diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex index d5ae3fc..1e3503e 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex @@ -136,7 +136,7 @@ \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2. (4p)}] -Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A részében szereplő főbb témaköröket néhány mintafeladattal, azok megoldásával és esetenként részletesebb magyarázattal. Ez a rész a szemléltetést szolgálja: a dolgozatban általában nem pont ezek a kérdések fognak szerepelni. A feladatok nehézségét szimbólumok jelzik. Ahol egy definíciót vagy tételt kell közvetlenül alkalmazni, ott N a jel. Ha a fogalom már nehezebb, vagy több lépést kell tenni, több fogalmat összekapcsolni, nemtriviális átalakítást kell végezni, ott R szerepel. A Q azt jelzi, hogy a feladat témája kifejezetten nehéz, vagy pedig ötlet kell a megoldáshoz. +Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A részében szereplő főbb témaköröket néhány mintafeladattal, azok megoldásával és esetenként részletesebb magyarázattal. Ez a rész a szemléltetést szolgálja: a dolgozatban általában nem pont ezek a kérdések fognak szerepelni. A feladatok nehézségét szimbólumok jelzik. Ahol egy definíciót vagy tételt kell közvetlenül alkalmazni, ott N a jel. Ha a fogalom már nehezebb, vagy több lépést kell tenni, több fogalmat összekapcsolni, nemtriviális átalakítást kell végezni, ott R szerepel. A Q azt jelzi, hogy a feladat témája kifejezetten nehéz, vagy pedig ötlet kell a megoldáshoz. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -149,7 +149,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/1. -N-}] - A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Határozzuk meg a $v = 2b1 + 3b2 −b3$ vektor koordinátavektorát a $\{b1,b2,b3\}$ bázisban. + A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Határozzuk meg a $v = 2b1 + 3b2 -b3$ vektor koordinátavektorát a $\{b1,b2,b3\}$ bázisban. \tcblower A vektor bázisban vett koordinátavektorának fogalmát kéri számon.\\ @@ -162,7 +162,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/2. -R-}] - Legyen $B = \{b1,b2,b3\}$ bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Egy $v \in V$ vektornak a $\{b1 + b2,b2 + b3,b3\}$ bázisban fölírt koordinátavektora $[v]b1+b2,b2+b3,b3 =$.\\ + Legyen $B = \{b1,b2,b3\}$ bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Egy $v \in V$ vektornak a $\{b1 + b2,b2 + b3,b3\}$ bázisban fölírt koordinátavektora $[v]b1+b2,b2+b3,b3 =$.\\ Mi $v$ koordinátavektora a $B$ bázisban? \tcblower @@ -177,12 +177,12 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/3. -R-}] - A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Ebben a bázisban a $v$, illetve $w$ vektorok koordinátorvektora $[v]b1,b2,b3 =  1 0 2   $ és $[w]b1,b2,b3 =  3 1 0   $. Írjuk föl a $v+2w$ vektort a $\{b1,b2,b3\}$ vektorok lineáris kombinációjaként. + A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Ebben a bázisban a $v$, illetve $w$ vektorok koordinátorvektora $[v]b1,b2,b3 =| | 1 0 2 ||$ és $[w]b1,b2,b3 =| | 3 1 0 ||$. Írjuk föl a $v+2w$ vektort a $\{b1,b2,b3\}$ vektorok lineáris kombinációjaként. \tcblower A feladat két fogalmat kérdez:\\ hogyan kell a koordinátákból kiszámítani a vektorokat, de még azt is tudni kell, hogy hogyan kell koordinátavektorokkal műveleteket végezni.\\ - Tehát először a két koordinátavektor megfelelő lineáris kombinációját számoljuk ki: $  1 0 2  + 2   3 1 0  =   7 2 2   $, majd az így kapott oszlopvektort átírjuk a bázisvektorok lineáris kombinációjává.\\ + Tehát először a két koordinátavektor megfelelő lineáris kombinációját számoljuk ki: $| | 1 0 2 | |+ 2 | | 3 1 0 | | 7 2 2 |$, majd az így kapott oszlopvektort átírjuk a bázisvektorok lineáris kombinációjává.\\ De megtehetjük azt is, hogy először a v és w vektorokat írjuk fel a bázisvektorok lineáris kombinációjaként, majd ebből számítjuk ki a $v+2w$-t. @@ -192,7 +192,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/4. -Q-}] - Tegyük föl, hogy a $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Mi lesz ezen $bi$ bázisvektorok $v$-vel jelölt összegénekakoordinátavektora a $\{b1+b2,b2,b3\}$ bázisban? + Tegyük föl, hogy a $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Mi lesz ezen $bi$ bázisvektorok $v$-vel jelölt összegénekakoordinátavektora a $\{b1+b2,b2,b3\}$ bázisban? \tcblower Az a kérdés, hogy a $b1+b2+b3 = {\lambda}1(b1+b2)+{\lambda}2b2+{\lambda}3b3$ felírásban mennyi a ${\lambda}i$ ismeretlenek értéke.\\| Ezekre úgy kapunk lineáris egyenletrendszert, hogy a $bi$ bázisvektor együtthatóját az egyenlet két oldalán összehasonlítjuk.\\ @@ -317,7 +317,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \mmedskip - $0 \cdot u + 1 \cdot v + 2 \cdot w + (−1)(v + 2w) = 0.$. + $0 \cdot u + 1 \cdot v + 2 \cdot w + (-1)(v + 2w) = 0.$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -360,7 +360,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/6. -N-}] - Egy $U ≤ \mathbb{R}^2$ altérben $[2 3]T$ generátorrendszert alkot. Adjunk meg $U$-ban egy háromelemű generátorrendszert. + Egy $U \leq \mathbb{R}^2$ altérben $[2 3]T$ generátorrendszert alkot. Adjunk meg $U$-ban egy háromelemű generátorrendszert. \tcblower \mmedskip @@ -372,7 +372,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/7. -R-}] - Egy $U ≤ R5$ altérben van olyan $\{v1,v2,v3\}$ háromelemű lineárisan összefüggő vektorhalmaz, mely generátorrendszer U-ban. Hány eleme lehet $U$ egy bázisának? + Egy $U \leq R5$ altérben van olyan $\{v1,v2,v3\}$ háromelemű lineárisan összefüggő vektorhalmaz, mely generátorrendszer U-ban. Hány eleme lehet $U$ egy bázisának? \tcblower \mmedskip @@ -384,7 +384,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/8. -R-}] - Ha egy $U ≤ R9$ altérben van $5$ elemű lineárisan összefüggő generátorrendszer is, meg $3$ elemű lineárisan független vektorrendszer is, akkor mik $dimU$ lehetséges értékei? + Ha egy $U \leq R9$ altérben van $5$ elemű lineárisan összefüggő generátorrendszer is, meg $3$ elemű lineárisan független vektorrendszer is, akkor mik $dimU$ lehetséges értékei? \tcblower @@ -423,7 +423,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/11. -Q-}] - Legyen $U = \{[x1,x2,x3]T \in \mathbb{R}^3|x1 = 2x2 = 3x3\}$ az \mathbb{R}^3 altere. Hány olyan bázisa van az $U$ altérnek, mely tartalmazza a $v = [6,3,2]T$ vektort? + Legyen $U = \{[x1,x2,x3]T \in \mathbb{R}^3|x1 = 2x2 = 3x3\}$ az $\mathbb{R}^3$ altere. Hány olyan bázisa van az $U$ altérnek, mely tartalmazza a $v = [6,3,2]T$ vektort? \tcblower \mmedskip @@ -444,7 +444,9 @@ A harmadik feladatban arra érdemes emlékeznünk, hogy két nem nulla vektor ak A negyedik feladatot megoldhatjuk a szokásos homogén lineáris egyenletrendszer vizsgálatával (ha a megoldások száma nagyobb, mint 1, akkor a vektorrendszer összefüggő). Másik lehetőség annak a tételnek az alkalmazása, hogy a megadott vektorok pontosan akkor lineárisan függetlenek, ha a belőlük mint oszlopvektorokból képzett mátrix determinánsa nem 0. Mivel -, ezért a válasz c 6= 1/2. Az ötödik feladatban segít, ha tudjuk, hogy mit jelent az összefüggőség a lineáris függés nyelvén: a feltételek azt jelentik, hogy a vektorok egyike sem skalárszorosa a másiknak, de az egyik vektor a másik kettőnek a lineáris kombinációja. +, ezért a válasz $c 6= 1/2$. + +Az ötödik feladatban segít, ha tudjuk, hogy mit jelent az összefüggőség a lineáris függés nyelvén: a feltételek azt jelentik, hogy a vektorok egyike sem skalárszorosa a másiknak, de az egyik vektor a másik kettőnek a lineáris kombinációja. A hatodik feladatban azt az állítást használjuk, hogy generátorrendszer kibővítve is generátorrendszer marad, de vigyáznunk kell, hogy az új vektorokat is az altérből vegyük. @@ -484,7 +486,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/2. -N-}] - Legyen $\{b1,b2,b3\}$ bázis egy $U$ altérben. Hány dimenziós alteret generál $\{b1 + b2,b2,b1 −b2\}$? + Legyen $\{b1,b2,b3\}$ bázis egy $U$ altérben. Hány dimenziós alteret generál $\{b1 + b2,b2,b1 -b2\}$? \tcblower \mmedskip @@ -501,7 +503,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \mmedskip - A dimenzió: $n−1$ + A dimenzió: $n-1$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -520,7 +522,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/5. -Q-}] - Hány dimenziós alteret alkotnak $\mathbb{R}^3x3$-ban azok az A mátrixok, amelyekre teljesül, hogy $AT = −A$? + Hány dimenziós alteret alkotnak $\mathbb{R}^3x3$-ban azok az A mátrixok, amelyekre teljesül, hogy $AT = -A$? \tcblower \mmedskip @@ -532,7 +534,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/6. -R-}] - Hány négydimenziós altér van $R4$-ben mint $R$ fölötti vektortérben? + Hány négydimenziós altér van $\mathbb{R}^4$-ben mint $R$ fölötti vektortérben? \tcblower \mmedskip @@ -556,7 +558,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/7. -Q-}] -Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában {b1 + b2,b2} ilyen. De bázist alkot ebben az altérben {b1,b2} is, hiszen b1 = (b1 + b2) − b2 is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának