diff --git a/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex b/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex index c1e16cf..06baca8 100644 --- a/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex +++ b/Diszkrét Matematika/Vizsga/VizsgaTetelek.tex @@ -606,9 +606,19 @@ Ha $n$ természetes szám, akkor nem létezik ekvivalencia $\{1, 2, ..., n\}$ é \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Skatulya-elv} +Ha $X, Y$ véges halmazok, és $|X| > |Y|$, akkor nem létezik $f: X \rightarrow Y$ bijekció. + \end{block} -\begin{block}{Bizonyítás} +\begin{block}{Bizonyítás (Indirekt)} +Tfh $f$ bijektív.\\ +$Y ~ \{1, 2, ..., m\}$ és $X ~ \{1, 2, ..., m\}$, ahol $m < n$ $\implies$\\ +$\implies$ $\{1, 2, ..., m\}$ bármely részhalmaza $\{1, 2, ..., n\}$-nek is részhalmaza,\\ +$f$ bijektív $\implies$ $\{1, 2, ..., n\}$ $~$ saját valódi részhalmazával. $\rightarrow$ Ellentmondás!\\ +\bigskip +\textbf{Más megfogalmazás:} Ha $n$ db tárgyat $m$ db skatulyába teszünk, akkor van olyan skatulya, amelyik legalább\\ +$\lfloor (n - 1) / m \rfloor + 1$ tárgyat tartalmaz. + \end{block} \end{frame} @@ -616,9 +626,19 @@ Ha $n$ természetes szám, akkor nem létezik ekvivalencia $\{1, 2, ..., n\}$ é \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Permutációk száma} +$$P_n = n!$$ + \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} +Teljes indukció $n$ szerint\\ +1. lépés: $P_0 = P_1 = 1$ Igaz. (Megegyezés szerint $0! = 1$)\\ +2. lépés: Tfh $n > 1$ és $n - 1$-ig már beláttuk.\\ +ekvivalencia reláció:\\ +amely sorozatok 1. eleme megegyezik $\implies$ $n$ db osztály.\\ +Ind. feltétel $\implies$ $\forall$ osztályban $P_{n - 1}$ elem.\\ +$P_n = nP_{n - 1} = n(n - 1)! = n!$ + \end{block} \end{frame} @@ -626,9 +646,15 @@ Ha $n$ természetes szám, akkor nem létezik ekvivalencia $\{1, 2, ..., n\}$ é \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Variációk száma} +$$V_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)$$, ha $k \leq n$, kölünben 0. + \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} +Legyen két sorozat egy ekv. osztályban, ha első $k$ elemük megegyezik.\\ +Ekkor: $P_n = $ (osztályok száma ($V_n^k = \frac{P_n}{P_n - k}$))*(ahány elem egy osztályban ($P_{n - k}$) + + \end{block} \end{frame} @@ -636,9 +662,17 @@ Ha $n$ természetes szám, akkor nem létezik ekvivalencia $\{1, 2, ..., n\}$ é \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Ismétléses variációk száma} +$$V_n^{k, i} = n^k$$ + \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} +Teljes indukció $k$ szerint, $n$ rögzített\\ +1. lépés: $k = 1$-re igaz: $V_n^{1, i} = n \rightarrow n^1$\\ +2. lépés: Tfh $k > 1$ és $k - 1$-ig már beláttuk, ekkor\\ +$(k - 1)$-es osztályú variációból $k$-ad osztályú:\\ +$n$ db választás $\implies$ $V_n^{k, i}$ (n választás) $= V_n^{k - 1, j} * n$ (n - 1 választás). + \end{block} \end{frame} @@ -646,9 +680,14 @@ Ha $n$ természetes szám, akkor nem létezik ekvivalencia $\{1, 2, ..., n\}$ é \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Kombinációk száma} +$$C_n^k = {{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$, ha $k \neq n$, különben 0. + \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} +$V_n^k$ db különböző $k$-tagú sorozat, sorrend nem számít $\implies$\\ +$\implies$ minden $P_k$ sb sorozat ugyanaz $\implies$ számoljuk egyszer.