ekkor $zw$ trigonometrikus alakja\\ \mbigskip +\textbf{Szorzás}:\\ $zw = |z| \cdot ({\cos}t + i{\sin}t) \cdot |w| \cdot ({\cos}s + i{\sin}s) =$\\ $|z| \cdot |w| \cdot ({\cos}t + i{\sin}t) \cdot ({\cos}s + i{\sin}s) =$\\ $= |zw| \cdot ({\cos}t{\cos}s - {\sin}t{\sin}s + i({\cos}t{\sin}s + {\cos}s{\sin}t)) =$\\ $= |zw|({\cos}(t + s) + i{\sin}(t + s)$\\ \mbigskip +\textbf{Osztás}:\\ $w \neq 0$ esetén:\\ $\frac{z}{w} = \frac{|z|}{|w|}({\cos}(t - s) + i {\sin}(t - s))$\\ \mbigskip +\textbf{Hatványozás}:\\ $n \in \mathbb{Z}$ és $z \neq 0$:\\ $z^n = |z|^n({\cos}(nt) + i{\sin}(nt))$ \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Gyökvonás komplex számokból}] +$n^n = w, z = ?$\\ +$w = 0 \Rightarrow z = 0$, különben ha $t = arg(w)$\\ +\msmallskip + $z_k = \sqrt[n]{|w|}({\cos}(\frac{t + 2k{\pi}}{n}) + i{\sin}(\frac{t + 2k{\pi}}{n}))$\\ $k = 0, 1, ..., n - 1$\\ \mbigskip -\textbf{$n$edik egységgyökök} ${\epsilon}^n = 1$ esetén:\\ +\textbf{$n$-edik egységgyökök} ${\epsilon}^n = 1$ esetén:\\ ${\epsilon}_k = {\cos}(\frac{2k{\pi}}{n}) + i{\sin}(\frac{2k{\pi}}{n})$. $k = 0, 1, ..., n - 1$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: $n$-edik primitív egységgyökök}] -Az $n$-edik primitív egységgyökök: HAtványaikkal előállítják a többit.\\ +Az $n$-edik primitív egységgyökök: Hatványaikkal előállítják a többit.\\ \mmedskip Pl.: ${\epsilon}_0$ biztos nem az, ${\epsilon}_1$ biztosan az.\\ @@ -1301,16 +1459,17 @@ $z^n = w$ esetén $z_k$-k előállnak a következő alakban:\\ $z{\epsilon}_0, z{\epsilon}_1, ..., z{\epsilon}_{n - 1}$\\ \mmedskip -$Rightarrow$ $n > 1$ esetén:\\ +$\Rightarrow$ $n > 1$ esetén:\\ \mmedskip -$\sum_{k = 0}^{n - 1} z{\epsilon}_k = \sum_{k = 0}^{n - 1} z{\epsilon}^k_1 = z\frac{{\epsilon}_1^n - 1}{{\epsilon}_1 - 1} = z\frac{1 - 1}{{\epsilon}_1 - 1} = 0$ +$$\sum_{k = 0}^{n - 1} z{\epsilon}_k = \sum_{k = 0}^{n - 1} z{\epsilon}^k_1 = z\frac{{\epsilon}_1^n - 1}{{\epsilon}_1 - 1} = z\frac{1 - 1}{{\epsilon}_1 - 1} = 0$$\\ +(Mértani sorozat összegképlete) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Az algebra alaptétele}] -Ha $n \in \mathbb{N}^+$, valamint $c_0, c_1, ... c_n$ komplex számok, $c_n \neq 0$, akkor van olyan $u$ komplex szám, amelyre:\\ +Ha $n \in \mathbb{N}^+$, valamint $c_0, c_1, ... c_n$ komplex számok, $c_n \neq 0$, akkor van olyan $n$ komplex szám, amelyre:\\ $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1342,7 +1501,7 @@ $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$ Ha $a \in R^*{\setminus}U(R)$ : $a$ \textbf{triviális osztói} az egységek és önmaga egységszeresei, $a$ \textbf{összetett}, ha nem csak triviális osztója van.\\ \mmedskip - $R^*$: R additív egységeleme\\ + $R^*$: R, az additív egységeleme nélkül.\\ $U(R)$: R egysége\\ $R^*{\setminus}U(R)$: R, egységek, és additív ergységelem nélkül. \end{tcolorbox} @@ -1357,7 +1516,8 @@ $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$ \item Az 1 egységelem minden elemnek osztója. \item Ha $b|a$, akkor $bc|ac$ minden $c \in R$-re. \item Ha $bc|ac$ és $c \neq 0$, akkor $b|a$. -\item Ha $b|a_i$ és $c_i \in R, (i = 1, 2, ..., j)$, akkor $b|\sum^j_{i=1} c_ia_i$. +\item Ha $b|a_i$ és $c_i \in R, (i = 1, 2, ..., j)$, akkor $b|\sum^j_{i=1} c_ia_i$.