diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex index 0ce8aa0..3127d26 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria/Document.tex @@ -556,8 +556,8 @@ Az $\mathbb{R}^{m x n}$-re is teljesül az 1/3 oldali 10 tulajdonság megfelelő $A$ = $[a_1, {\cdots}, a_n]$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$ \\ \mmedskip - oszloprangja: ${\rho}_{O}(A)$ = $r(a_1, {\cdots}, a_n)$ $($ = $dim$ $Span(a_1, {\cdots}, a_n))$\\ - sorrangja: ${\rho}_{s}(A)$ = ${\rho}_{O}(A^T)$\\ + oszloprangja: ${\varrho}_{O}(A)$ = $r(a_1, {\cdots}, a_n)$ $($ = $dim$ $Span(a_1, {\cdots}, a_n))$\\ + sorrangja: ${\varrho}_{s}(A)$ = ${\varrho}_{O}(A^T)$\\ \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Mátrixszorzás, dimenzió}] @@ -565,14 +565,14 @@ Az $\mathbb{R}^{m x n}$-re is teljesül az 1/3 oldali 10 tulajdonság megfelelő R feletti mátrixok. Ekkor:\\ \mmedskip - ${\rho}_{s}(CD)$ $\leq$ ${\rho}_{s}(C)$ + ${\varrho}_{s}(CD)$ $\leq$ ${\varrho}_{s}(C)$ \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Mátrix, rang}] - Tetszőleges $\mathbb{R}$ feletti $A$ mátrixra ${\rho}_{o}(A)$ $\leq$ ${\rho}_{s}(A)$\\ + Tetszőleges $\mathbb{R}$ feletti $A$ mátrixra ${\varrho}_{o}(A)$ $\leq$ ${\varrho}_{s}(A)$\\ \mmedskip - (ezentúl ${\rho}_{o}(A)$ $\leq$ ${\rho}_{s}(A)$ = ${\rho}(A)$ (az $\rho$ helyett használatos a $p$, vagy $r$ is.) + (ezentúl ${\varrho}_{o}(A)$ $\leq$ ${\varrho}_{s}(A)$ = ${\varrho}(A)$ (az $\varrho$ helyett használatos a $p$, vagy $r$ is.) \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Inverz}] @@ -588,9 +588,9 @@ R feletti mátrixok. Ekkor:\\ $A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m x n}$ esetén:\\ \begin{enumerate} - \item $\exists$ $A^{(j)}$ $\iff$ ${\rho}(A)$ = $m$ - \item $\exists$ $A^{(b)}$ $\iff$ ${\rho}(A)$ = $n$ - \item $\exists$ $A^{-1}$ $\Rightarrow$ ${\rho}(A)$ = $m$ = $n$ $\Rightarrow$ $\exists$ $A^{(b)}$), $\exists$ $A^{(j)}$ és egyenlők $\Rightarrow$ $\exists$ $A^{-1}$. + \item $\exists$ $A^{(j)}$ $\iff$ ${\varrho}(A)$ = $m$ + \item $\exists$ $A^{(b)}$ $\iff$ ${\varrho}(A)$ = $n$ + \item $\exists$ $A^{-1}$ $\Rightarrow$ ${\varrho}(A)$ = $m$ = $n$ $\Rightarrow$ $\exists$ $A^{(b)}$), $\exists$ $A^{(j)}$ és egyenlők $\Rightarrow$ $\exists$ $A^{-1}$. \end{enumerate} \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -615,7 +615,7 @@ R feletti mátrixok. Ekkor:\\ \end{tcolorbox} \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Rangtartó átalakítások és mátrixok}] - $A \in \mathbb{R}^{m x n}, {\rho}(A) = r \leq 1$ esetén $A \leadsto$ $\begin{bmatrix} + $A \in \mathbb{R}^{m x n}, {\varrho}(A) = r \leq 1$ esetén $A \leadsto$ $\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ $\in \mathbb{R}^{m x n}$ @@ -690,52 +690,497 @@ R feletti mátrixok. Ekkor:\\ \end{bmatrix}$ $\in$ $\mathbb{R}^{n x n}$ mátrix determinánsa egy alább definiált szám, melyet röviden $A$-val jelölünk, részletesebben kiírhatjuk a mátrix elemeit a szokott módon, de függőleges vonalak közé:\\ \mmedskip - $(|A| = )$ $\begin{bmatrix} + $(|A| = )$ $\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} - \end{bmatrix}$ $\in$ $\mathbb{R}^{n x n}$ = $\sum_{i_1, ..., i_n\\ (1, ..., n)} (-1)^{I(i_1, i_2, ..., i_n)} a_{1i_1} \cdot a_{1i_2} \cdot a_{1i_3} \cdot ... \cdot a_{ni_n}$ + \end{vmatrix}$ $\in$ $\mathbb{R}^{n x n}$ = $\sum_{i_1, ..., i_n\\ (1, ..., n)} (-1)^{I(i_1, i_2, ..., i_n)} a_{1i_1} \cdot a_{1i_2} \cdot a_{1i_3} \cdot ... \cdot a_{ni_n}$ \end{tcolorbox} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Determináns elem, és sorcsere}] + Legyen $n \geq 2$.