From 50340cc8031d76be102a9ed1a084277973e7f31b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Tue, 5 Jun 2018 22:50:34 +0200 Subject: [PATCH] Search and replace 2. --- .../Document.tex | 361 +++++++----------- 1 file changed, 143 insertions(+), 218 deletions(-) diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex index d05d30d..d5ae3fc 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex @@ -149,7 +149,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/1. -N-}] - A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ Rn$ altérben. Határozzuk meg a $v = 2b1 + 3b2 −b3$ vektor koordinátavektorát a $\{b1,b2,b3\}$ bázisban. + A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Határozzuk meg a $v = 2b1 + 3b2 −b3$ vektor koordinátavektorát a $\{b1,b2,b3\}$ bázisban. \tcblower A vektor bázisban vett koordinátavektorának fogalmát kéri számon.\\ @@ -162,13 +162,13 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/2. -R-}] - Legyen $B = \{b1,b2,b3\}$ bázis a $V ≤ Rn$ altérben. Egy $v ∈ V$ vektornak a $\{b1 + b2,b2 + b3,b3\}$ bázisban fölírt koordinátavektora $[v]b1+b2,b2+b3,b3 =$.\\ + Legyen $B = \{b1,b2,b3\}$ bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Egy $v \in V$ vektornak a $\{b1 + b2,b2 + b3,b3\}$ bázisban fölírt koordinátavektora $[v]b1+b2,b2+b3,b3 =$.\\ Mi $v$ koordinátavektora a $B$ bázisban? \tcblower A vektor bázisban vett koordinátavektorának fogalmát kéri számon.\\ - Kétlépéses, először a feladat szövegében megadott koordinátavektort írjuk át a bázisvektorok lineáris kombinációjává: $v = 1·(b1 + b2) + 1·(b2 + b3) + 0·(b3) = 1·b1 + 2·b2 + 1·b3$, majd az így kapott lineáris kombinációt koordinátavektorrá.\\ + Kétlépéses, először a feladat szövegében megadott koordinátavektort írjuk át a bázisvektorok lineáris kombinációjává: $v = 1 \cdot (b1 + b2) + 1 \cdot (b2 + b3) + 0 \cdot (b3) = 1 \cdot b1 + 2 \cdot b2 + 1 \cdot b3$, majd az így kapott lineáris kombinációt koordinátavektorrá.\\ \mmedskip $[v]b1,b2,b3 =$ @@ -177,7 +177,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/3. -R-}] - A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ Rn$ altérben. Ebben a bázisban a $v$, illetve $w$ vektorok koordinátorvektora $[v]b1,b2,b3 =  1 0 2   $ és $[w]b1,b2,b3 =  3 1 0   $. Írjuk föl a $v+2w$ vektort a $\{b1,b2,b3\}$ vektorok lineáris kombinációjaként. + A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Ebben a bázisban a $v$, illetve $w$ vektorok koordinátorvektora $[v]b1,b2,b3 =  1 0 2   $ és $[w]b1,b2,b3 =  3 1 0   $. Írjuk föl a $v+2w$ vektort a $\{b1,b2,b3\}$ vektorok lineáris kombinációjaként. \tcblower A feladat két fogalmat kérdez:\\ hogyan kell a koordinátákból kiszámítani a vektorokat, de még azt is tudni kell, hogy hogyan kell koordinátavektorokkal műveleteket végezni.\\ @@ -192,12 +192,12 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/4. -Q-}] - Tegyük föl, hogy a $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ Rn$ altérben. Mi lesz ezen $bi$ bázisvektorok $v$-vel jelölt összegénekakoordinátavektora a $\{b1+b2,b2,b3\}$ bázisban? + Tegyük föl, hogy a $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Mi lesz ezen $bi$ bázisvektorok $v$-vel jelölt összegénekakoordinátavektora a $\{b1+b2,b2,b3\}$ bázisban? \tcblower - Az a kérdés, hogy a $b1+b2+b3 = λ1(b1+b2)+λ2b2+λ3b3$ felírásban mennyi a $λi$ ismeretlenek értéke.\\| + Az a kérdés, hogy a $b1+b2+b3 = {\lambda}1(b1+b2)+{\lambda}2b2+{\lambda}3b3$ felírásban mennyi a ${\lambda}i$ ismeretlenek értéke.\\| Ezekre úgy kapunk lineáris egyenletrendszert, hogy a $bi$ bázisvektor együtthatóját az egyenlet két oldalán összehasonlítjuk.\\ - Azonnal látszik, hogy $b1 + b2 + b3 = 1·(b1 + b2) + 0·b2 + 1·b3$ megfelelő felírás, és ezért ezek az együtthatók adják a keresett koordinátavektort.\\ + Azonnal látszik, hogy $b1 + b2 + b3 = 1 \cdot (b1 + b2) + 0 \cdot b2 + 1 \cdot b3$ megfelelő felírás, és ezért ezek az együtthatók adják a keresett koordinátavektort.\\ Ennek a problémának a megoldását az általános esetben az elemi bázistranszformációról szóló tétel szolgáltatja. @@ -214,7 +214,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2/1. -R-}] - Konkrét vektorokat megadva mutassuk meg, miért nem alkot alteret $R3$-ben azon vektorok halmaza, ahol az első két komponens szorzata nulla. + Konkrét vektorokat megadva mutassuk meg, miért nem alkot alteret $\mathbb{R}^3$-ben azon vektorok halmaza, ahol az első két komponens szorzata nulla. \tcblower \mmedskip @@ -237,7 +237,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2/3. -R-}] - Tekintsük azoknak az $R3$-beli vektoroknak a halmazát, amelyek az alábbi feltételnek tesznek eleget.\\ű + Tekintsük azoknak az $\mathbb{R}^3$-beli vektoroknak a halmazát, amelyek az alábbi feltételnek tesznek eleget.\\ű Mely eset(ek)ben kapunk alteret?\\ (A) $x1 = x2 + 2x3$\\ @@ -254,13 +254,13 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2/4. -Q-}] - Mely alábbi halmaz(ok) alkot(nak) alteret a $2×2$-es valós mátrixok halmazában mint $R$ fölötti vektortérben:\\ + Mely alábbi halmaz(ok) alkot(nak) alteret a $2x2$-es valós mátrixok halmazában mint $R$ fölötti vektortérben:\\ \mmedskip - (A) $\{A ∈ \mathbb{R}^{2 x 2}|detA = 0\}$\\ - (B) $\{A ∈ \mathbb{R}^{2 x 2}|detA 6= 0\}$\\ - (C) $\{A ∈ \mathbb{R}^{2 x 2}|A = AT\}$\\ - (D) $\{A ∈ \mathbb{R}^{2 x 2}|A2 = I2\}$ + (A) $\{A \in \mathbb{R}^{2 x 2}|detA = 0\}$\\ + (B) $\{A \in \mathbb{R}^{2 x 2}|detA 6= 0\}$\\ + (C) $\{A \in \mathbb{R}^{2 x 2}|A = AT\}$\\ + (D) $\{A \in \mathbb{R}^{2 x 2}|A2 = I2\}$ \tcblower Azt kell megvizsgálnunk, hogy a megadott halmazok zártak-e az összeadásra, ill. a skalárral való szorzásra:\\ @@ -279,14 +279,14 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2/5. -Q-}] - Mutassunk egy olyan $H$ részhalmazt $R2$-ben (azaz a síkon), mely zárt a vektorok szokásos összeadására, mégsem alkot alteret $R2$-ben. + Mutassunk egy olyan $H$ részhalmazt $\mathbb{R}^2$-ben (azaz a síkon), mely zárt a vektorok szokásos összeadására, mégsem alkot alteret $\mathbb{R}^2$-ben. \tcblower A feladat arra mutat rá, hogy altereknél mindkét műveletre való zártságot meg kell követelnünk:\\ erre érdemes már a fölkészülés során is példát keresnünk, hogy jobban megérthessük a fogalmat. \mmedskip - Pl. $\{[a b]T ∈ R2|a,b > 0\}$ + Pl. $\{[a b]T \in \mathbb{R}^2|a,b > 0\}$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -305,7 +305,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \mmedskip - $0·v + 1·0 + 0·w = 0$. + $0 \cdot v + 1 \cdot 0 + 0 \cdot w = 0$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -317,14 +317,14 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \mmedskip - $0·u + 1·v + 2·w + (−1)(v + 2w) = 0.$. + $0 \cdot u + 1 \cdot v + 2 \cdot w + (−1)(v + 2w) = 0.$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/3. -N-}] - Legyen $v1 = ∈ R2$ és $v2 = ∈ R2$. Mely valós $c$ szám(ok)ra lesz $v1$ és $v2$ lineárisan összefüggő? + Legyen $v1 = \in \mathbb{R}^2$ és $v2 = \in \mathbb{R}^2$. Mely valós $c$ szám(ok)ra lesz $v1$ és $v2$ lineárisan összefüggő? \tcblower \mmedskip @@ -336,7 +336,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/4. -R-}] - Mely $c ∈ R$ valós számokra lesznek lineárisan függetlenek az $[1 0 c]T, a [2 2 2]T$ és a $[4 2 3]T$ vektorok? + Mely $c \in R$ valós számokra lesznek lineárisan függetlenek az $[1 0 c]T, a [2 2 2]T$ és a $[4 2 3]T$ vektorok? \tcblower \mmedskip @@ -348,7 +348,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/5. -R-}] - Legyen $v1 = 1 1 ∈ R3$. Adjunk meg olyan $v2$ és $v3$ vektorokat $R3$-ban, melyekre igaz, hogy a $v1,v2,v3$ vektorrendszer lineárisan összefüggő, de közülük bármely két vektor lineárisan független. + Legyen $v1 = 1 1 \in \mathbb{R}^3$. Adjunk meg olyan $v2$ és $v3$ vektorokat $\mathbb{R}^3$-ban, melyekre igaz, hogy a $v1,v2,v3$ vektorrendszer lineárisan összefüggő, de közülük bármely két vektor lineárisan független. \tcblower \mmedskip @@ -360,7 +360,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/6. -N-}] - Egy $U ≤ R2$ altérben $[2 3]T$ generátorrendszert alkot. Adjunk meg $U$-ban egy háromelemű generátorrendszert. + Egy $U ≤ \mathbb{R}^2$ altérben $[2 3]T$ generátorrendszert alkot. Adjunk meg $U$-ban egy háromelemű generátorrendszert. \tcblower \mmedskip @@ -423,7 +423,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/11. -Q-}] - Legyen $U = \{[x1,x2,x3]T ∈ R3|x1 = 2x2 = 3x3\}$ az R3 altere. Hány olyan bázisa van az $U$ altérnek, mely tartalmazza