y = 0 speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti \mathbb{R}^n dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első n−1 komponens egyike 1, az utolsó komponens−1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy \mathbb{R}^n egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint \mathbb{R}^n-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a 2x2-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a \mathbb{R}^{2 x 2} téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. +Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában $\{b1 + b2,b2\}$ ilyen. De bázist alkot ebben az altérben $\{b1,b2\}$ is, hiszen $b1 = (b1 + b2) - b2$ is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának $y = 0$ speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti $\mathbb{R}^n$ dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első $n-1$ komponens egyike 1, az utolsó komponens-1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy $\mathbb{R}^n$ egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint $\mathbb{R}^n$-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a $2x2$-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a $\mathbb{R}^{2 x 2}$ téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -613,7 +615,7 @@ $3x + 3y = 3$ \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={5/3. -N-}] -Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés van: ha több ismeretlen van, mint egyenlet, akkor nem lehet egyértelmű a megoldás (erre kérdez rá a harmadik feladat). Vagyis ha az egyenletrendszerben nincs elég egyenlet – nem tudunk eleget az ismeretlenekről –, akkor ugyan lehet ellentmondásos (ehhez már két egyenlet is elég, mint az első feladatban, sőt az egyetlen 0 \cdot x + 0 \cdot y = 1 egyenlet is), de ha nem ellentmondásos, azaz van megoldás, akkor biztosan egynél több megoldás van. Valós és komplex együtthatós egyenletrendszerek esetében ilyenkor a megoldások száma végtelen. Az egyenletek számát szaporíthatjuk úgy, hogy a megoldások halmaza ne változzon: ehhez a rendszerbe már bent lévő egyenletek lineáris kombinációját kell bevenni (mint a második feladatban). Fontos, hogy homogén lineáris egyenletrendszernek – amikor az egyenletek jobb oldalán mindenütt 0 áll – mindig van megoldása: a triviális megoldás, amikor minden ismeretlen értéke nulla. +Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés van: ha több ismeretlen van, mint egyenlet, akkor nem lehet egyértelmű a megoldás (erre kérdez rá a harmadik feladat). Vagyis ha az egyenletrendszerben nincs elég egyenlet – nem tudunk eleget az ismeretlenekről –, akkor ugyan lehet ellentmondásos (ehhez már két egyenlet is elég, mint az első feladatban, sőt az egyetlen $0 \cdot x + 0 \cdot y = 1$ egyenlet is), de ha nem ellentmondásos, azaz van megoldás, akkor biztosan egynél több megoldás van. Valós és komplex együtthatós egyenletrendszerek esetében ilyenkor a megoldások száma végtelen. Az egyenletek számát szaporíthatjuk úgy, hogy a megoldások halmaza ne változzon: ehhez a rendszerbe már bent lévő egyenletek lineáris kombinációját kell bevenni (mint a második feladatban). Fontos, hogy homogén lineáris egyenletrendszernek – amikor az egyenletek jobb oldalán mindenütt 0 áll – mindig van megoldása: a triviális megoldás, amikor minden ismeretlen értéke nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -621,19 +623,19 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame}[plain] \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] - {\RHuge (6) Lineáris egyenletrendszerek, megoldásszámuk} + {\RHuge (6) Mátrixműveletek, inverz } \mmedskip \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/1. -N-}] - Legyen $A \in Rkxℓ$, $B \in Rpxr$ és $C \in Rtxu$. Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy értelmes legyen az $ABT + C$ mátrixkifejezés. + Legyen $A \in Rkxl$, $B \in Rpxr$ és $C \in Rtxu$. Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy értelmes legyen az $ABT + C$ mátrixkifejezés. \tcblower \mmedskip - $ℓ = r, k = t, p = u$ + $l = r, k = t, p = u$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -653,12 +655,12 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/3. -N-}] - Legyen A = . Mely c \in R számokra van olyan $2x2$-es, valós elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrix, amelyre igaz, hogy $AB = 0$? + Legyen $A = .$ Mely $c \in R$ számokra van olyan $2x2$-es, valós elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrix, amelyre igaz, hogy $AB = 0$? \tcblower \mmedskip - c = 9 + $c = 9$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -727,7 +729,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/8. -Q-}] -Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összeadása, szorzása, illetve mik a transzponált mátrix méretei. Két mátrix szorzatának oszlopaiban a bal oldali mátrix oszlopainak lineáris kombinációi állnak. Ezért az AB = 0 akkor tud teljesülni nem nulla B mátrixszal, ha A oszlopai lineárisan öszefüggenek. Speciálisan ha A négyzetes mátrix, akkor ez azzal ekvivalens, hogy A determinánsa nulla. Ezzel a tétellel könnyű megválaszolni a harmadik feladatot, illetve keresni megfelelő mátrixot a negyedik feladatban. Kétszer kettes mátrix esetében érdemes megjegyezni az inverz képletét: inverz akkor létezik, ha a mátrix d determinánsa nem nulla, és ekkor az inverz mátrixot úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrixban a főátló két elemét kicseréljük, a mellékátló elemeit ellentettjükre változtatjuk, végül a mátrix minden elemét elosztjuk d-vel (így kaptuk az ötödik feladat eredményét). Nem feltétlenül négyzetes mátrixra is érvényes, hogy pontosan akkor van jobb oldali inverze, ha rangja megegyezik a sorainak a számával, azaz ha a sorai lineárisan függetlenek. Erre a tételre a hatodik és a hetedik feladat megoldásában nincs szükség, mert azok megoldása közvetlen számolás (a hetedik feladatban az egyetlen megfelelő vektor [1/3 1/3 1/3]T). A nyolcadik feladatban viszont ezt a tételt alkalmazzuk. Az (A) rész két sora nyilván összefügg, a (C) esetében ez azért igaz, mert \mathbb{R}^2 dimenziója 2, és így bármely három vektor összefüggő. A (B)-ben például az a = d = 1 és b = c = 0 két független vektort ad, a (D) esetben meg a három sor független lesz ha a 6= 9, hiszen ekkor a determináns értéke nem nulla. +Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összeadása, szorzása, illetve mik a transzponált mátrix méretei. Két mátrix szorzatának oszlopaiban a bal oldali mátrix oszlopainak lineáris kombinációi állnak. Ezért az $AB = 0$ akkor tud teljesülni nem nulla B mátrixszal, ha A oszlopai lineárisan öszefüggenek. Speciálisan ha A négyzetes mátrix, akkor ez azzal ekvivalens, hogy A determinánsa nulla. Ezzel a tétellel könnyű megválaszolni a harmadik feladatot, illetve keresni megfelelő mátrixot a negyedik feladatban. Kétszer kettes mátrix esetében érdemes megjegyezni az inverz képletét: inverz akkor létezik, ha a mátrix d determinánsa nem nulla, és ekkor az inverz mátrixot úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrixban a főátló két elemét kicseréljük, a mellékátló elemeit ellentettjükre változtatjuk, végül a mátrix minden elemét elosztjuk d-vel (így kaptuk az ötödik feladat eredményét). Nem feltétlenül négyzetes mátrixra is érvényes, hogy pontosan akkor van jobb oldali inverze, ha rangja megegyezik a sorainak a számával, azaz ha a sorai lineárisan függetlenek. Erre a tételre a hatodik és a hetedik feladat megoldásában nincs szükség, mert azok megoldása közvetlen számolás (a hetedik feladatban az egyetlen megfelelő vektor $[1/3 1/3 1/3]T$). A nyolcadik feladatban viszont ezt a tételt alkalmazzuk. Az (A) rész két sora nyilván összefügg, a (C) esetében ez azért igaz, mert $\mathbb{R}^2$ dimenziója 2, és így bármely három vektor összefüggő. A (B)-ben például az a = d = 1 és $b = c = 0$ két független vektort ad, a (D) esetben meg a három sor független lesz ha a $6= 9$, hiszen ekkor a determináns értéke nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -741,7 +743,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/1. -N-}] - Az A = [aij] \in R5x5 mátrix determinánsának kiszámolásakor mennyi lesz az a31a24a53a15a42 szorzathoz tartozó permutációban az inverziók száma? + Az A = $[aij] \in R5x5$ mátrix determinánsának kiszámolásakor mennyi lesz az $a31a24a53a15a42$ szorzathoz tartozó permutációban az inverziók száma? \tcblower @@ -754,20 +756,20 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/2. -R-}] - Az A = [aij] \in R5x5 mátrix determinánsának kiszámolásakor az a11a2ia33a45a5j szorzatot (−1)-gyel szorozva kellett figyelembe venni. Határozzuk meg i-t és j-t. + Az $A = [aij] \in R5x5$ mátrix determinánsának kiszámolásakor az $a11a2ia33a45a5j$ szorzatot $(-1)$-gyel szorozva kellett figyelembe venni. Határozzuk meg i-t és j-t. \tcblower \mmedskip - i = j = -2 4 + $i = j = +2 4$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/3. -Q-}] - Az {1,2,3,4,5} számoknak