\\ + \end{block} \end{frame} @@ -656,9 +695,16 @@ Ha $n$ természetes szám, akkor nem létezik ekvivalencia $\{1, 2, ..., n\}$ é \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Ismétléses kombinációk száma} +$$C_n^{k, i} = C_{n + k -1}^k = {{n + k - 1}\choose{k}} = \frac{(n + k - 1)!}{k!((n + k - 1) - k)!} $$ + \end{block} \begin{block}{Bizonyítás} +Legyen $A = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$.\\ +MInden egyes választási lehetőségnek feleltessünk meg egy bitsorozatot:\\ +$1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 0 ... 0 1 1 1 ... 1$\\ + + \end{block} \end{frame} diff --git a/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex b/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex index 046b4cd..b97579d 100644 --- a/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex +++ b/Számítástudomány/Vizsga/szamtudv.tex @@ -1,9 +1,22 @@ % Compile twice! % With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! +% Uncomment these to get the presentation form \documentclass{beamer} +\geometry{paperwidth=170mm,paperheight=170mm} + +% Uncomment these, and comment the 2 lines above, to get a paper-type article +%\documentclass[10pt]{article} +%\usepackage{beamerarticle} +%\renewcommand{\\}{\par\noindent} +%\setbeamertemplate{note page}[plain] + +% Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page. +%\usepackage{pgfpages} +% Choose one +%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper] -\geometry{paperwidth=160mm,paperheight=160mm} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{shapes,arrows} @@ -16,6 +29,7 @@ \usepackage{array} \usepackage{arydshln} +% Beamer theme \usetheme{boxes} % tikz settings for the flowchart(s) @@ -38,24 +52,26 @@ \begin{document} \begin{frame}[plain] -\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] -\node[anchor=center] at (current page.center) { \begin{beamercolorbox}[center]{title} - {\Huge A Számítástudomány Alapjai I}\\ - {\Large Vizsgatételek} -\end{beamercolorbox}}; -\end{tikzpicture} + {\Huge A Számítástudomány Alapjai I} + \bigskip +\end{beamercolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} +\begin{block}{} +\underline{\textbf{A kisbetűs szövegek (LaTeX-ben tiny), (Ha nincs előttük (S) jelzés, akkor lemaradt)}}\\ +\underline{\textbf{a saját értelmezést jelentik, és egyáltalán nem garantált hogy jók!}} +\end{block} \end{frame} % -------------------- LOGIKA -------------------- \begin{frame}[plain] -\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] -\node[anchor=center] at (current page.center) { \begin{beamercolorbox}[center]{title} {\Huge Logika} -\end{beamercolorbox}}; -\end{tikzpicture} + \medskip +\end{beamercolorbox} \end{frame} \begin{frame} @@ -90,7 +106,6 @@ $(A \iff B) \equiv (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A) \equiv ({\neg}A \lo \end{frame} - \begin{frame} \begin{block}{Tétel: Minden formula egyértelműen olvasható} @@ -122,36 +137,39 @@ A tétel 2-4 pontjában szereplő $G$ és $H$ \textbf{közvetlen részformulái} \begin{frame} \begin{block}{Hozzárendelés} -Egy $A : Var \rightarrow \{0, 1\}$ leképzést \textbf{hozzárendelésnek} nevezünk.