\\ +($z$ feletti lineáris kombináció) \item Az $|$ reláció reflexív, és tranzitív. \end{enumerate} \end{tcolorbox} @@ -1367,11 +1527,16 @@ $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$ \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Prím és irreducibilis elem EIT-ban}] Tetszőleges $R$ egységelemes integritási tartományban minden $p$ elemre:\\ Ha $p$ prím $\implies$ $p$ felbonthatatlan. -\end{tcolorbox} +\tcblower +\textbf{Bizonyítás}\\ +\mmedskip -\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] Tfh $p$ prím, és, $p = bc$\\ -Ekkor vagy $p|b$, vagy $p|c$\\ +\msmallskip + +Ekkor vagy $p|b$, vagy $p|c$ (Ez a prím definíció)\\ +\msmallskip + $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1430,17 +1595,41 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \end{tcolorbox} \end{frame} +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Euklideszi algoritmus}] + 1. Input $a, b \in \mathbb{N}$\\ + 2. $a - b \cdot q + r$, $0 \leq r < |b|$\\ + 3. $r ?= 0$, Ha nem, akkor legyen $a := b, b := r$, ugrás 2. ponthoz, ha igen, ugrás a 4.hez.\\ + 4. $(a, b)$ az utolsó nem $0$ maradék.\\ + 5. STOP + \end{tcolorbox} +\end{frame} + \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Prím és irreducibilis elem $\mathbb{Z}$-ben}] Az egész számok körében $p$ prím $\iff$ $p$ felbonthatatlan. - \end{tcolorbox} - - \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] + \tcblower + \textbf{Bizonyítás} + \mmedskip + Már láttuk, hogy prím felbonthatatlan!\\ + \msmallskip + Tfh p felbonthatatlan\\ - Legyen $p|bc$, ekkor vagy $p | b$-nek, ekkor ksz vagyunk. - Vagy $p \nmid b$ ekkor $(p,b) = 1$.\\ - $c = pcx +bcx \implies 0 mod p \implies p | c$.\\ + \msmallskip + + Legyen $p|bc$, ekkor vagy $p | b$-nek, ekkor kész vagyunk,\\ + \msmallskip + + vagy $p \nmid b$ ekkor $(p,b) = 1$.\\ + \msmallskip + + Mivel $1 = px + by$\\ + \msmallskip + + $c = pcx +bcx \implies 0 \pmod{p} \implies p | c$.\\ + \mmedskip + (Észrevétel: $(a, b) = 1 \land a | bc \implies a | c$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1448,25 +1637,40 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: A számelmélet alaptétele}] Minden $m$ nemnulla, nemegység, egész szám sorrendre és asszociáltásgra való tekintet nélkül egyértelműen bontható fel felbonthatatlanok szorzatára. - \end{tcolorbox} - - \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Pozitívakra)}] + \tcblower + \textbf{Bizonyítás (Pozitívakra)} + \mmedskip + \textbf{(egzisztencia)}\\ Tfh $n > 1$\\ + \msmallskip + Teljes indukció: $n = 2$ kész, tfk $n - 1$-ig kész.\\ + \msmallskip + Ha $n$ felbonthatatlan $\rightarrow$ kész.\\ + \msmallskip + Ha $n$ nem felbonthatatlan $\rightarrow$ $n = ab \land a, b$ (a, b nem egység!), $a, b < n$ $\implies$ igaz rájuk az ind. feltétel.\\ + \msmallskip + $n$ felbontása $=$ $a$ felbontása szor $b$ felbontása.\\ \bigskip \textbf{(unicitás) (Indirekt)}\\ + \msmallskip + Tfh $n$ a legkisebb olyan szám, amely felbontása nem egyértelmű.