From fd8c7c13f10452818a8d493f28e068bcea3743fb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Tue, 5 Jun 2018 22:26:29 +0200 Subject: [PATCH 01/10] -Linalg vizsga. --- .../Document.tex | 1651 ++++++++++++++++- .../PrezA4Page.tex | 9 + 2 files changed, 1655 insertions(+), 5 deletions(-) create mode 100644 Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/PrezA4Page.tex diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex index 712e837..200639f 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex @@ -1,7 +1,7 @@ % Compile twice! % With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager! -% !TEX root = ./Headers/PrezA4Page.tex +% !TEX root = ./PrezA4Page.tex % Uncomment these to get the presentation form %\documentclass{beamer} @@ -129,17 +129,1532 @@ \begin{frame}[plain] \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] - {\RHuge Vektorok koordinátavektora} + {\RHuge A rész} \mmedskip \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={Def.: Bázis}] - A $\{b_1,b_2,b_3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Határozzuk meg a $v = 2b_1 + 3b_2 - b_3$ vektor koordinátavektorát a $\{b_1, b_2, b_3\}$ bázisban. $[v]b1,b2,b3 =$ + \begin{tcolorbox}[title={2. (4p)}] +Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A részében szereplő főbb témaköröket néhány mintafeladattal, azok megoldásával és esetenként részletesebb magyarázattal. Ez a rész a szemléltetést szolgálja: a dolgozatban általában nem pont ezek a kérdések fognak szerepelni. A feladatok nehézségét szimbólumok jelzik. Ahol egy definíciót vagy tételt kell közvetlenül alkalmazni, ott N a jel. Ha a fogalom már nehezebb, vagy több lépést kell tenni, több fogalmat összekapcsolni, nemtriviális átalakítást kell végezni, ott R szerepel. A Q azt jelzi, hogy a feladat témája kifejezetten nehéz, vagy pedig ötlet kell a megoldáshoz. \end{tcolorbox} +\end{frame} - \end{frame} +\begin{frame}[plain] +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] + {\RHuge (1) Vektorok koordinátavektora} + \mmedskip +\end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={1/1. -N-}] + A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ Rn$ altérben. Határozzuk meg a $v = 2b1 + 3b2 −b3$ vektor koordinátavektorát a $\{b1,b2,b3\}$ bázisban. + \tcblower + A vektor bázisban vett koordinátavektorának fogalmát kéri számon.\\ + + A vektorból kell kiszámítani a koordinátáit.\\ + \mmedskip + + $[v]b1,b2,b3 =$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={1/2. -R-}] + Legyen $B = \{b1,b2,b3\}$ bázis a $V ≤ Rn$ altérben. Egy $v ∈ V$ vektornak a $\{b1 + b2,b2 + b3,b3\}$ bázisban fölírt koordinátavektora $[v]b1+b2,b2+b3,b3 =$.\\ + + Mi $v$ koordinátavektora a $B$ bázisban? + \tcblower + A vektor bázisban vett koordinátavektorának fogalmát kéri számon.\\ + + Kétlépéses, először a feladat szövegében megadott koordinátavektort írjuk át a bázisvektorok lineáris kombinációjává: $v = 1·(b1 + b2) + 1·(b2 + b3) + 0·(b3) = 1·b1 + 2·b2 + 1·b3$, majd az így kapott lineáris kombinációt koordinátavektorrá.\\ + \mmedskip + + $[v]b1,b2,b3 =$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={1/3. -R-}] + A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ Rn$ altérben. Ebben a bázisban a $v$, illetve $w$ vektorok koordinátorvektora $[v]b1,b2,b3 =  1 0 2   $ és $[w]b1,b2,b3 =  3 1 0   $. Írjuk föl a $v+2w$ vektort a $\{b1,b2,b3\}$ vektorok lineáris kombinációjaként. + \tcblower + A feladat két fogalmat kérdez:\\ + hogyan kell a koordinátákból kiszámítani a vektorokat, de még azt is tudni kell, hogy hogyan kell koordinátavektorokkal műveleteket végezni.\\ + + Tehát először a két koordinátavektor megfelelő lineáris kombinációját számoljuk ki: $  1 0 2  + 2   3 1 0  =   7 2 2   $, majd az így kapott oszlopvektort átírjuk a bázisvektorok lineáris kombinációjává.\\ + + De megtehetjük azt is, hogy először a v és w vektorokat írjuk fel a bázisvektorok lineáris kombinációjaként, majd ebből számítjuk ki a $v+2w$-t. + + $v + 2w = 7b1 + 2b2 + 2b3$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={1/4. -Q-}] + Tegyük föl, hogy a $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ Rn$ altérben. Mi lesz ezen $bi$ bázisvektorok $v$-vel jelölt összegénekakoordinátavektora a $\{b1+b2,b2,b3\}$ bázisban? + \tcblower + Az a kérdés, hogy a $b1+b2+b3 = λ1(b1+b2)+λ2b2+λ3b3$ felírásban mennyi a $λi$ ismeretlenek értéke.\\| + Ezekre úgy kapunk lineáris egyenletrendszert, hogy a $bi$ bázisvektor együtthatóját az egyenlet két oldalán összehasonlítjuk.\\ + + Azonnal látszik, hogy $b1 + b2 + b3 = 1·(b1 + b2) + 0·b2 + 1·b3$ megfelelő felírás, és ezért ezek az együtthatók adják a keresett koordinátavektort.\\ + + Ennek a problémának a megoldását az általános esetben az elemi bázistranszformációról szóló tétel szolgáltatja. + + $[v]b1,b2,b3 =$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame}[plain] +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] + {\RHuge (2) Alterek alaptulajdonságai} + \mmedskip +\end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={2/1. -R-}] + Konkrét vektorokat megadva mutassuk meg, miért nem alkot alteret $R3$-ben azon vektorok halmaza, ahol az első két komponens szorzata nulla. + \tcblower + + \mmedskip + + Pl. benne vannak az altérben, de az összegük,nincs. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={2/2. -Q-}] + Konkrét mátrixokat megadva mutassuk meg, miért nem alkot alteret $R2×2$-ben a nulla determinánsú mátrixok halmaza. + \tcblower + A nulla determinánsú mátrixok összege könnyen lehet nem nulla determinánsú, s hasonlóképpen nem nulla determinánsú mátrixok összege lehet nulla determinánsú.\\ + \mmedskip + + Pl. det= det= 0, ugyanakkor det + \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={2/3. -R-}] + Tekintsük azoknak az $R3$-beli vektoroknak a halmazát, amelyek az alábbi feltételnek tesznek eleget.\\ű + + Mely eset(ek)ben kapunk alteret?\\ + (A) $x1 = x2 + 2x3$\\ + (B) $x1 = x2 + 2$\\ + (C) $x1x2 = 0$\\ + (D) $x2 1 = 0$ + \tcblower + + \mmedskip + + Alter(ek): (A), (D) + \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={2/4. -Q-}] + Mely alábbi halmaz(ok) alkot(nak) alteret a $2×2$-es valós mátrixok halmazában mint $R$ fölötti vektortérben:\\ + \mmedskip + + (A) $\{A ∈ R2×2|detA = 0\}$\\ + (B) $\{A ∈ R2×2|detA 6= 0\}$\\ + (C) $\{A ∈ R2×2|A = AT\}$\\ + (D) $\{A ∈ R2×2|A2 = I2\}$ + \tcblower + Azt kell megvizsgálnunk, hogy a megadott halmazok zártak-e az összeadásra, ill. a skalárral való szorzásra:\\ + + Az (A) kérdésben nulla determinánsú mátrixok összege könnyen lehet nem nulla determinánsú, s hasonlóképpen nem nulla determinánsú mátrixok összege lehet nulla determinánsú.\\ + + A (B)-ben (de érvelhetünk azzal is, hogy a nullmátrix nem ilyen);\\ + + A szimmetria megőrződik mátrixok összeadásánál, ill. skalárral való szorzásánál (ez mutatja, hogy a (C) feladatban alterünk van).\\ + + Az pedig hogy a (D) feladatban nem kapunk alteret, kiderül pl. abból is, hogy a nullmátrix nem teljesíti az adott feltételt. + \mmedskip + + Alter(ek): (C) + \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={2/5. -Q-}] + Mutassunk egy olyan $H$ részhalmazt $R2$-ben (azaz a síkon), mely zárt a vektorok szokásos összeadására, mégsem alkot alteret $R2$-ben. + \tcblower + A feladat arra mutat rá, hogy altereknél mindkét műveletre való zártságot meg kell követelnünk:\\ + + erre érdemes már a fölkészülés során is példát keresnünk, hogy jobban megérthessük a fogalmat. + \mmedskip + + Pl. $\{[a b]T ∈ R2|a,b > 0\}$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame}[plain] +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] + {\RHuge (3) Bázis, lineáris függetlenség, generálás, dimenzió, rang kapcsolata} + \mmedskip +\end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={3/1. -N-}] + Alkalmas együtthatók megadásával mutassuk meg, hogy a $\{v,0,w\}$ vektorok rendszere lineárisan összefüggő. + \tcblower + + \mmedskip + + $0·v + 1·0 + 0·w = 0$. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={3/2. -N-}] + Alkalmas együtthatók megadásával mutassuk meg, hogy az $\{u,v,w,v+2w\}$ vektorok rendszere lineárisan összefüggő. + \tcblower + + \mmedskip + + $0·u + 1·v + 2·w + (−1)(v + 2w) = 0.$. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={3/3. -N-}] + Legyen $v1 = ∈ R2$ és $v2 = ∈ R2$. Mely valós $c$ szám(ok)ra lesz $v1$ és $v2$ lineárisan összefüggő? + \tcblower + + \mmedskip + + $c = 3$. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={3/4. -R-}] + Mely $c ∈ R$ valós számokra lesznek lineárisan függetlenek az $[1 0 c]T, a [2 2 2]T$ és a $[4 2 3]T$ vektorok? + \tcblower + + \mmedskip + + $c 6= 1/2$. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={3/5. -R-}] + Legyen $v1 = 1 1 ∈ R3$. Adjunk meg olyan $v2$ és $v3$ vektorokat $R3$-ban, melyekre igaz, hogy a $v1,v2,v3$ vektorrendszer lineárisan összefüggő, de közülük bármely két vektor lineárisan független. + \tcblower + + \mmedskip + + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={3/6. -N-}] + Egy $U ≤ R2$ altérben $[2 3]T$ generátorrendszert alkot. Adjunk meg $U$-ban egy háromelemű generátorrendszert. + \tcblower + + \mmedskip + + Pl. $[2 3]T, [4 6]T, [0 0]T$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={3/7. -R-}] + Egy $U ≤ R5$ altérben van olyan $\{v1,v2,v3\}$ háromelemű lineárisan összefüggő vektorhalmaz, mely generátorrendszer U-ban. Hány eleme lehet $U$ egy bázisának? + \tcblower + + \mmedskip + + Bázis elemszáma lehet: 1,2 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={3/8. -R-}] + Ha egy $U ≤ R9$ altérben van $5$ elemű lineárisan összefüggő generátorrendszer is, meg $3$ elemű lineárisan független vektorrendszer is, akkor mik $dimU$ lehetséges értékei? + + \tcblower + + \mmedskip + + dimU lehet: 3 vagy 4 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={3/9. -N-}] + Legyenek $\{v1,v2,v3\}$ lineárisan független vektorok. Adjuk meg a $\{v1 + v2,v2,2v1 + v2\}$ által generált altér egy bázisát. + + \tcblower + + \mmedskip + + Pl. : $\{v1 + v2,v2\}$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={3/10. -Q-}] + Adott egy ötelemű vektorrendszer, melynek a rangja $3.$ Eltávolítunk a rendszerből két vektort. Mik az új rendszer rangjának lehetséges értékei? + \tcblower + + \mmedskip + + A rang lehet: 1, 2 vagy 3 + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={3/11. -Q-}] + Legyen $U = \{[x1,x2,x3]T ∈ R3|x1 = 2x2 = 3x3\}$ az R3 altere. Hány olyan bázisa van az $U$ altérnek, mely tartalmazza a $v = [6,3,2]T$ vektort? + \tcblower + + \mmedskip + Bázisok száma: 1 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={3/11. -Q-}] +Az első két feladatban + +A lineáris összefüggőséget kell bizonyítanunk.\\ +Ehhez olyan együtthatókat kell megadnunk, amelyek nem mindegyike nulla (és nem olyanokat, hogy egyik sem nulla). Ha tehát a rendszerben látunk néhány összefüggő vektort, akkor a többinek nyugodtan adhatunk nulla együtthatót. + +A harmadik feladatban arra érdemes emlékeznünk, hogy két nem nulla vektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha egymás skalárszorosai. + +A negyedik feladatot megoldhatjuk a szokásos homogén lineáris egyenletrendszer vizsgálatával (ha a megoldások száma nagyobb, mint 1, akkor a vektorrendszer összefüggő). Másik lehetőség annak a tételnek az alkalmazása, hogy a megadott vektorok pontosan akkor lineárisan függetlenek, ha a belőlük mint oszlopvektorokból képzett mátrix determinánsa nem 0. Mivel + +, ezért a válasz c 6= 1/2. Az ötödik feladatban segít, ha tudjuk, hogy mit jelent az összefüggőség a lineáris függés nyelvén: a feltételek azt jelentik, hogy a vektorok egyike sem skalárszorosa a másiknak, de az egyik vektor a másik kettőnek a lineáris kombinációja. + +A hatodik feladatban azt az állítást használjuk, hogy generátorrendszer kibővítve is generátorrendszer marad, de vigyáznunk kell, hogy az új vektorokat is az altérből vegyük. + +A hetedik kérdés megválaszolásához az a tény segít, hogy minden generátorrendszerből kiválasztható bázis, az azonban lineárisan független. Így a háromelemű halmazból legalább egyet el kell távolítanunk, hogy bázist kaphassunk. Mivel az altérben van legalább három vektor, ezért az nem lehet 0 dimenziós. + +A nyolcadik feladat gondolata ugyanez, de hozzá kell tennünk, hogy független rendszer elemszáma kisebb vagy egyenlő, mint az altér dimenziója. + +A kilencedik feladathoz jó arra emlékezni, hogy ha egy U altér egy generátorrendszeréből kiválasztunk olyan vektorokat, amelyek egyrészt függetlenek, másrészt U adott generátorai már kifejezhetők velük (vagyis ez egy maximális független rendszer U adott generátorrendszerében), akkor ez a kiválasztott független rendszer bázis lesz U-ban. + +A tizedik feladathoz tudni kell, hogy a rang a generált altér dimenziója. Ha tehát egy háromdimenziós altér ötelemű generátorrendszeréből eltávolítunk két vektort, akkor a maradék vektorrendszer által generált altér még mindig legalább egydimenziós (hiszen még egy háromelemű független rendszerből is maximum kettőt távolíthattunk el), de maradhatott is háromdimenziós (ha pl. a két „fölösleges” vektort dobtuk ki.) + +Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely nem nulla vektor egyúttal bázis is. Ha a tér dimenziója nagyobb lenne, akkor – hivatkozva arra a tételre, mely szerint független rendszer kiegészíthető bázissá – máris megváltozna a helyzet: ilyenkor bármely, a dimenziószámnál kisebb elemszámú vektorhalmaz végtelen sok módon egészíthető ki bázissá. + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + + +\begin{frame}[plain] +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] + {\RHuge (4) Bázis megadása, dimenzió} + \mmedskip +\end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={4/1. -N-}] + Álljon az $U$ altér az $R3$ azon $v$ vektoraiból, ahol a második és a harmadik komponens egyenlő. Adjunk meg egy bázist $U$-ban. + \tcblower + + \mmedskip + + Pl. $[1 0 0]T$, $[0 1 1]T$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={4/2. -N-}] + Legyen $\{b1,b2,b3\}$ bázis egy $U$ altérben. Hány dimenziós alteret generál $\{b1 + b2,b2,b1 −b2\}$? + \tcblower + + \mmedskip + + Az altér dimenziója: 2 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={4/3. -R-}] + Hány dimenziós azon $Rn$-beli vektoroknak az altere, melyekben a komponensek összege $0$? + \tcblower + + \mmedskip + + A dimenzió: $n−1$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={4/4. -R-}] + Hány dimenziós azon $Rn$-beli vektoroknak az altere, melyekben a komponensek négyzetösszege $0$? + \tcblower + + \mmedskip + + A dimenzió: $0$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={4/5. -Q-}] + Hány dimenziós alteret alkotnak $R3×3$-ban azok az A mátrixok, amelyekre teljesül, hogy $AT = −A$? + \tcblower + + \mmedskip + + A dimenzió: $3$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={4/6. -R-}] + Hány négydimenziós altér van $R4$-ben mint $R$ fölötti vektortérben? + \tcblower + + \mmedskip + + Alterek száma: $1$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={4/7. -Q-}] + Hány olyan altér van $R2×2$-ben mint $R$ fölötti vektortérben, mely tartalmazza az összes $2 × 2$-es szimmetrikus mátrixot? + \tcblower + + \mmedskip + + Alterek száma: $2$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={4/7. -Q-}] +Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában {b1 + b2,b2} ilyen. De bázist alkot ebben az altérben {b1,b2} is, hiszen b1 = (b1 + b2) − b2 is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának y = 0 speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti Rn dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első n−1 komponens egyike 1, az utolsó komponens−1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy Rn egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint Rn-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a 2×2-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a R2×2 téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + + +\begin{frame}[plain] +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] + {\RHuge (5) Lineáris egyenletrendszerek, megoldásszámuk} + \mmedskip +\end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={5/1. -N-}] + Adjunk meg egy olyan lineáris egyenletrendszert, melyben két egyenlet van, három ismeretlen, és az egyenletrendszernek nincs megoldása. + \tcblower + + \mmedskip + + Pl.: +$x + y + z = 2$ +$x + y + z = 3$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={5/2. -N-}] + Adjunk meg egy olyan inhomogén lineáris egyenletrendszert, melyben három egyenlet van, két ismeretlen, és az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. + \tcblower + + \mmedskip + + Pl.: +$x + y = 1$ +$2x + 2y = 2$ +$3x + 3y = 3$ + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={5/3. -N-}] + Mi lehet a megoldások száma egy olyan valós együtthatós lineáris egyenletrendszernél, melyben az egyenletek száma 3, az ismeretlenek száma pedig 5? + \tcblower + + \mmedskip + + 0 vagy végtelen + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={5/3. -N-}] +Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés van: ha több ismeretlen van, mint egyenlet, akkor nem lehet egyértelmű a megoldás (erre kérdez rá a harmadik feladat). Vagyis ha az egyenletrendszerben nincs elég egyenlet – nem tudunk eleget az ismeretlenekről –, akkor ugyan lehet ellentmondásos (ehhez már két egyenlet is elég, mint az első feladatban, sőt az egyetlen 0·x + 0·y = 1 egyenlet is), de ha nem ellentmondásos, azaz van megoldás, akkor biztosan egynél több megoldás van. Valós és komplex együtthatós egyenletrendszerek esetében ilyenkor a megoldások száma végtelen. Az egyenletek számát szaporíthatjuk úgy, hogy a megoldások halmaza ne változzon: ehhez a rendszerbe már bent lévő egyenletek lineáris kombinációját kell bevenni (mint a második feladatban). Fontos, hogy homogén lineáris egyenletrendszernek – amikor az egyenletek jobb oldalán mindenütt 0 áll – mindig van megoldása: a triviális megoldás, amikor minden ismeretlen értéke nulla. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + + +\begin{frame}[plain] +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] + {\RHuge (6) Lineáris egyenletrendszerek, megoldásszámuk} + \mmedskip +\end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={6/1. -N-}] + Legyen $A ∈ Rk×ℓ$, $B ∈ Rp×r$ és $C ∈ Rt×u$. Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy értelmes legyen az $ABT + C$ mátrixkifejezés. + \tcblower + + \mmedskip + + $ℓ = r, k = t, p = u$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={6/2. -N-}] + Legyen A =. Adjunk meg egy olyan $2×2$-es, egész elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrixot, amelyre igaz, hogy $AB = 0$. + + \tcblower + + \mmedskip + + Pl. B = + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={6/3. -N-}] + Legyen A = . Mely c ∈ R számokra van olyan $2×2$-es, valós elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrix, amelyre igaz, hogy $AB = 0$? + \tcblower + + \mmedskip + + c = 9 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={6/4. -N-}] + Adjunk meg egy olyan $2×2$-es egész elemű, a nullmátrixtól különböző A mátrixot, amelyre igaz, hogy van olyan 0 6= $B ∈ R2×2$, melyre $AB = 0$. + \tcblower + + \mmedskip + + Pl. A = + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={6/5. -N-}] + Adjuk meg az A = mátrix inverzét. + \tcblower + + \mmedskip + + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={6/6. -N-}] + Adjuk meg az $A = [1 2 3]$ sormátrix egy jobb oldali inverzét. + \tcblower + + \mmedskip + + Pl.: $[1 0 0]T$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={6/7. -N-}] + Hány olyan jobb oldali inverze van az $A = [1 1 1]$ sormátrixnak, melyben minden elem egyenlő? + \tcblower + + \mmedskip + + Számuk: 1 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={6/8. -Q-}] + Az alábbi mátrixok közül melyeknek nem lehet jobb oldali inverze a valós paraméterek semmilyen választására sem (azonos betűk azonos számokat jelölnek)? + + + \tcblower + + \mmedskip + + (A), (C) + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={6/8. -Q-}] +Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összeadása, szorzása, illetve mik a transzponált mátrix méretei. Két mátrix szorzatának oszlopaiban a bal oldali mátrix oszlopainak lineáris kombinációi állnak. Ezért az AB = 0 akkor tud teljesülni nem nulla B mátrixszal, ha A oszlopai lineárisan öszefüggenek. Speciálisan ha A négyzetes mátrix, akkor ez azzal ekvivalens, hogy A determinánsa nulla. Ezzel a tétellel könnyű megválaszolni a harmadik feladatot, illetve keresni megfelelő mátrixot a negyedik feladatban. Kétszer kettes mátrix esetében érdemes megjegyezni az inverz képletét: inverz akkor létezik, ha a mátrix d determinánsa nem nulla, és ekkor az inverz mátrixot úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrixban a főátló két elemét kicseréljük, a mellékátló elemeit ellentettjükre változtatjuk, végül a mátrix minden elemét elosztjuk d-vel (így kaptuk az ötödik feladat eredményét). Nem feltétlenül négyzetes mátrixra is érvényes, hogy pontosan akkor van jobb oldali inverze, ha rangja megegyezik a sorainak a számával, azaz ha a sorai lineárisan függetlenek. Erre a tételre a hatodik és a hetedik feladat megoldásában nincs szükség, mert azok megoldása közvetlen számolás (a hetedik feladatban az egyetlen megfelelő vektor [1/3 1/3 1/3]T). A nyolcadik feladatban viszont ezt a tételt alkalmazzuk. Az (A) rész két sora nyilván összefügg, a (C) esetében ez azért igaz, mert R2 dimenziója 2, és így bármely három vektor összefüggő. A (B)-ben például az a = d = 1 és b = c = 0 két független vektort ad, a (D) esetben meg a három sor független lesz ha a 6= 9, hiszen ekkor a determináns értéke nem nulla. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame}[plain] +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] + {\RHuge (7) Permutációk, inverziók, determinánsok} + \mmedskip +\end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={7/1. -N-}] + Az A = [aij] ∈ R5×5 mátrix determinánsának kiszámolásakor mennyi lesz az a31a24a53a15a42 szorzathoz tartozó permutációban az inverziók száma? + + \tcblower + + \mmedskip + + 7 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={7/2. -R-}] + Az A = [aij] ∈ R5×5 mátrix determinánsának kiszámolásakor az a11a2ia33a45a5j szorzatot (−1)-gyel szorozva kellett figyelembe venni. Határozzuk meg i-t és j-t. + \tcblower + + \mmedskip + + i = j = +2 4 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={7/3. -Q-}] + Az {1,2,3,4,5} számoknak hány olyan sorbarendezése (permutációja) van, melyben az inverziók száma 1? + \tcblower + + \mmedskip + + Ilyenek száma: 4 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={7/4. -Q-}] + Az $\{1,2,3,4,5\}$ számok $i2jkℓ$ típusú sorbarendezései (azaz permutációi) között mennyi lehet az inverziók maximális száma? + \tcblower + + \mmedskip + Max. inverziószám: 8 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={7/5. -N-}] + Legyenek $A,B,C ∈ R3×3$ olyan valós mátrixok, melyekre $detA = 2, detB = 3$ és $detC = 4$. Mennyi lesz $2A2C−1B$ determinánsa? + \tcblower + + \mmedskip + + $23 ·22 ·(1/4)·3 = 24$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={7/6. -R-}] + Legyen A = +, és +tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? + + \tcblower + + \mmedskip + + detB = −5 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={7/6. -R-}] + A determináns definíciójában a tagok előjelezését a következőképpen kell kiszámolni. A szorzatot rendezzük át úgy, hogy az aij-k első indexei növekedjenek 1-től n-ig. Ezek után a második indexek által alkotott permutációban számoljuk meg az inverziókat (vagyis azokat a párokat, amelyekben az elöl szereplő szám a nagyobb). Ha ezek száma páros, akkor az előjel +, különben −. Az első feladatban a kapott sorrend 54123. Ha n elemet permutálunk, akkor az inverziók maximális száman 2; ezt a számot az elemek monoton fogyó sorbarendezése produkálja, 0 inverziója pedig csak a természetes, monoton növő sorbarendezésnek van. Két elemet megcserélve, a permutáció paritása (előjele) mindig megváltozik. A második példában i és j csak 2 és 4 lehet valamelyik sorrendben, ezt a két permutációt kell kipróbálni. A harmadik feladatban csak két szomszédos elemet cserélhetünk meg az alapsorrendhez képest. A negyedik feladatban az az ötlet, hogy a 2 után legalább két, 2-nél nagyobb számnak kell lennie, ez két nem-inverziót elront, és így maximum 8 inverzió lehet. Az 52431 sorrend ezt elő is állítja. Az ötödik feladat a determinánsok szorzástételének egyszerű alkalmazása (amiből következik, hogy egy mátrix inverzének a determinánsa az eredeti mátrix determinánsának a reciproka). A hatodik feladatban az eredeti mátrixot transzponáltuk, megcseréltük az első két oszlopot, majd az új első oszlopot adtuk a harmadikhoz. A középső lépésnél a determináns előjelet vált, a másik kettőnél nem változik. + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame}[plain] +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] + {\RHuge (8) Jobb oldali sajátértékek és sajátvektorok, diagonalizálhatóság} + \mmedskip +\end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={8/1. -N-}] + Mik az A = R3×3 mátrix sajátértékei? + + \tcblower + + \mmedskip + + 1, 4, 6 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={8/2. -N-}] + Írjunk föl egy olyan mátrixot, amelynek karakterisztikus polinomja $(1−λ)(2−λ)(3−λ)$. + + \tcblower + + \mmedskip + + Pl. A = + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={8/3. -R-}] + Írjunk föl egy olyan nem diagonalizálható mátrixot, melynek karakterisztikus polinomja λ2. + + \tcblower + + \mmedskip + + Pl. A = + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={8/4. -Q-}] + Az A = ∈ R2×2 mátrix nem diagonalizálható R fölött. Mik c lehetséges értékei? + + + \tcblower + + \mmedskip + + c ≤ 0 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={8/5. -Q-}] + Milyen c ∈ R valós értékekre lesz az 1 2 0 c ∈ R2×2 mátrix diagonalizálható? + + \tcblower + + \mmedskip + + $c \neq 1$ + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={8/6. -Q-}] + Az A =a b c d∈ R2×2 mátrixra . Mennyi az a + 1 b c d + 1 mátrix determinánsa? det a + 1 b c + + \tcblower + + \mmedskip + + det + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={8/6. -Q-}] + Egy mátrix valós sajátértékeit a karakterisztikus polinom valós gyökei adják: a főátló minden eleméből levonunk λ-t és kiszámítjuk a determinánst. Felső háromszögmátrix, speciálisan diagonális mátrix esetén a sajátértékek a főátlóból leolvashatók. A sajátvektorokat minden egyes sajátértékhez egy-egy lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg. A diagonalizálhatóság feltétele az, hogy legyen „elegendő” sajátvektor, azaz a tér dimenziószámával megegyező mennyiségű lineárisan független sajátvektor. A harmadik feladat mátrixa esetében ez nem teljesül, mert a sajátvektorokr 0T alakúak, ahol r 6= 0 (azaz a 0-hoz tartozó sajátaltér egydimenziós). Gyakran használt elégséges feltétel, hogy egy n×n-es mátrix diagonalizálható R fölött, ha n különböző valós sajátértéke van. A negyedik feladat mátrixának karakterisztikus polinomja λ2−c. Ennek c > 0-ra két különböző valós gyöke van, tehát ilyenkor a mátrix diagonalizálható; c < 0-ra nincs valós gyök, ezért R fölött nem diagonalizálhatjuk a mátrixot; végül c = 0-ra a megoldást a harmadik feladat adja. Hasonló érvelés adható az ötödik feladatnál is. A hatodik feladat feltétele azt mutatja, hogy a −1 sajátértéke a mátrixnak, ha tehát −1-et levonunk a főátló minden eleméből, épp az A−(−1)I2 mátrixot kapjuk, aminek a determinánsa 0, hiszen −1 gyöke a karakterisztikus polinomnak. + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + + +\begin{frame}[plain] +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] + {\RHuge (9) Lineáris transzformációk mátrixa, sajátértékei, kép- és magtere; báziscsere } + \mmedskip +\end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={9/1. -N-}] + Mi a kétdimenziós valós sík, azaz R2 origó körüli +90 fokos forgatásának mátrixa az i és j bázisban? + + \tcblower + + \mmedskip + + [ϕ]i,j;i,j = 0 −1 1 0 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={9/2. -R-}] + Mi a háromdimenziós valós tér, azaz R3 x-y-síkra való tükrözésének a mátrixa az j,k,i bázisban? (Itt a bázisvektorok sorrendje a megszokottól eltérő.) + + \tcblower + + \mmedskip + + [ϕ]j,k,i;j,k,i = + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={9/3. -N-}] + Mik a kétdimenziós valós sík, azaz R2 origóra való tükrözésének sajátértékei? + + \tcblower + + \mmedskip + + −1 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={9/4. -R-}] + Az R2 egy ϕ lineáris transzformációjára ϕ(i) = 2i és ϕ(j) = i + 3j. Mik ϕ sajátértékei? + + \tcblower + + \mmedskip + + 2 és 3 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={9/4. -R-}] + Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix. Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba. Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből (A′ = S−1AS). Az ötödik feladatban a képletre nincs szükség: az első bázisvektor, b1 kétszeresének a képe szintén önmaga, azaz 2b1, s így az új mátrix első oszlopában az első koordináta 1, a többi meg 0. Ugyanakkor a b2 és b3 képében fele annyit kell „vennünk” 2b1-ből, mint b1-ből, tehát az első sor második és harmadik eleme a felére csökken. Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit. Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban 2 1 0 3. Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a −1. A hatodik és a hetedik feladatban felírhatjuk, hogy ϕ(λe1 + µe2) = µ(e1 + e2). Ez akkor nulla, azaz λe1 + µe2 akkor van a magtérben, ha µ = 0. A képtér elemei pedig e1 + e2 többszörösei. A nyolcadik feladatban azt is lehet használni, hogy [ϕ(v)]B = [ϕ]B[v]B. Az Mx y zT = 0 egyenlet megoldása: x és y tetszőleges, z = 0. A magtér tehát kétdimenziós. Megoldható a feladat a dimenzióösszefüggés segítségével is, amely szerint a magtér dimenziója a mátrix oszlopainak száma mínusz a mátrix rangja. Harmadik megoldásként láthatjuk, hogy két bázisvektor a nullába megy, ezért a magtér legalább kétdimenziós, de háromdimenziós nem lehet, mert a mátrix nem nulla. + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame}[plain] +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] + {\RHuge (10) Skaláris szorzat, vektorok szöge } + \mmedskip +\end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={10/1. -N-}] + Mennyi az1 1 1 1T és az1 −1 −1 −1T vektorok szöge R4-ben, a szokásos ha,bi = aTb skaláris szorzatra nézve? + + \tcblower + + \mmedskip + + Szögük: 120◦ + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={10/2. -R-}] + Az 1 1 + i iT ∈ C3 vektor ha,bi = b∗a mellett merőleges az 1 1 + i cT vektorra. Határozzuk meg c ∈ C értékét. + + + \tcblower + + \mmedskip + + c = −3i + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={10/3. -R-}] + Álljon W az R3 azon vektoraiból, amelyek merőlegesek a0 1 1T és1 1 0T vektorok mindegyikére. Adjunk meg egy bázist W-ben. + + \tcblower + + \mmedskip + + {1 −1 1T} + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={10/4. -Q-}] + Mely a,b ∈ R értékekre lesz |3a + 4b| = 5√a2 + b2 + + \tcblower + + \mmedskip + + [a,b] = λ[3,4], λ ∈ R + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={10/4. -Q-}] + A szokásos skaláris szorzatot Rn-ben az ha,bi = aTb összefüggés adja meg; két vektor merőlegessége azt jelenti, hogy a skaláris szorzatuk nulla. Rn-ben a vektorok szögét a cosγ = ha,bi kak·kbk összefüggéssel definiáljuk, erről szól az első feladat. (A megoldáshoz érdemes átismételni a szögfüggvények értékét a nevezetes szögeken.) A második feladat esetében a skaláris szorzat kiszámításánál vigyázzunk arra, hogy a második tényező komponenseit meg kell konjugálni. A harmadik feladatnál lineáris egyenletrendszert kapunk W elemeinek komponenseire. A negyedik feladat esetében arra kell ráismerni, hogy a feladatbeli egyenlet az u = [3 4]T és a v = [a b]T vektorokra írja föl az |hu,vi| = kuk·kvk összefüggést, ami a Cauchy-egyenlőtlenség alapján akkor és csak akkor teljesülhet, ha u és v párhuzamosak. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame}[plain] +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] + {\RHuge (11) Geometriai vektorok: vektoriális és vegyes szorzat } + \mmedskip +\end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={11/1. -N-}] + Ha [a]i,j,k = 0 1 1T és a [b]i,j,k = 1 1 0T, akkor számítsuk ki az a és b vektorok vektoriális szorzatát (koordinátákkal). + + \tcblower + + \mmedskip + + −1 1 −1T + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={11/1. -N-}] + A vektoriális szorzat koordinátáinak kiszámításához érdemes a „determinásos” képletet használni: egy 3 × 3-as determináns első sorába az i, j, k vektorokat írjuk, a másik két sorba pedig a megadott vektorok koordinátáit, majd a determinánst (formálisan) kifejtjük az első sora szerint. Ekkor az i, j, k vektorok egy lineáris kombinációját kapjuk: ez lesz a vektoriális szorzat és így a leggyorsabb megoldani az első feladatot. Ebből a képletből láthatjuk azt is, hogy a vegyes szorzat is egy olyan determináns értéke, amelynek soraiban a három megadott vektor van alkalmas sorrendben. Speciálisan három vektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, azaz akkor és csak akkor vannak egy síkban, ha a vegyes szorzatuk nulla. Ez kapcsolódik a második és a harmadik feladat (B) részéhez is. Az utolsó három feladatban érdemes a derékszögű koordinátarendszerben a három tengelyirányú egységvektorra, i-re, j-re és k-ra nézni a vektoriális szorzat hatását, ezekkel érdemes kísérletezni az utolsó három feladatban. A második feladat (A) részében könnyű látni, hogy ha a és b nem esnek egy irányba, akkor a × b merőleges lesz az általuk meghatározott síkra, s ekkor c lehet akár a-val is egyenlő, az (a × b) × c vektoriális szorzat nem lesz a nullvektor. A (C) részben ha a és b vagy b és c párhuzamosak, akkor az ő vektoriális szorzatuk 0, és így 0 lesz a teljes vektoriális szorzat is. Ha viszont egyik vektorpár sem párhuzamos, akkor mindkét esetben ugyanazt a síkot feszítik ki (hiszen a,b és c lineárisan összefüggők), és így mindkét vektorpár vektoriális szorzata a síkra merőleges lesz, vagyis ezek párhuzamos vektorok, vektoriális szorzatuk tehát biztosan 0. A (D) esetben pedig pl. a = c = i, b = j esetén a szorzat értéke k és −k skaláris szorzata lesz, tehát nem 0. Hasonló okoskodással lehet kielemezni az utolsó két feladatban szereplő állítások igazságértékét is. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame}[plain] +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] + {\RHuge (12) Kvadratikus alakok jellege (definitsége)} + \mmedskip +\end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={12/1. -N-}] + Számítsuk ki az1 2 2 1mátrix által meghatározott kvadratikus alak értékét az1 2T vektoron. + + \tcblower + + \mmedskip + + 13 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={12/2. -R-}] + Adjunk meg egy v ∈ R2 vektort, melyen az A = 1 2 2 1 mátrix által meghatározott kvadratikus alak negatív értéket vesz föl. + + + \tcblower + + \mmedskip + + Pl. v =  1 −1 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={12/3. -R-}] + Adjuk meg az  +a b c b 1 −2 c −2 −1 + ∈ R3×3 mátrix által meghatározott bilineáris függvény kvadratikus karakterét (definitségét). + + + \tcblower + + \mmedskip + + Indefinit. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] + Milyen c ∈ R valós értékekre lesz az1 c c c∈ R2×2 mátrix által meghatározott kvadratikus alak pozitív definit? + + \tcblower + + \mmedskip + + 0 < c < 1 + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] + Egy szimmetrikus, valós A mátrixhoz tartozó kvadratikus alak Q(u) = uTAu. Abban az esetben ha A = a b b d és u = x yT, akkor Q(u) = ax2 + 2bxy + dy2. A második feladatban tehátolyan x és y számokat kell keresnünk, amelyekre x2 + 4xy + y2 negatív. Ha észrevesszük, hogy x2 + 4xy + y2 = x2 + 4xy + 4y2 −3y2 = (x + 2y)2 −3y2, akkor már könnyen találunk ilyen értékeket (de az alábbiak szerint a mátrix egyik sajátvektora is megfelelő). A kvadratikus alak jellege (karaktere, definitsége) azt mondja meg, milyen valós értékeket vesz föl a nem nulla vektorokon. Ezt a tulajdonságot le tudjuk olvasni a mátrix sajátértékeiből (amik szimmetrikus mátrix esetén mindig valósak), pontosabban azok előjeléből: Q(u), u 6= 0 sajátértékek előjele: jelleg: mindig pozitív mind pozitív pozitív definit mindig negatív mind negatív negatív definit mindig nemnegatív mind nemnegatív pozitív szemidefinit mindig nempozitív mind nempozitív negatív szemidefinit van pozitív is, negatív is van pozitív is, negatív is indefinit Ha u = ei (a triviális bázis i-edik vektora), akkor Q(u) az A mátrix főátlójának i-edik eleme. A harmadik feladatban a második és a harmadik diagonális elem pozitív, illetve negatív, s így kvadratikus alak pozitív és negatív értékeket is fölvesz, tehát biztosan indefinit. Bizonyos esetekben a következő kritérium segítségével is leolvasható a kvadratikus alak jellege. Legyen ∆0 = 1 és ∆k a mátrix bal fölső sarkában lévő k ×k-as részmátrix determinánsa (ez az ún. karakterisztikus sorozat). Pl. a karakterisztikus sorozat pontosan akkor áll csupa pozitív értékből, ha a kvadratikus alakunk pozitív definit. A negyedik feladatnál ezt a feltételt használjuk: az 1×1-es részmátrixhoz tartozó tag pozitív, s a pozitív definitség azzal lesz ekvivalens, hogy a determináns, c−c2 = c(1−c) is pozitív. Ez csak a jelzett intervallumban valósulhat meg. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame}[plain] +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] + {\RHuge B rész} + \mmedskip +\end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] + Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál zárójelben néhol magyarázó megjegyzések is vannak, ezeket nem kell leírni a teljes pontszám eléréséhez. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={1}] + Mit jelent az, hogy egy W ⊆ Rn részhalmaz altér? + + \tcblower +W ⊆ Rn altér Rn-ben, ha: 1) W nem üres; 2) a,b ∈ W esetén a + b ∈ W (azaz W zárt az összeadásra); 3) a ∈ W és λ ∈ R esetén λa ∈ W (azaz W zárt a skalárral szorzásra). (Ahelyett, hogy W nem üres, azt is írhatjuk, hogy 0 ∈ W.) + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={2}] + Definiáljuk, mit jelent az, hogy a v1,...,vk ∈ Rn vektorrendszer lineárisan független. + + \tcblower +A v1,...,vk vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort. Képletben: tetszőleges λ1,λ2,...,λk ∈ R esetén, ha λ1v1 + λ2v2 + ··· + λkvk = 0, akkor minden i-re λi = 0. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={3}] + Mit jelent az, hogy a v1,...,vk ∈ Rn vektorrendszer lineárisan összefüggő? A válaszban ne hivatkozzunk a lineáris függetlenség fogalmára. + + + \tcblower +A v1,...,vk vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (azaz nem lineárisan független), ha léteznek olyan λ1,λ2,...,λk ∈ R nem mind nulla számok, melyekre λ1v1 + λ2v2 + ··· + λkvk = 0.) + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={4}] + Mit jelent az, hogy egy v vektor lineárisan függ az a1,...,ak ∈ Rn vektoroktól? + + \tcblower +Azt jelenti, hogy v felírható a1,...,ak lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan λ1,λ2,...,λk ∈ R skalárok, melyekre v = λ1a1 + λ2a2 + ··· + λkak. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={5}] + Jellemezzük egy a1,...,ak ∈ Rn vektorrendszer lineáris összefüggőségét a lineáris függés fogalmával. + + + \tcblower +Egy a1,...,ak ∈ Rn vektorrendszer (k ≥ 2 esetén) pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha valamelyik i-re ai lineárisan függ az a1,...,ai−1,ai+1,...,ak vektoroktól. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={6}] + Definiáljuk egy V ≤ Rn altér bázisának fogalmát. + + + \tcblower +Egy b1,...,bk vektorrendszert akkor mondunk a V ≤ Rn altér bázisának, ha lineárisan független, és V minden vektorát előállíthatjuk a bi vektorok lineáris kombinációjaként. (A lineáris függetlenség helyettesíthető azzal a feltétellel, hogy ez a felírás egyértelmű, az előállíthatóság pedig azzal, hogy generátorrendszerről van szó.) + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={7}] + Definiáljuk egy a ∈ V ≤ Rn vektor koordinátavektorát a V egy b1,...,bk bázisában fölírva. + + + \tcblower +Az a vektor koordinátavektora pontosan akkor [a]b1,...,bk = +  +λ1 . . . λk +  +, ha a = λ1b1+···+λkbk. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={8}] + Egy A ⊆ Rn vektorhalmaz esetén adjuk meg az A által generált altér egy jellemzését. + + + \tcblower +Az A által generált altér azokból az Rn-beli vektorokból áll, amelyek előállnak A-beli vektorok lineáris kombinációiként, azaz amelyek lineárisan függnek az A-beli vektoroktól. (Ez a halmaz megegyezik az A-t tartalmazó Rn-beli alterek metszetével.) + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={9}] + Mondjuk ki a lineárisan független rendszerek és a generátorrendszerek elemszámát összehasonlító tételt (ez a kicserélési tétel egyik része). + + + + \tcblower +Minden lineárisan független rendszer elemszáma legfeljebb akkora, mint bármelyik generátorrendszer elemszáma. + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={10}] + Definiáljuk egy V ≤ Rn altér dimenzióját, dimV -t. + + \tcblower +dimV a V egy bázisának elemszáma, illetve 0, ha V = {0}. (Ez a definíció azért értelmes, mert bármely két bázis elemszáma egyenlő.) + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={11}] + Definiáljuk egy v1,...,vk ∈ Rn vektorrendszer rangját, r(v1,...,vk)-t. + + + \tcblower +r(v1,...,vk) = dimSpan(v1,...,vk), azaz egy vektorrendszer rangja megegyezik az általa generált (kifeszített) altér dimenziójával. + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={12}] + Adjuk meg képlettel két mátrix, A ∈ Rk×ℓ és B ∈ Rℓ×n szorzatában, AB-ben az i-edik sor j-edik elemét, i[AB]j-t. Azt is mondjuk meg, i és j milyen értékére létezik ez az elem. + + + + \tcblower +Ha 1 ≤ i ≤ k és 1 ≤ j ≤ n, akkor i[AB]j = + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={13}] + Mondjunk ki két, a mátrixok transzponálását a többi szokásos mátrixművelettel összekapcsoló összefüggést. + + \tcblower +A,B ∈ Rk×n ⇒ (A + B)T = AT + BT λ ∈ R,A ∈ Rk×n ⇒ (λA)T = λAT A ∈ Rk×ℓ, B ∈ Rℓ×n ⇒ (AB)T = BTAT + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={14}] + Definiáljuk egy A ∈ Rk×n mátrix oszloprangját, illetve sorrangját, ρO(A)-t és ρS(A)-t. + + \tcblower +Ha a1,...,an ∈ Rk a mátrix oszlopai, akkor ρO(A) = r(a1,...,ak), azaz az oszloprang az oszlopok rendszerének rangja (vagyis az oszlopok által generált altér dimenziója.) Analóg módon, a mátrix sorrangja a sorok által generált altér dimenziója, vagy másképpen: ρS(A) = ρO(AT). + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={15}] + Mondjuk ki a mátrixok szorzatának oszloprangjára vonatkozó becslést. + + + \tcblower +Ha létezik az AB mátrixszorzat, akkor ρO(AB) ≤ ρO(A). (Igaz a ρO(AB) ≤ ρO(B) becslés is.) + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={16}] + Mit nevezünk egy A ∈ Rn×m mátrix jobb, illetve kétoldali inverzének? + + \tcblower +Az A(j) ∈ Rm×n mátrix jobb oldali inverze A-nak, ha AA(j) = In, ahol In az n × n-es egységmátrix. A−1 ∈ Rm×n kétoldali inverze A-nak, ha jobb oldali és bal oldali inverze is A-nak, azaz AA−1 = In, és A−1A = Im. (Ez utóbbi létezése esetén m = n.) + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={17}] + A mátrixrang fogalmának fölhasználásával mondjuk ki annak szükséges és elégséges feltételét, hogy az A ∈ Rn×m mátrixnak létezzen jobb oldali inverze. + + \tcblower +Az A ∈ Rn×m mátrixnak pontosan akkor létezik jobb oldali inverze, ha ρ(A) = n, azaz a mátrix rangja megegyezik a sorainak a számával. + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={18}] + Definiáljuk a geometriai vektorok skaláris szorzatának fogalmát a vektorok hosszának és szögének segítségével. + + \tcblower +Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometriai vektorok hajlásszögét. Ekkor az a és b skaláris szorzata ab = |a||b|cosγ(a,b). + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={19}] + Definiáljuk a geometriai vektorok vektoriális szorzatának fogalmát. + \tcblower +Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometriai vektorok hajlásszögét. Ekkor az a és b vektoriális szorzata az az a × b-vel jelölt vektor, melyre: 1) |a × b| = |a||b|sinγ(ab); 2) a × b ⊥ a,b; 3) ha |a × b| 6= 0, akkor a,b,a × b jobbrendszert alkot. + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={20}] + Mondjuk ki a geometriai vektorokra vonatkozó kifejtési tételt. + + \tcblower +Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a × b) × c = (ac)b − (bc)a. + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={21}] + Mondjuk ki a geometriai vektorokra vonatkozó felcserélési tételt. + + \tcblower + Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a × b)c = a(b × c). + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={22}] + Definiáljuk a geometriai vektorok vegyesszorzatának fogalmát. + + \tcblower + Definiáljuk a geometriai vektorok vegyesszorzatának fogalmát. + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={23}] + Adjuk meg az A mátrix determinánsát definiáló képletet. Mit jelent ebben az I(i1,...,in) kifejezés? + \tcblower +Legyen A =  +a11 ... a1n . . . . . . an1 ... ann + ∈ Rn×n. Ekkor detA = X i1,...,in (1,...,n) +(−1)I(i1,...,in)a1i1a2i2 ···anin. +Itt az összegezés az {1,2,...,n} számok minden permutációjára történik, I(i1,...,in) pedig az adott permutáció inverzióinak a számát jelöli. + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={24}] + Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A ∈ Rn×n mátrix determinánsa nem nulla. + + \tcblower +Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A ∈ Rn×n mátrix determinánsa nem nulla. + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={25}] + Mit értünk az A ∈ Rn×n mátrix i-edik sorának j-edik eleméhez tartozó előjelezett aldeterminánson, Aij-n? + + \tcblower +Hagyjuk el az A mátrix i-edik sorát és a j-edik oszlopát; az így kapott (n−1)×(n−1)-es mátrixot jelölje Bij. Ekkor a keresett előjelezett aldetermináns: Aij = (−1)i+j detBij. + + \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={26}] + Adjuk meg képlettel az A ∈ Rn×n mátrix determinánsának i-edik sora szerinti kifejtését. A mátrix elemeit, illetve előjelezett aldeterminánsait aij, ill. Aij jelöli. + + \tcblower +detA = + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={28}] + DefiniáljukaVandermonde-determinánsfogalmát, ésmondjukkiazértékérevonatkozóállítást. + + \tcblower +a1,...,an ∈ R, n ≥ 2 esetén V (a1,...,an) = + + += Y 1≤i 0. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A mátrix minden sajátértéke pozitív. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={46}] + Mondjuk meg, mit jelent az, hogy az A ∈ Rn×n szimmetrikus mátrixhoz tartozó Q kvadratikus alak negatív definit, és jellemezzük ezt az esetet az A karakterisztikus sorozata segítségével. + + \tcblower +Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x ∈ Rn vektorra Q(x) < 0. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A karakterisztikus sorozata jelváltó. (Az A mátrix ∆o,...,∆n karakterisztikus sorozatának k-adik tagja az A bal fölső sarkában lévő k × k-as részmátrix determinánsa, illetve ∆o = 1.) + + \end{tcolorbox} +\end{frame} @@ -164,6 +1679,132 @@ + + + + + +\begin{frame}[plain] +\begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] + {\RHuge C rész} + \mmedskip +\end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={1. (4p)}] + Mondjuk ki a $b1,...,bk$ vektorok lineáris függetlenségének definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy ha $B = \{b1,...,bk\}$ lineárisan független vektorrendszer, akkor minden lineáris kombinációjukként felírható vektor egyértelműen írható föl B-beli vektorok lineáris kombinációjaként. + \tcblower + + A $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort.\\ + + Képletben: tetszőleges ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R$ esetén, ha ${\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + ··· + {\lambda}kvk = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}i = 0$.\\ + + Ha lenne egy vektor, melynek kétféle fölírása is létezne: $u = Pk i=1 {\lambda}ibi = Pk i=1 {\mu}ibi$, akkor a kétféle előállítást egymásból kivonva azt kapjuk, hogy\\ + + $0 = Pk i=1({\lambda}i -{\mu}i)bi$.\\ + + Ha a két előállítás különbözik, akkor valamelyik $({\lambda}i-{\mu}i)$ együttható nem nulla, s ez ellentmond a $B$ lineáris függetlenségének. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={2. (4p)}] + Tekintsük az alábbi két fogalmat:\\ + a) egy vektorrendszer lineárisan összefüggő;\\ + b) egy vektor lineárisan függ egy vektorrendszertől.\\ + \mmedskip + + Mondjuk ki azt az állítást, mely ezeket a fogalmakat összekapcsolja, és bizonyítsuk is be az állítást. + \tcblower + + Ha $k ≥ 2$, akkor a $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan $i$, hogy $vi$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól (azaz előáll mint a $v1,...,vi−1,vi+1,...,vk$ vektorok lineáris kombinációja).\\ + \mmedskip + + Tegyük föl először, hogy a megadott vektorrendszer lineárisan összefüggő.\\ + Ez azt jelenti, hogy a nullvektornak van egy olyan $Pk i=1 λivi = 0$ előállítása, melynél valamelyik $λi$ együttható (pl. a $λi0$) nem $0$.\\ + + Ekkor a $vi0$ kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, hiszen $vi0 = −(1/λi0)Pj6=io λjvj$.\\ + \mmedskip + + A fordított irányhoz tegyük föl, hogy $vi0$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól, azaz $vi0 = Pj6=i0 µjvj$ valamilyen $µj$ együtthatókra.\\ + + De ekkor átrendezhetjük a fönti egyenlőséget úgy, hogy minden vektor az egyenlőség azonos oldalára kerüljön, s ekkor azt kapjuk, hogy a $µi0 = −1$ választással: $Pk i=1 µivi = 0$. Ez nem triviális lineáris kombinációja a $vi$ vektoroknak, mert $µi0 = −1 6= 0$, tehát a vektorrendszer lineárisan összefüggő. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={3. (4p)}] + Mondjuk ki és igazoljuk azt az állítást, mely arról szól, mi történik, ha egy lineárisan független $a1,...,ak$ vektorrendszerhez hozzávéve a $b$ vektort, az új, bővebb $a1,...,ak,b$ vektorrendszer már összefüggővé válik. + \tcblower + Ha egy lineárisan független $a1,...,ak$ vektorrendszerhez hozzávéve a $b$ vektort, a kapott $a1,...,ak,b$ vektorrendszer már összefüggő, akkor $b$ lineárisan függ az $a1,...,ak$ vektoroktól (azaz előállítható lineáris kombinációjukként).\\ + + A feltétel szerint ugyanis léteznek olyan $λ1,...,λk,µ$ együtthatók, melyek közül legalább az egyik nem nulla, és melyekre $(Pk i=1 λiai) + µb = 0$. Itt azonban $µ$ nem lehet nulla, ellenkező esetben az $ai$ vektorok már önmagukban is előálítanák a nullvektort nem triviális módon, ez pedig ellentmond a lineáris függetlenségüknek.\\ + + Ha átrendezzük az előbbi egyenlőséget úgy, hogy a $b$ vektort hagyjuk az egyik oldalon, akkor $µ$-vel osztva $b = Pk i=1(−λi/µ)ai$, ami azt mutatja, hogy $b$ lineárisan függ az $ai$ vektoroktól. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={4. (4p)}] + Mondjuk ki az $Rn$-beli alterek fogalmának a műveletekre való zártsággal való definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy $Rn$ két alterének metszete is altér. + \tcblower + $W ⊆ Rn$ pontosan akkor altér, ha nem üres (ekvivalens módon itt azt is megkövetelhetjük, hogy a nullvektor benne van $W$-ben), továbbá $w1,w2 ∈ W$ esetén $w1 +w2 ∈ W$, valamint $w ∈ W és λ ∈ R$ esetén $λw ∈ W$. Tegyük föl, hogy $W1,W2$ altér $Rn$-ben.\\ + + Ekkor a nullvektor mindkét altérnek eleme, így $W1 ∩W2$ nem üres. Ha $w1,w2 ∈ W1 ∩W2$, akkor mindkét $i$ indexre $w1 +w2 ∈ Wi$ (hiszen $Wi$ altér), s ezért az összegvektor benne van a metszetben.\\ + + Hasonlóan, ha $w ∈ W1 ∩ W2$ és $λ ∈ R$, akkor $Wi$ altér volta miatt $λw ∈ Wi$ mindkét lehetséges $i$ indexre, így $λw$ benne van a metszetükben is. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={7. (4p)}] + Definiáljuk az $n × n$-es egységmátrix fogalmát, és mondjuk meg, mi lesz az eredménye az egységmátrixszal való szorzásnak.\\ + + Igazoljuk az egységmátrixszal jobbról való szorzásra vonatkozó összefüggést. + \tcblower + Az $In ∈ Rn×n$ egységmátrix $i$-edik sorának $j$-edik eleme $1$, ha $i = j$, és $0$ egyébként (azaz a főátlóban $1$-esek, a főátlón kívül $0$-k szerepelnek).\\ + + Úgy is írhatjuk, hogy a mátrix általános eleme $δij$, ahol $δij$ a szokásos Kronecker-szimbólum.\\ + + Tetszőleges $A ∈ Rk×n$ és $B ∈ Rn×m$ mátrixokra $AIn = A$ és $InB = B$.\\ + + Az $AIn = A$ igazolásához jelölje $apq$ az $A$ mátrix általános elemét.\\ + + A szorzatmátrixban az $i$-edik sor $j$-edik eleme a szorzás definíciója szerint $i[AIn]j = Pn t=1(aitδtj)$.\\ + + Ebben az összegben $δtj = 0$ ha $t 6= j$, ezért csak az egyetlen $aijδjj = aij$ tag marad meg. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={8. (4p)}] + Mondjuk ki és bizonyítsuk be a mátrixok szorzatának transzponáltjára kimondott összefüggést. + \tcblower + Ha $A ∈ Rk×ℓ$ és $B ∈ Rℓ×n$, akkor $(AB)T = BTAT$. A szorzat transzponáltjának általános eleme ugyanis: $i[(AB)T]j = j[AB]i = Pℓ t=1 j[A]t · t[B]i = Pℓ t=1 i[BT]t · t[AT]j = i[BTAT]j$. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + +\begin{frame} + \begin{tcolorbox}[title={15. (4p)}] + Definiáljuk egy $A ∈ Rn×n$ mátrix jobb oldali sajátértékének fogalmát, majd igazoljuk, hogy az $A$ mátrix $λ$ sajátértékű (jobb oldali) sajátvektorai a nullvektorral kiegészítve alteret alkotnak $Rn$-ben. + \tcblower + $λ ∈ R$ jobb oldali sajátértéke $A$-nak, ha van olyan $0 6= v ∈ Rn$ vektor, melyre $Av = λv$. (Ilyenkor $v$-t a $λ$-hoz tartozó (egyik) sajátvektornak nevezhetjük.)\\ + + Azt kell igazolnunk, hogy $Wλ = {v ∈ Rn |Av = λv} ≤ Rn$. Nyilván $0 ∈ Wλ$, így $Wλ$ nem üres. Ha $v1,v2 ∈ Wλ$, akkor $A(v1 +v2) = Av1 +Av2 = λv1 +λv2 = λ(v1 +v2)$, azaz $Wλ$ zárt az összeadásra. Végül, ha $v ∈ Wλ$ és $µ ∈ R$, akkor $A(µv) = µAv = µ(λv) = λ(µv)$, vagyis $Wλ$ zárt a skalárral való szorzásra is. + \end{tcolorbox} +\end{frame} + + + + + + + diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/PrezA4Page.tex b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/PrezA4Page.tex new file mode 100644 index 0000000..7bca152 --- /dev/null +++ b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/PrezA4Page.tex @@ -0,0 +1,9 @@ + +\documentclass{beamer} +\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in} + +\providecommand{\includemaindocument}{\input{Document.tex}}% fallback definition +\includemaindocument + +%\input{../Document.tex} +%"\newcommand\includemaindocument{\input{../.tex}}\input{.tex}" \ No newline at end of file From c8463cd5ef9823f4d9b3c85246558dcbd22c7b1a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Tue, 5 Jun 2018 22:31:05 +0200 Subject: [PATCH 02/10] -Search and replace 1. --- .../Document.tex | 24 +++++++++---------- 1 file changed, 12 insertions(+), 12 deletions(-) diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex index 200639f..d05d30d 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex @@ -226,7 +226,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2/2. -Q-}] - Konkrét mátrixokat megadva mutassuk meg, miért nem alkot alteret $R2×2$-ben a nulla determinánsú mátrixok halmaza. + Konkrét mátrixokat megadva mutassuk meg, miért nem alkot alteret $\mathbb{R}^{2 x 2}$-ben a nulla determinánsú mátrixok halmaza. \tcblower A nulla determinánsú mátrixok összege könnyen lehet nem nulla determinánsú, s hasonlóképpen nem nulla determinánsú mátrixok összege lehet nulla determinánsú.\\ \mmedskip @@ -257,10 +257,10 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A Mely alábbi halmaz(ok) alkot(nak) alteret a $2×2$-es valós mátrixok halmazában mint $R$ fölötti vektortérben:\\ \mmedskip - (A) $\{A ∈ R2×2|detA = 0\}$\\ - (B) $\{A ∈ R2×2|detA 6= 0\}$\\ - (C) $\{A ∈ R2×2|A = AT\}$\\ - (D) $\{A ∈ R2×2|A2 = I2\}$ + (A) $\{A ∈ \mathbb{R}^{2 x 2}|detA = 0\}$\\ + (B) $\{A ∈ \mathbb{R}^{2 x 2}|detA 6= 0\}$\\ + (C) $\{A ∈ \mathbb{R}^{2 x 2}|A = AT\}$\\ + (D) $\{A ∈ \mathbb{R}^{2 x 2}|A2 = I2\}$ \tcblower Azt kell megvizsgálnunk, hogy a megadott halmazok zártak-e az összeadásra, ill. a skalárral való szorzásra:\\ @@ -544,7 +544,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/7. -Q-}] - Hány olyan altér van $R2×2$-ben mint $R$ fölötti vektortérben, mely tartalmazza az összes $2 × 2$-es szimmetrikus mátrixot? + Hány olyan altér van $\mathbb{R}^{2 x 2}$-ben mint $R$ fölötti vektortérben, mely tartalmazza az összes $2 × 2$-es szimmetrikus mátrixot? \tcblower \mmedskip @@ -556,7 +556,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/7. -Q-}] -Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában {b1 + b2,b2} ilyen. De bázist alkot ebben az altérben {b1,b2} is, hiszen b1 = (b1 + b2) − b2 is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának y = 0 speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti Rn dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első n−1 komponens egyike 1, az utolsó komponens−1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy Rn egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint Rn-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a 2×2-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a R2×2 téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. +Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában {b1 + b2,b2} ilyen. De bázist alkot ebben az altérben {b1,b2} is, hiszen b1 = (b1 + b2) − b2 is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának y = 0 speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti Rn dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első n−1 komponens egyike 1, az utolsó komponens−1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy Rn egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint Rn-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a 2×2-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a \mathbb{R}^{2 x 2} téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -665,7 +665,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/4. -N-}] - Adjunk meg egy olyan $2×2$-es egész elemű, a nullmátrixtól különböző A mátrixot, amelyre igaz, hogy van olyan 0 6= $B ∈ R2×2$, melyre $AB = 0$. + Adjunk meg egy olyan $2×2$-es egész elemű, a nullmátrixtól különböző A mátrixot, amelyre igaz, hogy van olyan 0 6= $B ∈ \mathbb{R}^{2 x 2}$, melyre $AB = 0$. \tcblower \mmedskip @@ -869,7 +869,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/4. -Q-}] - Az A = ∈ R2×2 mátrix nem diagonalizálható R fölött. Mik c lehetséges értékei? + Az A = ∈ \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix nem diagonalizálható R fölött. Mik c lehetséges értékei? \tcblower @@ -883,7 +883,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/5. -Q-}] - Milyen c ∈ R valós értékekre lesz az 1 2 0 c ∈ R2×2 mátrix diagonalizálható? + Milyen c ∈ R valós értékekre lesz az 1 2 0 c ∈ \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix diagonalizálható? \tcblower @@ -896,7 +896,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/6. -Q-}] - Az A =a b c d∈ R2×2 mátrixra . Mennyi az a + 1 b c d + 1 mátrix determinánsa? det a + 1 b c + Az A =a b c d∈ \mathbb{R}^{2 x 2} mátrixra . Mennyi az a + 1 b c d + 1 mátrix determinánsa? det a + 1 b c \tcblower @@ -1130,7 +1130,7 @@ a b c b 1 −2 c −2 −1 \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] - Milyen c ∈ R valós értékekre lesz az1 c c c∈ R2×2 mátrix által meghatározott kvadratikus alak pozitív definit? + Milyen c ∈ R valós értékekre lesz az1 c c c∈ \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix által meghatározott kvadratikus alak pozitív definit? \tcblower From 50340cc8031d76be102a9ed1a084277973e7f31b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Tue, 5 Jun 2018 22:50:34 +0200 Subject: [PATCH 03/10] Search and replace 2. --- .../Document.tex | 361 +++++++----------- 1 file changed, 143 insertions(+), 218 deletions(-) diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex index d05d30d..d5ae3fc 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex @@ -149,7 +149,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/1. -N-}] - A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ Rn$ altérben. Határozzuk meg a $v = 2b1 + 3b2 −b3$ vektor koordinátavektorát a $\{b1,b2,b3\}$ bázisban. + A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Határozzuk meg a $v = 2b1 + 3b2 −b3$ vektor koordinátavektorát a $\{b1,b2,b3\}$ bázisban. \tcblower A vektor bázisban vett koordinátavektorának fogalmát kéri számon.\\ @@ -162,13 +162,13 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/2. -R-}] - Legyen $B = \{b1,b2,b3\}$ bázis a $V ≤ Rn$ altérben. Egy $v ∈ V$ vektornak a $\{b1 + b2,b2 + b3,b3\}$ bázisban fölírt koordinátavektora $[v]b1+b2,b2+b3,b3 =$.\\ + Legyen $B = \{b1,b2,b3\}$ bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Egy $v \in V$ vektornak a $\{b1 + b2,b2 + b3,b3\}$ bázisban fölírt koordinátavektora $[v]b1+b2,b2+b3,b3 =$.\\ Mi $v$ koordinátavektora a $B$ bázisban? \tcblower A vektor bázisban vett koordinátavektorának fogalmát kéri számon.\\ - Kétlépéses, először a feladat szövegében megadott koordinátavektort írjuk át a bázisvektorok lineáris kombinációjává: $v = 1·(b1 + b2) + 1·(b2 + b3) + 0·(b3) = 1·b1 + 2·b2 + 1·b3$, majd az így kapott lineáris kombinációt koordinátavektorrá.\\ + Kétlépéses, először a feladat szövegében megadott koordinátavektort írjuk át a bázisvektorok lineáris kombinációjává: $v = 1 \cdot (b1 + b2) + 1 \cdot (b2 + b3) + 0 \cdot (b3) = 1 \cdot b1 + 2 \cdot b2 + 1 \cdot b3$, majd az így kapott lineáris kombinációt koordinátavektorrá.\\ \mmedskip $[v]b1,b2,b3 =$ @@ -177,7 +177,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/3. -R-}] - A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ Rn$ altérben. Ebben a bázisban a $v$, illetve $w$ vektorok koordinátorvektora $[v]b1,b2,b3 =  1 0 2   $ és $[w]b1,b2,b3 =  3 1 0   $. Írjuk föl a $v+2w$ vektort a $\{b1,b2,b3\}$ vektorok lineáris kombinációjaként. + A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Ebben a bázisban a $v$, illetve $w$ vektorok koordinátorvektora $[v]b1,b2,b3 =  1 0 2   $ és $[w]b1,b2,b3 =  3 1 0   $. Írjuk föl a $v+2w$ vektort a $\{b1,b2,b3\}$ vektorok lineáris kombinációjaként. \tcblower A feladat két fogalmat kérdez:\\ hogyan kell a koordinátákból kiszámítani a vektorokat, de még azt is tudni kell, hogy hogyan kell koordinátavektorokkal műveleteket végezni.\\ @@ -192,12 +192,12 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/4. -Q-}] - Tegyük föl, hogy a $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ Rn$ altérben. Mi lesz ezen $bi$ bázisvektorok $v$-vel jelölt összegénekakoordinátavektora a $\{b1+b2,b2,b3\}$ bázisban? + Tegyük föl, hogy a $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Mi lesz ezen $bi$ bázisvektorok $v$-vel jelölt összegénekakoordinátavektora a $\{b1+b2,b2,b3\}$ bázisban? \tcblower - Az a kérdés, hogy a $b1+b2+b3 = λ1(b1+b2)+λ2b2+λ3b3$ felírásban mennyi a $λi$ ismeretlenek értéke.\\| + Az a kérdés, hogy a $b1+b2+b3 = {\lambda}1(b1+b2)+{\lambda}2b2+{\lambda}3b3$ felírásban mennyi a ${\lambda}i$ ismeretlenek értéke.\\| Ezekre úgy kapunk lineáris egyenletrendszert, hogy a $bi$ bázisvektor együtthatóját az egyenlet két oldalán összehasonlítjuk.\\ - Azonnal látszik, hogy $b1 + b2 + b3 = 1·(b1 + b2) + 0·b2 + 1·b3$ megfelelő felírás, és ezért ezek az együtthatók adják a keresett koordinátavektort.\\ + Azonnal látszik, hogy $b1 + b2 + b3 = 1 \cdot (b1 + b2) + 0 \cdot b2 + 1 \cdot b3$ megfelelő felírás, és ezért ezek az együtthatók adják a keresett koordinátavektort.