a $v = [6,3,2]T$ vektort? + Legyen $U = \{[x1,x2,x3]T \in \mathbb{R}^3|x1 = 2x2 = 3x3\}$ az \mathbb{R}^3 altere. Hány olyan bázisa van az $U$ altérnek, mely tartalmazza a $v = [6,3,2]T$ vektort? \tcblower \mmedskip @@ -472,7 +472,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/1. -N-}] - Álljon az $U$ altér az $R3$ azon $v$ vektoraiból, ahol a második és a harmadik komponens egyenlő. Adjunk meg egy bázist $U$-ban. + Álljon az $U$ altér az $\mathbb{R}^3$ azon $v$ vektoraiból, ahol a második és a harmadik komponens egyenlő. Adjunk meg egy bázist $U$-ban. \tcblower \mmedskip @@ -496,7 +496,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/3. -R-}] - Hány dimenziós azon $Rn$-beli vektoroknak az altere, melyekben a komponensek összege $0$? + Hány dimenziós azon $\mathbb{R}^n$-beli vektoroknak az altere, melyekben a komponensek összege $0$? \tcblower \mmedskip @@ -508,7 +508,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/4. -R-}] - Hány dimenziós azon $Rn$-beli vektoroknak az altere, melyekben a komponensek négyzetösszege $0$? + Hány dimenziós azon $\mathbb{R}^n$-beli vektoroknak az altere, melyekben a komponensek négyzetösszege $0$? \tcblower \mmedskip @@ -520,7 +520,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/5. -Q-}] - Hány dimenziós alteret alkotnak $R3×3$-ban azok az A mátrixok, amelyekre teljesül, hogy $AT = −A$? + Hány dimenziós alteret alkotnak $\mathbb{R}^3x3$-ban azok az A mátrixok, amelyekre teljesül, hogy $AT = −A$? \tcblower \mmedskip @@ -544,7 +544,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/7. -Q-}] - Hány olyan altér van $\mathbb{R}^{2 x 2}$-ben mint $R$ fölötti vektortérben, mely tartalmazza az összes $2 × 2$-es szimmetrikus mátrixot? + Hány olyan altér van $\mathbb{R}^{2 x 2}$-ben mint $R$ fölötti vektortérben, mely tartalmazza az összes $2 x 2$-es szimmetrikus mátrixot? \tcblower \mmedskip @@ -556,7 +556,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/7. -Q-}] -Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában {b1 + b2,b2} ilyen. De bázist alkot ebben az altérben {b1,b2} is, hiszen b1 = (b1 + b2) − b2 is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának y = 0 speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti Rn dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első n−1 komponens egyike 1, az utolsó komponens−1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy Rn egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint Rn-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a 2×2-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a \mathbb{R}^{2 x 2} téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. +Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában {b1 + b2,b2} ilyen. De bázist alkot ebben az altérben {b1,b2} is, hiszen b1 = (b1 + b2) − b2 is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának y = 0 speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti \mathbb{R}^n dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első n−1 komponens egyike 1, az utolsó komponens−1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy \mathbb{R}^n egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint \mathbb{R}^n-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a 2x2-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a \mathbb{R}^{2 x 2} téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -613,7 +613,7 @@ $3x + 3y = 3$ \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={5/3. -N-}] -Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés van: ha több ismeretlen van, mint egyenlet, akkor nem lehet egyértelmű a megoldás (erre kérdez rá a harmadik feladat). Vagyis ha az egyenletrendszerben nincs elég egyenlet – nem tudunk eleget az ismeretlenekről –, akkor ugyan lehet ellentmondásos (ehhez már két egyenlet is elég, mint az első feladatban, sőt az egyetlen 0·x + 0·y = 1 egyenlet is), de ha nem ellentmondásos, azaz van megoldás, akkor biztosan egynél több megoldás van. Valós és komplex együtthatós egyenletrendszerek esetében ilyenkor a megoldások száma végtelen. Az egyenletek számát szaporíthatjuk úgy, hogy a megoldások halmaza ne változzon: ehhez a rendszerbe már bent lévő egyenletek lineáris kombinációját kell bevenni (mint a második feladatban). Fontos, hogy homogén lineáris egyenletrendszernek – amikor az egyenletek jobb oldalán mindenütt 0 áll – mindig van megoldása: a triviális megoldás, amikor minden ismeretlen értéke nulla. +Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés van: ha több ismeretlen van, mint egyenlet, akkor nem lehet egyértelmű a megoldás (erre kérdez rá a harmadik feladat). Vagyis ha az egyenletrendszerben nincs elég egyenlet – nem tudunk eleget az ismeretlenekről –, akkor ugyan lehet ellentmondásos (ehhez már két egyenlet is elég, mint az első feladatban, sőt az egyetlen 0 \cdot x + 0 \cdot y = 1 egyenlet is), de ha nem ellentmondásos, azaz van megoldás, akkor biztosan egynél több megoldás van. Valós és komplex együtthatós egyenletrendszerek esetében ilyenkor a megoldások száma végtelen. Az egyenletek számát szaporíthatjuk úgy, hogy a megoldások halmaza ne változzon: ehhez a rendszerbe már bent lévő egyenletek lineáris kombinációját kell bevenni (mint a második feladatban). Fontos, hogy homogén lineáris egyenletrendszernek – amikor az egyenletek jobb oldalán mindenütt 0 áll – mindig van megoldása: a triviális megoldás, amikor minden ismeretlen értéke nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -628,7 +628,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/1. -N-}] - Legyen $A ∈ Rk×ℓ$, $B ∈ Rp×r$ és $C ∈ Rt×u$. Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy értelmes legyen az $ABT + C$ mátrixkifejezés. + Legyen $A \in Rkxℓ$, $B \in Rpxr$ és $C \in Rtxu$. Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy értelmes legyen az $ABT + C$ mátrixkifejezés. \tcblower \mmedskip @@ -640,7 +640,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/2. -N-}] - Legyen A =. Adjunk meg egy olyan $2×2$-es, egész elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrixot, amelyre igaz, hogy $AB = 0$. + Legyen A =. Adjunk meg egy olyan $2x2$-es, egész elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrixot, amelyre igaz, hogy $AB = 0$. \tcblower @@ -653,7 +653,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/3. -N-}] - Legyen A = . Mely c ∈ R számokra van olyan $2×2$-es, valós elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrix, amelyre igaz, hogy $AB = 0$? + Legyen A = . Mely c \in R számokra van olyan $2x2$-es, valós elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrix, amelyre igaz, hogy $AB = 0$? \tcblower \mmedskip @@ -665,7 +665,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/4. -N-}] - Adjunk meg egy olyan $2×2$-es egész elemű, a nullmátrixtól különböző A mátrixot, amelyre igaz, hogy van olyan 0 6= $B ∈ \mathbb{R}^{2 x 2}$, melyre $AB = 0$. + Adjunk meg egy olyan $2x2$-es egész elemű, a nullmátrixtól különböző A mátrixot, amelyre igaz, hogy van olyan 0 6= $B \in \mathbb{R}^{2 x 2}$, melyre $AB = 0$. \tcblower \mmedskip @@ -727,7 +727,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/8. -Q-}] -Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összeadása, szorzása, illetve mik a transzponált mátrix méretei. Két mátrix szorzatának oszlopaiban a bal oldali mátrix oszlopainak lineáris kombinációi állnak. Ezért az AB = 0 akkor tud teljesülni nem nulla B mátrixszal, ha A oszlopai lineárisan öszefüggenek. Speciálisan ha A négyzetes mátrix, akkor ez azzal ekvivalens, hogy A determinánsa nulla. Ezzel a tétellel könnyű megválaszolni a harmadik feladatot, illetve keresni megfelelő mátrixot a negyedik feladatban. Kétszer kettes mátrix esetében érdemes megjegyezni az inverz képletét: inverz akkor létezik, ha a mátrix d determinánsa nem nulla, és ekkor az inverz mátrixot úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrixban a főátló két elemét kicseréljük, a mellékátló elemeit ellentettjükre változtatjuk, végül a mátrix minden elemét elosztjuk d-vel (így kaptuk az ötödik feladat eredményét). Nem feltétlenül négyzetes mátrixra is érvényes, hogy pontosan akkor van jobb oldali inverze, ha rangja megegyezik a sorainak a számával, azaz ha a sorai lineárisan függetlenek. Erre a tételre a hatodik és a hetedik feladat megoldásában nincs szükség, mert azok megoldása közvetlen számolás (a hetedik feladatban az egyetlen megfelelő vektor [1/3 1/3 1/3]T). A