\\ + + \begin{enumerate} + \item Ha az $1, 2, ..., n$ számok $i_1, i_2, ..., i_n$ permutációjában két elemet felcserélünk, akkor az inverziószám páratlan számmal változik. + \item Ha az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix valamely két sorát felcseréljük, akkor az így nyert $B$ mátrix determinánsa: $|B| = -|A|$ , azaz két sor felcserélése esetén a determináns értéke $(- 1)$-gyel szorzódik. + \end{enumerate} + \end{tcolorbox} + \end{frame} + + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Determináns két sor egyenlősége}] + Ha $n \geq 2$ és az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrixnak van két megegyező sora, akkor $A$ determinánsa $0$. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Determináns két sor összeadása}] + Ha $n \geq 2$, $\lambda \in \mathbb{R}$ esetén az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix egyik sorához egy másik sorának a $\lambda $-szorosát hozzáadjuk, akkor az így keletkezett mátrix determinánsa is $A$, tehát az a rangtartó átalakítás, amikor egyik sorhoz egy másik sor számszorosát adjuk, egyben determinánstartó is! + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Felsőháromszög mátrix}] + Felső háromszög mátrix determinánsa a főátlóban lévő elemek szorzata. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Inverz létezése}] + $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ esetén:\\ + $|A|$ $\neq$ $0$ $\iff$ ${\varrho}(A) = n \iff {\exists}A^{-1}$. + \end{tcolorbox} + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Kifejtési tétel}] + $n \geq 2$, $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ esetén\\ + + \begin{enumerate} + \item Tetszőleges $1 \leq i \leq n$ esetén $|A|$ $=$ $\sum_{j = 1}^n a_{ij}A_{ij}$. + \item Tetszőleges $1 \leq j \leq n$ esetén $|A|$ $=$ $\sum_{i = 1}^n a_{ij}A_{ij}$. + \end{enumerate} + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Cramer-szabály}] + $A = [a_1, ..., a_n]$ $\in \mathbb{R}^{n x n}$, $A \geq 0$, $b \in \mathbb{R}^{n}$ esetén:\\ + + !$\exists$ $x \in \mathbb{R}^n$, melyre: $Ax = b$, továbbá az $x$ $j$-edik komponense $(j = 1, ..., n)$\\ + $x_j =$ $\frac{det([a_1, ..., b, ..., a_n])}{det([a_1, ..., a_j, ..., a_n])}$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Vandermonde-determináns, és kifejtése}] + $V_n(a_1, ..., a_n) =$ $\begin{vmatrix} + 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\ + \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ + 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} + \end{vmatrix}$ $=$ $\prod_{n \geq i > j \geq 1} (a_i - a_j)$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Részmátrix}] + $j x k$-as részmátrix: $j$ sor és $k$ oszlop kiválasztásával a metszéspontokba kerülő elemek alkotta $j x k$-as mátrix. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Részmátrix és determináns}] + $A \in \mathbb{R}^{n x m}$ és ${\varrho}(A) = r \geq 1$ esetén $A$-nak van olyan $r x r$-es részmátrixa, melynek determinánsa $\neq 0$, viszont minden $(r + 1) x (r + 1)$-es részmátrix determinánsa $0$. + \end{tcolorbox} + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egyenletrendszer megoldása, determináns}] + Legyen $A \in \mathbb{R}^{n x n}$. Az $Ax = 0$ homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van nemtriviális megoldása, ha $A = 0$. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Szorzástétel}] + $A, B \in \mathbb{R}^{n x n}$ $\Rightarrow$ $|AB| = |A| |B|$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Szorzástétel}] + $A, B \in \mathbb{R}^{n x n}$ $\Rightarrow$ $|AB| = |A| |B|$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Hasonlóság}] + $A, B \in \mathbb{R}^{n x n}$ esetén azt mondjuk, hogy az $A$ hasonló $\mathbb{R}$ felett a $B$-hez (jelölés: $A {\sim}_{\mathbb{R}} B$), ha létezik olyan invertálható $D \in \mathbb{R}^{n x n}$, melyre $B = D^{-1}AD$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Diagonizáció}] + Az $A$ diagonalizálható $\mathbb{R}$ felett, ha $\mathbb{R}$ felett hasonló egy diagonális mátrixhoz. + \end{tcolorbox} + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Jobb oldali sajátvektor, sajátérték}] + Legyen $n$ pozitív egész, $A \in \mathbb{R}^{n x n}$\\ + Az $x \in \mathbb{R}^{n}$ jobb oldali sajátvektora $A$-nak, ha\\ + + \begin{enumerate} + \item $x \neq 0$ + \item $\exists$ ${\lambda}_0 \in \mathbb{R}$ : $Ax = {\lambda}_0x$ + \end{enumerate} + + Ilyenkor a ${\lambda}_0$ az $x$ jobb oldali sajátvektorhoz tartozó jobb oldali sajátértéke az $A$-nak. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Bal oldali sajátvektor, sajátérték}] + Legyen $n$ pozitív egész, $A \in \mathbb{R}^{n x n}$\\ + Az $y \in \mathbb{R}^{1xn}$ bal oldali sajátvektora $A$-nak, ha\\ + + \begin{enumerate} + \item $y \neq 0 = [0, ..., 0]$ + \item $\exists$ ${\mu}_0 \in \mathbb{R}$ : $yA = {\mu}_0x$ + \end{enumerate} + + Ilyenkor a ${\mu}_0$ az $y$ bal oldali sajátvektorhoz tartozó bal oldali sajátértéke az $A$-nak. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Diagonizálhatóság, sajátvektor}] + Legyen $A \in \mathbb{R}^{n x n}$.\\ + $A$ diagonalizálható $\mathbb{R}$ felett $\iff$ létezik $\mathbb{R}^n$-ben az $A$ sajátvektoraiból álló bázis (röviden: SB). + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Sajátaltér}] + Legyen $A \in \mathbb{R}^{n x n}$, ${\lambda}_0 \in \mathbb{R}$ pedig egy (jobb oldali) sajátértéke az $A$-nak $A$ ${\lambda}_0$-hoz tartozó sajátaltér:\\ + $W_{{\lambda}_0} := \{x$ $|$ $x \in \mathbb{R}^n,$ $Ax = {\lambda}_0x\}$. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Karakterisztikus polinom}] + Legyen $n$ pozitív egész, $A \in \mathbb{R}^{n x n}$.\\ + Az $A$ mátrix karakterisztikus polinomja: $k_A({\lambda}) := |A - I_n{\lambda}|$. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Karakterisztikus polinom, hasonlóság}] + $A, B \in \mathbb{R}^{n x n}$ és $A {\sim}_\mathbb{R} B$ esetén $k_A({\lambda}) = k_B({\lambda})$. + \end{tcolorbox} + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Euklideszi tér, Skaláris szorzat}] + Legyen $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ vagy $\mathbb{K} = \mathbb{C}$, továbbá $V$ vektortér a $\mathbb{K}$ felett.\\ + Azt mondjuk, hogy a $V$ (valós vagy komplex) euklideszi tér, ha adott benne egy skaláris szorzatnak nevezett ${\langle}x, y{\rangle}$ $:$ $V$ $x$ $V$ $\rightarrow$ $\mathbb{K}$ függvény, melyre a következők teljesülnek minden $x, y, z \in V$ és $\lambda \in \mathbb{K}$ esetén: + + \begin{enumerate} + \item ${\langle}y, x{\rangle} = {\langle}x, y{\rangle}$ + \item ${\langle}{\lambda}x, y{\rangle} = {\lambda}{\langle}x, y{\rangle}$ + \item ${\langle}x, y + z{\rangle} = {\langle}x, y{\rangle} + {\langle}x, z{\rangle}$ + \item ${\langle}x, x{\rangle}$ mindíg (valós és) nemnegatív + \item ${\langle}x, x{\rangle} = 0 \iff x = 0$ + \end{enumerate} + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Norma}] + Legyen $V$ valós vagy komplex euklideszi tér. $x \in V$ esetén az $x$ (euklideszi) normája:\\ + $||x||$ $:=$ $\sqrt{{\langle}x, x{\rangle}}$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Cauchy-egyenlőtlenség}] + Legyen $V$ valós vagy komplex euklideszi tér.