\\ - $n = p_1 ... p_k = q_1 ... q_r$ $\implies$\\ - $p_j|n \implies p_1|q_1 ... q_r$\\ - $p_1|q_1$, $p_1|q_2 ... q_r$\\ - $p_1|q_2 p_1|q_3 ... q_r$\\ - $p_1|q_i \implies p_1 = q_i \implies$\\ + \msmallskip + + $n = p_1 ... p_k = q_1 ... q_r$ $\Rightarrow$\\ + $p_1|n \Rightarrow p_1|q_1 ... q_r$\\ + $p_1|q_1$, és $p_1|q_2 ... q_r$\\ + \hspace{1em}$p_1|q_2$, és $ p_1|q_3 ... q_r$\\ + \hspace{2em}$p_1|q_i$ $\Rightarrow p_1 = q_i \Rightarrow$\\ $\implies$ $n_1 = \frac{n}{p_1} = p_2 ... p_k = q_1 ... q_{i-1}q_{i+1} ... q_r$\\ + \msmallskip + $n_1 < n$ és van két lényegesen különböző felbontása! \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1474,13 +1678,21 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Eukleidész tétele}] Végetlen sok prímszám van. - \end{tcolorbox} - - \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}] + \tcblower + \textbf{Bizonyítás (Indirekt)} + \mmedskip + Tfh véges sok van:\\ + \msmallskip + $p_1, p_2, ... ,p_k$.\\ Legyen $n = p_1p_2...p_k$.\\ + \msmallskip + Számelmélet alaptételéből következik hogy létezik $p_j : p_j | n + 1$\\ + ($n$ az összes prímszám szorzata + 1 $\rightarrow$ biztosan nem osztható a benne levő prímszámokkal, de másikkal igen/lehet hogy nem osztható (prím))\\ + \msmallskip + $p_j : p_j | n + 1 \implies p_j | 1$ Ellentmondás! \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1503,7 +1715,9 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. $n$ osztói: $n = p_1^{{\alpha_1}}p_2^{{\alpha_2}}...p_k^{{\alpha_k}}$\\ \mmedskip - módosított kanonikus alakú szám osztói: $d = p_1^{{\beta}_1}p_2^{{\beta}_2}...p_k^{{\beta}_k}$,\\ + Módosított kanonikus alakú szám osztói: $d = p_1^{{\beta}_1}p_2^{{\beta}_2}...p_k^{{\beta}_k}$,\\ + \msmallskip + ahol ${\beta}_i \in \mathbb{N}, 0 \leq {\beta}_i \leq {\alpha}_i, i = 1, 2, ..., k$.\\ \mmedskip @@ -1511,10 +1725,14 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \mmedskip Legyen $a$ és $b$ módosított kanonikus alakja:\\ + \msmallskip + $a = p_1^{{\alpha}_1}p_2^{{\alpha}_2}...p_r^{{\alpha}_r}$, $b = p_1^{{\beta}_1}p_2^{{\beta}_2}...p_r^{{\beta}_r}$\\ \mmedskip ekkor:\\ + \msmallskip + $(a, b) = p_1^{min({\alpha}_1, {\beta}_1)}...p_r^{min({\alpha}_r, {\beta}_r)}$\\ $[a, b] = p_1^{max({\alpha}_1, {\beta}_1)}...p_r^{max({\alpha}_r, {\beta}_r)}$\\ \mbigskip @@ -1552,13 +1770,13 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \item Ekvivalencia reláció \item $a \equiv b \pmod{m} \land c \equiv d \pmod{m} \implies$ \textbf{$a + c \equiv b + d \pmod{m}$} \item $a \equiv b \pmod{m} \land c \equiv d \pmod{m} \implies$ \textbf{$ac \equiv bd \pmod{m}$} - \item $a \equiv b \pmod{m} \land f(x) \in z[x] \implies$ \textbf{$f(a) \equiv f(b) \pmod{m}$} + \item $a \equiv b \pmod{m} \land f(x) \in \mathbb{Z}[x] \implies$ \textbf{$f(a) \equiv f(b) \pmod{m}$} \item Ha $(c, m) = d$, $ac \equiv bc \pmod{m} \iff a \equiv b \pmod{\frac{m}{d}}$ \end{enumerate} \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Ész}] - $a \equiv b \pmod{n} \Rightarrow (a, m) = (b, m)$ + $a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow (a, m) = (b, m)$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1580,17 +1798,23 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. 