\\ +Egy $\mathcal{A} : Var \rightarrow \{0, 1\}$ leképzést \textbf{hozzárendelésnek} nevezünk.\\ +{\tiny (S) Ítéletváltozóhoz (Var az összes ítéletváltozó halmaza) hozzárendelünk elemet a {0, 1} halmazból. Kb értékadás. (kb függvény)}\\ \bigskip -$A : Form \rightarrow \{0, 1\}$ kiterjesztéshez legyen $F$ formula.\\ +$\mathcal{A} : Form \rightarrow \{0, 1\}$ kiterjesztéshez legyen $F$ formula.\\ +{\tiny (S) Ugyan az, csak formulának adunk értéket.}\\ \bigskip \begin{enumerate} -\item Ha $F = p$ valamely $p \in Var$ esetén, akkor $A(F) = A(p)$. +\item Ha $F = p$ valamely $p \in Var$ esetén, akkor $\mathcal{A}(F) = \mathcal{A}(p)$.\\ +{\tiny (S) Ha F formula értéke mindíg ugyan az mint egy tetszőleges p ítéletváltozó értéke, akkor hozzárendelés után is megegyezik az értékük. Kb mint monotonitás. }\\ \bigskip \item Ha $F = {\neg}G$ akkor:\\ \medskip -$A(F)$ = $ +$\mathcal{A}(F)$ = $ \begin{cases} -1 & ha A(G) = 0\\ -0 & ha A(G) = 1\\ +1 &$ ha $\mathcal{A}(G) = 0\\ +0 &$ ha $\mathcal{A}(G) = 1\\ \end{cases} $ \bigskip \item Ha $F = G \lor H$ akkor:\\ \medskip -$A(F)$ = $ +$\mathcal{A}(F)$ = $ \begin{cases} -1 & ha A(G) = 1$ vagy $A(H) = 1\\ +1 &$ ha $\mathcal{A}(G) = 1$ vagy $\mathcal{A}(H) = 1\\ 0 &$ különben$\\ \end{cases} $ \bigskip \item Ha $F = G \land H$ akkor:\\ \medskip -$A(F)$ = $ +$\mathcal{A}(F)$ = $ \begin{cases} -1 & ha A(G) = 1$ és $A(H) = 1\\ +1 &$ ha $\mathcal{A}(G) = 1$ és $\mathcal{A}(H) = 1\\ 0 &$ különben$\\ \end{cases} $ @@ -164,18 +182,20 @@ $ \begin{frame} \begin{block}{Formula modellje, Kielégíthető, Tautológia, Kielégíthetetlen} -Legyen $F$ formula. Ekkor\\ +Legyen $F$ formula, Legyen $\mathcal{A}$ egy hozzárendelés.s Ekkor\\ \bigskip -Legyen $A$ egy hozzárendelés. Ha $A(F) = 1$, akkor ezt a tényt $A \models F$-fel jelöljük, és azt mondjuk, hogy $A$ \textbf{kielégíti} $F$-et, vagy hogy $A$ \underline{\textbf{modellje}} $F$-nek.\\ +Ha $\mathcal{A}(F) = 1$, akkor ezt a tényt $\mathcal{A} \models F$-fel jelöljük, és azt mondjuk, hogy $\mathcal{A}$ \textbf{kielégíti} $F$-et, vagy hogy $\mathcal{A}$ \underline{\textbf{modellje}} $F$-nek.\\ +{\tiny (S) Mint egy függvén kb. F formulához hozzárendelünk egy értéket, és ha ez 1)}\\ \bigskip Ha $F$-nek van modellje, akkor azt mondjuk, hogy $F$ \underline{\textbf{kielégíthető}}.\\ \bigskip -Ha minden $A$ hozzárendelés esetén $A \models F$, akkor $F$ \underline{\textbf{tautológia}} (vagy másképpen érvényes).\\ +Ha minden $\mathcal{A}$ hozzárendelés esetén $\mathcal{A} \models F$, akkor $F$ \underline{\textbf{tautológia}} (vagy másképpen érvényes).\\ Jele: $\models F$.\\ \bigskip Ha $F$-nek nincs modellje, akkor azt mondjuk, hogy $F$ \underline{\textbf{kielégíthetetlen}}.\\ \bigskip -Legyen $\Sigma$ formulák egy halmaza. Ha valamely $A$ hozzárendelés esetén minden $F \in \Sigma$-re $A \models F$, akkor ezen tényt $A \models \Sigma$-val jelöljük, és azt mondjuk, hogy $A$ kielégíti $\Sigma$-t vagy, hogy $A$ modellje $\Sigma$-nak.\\ +Legyen $\Sigma$ formulák egy halmaza. Ha valamely $\mathcal{A}$ hozzárendelés esetén minden $F \in \Sigma$-re $\mathcal{A} \models F$, akkor ezen tényt $\mathcal{A} \models \Sigma$-val jelöljük, és azt mondjuk, hogy $\mathcal{A}$ kielégíti $\Sigma$-t vagy, hogy $\mathcal{A}$ modellje $\Sigma$-nak.