nyolcadik feladatban viszont ezt a tételt alkalmazzuk. Az (A) rész két sora nyilván összefügg, a (C) esetében ez azért igaz, mert R2 dimenziója 2, és így bármely három vektor összefüggő. A (B)-ben például az a = d = 1 és b = c = 0 két független vektort ad, a (D) esetben meg a három sor független lesz ha a 6= 9, hiszen ekkor a determináns értéke nem nulla. +Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összeadása, szorzása, illetve mik a transzponált mátrix méretei. Két mátrix szorzatának oszlopaiban a bal oldali mátrix oszlopainak lineáris kombinációi állnak. Ezért az AB = 0 akkor tud teljesülni nem nulla B mátrixszal, ha A oszlopai lineárisan öszefüggenek. Speciálisan ha A négyzetes mátrix, akkor ez azzal ekvivalens, hogy A determinánsa nulla. Ezzel a tétellel könnyű megválaszolni a harmadik feladatot, illetve keresni megfelelő mátrixot a negyedik feladatban. Kétszer kettes mátrix esetében érdemes megjegyezni az inverz képletét: inverz akkor létezik, ha a mátrix d determinánsa nem nulla, és ekkor az inverz mátrixot úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrixban a főátló két elemét kicseréljük, a mellékátló elemeit ellentettjükre változtatjuk, végül a mátrix minden elemét elosztjuk d-vel (így kaptuk az ötödik feladat eredményét). Nem feltétlenül négyzetes mátrixra is érvényes, hogy pontosan akkor van jobb oldali inverze, ha rangja megegyezik a sorainak a számával, azaz ha a sorai lineárisan függetlenek. Erre a tételre a hatodik és a hetedik feladat megoldásában nincs szükség, mert azok megoldása közvetlen számolás (a hetedik feladatban az egyetlen megfelelő vektor [1/3 1/3 1/3]T). A nyolcadik feladatban viszont ezt a tételt alkalmazzuk. Az (A) rész két sora nyilván összefügg, a (C) esetében ez azért igaz, mert \mathbb{R}^2 dimenziója 2, és így bármely három vektor összefüggő. A (B)-ben például az a = d = 1 és b = c = 0 két független vektort ad, a (D) esetben meg a három sor független lesz ha a 6= 9, hiszen ekkor a determináns értéke nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -741,7 +741,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/1. -N-}] - Az A = [aij] ∈ R5×5 mátrix determinánsának kiszámolásakor mennyi lesz az a31a24a53a15a42 szorzathoz tartozó permutációban az inverziók száma? + Az A = [aij] \in R5x5 mátrix determinánsának kiszámolásakor mennyi lesz az a31a24a53a15a42 szorzathoz tartozó permutációban az inverziók száma? \tcblower @@ -754,7 +754,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/2. -R-}] - Az A = [aij] ∈ R5×5 mátrix determinánsának kiszámolásakor az a11a2ia33a45a5j szorzatot (−1)-gyel szorozva kellett figyelembe venni. Határozzuk meg i-t és j-t. + Az A = [aij] \in R5x5 mátrix determinánsának kiszámolásakor az a11a2ia33a45a5j szorzatot (−1)-gyel szorozva kellett figyelembe venni. Határozzuk meg i-t és j-t. \tcblower \mmedskip @@ -789,12 +789,12 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/5. -N-}] - Legyenek $A,B,C ∈ R3×3$ olyan valós mátrixok, melyekre $detA = 2, detB = 3$ és $detC = 4$. Mennyi lesz $2A2C−1B$ determinánsa? + Legyenek $A,B,C \in \mathbb{R}^3x3$ olyan valós mátrixok, melyekre $detA = 2, detB = 3$ és $detC = 4$. Mennyi lesz $2A2C−1B$ determinánsa? \tcblower \mmedskip - $23 ·22 ·(1/4)·3 = 24$ + $23 \cdot 22 \cdot (1/4) \cdot 3 = 24$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -830,7 +830,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/1. -N-}] - Mik az A = R3×3 mátrix sajátértékei? + Mik az A = \mathbb{R}^3x3 mátrix sajátértékei? \tcblower @@ -843,7 +843,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/2. -N-}] - Írjunk föl egy olyan mátrixot, amelynek karakterisztikus polinomja $(1−λ)(2−λ)(3−λ)$. + Írjunk föl egy olyan mátrixot, amelynek karakterisztikus polinomja $(1−{\lambda})(2−{\lambda})(3−{\lambda})$. \tcblower @@ -856,7 +856,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/3. -R-}] - Írjunk föl egy olyan nem diagonalizálható mátrixot, melynek karakterisztikus polinomja λ2. + Írjunk föl egy olyan nem diagonalizálható mátrixot, melynek karakterisztikus polinomja {\lambda}2. \tcblower @@ -869,7 +869,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/4. -Q-}] - Az A = ∈ \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix nem diagonalizálható R fölött. Mik c lehetséges értékei? + Az A = \in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix nem diagonalizálható R fölött. Mik c lehetséges értékei? \tcblower @@ -883,7 +883,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/5. -Q-}] - Milyen c ∈ R valós értékekre lesz az 1 2 0 c ∈ \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix diagonalizálható? + Milyen c \in R valós értékekre lesz az 1 2 0 c \in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix diagonalizálható? \tcblower @@ -896,7 +896,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/6. -Q-}] - Az A =a b c d∈ \mathbb{R}^{2 x 2} mátrixra . Mennyi az a + 1 b c d + 1 mátrix determinánsa? det a + 1 b c + Az A =a b c d\in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrixra . Mennyi az a + 1 b c d + 1 mátrix determinánsa? det a + 1 b c \tcblower @@ -909,7 +909,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/6. -Q-}] - Egy mátrix valós sajátértékeit a karakterisztikus polinom valós gyökei adják: a főátló minden eleméből levonunk λ-t és kiszámítjuk a determinánst. Felső háromszögmátrix, speciálisan diagonális mátrix esetén a sajátértékek a főátlóból leolvashatók. A sajátvektorokat minden egyes sajátértékhez egy-egy lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg. A diagonalizálhatóság feltétele az, hogy legyen „elegendő” sajátvektor, azaz a tér dimenziószámával megegyező mennyiségű lineárisan független sajátvektor. A harmadik feladat mátrixa esetében ez nem teljesül, mert a sajátvektorokr 0T alakúak, ahol r 6= 0 (azaz a 0-hoz tartozó sajátaltér egydimenziós). Gyakran használt elégséges feltétel, hogy egy n×n-es mátrix diagonalizálható R fölött, ha n különböző valós sajátértéke van. A negyedik feladat mátrixának karakterisztikus polinomja λ2−c. Ennek c > 0-ra két különböző valós gyöke van, tehát ilyenkor a mátrix diagonalizálható; c < 0-ra nincs valós gyök, ezért R fölött nem diagonalizálhatjuk a mátrixot; végül c = 0-ra a megoldást a harmadik feladat adja. Hasonló érvelés adható az ötödik feladatnál is. A hatodik feladat feltétele azt mutatja, hogy a −1 sajátértéke a mátrixnak, ha tehát −1-et levonunk a főátló minden eleméből, épp az A−(−1)I2 mátrixot kapjuk, aminek a determinánsa 0, hiszen −1 gyöke a karakterisztikus polinomnak. + Egy mátrix valós sajátértékeit a karakterisztikus polinom valós gyökei adják: a főátló minden eleméből levonunk {\lambda}-t és kiszámítjuk a determinánst. Felső háromszögmátrix, speciálisan diagonális mátrix esetén a sajátértékek a főátlóból leolvashatók. A sajátvektorokat minden egyes sajátértékhez egy-egy lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg. A diagonalizálhatóság feltétele az, hogy legyen „elegendő” sajátvektor, azaz a tér dimenziószámával megegyező mennyiségű lineárisan független sajátvektor. A harmadik feladat mátrixa esetében ez nem teljesül, mert a sajátvektorokr 0T alakúak, ahol r 6= 0 (azaz a 0-hoz tartozó sajátaltér egydimenziós). Gyakran használt elégséges feltétel, hogy egy nxn-es mátrix diagonalizálható R fölött, ha n különböző valós sajátértéke van. A negyedik feladat mátrixának karakterisztikus polinomja {\lambda}2−c. Ennek c > 0-ra két különböző valós gyöke van, tehát ilyenkor a mátrix diagonalizálható; c < 0-ra nincs valós gyök, ezért R fölött nem diagonalizálhatjuk a mátrixot; végül c = 0-ra a megoldást a harmadik feladat adja. Hasonló érvelés adható az ötödik feladatnál is. A hatodik feladat feltétele azt mutatja, hogy a −1 sajátértéke a mátrixnak, ha tehát −1-et levonunk a főátló minden eleméből, épp az A−(−1)I2 mátrixot kapjuk, aminek a determinánsa 0, hiszen −1 gyöke a karakterisztikus polinomnak. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -925,7 +925,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/1. -N-}] - Mi a kétdimenziós valós sík, azaz R2 origó körüli +90 fokos forgatásának mátrixa az i és j bázisban? + Mi a kétdimenziós valós sík, azaz \mathbb{R}^2 origó körüli +90 fokos forgatásának mátrixa az i és j bázisban? \tcblower @@ -938,7 +938,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/2. -R-}] - Mi a háromdimenziós valós tér, azaz R3 x-y-síkra való tükrözésének a mátrixa az j,k,i bázisban? (Itt a bázisvektorok sorrendje a megszokottól eltérő.) + Mi a háromdimenziós valós tér, azaz \mathbb{R}^3 x-y-síkra való tükrözésének a mátrixa az j,k,i bázisban? (Itt a bázisvektorok sorrendje a megszokottól eltérő.) \tcblower @@ -951,7 +951,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/3. -N-}] - Mik a kétdimenziós valós sík, azaz R2 origóra való tükrözésének sajátértékei? + Mik a kétdimenziós valós sík, azaz \mathbb{R}^2 origóra való tükrözésének sajátértékei? \tcblower @@ -964,7 +964,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/4. -R-}] - Az R2 egy ϕ lineáris transzformációjára ϕ(i) = 2i és ϕ(j) = i + 3j. Mik ϕ sajátértékei? + Az \mathbb{R}^2 egy ϕ lineáris transzformációjára ϕ(i) = 2i és ϕ(j) = i + 3j. Mik ϕ sajátértékei? \tcblower @@ -977,7 +977,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/4. -R-}] - Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix. Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba. Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből (A′ = S−1AS). Az ötödik feladatban a képletre nincs szükség: az első bázisvektor, b1 kétszeresének a képe szintén önmaga, azaz 2b1, s így az új mátrix első oszlopában az első koordináta 1, a többi meg 0. Ugyanakkor a b2 és b3 képében fele annyit kell „vennünk” 2b1-ből, mint b1-ből, tehát az első sor második és harmadik eleme a felére csökken. Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit. Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban 2 1 0 3. Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a −1. A hatodik és a hetedik feladatban felírhatjuk, hogy ϕ(λe1 + µe2) = µ(e1 + e2). Ez akkor nulla, azaz λe1 + µe2 akkor van a magtérben, ha µ = 0. A képtér elemei pedig e1 + e2 többszörösei. A nyolcadik feladatban azt is lehet használni, hogy [ϕ(v)]B = [ϕ]B[v]B. Az Mx y zT = 0 egyenlet megoldása: x és y tetszőleges, z = 0. A magtér tehát kétdimenziós. Megoldható a feladat a dimenzióösszefüggés segítségével is, amely szerint a magtér dimenziója a mátrix oszlopainak száma mínusz a mátrix rangja. Harmadik megoldásként láthatjuk, hogy két bázisvektor a nullába megy, ezért a magtér legalább kétdimenziós, de háromdimenziós nem lehet, mert a mátrix nem nulla. + Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix. Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba. Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből (A′ = S−1AS). Az ötödik feladatban a képletre nincs szükség: az első bázisvektor, b1 kétszeresének a képe szintén önmaga, azaz 2b1, s így az új mátrix első oszlopában az első koordináta 1, a többi meg 0. Ugyanakkor a b2 és b3 képében fele annyit kell „vennünk” 2b1-ből, mint b1-ből, tehát az első sor második és harmadik eleme a felére csökken. Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit. Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban 2 1 0 3. Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a −1. A hatodik és a hetedik feladatban felírhatjuk, hogy ϕ({\lambda}e1 + {\mu}e2) = {\mu}(e1 + e2). Ez akkor nulla, azaz {\lambda}e1 + {\mu}e2 akkor van a magtérben, ha {\mu} = 0. A képtér elemei pedig e1 + e2 többszörösei. A nyolcadik feladatban azt is lehet használni, hogy [ϕ(v)]B = [ϕ]B[v]B. Az Mx y zT = 0 egyenlet megoldása: x és y tetszőleges, z = 0. A magtér tehát kétdimenziós. Megoldható a feladat a dimenzióösszefüggés segítségével is, amely szerint a magtér dimenziója a mátrix oszlopainak száma mínusz a mátrix rangja. Harmadik megoldásként láthatjuk, hogy két bázisvektor a nullába megy, ezért a magtér legalább kétdimenziós, de háromdimenziós nem lehet, mert a mátrix nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1006,7 +1006,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/2. -R-}] - Az 1 1 + i iT ∈ C3 vektor ha,bi = b∗a mellett merőleges az 1 1 + i cT vektorra. Határozzuk meg c ∈ C értékét. + Az 1 1 + i iT \in C3 vektor ha,bi = b∗a mellett merőleges az 1 1 + i cT vektorra. Határozzuk meg c \in C értékét. \tcblower @@ -1020,7 +1020,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/3. -R-}] - Álljon W az R3 azon vektoraiból, amelyek merőlegesek a0 1 1T és1 1 0T vektorok mindegyikére. Adjunk meg egy bázist W-ben. + Álljon W az \mathbb{R}^3 azon vektoraiból, amelyek merőlegesek a0 1 1T és1 1 0T vektorok mindegyikére. Adjunk meg egy bázist W-ben. \tcblower @@ -1033,20 +1033,20 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/4. -Q-}] - Mely a,b ∈ R értékekre lesz |3a + 4b| = 5√a2 + b2 + Mely a,b \in R értékekre lesz |3a + 4b| = 5√a2 + b2 \tcblower \mmedskip - [a,b] = λ[3,4], λ ∈ R + [a,b] = {\lambda}[3,4], {\lambda} \in R \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/4. -Q-}] - A szokásos skaláris szorzatot Rn-ben az ha,bi = aTb összefüggés adja meg; két vektor merőlegessége azt jelenti, hogy a skaláris szorzatuk nulla. Rn-ben a vektorok szögét a cosγ = ha,bi kak·kbk összefüggéssel definiáljuk, erről szól az első feladat. (A megoldáshoz érdemes átismételni a szögfüggvények értékét a nevezetes szögeken.) A második feladat esetében a skaláris szorzat kiszámításánál vigyázzunk arra, hogy a második tényező komponenseit meg kell konjugálni. A harmadik feladatnál lineáris egyenletrendszert kapunk W elemeinek komponenseire. A negyedik feladat esetében arra kell ráismerni, hogy a feladatbeli egyenlet az u = [3 4]T és a v = [a b]T vektorokra írja föl az |hu,vi| = kuk·kvk összefüggést, ami a Cauchy-egyenlőtlenség alapján akkor és csak akkor teljesülhet, ha u és v párhuzamosak. + A szokásos skaláris szorzatot \mathbb{R}^n-ben az ha,bi = aTb összefüggés adja meg; két vektor merőlegessége azt jelenti, hogy a skaláris szorzatuk nulla. \mathbb{R}^n-ben a vektorok szögét a cosγ = ha,bi kak \cdot kbk összefüggéssel definiáljuk, erről szól az első feladat. (A megoldáshoz érdemes átismételni a szögfüggvények értékét a nevezetes szögeken.) A második feladat esetében a skaláris szorzat kiszámításánál vigyázzunk arra, hogy a második tényező komponenseit meg kell konjugálni. A harmadik feladatnál lineáris egyenletrendszert kapunk W elemeinek komponenseire. A negyedik feladat esetében arra kell ráismerni, hogy a feladatbeli egyenlet az u = [3 4]T és a v = [a b]T vektorokra írja föl az |hu,vi| = kuk \cdot kvk összefüggést, ami a Cauchy-egyenlőtlenség alapján akkor és csak akkor teljesülhet, ha u és v párhuzamosak. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1073,7 +1073,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={11/1. -N-}] - A vektoriális szorzat koordinátáinak kiszámításához érdemes a „determinásos” képletet használni: egy 3 × 3-as determináns első sorába az i, j, k vektorokat írjuk, a másik két sorba pedig a megadott vektorok koordinátáit, majd a determinánst (formálisan) kifejtjük az első sora szerint. Ekkor az i, j, k vektorok egy lineáris kombinációját kapjuk: ez lesz a vektoriális szorzat és így a leggyorsabb megoldani az első feladatot. Ebből a képletből láthatjuk azt is, hogy a vegyes szorzat is egy olyan determináns értéke, amelynek soraiban a három megadott vektor van alkalmas sorrendben. Speciálisan három vektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, azaz akkor és csak akkor vannak egy síkban, ha a vegyes szorzatuk nulla. Ez kapcsolódik a második és a harmadik feladat (B) részéhez is. Az utolsó három feladatban érdemes a derékszögű koordinátarendszerben a három tengelyirányú egységvektorra, i-re, j-re és k-ra nézni a vektoriális szorzat hatását, ezekkel érdemes kísérletezni az utolsó három feladatban. A második feladat (A) részében könnyű látni, hogy ha a és b nem esnek egy irányba, akkor a × b merőleges lesz az általuk meghatározott síkra, s ekkor c lehet akár a-val is egyenlő, az (a × b) × c vektoriális szorzat nem lesz a nullvektor. A (C) részben ha a és b vagy b és c párhuzamosak, akkor az ő vektoriális szorzatuk 0, és így 0 lesz a teljes vektoriális szorzat is. Ha viszont egyik vektorpár sem párhuzamos, akkor mindkét esetben ugyanazt a síkot feszítik ki (hiszen a,b és c lineárisan összefüggők), és így mindkét vektorpár vektoriális szorzata a síkra merőleges lesz, vagyis ezek párhuzamos vektorok, vektoriális szorzatuk tehát biztosan 0. A (D) esetben pedig pl. a = c = i, b = j esetén a szorzat értéke k és −k skaláris szorzata lesz, tehát nem 0. Hasonló okoskodással lehet kielemezni az utolsó két feladatban szereplő állítások igazságértékét is. + A vektoriális szorzat koordinátáinak kiszámításához érdemes a „determinásos” képletet