hány olyan sorbarendezése (permutációja) van, melyben az inverziók száma 1? + Az $\{1,2,3,4,5\}$ számoknak hány olyan sorbarendezése (permutációja) van, melyben az inverziók száma 1? \tcblower \mmedskip @@ -779,7 +781,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/4. -Q-}] - Az $\{1,2,3,4,5\}$ számok $i2jkℓ$ típusú sorbarendezései (azaz permutációi) között mennyi lehet az inverziók maximális száma? + Az $\{1,2,3,4,5\}$ számok $i2jkl$ típusú sorbarendezései (azaz permutációi) között mennyi lehet az inverziók maximális száma? \tcblower \mmedskip @@ -789,7 +791,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/5. -N-}] - Legyenek $A,B,C \in \mathbb{R}^3x3$ olyan valós mátrixok, melyekre $detA = 2, detB = 3$ és $detC = 4$. Mennyi lesz $2A2C−1B$ determinánsa? + Legyenek $A,B,C \in \mathbb{R}^3x3$ olyan valós mátrixok, melyekre $detA = 2, detB = 3$ és $detC = 4$. Mennyi lesz $2A2C-1B$ determinánsa? \tcblower \mmedskip @@ -808,14 +810,14 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \mmedskip - detB = −5 + detB = -5 \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/6. -R-}] - A determináns definíciójában a tagok előjelezését a következőképpen kell kiszámolni. A szorzatot rendezzük át úgy, hogy az aij-k első indexei növekedjenek 1-től n-ig. Ezek után a második indexek által alkotott permutációban számoljuk meg az inverziókat (vagyis azokat a párokat, amelyekben az elöl szereplő szám a nagyobb). Ha ezek száma páros, akkor az előjel +, különben −. Az első feladatban a kapott sorrend 54123. Ha n elemet permutálunk, akkor az inverziók maximális száman 2; ezt a számot az elemek monoton fogyó sorbarendezése produkálja, 0 inverziója pedig csak a természetes, monoton növő sorbarendezésnek van. Két elemet megcserélve, a permutáció paritása (előjele) mindig megváltozik. A második példában i és j csak 2 és 4 lehet valamelyik sorrendben, ezt a két permutációt kell kipróbálni. A harmadik feladatban csak két szomszédos elemet cserélhetünk meg az alapsorrendhez képest. A negyedik feladatban az az ötlet, hogy a 2 után legalább két, 2-nél nagyobb számnak kell lennie, ez két nem-inverziót elront, és így maximum 8 inverzió lehet. Az 52431 sorrend ezt elő is állítja. Az ötödik feladat a determinánsok szorzástételének egyszerű alkalmazása (amiből következik, hogy egy mátrix inverzének a determinánsa az eredeti mátrix determinánsának a reciproka). A hatodik feladatban az eredeti mátrixot transzponáltuk, megcseréltük az első két oszlopot, majd az új első oszlopot adtuk a harmadikhoz. A középső lépésnél a determináns előjelet vált, a másik kettőnél nem változik. + A determináns definíciójában a tagok előjelezését a következőképpen kell kiszámolni. A szorzatot rendezzük át úgy, hogy az aij-k első indexei növekedjenek 1-től n-ig. Ezek után a második indexek által alkotott permutációban számoljuk meg az inverziókat (vagyis azokat a párokat, amelyekben az elöl szereplő szám a nagyobb). Ha ezek száma páros, akkor az előjel +, különben -. Az első feladatban a kapott sorrend 54123. Ha n elemet permutálunk, akkor az inverziók maximális száman 2; ezt a számot az elemek monoton fogyó sorbarendezése produkálja, 0 inverziója pedig csak a természetes, monoton növő sorbarendezésnek van. Két elemet megcserélve, a permutáció paritása (előjele) mindig megváltozik. A második példában i és j csak 2 és 4 lehet valamelyik sorrendben, ezt a két permutációt kell kipróbálni. A harmadik feladatban csak két szomszédos elemet cserélhetünk meg az alapsorrendhez képest. A negyedik feladatban az az ötlet, hogy a 2 után legalább két, 2-nél nagyobb számnak kell lennie, ez két nem-inverziót elront, és így maximum 8 inverzió lehet. Az 52431 sorrend ezt elő is állítja. Az ötödik feladat a determinánsok szorzástételének egyszerű alkalmazása (amiből következik, hogy egy mátrix inverzének a determinánsa az eredeti mátrix determinánsának a reciproka). A hatodik feladatban az eredeti mátrixot transzponáltuk, megcseréltük az első két oszlopot, majd az új első oszlopot adtuk a harmadikhoz. A középső lépésnél a determináns előjelet vált, a másik kettőnél nem változik. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -830,7 +832,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/1. -N-}] - Mik az A = \mathbb{R}^3x3 mátrix sajátértékei? + Mik az A = $\mathbb{R}^3x3$ mátrix sajátértékei? \tcblower @@ -843,7 +845,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/2. -N-}] - Írjunk föl egy olyan mátrixot, amelynek karakterisztikus polinomja $(1−{\lambda})(2−{\lambda})(3−{\lambda})$. + Írjunk föl egy olyan mátrixot, amelynek karakterisztikus polinomja $(1-{\lambda})(2-{\lambda})(3-{\lambda})$. \tcblower @@ -856,34 +858,34 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/3. -R-}] - Írjunk föl egy olyan nem diagonalizálható mátrixot, melynek karakterisztikus polinomja {\lambda}2. + Írjunk föl egy olyan nem diagonalizálható mátrixot, melynek karakterisztikus polinomja ${\lambda}2$. \tcblower \mmedskip - Pl. A = + Pl. $A =$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/4. -Q-}] - Az A = \in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix nem diagonalizálható R fölött. Mik c lehetséges értékei? + Az $A = \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrix nem diagonalizálható $\mathbb{R}$ fölött. Mik $c$ lehetséges értékei? \tcblower \mmedskip - c ≤ 0 + $c \leq 0$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/5. -Q-}] - Milyen c \in R valós értékekre lesz az 1 2 0 c \in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix diagonalizálható? + Milyen $c \in \mathbb{R}$ valós értékekre lesz az 1 2 0 $c \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrix diagonalizálható? \tcblower @@ -896,7 +898,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/6. -Q-}] - Az A =a b c d\in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrixra . Mennyi az a + 1 b c d + 1 mátrix determinánsa? det a + 1 b c + Az $A =a b c d \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrixra . Mennyi az $a + 1 b c d + 1$ mátrix determinánsa? $det a + 1 b c$ \tcblower @@ -909,7 +911,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/6. -Q-}] - Egy mátrix valós sajátértékeit a karakterisztikus polinom valós gyökei adják: a főátló minden eleméből levonunk {\lambda}-t és kiszámítjuk a determinánst. Felső háromszögmátrix, speciálisan diagonális mátrix esetén a sajátértékek a főátlóból leolvashatók. A sajátvektorokat minden egyes sajátértékhez egy-egy lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg. A diagonalizálhatóság feltétele az, hogy legyen „elegendő” sajátvektor, azaz a tér dimenziószámával megegyező mennyiségű lineárisan független sajátvektor. A harmadik feladat mátrixa esetében ez nem teljesül, mert a sajátvektorokr 0T alakúak, ahol r 6= 0 (azaz a 0-hoz tartozó sajátaltér egydimenziós). Gyakran használt elégséges feltétel, hogy egy nxn-es mátrix diagonalizálható R fölött, ha n különböző valós sajátértéke van. A negyedik feladat mátrixának karakterisztikus polinomja {\lambda}2−c. Ennek c > 0-ra két különböző valós gyöke van, tehát ilyenkor a mátrix diagonalizálható; c < 0-ra nincs valós gyök, ezért R fölött nem diagonalizálhatjuk a mátrixot; végül c = 0-ra a megoldást a harmadik feladat adja. Hasonló érvelés adható az ötödik feladatnál is. A hatodik feladat feltétele azt mutatja, hogy a −1 sajátértéke a mátrixnak, ha tehát −1-et levonunk a főátló minden eleméből, épp az A−(−1)I2 mátrixot kapjuk, aminek a determinánsa 0, hiszen −1 gyöke a karakterisztikus polinomnak. + Egy mátrix valós sajátértékeit a karakterisztikus polinom valós gyökei adják: a főátló minden eleméből levonunk ${\lambda}$-t és kiszámítjuk a determinánst. Felső háromszögmátrix, speciálisan diagonális mátrix esetén a sajátértékek a főátlóból leolvashatók. A sajátvektorokat minden egyes sajátértékhez egy-egy lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg. A diagonalizálhatóság feltétele az, hogy legyen „elegendő” sajátvektor, azaz a tér dimenziószámával megegyező mennyiségű lineárisan független sajátvektor. A harmadik feladat mátrixa esetében ez nem teljesül, mert a sajátvektorokr 0T alakúak, ahol r $6= 0$ (azaz a 0-hoz tartozó sajátaltér egydimenziós). Gyakran használt elégséges feltétel, hogy egy nxn-es mátrix diagonalizálható $\mathbb{R}$ fölött, ha n különböző valós sajátértéke van. A negyedik feladat mátrixának karakterisztikus polinomja ${\lambda}2$-c. Ennek c > 0-ra két különböző valós gyöke van, tehát ilyenkor a mátrix diagonalizálható; $c < 0$-ra nincs valós gyök, ezért $\mathbb{R}$ fölött nem diagonalizálhatjuk a mátrixot; végül c = 0-ra a megoldást a harmadik feladat adja. Hasonló érvelés adható az ötödik feladatnál is. A hatodik feladat feltétele azt mutatja, hogy a -1 sajátértéke a mátrixnak, ha tehát -1-et levonunk a főátló minden eleméből, épp az $A-(-1)I2$ mátrixot kapjuk, aminek a determinánsa 0, hiszen -1 gyöke a karakterisztikus polinomnak. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -925,46 +927,46 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/1. -N-}] - Mi a kétdimenziós valós sík, azaz \mathbb{R}^2 origó körüli +90 fokos forgatásának mátrixa az i és j bázisban? + Mi a kétdimenziós valós sík, azaz $\mathbb{R}^2$ origó körüli $+90$ fokos forgatásának mátrixa az i és j bázisban? \tcblower \mmedskip - [ϕ]i,j;i,j = 0 −1 1 0 + $[{\varphi}]i,j;i,j = 0 -1 1 0$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/2. -R-}] - Mi a háromdimenziós valós tér, azaz \mathbb{R}^3 x-y-síkra való tükrözésének a mátrixa az j,k,i bázisban? (Itt a bázisvektorok sorrendje a megszokottól eltérő.) + Mi a háromdimenziós valós tér, azaz $\mathbb{R}^3$ x-y-síkra való tükrözésének a mátrixa az $j,k,i$ bázisban? (Itt a bázisvektorok sorrendje a megszokottól eltérő.) \tcblower \mmedskip - [ϕ]j,k,i;j,k,i = + $[{\varphi}]j,k,i;j,k,i =$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/3. -N-}] - Mik a kétdimenziós valós sík, azaz \mathbb{R}^2 origóra való tükrözésének sajátértékei? + Mik a kétdimenziós valós sík, azaz $\mathbb{R}^2$ origóra való tükrözésének sajátértékei? \tcblower \mmedskip - −1 + -1 \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/4. -R-}] - Az \mathbb{R}^2 egy ϕ lineáris transzformációjára ϕ(i) = 2i és ϕ(j) = i + 3j. Mik ϕ sajátértékei? + Az $\mathbb{R}^2 egy {\varphi}$ lineáris transzformációjára ${\varphi}(i) = 2i és {\varphi}(j) = i + 3j$. Mik ${\varphi}$ sajátértékei? \tcblower @@ -977,7 +979,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/4. -R-}] - Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix. Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba. Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből (A′ = S−1AS). Az ötödik feladatban a képletre nincs szükség: az első bázisvektor, b1 kétszeresének a képe szintén önmaga, azaz 2b1, s így az új mátrix első oszlopában az első koordináta 1, a többi meg 0. Ugyanakkor a b2 és b3 képében fele annyit kell „vennünk” 2b1-ből, mint b1-ből, tehát az első sor második és harmadik eleme a felére csökken. Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit. Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban 2 1 0 3. Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a −1. A hatodik és a hetedik feladatban felírhatjuk, hogy ϕ({\lambda}e1 + {\mu}e2) = {\mu}(e1 + e2). Ez akkor nulla, azaz {\lambda}e1 + {\mu}e2 akkor van a magtérben, ha {\mu} = 0. A képtér elemei pedig e1 + e2 többszörösei. A nyolcadik feladatban azt is lehet használni, hogy [ϕ(v)]B = [ϕ]B[v]B. Az Mx y zT = 0 egyenlet megoldása: x és y tetszőleges, z = 0. A magtér tehát kétdimenziós. Megoldható a feladat a dimenzióösszefüggés segítségével is, amely szerint a magtér dimenziója a mátrix oszlopainak száma mínusz a mátrix rangja. Harmadik megoldásként láthatjuk, hogy két bázisvektor a nullába megy, ezért a magtér legalább kétdimenziós, de háromdimenziós nem lehet, mert a mátrix nem nulla. + Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix. Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba. Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből $(A' = S-1AS)$. Az ötödik feladatban a képletre nincs szükség: az első bázisvektor, $b1$ kétszeresének a képe szintén önmaga, azaz $2b1$, s így az új mátrix első oszlopában az első koordináta $1$, a többi meg $0$. Ugyanakkor a $b2$ és $b3$ képében fele annyit kell „vennünk” $2b1$-ből, mint $b1$-ből, tehát az első sor második és harmadik eleme a felére csökken. Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit. Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban $2 1 0 3$ . Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a $-1$. A hatodik és a hetedik feladatban felírhatjuk, hogy ${\varphi}({\lambda}e1 + {\mu}e2) = {\mu}(e1 + e2)$. Ez akkor nulla, azaz ${\lambda}e1 + {\mu}e2$ akkor van a magtérben, ha ${\mu} = 0$. A képtér elemei pedig $e1 + e2$ többszörösei. A nyolcadik feladatban azt is lehet használni, hogy $[{\varphi}(v)]B = [{\varphi}]B[v]B$. Az $M[x y z]T = 0$ egyenlet megoldása: $x$ és $y$ tetszőleges, $z = 0$. A magtér tehát kétdimenziós. Megoldható a feladat a dimenzióösszefüggés segítségével is, amely szerint a magtér dimenziója a mátrix oszlopainak száma mínusz a mátrix rangja. Harmadik megoldásként láthatjuk, hogy két bázisvektor a nullába megy, ezért a magtér legalább kétdimenziós, de háromdimenziós nem lehet, mert a mátrix nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -992,13 +994,13 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/1. -N-}] - Mennyi az1 1 1 1T és az1 −1 −1 −1T vektorok szöge R4-ben, a szokásos ha,bi = aTb skaláris szorzatra nézve? + Mennyi az$[1 1 1 1]T$ és az $[1 -1 -1 -1]T$ vektorok szöge $\mathbb{R}^4$-ben, a szokásos ha, $bi = aTb$ skaláris szorzatra nézve? \tcblower \mmedskip - Szögük: 120◦ + Szögük: $120^{\circ}$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1006,47 +1008,47 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/2. -R-}] - Az 1 1 + i iT \in C3 vektor ha,bi = b∗a mellett merőleges az 1 1 + i cT vektorra. Határozzuk meg c \in C értékét. + Az $[1 1 + i i]T \in C3$ vektor ha, $bi = b*a$ mellett merőleges az $[1 1 + i c]T$ vektorra. Határozzuk meg $ \in C$ értékét. \tcblower \mmedskip - c = −3i + c = -3i \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/3. -R-}] - Álljon W az \mathbb{R}^3 azon vektoraiból, amelyek merőlegesek a0 1 1T és1 1 0T vektorok mindegyikére. Adjunk meg egy bázist W-ben. + Álljon $W az \mathbb{R}^3$ azon vektoraiból, amelyek merőlegesek $a[0 1 1]T$ és $[1 1 0]T$ vektorok mindegyikére. Adjunk meg egy bázist $W$-ben. \tcblower \mmedskip - {1 −1 1T} + $\{[1 -1 1]T\}$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/4. -Q-}] - Mely a,b \in R értékekre lesz |3a + 4b| = 5√a2 + b2 + Mely $a,b \in \mathbb{R}$ értékekre lesz $|3a + 4b| = 5a2 + b2$ \tcblower \mmedskip - [a,b] = {\lambda}[3,4], {\lambda} \in R + $[a,b] = {\lambda}[3,4], {\lambda} \in \mathbb{R}$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/4. -Q-}] - A szokásos skaláris szorzatot \mathbb{R}^n-ben az ha,bi = aTb összefüggés adja meg; két vektor merőlegessége azt jelenti, hogy a skaláris szorzatuk nulla. \mathbb{R}^n-ben a vektorok szögét a cosγ = ha,bi kak \cdot kbk összefüggéssel definiáljuk, erről szól az első feladat. (A megoldáshoz érdemes átismételni a szögfüggvények értékét a nevezetes szögeken.) A második feladat esetében a skaláris szorzat kiszámításánál vigyázzunk arra, hogy a második tényező komponenseit meg kell konjugálni. A harmadik feladatnál lineáris egyenletrendszert kapunk W elemeinek komponenseire. A negyedik feladat esetében arra kell ráismerni, hogy a feladatbeli egyenlet az u = [3 4]T és a v = [a b]T vektorokra írja föl az |hu,vi| = kuk \cdot kvk összefüggést, ami a Cauchy-egyenlőtlenség alapján akkor és csak akkor teljesülhet, ha u és v párhuzamosak. + A szokásos skaláris szorzatot $\mathbb{R}^n$-ben az ha, $bi = aTb$ összefüggés adja meg; két vektor merőlegessége azt jelenti, hogy a skaláris szorzatuk nulla. $\mathbb{R}^n$-ben a vektorok szögét a $cos{\gamma} =$ ha,$bi kak \cdot kbk$ összefüggéssel definiáljuk, erről szól az első feladat. (A megoldáshoz érdemes átismételni a szögfüggvények értékét a nevezetes szögeken.) A második feladat esetében a skaláris szorzat kiszámításánál vigyázzunk arra, hogy a második tényező komponenseit meg kell konjugálni. A harmadik feladatnál lineáris egyenletrendszert kapunk W elemeinek komponenseire. A negyedik feladat esetében arra kell ráismerni, hogy a feladatbeli egyenlet az u = [3 4]T és a $v = [a b]T$ vektorokra írja föl az $|hu,vi| = kuk \cdot kvk$ összefüggést, ami a Cauchy-egyenlőtlenség alapján akkor és csak akkor teljesülhet, ha $u$ és $v$ párhuzamosak. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1060,34 +1062,34 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={11/1. -N-}] - Ha [a]i,j,k = 0 1 1T és a [b]i,j,k = 1 1 0T, akkor számítsuk ki az a és b vektorok vektoriális szorzatát (koordinátákkal). + Ha [a]i,j,k = [0 1 1]T és a [b]i,j,k = [1 1 0]T, akkor számítsuk ki az a és b vektorok vektoriális szorzatát (koordinátákkal). \tcblower \mmedskip - −1 1 −1T + [-1 1 -1]T \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={11/1. -N-}] - A vektoriális szorzat koordinátáinak kiszámításához érdemes a „determinásos” képletet használni: egy 3 x 3-as determináns első sorába az i, j, k vektorokat írjuk, a másik két sorba pedig a megadott vektorok koordinátáit, majd a determinánst (formálisan) kifejtjük az első sora szerint. Ekkor az i, j, k vektorok egy lineáris kombinációját kapjuk: ez lesz a vektoriális szorzat és így a leggyorsabb megoldani az első feladatot. Ebből a képletből láthatjuk azt is, hogy a vegyes szorzat is egy olyan determináns értéke, amelynek soraiban a három megadott vektor van alkalmas sorrendben. Speciálisan három vektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, azaz akkor és csak akkor vannak egy síkban, ha a vegyes szorzatuk nulla. Ez kapcsolódik a második és a harmadik feladat (B) részéhez is. Az utolsó három feladatban érdemes a derékszögű koordinátarendszerben a három tengelyirányú egységvektorra, i-re, j-re és k-ra nézni a vektoriális szorzat hatását, ezekkel érdemes kísérletezni az utolsó három feladatban. A második feladat (A) részében könnyű látni, hogy ha a és b nem esnek egy irányba, akkor a x b merőleges lesz az általuk meghatározott síkra, s ekkor c lehet akár a-val is egyenlő, az (a x b) x c vektoriális szorzat nem lesz a nullvektor. A (C) részben ha a és b vagy b és c párhuzamosak, akkor az ő vektoriális szorzatuk 0, és így 0 lesz a teljes vektoriális szorzat is. Ha viszont egyik vektorpár sem párhuzamos, akkor mindkét esetben ugyanazt a síkot feszítik ki (hiszen a,b és c lineárisan összefüggők), és így mindkét vektorpár vektoriális szorzata a síkra merőleges lesz, vagyis ezek párhuzamos vektorok, vektoriális szorzatuk tehát biztosan 0. A (D) esetben pedig pl. a = c = i, b = j esetén a szorzat értéke k és −k skaláris szorzata lesz, tehát nem 0. Hasonló okoskodással lehet kielemezni az utolsó két feladatban szereplő állítások igazságértékét is. + A vektoriális szorzat koordinátáinak kiszámításához érdemes a „determinásos” képletet használni: egy 3 x 3-as determináns első sorába az i, j, k vektorokat írjuk, a másik két sorba pedig a megadott vektorok koordinátáit, majd a determinánst (formálisan) kifejtjük az első sora szerint. Ekkor az i, j, k vektorok egy lineáris kombinációját kapjuk: ez lesz a vektoriális szorzat és így a leggyorsabb megoldani az első feladatot. Ebből a képletből láthatjuk azt is, hogy a vegyes szorzat is egy olyan determináns értéke, amelynek soraiban a három megadott vektor van alkalmas sorrendben. Speciálisan három vektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, azaz akkor és csak akkor vannak egy síkban, ha a vegyes szorzatuk nulla. Ez kapcsolódik a második és a harmadik feladat (B) részéhez is. Az utolsó három feladatban érdemes a derékszögű koordinátarendszerben a három tengelyirányú egységvektorra, i-re, j-re és k-ra nézni a vektoriális szorzat hatását, ezekkel érdemes kísérletezni az utolsó három feladatban. A második feladat (A) részében könnyű látni, hogy ha a és b nem esnek egy irányba, akkor a x b merőleges lesz az általuk meghatározott síkra, s ekkor c lehet akár a-val is egyenlő, az (a x b) x c vektoriális szorzat nem lesz a nullvektor. A (C) részben ha a és b vagy b és c párhuzamosak, akkor az ő vektoriális szorzatuk 0, és így 0 lesz a teljes vektoriális szorzat is. Ha viszont egyik vektorpár sem párhuzamos, akkor mindkét esetben ugyanazt a síkot feszítik ki (hiszen a,b és c lineárisan összefüggők), és így mindkét vektorpár vektoriális szorzata a síkra merőleges lesz, vagyis ezek párhuzamos vektorok, vektoriális szorzatuk tehát biztosan 0. A (D) esetben pedig pl. $a = c = i$, $b = j$ esetén a szorzat értéke k és -k skaláris szorzata lesz, tehát nem 0. Hasonló okoskodással lehet kielemezni az utolsó két feladatban szereplő állítások igazságértékét is. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame}[plain] \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] - {\RHuge (12) Kvadratikus alakok jellege (definitsége)} + {\RHuge (12) Kvadratikus alakok jellege (definitsége)} \mmedskip \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/1. -N-}] - Számítsuk ki az1 2 2 1mátrix által meghatározott kvadratikus alak értékét az1 2T vektoron. + Számítsuk ki az 1 2 2 1 mátrix által meghatározott kvadratikus alak értékét az[1 2]T vektoron. \tcblower @@ -1100,50 +1102,48 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/2. -R-}] - Adjunk meg egy v \in \mathbb{R}^2 vektort, melyen az A = 1 2 2 1 mátrix által meghatározott kvadratikus alak negatív értéket vesz föl. + Adjunk meg egy $v \in \mathbb{R}^2$ vektort, melyen az $A = 1 2 2 1$ mátrix által meghatározott kvadratikus alak negatív értéket vesz föl. \tcblower \mmedskip - Pl. v =  1 −1 + Pl. $v = 1 -1 $ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/3. -R-}] - Adjuk meg az  -a b c b 1 −2 c −2 −1 - \in \mathbb{R}^3x3 mátrix által meghatározott bilineáris függvény kvadratikus karakterét (definitségét). + Adjuk meg a $in \mathbb{R}^3x$3 mátrix által meghatározott bilineáris függvény kvadratikus karakterét (definitségét). \tcblower \mmedskip - Indefinit. + Indefinit. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] - Milyen c \in R valós értékekre lesz az1 c c c\in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix által meghatározott kvadratikus alak pozitív definit? + Milyen $c \in \mathbb{R}$ valós értékekre lesz az $1 c c c \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrix által meghatározott kvadratikus alak pozitív definit? \tcblower \mmedskip - 0 < c < 1 + $0 < c < 1$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] - Egy szimmetrikus, valós A mátrixhoz tartozó kvadratikus alak Q(u) = uTAu. Abban az esetben ha A = a b b d és u = x yT, akkor Q(u) = ax2 + 2bxy + dy2. A második feladatban tehátolyan x és y számokat kell keresnünk, amelyekre x2 + 4xy + y2 negatív. Ha észrevesszük, hogy x2 + 4xy + y2 = x2 + 4xy + 4y2 −3y2 = (x + 2y)2 −3y2, akkor már könnyen találunk ilyen értékeket (de az alábbiak szerint a mátrix egyik sajátvektora is megfelelő). A kvadratikus alak jellege (karaktere, definitsége) azt mondja meg, milyen valós értékeket vesz föl a nem nulla vektorokon. Ezt a tulajdonságot le tudjuk olvasni a mátrix sajátértékeiből (amik szimmetrikus mátrix esetén mindig valósak), pontosabban azok előjeléből: Q(u), u 6= 0 sajátértékek előjele: jelleg: mindig pozitív mind pozitív pozitív definit mindig negatív mind negatív negatív definit mindig nemnegatív mind nemnegatív pozitív szemidefinit mindig nempozitív mind nempozitív negatív szemidefinit van pozitív is, negatív is van pozitív is, negatív is indefinit Ha u = ei (a triviális bázis i-edik vektora), akkor Q(u) az A mátrix főátlójának i-edik eleme. A harmadik feladatban a második és a harmadik diagonális elem pozitív, illetve negatív, s így kvadratikus alak pozitív és negatív értékeket is fölvesz, tehát biztosan indefinit. Bizonyos esetekben a következő kritérium segítségével is leolvasható a kvadratikus alak jellege. Legyen ∆0 = 1 és ∆k a mátrix bal fölső sarkában lévő k xk-as részmátrix determinánsa (ez az ún. karakterisztikus sorozat). Pl. a karakterisztikus sorozat pontosan akkor áll csupa pozitív értékből, ha a kvadratikus alakunk pozitív definit. A negyedik feladatnál ezt a feltételt használjuk: az 1x1-es részmátrixhoz tartozó tag pozitív, s a pozitív definitség azzal lesz ekvivalens, hogy a determináns, c−c2 = c(1−c) is pozitív. Ez csak a jelzett intervallumban valósulhat meg. + Egy szimmetrikus, valós A mátrixhoz tartozó kvadratikus alak $Q(u) = uTAu$. Abban az esetben ha $A = a b b d$ és $u = [x y]T$, akkor $Q(u) = ax2 + 2bxy + dy2$. A második feladatban tehátolyan $x$ és $y$ számokat kell keresnünk, amelyekre $x2 + 4xy + y2$ negatív. Ha észrevesszük, hogy $x2 + 4xy + y2 = x2 + 4xy + 4y2 -3y2 = (x + 2y)2 -3y2$, akkor már könnyen találunk ilyen értékeket (de az alábbiak szerint a mátrix egyik sajátvektora is megfelelő). A kvadratikus alak jellege (karaktere, definitsége) azt mondja meg, milyen valós értékeket vesz föl a nem nulla vektorokon. Ezt a tulajdonságot le tudjuk olvasni a mátrix sajátértékeiből (amik szimmetrikus mátrix esetén mindig valósak), pontosabban azok előjeléből: $Q(u), u 6= 0$ sajátértékek előjele: jelleg: mindig pozitív mind pozitív pozitív definit mindig negatív mind negatív negatív definit mindig nemnegatív mind nemnegatív pozitív szemidefinit mindig nempozitív mind nempozitív negatív szemidefinit van pozitív is, negatív is van pozitív is, negatív is indefinit Ha $u = ei$ (a triviális bázis i-edik vektora), akkor $Q(u)$ az A mátrix főátlójának i-edik eleme. A harmadik feladatban a második és a harmadik diagonális elem pozitív, illetve negatív, s így kvadratikus alak pozitív és negatív értékeket is fölvesz, tehát biztosan indefinit. Bizonyos esetekben a következő kritérium segítségével is leolvasható a kvadratikus alak jellege. Legyen ${\Delta}0 = 1$ és ${\Delta}k$ a mátrix bal fölső sarkában lévő $k xk$-as részmátrix determinánsa (ez az ún. karakterisztikus sorozat). Pl. a karakterisztikus sorozat pontosan akkor áll csupa pozitív értékből, ha a kvadratikus alakunk pozitív definit. A negyedik feladatnál ezt a feltételt használjuk: az 1x1-es részmátrixhoz tartozó tag pozitív, s a pozitív definitség azzal lesz ekvivalens, hogy a determináns, $c-c2 = c(1-c)$ is pozitív. Ez csak a jelzett intervallumban valósulhat meg. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1158,95 +1158,93 @@ a b c b 1 −2 c −2 −1 \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] - Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál zárójelben néhol magyarázó megjegyzések is vannak, ezeket nem kell leírni a teljes pontszám eléréséhez. + Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál zárójelben néhol magyarázó megjegyzések is vannak, ezeket nem kell leírni a teljes pontszám eléréséhez. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1}] - Mit jelent az, hogy egy W {\subseteq} \mathbb{R}^n részhalmaz altér? + Mit jelent az, hogy egy $W {\subseteq} \mathbb{R}^n$ részhalmaz altér? \tcblower -W {\subseteq} \mathbb{R}^n altér \mathbb{R}^n-ben, ha: 1) W nem üres; 2) a,b \in W esetén a + b \in W (azaz W zárt az összeadásra); 3) a \in W és {\lambda} \in R esetén {\lambda}a \in W (azaz W zárt a skalárral szorzásra). (Ahelyett, hogy W nem üres, azt is írhatjuk, hogy 0 \in W.) +$W {\subseteq} \mathbb{R}^n altér \mathbb{R}^n-ben$, ha: 1) $W$ nem üres; 2) $a,b \in W$ esetén $a + b \in W$ (azaz W zárt az összeadásra); 3) $a \in W és {\lambda} \in \mathbb{R}$ esetén ${\lambda}a \in W$ (azaz $W$ zárt a skalárral szorzásra). (Ahelyett, hogy $W$ nem üres, azt is írhatjuk, hogy $0 \in W$.) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2}] - Definiáljuk, mit jelent az, hogy a v1,...,vk \in \mathbb{R}^n vektorrendszer lineárisan független. + Definiáljuk, mit jelent az, hogy a $v1,...,vk \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineárisan független. \tcblower -A v1,...,vk vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort. Képletben: tetszőleges {\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R esetén, ha {\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0, akkor minden i-re {\lambda}i = 0. +A $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort. Képletben: tetszőleges ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in \mathbb{R}$ esetén, ha ${\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}i = 0$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3}] - Mit jelent az, hogy a v1,...,vk \in \mathbb{R}^n vektorrendszer lineárisan összefüggő? A válaszban ne hivatkozzunk a lineáris függetlenség fogalmára. + Mit jelent az, hogy a $v1,...,vk \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineárisan összefüggő? A válaszban ne hivatkozzunk a lineáris függetlenség fogalmára. \tcblower -A v1,...,vk vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (azaz nem lineárisan független), ha léteznek olyan {\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R nem mind nulla számok, melyekre {\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0.) +A $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (azaz nem lineárisan független), ha léteznek olyan ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in \mathbb{R}$ nem mind nulla számok, melyekre ${\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0$.) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4}] - Mit jelent az, hogy egy v vektor lineárisan függ az a1,...,ak \in \mathbb{R}^n vektoroktól? + Mit jelent az, hogy egy v vektor lineárisan függ az $a1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektoroktól? \tcblower -Azt jelenti, hogy v felírható a1,...,ak lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan {\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R skalárok, melyekre v = {\lambda}1a1 + {\lambda}2a2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kak. +Azt jelenti, hogy v felírható $a1,...,ak$ lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in \mathbb{R}$ skalárok, melyekre $v = {\lambda}1a1 + {\lambda}2a2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kak$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={5}] - Jellemezzük egy a1,...,ak \in \mathbb{R}^n vektorrendszer lineáris összefüggőségét a lineáris függés fogalmával. + Jellemezzük egy $a1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineáris összefüggőségét a lineáris függés fogalmával. \tcblower -Egy a1,...,ak \in \mathbb{R}^n vektorrendszer (k \geq 2 esetén) pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha valamelyik i-re ai lineárisan függ az a1,...,ai−1,ai+1,...,ak vektoroktól. +Egy $a1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer ($k \geq 2$ esetén) pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha valamelyik i-re $ai$ lineárisan függ az $a1,...,ai-1,ai+1,...,ak$ vektoroktól. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6}] - Definiáljuk egy V ≤ \mathbb{R}^n altér bázisának fogalmát. + Definiáljuk egy $V \leq \mathbb{R}^n$ altér bázisának fogalmát. \tcblower -Egy b1,...,bk vektorrendszert akkor mondunk a V ≤ \mathbb{R}^n altér bázisának, ha lineárisan független, és V minden vektorát előállíthatjuk a bi vektorok lineáris kombinációjaként. (A lineáris függetlenség helyettesíthető azzal a feltétellel, hogy ez a felírás egyértelmű, az előállíthatóság pedig azzal, hogy generátorrendszerről van szó.) +Egy $b1,...,bk$ vektorrendszert akkor mondunk a $V \leq \mathbb{R}^n$ altér bázisának, ha lineárisan független, és V minden vektorát előállíthatjuk a bi vektorok lineáris kombinációjaként. (A lineáris függetlenség helyettesíthető azzal a feltétellel, hogy ez a felírás egyértelmű, az előállíthatóság pedig azzal, hogy generátorrendszerről van szó.) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7}] - Definiáljuk egy a \in V ≤ \mathbb{R}^n vektor koordinátavektorát a V egy b1,...,bk bázisában fölírva. + Definiáljuk egy $a \in V \leq \mathbb{R}^n$ vektor koordinátavektorát a $V$ egy $b1,...,bk$ bázisában fölírva. \tcblower -Az a vektor koordinátavektora pontosan akkor [a]b1,...,bk = -  -{\lambda}1 . . . {\lambda}k -  -, ha a = {\lambda}1b1+ \cdot \cdot \cdot +{\lambda}kbk. +Az a vektor koordinátavektora pontosan akkor $[a]b1,...,bk =$ +${\lambda}1 . . . {\lambda}k$ +, ha $a = {\lambda}1b1+ \cdot \cdot \cdot +{\lambda}kbk$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8}] - Egy A {\subseteq} \mathbb{R}^n vektorhalmaz esetén adjuk meg az A által generált altér egy jellemzését. + Egy $A {\subseteq} \mathbb{R}^n$ vektorhalmaz esetén adjuk meg az $A$ által generált altér egy jellemzését. \tcblower -Az A által generált altér azokból az \mathbb{R}^n-beli vektorokból áll, amelyek előállnak A-beli vektorok lineáris kombinációiként, azaz amelyek lineárisan függnek az A-beli vektoroktól. (Ez a halmaz megegyezik az A-t tartalmazó \mathbb{R}^n-beli alterek metszetével.) +Az A által generált altér azokból az $\mathbb{R}^n$-beli vektorokból áll, amelyek előállnak $A$-beli vektorok lineáris kombinációiként, azaz amelyek lineárisan függnek az $A$-beli vektoroktól. (Ez a halmaz megegyezik az $A$-t tartalmazó $\mathbb{R}^n$-beli alterek metszetével.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1268,10 +1266,10 @@ Minden lineárisan független rendszer elemszáma legfeljebb akkora, mint bárme \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10}] - Definiáljuk egy V ≤ \mathbb{R}^n altér dimenzióját, dimV -t. + Definiáljuk egy $V \leq \mathbb{R}^n$ altér dimenzióját, $dimV$ -t. \tcblower -dimV a V egy bázisának elemszáma, illetve 0, ha V = {0}. (Ez a definíció azért értelmes, mert bármely két bázis elemszáma egyenlő.) +$dimV$ a $V$ egy bázisának elemszáma, illetve 0, ha $V = \{0\}$. (Ez a definíció azért értelmes, mert bármely két bázis elemszáma egyenlő.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1280,11 +1278,11 @@ dimV a V egy bázisának elemszáma, illetve 0, ha V = {0}. (Ez a definíció a \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={11}] - Definiáljuk egy v1,...,vk \in \mathbb{R}^n vektorrendszer rangját, r(v1,...,vk)-t. + Definiáljuk egy $v1,...,vk \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer rangját, $r(v1,...,vk)$-t. \tcblower -r(v1,...,vk) = dimSpan(v1,...,vk), azaz egy vektorrendszer rangja megegyezik az általa generált (kifeszített) altér dimenziójával. +$r(v1,...,vk) = dimSpan(v1,...,vk)$, azaz egy vektorrendszer rangja megegyezik az általa generált (kifeszített) altér dimenziójával. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1292,12 +1290,12 @@ r(v1,...,vk) = dimSpan(v1,...,vk), azaz egy vektorrendszer rangja megegyezik az \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12}] - Adjuk meg képlettel két mátrix, A \in Rkxℓ és B \in Rℓxn szorzatában, AB-ben az i-edik sor j-edik elemét, i[AB]j-t. Azt is mondjuk meg, i és j milyen értékére létezik ez az elem. + Adjuk meg képlettel két mátrix, $A \in Rkxl és B \in Rlxn$ szorzatában, $AB$-ben az $i$-edik sor $j$-edik elemét, $i[AB]j$-t. Azt is mondjuk meg, $i$ és $j$ milyen értékére létezik ez az elem. \tcblower -Ha 1 ≤ i ≤ k és 1 ≤ j ≤ n, akkor i[AB]j = +Ha $1 \leq i \leq k és 1 \leq j \leq n, akkor i[AB]j =$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1308,7 +1306,7 @@ Ha 1 ≤ i ≤ k és 1 ≤ j ≤ n, akkor i[AB]j = Mondjunk ki két, a mátrixok transzponálását a többi szokásos mátrixművelettel összekapcsoló összefüggést. \tcblower -A,B \in \mathbb{R}^{k x n} ⇒ (A + B)T = AT + BT {\lambda} \in R,A \in \mathbb{R}^{k x n} ⇒ ({\lambda}A)T = {\lambda}AT A \in Rkxℓ, B \in Rℓxn ⇒ (AB)T = BTAT +$A,B \in \mathbb{R}^{k x n} {\Rightarrow} (A + B)T = AT + BT {\lambda} \in R,A \in \mathbb{R}^{k x n} {\Rightarrow} ({\lambda}A)T = {\lambda}AT A \in Rkxl, B \in Rlxn {\Rightarrow} (AB)T = BTAT$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1317,10 +1315,10 @@ A,B \in \mathbb{R}^{k x n} ⇒ (A + B)T = AT + BT {\lambda} \in R,A \in \mathbb{ \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={14}] - Definiáljuk egy A \in \mathbb{R}^{k x n} mátrix oszloprangját, illetve sorrangját, ρO(A)-t és ρS(A)-t. + Definiáljuk egy $A \in \mathbb{R}^{k x n}$ mátrix oszloprangját, illetve sorrangját, ${\varrho}O(A)-t és {\varrho}S(A)$-t. \tcblower -Ha a1,...,an \in Rk a mátrix oszlopai, akkor ρO(A) = r(a1,...,ak), azaz az oszloprang az oszlopok rendszerének rangja (vagyis az oszlopok által generált altér dimenziója.) Analóg módon, a mátrix sorrangja a sorok által generált altér dimenziója, vagy másképpen: ρS(A) = ρO(AT). +Ha $a1,...,an \in Rk$ a mátrix oszlopai, akkor ${\varrho}O(A) = r(a1,...,ak)$, azaz az oszloprang az oszlopok rendszerének rangja (vagyis az oszlopok által generált altér dimenziója.) Analóg módon, a mátrix sorrangja a sorok által generált altér dimenziója, vagy másképpen: ${\varrho}S(A) = {\varrho}O(AT)$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1331,7 +1329,7 @@ Ha a1,...,an \in Rk a mátrix oszlopai, akkor ρO(A) = r(a1,...,ak), azaz az osz \tcblower -Ha létezik az AB mátrixszorzat, akkor ρO(AB) ≤ ρO(A). (Igaz a ρO(AB) ≤ ρO(B) becslés is.) +Ha létezik az $AB$ mátrixszorzat, akkor ${\varrho}O(AB) \leq {\varrho}O(A)$. (Igaz a ${\varrho}O(AB) \leq {\varrho}O(B)$ becslés is.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1339,10 +1337,10 @@ Ha létezik az AB mátrixszorzat, akkor ρO(AB) ≤ ρO(A). (Igaz a ρO(AB) ≤ \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={16}] - Mit nevezünk egy A \in \mathbb{R}^{n x m} mátrix jobb, illetve kétoldali inverzének? + Mit nevezünk egy $A \in \mathbb{R}^{n x m}$ mátrix jobb, illetve kétoldali inverzének? \tcblower -Az A(j) \in Rmxn mátrix jobb oldali inverze A-nak, ha AA(j) = In, ahol In az n x n-es egységmátrix. A−1 \in Rmxn kétoldali inverze A-nak, ha jobb oldali és bal oldali inverze is A-nak, azaz AA−1 = In, és A−1A = Im. (Ez utóbbi létezése esetén m = n.) +Az $A(j) \in \mathbb{R}^{m x n}$ mátrix jobb oldali inverze $A$-nak, ha $AA(j) = In$, ahol $In$ az $n x n$-es egységmátrix. $A-1 \in \mathbb{R}^{m x n}$ kétoldali inverze A-nak, ha jobb oldali és bal oldali inverze is A-nak, azaz AA-1 = In, és A-1A = Im. (Ez utóbbi létezése esetén m = n.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1350,10 +1348,10 @@ Az A(j) \in Rmxn mátrix jobb oldali inverze A-nak, ha AA(j) = In, ahol In az n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={17}] - A mátrixrang fogalmának fölhasználásával mondjuk ki annak szükséges és elégséges feltételét, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x m} mátrixnak létezzen jobb oldali inverze. + A mátrixrang fogalmának fölhasználásával mondjuk ki annak szükséges és elégséges feltételét, hogy az $A \in \mathbb{R}^{n x m}$ mátrixnak létezzen jobb oldali inverze. \tcblower -Az A \in \mathbb{R}^{n x m} mátrixnak pontosan akkor létezik jobb oldali inverze, ha ρ(A) = n, azaz a mátrix rangja megegyezik a sorainak a számával. +Az $A \in \mathbb{R}^{n x m}$ mátrixnak pontosan akkor létezik jobb oldali inverze, ha ${\varrho}(A) = n$, azaz a mátrix rangja megegyezik a sorainak a számával. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1361,10 +1359,10 @@ Az A \in \mathbb{R}^{n x m} mátrixnak pontosan akkor létezik jobb oldali inver \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={18}] - Definiáljuk a geometriai vektorok skaláris szorzatának fogalmát a vektorok hosszának és szögének segítségével. + Definiáljuk a geometriai vektorok skaláris szorzatának fogalmát a vektorok hosszának és szögének segítségével. \tcblower -Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometriai vektorok hajlásszögét. Ekkor az a és b skaláris szorzata ab = |a||b|cosγ(a,b). +Jelölje $|a|$ az a geometriai vektor hosszát, ${\gamma}(a,b)$ pedig az $a$ és $b$ geometriai vektorok hajlásszögét. Ekkor az $a$ és $b$ skaláris szorzata $ab = |a||b|cos{\gamma}(a,b)$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1372,9 +1370,13 @@ Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometria \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={19}] - Definiáljuk a geometriai vektorok vektoriális szorzatának fogalmát. + Definiáljuk a geometriai vektorok vektoriális szorzatának fogalmát. \tcblower -Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometriai vektorok hajlásszögét. Ekkor az a és b vektoriális szorzata az az a x b-vel jelölt vektor, melyre: 1) |a x b| = |a||b|sinγ(ab); 2) a x b ⊥ a,b; 3) ha |a x b| 6= 0, akkor a,b,a x b jobbrendszert alkot. +Jelölje $|a|$ az a geometriai vektor hosszát, ${\gamma}(a,b)$ pedig az $a$ és $b$ geometriai vektorok hajlásszögét. Ekkor az $a$ és $b$ vektoriális szorzata az az $a x b$-vel jelölt vektor, melyre:\\ + +1) $|a x b| = |a||b|sin{\gamma}(ab)$;\\ +2) $a x b {\perp} a,b$;\\ +3) ha $|a x b| 6= 0$, akkor $a,b,a x b$ jobbrendszert alkot. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1385,7 +1387,7 @@ Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometria Mondjuk ki a geometriai vektorokra vonatkozó kifejtési tételt. \tcblower -Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a x b) x c = (ac)b − (bc)a. +Ha $a,b,c$ geometriai vektorok, akkor $(a x b) x c = (ac)b - (bc)a$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1396,17 +1398,17 @@ Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a x b) x c = (ac)b − (bc)a. Mondjuk ki a geometriai vektorokra vonatkozó felcserélési tételt. \tcblower - Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a x b)c = a(b x c). + Ha $a,b,c$ geometriai vektorok, akkor $(a x b)c = a(b x c)$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={22}] - Definiáljuk a geometriai vektorok vegyesszorzatának fogalmát. + Definiáljuk a geometriai vektorok vegyesszorzatának fogalmát. \tcblower - Definiáljuk a geometriai vektorok vegyesszorzatának fogalmát. + Definiáljuk a geometriai vektorok vegyesszorzatának fogalmát. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1414,13 +1416,12 @@ Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a x b) x c = (ac)b − (bc)a. \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={23}] - Adjuk meg az A mátrix determinánsát definiáló képletet. Mit jelent ebben az I(i1,...,in) kifejezés? + Adjuk meg az A mátrix determinánsát definiáló képletet. Mit jelent ebben az I(i1,...,in) kifejezés? \tcblower -Legyen A =  -a11 ... a1n . . . . . . an1 ... ann - \in \mathbb{R}^{n x n}. Ekkor detA = X i1,...,in (1,...,n) -(−1)I(i1,...,in)a1i1a2i2 \cdot \cdot \cdot anin. -Itt az összegezés az {1,2,...,n} számok minden permutációjára történik, I(i1,...,in) pedig az adott permutáció inverzióinak a számát jelöli. +Legyen A =| | +$a11 ... a1n . . . . . . an1 ... ann \in \mathbb{R}^{n x n}$. Ekkor $detA = X i1,...,in (1,...,n) +(-1)I(i1,...,in)a1i1a2i2 \cdot \cdot \cdot anin$. +Itt az összegezés az $\{1,2,...,n\}$ számok minden permutációjára történik, $I(i1,...,in)$ pedig az adott permutáció inverzióinak a számát jelöli. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1428,10 +1429,10 @@ Itt az összegezés az {1,2,...,n} számok minden permutációjára történik, \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={24}] - Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix determinánsa nem nulla. + Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix determinánsa nem nulla. \tcblower -Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix determinánsa nem nulla. +Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix determinánsa nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1439,34 +1440,34 @@ Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A \in \mathbb{R \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={25}] - Mit értünk az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix i-edik sorának j-edik eleméhez tartozó előjelezett aldeterminánson, Aij-n? + Mit értünk az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix i-edik sorának j-edik eleméhez tartozó előjelezett aldeterminánson, $Aij$-n? \tcblower -Hagyjuk el az A mátrix i-edik sorát és a j-edik oszlopát; az így kapott (n−1)x(n−1)-es mátrixot jelölje Bij. Ekkor a keresett előjelezett aldetermináns: Aij = (−1)i+j detBij. +Hagyjuk el az $A$ mátrix $i$-edik sorát és a $j$-edik oszlopát; az így kapott $(n-1)x(n-1)$-es mátrixot jelölje $Bij$. Ekkor a keresett előjelezett aldetermináns: $Aij = (-1)i+j detBij$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={26}] - Adjuk meg képlettel az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix determinánsának i-edik sora szerinti kifejtését. A mátrix elemeit, illetve előjelezett aldeterminánsait aij, ill. Aij jelöli. + Adjuk meg képlettel az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix determinánsának $i$-edik sora szerinti kifejtését. A mátrix elemeit, illetve előjelezett aldeterminánsait $aij, ill$. $Aij$ jelöli. \tcblower -detA = +$detA =$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={28}] - DefiniáljukaVandermonde-determinánsfogalmát, ésmondjukkiazértékérevonatkozóállítást. + DefiniáljukaVandermonde-determinánsfogalmát, ésmondjukkiazértékérevonatkozóállítást. \tcblower -a1,...,an \in R, n \geq 2 esetén V (a1,...,an) = +$a1,...,an \in R, n \geq 2 esetén V (a1,...,an) =$ -= Y 1≤i 0. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A mátrix minden sajátértéke pozitív. +Q-t akkor nevezzük pozitív definitnek, ha minden $0 6= x \in \mathbb{R}^n$ vektorra $Q(x) > 0$. Ez pontosan akkor teljesül, ha az $A$ mátrix minden sajátértéke pozitív. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={46}] - Mondjuk meg, mit jelent az, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x n} szimmetrikus mátrixhoz tartozó Q kvadratikus alak negatív definit, és jellemezzük ezt az esetet az A karakterisztikus sorozata segítségével. + Mondjuk meg, mit jelent az, hogy az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ szimmetrikus mátrixhoz tartozó Q kvadratikus alak negatív definit, és jellemezzük ezt az esetet az A karakterisztikus sorozata segítségével. \tcblower -Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vektorra Q(x) < 0. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A karakterisztikus sorozata jelváltó. (Az A mátrix ∆o,...,∆n karakterisztikus sorozatának k-adik tagja az A bal fölső sarkában lévő k x k-as részmátrix determinánsa, illetve ∆o = 1.) +Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 6= x \in \mathbb{R}^n$ vektorra $Q(x) < 0$. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A karakterisztikus sorozata jelváltó. (Az A mátrix ${\Delta}o,...,{\Delta}n$ karakterisztikus sorozatának k-adik tagja az A bal fölső sarkában lévő $k x k$-as részmátrix determinánsa, illetve ${\Delta}o = 1$.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1694,18 +1695,18 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vekt Mondjuk ki azt az állítást, mely ezeket a fogalmakat összekapcsolja, és bizonyítsuk is be az állítást. \tcblower - Ha $k \geq 2$, akkor a $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan $i$, hogy $vi$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól (azaz előáll mint a $v1,...,vi−1,vi+1,...,vk$ vektorok lineáris kombinációja).\\ + Ha $k \geq 2$, akkor a $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan $i$, hogy $vi$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól (azaz előáll mint a $v1,...,vi-1,vi+1,...,vk$ vektorok lineáris kombinációja).\\ \mmedskip Tegyük föl először, hogy a megadott vektorrendszer lineárisan összefüggő.\\ Ez azt jelenti, hogy a nullvektornak van egy olyan $Pk i=1 {\lambda}ivi = 0$ előállítása, melynél valamelyik ${\lambda}i$ együttható (pl. a ${\lambda}i0$) nem $0$.\\ - Ekkor a $vi0$ kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, hiszen $vi0 = −(1/{\lambda}i0)Pj6=io {\lambda}jvj$.\\ + Ekkor a $vi0$ kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, hiszen $vi0 = -(1/{\lambda}i0)Pj6=io {\lambda}jvj$.\\ \mmedskip A fordított irányhoz tegyük föl, hogy $vi0$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól, azaz $vi0 = Pj6=i0 {\mu}jvj$ valamilyen ${\mu}j$ együtthatókra.\\ - De ekkor átrendezhetjük a fönti egyenlőséget úgy, hogy minden vektor az egyenlőség azonos oldalára kerüljön, s ekkor azt kapjuk, hogy a ${\mu}i0 = −1$ választással: $Pk i=1 {\mu}ivi = 0$. Ez nem triviális lineáris kombinációja a $vi$ vektoroknak, mert ${\mu}i0 = −1 6= 0$, tehát a vektorrendszer lineárisan összefüggő. + De ekkor átrendezhetjük a fönti egyenlőséget úgy, hogy minden vektor az egyenlőség azonos oldalára kerüljön, s ekkor azt kapjuk, hogy a ${\mu}i0 = -1$ választással: $Pk i=1 {\mu}ivi = 0$. Ez nem triviális lineáris kombinációja a $vi$ vektoroknak, mert ${\mu}i0 = -1 6= 0$, tehát a vektorrendszer lineárisan összefüggő. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1718,13 +1719,13 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vekt A feltétel szerint ugyanis léteznek olyan ${\lambda}1,...,{\lambda}k,{\mu}$ együtthatók, melyek közül legalább az egyik nem nulla, és melyekre $(Pk i=1 {\lambda}iai) + {\mu}b = 0$. Itt azonban ${\mu}$ nem lehet nulla, ellenkező esetben az $ai$ vektorok már önmagukban is előálítanák a nullvektort nem triviális módon, ez pedig ellentmond a lineáris függetlenségüknek.\\ - Ha átrendezzük az előbbi egyenlőséget úgy, hogy a $b$ vektort hagyjuk az egyik oldalon, akkor ${\mu}$-vel osztva $b = Pk i=1(−{\lambda}i/{\mu})ai$, ami azt mutatja, hogy $b$ lineárisan függ az $ai$ vektoroktól. + Ha átrendezzük az előbbi egyenlőséget úgy, hogy a $b$ vektort hagyjuk az egyik oldalon, akkor ${\mu}$-vel osztva $b = Pk i=1(-{\lambda}i/{\mu})ai$, ami azt mutatja, hogy $b$ lineárisan függ az $ai$ vektoroktól. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4. (4p)}] - Mondjuk ki az $\mathbb{R}^n$-beli alterek fogalmának a műveletekre való zártsággal való definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy $\mathbb{R}^n$ két alterének metszete is altér. + Mondjuk ki az $\mathbb{R}^n$-beli alterek fogalmának a műveletekre való zártsággal való definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy $\mathbb{R}^n$ két alterének metszete is altér. \tcblower $W {\subseteq} \mathbb{R}^n$ pontosan akkor altér, ha nem üres (ekvivalens módon itt azt is megkövetelhetjük, hogy a nullvektor benne van $W$-ben), továbbá $w1,w2 \in W$ esetén $w1 +w2 \in W$, valamint $w \in W és {\lambda} \in R$ esetén ${\lambda}w \in W$. Tegyük föl, hogy $W1,W2$ altér $\mathbb{R}^n$-ben.\\ @@ -1737,7 +1738,7 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vekt \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7. (4p)}] - Definiáljuk az $n x n$-es egységmátrix fogalmát, és mondjuk meg, mi lesz az eredménye az egységmátrixszal való szorzásnak.\\ + Definiáljuk az $n x n$-es egységmátrix fogalmát, és mondjuk meg, mi lesz az eredménye az egységmátrixszal való szorzásnak.\\ Igazoljuk az egységmátrixszal jobbról való szorzásra vonatkozó összefüggést. \tcblower @@ -1749,7 +1750,7 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vekt Az $AIn = A$ igazolásához jelölje $apq$ az $A$ mátrix általános elemét.\\ - A szorzatmátrixban az $i$-edik sor $j$-edik eleme a szorzás definíciója szerint $i[AIn]j = Pn t=1(ait{\delta}tj)$.\\ + A szorzatmátrixban az $i$-edik sor $j$-edik eleme a szorzás definíciója szerint $i[AIn]j = Pn t=1(ait{\delta}tj)$.\\ Ebben az összegben ${\delta}tj = 0$ ha $t 6= j$, ezért csak az egyetlen $aij{\delta}jj = aij$ tag marad meg. \end{tcolorbox} @@ -1760,17 +1761,17 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vekt \begin{tcolorbox}[title={8. (4p)}] Mondjuk ki és bizonyítsuk be a mátrixok szorzatának transzponáltjára kimondott összefüggést. \tcblower - Ha $A \in Rkxℓ$ és $B \in Rℓxn$, akkor $(AB)T = BTAT$. A szorzat transzponáltjának általános eleme ugyanis: $i[(AB)T]j = j[AB]i = Pℓ t=1 j[A]t \cdot t[B]i = Pℓ t=1 i[BT]t \cdot t[AT]j = i[BTAT]j$. + Ha $A \in Rkxl$ és $B \in Rlxn$, akkor $(AB)T = BTAT$. A szorzat transzponáltjának általános eleme ugyanis: $i[(AB)T]j = j[AB]i = Pl t=1 j[A]t \cdot t[B]i = Pl t=1 i[BT]t \cdot t[AT]j = i[BTAT]j$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={15. (4p)}] - Definiáljuk egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix jobb oldali sajátértékének fogalmát, majd igazoljuk, hogy az $A$ mátrix ${\lambda}$ sajátértékű (jobb oldali) sajátvektorai a nullvektorral kiegészítve alteret alkotnak $\mathbb{R}^n$-ben. + Definiáljuk egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix jobb oldali sajátértékének fogalmát, majd igazoljuk, hogy az $A$ mátrix ${\lambda}$ sajátértékű (jobb oldali) sajátvektorai a nullvektorral kiegészítve alteret alkotnak $\mathbb{R}^n$-ben. \tcblower ${\lambda} \in R$ jobb oldali sajátértéke $A$-nak, ha van olyan $0 6= v \in \mathbb{R}^n$ vektor, melyre $Av = {\lambda}v$. (Ilyenkor $v$-t a ${\lambda}$-hoz tartozó (egyik) sajátvektornak nevezhetjük.)\\ - Azt kell igazolnunk, hogy $W{\lambda} = {v \in \mathbb{R}^n |Av = {\lambda}v} ≤ \mathbb{R}^n$. Nyilván $0 \in W{\lambda}$, így $W{\lambda}$ nem üres. Ha $v1,v2 \in W{\lambda}$, akkor $A(v1 +v2) = Av1 +Av2 = {\lambda}v1 +{\lambda}v2 = {\lambda}(v1 +v2)$, azaz $W{\lambda}$ zárt az összeadásra. Végül, ha $v \in W{\lambda}$ és ${\mu} \in R$, akkor $A({\mu}v) = {\mu}Av = {\mu}({\lambda}v) = {\lambda}({\mu}v)$, vagyis $W{\lambda}$ zárt a skalárral való szorzásra is. + Azt kell igazolnunk, hogy $W{\lambda} = {v \in \mathbb{R}^n |Av = {\lambda}v} \leq \mathbb{R}^n$. Nyilván $0 \in W{\lambda}$, így $W{\lambda}$ nem üres. Ha $v1,v2 \in W{\lambda}$, akkor $A(v1 +v2) = Av1 +Av2 = {\lambda}v1 +{\lambda}v2 = {\lambda}(v1 +v2)$, azaz $W{\lambda}$ zárt az összeadásra. Végül, ha $v \in W{\lambda}$ és ${\mu} \in R$, akkor $A({\mu}v) = {\mu}Av = {\mu}({\lambda}v) = {\lambda}({\mu}v)$, vagyis $W{\lambda}$ zárt a skalárral való szorzásra is. \end{tcolorbox} \end{frame}