\\ +{\tiny (S) Ha van egy olyan $\mathcal{A}$ hozzárendelésünk, amire a $\Sigma$ halmaz összes formulája igazat ad.}\\ \bigskip Ha $\Sigma$-nak van modellje, akkor azt mondjuk, hogy $\Sigma$ kielégíthető. \end{block} @@ -267,19 +287,28 @@ $\{\neg, \lor, \land\}, \{\neg, \lor\}, \{\neg, \land\}$ adekvát (azaz bármily \begin{block}{Def.: Logikai következmény} Legyen $\Sigma \subseteq Form$ és $F \in Form$.\\ Azt mondjuk, hogy $F$ \underline{\textbf{logikai következménye}} $\Sigma$-nak, (jele: $\Sigma \models F$),\\ -ha minden $A$ hozzárendelés esetén valahányszor $A \models \Sigma$, mindannyiszor $A \models F$ is teljesül. +ha minden $\mathcal{A}$ hozzárendelés esetén valahányszor $\mathcal{A} \models \Sigma$, mindannyiszor $\mathcal{A} \models F$ is teljesül.\\ +{\tiny (S) logikai következmény egyenlő a $A \Rightarrow B$ boole függvénnyel, ha kikötjük, hogy A csak igaz lehet. (Mivel az alap Boole függvényben ha $A$ hamis, akkor az eredmény igaz!)} \end{block} -\bigskip +\medskip \begin{block}{Ész} \begin{enumerate} -\item $F$ akkor és csak akkor érvényes (tautológia), ha $\emptyset \models F$. Tehát $\models F$. és $\emptyset \models F$ ugyanazt jelenti. -\item Ha $F$ érvényes, akkor minden $\Sigma$-ra $\Sigma \models F$ -\item Ha $F \in \Sigma$, akkor $\Sigma \models F$ -\item Minden $F$-re $\downarrow \models F$. -\item Minden $F$-re és $G$-re $F \models G$ akkor és csak akkor teljesül, ha $F \rightarrow G$ érvényes. -\item (Modus Ponens, röviden MP) Minden $\Sigma$-ra, $F$-re és $G$-re $\Sigma \cup \{F, F \rightarrow G\} \models \Sigma \cup \{G\}$ -\item (Monotonitás) Ha $\Sigma \subseteq {\Sigma}_1$, akkor minden $F$-re, ha $\Sigma \models F$, akkor ${\Sigma}_1 \models F$. -\item (Következmény) Minden $\Sigma$-ra, F-re, G-re $\Sigma \models F \rightarrow G$ akkor és csak akkor teljesül, ha $\Sigma \cup \{F\} \models G$. +\item $F$ akkor és csak akkor érvényes (tautológia), ha $\emptyset \models F$. Tehát $\models F$. és $\emptyset \models F$ ugyanazt jelenti.\\ +{\tiny (S) Kb mintha csak rövidítva lenne}\\ +\item Ha $F$ érvényes, akkor minden $\Sigma$-ra $\Sigma \models F$\\ +{\tiny (S) Igen, mert bármikor amikor $\Sigma$ összes formulája egyszerre igazat ad vissza $F$ is igaz (mivel F tautológia).}\\ +\item Ha $F \in \Sigma$, akkor $\Sigma \models F$\\ +{\tiny (S) Igen, mert bármikor amikor $\Sigma$ összes formulája egyszerre igazat ad vissza $F$ garantáltan igaz (Persze F lehet többször igaz).}\\ +\item Minden $F$-re $\downarrow \models F$.\\ +{\tiny (S) Ugyan az mint az előbb, csak mivel $\downarrow$ sose igaz, ezért a feltétel mindíg teljesül.}\\ +\item Minden $F$-re és $G$-re $F \models G$ akkor és csak akkor teljesül, ha $F \rightarrow G$ érvényes (= tautológia).\\ +{\tiny (S) A $\rightarrow$ boole függvény, ha $F$ hamis, akkor igazat ad vissza mindíg. (Ez nem probléma, mert az $F$ hamis rész, a logikai következménynény definícióban nem számít)}\\ +\item (Modus Ponens, röviden MP) Minden $\Sigma$-ra, $F$-re és $G$-re $\Sigma \cup \{F, F \rightarrow G\} \models \Sigma \cup \{G\}$\\ +{\tiny (S) 3. 5. 8. pontok összekombinálása eggyé.}\\ +\item (Monotonitás) Ha $\Sigma \subseteq {\Sigma}_1$, akkor minden $F$-re, ha $\Sigma \models F$, akkor ${\Sigma}_1 \models F$.\\ +{\tiny (S) Persze, ${\Sigma}_1$ részhalmaz.