1. Biztosan TMR-t alkotnak a következő számhalmazok mod $m$:\\ \begin{enumerate} \item $0, 1, ..., |m| - 1$ - \item Ha $m$ páratlan: $0, +-1, ..., +-\frac{(|m| - 1)}{2}$ - \item Ha $m$ páros: $ , +-1, ..., +-(\frac{|m|}{2} - 1)$ (Vagy $\frac{|m|}{2}$, vagy -$\frac{|m|}{2<}$ + \item Ha $m$ páratlan: $0, {\pm}1, ..., {\pm}\frac{(|m| - 1)}{2}$ + \item Ha $m$ páros: $ , {\pm}1, ..., {\pm}(\frac{|m|}{2} - 1)$ (Vagy $\frac{|m|}{2}$, vagy -$\frac{|m|}{2}$ \end{enumerate} \mmedskip 2. Legyen $m \in \mathbb{N}$, és vagyünk egy TMR-t mod $m$.\\ + \msmallskip + Definiáljunk műveleteket a következőképp:\\ + \mtinyskip + $\overline{a} + \overline{b} = \overline{a + b}$\\ $\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a \cdot b}$\\ + \mtinyskip + Jelöljük $Z_m$-mel ezt a struktúrát.\\ - \mmedskip + \mtinyskip A $(Z, +, {\cdot})$ struktúra kommutatív, egységelemes gyűrű. \end{tcolorbox} @@ -1599,8 +1823,7 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Az Euler-féle $\phi$ függvény}] Legyen $n \in \mathbb{N}^+$, ekkor ${\phi}(n)$ jelenti az $n$-nél nem nagyobb, hozzá relatív prímek számát, azaz:\\ - ${\phi}(n) = \sum_{q \leq k \leq n\\ (k, n) = 1} 1$\\ - \mmedskip + $${\phi}(n) = \sum_{\substack{1 \leq k \leq n \\ (k, n) = 1}} 1$$\\ Másképp: ${\phi}(n)$ jelenti a modulo $n$ relatív maradékosztályok számát. \tcblower @@ -1608,33 +1831,45 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: A $\tau$ függvény}] - Legyen $n \in \mathbb{N}^+$, ekkor ${\phi}(n)$ jelenti az $a$ pozitív osztóinka számát. + Legyen $n \in \mathbb{N}^+$, ekkor ${\tau}(n)$ jelenti az $n$ pozitív osztóinak számát. \tcblower \textbf{Észrevétel}:\\ \msmallskip - $n = p_1^{{\alpha}_1}p_2^{{\alpha}_2}...p_r^{{\alpha}_r}$ módosított kanonikus alak.\\ + $n = p_1^{{\alpha}_1}p_2^{{\alpha}_2}...p_k^{{\alpha}_k}$ módosított kanonikus alak.\\ \msmallskip - $n$ osztói: $d = p_1^{{\beta}_1}p_2^{{\beta}_2}...p_r^{{\beta}_r}$, ahol ${\beta}_i \in \mathbb{N}, 0 \leq {\beta}_i \leq {\alpha}_i, i = 1, 2, ..., k$ $\Rightarrow$\\ + + $n$ osztói: $d = p_1^{{\beta}_1}p_2^{{\beta}_2}...p_k^{{\beta}_k}$, ahol\\ + ${\beta}_i \in \mathbb{N}, 0 \leq {\beta}_i \leq {\alpha}_i, i = 1, 2, ..., k$ $\Rightarrow$\\ $\Rightarrow$ ${\tau}(n) = ({\alpha}_1 + 1)...({\alpha}_k + 1)$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Omnibusz tétel}] - Legyen: $m > 1$ egész, $\{a_1, ..., a_m\}$ TMR modulo $m$, $\{b_1, ..., b_{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$, $c, d \in \mathbb{Z}$, és $(c,m) = 1$.\\ + Legyen: $m > 1$ egész,\\ + $\{a_1, ..., a_m\}$ TMR modulo $m$,\\ + $\{b_1, ..., b_{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$,\\ + $c, d \in \mathbb{Z}$, és $(c,m) = 1$.