\\ + Ekkor tetszőleges $x, y \in V$ -re $|{\langle}x, y{\rangle}|$ $\leq$ $||x|| \cdot ||y||$.|| + Itt egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha $x, y$ lineárisan összefüggő. + \end{tcolorbox} + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Ortogonált, ortonormált bázis}] + Legyen $V$ n-dimenziós (valós vagy komplex) euklideszi tér, $e_1, ..., e_n$ $B$ $V$-ben.\\ + Az $e_1, ..., e_n$ ortogonális bázis (OB) $V$-ben, ha (bázis és) elemei páronként ortogonálisak.\\ + Az $e_1, ..., e_n$ ortonormált bázis (ONB) $V$-ben, ha elemei páronként ortogonálisak és normájuk $1$. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Ortonormált bázis létezése}] + $n > 0$ -ra tetszőleges $n$-dimenziós euklideszi térben létezik ortonormált bázis. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: A valós szimmetrikus mátrixok spektráltétele}] + $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ esetén\\ + + $A$ szimmetrikus $\iff$ $\exists$ $SONB$ $\mathbb{R}^{n}$-ben és $A$ minden sajátértéke valós. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Quadratikus alak}] + $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ és $A^T = A$ esetén az $A$-hoz tartozó $Q$ kvadratikus alak (vagy kvadratikus forma):\\ + $Q : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, $Q(x) = x^TAx$. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Definitek}] + $x \in \mathbb{R}^n \setminus {0}$-ra elnevezés:\\ + \mmedskip + + ${\forall}{\lambda}_k > 0$: $Q(x) > 0$: Q pozitív definit\\ + ${\forall}{\lambda}_k < 0$: $Q(x) < 0$: Q negatív definit\\ + ${\forall}{\lambda}_k \geq 0$: $Q(x) \geq 0$: Q pozitív szemidefinit\\ + ${\forall}{\lambda}_k \leq 0$: $Q(x) \leq 0$: Q negatív szemidefinit\\ + ${\exists}{\lambda}_j > 0$ és ${\exists}{\lambda}_k < 0$: $Q(u_j) > 0$, $Q(u_k) < 0$: Q indefinit + \end{tcolorbox} + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel.: Karakterisztikus szorzat}] + Legyen az $A = $ $\begin{bmatrix} + a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ + \vdots & & \vdots \\ + a_{n1} & \cdots & a_{nn} + \end{bmatrix}$ $=$ $A^T \in \mathbb{R}^{n x n}$ Karakterisztikus szorzata:\\ + \mmedskip + + ${\Delta}_0$ $=$ $1$; ${\Delta}_1$ $=$ $a_{11}$; ${\Delta}_2$ $=$ $\begin{vmatrix} + a_{11} & a_{12} \\ + a_{21} & a_{22} + \end{vmatrix}$; ${\Delta}_3$ $=$ $\begin{vmatrix} + a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ + a_{21} & a_{22}& a_{23} \\ + a_{31} & a_{32}& a_{33} + \end{vmatrix}$; $...$; ${\Delta}_n$ $=$ $|A|$.\\ + \mmedskip + + Az $A$-hoz tartozó $Q$ pozitív definit $\iff$ ${\forall}j \in \{0, 1, . . . , n\}$-re ${\Delta}_j > 0$.\\ + Az $A$-hoz tartozó $Q$ negatív definit $\iff$ ${\forall}j \in \{0, 1, . . . , [n/2]\}$-re ${\Delta}_{2j} > 0$ és ${\forall}j \in +{0, 1, . . . , [(n - 1)/2]}$-re ${\Delta}_{2j + 1} < 0$.\\ + \mmedskip + + Az első esetben azt mondják, hogy a karakterisztikus sorozat jeltartó, a másodikban pedig azt, hogy a karakterisztikus sorozat jelváltó (a ${\Delta}_0$-t ne felejtsük ki!). + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: mátrix, tranzponáltja, skaláris szorzat}] + Legyen $A = A^T \in \mathbb{R}^{n x n}$. Ha $\lambda$ és $\mu$ az $A$ különböző sajátértékei, továbbá $x \in W_{\lambda}, y \in W_{\mu}$, akkor ${\langle}x, y{\rangle} = 0$. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortérhomomorfizmus, Vektortérizomorfizmus}] + Legyen $\varphi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$.