}\\ +\item (Következmény) Minden $\Sigma$-ra, F-re, G-re $\Sigma \models F \rightarrow G$ akkor és csak akkor teljesül, ha $\Sigma \cup \{F\} \models G$.\\ +{\tiny (S) Persze, mert ha $F$ hamis, akkor a $\Sigma$ halmaz gyakorlatilag hamisat ad vissza, mert egy eleme hamis (ekkor nem számít), ha pedig $F$ igaz (ettől még nem muszály $\Sigma$-nak igazat visszaadnia, ha esetleg ilyenkor is hamis, attól még ugyanúgy működik, pl $\Sigma$ $\downarrow$, ekkor logikai következmény lesz akkor is, ha $F \rightarrow G$ hamisat ad vissza. (Lásd 4. pont)), akkor meg kell nézni $G$-t, viszont ha ilyenkor $G$ hamis, akkor nem logikai következmény.} \end{enumerate} \end{block} @@ -476,12 +505,9 @@ Tetszőleges formulahalmaz, akkor és csak akkor konzisztens, ha kielégíthető % -------------------- PREDIKÁTUMKALKULUS (1-RENDŰ LOGIKA) -------------------- \begin{frame}[plain] -\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] -\node[anchor=center] at (current page.center) { \begin{beamercolorbox}[center]{title} {\Huge Predikátumkalkulus (1-Rendű Logika)} -\end{beamercolorbox}}; -\end{tikzpicture} +\end{beamercolorbox} \end{frame} \begin{frame} @@ -512,12 +538,9 @@ TODO % -------------------- GRÁFELMÉLET -------------------- \begin{frame}[plain] -\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] -\node[anchor=center] at (current page.center) { \begin{beamercolorbox}[center]{title} {\Huge Gráfelmélet} -\end{beamercolorbox}}; -\end{tikzpicture} +\end{beamercolorbox} \end{frame} @@ -551,7 +574,7 @@ $[V]^2 = \{ [a, b] | a, b \in V \}$, ahol $[a, b] = [b, a]$\\ \begin{itemize} \item \textbf{Véges gráf:} Ha $V(G)$ és $E(G)$ is véges. \item \textbf{Él végpontjai / él illeszkedése:}\\ -$e \in E$ él végpontjai ($e$ illeszkedik $ä$-ra, és $b$-re) ha $a, b \in V$ esetén ${\phi}(e) = [a, b]$ +$e \in E$ él végpontjai ($e$ illeszkedik $a$-ra, és $b$-re) ha $a, b \in V$ esetén ${\phi}(e) = [a, b]$ \item \textbf{Hurokél:} Ha a = b. \item \textbf{Párhuzamos (többszörös él):} Ha $e, f \in E$, és ${\phi}(e) = {\phi}(f)$ \item \textbf{Szomszédos él:} Ha $e, f \in E$ és ${\phi}(e) = [a_1, a_2], {\phi}(f) = [b_1, b_2]$ esetén $\{a_1, a_2\} \cap \{b_1, b_2\} \neq \emptyset$ @@ -855,12 +878,9 @@ Ekkor visszavezetjük az első esetre, élek hozzáadásával. % -------------------- FORÁLIS NYELVEK, ÉS AUTOMATÁK -------------------- \begin{frame}[plain] -\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture] -\node[anchor=center] at (current page.center) { \begin{beamercolorbox}[center]{title} {\Huge Formális nyelvek, és Automaták} -\end{beamercolorbox}}; -\end{tikzpicture} +\end{beamercolorbox} \end{frame} \begin{frame} @@ -972,7 +992,7 @@ $ {\delta}_1(q, a) & q \in Q_1 - F_1\\ {\delta}_1(q, a) & q \in F_1, a \neq \epsilon $ (Végállapot) $\\ {\delta}_1(q, a) \cup \{q_2\} & q \in F_1, a = \epsilon $ (Végállapot) $\rightarrow \\ - & \rightarrow$ Ha üres betű, akkor átugrunk a második automata kezdőállapotába. $ \\ + & \rightarrow$ Ha üres betű, akkor átugrunk a második automata kezdőállapotába.$\\ {\delta}_2(q, a) & q \in Q_2 $ A második automata $ \\ \end{cases} $\\ @@ -1174,4 +1194,4 @@ Tetszőleges $p$-hez legyen $w = 0^p1^p\#0^p1^p$, és tekintsük $w$ egy tetsző \end{block} \end{frame} -\end{document} \ No newline at end of file +\end{document}