\\ \smallskip + Ekkor:\\ \smallskip + $\{ ca_1 + d, ..., ca_m + d \}$ TMR modulo $m$\\ $\{ cb_1, ..., cb{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$ - \end{tcolorbox} - - \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}] + \tcblower + \textbf{Bizonyítás (Indirekt)} + \mmedskip + Tfh van két nem inkongruens elem\\ + \msmallskip + $ca_i + d = ca_i + d$\\ ${\cancel{c}}a_i + {\cancel{d}} = {\cancel{c}}a_i + {\cancel{d}}$ $(c, m) = 1$, és pontosan $m$ db elem!\\ + \msmallskip + $(c, m) = 1$ és $(b_j,m) = 1$ $\implies$ $(cb_j, m) = 1$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1642,28 +1877,40 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Euler-Fermat tétel}] Legyen $m > 1$ egész és $a$ relatív prím $m$-hez. Ekkor $a^{{\phi}(m)} \equiv 1 \pmod{m}$ - \end{tcolorbox} + \tcblower + \textbf{Bizonyítás} + \mmedskip + + Legyen $\{ r_1, ..., r_{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$, $(a, m) = 1$ (A tételben feltétel).\\ + \msmallskip - \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] - Legyen $\{ r_1, ..., r_{{\phi}(m)}\}$ RMR modulo $m$, $(a, m) = 1$.\\ Az omnibusz tétel miatt, ekkor $\{ ar_1, ..., ar_{{\phi}(m)}\}$ is RMR modulo $m$.\\ - Megfelelő párosítás $\implies$ $r_i \equiv ar_j \pmod{m}$.\\ - Összehozva: $(r_i, m) = 1$\\ - \smallskip - $$a^{{\phi}(m)} \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \equiv \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \pmod{m}$$ + Megfelelő párosítás $\implies$ $r_i \equiv ar_j \pmod{m}$, $(r_i, m) = 1$.\\ + \msmallskip + + Összeszorozva:\\ + \msmallskip + + $$a^{{\phi}(m)} \cancel{\prod^{{\phi}(m)}_{i=1}} r_i \equiv \cancel{\prod^{{\phi}(m)}_{i=1}} r_i \pmod{m}$$\\ + (Kiemeljük $a$-t $\rightarrow$ ${\phi}(m)$ db van $\rightarrow$ Egyszerűsítünk önmagával $\rightarrow$ 1) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: (Kis) Fermat tétel}] Legyen $p$ prím és $a \in \mathbb{Z}$. Ekkor\\ + \mtinyskip + (első alak) ha $p \nmid a$, akkor $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.\\ + \mtinyskip + (második alak) ha $a$ tetszőleges, akkor $a^p \equiv a \pmod{p}$. - \end{tcolorbox} - - \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] + \tcblower + \textbf{Bizonyítás} + \mmedskip + Első alak: ${\phi}(p) \equiv p - 1$ $\rightarrow$ előző tétel miatt kész.\\ - \bigskip + \mmedskip Második alak:\\ Ha $p|a$ $\rightarrow$ $0 \equiv 0$ $\rightarrow$ kész.\\ @@ -1674,10 +1921,13 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: A diofantikus egyenlet megoldása}] Rögzített $a, b, c$ egész számok esetén az \textbf{$ax + by = c$} diofantikus egyenletnek akkor, és csak akkor van megoldása, ha $(a, b)|c$. - \end{tcolorbox} - - \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] + \tcblower + \textbf{Bizonyítás} + \mmedskip + Tfh $ax + by = c$ egyenletnek van megoldása.\\ + \msmallskip + \textbf{1. Rész ($\implies$)}\\ \smallskip @@ -1688,9 +1938,9 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \textbf{2.Rész ($\Longleftarrow$)}\\ \smallskip - Tfh (a, b)|c. Ekkor:\\ + Tfh (a, b)|c (Definíció). Ekkor:\\ $c = (a, b)q$\\ - $c = (au + bv)q$\\ + $c = (au + bv)q$ (u, v-t mi írjuk fel, bővített euklideszi algo. $\rightarrow$ lnko)\\ $c = a(uq) + b(vq)$\\ $c = a(uq) + b(vq)$ $\implies$ egy megoldás: $x = uq, y = vq$.