\\ + $\varphi$ vektortérhomomorfizmus [vagy homogén lineáris leképezés, vagy lineáris leképezés, vagy művelettartó leképezés $+, \lambda$-ra], ha\\ + + \begin{enumerate} + \item $u, v \in \mathbb{R}^n$ $\Rightarrow$ $\varphi(u + v) = \varphi(u) + \varphi(v)$ + \item ${\lambda} \in \mathbb{R}, u \in \mathbb{R}^n$ $\Rightarrow$ ${\varphi}({\lambda}u) = {\lambda}{\varphi}(u)$ + \end{enumerate} + + Ha egy lineáris leképezés, azaz vektortérhomomorfizmus netán bijektív, akkor vektortér-izomorfizmusnak hívjuk. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egyértelmű kiterjesztés tétel}] + Legyen $e_1, ..., e_n$ bázis $\in \mathbb{R}^n$-ben; $w_1, ..., w_n$ tetszőleges vektorok $\mathbb{R}^m$-ben. Ekkor ${\exists}!{\varphi} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ vektortérhomomorfizmus, melyre $\varphi(e_i) = w_i (i = 1, ..., n)$. + \end{tcolorbox} \end{frame} + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortérhomomorfizmus mátrixa}] + Ha $e_1, ..., e_n$ bázis $\mathbb{R}^n$-ben; $f_1, ..., f_m$ bázis $\mathbb{R}^m$-ben,\\ + $\varphi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ vektortérhomomorfizmus, akkor a $\varphi$ mátrixa az $e; f$ bázispárban\\ + \mmedskip + + $[{\varphi}]^{e;f}$ $:=$ $[[{\varphi}(e_1)]_f, ..., [{\varphi}(e_n)]_f] \in \mathbb{R}^{m x n}$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortérhomomorfizmusok halmaza}] + $Hom(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ jelölje a $\mathbb{R}^n$-ből $\mathbb{R}^m$-be képező vektortérhomomorfizmusok halmazát.\\ + \mmedskip + + $\varphi, \psi \in Hom(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ esetén legyen\\ + $\varphi + \psi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ úgy, hogy $u \in \mathbb{R}^n$-re\\ + $(\varphi + \psi)(u) = \varphi(u) + \psi(u)$. \\ + \mmedskip + + ${\lambda} \in \mathbb{R}$ és $\varphi \in Hom(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ esetén legyen\\ + ${\lambda}_{\phi} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ úgy, hogy $u \in \mathbb{R}^n$-re\\ + $({\lambda}\varphi)(u) = {\lambda}(\varphi(u))$. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortérhomomorfizmus mátrixa}] + Legyen $V_1 = \mathbb{R}^n$, $V_2 = \mathbb{R}^m$ és $V_3 = \mathbb{R}^s$\\ + $\varphi \in Hom(V_1, V_2)$, $\psi \in Hom(V_2, V_3)$.\\ + Legyen ${\psi}\varphi : V_1 \rightarrow V_3$ úgy, hogy $u \in V_1$-re $({\psi}{\varphi})(u) = \psi(\varphi(u))$.\\ + Könnyen látható, hogy a definiált ${\psi}{\varphi} \in Hom(V_1, V_3)$. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Képtér, magtér}] + Legyen $\varphi \in Hom(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$.\\ + + $\varphi$ képtere: $Im \varphi$ $:=$ $\{v' | v' \in \mathbb{R}^m$ ${\exists}u \in \mathbb{R}^n$ $\varphi(u) = v'\}$\\ + $\varphi$ magtere: $Ker \varphi$ $:=$ $\{ x | x \in \mathbb{R}^n$ ${\varphi}(x) = 0'\}$ + \end{tcolorbox} + \end{frame} + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Sajtávektor, sajátérték}] + Legyen $\varphi \in Hom(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$.\\ + Az $u \in \mathbb{R}^n$ sajátvektora $\varphi$-nek, ha\\ + + \begin{enumerate} + \item $u \neq 0$. + \item ${\exists}{\lambda}_0 \in \mathbb{R}$ $:$ $\varphi(u) = {\lambda}_0u$. + \end{enumerate} + + Ilyenkor a ${\lambda}_0$ az $u$ sajátvektorhoz tartozó sajátértéke a $\varphi$-nek. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Sajátvektor, sajátérték, lineáris függetlenség}] + Legyen $\varphi \in Hom(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$., továbbá $u_1, u_2, ..., u_k \in \mathbb{R}^n$ sajátvektorai $\varphi$-nek, továbbá ${\lambda}_1, {\lambda}_2, ..., {\lambda}_k \in \mathbb{R}$ a megfelelő sajátértékek, melyek páronként különbözök.