használni: egy 3 x 3-as determináns első sorába az i, j, k vektorokat írjuk, a másik két sorba pedig a megadott vektorok koordinátáit, majd a determinánst (formálisan) kifejtjük az első sora szerint. Ekkor az i, j, k vektorok egy lineáris kombinációját kapjuk: ez lesz a vektoriális szorzat és így a leggyorsabb megoldani az első feladatot. Ebből a képletből láthatjuk azt is, hogy a vegyes szorzat is egy olyan determináns értéke, amelynek soraiban a három megadott vektor van alkalmas sorrendben. Speciálisan három vektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, azaz akkor és csak akkor vannak egy síkban, ha a vegyes szorzatuk nulla. Ez kapcsolódik a második és a harmadik feladat (B) részéhez is. Az utolsó három feladatban érdemes a derékszögű koordinátarendszerben a három tengelyirányú egységvektorra, i-re, j-re és k-ra nézni a vektoriális szorzat hatását, ezekkel érdemes kísérletezni az utolsó három feladatban. A második feladat (A) részében könnyű látni, hogy ha a és b nem esnek egy irányba, akkor a x b merőleges lesz az általuk meghatározott síkra, s ekkor c lehet akár a-val is egyenlő, az (a x b) x c vektoriális szorzat nem lesz a nullvektor. A (C) részben ha a és b vagy b és c párhuzamosak, akkor az ő vektoriális szorzatuk 0, és így 0 lesz a teljes vektoriális szorzat is. Ha viszont egyik vektorpár sem párhuzamos, akkor mindkét esetben ugyanazt a síkot feszítik ki (hiszen a,b és c lineárisan összefüggők), és így mindkét vektorpár vektoriális szorzata a síkra merőleges lesz, vagyis ezek párhuzamos vektorok, vektoriális szorzatuk tehát biztosan 0. A (D) esetben pedig pl. a = c = i, b = j esetén a szorzat értéke k és −k skaláris szorzata lesz, tehát nem 0. Hasonló okoskodással lehet kielemezni az utolsó két feladatban szereplő állítások igazságértékét is. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1100,7 +1100,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/2. -R-}] - Adjunk meg egy v ∈ R2 vektort, melyen az A = 1 2 2 1 mátrix által meghatározott kvadratikus alak negatív értéket vesz föl. + Adjunk meg egy v \in \mathbb{R}^2 vektort, melyen az A = 1 2 2 1 mátrix által meghatározott kvadratikus alak negatív értéket vesz föl. \tcblower @@ -1116,7 +1116,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{tcolorbox}[title={12/3. -R-}] Adjuk meg az  a b c b 1 −2 c −2 −1 - ∈ R3×3 mátrix által meghatározott bilineáris függvény kvadratikus karakterét (definitségét). + \in \mathbb{R}^3x3 mátrix által meghatározott bilineáris függvény kvadratikus karakterét (definitségét). \tcblower @@ -1130,7 +1130,7 @@ a b c b 1 −2 c −2 −1 \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] - Milyen c ∈ R valós értékekre lesz az1 c c c∈ \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix által meghatározott kvadratikus alak pozitív definit? + Milyen c \in R valós értékekre lesz az1 c c c\in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix által meghatározott kvadratikus alak pozitív definit? \tcblower @@ -1143,7 +1143,7 @@ a b c b 1 −2 c −2 −1 \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] - Egy szimmetrikus, valós A mátrixhoz tartozó kvadratikus alak Q(u) = uTAu. Abban az esetben ha A = a b b d és u = x yT, akkor Q(u) = ax2 + 2bxy + dy2. A második feladatban tehátolyan x és y számokat kell keresnünk, amelyekre x2 + 4xy + y2 negatív. Ha észrevesszük, hogy x2 + 4xy + y2 = x2 + 4xy + 4y2 −3y2 = (x + 2y)2 −3y2, akkor már könnyen találunk ilyen értékeket (de az alábbiak szerint a mátrix egyik sajátvektora is megfelelő). A kvadratikus alak jellege (karaktere, definitsége) azt mondja meg, milyen valós értékeket vesz föl a nem nulla vektorokon. Ezt a tulajdonságot le tudjuk olvasni a mátrix sajátértékeiből (amik szimmetrikus mátrix esetén mindig valósak), pontosabban azok előjeléből: Q(u), u 6= 0 sajátértékek előjele: jelleg: mindig pozitív mind pozitív pozitív definit mindig negatív mind negatív negatív definit mindig nemnegatív mind nemnegatív pozitív szemidefinit mindig nempozitív mind nempozitív negatív szemidefinit van pozitív is, negatív is van pozitív is, negatív is indefinit Ha u = ei (a triviális bázis i-edik vektora), akkor Q(u) az A mátrix főátlójának i-edik eleme. A harmadik feladatban a második és a harmadik diagonális elem pozitív, illetve negatív, s így kvadratikus alak pozitív és negatív értékeket is fölvesz, tehát biztosan indefinit. Bizonyos esetekben a következő kritérium segítségével is leolvasható a kvadratikus alak jellege. Legyen ∆0 = 1 és ∆k a mátrix bal fölső sarkában lévő k ×k-as részmátrix determinánsa (ez az ún. karakterisztikus sorozat). Pl. a karakterisztikus sorozat pontosan akkor áll csupa pozitív értékből, ha a kvadratikus alakunk pozitív definit. A negyedik feladatnál ezt a feltételt használjuk: az 1×1-es részmátrixhoz tartozó tag pozitív, s a pozitív definitség azzal lesz ekvivalens, hogy a determináns, c−c2 = c(1−c) is pozitív. Ez csak a jelzett intervallumban valósulhat meg. + Egy szimmetrikus, valós A mátrixhoz tartozó kvadratikus alak Q(u) = uTAu. Abban az esetben ha A = a b b d és u = x yT, akkor Q(u) = ax2 + 2bxy + dy2. A második feladatban tehátolyan x és y számokat kell keresnünk, amelyekre x2 + 4xy + y2 negatív. Ha észrevesszük, hogy x2 + 4xy + y2 = x2 + 4xy + 4y2 −3y2 = (x + 2y)2 −3y2, akkor már könnyen találunk ilyen értékeket (de az alábbiak szerint a mátrix egyik sajátvektora is megfelelő). A kvadratikus alak jellege (karaktere, definitsége) azt mondja meg, milyen valós értékeket vesz föl a nem nulla vektorokon. Ezt a tulajdonságot le tudjuk olvasni a mátrix sajátértékeiből (amik szimmetrikus mátrix esetén mindig valósak), pontosabban azok előjeléből: Q(u), u 6= 0 sajátértékek előjele: jelleg: mindig pozitív mind pozitív pozitív definit mindig negatív mind negatív negatív definit mindig nemnegatív mind nemnegatív pozitív szemidefinit mindig nempozitív mind nempozitív negatív szemidefinit van pozitív is, negatív is van pozitív is, negatív is indefinit Ha u = ei (a triviális bázis i-edik vektora), akkor Q(u) az A mátrix főátlójának i-edik eleme. A harmadik feladatban a második és a harmadik diagonális elem pozitív, illetve negatív, s így kvadratikus alak pozitív és negatív értékeket is fölvesz, tehát biztosan indefinit. Bizonyos esetekben a következő kritérium segítségével is leolvasható a kvadratikus alak jellege. Legyen ∆0 = 1 és ∆k a mátrix bal fölső sarkában lévő k xk-as részmátrix determinánsa (ez az ún. karakterisztikus sorozat). Pl. a karakterisztikus sorozat pontosan akkor áll csupa pozitív értékből, ha a kvadratikus alakunk pozitív definit. A negyedik feladatnál ezt a feltételt használjuk: az 1x1-es részmátrixhoz tartozó tag pozitív, s a pozitív definitség azzal lesz ekvivalens, hogy a determináns, c−c2 = c(1−c) is pozitív. Ez csak a jelzett intervallumban valósulhat meg. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1164,89 +1164,89 @@ a b c b 1 −2 c −2 −1 \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1}] - Mit jelent az, hogy egy W ⊆ Rn részhalmaz altér? + Mit jelent az, hogy egy W {\subseteq} \mathbb{R}^n részhalmaz altér? \tcblower -W ⊆ Rn altér Rn-ben, ha: 1) W nem üres; 2) a,b ∈ W esetén a + b ∈ W (azaz W zárt az összeadásra); 3) a ∈ W és λ ∈ R esetén λa ∈ W (azaz W zárt a skalárral szorzásra). (Ahelyett, hogy W nem üres, azt is írhatjuk, hogy 0 ∈ W.) +W {\subseteq} \mathbb{R}^n altér \mathbb{R}^n-ben, ha: 1) W nem üres; 2) a,b \in W esetén a + b \in W (azaz W zárt az összeadásra); 3) a \in W és {\lambda} \in R esetén {\lambda}a \in W (azaz W zárt a skalárral szorzásra). (Ahelyett, hogy W nem üres, azt is írhatjuk, hogy 0 \in W.) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2}] - Definiáljuk, mit jelent az, hogy a v1,...,vk ∈ Rn vektorrendszer lineárisan független. + Definiáljuk, mit jelent az, hogy a v1,...,vk \in \mathbb{R}^n vektorrendszer lineárisan független. \tcblower -A v1,...,vk vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort. Képletben: tetszőleges λ1,λ2,...,λk ∈ R esetén, ha λ1v1 + λ2v2 + ··· + λkvk = 0, akkor minden i-re λi = 0. +A v1,...,vk vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort. Képletben: tetszőleges {\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R esetén, ha {\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0, akkor minden i-re {\lambda}i = 0. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3}] - Mit jelent az, hogy a v1,...,vk ∈ Rn vektorrendszer lineárisan összefüggő? A válaszban ne hivatkozzunk a lineáris függetlenség fogalmára. + Mit jelent az, hogy a v1,...,vk \in \mathbb{R}^n vektorrendszer lineárisan összefüggő? A válaszban ne hivatkozzunk a lineáris függetlenség fogalmára. \tcblower -A v1,...,vk vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (azaz nem lineárisan független), ha léteznek olyan λ1,λ2,...,λk ∈ R nem mind nulla számok, melyekre λ1v1 + λ2v2 + ··· + λkvk = 0.) +A v1,...,vk vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (azaz nem lineárisan független), ha léteznek olyan {\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R nem mind nulla számok, melyekre {\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0.) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4}] - Mit jelent az, hogy egy v vektor lineárisan függ az a1,...,ak ∈ Rn vektoroktól? + Mit jelent az, hogy egy v vektor lineárisan függ az a1,...,ak \in \mathbb{R}^n vektoroktól? \tcblower -Azt jelenti, hogy v felírható a1,...,ak lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan λ1,λ2,...,λk ∈ R skalárok, melyekre v = λ1a1 + λ2a2 + ··· + λkak. +Azt jelenti, hogy v felírható a1,...,ak lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan {\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R skalárok, melyekre v = {\lambda}1a1 + {\lambda}2a2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kak. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={5}] - Jellemezzük egy a1,...,ak ∈ Rn vektorrendszer lineáris összefüggőségét a lineáris függés fogalmával. + Jellemezzük egy a1,...,ak \in \mathbb{R}^n vektorrendszer lineáris összefüggőségét a lineáris függés fogalmával. \tcblower -Egy a1,...,ak ∈ Rn vektorrendszer (k ≥ 2 esetén) pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha valamelyik i-re ai lineárisan függ az a1,...,ai−1,ai+1,...,ak vektoroktól. +Egy a1,...,ak \in \mathbb{R}^n vektorrendszer (k \geq 2 esetén) pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha valamelyik i-re ai lineárisan függ az a1,...,ai−1,ai+1,...,ak vektoroktól. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6}] - Definiáljuk egy V ≤ Rn altér bázisának fogalmát. + Definiáljuk egy V ≤ \mathbb{R}^n altér bázisának fogalmát. \tcblower -Egy b1,...,bk vektorrendszert akkor mondunk a V ≤ Rn altér bázisának, ha lineárisan független, és V minden vektorát előállíthatjuk a bi vektorok lineáris kombinációjaként. (A lineáris függetlenség helyettesíthető azzal a feltétellel, hogy ez a felírás egyértelmű, az előállíthatóság pedig azzal, hogy generátorrendszerről van szó.) +Egy b1,...,bk vektorrendszert akkor mondunk a V ≤ \mathbb{R}^n altér bázisának, ha lineárisan független, és V minden vektorát előállíthatjuk a bi vektorok lineáris kombinációjaként. (A lineáris függetlenség helyettesíthető azzal a feltétellel, hogy ez a felírás egyértelmű, az előállíthatóság pedig azzal, hogy generátorrendszerről van szó.) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7}] - Definiáljuk egy a ∈ V ≤ Rn vektor koordinátavektorát a V egy b1,...,bk bázisában fölírva. + Definiáljuk egy a \in V ≤ \mathbb{R}^n vektor koordinátavektorát a V egy b1,...,bk bázisában fölírva. \tcblower Az a vektor koordinátavektora pontosan akkor [a]b1,...,bk =   -λ1 . . . λk +{\lambda}1 . . . {\lambda}k   -, ha a = λ1b1+···+λkbk. +, ha a = {\lambda}1b1+ \cdot \cdot \cdot +{\lambda}kbk. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8}] - Egy A ⊆ Rn vektorhalmaz esetén adjuk meg az A által generált altér egy jellemzését. + Egy A {\subseteq} \mathbb{R}^n vektorhalmaz esetén adjuk meg az A által generált altér egy jellemzését. \tcblower -Az A által generált altér azokból az Rn-beli vektorokból áll, amelyek előállnak A-beli vektorok lineáris kombinációiként, azaz amelyek lineárisan függnek az A-beli vektoroktól. (Ez a halmaz megegyezik az A-t tartalmazó Rn-beli alterek metszetével.) +Az A által generált altér azokból az \mathbb{R}^n-beli vektorokból áll, amelyek előállnak A-beli vektorok lineáris kombinációiként, azaz amelyek lineárisan függnek az A-beli vektoroktól. (Ez a halmaz megegyezik az A-t tartalmazó \mathbb{R}^n-beli alterek metszetével.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1268,7 +1268,7 @@ Minden lineárisan független rendszer elemszáma legfeljebb akkora, mint bárme \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10}] - Definiáljuk egy V ≤ Rn altér dimenzióját, dimV -t. + Definiáljuk egy V ≤ \mathbb{R}^n altér dimenzióját, dimV -t. \tcblower dimV a V egy bázisának elemszáma, illetve 0, ha V = {0}. (Ez a definíció azért értelmes, mert bármely két bázis elemszáma egyenlő.) @@ -1280,7 +1280,7 @@ dimV a V egy bázisának elemszáma, illetve 0, ha V = {0}. (Ez a definíció a \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={11}] - Definiáljuk egy v1,...,vk ∈ Rn vektorrendszer rangját, r(v1,...,vk)-t. + Definiáljuk egy v1,...,vk \in \mathbb{R}^n vektorrendszer rangját, r(v1,...,vk)-t. \tcblower @@ -1292,7 +1292,7 @@ r(v1,...,vk) = dimSpan(v1,...,vk), azaz egy vektorrendszer rangja megegyezik az \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12}] - Adjuk meg képlettel két mátrix, A ∈ Rk×ℓ és B ∈ Rℓ×n szorzatában, AB-ben az i-edik sor j-edik elemét, i[AB]j-t. Azt is mondjuk meg, i és j milyen értékére létezik ez az elem. + Adjuk meg képlettel két mátrix, A \in Rkxℓ és B \in Rℓxn szorzatában, AB-ben az i-edik sor j-edik elemét, i[AB]j-t. Azt is mondjuk meg, i és j milyen értékére létezik ez az elem. @@ -1308,7 +1308,7 @@ Ha 1 ≤ i ≤ k és 1 ≤ j ≤ n, akkor i[AB]j = Mondjunk ki két, a mátrixok transzponálását a többi szokásos mátrixművelettel összekapcsoló összefüggést. \tcblower -A,B ∈ Rk×n ⇒ (A + B)T = AT + BT λ ∈ R,A ∈ Rk×n ⇒ (λA)T = λAT A ∈ Rk×ℓ, B ∈ Rℓ×n ⇒ (AB)T = BTAT +A,B \in \mathbb{R}^{k x n} ⇒ (A + B)T = AT + BT {\lambda} \in R,A \in \mathbb{R}^{k x n} ⇒ ({\lambda}A)T = {\lambda}AT A \in Rkxℓ, B \in Rℓxn ⇒ (AB)T = BTAT \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1317,10 +1317,10 @@ A,B ∈ Rk×n ⇒ (A + B)T = AT + BT λ ∈ R,A ∈ Rk×n ⇒ (λA)T = λAT A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={14}] - Definiáljuk egy A ∈ Rk×n mátrix oszloprangját, illetve sorrangját, ρO(A)-t és ρS(A)-t. + Definiáljuk egy A \in \mathbb{R}^{k x n} mátrix oszloprangját, illetve sorrangját, ρO(A)-t és ρS(A)-t. \tcblower -Ha a1,...,an ∈ Rk a mátrix oszlopai, akkor ρO(A) = r(a1,...,ak), azaz az oszloprang az oszlopok rendszerének rangja (vagyis az oszlopok által generált altér dimenziója.) Analóg módon, a mátrix sorrangja a sorok által generált altér dimenziója, vagy másképpen: ρS(A) = ρO(AT). +Ha a1,...,an \in Rk a mátrix oszlopai, akkor ρO(A) = r(a1,...,ak), azaz az oszloprang az oszlopok rendszerének rangja (vagyis az oszlopok által generált altér dimenziója.) Analóg módon, a mátrix sorrangja a sorok által generált altér dimenziója, vagy másképpen: ρS(A) = ρO(AT). \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1339,10 +1339,10 @@ Ha létezik az AB mátrixszorzat, akkor ρO(AB) ≤ ρO(A). (Igaz a ρO(AB) ≤ \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={16}] - Mit nevezünk egy A ∈ Rn×m mátrix jobb, illetve kétoldali inverzének? + Mit nevezünk egy A \in \mathbb{R}^{n x m} mátrix jobb, illetve kétoldali inverzének? \tcblower -Az A(j) ∈ Rm×n mátrix jobb oldali inverze A-nak, ha AA(j) = In, ahol In az n × n-es egységmátrix. A−1 ∈ Rm×n kétoldali inverze A-nak, ha jobb oldali és bal oldali inverze is A-nak, azaz AA−1 = In, és A−1A = Im. (Ez utóbbi létezése esetén m = n.) +Az A(j) \in Rmxn mátrix jobb oldali inverze A-nak, ha AA(j) = In, ahol In az n x n-es egységmátrix. A−1 \in Rmxn kétoldali inverze A-nak, ha jobb oldali és bal oldali inverze is A-nak, azaz AA−1 = In, és A−1A = Im. (Ez utóbbi létezése esetén m = n.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1350,10 +1350,10 @@ Az A(j) ∈ Rm×n mátrix jobb oldali inverze A-nak, ha AA(j) = In, ahol In az n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={17}] - A mátrixrang fogalmának fölhasználásával mondjuk ki annak szükséges és elégséges feltételét, hogy az A ∈ Rn×m mátrixnak létezzen jobb oldali inverze. + A mátrixrang fogalmának fölhasználásával mondjuk ki annak szükséges és elégséges feltételét, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x m} mátrixnak létezzen jobb oldali inverze. \tcblower -Az A ∈ Rn×m mátrixnak pontosan akkor létezik jobb oldali inverze, ha ρ(A) = n, azaz a mátrix rangja megegyezik a sorainak a számával. +Az A \in \mathbb{R}^{n x m} mátrixnak pontosan akkor létezik jobb oldali inverze, ha ρ(A) = n, azaz a mátrix rangja megegyezik a sorainak a számával. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1374,7 +1374,7 @@ Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometria \begin{tcolorbox}[title={19}] Definiáljuk a geometriai vektorok vektoriális szorzatának fogalmát. \tcblower -Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometriai vektorok hajlásszögét. Ekkor az a és b vektoriális szorzata az az a × b-vel jelölt vektor, melyre: 1) |a × b| = |a||b|sinγ(ab); 2) a × b ⊥ a,b; 3) ha |a × b| 6= 0, akkor a,b,a × b jobbrendszert alkot. +Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometriai vektorok hajlásszögét. Ekkor az a és b vektoriális szorzata az az a x b-vel jelölt vektor, melyre: 1) |a x b| = |a||b|sinγ(ab); 2) a x b ⊥ a,b; 3) ha |a x b| 6= 0, akkor a,b,a x b jobbrendszert alkot. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1385,7 +1385,7 @@ Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometria Mondjuk ki a geometriai vektorokra vonatkozó kifejtési tételt. \tcblower -Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a × b) × c = (ac)b − (bc)a. +Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a x b) x c = (ac)b − (bc)a. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1396,7 +1396,7 @@ Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a × b) × c = (ac)b − (bc)a. Mondjuk ki a geometriai vektorokra vonatkozó felcserélési tételt. \tcblower - Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a × b)c = a(b × c). + Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a x b)c = a(b x c). \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1418,8 +1418,8 @@ Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a × b) × c = (ac)b − (bc)a. \tcblower Legyen A =  a11 ... a1n . . . . . . an1 ... ann - ∈ Rn×n. Ekkor detA = X i1,...,in (1,...,n) -(−1)I(i1,...,in)a1i1a2i2 ···anin. + \in \mathbb{R}^{n x n}. Ekkor detA = X i1,...,in (1,...,n) +(−1)I(i1,...,in)a1i1a2i2 \cdot \cdot \cdot anin. Itt az összegezés az {1,2,...,n} számok minden permutációjára történik, I(i1,...,in) pedig az adott permutáció inverzióinak a számát jelöli. \end{tcolorbox} @@ -1428,10 +1428,10 @@ Itt az összegezés az {1,2,...,n} számok minden permutációjára történik, \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={24}] - Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A ∈ Rn×n mátrix determinánsa nem nulla. + Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix determinánsa nem nulla. \tcblower -Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A ∈ Rn×n mátrix determinánsa nem nulla. +Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix determinánsa nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1439,17 +1439,17 @@ Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A ∈ Rn×n má \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={25}] - Mit értünk az A ∈ Rn×n mátrix i-edik sorának j-edik eleméhez tartozó előjelezett aldeterminánson, Aij-n? + Mit értünk az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix i-edik sorának j-edik eleméhez tartozó előjelezett aldeterminánson, Aij-n? \tcblower -Hagyjuk el az A mátrix i-edik sorát és a j-edik oszlopát; az így kapott (n−1)×(n−1)-es mátrixot jelölje Bij. Ekkor a keresett előjelezett aldetermináns: Aij = (−1)i+j detBij. +Hagyjuk el az A mátrix i-edik sorát és a j-edik oszlopát; az így kapott (n−1)x(n−1)-es mátrixot jelölje Bij. Ekkor a keresett előjelezett aldetermináns: Aij = (−1)i+j detBij. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={26}] - Adjuk meg képlettel az A ∈ Rn×n mátrix determinánsának i-edik sora szerinti kifejtését. A mátrix elemeit, illetve előjelezett aldeterminánsait aij, ill. Aij jelöli. + Adjuk meg képlettel az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix determinánsának i-edik sora szerinti kifejtését. A mátrix elemeit, illetve előjelezett aldeterminánsait aij, ill. Aij jelöli. \tcblower detA = @@ -1462,7 +1462,7 @@ detA = DefiniáljukaVandermonde-determinánsfogalmát, ésmondjukkiazértékérevonatkozóállítást. \tcblower -a1,...,an ∈ R, n ≥ 2 esetén V (a1,...,an) = +a1,...,an \in R, n \geq 2 esetén V (a1,...,an) = = Y 1≤i 0. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A mátrix minden sajátértéke pozitív. +Q-t akkor nevezzük pozitív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vektorra Q(x) > 0. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A mátrix minden sajátértéke pozitív. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={46}] - Mondjuk meg, mit jelent az, hogy az A ∈ Rn×n szimmetrikus mátrixhoz tartozó Q kvadratikus alak negatív definit, és jellemezzük ezt az esetet az A karakterisztikus sorozata segítségével. + Mondjuk meg, mit jelent az, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x n} szimmetrikus mátrixhoz tartozó Q kvadratikus alak negatív definit, és jellemezzük ezt az esetet az A karakterisztikus sorozata segítségével. \tcblower -Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x ∈ Rn vektorra Q(x) < 0. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A karakterisztikus sorozata jelváltó. (Az A mátrix ∆o,...,∆n karakterisztikus sorozatának k-adik tagja az A bal fölső sarkában lévő k × k-as részmátrix determinánsa, illetve ∆o = 1.) +Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vektorra Q(x) < 0. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A karakterisztikus sorozata jelváltó. (Az A mátrix ∆o,...,∆n karakterisztikus sorozatának k-adik tagja az A bal fölső sarkában lévő k x k-as részmátrix determinánsa, illetve ∆o = 1.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1659,31 +1659,6 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x ∈ Rn vektorra Q(x) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \begin{frame}[plain] \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] {\RHuge C rész} @@ -1698,7 +1673,7 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x ∈ Rn vektorra Q(x) A $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort.\\ - Képletben: tetszőleges ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R$ esetén, ha ${\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + ··· + {\lambda}kvk = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}i = 0$.\\ + Képletben: tetszőleges ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R$ esetén, ha ${\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}i = 0$.\\ Ha lenne egy vektor, melynek kétféle fölírása is létezne: $u = Pk i=1 {\lambda}ibi = Pk i=1 {\mu}ibi$, akkor a kétféle előállítást egymásból kivonva azt kapjuk, hogy\\ @@ -1719,18 +1694,18 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x ∈ Rn vektorra Q(x) Mondjuk ki azt az állítást, mely ezeket a fogalmakat összekapcsolja, és bizonyítsuk is be az állítást. \tcblower - Ha $k ≥ 2$, akkor a $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan $i$, hogy $vi$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól (azaz előáll mint a $v1,...,vi−1,vi+1,...,vk$ vektorok lineáris kombinációja).\\ + Ha $k \geq 2$, akkor a $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan $i$, hogy $vi$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól (azaz előáll mint a $v1,...,vi−1,vi+1,...,vk$ vektorok lineáris kombinációja).\\ \mmedskip Tegyük föl először, hogy a megadott vektorrendszer lineárisan összefüggő.\\ - Ez azt jelenti, hogy a nullvektornak van egy olyan $Pk i=1 λivi = 0$ előállítása, melynél valamelyik $λi$ együttható (pl. a $λi0$) nem $0$.\\ + Ez azt jelenti, hogy a nullvektornak van egy olyan $Pk i=1 {\lambda}ivi = 0$ előállítása, melynél valamelyik ${\lambda}i$ együttható (pl. a ${\lambda}i0$) nem $0$.\\ - Ekkor a $vi0$ kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, hiszen $vi0 = −(1/λi0)Pj6=io λjvj$.\\ + Ekkor a $vi0$ kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, hiszen $vi0 = −(1/{\lambda}i0)Pj6=io {\lambda}jvj$.\\ \mmedskip - A fordított irányhoz tegyük föl, hogy $vi0$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól, azaz $vi0 = Pj6=i0 µjvj$ valamilyen $µj$ együtthatókra.\\ + A fordított irányhoz tegyük föl, hogy $vi0$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól, azaz $vi0 = Pj6=i0 {\mu}jvj$ valamilyen ${\mu}j$ együtthatókra.