\\ \end{tcolorbox} @@ -1698,33 +1948,41 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kínai maradéktétel}] - Legyen $n \in \mathbb{N}^+, m_1, m_2, ..., m_n \in \mathbb{N}^+, a_i, b_i \in \mathbb{Z} (1 |Y|$, akkor nem létezik $f: X \rightarrow Y$ bijekció. - \end{tcolorbox} - - \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás (Indirekt)}] + \tcblower + \textbf{Bizonyítás (Indirekt)} + \mmedskip + Tfh $f$ bijektív.\\ + \msmallskip + $Y ~ \{1, 2, ..., m\}$ és $X ~ \{1, 2, ..., m\}$, ahol $m < n$ $\implies$\\ $\implies$ $\{1, 2, ..., m\}$ bármely részhalmaza $\{1, 2, ..., n\}$-nek is részhalmaza,\\ - $f$ bijektív $\implies$ $\{1, 2, ..., n\}$ $~$ saját valódi részhalmazával. $\rightarrow$ Ellentmondás!\\ + \msmallskip + + $f$ bijektív $\implies$ $\{1, 2, ..., n\}$ $\sim$ saját valódi részhalmazával. $\rightarrow$ Ellentmondás (Véges halmaz valódi részhalmaza tétel miatt)!\\ \bigskip \textbf{Más megfogalmazás:} Ha $n$ db tárgyat $m$ db skatulyába teszünk, akkor van olyan skatulya, amelyik legalább\\ @@ -1864,20 +2142,31 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Permutációk száma}] $$P_n = n!$$ - \end{tcolorbox} - - \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] + \tcblower + \textbf{Bizonyítás} + \mmedskip + Teljes indukció $n$ szerint\\ + \msmallskip + 1. lépés: $P_0 = P_1 = 1$ Igaz. (Megegyezés szerint $0! = 1$)\\ + \msmallskip + 2. lépés: Tfh $n > 1$ és $n - 1$-ig már beláttuk.\\ + \msmallskip + ekvivalencia reláció:\\ + \mtinyskip + amely sorozatok 1. eleme megegyezik $\implies$ $n$ db osztály.\\ Ind. feltétel $\implies$ $\forall$ osztályban $P_{n - 1}$ elem.\\ + \msmallskip + $P_n = nP_{n - 1} = n(n - 1)! = n!$ \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Ciklikus permutáció}] - Minden elem egy hellyeljobbra/balra kerül, az utolsó/első az első/utolsó helyre. + Minden elem egy hellyel jobbra/balra kerül, az utolsó/első az első/utolsó helyre. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1888,12 +2177,15 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Variációk száma}] - $$V_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)$$, ha $k \leq n$, kölünben 0. - \end{tcolorbox} - - \begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}] + $$V_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot ... \cdot (n - k + 1)$$, ha $k \leq n$, kölünben 0. + \tcblower + \textbf{Bizonyítás} + \mmedskip + Legyen két sorozat egy ekv. osztályban, ha első $k$ elemük megegyezik.\\ - Ekkor: $P_n = $ (osztályok száma ($V_n^k = \frac{P_n}{P_n - k}$))*(ahány elem egy osztályban ($P_{n - k}$) + \msmallskip + + Ekkor: $P_n = $ (osztályok száma ($V_n^k = \frac{P_n}{P_n - k}$)) $\cdot$ (ahány elem egy osztályban ($P_{n - k}$)) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1910,21 +2202,27 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \mmedskip Teljes indukció $k$ szerint, $n$ rögzített\\ + \msmallskip + 1. lépés: $k = 1$-re igaz: $V_n^{1, i} = n \rightarrow n^1$\\ + \msmallskip + 2. lépés: Tfh $k > 1$ és $k - 1$-ig már beláttuk, ekkor\\ $(k - 1)$-es osztályú variációból $k$-ad osztályú:\\ - $n$ db választás $\implies$ $V_n^{k, i}$ (n választás) $= V_n^{k - 1, j} * n$ (n - 1 választás). + \msmallskip\\ + + $n$ db választás $\implies$ $V_n^{k, i}$ (n választás) $= V_n^{k - 1, j} \cdot n$ (n - 1 választás). \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Ismétlés nélküli Kombináció}] Egy $A$ halmaz $k (n \in \mathbb{N})$ elemű részhalmaza \textbf{$A$ halmaz $k$-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációja}.\\ - Ha $|A| = n$, akkor $A$ összes $k$-ad osztáylú ismétlés nélküli kombinációinak száma: $C_n^k$. + Ha $|A| = n$, akkor $A$ összes $k$-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma: $C_n^k$. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Kombinációk száma}] - $$C_n^k = {{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$, ha $k \neq n$, különben 0. + $$C_n^k = \frac{V_n^k}{P_k} = {{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$, ha $k \leq n$, különben $0$. \tcblower \textbf{Bizonyítás}\\ \mmedskip @@ -1937,7 +2235,9 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Def.: Ismétléses Kombináció}] Egy $A$ halmaz $k (n \in \mathbb{N})$ nem feltétlenül különböző elem kiválasztása sorrendre való tekintet nélkül, az \textbf{$A$ halmaz $k$-ad osztályú ismétléses kombinációja}.\\ - Ha $|A| = n$, akkor $A$ összes $k$-ad osztáylú ismétléses kombinációinak száma: $C_n^{k, i}$. + \msmallskip + + Ha $|A| = n$, akkor $A$ összes $k$-ad osztályú ismétléses kombinációinak száma: $C_n^{k, i}$. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ismétléses kombinációk száma}] @@ -1947,10 +2247,16 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \mmedskip Legyen $A = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$.\\ - MInden egyes választási lehetőségnek feleltessünk meg egy bitsorozatot:\\ + \msmallskip + + Minden egyes választási lehetőségnek feleltessünk meg egy bitsorozatot:\\ $1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 0 ... 0 1 1 1 ... 1$\\ - $k_1$ db, $k_2$ db, $k_3$ db 1es.\\ + $k_1$ db, $k_2$ db, $k_3$ db 1esz.\\ + \msmallskip + Az $a_i$ elemet $k_i$-szer választottuk, tehát $k_1 + ... + k_n = k$ az összes $1$-es száma (ennyi elemet választottunk összesen).\\ + \msmallskip + Továbbá az elválasztó $0$k száma $n - 1$, tehát a sorozatban $n - 1 + k$ pozíció lesz\\ \mmedskip @@ -1991,7 +2297,7 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. a $k$-adik elemet $n - n_k + 1$ helyre szúrhatjuk be.\\ \mmedskip - $c_{n - n_k + 1}^{n_k, i} = C^{n_n}_{(n - n_k + 1) + n_k - 1} = c_n^{n_k}$\\ + $C_{n - n_k + 1}^{n_k, i} = C^{n_n}_{(n - n_k + 1) + n_k - 1} = C_n^{n_k}$\\ \mmedskip $P_n^{n_1, ..., n_k} = P_{n - n_k}^{n_1, ..., n_{k - 1}} C_n^{n_k} = \frac{(n - n_k)!}{n_1!...n_{k - 1}!} \cdot \frac{n!}{(n - n_k)!n_k!} = \frac{n!}{n_1...n_k!