\\ + + Ekkor $u_1, u_2, ..., u_k$ lineárisan független sajátvektorrendszer. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Sajátérték, sakátbázis}] + Ha a $\varphi \in Hom(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$ lineáris transzformációnak $n$ darab páronként különbözö sajátértéke van (ahol $n = dim \mathbb{R}^n$), akkor létezik $\mathbb{R}^n$-ben SB, azaz a $\varphi$ sajátvektoraiból álló bázis. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortér dimenziója}] + Az $\mathbb{R}$ feletti $V$ vektortér dimenziója:\\ + + $dim V$ $=$ $\begin{cases} + 0, & \text{ha } V = \{ \u{0} \}\\ + |B|, & \text{ha } V \neq \{ \u{0} \} \text{ és van véges G V-ben } \\ + \infty & \text{egyébként} + \end{cases}$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortér dimenziója}] + Az $\mathbb{R}$ feletti $V$ vektortér dimenziója:\\ + + $dim V$ $=$ $\begin{cases} + 0, & \text{ha } V = \{ \u{0} \}\\ + |B|, & \text{ha } V \neq \{ \u{0} \} \text{ és van véges G V-ben } \\ + \infty & \text{egyébként} + \end{cases}$ + \end{tcolorbox} + \end{frame} + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortérhomomorfizmus, Vektortérizomorfizmus}] + Legyen Legyen $V_1$ és $V_2$ vektortér $\mathbb{R}$ felett, $\varphi : V_1 \rightarrow V_2$.\\ + $\varphi$ vektortérhomomorfizmus [vagy homogén lineáris leképezés, vagy lineáris leképezés, vagy művelettartó leképezés $+, \lambda$-ra], ha\\ + + \begin{enumerate} + \item $u, v \in V_1$ $\Rightarrow$ $\varphi(u + v) = \varphi(u) + \varphi(v)$ + \item ${\lambda} \in \mathbb{R}, u \in V_1$ $\Rightarrow$ ${\varphi}({\lambda}u) = {\lambda}{\varphi}(u)$ + \end{enumerate} + + Ha egy lineáris leképezés, azaz vektortérhomomorfizmus netán bijektív, akkor vektortér-izomorfizmusnak hívjuk. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Egyértelmű kiterjesztés tétel}] + Legyen $V_1$ és $V_2$ vektortér az $\mathbb{R}$ felett, $dim V_1$ $=$ $n > 0$, $e_1, ..., e_n$ bázis $V_1$-ben, $w_1, ..., w_n$ tetszőleges vektorok $V_2$-ben. Ekkor\\ + + ${\exists}! \varphi : V_1 \rightarrow V_2$ vektortérhomomorfizmus, melyre $\varphi(e_i) = w_i (i = 1, ..., n)$. + \end{tcolorbox} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortérhomomorfizmus mátrixa}] + Ha $e_1, ..., e_n$ bázis $V_1$-ben; $f_1, ..., f_m$ bázis $V_2$-ben,\\ + $\varphi : V_1 \rightarrow V_2$ vektortérhomomorfizmus, akkor a $\varphi$ mátrixa az $e; f$ bázispárban\\ + \mmedskip + + $[{\varphi}]^{e;f}$ $:=$ $[[{\varphi}(e_1)]_f, ..., [{\varphi}(e_n)]_f] \in \mathbb{R}^{m x n}$ + \end{tcolorbox} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris tranzformáció}] + Azok a lineáris leképezések, amelyeknél $V_1 = V_2 = V$.\\ + + Ilyenkor megállapodunk abban, hogy a mátrix definíciójában mindkét helyre ugyanazt a bázist vesszük:\\ + Ha $e_1, ..., e_n$ bázis $V$-ben, $\varphi : V \rightarrow V$ lineáris transzformáció, akkor\\ + $[\varphi]^e$ $:=$ $[\varphi]^{e;e}$ + \end{tcolorbox} + \end{frame} + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Vektortérhomomorfizmusok halmaza}] + Legyen $V_1$ és $V_2$ vektortér $\mathbb{R}$ felett. $Hom(V_1, V_2)$ jelölje a $V_1$-ből $V_2$-be képező vektortérhomomorfizmusok halmazát.\\ + \mmedskip + + $\varphi, \psi \in Hom(V_1, V_2)$ esetén legyen\\ + $\varphi + \psi : V_1 \rightarrow V_2$ úgy, hogy $u \in V_1$-re\\ + $(\varphi + \psi)(u) = \varphi(u) + \psi(u)$. \\ + \mmedskip + + ${\lambda} \in \mathbb{R}$ és $\varphi \in Hom(V_1, V_2)$ esetén legyen\\ + ${\lambda}_{\phi} : V_1 \rightarrow V_2$ úgy, hogy $u \in V_1$-re\\ + $({\lambda}\varphi)(u) = {\lambda}(\varphi(u))$. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Képtér, magtér}] + Legyen $\varphi \in V_1, V_2$, $\varphi \in Hom(V_1, V_2)$\\ + + $\varphi$ képtere: $Im \varphi$ $:=$ $\{v' | v' \in V_2$ ${\exists}u \in V_1$ $\varphi(u) = v'\}$\\ + $\varphi$ magtere: $Ker \varphi$ $:=$ $\{ x | x \in V_1$ ${\varphi}(x) = 0'\}$ + \end{tcolorbox} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Vektortér dimenziója}] + Legyen $V_1$ és $V_2$ véges dimenziós vektortér $\mathbb{R}$ felett. Ekkor\\ + + $V_1 \cong V_2$ $\iff$ $dim V_1 = dim V_2$ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Dimenzióösszefüggés}] + Legyen $V_1$ és $V_2$ vektortér $\mathbb{R}$ felett, $\varphi \in Hom(V_1, V_2)$. Ha $V_1$ véges dimenziós, akkor\\ + + $dim Im \varphi + dim Ker \varphi = dim V_1$.\\ + (Itt $\varphi$ rangja: $r(\varphi) = dim Im \varphi$; $\varphi$ defektusa: $d(\varphi) = dim Ker \varphi$) + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Szorzástétel}] + Legyen $V_1$, $V_2$ és $V_3$ vektortér $\mathbb{R}$ felett, dimenziójuk rendre $n, m, s$ (pozitív egészek); $e_1, ..., e_n$ bázis $V_1$-ben; $f_1, ..., f_m$ bázis $V_2$-ben; $g_1, ..., g_s$ bázis $V_3$-ban; $\varphi \in Hom(V_1, V_2)$, $\psi \in Hom(V_2, V_3)$. Ekkor\\ + + $[{\psi}{\varphi}]^{e;g} = [{\psi}]^{f ;g}[{\varphi}]^{e;f}$. + \end{tcolorbox} + + \end{frame} + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Új bázisba való áttérés}] + Legyen $V$ vektortér $\mathbb{R}$ felett; $dim V = n > 0$; $e_1, ..., e_n$ bázis $V$-ben; $e'_1, ..., e'_n$ bázis $V$-ben.\\ + Ekkor ${\exists}!{\tau} \in Hom(V, V) : {\tau}(e_i) = e'_i (i = 1, ..., n)$.\\ + \mmedskip + + Legyen $D = [{\tau}]^e$.\\ + Ekkor $D$ invertálható, és tetszőleges $\varphi \in Hom(V, V )$ esetén\\ + \mmedskip + + $[{\varphi}]^{e'} = D^{-1}[{\varphi}]^eD$. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Skaláris szorzat}] + Legyen $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ vagy $\mathbb{K} = \mathbb{C}$, továbbá $V$ vektortér a $\mathbb{K}$ felett.\\ + Korábban egy skaláris szorzatnak nevezett ${\langle}x, y{\rangle}$ $:$ $V x V \rightarrow \mathbb{K}$ függvényre teljesültek a következők minden $x, y, z \in V$ és $\lambda \in \mathbb{K}$ esetén:\\ + + \begin{enumerate} + \item ${\langle}x, y{\rangle} = \overline{{\langle}x, y{\rangle}}$ + \item ${\langle}{\lambda}x, y{\rangle} = {\lambda}{\langle}x, y{\rangle}$, ${\langle}x, {\lambda}y{\rangle} = \overline{{\lambda}}{\langle}x, y{\rangle}$ + \item ${\langle}x, y + z{\rangle} = {\langle}x, y{\rangle} + {\langle}x, z{\rangle}$, ${\langle}y + z, x{\rangle} = {\langle}y, x{\rangle} + {\langle}z, x{\rangle}$. + \item ${\langle}x, x{\rangle}$ mindíg (valós és) nemnegatív + \item ${\langle}x, x{\rangle}$ $=$ $0$ $\iff$ $x = 0$ + \end{enumerate} + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Skaláris szorzat}] + Legyen $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ vagy $\mathbb{K} = \mathbb{C}$, továbbá $V$ vektortér a $\mathbb{K}$ felett.