\\ - De ekkor átrendezhetjük a fönti egyenlőséget úgy, hogy minden vektor az egyenlőség azonos oldalára kerüljön, s ekkor azt kapjuk, hogy a $µi0 = −1$ választással: $Pk i=1 µivi = 0$. Ez nem triviális lineáris kombinációja a $vi$ vektoroknak, mert $µi0 = −1 6= 0$, tehát a vektorrendszer lineárisan összefüggő. + De ekkor átrendezhetjük a fönti egyenlőséget úgy, hogy minden vektor az egyenlőség azonos oldalára kerüljön, s ekkor azt kapjuk, hogy a ${\mu}i0 = −1$ választással: $Pk i=1 {\mu}ivi = 0$. Ez nem triviális lineáris kombinációja a $vi$ vektoroknak, mert ${\mu}i0 = −1 6= 0$, tehát a vektorrendszer lineárisan összefüggő. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1741,42 +1716,42 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x ∈ Rn vektorra Q(x) \tcblower Ha egy lineárisan független $a1,...,ak$ vektorrendszerhez hozzávéve a $b$ vektort, a kapott $a1,...,ak,b$ vektorrendszer már összefüggő, akkor $b$ lineárisan függ az $a1,...,ak$ vektoroktól (azaz előállítható lineáris kombinációjukként).\\ - A feltétel szerint ugyanis léteznek olyan $λ1,...,λk,µ$ együtthatók, melyek közül legalább az egyik nem nulla, és melyekre $(Pk i=1 λiai) + µb = 0$. Itt azonban $µ$ nem lehet nulla, ellenkező esetben az $ai$ vektorok már önmagukban is előálítanák a nullvektort nem triviális módon, ez pedig ellentmond a lineáris függetlenségüknek.\\ + A feltétel szerint ugyanis léteznek olyan ${\lambda}1,...,{\lambda}k,{\mu}$ együtthatók, melyek közül legalább az egyik nem nulla, és melyekre $(Pk i=1 {\lambda}iai) + {\mu}b = 0$. Itt azonban ${\mu}$ nem lehet nulla, ellenkező esetben az $ai$ vektorok már önmagukban is előálítanák a nullvektort nem triviális módon, ez pedig ellentmond a lineáris függetlenségüknek.\\ - Ha átrendezzük az előbbi egyenlőséget úgy, hogy a $b$ vektort hagyjuk az egyik oldalon, akkor $µ$-vel osztva $b = Pk i=1(−λi/µ)ai$, ami azt mutatja, hogy $b$ lineárisan függ az $ai$ vektoroktól. + Ha átrendezzük az előbbi egyenlőséget úgy, hogy a $b$ vektort hagyjuk az egyik oldalon, akkor ${\mu}$-vel osztva $b = Pk i=1(−{\lambda}i/{\mu})ai$, ami azt mutatja, hogy $b$ lineárisan függ az $ai$ vektoroktól. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4. (4p)}] - Mondjuk ki az $Rn$-beli alterek fogalmának a műveletekre való zártsággal való definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy $Rn$ két alterének metszete is altér. + Mondjuk ki az $\mathbb{R}^n$-beli alterek fogalmának a műveletekre való zártsággal való definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy $\mathbb{R}^n$ két alterének metszete is altér. \tcblower - $W ⊆ Rn$ pontosan akkor altér, ha nem üres (ekvivalens módon itt azt is megkövetelhetjük, hogy a nullvektor benne van $W$-ben), továbbá $w1,w2 ∈ W$ esetén $w1 +w2 ∈ W$, valamint $w ∈ W és λ ∈ R$ esetén $λw ∈ W$. Tegyük föl, hogy $W1,W2$ altér $Rn$-ben.\\ + $W {\subseteq} \mathbb{R}^n$ pontosan akkor altér, ha nem üres (ekvivalens módon itt azt is megkövetelhetjük, hogy a nullvektor benne van $W$-ben), továbbá $w1,w2 \in W$ esetén $w1 +w2 \in W$, valamint $w \in W és {\lambda} \in R$ esetén ${\lambda}w \in W$. Tegyük föl, hogy $W1,W2$ altér $\mathbb{R}^n$-ben.\\ - Ekkor a nullvektor mindkét altérnek eleme, így $W1 ∩W2$ nem üres. Ha $w1,w2 ∈ W1 ∩W2$, akkor mindkét $i$ indexre $w1 +w2 ∈ Wi$ (hiszen $Wi$ altér), s ezért az összegvektor benne van a metszetben.\\ + Ekkor a nullvektor mindkét altérnek eleme, így $W1 {\cap}W2$ nem üres. Ha $w1,w2 \in W1 {\cap}W2$, akkor mindkét $i$ indexre $w1 +w2 \in Wi$ (hiszen $Wi$ altér), s ezért az összegvektor benne van a metszetben.\\ - Hasonlóan, ha $w ∈ W1 ∩ W2$ és $λ ∈ R$, akkor $Wi$ altér volta miatt $λw ∈ Wi$ mindkét lehetséges $i$ indexre, így $λw$ benne van a metszetükben is. + Hasonlóan, ha $w \in W1 {\cap} W2$ és ${\lambda} \in \mathbb{R}$, akkor $Wi$ altér volta miatt ${\lambda}w \in Wi$ mindkét lehetséges $i$ indexre, így ${\lambda}w$ benne van a metszetükben is. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7. (4p)}] - Definiáljuk az $n × n$-es egységmátrix fogalmát, és mondjuk meg, mi lesz az eredménye az egységmátrixszal való szorzásnak.\\ + Definiáljuk az $n x n$-es egységmátrix fogalmát, és mondjuk meg, mi lesz az eredménye az egységmátrixszal való szorzásnak.\\ Igazoljuk az egységmátrixszal jobbról való szorzásra vonatkozó összefüggést. \tcblower - Az $In ∈ Rn×n$ egységmátrix $i$-edik sorának $j$-edik eleme $1$, ha $i = j$, és $0$ egyébként (azaz a főátlóban $1$-esek, a főátlón kívül $0$-k szerepelnek).\\ + Az $In \in \mathbb{R}^{n x n}$ egységmátrix $i$-edik sorának $j$-edik eleme $1$, ha $i = j$, és $0$ egyébként (azaz a főátlóban $1$-esek, a főátlón kívül $0$-k szerepelnek).\\ - Úgy is írhatjuk, hogy a mátrix általános eleme $δij$, ahol $δij$ a szokásos Kronecker-szimbólum.\\ + Úgy is írhatjuk, hogy a mátrix általános eleme ${\delta}ij$, ahol ${\delta}ij$ a szokásos Kronecker-szimbólum.\\ - Tetszőleges $A ∈ Rk×n$ és $B ∈ Rn×m$ mátrixokra $AIn = A$ és $InB = B$.\\ + Tetszőleges $A \in \mathbb{R}^{k x n}$ és $B \in \mathbb{R}^{n x m}$ mátrixokra $AIn = A$ és $InB = B$.\\ Az $AIn = A$ igazolásához jelölje $apq$ az $A$ mátrix általános elemét.\\ - A szorzatmátrixban az $i$-edik sor $j$-edik eleme a szorzás definíciója szerint $i[AIn]j = Pn t=1(aitδtj)$.\\ + A szorzatmátrixban az $i$-edik sor $j$-edik eleme a szorzás definíciója szerint $i[AIn]j = Pn t=1(ait{\delta}tj)$.\\ - Ebben az összegben $δtj = 0$ ha $t 6= j$, ezért csak az egyetlen $aijδjj = aij$ tag marad meg. + Ebben az összegben ${\delta}tj = 0$ ha $t 6= j$, ezért csak az egyetlen $aij{\delta}jj = aij$ tag marad meg. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1785,69 +1760,19 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x ∈ Rn vektorra Q(x) \begin{tcolorbox}[title={8. (4p)}] Mondjuk ki és bizonyítsuk be a mátrixok szorzatának transzponáltjára kimondott összefüggést. \tcblower - Ha $A ∈ Rk×ℓ$ és $B ∈ Rℓ×n$, akkor $(AB)T = BTAT$. A szorzat transzponáltjának általános eleme ugyanis: $i[(AB)T]j = j[AB]i = Pℓ t=1 j[A]t · t[B]i = Pℓ t=1 i[BT]t · t[AT]j = i[BTAT]j$. + Ha $A \in Rkxℓ$ és $B \in Rℓxn$, akkor $(AB)T = BTAT$. A szorzat transzponáltjának általános eleme ugyanis: $i[(AB)T]j = j[AB]i = Pℓ t=1 j[A]t \cdot t[B]i = Pℓ t=1 i[BT]t \cdot t[AT]j = i[BTAT]j$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={15. (4p)}] - Definiáljuk egy $A ∈ Rn×n$ mátrix jobb oldali sajátértékének fogalmát, majd igazoljuk, hogy az $A$ mátrix $λ$ sajátértékű (jobb oldali) sajátvektorai a nullvektorral kiegészítve alteret alkotnak $Rn$-ben. + Definiáljuk egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix jobb oldali sajátértékének fogalmát, majd igazoljuk, hogy az $A$ mátrix ${\lambda}$ sajátértékű (jobb oldali) sajátvektorai a nullvektorral kiegészítve alteret alkotnak $\mathbb{R}^n$-ben. \tcblower - $λ ∈ R$ jobb oldali sajátértéke $A$-nak, ha van olyan $0 6= v ∈ Rn$ vektor, melyre $Av = λv$. (Ilyenkor $v$-t a $λ$-hoz tartozó (egyik) sajátvektornak nevezhetjük.)\\ + ${\lambda} \in R$ jobb oldali sajátértéke $A$-nak, ha van olyan $0 6= v \in \mathbb{R}^n$ vektor, melyre $Av = {\lambda}v$. (Ilyenkor $v$-t a ${\lambda}$-hoz tartozó (egyik) sajátvektornak nevezhetjük.)\\ - Azt kell igazolnunk, hogy $Wλ = {v ∈ Rn |Av = λv} ≤ Rn$. Nyilván $0 ∈ Wλ$, így $Wλ$ nem üres. Ha $v1,v2 ∈ Wλ$, akkor $A(v1 +v2) = Av1 +Av2 = λv1 +λv2 = λ(v1 +v2)$, azaz $Wλ$ zárt az összeadásra. Végül, ha $v ∈ Wλ$ és $µ ∈ R$, akkor $A(µv) = µAv = µ(λv) = λ(µv)$, vagyis $Wλ$ zárt a skalárral való szorzásra is. + Azt kell igazolnunk, hogy $W{\lambda} = {v \in \mathbb{R}^n |Av = {\lambda}v} ≤ \mathbb{R}^n$. Nyilván $0 \in W{\lambda}$, így $W{\lambda}$ nem üres. Ha $v1,v2 \in W{\lambda}$, akkor $A(v1 +v2) = Av1 +Av2 = {\lambda}v1 +{\lambda}v2 = {\lambda}(v1 +v2)$, azaz $W{\lambda}$ zárt az összeadásra. Végül, ha $v \in W{\lambda}$ és ${\mu} \in R$, akkor $A({\mu}v) = {\mu}Av = {\mu}({\lambda}v) = {\lambda}({\mu}v)$, vagyis $W{\lambda}$ zárt a skalárral való szorzásra is. \end{tcolorbox} \end{frame} - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - %Kiegészítések / Számolások - \begin{comment} - \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={Bázistranzformáció}] - Kérdés: Hány dimenziós?\\ - - \begin{center} - \begin{tabular}{ c|c c c c } - \hline - & a & b & c & d \\ - ${e_1}$ & 3 & 9 & 1 & 5 \\ - ${e_2}$ & 2 & 10 & 2 & 2 \\ - ${e_3}$ & -1 & 1 & 1 & -3 \\ - ${e_4}$ & 0 & -3 & -1 & 1 \\ - ${e_5}$ & 1 & 2 & 0 & 2 \\ - \hline - \end{tabular} - \end{center} - \mmedskip - - asd - \end{tcolorbox} - \end{frame} - \end{comment} \end{document}