}$ @@ -2001,31 +2307,33 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Binomiális tétel}] Adott $x, y \in R$ és $n \in \mathbb{N}$ esetén:\\ - $(x + y)^n = \sum_{k = 0}^n {n \choose k} x^ky^{n - k}$. + $$(x + y)^n = \sum_{k = 0}^n {n \choose k} x^ky^{n - k}$$. \tcblower \textbf{Bizonyítás}\\ \mmedskip - $p(x + y) ... (x + y) = x^n + ... + x^ky^{n - k} + ... + y^n$ ($n$ db tényező)\\ + $(x + y) ... (x + y) = x^n + ... + x^ky^{n - k} + ... + y^n$ ($n$ db tényező)\\ \mmedskip Hány ilyen tag van? ($x^ky^{n - k}$).\\ \mmedskip $k$ db tényezőből az $x$-et $n - k$-ből az $y$-t választottuk.\\ + \msmallskip + Összesen $n$ elemből $k$ elemet, sorrend nem számít! $\Rightarrow$\\ $\Rightarrow$ ${n \choose k}$ db $x^ky^{n - k}$ alakú tag van. \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Következmény (Binomiális tétel)}] - $\sum_{k = 0}^n {n \choose k} = 2^n$ és $\sum_{i = 0}^n {n \choose k} (-1)^k = 0$ + $\displaystyle \mathop{\sum_{k = 0}^n {n \choose k} = 2^n}$ és $\displaystyle \mathop{\sum_{i = 0}^n {n \choose k} (-1)^k = 0}$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Logikai szita formula}] - Legyenek $X_1, X_2, ..., X_k$ az $X$ véges halmaz részhalmazai, $F$ az $X$-en értelmezett, értékeket egy Abel-csoportban felvevő függvény.\\ + Legyenek $X_1, X_2, ..., X_k$ az $X$ véges halmaz részhalmazai, $F$ az $X$-en értelmezett, értékeket egy Abel-csoportban (Kommutatívnak kell lennie) felvevő függvény.\\ Ha $1 \leq i_1 < i_2 < ... < i_r \leq k$ akkor legyen\\ $Y_{i_1, i_2, ..., i_r} = X_{i_1} \cap X_{i_2} \cap ... \cap X_{i_r}$.\\ \mmedskip @@ -2033,13 +2341,13 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. Legyen továbbá \mmedskip - $S = \sum_{x \in X} f(x), f(x) = 1$\\ + $\displaystyle \mathop{S = \sum_{x \in X} f(x)}$, általában $f(x) = 1$ függvényt használjuk\\ \mmedskip - $S_r = \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < ... < i_r \leq k} (\sum_{x \in Y_{i_1, i_2, ..., i_r}} f(x))$ \\ + $\displaystyle \mathop{S_r = \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < ... < i_r \leq k} (\sum_{x \in Y_{i_1, i_2, ..., i_r}} f(x))}$ \\ \mmedskip - $S_0 = \sum_{x \in X \setminus \bigcup^k_{i = 1} X_i} f(x)$.\\ + $\displaystyle \mathop{S_0 = \sum_{x \in X \setminus \bigcup^k_{i = 1} X_i} f(x)}$.\\ \mmedskip Ekkor: $S_0 = S - S_1 + S_2 - S_3 + ... + (-1)^kS_k$ @@ -2056,14 +2364,16 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak. Tfh az $x$ elem pontosan $r$ tulajdonsággal rendelkezik.\\ \mmedskip - ${r \choose 0} - {r \choose 1} + {r \choose 2} - {r \choose 3} + ... + (-1) {r \choose r} = (1 - 1)^r = 0$\\ + ${r \choose 0} - {r \choose 1} + {r \choose 2} - {r \choose 3} + ... + (-1)^r {r \choose r} = (1 - 1)^r = 0$\\ + \msmallskip + $f(x)$-et mindíg ennyiszer számoltuk be. (r alatt az x szer), minden esetben.\\ \mbigskip - $\Rightarrow$ a jobboldalon nem szémoltuk.\\ + $\Rightarrow$ a jobboldalon nem számoltuk.\\ \mbigskip - Ha $x$ elem $0$ tulajdonsággal rendelkezik $\Rightarrow$ $x$ csak $S_0$-ban fordul elő. $\\Rightarrow$\\ + Ha $x$ elem $0$ tulajdonsággal rendelkezik $\Rightarrow$ $x$ csak $S_0$-ban fordul elő. $\Rightarrow$\\ $\Rightarrow$ $f(x)$-et a jobboldalon pont egyszer számoltuk be. \end{tcolorbox} \end{frame}