\\ + + Az $\mathcal{A}(x, y) : V x V \rightarrow \mathbb{K}$ függvényt $V$-n értelmezett ($\mathbb{K}$-tól függően valós vagy komplex) bilineáris függvénynek, bilineáris alaknak, vagy bilineáris formának hívjuk, ha teljesülnek a következők minden $x, y, z \in V$ és $\lambda \in \mathbb{K}$ esetén: + + \begin{enumerate} + \item $\mathcal{A}({\lambda}x, y) = {\lambda} \mathcal{A}(x, y)$, $\mathcal{A}(x, {\lambda}y) = \overline{{\lambda}} \mathcal{A}(x, y)$ + \item $\mathcal{A}(x, y + z) = \mathcal{A}(x, y) + \mathcal{A}(x, z)$, $\mathcal{A}(y + z, x) = \mathcal{A}(y, x) + \mathcal{A}(z, x)$. + \end{enumerate} + \end{tcolorbox} + \end{frame} - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Bilineáris alak}] + Legyen az $\mathcal{\mathcal{A}}(x, y) : V x V \rightarrow \mathbb{K}$ a $V$-n értelmezett bilineáris alak, továbbá $e_1, ..., e_n$ bázis $V$-ben. $[\mathcal{A}]^e \in \mathbb{K}^{nxn}$, éspedig minden szóbajövő $j, k$ esetén $(a_{jk} =)$ ${}_{j} [\mathcal{A}]_k^e = +\mathcal{A}(e_j, e_k)$. + Így az előbbi kifejezés a következő formában is írható:\\ + \mmedskip + + $\mathcal{A}(\sum_{j = 1}^n x_je_j, \sum_{k = 1}^n y_ke_k) = \sum_{j = 1}^n \sum_{k = 1}^n x_j \overline{y_k} a_{jk}$\\ + \mmedskip + + speciálisan:\\ + $\mathcal{A}(\sum_{j = 1}^n x_je_j, \sum_{k = 1}^n x_ke_k) = \sum_{j = 1}^n \sum_{k = 1}^n x_j \overline{x_k} a_{jk}$\\ + \mmedskip + + ugyanez $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ esetén:\\ + $\mathcal{A}(\sum_{j = 1}^n x_je_j, \sum_{k = 1}^n x_ke_k) = \sum_{j = 1}^n \sum_{k = 1}^n x_j x_k a_{jk}$\\ + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Hermite-féle bilineáris alak}] + Legyen az $\mathcal{A}(x, y) : V x V \rightarrow \mathbb{K}$ a $V$ -n értelmezett bilineáris alak. Azt mondjuk, hogy az $\mathcal{A}$ Hermite-féle bilineáris alak ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ esetén a szimmetrikus bilineáris alak kifejezés is használatos), ha $x, y \in V$ esetén teljesül:\\ + $\mathcal{A}(y, x) = \mathcal{A}(x, y)$. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Szimmetrikus bilineáris alak}] + Legyen $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, az $\mathcal{A}(x, y) : V x V \rightarrow \mathbb{R}$ pedig $V$-n értelmezett szimmetrikus bilineáris alak (tehát most minden $x, y \in V$ esetén teljesül: $\mathcal{A}(y, x) = \mathcal{A}(x, y)$). Ekkor az $\mathcal{A}$-hoz tartozó $\mathcal{Q}$ kvadratikus alak:\\ + $\mathcal{Q} : V \rightarrow \mathbb{R}$, $\mathcal{Q}(x) = \mathcal{A}(x, x)$. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Def.: Kvadratikus alak}] + Legyen $\mathbb{K} = \mathbb{C}$, az $\mathcal{A}(x, y) : V x V \rightarrow \mathbb{C}$ pedig $V$-n értelmezett bilineáris alak. Ekkor az $\mathcal{A}$-hoz tartozó kvadratikus alak:\\ + + $\mathcal{Q} : V \rightarrow \mathbb{C}$, $\mathcal{Q}(x) = \mathcal{A}(x, x)$. + \end{tcolorbox} + + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Szimmetrikus bilineáris alak, kvadratikus alak}] + Legyen $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, az $\mathcal{A}(x, y) : V x V \rightarrow \mathbb{R}$ pedig $V$-n értelmezett szimmetrikus bilineáris alak (tehát most minden $x, y \in V$ esetén teljesül: $\mathcal{A}(y, x) = \mathcal{A}(x, y)$). Ekkor az $\mathcal{A}$ minden értéke kifejezhető az $\mathcal{A}$-hoz tartozó $\mathcal{Q}$ kvadratikus alak alkalmas értékei segítségével. + \end{tcolorbox} + \end{frame} + + \begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={Tétel: Szimmetrikus bilineáris alak, kvadratikus alak}] + Legyen $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, az $\mathcal{A}(x, y) : V x V \rightarrow \mathbb{R}$ pedig $V$-n értelmezett szimmetrikus bilineáris alak (tehát most minden $x, y \in V$ esetén teljesül: $\mathcal{A}(y, x) = \mathcal{A}(x, y)$). Ekkor az $\mathcal{A}$ minden értéke kifejezhető az $\mathcal{A}$-hoz tartozó $\mathcal{Q}$ kvadratikus alak alkalmas értékei segítségével. + \end{tcolorbox} + \end{frame} %Kiegészítések / Számolások \begin{comment}