\\ Ennek a problémának a megoldását az általános esetben az elemi bázistranszformációról szóló tétel szolgáltatja. @@ -214,7 +214,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2/1. -R-}] - Konkrét vektorokat megadva mutassuk meg, miért nem alkot alteret $R3$-ben azon vektorok halmaza, ahol az első két komponens szorzata nulla. + Konkrét vektorokat megadva mutassuk meg, miért nem alkot alteret $\mathbb{R}^3$-ben azon vektorok halmaza, ahol az első két komponens szorzata nulla. \tcblower \mmedskip @@ -237,7 +237,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2/3. -R-}] - Tekintsük azoknak az $R3$-beli vektoroknak a halmazát, amelyek az alábbi feltételnek tesznek eleget.\\ű + Tekintsük azoknak az $\mathbb{R}^3$-beli vektoroknak a halmazát, amelyek az alábbi feltételnek tesznek eleget.\\ű Mely eset(ek)ben kapunk alteret?\\ (A) $x1 = x2 + 2x3$\\ @@ -254,13 +254,13 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2/4. -Q-}] - Mely alábbi halmaz(ok) alkot(nak) alteret a $2×2$-es valós mátrixok halmazában mint $R$ fölötti vektortérben:\\ + Mely alábbi halmaz(ok) alkot(nak) alteret a $2x2$-es valós mátrixok halmazában mint $R$ fölötti vektortérben:\\ \mmedskip - (A) $\{A ∈ \mathbb{R}^{2 x 2}|detA = 0\}$\\ - (B) $\{A ∈ \mathbb{R}^{2 x 2}|detA 6= 0\}$\\ - (C) $\{A ∈ \mathbb{R}^{2 x 2}|A = AT\}$\\ - (D) $\{A ∈ \mathbb{R}^{2 x 2}|A2 = I2\}$ + (A) $\{A \in \mathbb{R}^{2 x 2}|detA = 0\}$\\ + (B) $\{A \in \mathbb{R}^{2 x 2}|detA 6= 0\}$\\ + (C) $\{A \in \mathbb{R}^{2 x 2}|A = AT\}$\\ + (D) $\{A \in \mathbb{R}^{2 x 2}|A2 = I2\}$ \tcblower Azt kell megvizsgálnunk, hogy a megadott halmazok zártak-e az összeadásra, ill. a skalárral való szorzásra:\\ @@ -279,14 +279,14 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2/5. -Q-}] - Mutassunk egy olyan $H$ részhalmazt $R2$-ben (azaz a síkon), mely zárt a vektorok szokásos összeadására, mégsem alkot alteret $R2$-ben. + Mutassunk egy olyan $H$ részhalmazt $\mathbb{R}^2$-ben (azaz a síkon), mely zárt a vektorok szokásos összeadására, mégsem alkot alteret $\mathbb{R}^2$-ben. \tcblower A feladat arra mutat rá, hogy altereknél mindkét műveletre való zártságot meg kell követelnünk:\\ erre érdemes már a fölkészülés során is példát keresnünk, hogy jobban megérthessük a fogalmat. \mmedskip - Pl. $\{[a b]T ∈ R2|a,b > 0\}$ + Pl. $\{[a b]T \in \mathbb{R}^2|a,b > 0\}$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -305,7 +305,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \mmedskip - $0·v + 1·0 + 0·w = 0$. + $0 \cdot v + 1 \cdot 0 + 0 \cdot w = 0$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -317,14 +317,14 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \mmedskip - $0·u + 1·v + 2·w + (−1)(v + 2w) = 0.$. + $0 \cdot u + 1 \cdot v + 2 \cdot w + (−1)(v + 2w) = 0.$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/3. -N-}] - Legyen $v1 = ∈ R2$ és $v2 = ∈ R2$. Mely valós $c$ szám(ok)ra lesz $v1$ és $v2$ lineárisan összefüggő? + Legyen $v1 = \in \mathbb{R}^2$ és $v2 = \in \mathbb{R}^2$. Mely valós $c$ szám(ok)ra lesz $v1$ és $v2$ lineárisan összefüggő? \tcblower \mmedskip @@ -336,7 +336,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/4. -R-}] - Mely $c ∈ R$ valós számokra lesznek lineárisan függetlenek az $[1 0 c]T, a [2 2 2]T$ és a $[4 2 3]T$ vektorok? + Mely $c \in R$ valós számokra lesznek lineárisan függetlenek az $[1 0 c]T, a [2 2 2]T$ és a $[4 2 3]T$ vektorok? \tcblower \mmedskip @@ -348,7 +348,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/5. -R-}] - Legyen $v1 = 1 1 ∈ R3$. Adjunk meg olyan $v2$ és $v3$ vektorokat $R3$-ban, melyekre igaz, hogy a $v1,v2,v3$ vektorrendszer lineárisan összefüggő, de közülük bármely két vektor lineárisan független. + Legyen $v1 = 1 1 \in \mathbb{R}^3$. Adjunk meg olyan $v2$ és $v3$ vektorokat $\mathbb{R}^3$-ban, melyekre igaz, hogy a $v1,v2,v3$ vektorrendszer lineárisan összefüggő, de közülük bármely két vektor lineárisan független. \tcblower \mmedskip @@ -360,7 +360,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/6. -N-}] - Egy $U ≤ R2$ altérben $[2 3]T$ generátorrendszert alkot. Adjunk meg $U$-ban egy háromelemű generátorrendszert. + Egy $U ≤ \mathbb{R}^2$ altérben $[2 3]T$ generátorrendszert alkot. Adjunk meg $U$-ban egy háromelemű generátorrendszert. \tcblower \mmedskip @@ -423,7 +423,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/11. -Q-}] - Legyen $U = \{[x1,x2,x3]T ∈ R3|x1 = 2x2 = 3x3\}$ az R3 altere. Hány olyan bázisa van az $U$ altérnek, mely tartalmazza a $v = [6,3,2]T$ vektort? + Legyen $U = \{[x1,x2,x3]T \in \mathbb{R}^3|x1 = 2x2 = 3x3\}$ az \mathbb{R}^3 altere. Hány olyan bázisa van az $U$ altérnek, mely tartalmazza a $v = [6,3,2]T$ vektort? \tcblower \mmedskip @@ -472,7 +472,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/1. -N-}] - Álljon az $U$ altér az $R3$ azon $v$ vektoraiból, ahol a második és a harmadik komponens egyenlő. Adjunk meg egy bázist $U$-ban. + Álljon az $U$ altér az $\mathbb{R}^3$ azon $v$ vektoraiból, ahol a második és a harmadik komponens egyenlő. Adjunk meg egy bázist $U$-ban. \tcblower \mmedskip @@ -496,7 +496,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/3. -R-}] - Hány dimenziós azon $Rn$-beli vektoroknak az altere, melyekben a komponensek összege $0$? + Hány dimenziós azon $\mathbb{R}^n$-beli vektoroknak az altere, melyekben a komponensek összege $0$? \tcblower \mmedskip @@ -508,7 +508,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/4. -R-}] - Hány dimenziós azon $Rn$-beli vektoroknak az altere, melyekben a komponensek négyzetösszege $0$? + Hány dimenziós azon $\mathbb{R}^n$-beli vektoroknak az altere, melyekben a komponensek négyzetösszege $0$? \tcblower \mmedskip @@ -520,7 +520,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/5. -Q-}] - Hány dimenziós alteret alkotnak $R3×3$-ban azok az A mátrixok, amelyekre teljesül, hogy $AT = −A$? + Hány dimenziós alteret alkotnak $\mathbb{R}^3x3$-ban azok az A mátrixok, amelyekre teljesül, hogy $AT = −A$? \tcblower \mmedskip @@ -544,7 +544,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/7. -Q-}] - Hány olyan altér van $\mathbb{R}^{2 x 2}$-ben mint $R$ fölötti vektortérben, mely tartalmazza az összes $2 × 2$-es szimmetrikus mátrixot? + Hány olyan altér van $\mathbb{R}^{2 x 2}$-ben mint $R$ fölötti vektortérben, mely tartalmazza az összes $2 x 2$-es szimmetrikus mátrixot? \tcblower \mmedskip @@ -556,7 +556,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/7. -Q-}] -Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában {b1 + b2,b2} ilyen. De bázist alkot ebben az altérben {b1,b2} is, hiszen b1 = (b1 + b2) − b2 is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának y = 0 speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti Rn dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első n−1 komponens egyike 1, az utolsó komponens−1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy Rn egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint Rn-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a 2×2-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a \mathbb{R}^{2 x 2} téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. +Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában {b1 + b2,b2} ilyen. De bázist alkot ebben az altérben {b1,b2} is, hiszen b1 = (b1 + b2) − b2 is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának y = 0 speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti \mathbb{R}^n dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első n−1 komponens egyike 1, az utolsó komponens−1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy \mathbb{R}^n egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint \mathbb{R}^n-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a 2x2-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a \mathbb{R}^{2 x 2} téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -613,7 +613,7 @@ $3x + 3y = 3$ \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={5/3. -N-}] -Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés van: ha több ismeretlen van, mint egyenlet, akkor nem lehet egyértelmű a megoldás (erre kérdez rá a harmadik feladat). Vagyis ha az egyenletrendszerben nincs elég egyenlet – nem tudunk eleget az ismeretlenekről –, akkor ugyan lehet ellentmondásos (ehhez már két egyenlet is elég, mint az első feladatban, sőt az egyetlen 0·x + 0·y = 1 egyenlet is), de ha nem ellentmondásos, azaz van megoldás, akkor biztosan egynél több megoldás van. Valós és komplex együtthatós egyenletrendszerek esetében ilyenkor a megoldások száma végtelen. Az egyenletek számát szaporíthatjuk úgy, hogy a megoldások halmaza ne változzon: ehhez a rendszerbe már bent lévő egyenletek lineáris kombinációját kell bevenni (mint a második feladatban). Fontos, hogy homogén lineáris egyenletrendszernek – amikor az egyenletek jobb oldalán mindenütt 0 áll – mindig van megoldása: a triviális megoldás, amikor minden ismeretlen értéke nulla. +Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés van: ha több ismeretlen van, mint egyenlet, akkor nem lehet egyértelmű a megoldás (erre kérdez rá a harmadik feladat). Vagyis ha az egyenletrendszerben nincs elég egyenlet – nem tudunk eleget az ismeretlenekről –, akkor ugyan lehet ellentmondásos (ehhez már két egyenlet is elég, mint az első feladatban, sőt az egyetlen 0 \cdot x + 0 \cdot y = 1 egyenlet is), de ha nem ellentmondásos, azaz van megoldás, akkor biztosan egynél több megoldás van. Valós és komplex együtthatós egyenletrendszerek esetében ilyenkor a megoldások száma végtelen. Az egyenletek számát szaporíthatjuk úgy, hogy a megoldások halmaza ne változzon: ehhez a rendszerbe már bent lévő egyenletek lineáris kombinációját kell bevenni (mint a második feladatban). Fontos, hogy homogén lineáris egyenletrendszernek – amikor az egyenletek jobb oldalán mindenütt 0 áll – mindig van megoldása: a triviális megoldás, amikor minden ismeretlen értéke nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -628,7 +628,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/1. -N-}] - Legyen $A ∈ Rk×ℓ$, $B ∈ Rp×r$ és $C ∈ Rt×u$. Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy értelmes legyen az $ABT + C$ mátrixkifejezés. + Legyen $A \in Rkxℓ$, $B \in Rpxr$ és $C \in Rtxu$. Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy értelmes legyen az $ABT + C$ mátrixkifejezés. \tcblower \mmedskip @@ -640,7 +640,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/2. -N-}] - Legyen A =. Adjunk meg egy olyan $2×2$-es, egész elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrixot, amelyre igaz, hogy $AB = 0$. + Legyen A =. Adjunk meg egy olyan $2x2$-es, egész elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrixot, amelyre igaz, hogy $AB = 0$. \tcblower @@ -653,7 +653,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/3. -N-}] - Legyen A = . Mely c ∈ R számokra van olyan $2×2$-es, valós elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrix, amelyre igaz, hogy $AB = 0$? + Legyen A = . Mely c \in R számokra van olyan $2x2$-es, valós elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrix, amelyre igaz, hogy $AB = 0$? \tcblower \mmedskip @@ -665,7 +665,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/4. -N-}] - Adjunk meg egy olyan $2×2$-es egész elemű, a nullmátrixtól különböző A mátrixot, amelyre igaz, hogy van olyan 0 6= $B ∈ \mathbb{R}^{2 x 2}$, melyre $AB = 0$. + Adjunk meg egy olyan $2x2$-es egész elemű, a nullmátrixtól különböző A mátrixot, amelyre igaz, hogy van olyan 0 6= $B \in \mathbb{R}^{2 x 2}$, melyre $AB = 0$. \tcblower \mmedskip @@ -727,7 +727,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/8. -Q-}] -Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összeadása, szorzása, illetve mik a transzponált mátrix méretei. Két mátrix szorzatának oszlopaiban a bal oldali mátrix oszlopainak lineáris kombinációi állnak. Ezért az AB = 0 akkor tud teljesülni nem nulla B mátrixszal, ha A oszlopai lineárisan öszefüggenek. Speciálisan ha A négyzetes mátrix, akkor ez azzal ekvivalens, hogy A determinánsa nulla. Ezzel a tétellel könnyű megválaszolni a harmadik feladatot, illetve keresni megfelelő mátrixot a negyedik feladatban. Kétszer kettes mátrix esetében érdemes megjegyezni az inverz képletét: inverz akkor létezik, ha a mátrix d determinánsa nem nulla, és ekkor az inverz mátrixot úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrixban a főátló két elemét kicseréljük, a mellékátló elemeit ellentettjükre változtatjuk, végül a mátrix minden elemét elosztjuk d-vel (így kaptuk az ötödik feladat eredményét). Nem feltétlenül négyzetes mátrixra is érvényes, hogy pontosan akkor van jobb oldali inverze, ha rangja megegyezik a sorainak a számával, azaz ha a sorai lineárisan függetlenek. Erre a tételre a hatodik és a hetedik feladat megoldásában nincs szükség, mert azok megoldása közvetlen számolás (a hetedik feladatban az egyetlen megfelelő vektor [1/3 1/3 1/3]T). A nyolcadik feladatban viszont ezt a tételt alkalmazzuk. Az (A) rész két sora nyilván összefügg, a (C) esetében ez azért igaz, mert R2 dimenziója 2, és így bármely három vektor összefüggő. A (B)-ben például az a = d = 1 és b = c = 0 két független vektort ad, a (D) esetben meg a három sor független lesz ha a 6= 9, hiszen ekkor a determináns értéke nem nulla. +Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összeadása, szorzása, illetve mik a transzponált mátrix méretei. Két mátrix szorzatának oszlopaiban a bal oldali mátrix oszlopainak lineáris kombinációi állnak. Ezért az AB = 0 akkor tud teljesülni nem nulla B mátrixszal, ha A oszlopai lineárisan öszefüggenek. Speciálisan ha A négyzetes mátrix, akkor ez azzal ekvivalens, hogy A determinánsa nulla. Ezzel a tétellel könnyű megválaszolni a harmadik feladatot, illetve keresni megfelelő mátrixot a negyedik feladatban. Kétszer kettes mátrix esetében érdemes megjegyezni az inverz képletét: inverz akkor létezik, ha a mátrix d determinánsa nem nulla, és ekkor az inverz mátrixot úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrixban a főátló két elemét kicseréljük, a mellékátló elemeit ellentettjükre változtatjuk, végül a mátrix minden elemét elosztjuk d-vel (így kaptuk az ötödik feladat eredményét). Nem feltétlenül négyzetes mátrixra is érvényes, hogy pontosan akkor van jobb oldali inverze, ha rangja megegyezik a sorainak a számával, azaz ha a sorai lineárisan függetlenek. Erre a tételre a hatodik és a hetedik feladat megoldásában nincs szükség, mert azok megoldása közvetlen számolás (a hetedik feladatban az egyetlen megfelelő vektor [1/3 1/3 1/3]T). A nyolcadik feladatban viszont ezt a tételt alkalmazzuk. Az (A) rész két sora nyilván összefügg, a (C) esetében ez azért igaz, mert \mathbb{R}^2 dimenziója 2, és így bármely három vektor összefüggő. A (B)-ben például az a = d = 1 és b = c = 0 két független vektort ad, a (D) esetben meg a három sor független lesz ha a 6= 9, hiszen ekkor a determináns értéke nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -741,7 +741,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/1. -N-}] - Az A = [aij] ∈ R5×5 mátrix determinánsának kiszámolásakor mennyi lesz az a31a24a53a15a42 szorzathoz tartozó permutációban az inverziók száma? + Az A = [aij] \in R5x5 mátrix determinánsának kiszámolásakor mennyi lesz az a31a24a53a15a42 szorzathoz tartozó permutációban az inverziók száma? \tcblower @@ -754,7 +754,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/2. -R-}] - Az A = [aij] ∈ R5×5 mátrix determinánsának kiszámolásakor az a11a2ia33a45a5j szorzatot (−1)-gyel szorozva kellett figyelembe venni. Határozzuk meg i-t és j-t. + Az A = [aij] \in R5x5 mátrix determinánsának kiszámolásakor az a11a2ia33a45a5j szorzatot (−1)-gyel szorozva kellett figyelembe venni. Határozzuk meg i-t és j-t. \tcblower \mmedskip @@ -789,12 +789,12 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/5. -N-}] - Legyenek $A,B,C ∈ R3×3$ olyan valós mátrixok, melyekre $detA = 2, detB = 3$ és $detC = 4$. Mennyi lesz $2A2C−1B$ determinánsa? + Legyenek $A,B,C \in \mathbb{R}^3x3$ olyan valós mátrixok, melyekre $detA = 2, detB = 3$ és $detC = 4$. Mennyi lesz $2A2C−1B$ determinánsa? \tcblower \mmedskip - $23 ·22 ·(1/4)·3 = 24$ + $23 \cdot 22 \cdot (1/4) \cdot 3 = 24$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -830,7 +830,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/1. -N-}] - Mik az A = R3×3 mátrix sajátértékei? + Mik az A = \mathbb{R}^3x3 mátrix sajátértékei? \tcblower @@ -843,7 +843,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/2. -N-}] - Írjunk föl egy olyan mátrixot, amelynek karakterisztikus polinomja $(1−λ)(2−λ)(3−λ)$. + Írjunk föl egy olyan mátrixot, amelynek karakterisztikus polinomja $(1−{\lambda})(2−{\lambda})(3−{\lambda})$. \tcblower @@ -856,7 +856,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/3. -R-}] - Írjunk föl egy olyan nem diagonalizálható mátrixot, melynek karakterisztikus polinomja λ2. + Írjunk föl egy olyan nem diagonalizálható mátrixot, melynek karakterisztikus polinomja {\lambda}2. \tcblower @@ -869,7 +869,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/4. -Q-}] - Az A = ∈ \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix nem diagonalizálható R fölött. Mik c lehetséges értékei? + Az A = \in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix nem diagonalizálható R fölött. Mik c lehetséges értékei? \tcblower @@ -883,7 +883,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/5. -Q-}] - Milyen c ∈ R valós értékekre lesz az 1 2 0 c ∈ \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix diagonalizálható? + Milyen c \in R valós értékekre lesz az 1 2 0 c \in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix diagonalizálható? \tcblower @@ -896,7 +896,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/6. -Q-}] - Az A =a b c d∈ \mathbb{R}^{2 x 2} mátrixra . Mennyi az a + 1 b c d + 1 mátrix determinánsa? det a + 1 b c + Az A =a b c d\in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrixra . Mennyi az a + 1 b c d + 1 mátrix determinánsa? det a + 1 b c \tcblower @@ -909,7 +909,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/6. -Q-}] - Egy mátrix valós sajátértékeit a karakterisztikus polinom valós gyökei adják: a főátló minden eleméből levonunk λ-t és kiszámítjuk a determinánst. Felső háromszögmátrix, speciálisan diagonális mátrix esetén a sajátértékek a főátlóból leolvashatók. A sajátvektorokat minden egyes sajátértékhez egy-egy lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg. A diagonalizálhatóság feltétele az, hogy legyen „elegendő” sajátvektor, azaz a tér dimenziószámával megegyező mennyiségű lineárisan független sajátvektor. A harmadik feladat mátrixa esetében ez nem teljesül, mert a sajátvektorokr 0T alakúak, ahol r 6= 0 (azaz a 0-hoz tartozó sajátaltér egydimenziós). Gyakran használt elégséges feltétel, hogy egy n×n-es mátrix diagonalizálható R fölött, ha n különböző valós sajátértéke van. A negyedik feladat mátrixának karakterisztikus polinomja λ2−c. Ennek c > 0-ra két különböző valós gyöke van, tehát ilyenkor a mátrix diagonalizálható; c < 0-ra nincs valós gyök, ezért R fölött nem diagonalizálhatjuk a mátrixot; végül c = 0-ra a megoldást a harmadik feladat adja. Hasonló érvelés adható az ötödik feladatnál is. A hatodik feladat feltétele azt mutatja, hogy a −1 sajátértéke a mátrixnak, ha tehát −1-et levonunk a főátló minden eleméből, épp az A−(−1)I2 mátrixot kapjuk, aminek a determinánsa 0, hiszen −1 gyöke a karakterisztikus polinomnak. + Egy mátrix valós sajátértékeit a karakterisztikus polinom valós gyökei adják: a főátló minden eleméből levonunk {\lambda}-t és kiszámítjuk a determinánst. Felső háromszögmátrix, speciálisan diagonális mátrix esetén a sajátértékek a főátlóból leolvashatók. A sajátvektorokat minden egyes sajátértékhez egy-egy lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg. A diagonalizálhatóság feltétele az, hogy legyen „elegendő” sajátvektor, azaz a tér dimenziószámával megegyező mennyiségű lineárisan független sajátvektor. A harmadik feladat mátrixa esetében ez nem teljesül, mert a sajátvektorokr 0T alakúak, ahol r 6= 0 (azaz a 0-hoz tartozó sajátaltér egydimenziós). Gyakran használt elégséges feltétel, hogy egy nxn-es mátrix diagonalizálható R fölött, ha n különböző valós sajátértéke van. A negyedik feladat mátrixának karakterisztikus polinomja {\lambda}2−c. Ennek c > 0-ra két különböző valós gyöke van, tehát ilyenkor a mátrix diagonalizálható; c < 0-ra nincs valós gyök, ezért R fölött nem diagonalizálhatjuk a mátrixot; végül c = 0-ra a megoldást a harmadik feladat adja. Hasonló érvelés adható az ötödik feladatnál is. A hatodik feladat feltétele azt mutatja, hogy a −1 sajátértéke a mátrixnak, ha tehát −1-et levonunk a főátló minden eleméből, épp az A−(−1)I2 mátrixot kapjuk, aminek a determinánsa 0, hiszen −1 gyöke a karakterisztikus polinomnak. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -925,7 +925,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/1. -N-}] - Mi a kétdimenziós valós sík, azaz R2 origó körüli +90 fokos forgatásának mátrixa az i és j bázisban? + Mi a kétdimenziós valós sík, azaz \mathbb{R}^2 origó körüli +90 fokos forgatásának mátrixa az i és j bázisban? \tcblower @@ -938,7 +938,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/2. -R-}] - Mi a háromdimenziós valós tér, azaz R3 x-y-síkra való tükrözésének a mátrixa az j,k,i bázisban? (Itt a bázisvektorok sorrendje a megszokottól eltérő.) + Mi a háromdimenziós valós tér, azaz \mathbb{R}^3 x-y-síkra való tükrözésének a mátrixa az j,k,i bázisban? (Itt a bázisvektorok sorrendje a megszokottól eltérő.) \tcblower @@ -951,7 +951,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/3. -N-}] - Mik a kétdimenziós valós sík, azaz R2 origóra való tükrözésének sajátértékei? + Mik a kétdimenziós valós sík, azaz \mathbb{R}^2 origóra való tükrözésének sajátértékei? \tcblower @@ -964,7 +964,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/4. -R-}] - Az R2 egy ϕ lineáris transzformációjára ϕ(i) = 2i és ϕ(j) = i + 3j. Mik ϕ sajátértékei? + Az \mathbb{R}^2 egy ϕ lineáris transzformációjára ϕ(i) = 2i és ϕ(j) = i + 3j. Mik ϕ sajátértékei? \tcblower @@ -977,7 +977,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/4. -R-}] - Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix. Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba. Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből (A′ = S−1AS). Az ötödik feladatban a képletre nincs szükség: az első bázisvektor, b1 kétszeresének a képe szintén önmaga, azaz 2b1, s így az új mátrix első oszlopában az első koordináta 1, a többi meg 0. Ugyanakkor a b2 és b3 képében fele annyit kell „vennünk” 2b1-ből, mint b1-ből, tehát az első sor második és harmadik eleme a felére csökken. Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit. Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban 2 1 0 3. Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a −1. A hatodik és a hetedik feladatban felírhatjuk, hogy ϕ(λe1 + µe2) = µ(e1 + e2). Ez akkor nulla, azaz λe1 + µe2 akkor van a magtérben, ha µ = 0. A képtér elemei pedig e1 + e2 többszörösei. A nyolcadik feladatban azt is lehet használni, hogy [ϕ(v)]B = [ϕ]B[v]B. Az Mx y zT = 0 egyenlet megoldása: x és y tetszőleges, z = 0. A magtér tehát kétdimenziós. Megoldható a feladat a dimenzióösszefüggés segítségével is, amely szerint a magtér dimenziója a mátrix oszlopainak száma mínusz a mátrix rangja. Harmadik megoldásként láthatjuk, hogy két bázisvektor a nullába megy, ezért a magtér legalább kétdimenziós, de háromdimenziós nem lehet, mert a mátrix nem nulla. + Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix. Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba. Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből (A′ = S−1AS). Az ötödik feladatban a képletre nincs szükség: az első bázisvektor, b1 kétszeresének a képe szintén önmaga, azaz 2b1, s így az új mátrix első oszlopában az első koordináta 1, a többi meg 0. Ugyanakkor a b2 és b3 képében fele annyit kell „vennünk” 2b1-ből, mint b1-ből, tehát az első sor második és harmadik eleme a felére csökken. Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit. Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban 2 1 0 3. Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a −1. A hatodik és a hetedik feladatban felírhatjuk, hogy ϕ({\lambda}e1 + {\mu}e2) = {\mu}(e1 + e2). Ez akkor nulla, azaz {\lambda}e1 + {\mu}e2 akkor van a magtérben, ha {\mu} = 0. A képtér elemei pedig e1 + e2 többszörösei. A nyolcadik feladatban azt is lehet használni, hogy [ϕ(v)]B = [ϕ]B[v]B. Az Mx y zT = 0 egyenlet megoldása: x és y tetszőleges, z = 0. A magtér tehát kétdimenziós. Megoldható a feladat a dimenzióösszefüggés segítségével is, amely szerint a magtér dimenziója a mátrix oszlopainak száma mínusz a mátrix rangja. Harmadik megoldásként láthatjuk, hogy két bázisvektor a nullába megy, ezért a magtér legalább kétdimenziós, de háromdimenziós nem lehet, mert a mátrix nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1006,7 +1006,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/2. -R-}] - Az 1 1 + i iT ∈ C3 vektor ha,bi = b∗a mellett merőleges az 1 1 + i cT vektorra. Határozzuk meg c ∈ C értékét. + Az 1 1 + i iT \in C3 vektor ha,bi = b∗a mellett merőleges az 1 1 + i cT vektorra. Határozzuk meg c \in C értékét. \tcblower @@ -1020,7 +1020,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/3. -R-}] - Álljon W az R3 azon vektoraiból, amelyek merőlegesek a0 1 1T és1 1 0T vektorok mindegyikére. Adjunk meg egy bázist W-ben. + Álljon W az \mathbb{R}^3 azon vektoraiból, amelyek merőlegesek a0 1 1T és1 1 0T vektorok mindegyikére. Adjunk meg egy bázist W-ben. \tcblower @@ -1033,20 +1033,20 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/4. -Q-}] - Mely a,b ∈ R értékekre lesz |3a + 4b| = 5√a2 + b2 + Mely a,b \in R értékekre lesz |3a + 4b| = 5√a2 + b2 \tcblower \mmedskip - [a,b] = λ[3,4], λ ∈ R + [a,b] = {\lambda}[3,4], {\lambda} \in R \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/4. -Q-}] - A szokásos skaláris szorzatot Rn-ben az ha,bi = aTb összefüggés adja meg; két vektor merőlegessége azt jelenti, hogy a skaláris szorzatuk nulla. Rn-ben a vektorok szögét a cosγ = ha,bi kak·kbk összefüggéssel definiáljuk, erről szól az első feladat. (A megoldáshoz érdemes átismételni a szögfüggvények értékét a nevezetes szögeken.) A második feladat esetében a skaláris szorzat kiszámításánál vigyázzunk arra, hogy a második tényező komponenseit meg kell konjugálni. A harmadik feladatnál lineáris egyenletrendszert kapunk W elemeinek komponenseire. A negyedik feladat esetében arra kell ráismerni, hogy a feladatbeli egyenlet az u = [3 4]T és a v = [a b]T vektorokra írja föl az |hu,vi| = kuk·kvk összefüggést, ami a Cauchy-egyenlőtlenség alapján akkor és csak akkor teljesülhet, ha u és v párhuzamosak. + A szokásos skaláris szorzatot \mathbb{R}^n-ben az ha,bi = aTb összefüggés adja meg; két vektor merőlegessége azt jelenti, hogy a skaláris szorzatuk nulla. \mathbb{R}^n-ben a vektorok szögét a cosγ = ha,bi kak \cdot kbk összefüggéssel definiáljuk, erről szól az első feladat. (A megoldáshoz érdemes átismételni a szögfüggvények értékét a nevezetes szögeken.) A második feladat esetében a skaláris szorzat kiszámításánál vigyázzunk arra, hogy a második tényező komponenseit meg kell konjugálni. A harmadik feladatnál lineáris egyenletrendszert kapunk W elemeinek komponenseire. A negyedik feladat esetében arra kell ráismerni, hogy a feladatbeli egyenlet az u = [3 4]T és a v = [a b]T vektorokra írja föl az |hu,vi| = kuk \cdot kvk összefüggést, ami a Cauchy-egyenlőtlenség alapján akkor és csak akkor teljesülhet, ha u és v párhuzamosak. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1073,7 +1073,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={11/1. -N-}] - A vektoriális szorzat koordinátáinak kiszámításához érdemes a „determinásos” képletet használni: egy 3 × 3-as determináns első sorába az i, j, k vektorokat írjuk, a másik két sorba pedig a megadott vektorok koordinátáit, majd a determinánst (formálisan) kifejtjük az első sora szerint. Ekkor az i, j, k vektorok egy lineáris kombinációját kapjuk: ez lesz a vektoriális szorzat és így a leggyorsabb megoldani az első feladatot. Ebből a képletből láthatjuk azt is, hogy a vegyes szorzat is egy olyan determináns értéke, amelynek soraiban a három megadott vektor van alkalmas sorrendben. Speciálisan három vektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, azaz akkor és csak akkor vannak egy síkban, ha a vegyes szorzatuk nulla. Ez kapcsolódik a második és a harmadik feladat (B) részéhez is. Az utolsó három feladatban érdemes a derékszögű koordinátarendszerben a három tengelyirányú egységvektorra, i-re, j-re és k-ra nézni a vektoriális szorzat hatását, ezekkel érdemes kísérletezni az utolsó három feladatban. A második feladat (A) részében könnyű látni, hogy ha a és b nem esnek egy irányba, akkor a × b merőleges lesz az általuk meghatározott síkra, s ekkor c lehet akár a-val is egyenlő, az (a × b) × c vektoriális szorzat nem lesz a nullvektor. A (C) részben ha a és b vagy b és c párhuzamosak, akkor az ő vektoriális szorzatuk 0, és így 0 lesz a teljes vektoriális szorzat is. Ha viszont egyik vektorpár sem párhuzamos, akkor mindkét esetben ugyanazt a síkot feszítik ki (hiszen a,b és c lineárisan összefüggők), és így mindkét vektorpár vektoriális szorzata a síkra merőleges lesz, vagyis ezek párhuzamos vektorok, vektoriális szorzatuk tehát biztosan 0. A (D) esetben pedig pl. a = c = i, b = j esetén a szorzat értéke k és −k skaláris szorzata lesz, tehát nem 0. Hasonló okoskodással lehet kielemezni az utolsó két feladatban szereplő állítások igazságértékét is. + A vektoriális szorzat koordinátáinak kiszámításához érdemes a „determinásos” képletet használni: egy 3 x 3-as determináns első sorába az i, j, k vektorokat írjuk, a másik két sorba pedig a megadott vektorok koordinátáit, majd a determinánst (formálisan) kifejtjük az első sora szerint. Ekkor az i, j, k vektorok egy lineáris kombinációját kapjuk: ez lesz a vektoriális szorzat és így a leggyorsabb megoldani az első feladatot. Ebből a képletből láthatjuk azt is, hogy a vegyes szorzat is egy olyan determináns értéke, amelynek soraiban a három megadott vektor van alkalmas sorrendben. Speciálisan három vektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, azaz akkor és csak akkor vannak egy síkban, ha a vegyes szorzatuk nulla. Ez kapcsolódik a második és a harmadik feladat (B) részéhez is. Az utolsó három feladatban érdemes a derékszögű koordinátarendszerben a három tengelyirányú egységvektorra, i-re, j-re és k-ra nézni a vektoriális szorzat hatását, ezekkel érdemes kísérletezni az utolsó három feladatban. A második feladat (A) részében könnyű látni, hogy ha a és b nem esnek egy irányba, akkor a x b merőleges lesz az általuk meghatározott síkra, s ekkor c lehet akár a-val is egyenlő, az (a x b) x c vektoriális szorzat nem lesz a nullvektor. A (C) részben ha a és b vagy b és c párhuzamosak, akkor az ő vektoriális szorzatuk 0, és így 0 lesz a teljes vektoriális szorzat is. Ha viszont egyik vektorpár sem párhuzamos, akkor mindkét esetben ugyanazt a síkot feszítik ki (hiszen a,b és c lineárisan összefüggők), és így mindkét vektorpár vektoriális szorzata a síkra merőleges lesz, vagyis ezek párhuzamos vektorok, vektoriális szorzatuk tehát biztosan 0. A (D) esetben pedig pl. a = c = i, b = j esetén a szorzat értéke k és −k skaláris szorzata lesz, tehát nem 0. Hasonló okoskodással lehet kielemezni az utolsó két feladatban szereplő állítások igazságértékét is. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1100,7 +1100,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/2. -R-}] - Adjunk meg egy v ∈ R2 vektort, melyen az A = 1 2 2 1 mátrix által meghatározott kvadratikus alak negatív értéket vesz föl. + Adjunk meg egy v \in \mathbb{R}^2 vektort, melyen az A = 1 2 2 1 mátrix által meghatározott kvadratikus alak negatív értéket vesz föl. \tcblower @@ -1116,7 +1116,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{tcolorbox}[title={12/3. -R-}] Adjuk meg az  a b c b 1 −2 c −2 −1 - ∈ R3×3 mátrix által meghatározott bilineáris függvény kvadratikus karakterét (definitségét). + \in \mathbb{R}^3x3 mátrix által meghatározott bilineáris függvény kvadratikus karakterét (definitségét). \tcblower @@ -1130,7 +1130,7 @@ a b c b 1 −2 c −2 −1 \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] - Milyen c ∈ R valós értékekre lesz az1 c c c∈ \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix által meghatározott kvadratikus alak pozitív definit? + Milyen c \in R valós értékekre lesz az1 c c c\in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix által meghatározott kvadratikus alak pozitív definit? \tcblower @@ -1143,7 +1143,7 @@ a b c b 1 −2 c −2 −1 \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] - Egy szimmetrikus, valós A mátrixhoz tartozó kvadratikus alak Q(u) = uTAu. Abban az esetben ha A = a b b d és u = x yT, akkor Q(u) = ax2 + 2bxy + dy2. A második feladatban tehátolyan x és y számokat kell keresnünk, amelyekre x2 + 4xy + y2 negatív. Ha észrevesszük, hogy x2 + 4xy + y2 = x2 + 4xy + 4y2 −3y2 = (x + 2y)2 −3y2, akkor már könnyen találunk ilyen értékeket (de az alábbiak szerint a mátrix egyik sajátvektora is megfelelő). A kvadratikus alak jellege (karaktere, definitsége) azt mondja meg, milyen valós értékeket vesz föl a nem nulla vektorokon. Ezt a tulajdonságot le tudjuk olvasni a mátrix sajátértékeiből (amik szimmetrikus mátrix esetén mindig valósak), pontosabban azok előjeléből: Q(u), u 6= 0 sajátértékek előjele: jelleg: mindig pozitív mind pozitív pozitív definit mindig negatív mind negatív negatív definit mindig nemnegatív mind nemnegatív pozitív szemidefinit mindig nempozitív mind nempozitív negatív szemidefinit van pozitív is, negatív is van pozitív is, negatív is indefinit Ha u = ei (a triviális bázis i-edik vektora), akkor Q(u) az A mátrix főátlójának i-edik eleme. A harmadik feladatban a második és a harmadik diagonális elem pozitív, illetve negatív, s így kvadratikus alak pozitív és negatív értékeket is fölvesz, tehát biztosan indefinit. Bizonyos esetekben a következő kritérium segítségével is leolvasható a kvadratikus alak jellege. Legyen ∆0 = 1 és ∆k a mátrix bal fölső sarkában lévő k ×k-as részmátrix determinánsa (ez az ún. karakterisztikus sorozat). Pl. a karakterisztikus sorozat pontosan akkor áll csupa pozitív értékből, ha a kvadratikus alakunk pozitív definit. A negyedik feladatnál ezt a feltételt használjuk: az 1×1-es részmátrixhoz tartozó tag pozitív, s a pozitív definitség azzal lesz ekvivalens, hogy a determináns, c−c2 = c(1−c) is pozitív. Ez csak a jelzett intervallumban valósulhat meg. + Egy szimmetrikus, valós A mátrixhoz tartozó kvadratikus alak Q(u) = uTAu. Abban az esetben ha A = a b b d és u = x yT, akkor Q(u) = ax2 + 2bxy + dy2. A második feladatban tehátolyan x és y számokat kell keresnünk, amelyekre x2 + 4xy + y2 negatív. Ha észrevesszük, hogy x2 + 4xy + y2 = x2 + 4xy + 4y2 −3y2 = (x + 2y)2 −3y2, akkor már könnyen találunk ilyen értékeket (de az alábbiak szerint a mátrix egyik sajátvektora is megfelelő). A kvadratikus alak jellege (karaktere, definitsége) azt mondja meg, milyen valós értékeket vesz föl a nem nulla vektorokon. Ezt a tulajdonságot le tudjuk olvasni a mátrix sajátértékeiből (amik szimmetrikus mátrix esetén mindig valósak), pontosabban azok előjeléből: Q(u), u 6= 0 sajátértékek előjele: jelleg: mindig pozitív mind pozitív pozitív definit mindig negatív mind negatív negatív definit mindig nemnegatív mind nemnegatív pozitív szemidefinit mindig nempozitív mind nempozitív negatív szemidefinit van pozitív is, negatív is van pozitív is, negatív is indefinit Ha u = ei (a triviális bázis i-edik vektora), akkor Q(u) az A mátrix főátlójának i-edik eleme. A harmadik feladatban a második és a harmadik diagonális elem pozitív, illetve negatív, s így kvadratikus alak pozitív és negatív értékeket is fölvesz, tehát biztosan indefinit. Bizonyos esetekben a következő kritérium segítségével is leolvasható a kvadratikus alak jellege. Legyen ∆0 = 1 és ∆k a mátrix bal fölső sarkában lévő k xk-as részmátrix determinánsa (ez az ún. karakterisztikus sorozat). Pl. a karakterisztikus sorozat pontosan akkor áll csupa pozitív értékből, ha a kvadratikus alakunk pozitív definit. A negyedik feladatnál ezt a feltételt használjuk: az 1x1-es részmátrixhoz tartozó tag pozitív, s a pozitív definitség azzal lesz ekvivalens, hogy a determináns, c−c2 = c(1−c) is pozitív. Ez csak a jelzett intervallumban valósulhat meg. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1164,89 +1164,89 @@ a b c b 1 −2 c −2 −1 \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1}] - Mit jelent az, hogy egy W ⊆ Rn részhalmaz altér? + Mit jelent az, hogy egy W {\subseteq} \mathbb{R}^n részhalmaz altér? \tcblower -W ⊆ Rn altér Rn-ben, ha: 1) W nem üres; 2) a,b ∈ W esetén a + b ∈ W (azaz W zárt az összeadásra); 3) a ∈ W és λ ∈ R esetén λa ∈ W (azaz W zárt a skalárral szorzásra). (Ahelyett, hogy W nem üres, azt is írhatjuk, hogy 0 ∈ W.) +W {\subseteq} \mathbb{R}^n altér \mathbb{R}^n-ben, ha: 1) W nem üres; 2) a,b \in W esetén a + b \in W (azaz W zárt az összeadásra); 3) a \in W és {\lambda} \in R esetén {\lambda}a \in W (azaz W zárt a skalárral szorzásra). (Ahelyett, hogy W nem üres, azt is írhatjuk, hogy 0 \in W.) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2}] - Definiáljuk, mit jelent az, hogy a v1,...,vk ∈ Rn vektorrendszer lineárisan független. + Definiáljuk, mit jelent az, hogy a v1,...,vk \in \mathbb{R}^n vektorrendszer lineárisan független. \tcblower -A v1,...,vk vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort. Képletben: tetszőleges λ1,λ2,...,λk ∈ R esetén, ha λ1v1 + λ2v2 + ··· + λkvk = 0, akkor minden i-re λi = 0. +A v1,...,vk vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort. Képletben: tetszőleges {\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R esetén, ha {\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0, akkor minden i-re {\lambda}i = 0. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3}] - Mit jelent az, hogy a v1,...,vk ∈ Rn vektorrendszer lineárisan összefüggő? A válaszban ne hivatkozzunk a lineáris függetlenség fogalmára. + Mit jelent az, hogy a v1,...,vk \in \mathbb{R}^n vektorrendszer lineárisan összefüggő? A válaszban ne hivatkozzunk a lineáris függetlenség fogalmára. \tcblower -A v1,...,vk vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (azaz nem lineárisan független), ha léteznek olyan λ1,λ2,...,λk ∈ R nem mind nulla számok, melyekre λ1v1 + λ2v2 + ··· + λkvk = 0.) +A v1,...,vk vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (azaz nem lineárisan független), ha léteznek olyan {\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R nem mind nulla számok, melyekre {\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0.) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4}] - Mit jelent az, hogy egy v vektor lineárisan függ az a1,...,ak ∈ Rn vektoroktól? + Mit jelent az, hogy egy v vektor lineárisan függ az a1,...,ak \in \mathbb{R}^n vektoroktól? \tcblower -Azt jelenti, hogy v felírható a1,...,ak lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan λ1,λ2,...,λk ∈ R skalárok, melyekre v = λ1a1 + λ2a2 + ··· + λkak. +Azt jelenti, hogy v felírható a1,...,ak lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan {\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R skalárok, melyekre v = {\lambda}1a1 + {\lambda}2a2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kak. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={5}] - Jellemezzük egy a1,...,ak ∈ Rn vektorrendszer lineáris összefüggőségét a lineáris függés fogalmával. + Jellemezzük egy a1,...,ak \in \mathbb{R}^n vektorrendszer lineáris összefüggőségét a lineáris függés fogalmával. \tcblower -Egy a1,...,ak ∈ Rn vektorrendszer (k ≥ 2 esetén) pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha valamelyik i-re ai lineárisan függ az a1,...,ai−1,ai+1,...,ak vektoroktól. +Egy a1,...,ak \in \mathbb{R}^n vektorrendszer (k \geq 2 esetén) pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha valamelyik i-re ai lineárisan függ az a1,...,ai−1,ai+1,...,ak vektoroktól. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6}] - Definiáljuk egy V ≤ Rn altér bázisának fogalmát. + Definiáljuk egy V ≤ \mathbb{R}^n altér bázisának fogalmát. \tcblower -Egy b1,...,bk vektorrendszert akkor mondunk a V ≤ Rn altér bázisának, ha lineárisan független, és V minden vektorát előállíthatjuk a bi vektorok lineáris kombinációjaként. (A lineáris függetlenség helyettesíthető azzal a feltétellel, hogy ez a felírás egyértelmű, az előállíthatóság pedig azzal, hogy generátorrendszerről van szó.) +Egy b1,...,bk vektorrendszert akkor mondunk a V ≤ \mathbb{R}^n altér bázisának, ha lineárisan független, és V minden vektorát előállíthatjuk a bi vektorok lineáris kombinációjaként. (A lineáris függetlenség helyettesíthető azzal a feltétellel, hogy ez a felírás egyértelmű, az előállíthatóság pedig azzal, hogy generátorrendszerről van szó.) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7}] - Definiáljuk egy a ∈ V ≤ Rn vektor koordinátavektorát a V egy b1,...,bk bázisában fölírva. + Definiáljuk egy a \in V ≤ \mathbb{R}^n vektor koordinátavektorát a V egy b1,...,bk bázisában fölírva. \tcblower Az a vektor koordinátavektora pontosan akkor [a]b1,...,bk =   -λ1 . . . λk +{\lambda}1 . . . {\lambda}k   -, ha a = λ1b1+···+λkbk. +, ha a = {\lambda}1b1+ \cdot \cdot \cdot +{\lambda}kbk. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8}] - Egy A ⊆ Rn vektorhalmaz esetén adjuk meg az A által generált altér egy jellemzését. + Egy A {\subseteq} \mathbb{R}^n vektorhalmaz esetén adjuk meg az A által generált altér egy jellemzését. \tcblower -Az A által generált altér azokból az Rn-beli vektorokból áll, amelyek előállnak A-beli vektorok lineáris kombinációiként, azaz amelyek lineárisan függnek az A-beli vektoroktól. (Ez a halmaz megegyezik az A-t tartalmazó Rn-beli alterek metszetével.) +Az A által generált altér azokból az \mathbb{R}^n-beli vektorokból áll, amelyek előállnak A-beli vektorok lineáris kombinációiként, azaz amelyek lineárisan függnek az A-beli vektoroktól. (Ez a halmaz megegyezik az A-t tartalmazó \mathbb{R}^n-beli alterek metszetével.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1268,7 +1268,7 @@ Minden lineárisan független rendszer elemszáma legfeljebb akkora, mint bárme \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10}] - Definiáljuk egy V ≤ Rn altér dimenzióját, dimV -t. + Definiáljuk egy V ≤ \mathbb{R}^n altér dimenzióját, dimV -t. \tcblower dimV a V egy bázisának elemszáma, illetve 0, ha V = {0}. (Ez a definíció azért értelmes, mert bármely két bázis elemszáma egyenlő.) @@ -1280,7 +1280,7 @@ dimV a V egy bázisának elemszáma, illetve 0, ha V = {0}. (Ez a definíció a \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={11}] - Definiáljuk egy v1,...,vk ∈ Rn vektorrendszer rangját, r(v1,...,vk)-t. + Definiáljuk egy v1,...,vk \in \mathbb{R}^n vektorrendszer rangját, r(v1,...,vk)-t. \tcblower @@ -1292,7 +1292,7 @@ r(v1,...,vk) = dimSpan(v1,...,vk), azaz egy vektorrendszer rangja megegyezik az \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12}] - Adjuk meg képlettel két mátrix, A ∈ Rk×ℓ és B ∈ Rℓ×n szorzatában, AB-ben az i-edik sor j-edik elemét, i[AB]j-t. Azt is mondjuk meg, i és j milyen értékére létezik ez az elem. + Adjuk meg képlettel két mátrix, A \in Rkxℓ és B \in Rℓxn szorzatában, AB-ben az i-edik sor j-edik elemét, i[AB]j-t. Azt is mondjuk meg, i és j milyen értékére létezik ez az elem. @@ -1308,7 +1308,7 @@ Ha 1 ≤ i ≤ k és 1 ≤ j ≤ n, akkor i[AB]j = Mondjunk ki két, a mátrixok transzponálását a többi szokásos mátrixművelettel összekapcsoló összefüggést. \tcblower -A,B ∈ Rk×n ⇒ (A + B)T = AT + BT λ ∈ R,A ∈ Rk×n ⇒ (λA)T = λAT A ∈ Rk×ℓ, B ∈ Rℓ×n ⇒ (AB)T = BTAT +A,B \in \mathbb{R}^{k x n} ⇒ (A + B)T = AT + BT {\lambda} \in R,A \in \mathbb{R}^{k x n} ⇒ ({\lambda}A)T = {\lambda}AT A \in Rkxℓ, B \in Rℓxn ⇒ (AB)T = BTAT \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1317,10 +1317,10 @@ A,B ∈ Rk×n ⇒ (A + B)T = AT + BT λ ∈ R,A ∈ Rk×n ⇒ (λA)T = λAT A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={14}] - Definiáljuk egy A ∈ Rk×n mátrix oszloprangját, illetve sorrangját, ρO(A)-t és ρS(A)-t. + Definiáljuk egy A \in \mathbb{R}^{k x n} mátrix oszloprangját, illetve sorrangját, ρO(A)-t és ρS(A)-t. \tcblower -Ha a1,...,an ∈ Rk a mátrix oszlopai, akkor ρO(A) = r(a1,...,ak), azaz az oszloprang az oszlopok rendszerének rangja (vagyis az oszlopok által generált altér dimenziója.) Analóg módon, a mátrix sorrangja a sorok által generált altér dimenziója, vagy másképpen: ρS(A) = ρO(AT). +Ha a1,...,an \in Rk a mátrix oszlopai, akkor ρO(A) = r(a1,...,ak), azaz az oszloprang az oszlopok rendszerének rangja (vagyis az oszlopok által generált altér dimenziója.) Analóg módon, a mátrix sorrangja a sorok által generált altér dimenziója, vagy másképpen: ρS(A) = ρO(AT). \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1339,10 +1339,10 @@ Ha létezik az AB mátrixszorzat, akkor ρO(AB) ≤ ρO(A). (Igaz a ρO(AB) ≤ \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={16}] - Mit nevezünk egy A ∈ Rn×m mátrix jobb, illetve kétoldali inverzének? + Mit nevezünk egy A \in \mathbb{R}^{n x m} mátrix jobb, illetve kétoldali inverzének? \tcblower -Az A(j) ∈ Rm×n mátrix jobb oldali inverze A-nak, ha AA(j) = In, ahol In az n × n-es egységmátrix. A−1 ∈ Rm×n kétoldali inverze A-nak, ha jobb oldali és bal oldali inverze is A-nak, azaz AA−1 = In, és A−1A = Im. (Ez utóbbi létezése esetén m = n.) +Az A(j) \in Rmxn mátrix jobb oldali inverze A-nak, ha AA(j) = In, ahol In az n x n-es egységmátrix. A−1 \in Rmxn kétoldali inverze A-nak, ha jobb oldali és bal oldali inverze is A-nak, azaz AA−1 = In, és A−1A = Im. (Ez utóbbi létezése esetén m = n.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1350,10 +1350,10 @@ Az A(j) ∈ Rm×n mátrix jobb oldali inverze A-nak, ha AA(j) = In, ahol In az n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={17}] - A mátrixrang fogalmának fölhasználásával mondjuk ki annak szükséges és elégséges feltételét, hogy az A ∈ Rn×m mátrixnak létezzen jobb oldali inverze. + A mátrixrang fogalmának fölhasználásával mondjuk ki annak szükséges és elégséges feltételét, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x m} mátrixnak létezzen jobb oldali inverze. \tcblower -Az A ∈ Rn×m mátrixnak pontosan akkor létezik jobb oldali inverze, ha ρ(A) = n, azaz a mátrix rangja megegyezik a sorainak a számával. +Az A \in \mathbb{R}^{n x m} mátrixnak pontosan akkor létezik jobb oldali inverze, ha ρ(A) = n, azaz a mátrix rangja megegyezik a sorainak a számával. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1374,7 +1374,7 @@ Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometria \begin{tcolorbox}[title={19}] Definiáljuk a geometriai vektorok vektoriális szorzatának fogalmát. \tcblower -Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometriai vektorok hajlásszögét. Ekkor az a és b vektoriális szorzata az az a × b-vel jelölt vektor, melyre: 1) |a × b| = |a||b|sinγ(ab); 2) a × b ⊥ a,b; 3) ha |a × b| 6= 0, akkor a,b,a × b jobbrendszert alkot. +Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometriai vektorok hajlásszögét. Ekkor az a és b vektoriális szorzata az az a x b-vel jelölt vektor, melyre: 1) |a x b| = |a||b|sinγ(ab); 2) a x b ⊥ a,b; 3) ha |a x b| 6= 0, akkor a,b,a x b jobbrendszert alkot. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1385,7 +1385,7 @@ Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometria Mondjuk ki a geometriai vektorokra vonatkozó kifejtési tételt. \tcblower -Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a × b) × c = (ac)b − (bc)a. +Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a x b) x c = (ac)b − (bc)a. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1396,7 +1396,7 @@ Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a × b) × c = (ac)b − (bc)a. Mondjuk ki a geometriai vektorokra vonatkozó felcserélési tételt. \tcblower - Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a × b)c = a(b × c). + Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a x b)c = a(b x c). \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1418,8 +1418,8 @@ Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a × b) × c = (ac)b − (bc)a. \tcblower Legyen A =  a11 ... a1n . . . . . . an1 ... ann - ∈ Rn×n. Ekkor detA = X i1,...,in (1,...,n) -(−1)I(i1,...,in)a1i1a2i2 ···anin. + \in \mathbb{R}^{n x n}. Ekkor detA = X i1,...,in (1,...,n) +(−1)I(i1,...,in)a1i1a2i2 \cdot \cdot \cdot anin. Itt az összegezés az {1,2,...,n} számok minden permutációjára történik, I(i1,...,in) pedig az adott permutáció inverzióinak a számát jelöli. \end{tcolorbox} @@ -1428,10 +1428,10 @@ Itt az összegezés az {1,2,...,n} számok minden permutációjára történik, \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={24}] - Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A ∈ Rn×n mátrix determinánsa nem nulla. + Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix determinánsa nem nulla. \tcblower -Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A ∈ Rn×n mátrix determinánsa nem nulla. +Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix determinánsa nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1439,17 +1439,17 @@ Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A ∈ Rn×n má \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={25}] - Mit értünk az A ∈ Rn×n mátrix i-edik sorának j-edik eleméhez tartozó előjelezett aldeterminánson, Aij-n? + Mit értünk az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix i-edik sorának j-edik eleméhez tartozó előjelezett aldeterminánson, Aij-n? \tcblower -Hagyjuk el az A mátrix i-edik sorát és a j-edik oszlopát; az így kapott (n−1)×(n−1)-es mátrixot jelölje Bij. Ekkor a keresett előjelezett aldetermináns: Aij = (−1)i+j detBij. +Hagyjuk el az A mátrix i-edik sorát és a j-edik oszlopát; az így kapott (n−1)x(n−1)-es mátrixot jelölje Bij. Ekkor a keresett előjelezett aldetermináns: Aij = (−1)i+j detBij. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={26}] - Adjuk meg képlettel az A ∈ Rn×n mátrix determinánsának i-edik sora szerinti kifejtését. A mátrix elemeit, illetve előjelezett aldeterminánsait aij, ill. Aij jelöli. + Adjuk meg képlettel az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix determinánsának i-edik sora szerinti kifejtését. A mátrix elemeit, illetve előjelezett aldeterminánsait aij, ill. Aij jelöli. \tcblower detA = @@ -1462,7 +1462,7 @@ detA = DefiniáljukaVandermonde-determinánsfogalmát, ésmondjukkiazértékérevonatkozóállítást. \tcblower -a1,...,an ∈ R, n ≥ 2 esetén V (a1,...,an) = +a1,...,an \in R, n \geq 2 esetén V (a1,...,an) = = Y 1≤i 0. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A mátrix minden sajátértéke pozitív. +Q-t akkor nevezzük pozitív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vektorra Q(x) > 0. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A mátrix minden sajátértéke pozitív. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={46}] - Mondjuk meg, mit jelent az, hogy az A ∈ Rn×n szimmetrikus mátrixhoz tartozó Q kvadratikus alak negatív definit, és jellemezzük ezt az esetet az A karakterisztikus sorozata segítségével. + Mondjuk meg, mit jelent az, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x n} szimmetrikus mátrixhoz tartozó Q kvadratikus alak negatív definit, és jellemezzük ezt az esetet az A karakterisztikus sorozata segítségével. \tcblower -Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x ∈ Rn vektorra Q(x) < 0. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A karakterisztikus sorozata jelváltó. (Az A mátrix ∆o,...,∆n karakterisztikus sorozatának k-adik tagja az A bal fölső sarkában lévő k × k-as részmátrix determinánsa, illetve ∆o = 1.) +Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vektorra Q(x) < 0. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A karakterisztikus sorozata jelváltó. (Az A mátrix ∆o,...,∆n karakterisztikus sorozatának k-adik tagja az A bal fölső sarkában lévő k x k-as részmátrix determinánsa, illetve ∆o = 1.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1659,31 +1659,6 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x ∈ Rn vektorra Q(x) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \begin{frame}[plain] \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] {\RHuge C rész} @@ -1698,7 +1673,7 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x ∈ Rn vektorra Q(x) A $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort.\\ - Képletben: tetszőleges ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R$ esetén, ha ${\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + ··· + {\lambda}kvk = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}i = 0$.\\ + Képletben: tetszőleges ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R$ esetén, ha ${\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}i = 0$.\\ Ha lenne egy vektor, melynek kétféle fölírása is létezne: $u = Pk i=1 {\lambda}ibi = Pk i=1 {\mu}ibi$, akkor a kétféle előállítást egymásból kivonva azt kapjuk, hogy\\ @@ -1719,18 +1694,18 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x ∈ Rn vektorra Q(x) Mondjuk ki azt az állítást, mely ezeket a fogalmakat összekapcsolja, és bizonyítsuk is be az állítást. \tcblower - Ha $k ≥ 2$, akkor a $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan $i$, hogy $vi$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól (azaz előáll mint a $v1,...,vi−1,vi+1,...,vk$ vektorok lineáris kombinációja).\\ + Ha $k \geq 2$, akkor a $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan $i$, hogy $vi$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól (azaz előáll mint a $v1,...,vi−1,vi+1,...,vk$ vektorok lineáris kombinációja).\\ \mmedskip Tegyük föl először, hogy a megadott vektorrendszer lineárisan összefüggő.\\ - Ez azt jelenti, hogy a nullvektornak van egy olyan $Pk i=1 λivi = 0$ előállítása, melynél valamelyik $λi$ együttható (pl. a $λi0$) nem $0$.\\ + Ez azt jelenti, hogy a nullvektornak van egy olyan $Pk i=1 {\lambda}ivi = 0$ előállítása, melynél valamelyik ${\lambda}i$ együttható (pl. a ${\lambda}i0$) nem $0$.\\ - Ekkor a $vi0$ kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, hiszen $vi0 = −(1/λi0)Pj6=io λjvj$.\\ + Ekkor a $vi0$ kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, hiszen $vi0 = −(1/{\lambda}i0)Pj6=io {\lambda}jvj$.\\ \mmedskip - A fordított irányhoz tegyük föl, hogy $vi0$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól, azaz $vi0 = Pj6=i0 µjvj$ valamilyen $µj$ együtthatókra.\\ + A fordított irányhoz tegyük föl, hogy $vi0$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól, azaz $vi0 = Pj6=i0 {\mu}jvj$ valamilyen ${\mu}j$ együtthatókra.\\ - De ekkor átrendezhetjük a fönti egyenlőséget úgy, hogy minden vektor az egyenlőség azonos oldalára kerüljön, s ekkor azt kapjuk, hogy a $µi0 = −1$ választással: $Pk i=1 µivi = 0$. Ez nem triviális lineáris kombinációja a $vi$ vektoroknak, mert $µi0 = −1 6= 0$, tehát a vektorrendszer lineárisan összefüggő. + De ekkor átrendezhetjük a fönti egyenlőséget úgy, hogy minden vektor az egyenlőség azonos oldalára kerüljön, s ekkor azt kapjuk, hogy a ${\mu}i0 = −1$ választással: $Pk i=1 {\mu}ivi = 0$. Ez nem triviális lineáris kombinációja a $vi$ vektoroknak, mert ${\mu}i0 = −1 6= 0$, tehát a vektorrendszer lineárisan összefüggő. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1741,42 +1716,42 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x ∈ Rn vektorra Q(x) \tcblower Ha egy lineárisan független $a1,...,ak$ vektorrendszerhez hozzávéve a $b$ vektort, a kapott $a1,...,ak,b$ vektorrendszer már összefüggő, akkor $b$ lineárisan függ az $a1,...,ak$ vektoroktól (azaz előállítható lineáris kombinációjukként).\\ - A feltétel szerint ugyanis léteznek olyan $λ1,...,λk,µ$ együtthatók, melyek közül legalább az egyik nem nulla, és melyekre $(Pk i=1 λiai) + µb = 0$. Itt azonban $µ$ nem lehet nulla, ellenkező esetben az $ai$ vektorok már önmagukban is előálítanák a nullvektort nem triviális módon, ez pedig ellentmond a lineáris függetlenségüknek.\\ + A feltétel szerint ugyanis léteznek olyan ${\lambda}1,...,{\lambda}k,{\mu}$ együtthatók, melyek közül legalább az egyik nem nulla, és melyekre $(Pk i=1 {\lambda}iai) + {\mu}b = 0$. Itt azonban ${\mu}$ nem lehet nulla, ellenkező esetben az $ai$ vektorok már önmagukban is előálítanák a nullvektort nem triviális módon, ez pedig ellentmond a lineáris függetlenségüknek.\\ - Ha átrendezzük az előbbi egyenlőséget úgy, hogy a $b$ vektort hagyjuk az egyik oldalon, akkor $µ$-vel osztva $b = Pk i=1(−λi/µ)ai$, ami azt mutatja, hogy $b$ lineárisan függ az $ai$ vektoroktól. + Ha átrendezzük az előbbi egyenlőséget úgy, hogy a $b$ vektort hagyjuk az egyik oldalon, akkor ${\mu}$-vel osztva $b = Pk i=1(−{\lambda}i/{\mu})ai$, ami azt mutatja, hogy $b$ lineárisan függ az $ai$ vektoroktól. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4. (4p)}] - Mondjuk ki az $Rn$-beli alterek fogalmának a műveletekre való zártsággal való definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy $Rn$ két alterének metszete is altér. + Mondjuk ki az $\mathbb{R}^n$-beli alterek fogalmának a műveletekre való zártsággal való definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy $\mathbb{R}^n$ két alterének metszete is altér. \tcblower - $W ⊆ Rn$ pontosan akkor altér, ha nem üres (ekvivalens módon itt azt is megkövetelhetjük, hogy a nullvektor benne van $W$-ben), továbbá $w1,w2 ∈ W$ esetén $w1 +w2 ∈ W$, valamint $w ∈ W és λ ∈ R$ esetén $λw ∈ W$. Tegyük föl, hogy $W1,W2$ altér $Rn$-ben.\\ + $W {\subseteq} \mathbb{R}^n$ pontosan akkor altér, ha nem üres (ekvivalens módon itt azt is megkövetelhetjük, hogy a nullvektor benne van $W$-ben), továbbá $w1,w2 \in W$ esetén $w1 +w2 \in W$, valamint $w \in W és {\lambda} \in R$ esetén ${\lambda}w \in W$. Tegyük föl, hogy $W1,W2$ altér $\mathbb{R}^n$-ben.\\ - Ekkor a nullvektor mindkét altérnek eleme, így $W1 ∩W2$ nem üres. Ha $w1,w2 ∈ W1 ∩W2$, akkor mindkét $i$ indexre $w1 +w2 ∈ Wi$ (hiszen $Wi$ altér), s ezért az összegvektor benne van a metszetben.\\ + Ekkor a nullvektor mindkét altérnek eleme, így $W1 {\cap}W2$ nem üres. Ha $w1,w2 \in W1 {\cap}W2$, akkor mindkét $i$ indexre $w1 +w2 \in Wi$ (hiszen $Wi$ altér), s ezért az összegvektor benne van a metszetben.\\ - Hasonlóan, ha $w ∈ W1 ∩ W2$ és $λ ∈ R$, akkor $Wi$ altér volta miatt $λw ∈ Wi$ mindkét lehetséges $i$ indexre, így $λw$ benne van a metszetükben is. + Hasonlóan, ha $w \in W1 {\cap} W2$ és ${\lambda} \in \mathbb{R}$, akkor $Wi$ altér volta miatt ${\lambda}w \in Wi$ mindkét lehetséges $i$ indexre, így ${\lambda}w$ benne van a metszetükben is. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7. (4p)}] - Definiáljuk az $n × n$-es egységmátrix fogalmát, és mondjuk meg, mi lesz az eredménye az egységmátrixszal való szorzásnak.\\ + Definiáljuk az $n x n$-es egységmátrix fogalmát, és mondjuk meg, mi lesz az eredménye az egységmátrixszal való szorzásnak.\\ Igazoljuk az egységmátrixszal jobbról való szorzásra vonatkozó összefüggést. \tcblower - Az $In ∈ Rn×n$ egységmátrix $i$-edik sorának $j$-edik eleme $1$, ha $i = j$, és $0$ egyébként (azaz a főátlóban $1$-esek, a főátlón kívül $0$-k szerepelnek).\\ + Az $In \in \mathbb{R}^{n x n}$ egységmátrix $i$-edik sorának $j$-edik eleme $1$, ha $i = j$, és $0$ egyébként (azaz a főátlóban $1$-esek, a főátlón kívül $0$-k szerepelnek).\\ - Úgy is írhatjuk, hogy a mátrix általános eleme $δij$, ahol $δij$ a szokásos Kronecker-szimbólum.\\ + Úgy is írhatjuk, hogy a mátrix általános eleme ${\delta}ij$, ahol ${\delta}ij$ a szokásos Kronecker-szimbólum.\\ - Tetszőleges $A ∈ Rk×n$ és $B ∈ Rn×m$ mátrixokra $AIn = A$ és $InB = B$.\\ + Tetszőleges $A \in \mathbb{R}^{k x n}$ és $B \in \mathbb{R}^{n x m}$ mátrixokra $AIn = A$ és $InB = B$.\\ Az $AIn = A$ igazolásához jelölje $apq$ az $A$ mátrix általános elemét.\\ - A szorzatmátrixban az $i$-edik sor $j$-edik eleme a szorzás definíciója szerint $i[AIn]j = Pn t=1(aitδtj)$.\\ + A szorzatmátrixban az $i$-edik sor $j$-edik eleme a szorzás definíciója szerint $i[AIn]j = Pn t=1(ait{\delta}tj)$.\\ - Ebben az összegben $δtj = 0$ ha $t 6= j$, ezért csak az egyetlen $aijδjj = aij$ tag marad meg. + Ebben az összegben ${\delta}tj = 0$ ha $t 6= j$, ezért csak az egyetlen $aij{\delta}jj = aij$ tag marad meg. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1785,69 +1760,19 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x ∈ Rn vektorra Q(x) \begin{tcolorbox}[title={8. (4p)}] Mondjuk ki és bizonyítsuk be a mátrixok szorzatának transzponáltjára kimondott összefüggést. \tcblower - Ha $A ∈ Rk×ℓ$ és $B ∈ Rℓ×n$, akkor $(AB)T = BTAT$. A szorzat transzponáltjának általános eleme ugyanis: $i[(AB)T]j = j[AB]i = Pℓ t=1 j[A]t · t[B]i = Pℓ t=1 i[BT]t · t[AT]j = i[BTAT]j$. + Ha $A \in Rkxℓ$ és $B \in Rℓxn$, akkor $(AB)T = BTAT$. A szorzat transzponáltjának általános eleme ugyanis: $i[(AB)T]j = j[AB]i = Pℓ t=1 j[A]t \cdot t[B]i = Pℓ t=1 i[BT]t \cdot t[AT]j = i[BTAT]j$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={15. (4p)}] - Definiáljuk egy $A ∈ Rn×n$ mátrix jobb oldali sajátértékének fogalmát, majd igazoljuk, hogy az $A$ mátrix $λ$ sajátértékű (jobb oldali) sajátvektorai a nullvektorral kiegészítve alteret alkotnak $Rn$-ben. + Definiáljuk egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix jobb oldali sajátértékének fogalmát, majd igazoljuk, hogy az $A$ mátrix ${\lambda}$ sajátértékű (jobb oldali) sajátvektorai a nullvektorral kiegészítve alteret alkotnak $\mathbb{R}^n$-ben. \tcblower - $λ ∈ R$ jobb oldali sajátértéke $A$-nak, ha van olyan $0 6= v ∈ Rn$ vektor, melyre $Av = λv$. (Ilyenkor $v$-t a $λ$-hoz tartozó (egyik) sajátvektornak nevezhetjük.)\\ + ${\lambda} \in R$ jobb oldali sajátértéke $A$-nak, ha van olyan $0 6= v \in \mathbb{R}^n$ vektor, melyre $Av = {\lambda}v$. (Ilyenkor $v$-t a ${\lambda}$-hoz tartozó (egyik) sajátvektornak nevezhetjük.)\\ - Azt kell igazolnunk, hogy $Wλ = {v ∈ Rn |Av = λv} ≤ Rn$. Nyilván $0 ∈ Wλ$, így $Wλ$ nem üres. Ha $v1,v2 ∈ Wλ$, akkor $A(v1 +v2) = Av1 +Av2 = λv1 +λv2 = λ(v1 +v2)$, azaz $Wλ$ zárt az összeadásra. Végül, ha $v ∈ Wλ$ és $µ ∈ R$, akkor $A(µv) = µAv = µ(λv) = λ(µv)$, vagyis $Wλ$ zárt a skalárral való szorzásra is. + Azt kell igazolnunk, hogy $W{\lambda} = {v \in \mathbb{R}^n |Av = {\lambda}v} ≤ \mathbb{R}^n$. Nyilván $0 \in W{\lambda}$, így $W{\lambda}$ nem üres. Ha $v1,v2 \in W{\lambda}$, akkor $A(v1 +v2) = Av1 +Av2 = {\lambda}v1 +{\lambda}v2 = {\lambda}(v1 +v2)$, azaz $W{\lambda}$ zárt az összeadásra. Végül, ha $v \in W{\lambda}$ és ${\mu} \in R$, akkor $A({\mu}v) = {\mu}Av = {\mu}({\lambda}v) = {\lambda}({\mu}v)$, vagyis $W{\lambda}$ zárt a skalárral való szorzásra is. \end{tcolorbox} \end{frame} - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - %Kiegészítések / Számolások - \begin{comment} - \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={Bázistranzformáció}] - Kérdés: Hány dimenziós?\\ - - \begin{center} - \begin{tabular}{ c|c c c c } - \hline - & a & b & c & d \\ - ${e_1}$ & 3 & 9 & 1 & 5 \\ - ${e_2}$ & 2 & 10 & 2 & 2 \\ - ${e_3}$ & -1 & 1 & 1 & -3 \\ - ${e_4}$ & 0 & -3 & -1 & 1 \\ - ${e_5}$ & 1 & 2 & 0 & 2 \\ - \hline - \end{tabular} - \end{center} - \mmedskip - - asd - \end{tcolorbox} - \end{frame} - \end{comment} \end{document} From 654446df3185a9fad5feb1a6816ffd939bed04f3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Tue, 5 Jun 2018 23:42:25 +0200 Subject: [PATCH 04/10] Compile fix. --- .../Document.tex | 347 +++++++++--------- 1 file changed, 174 insertions(+), 173 deletions(-) diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex index d5ae3fc..1e3503e 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex @@ -136,7 +136,7 @@ \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2. (4p)}] -Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A részében szereplő főbb témaköröket néhány mintafeladattal, azok megoldásával és esetenként részletesebb magyarázattal. Ez a rész a szemléltetést szolgálja: a dolgozatban általában nem pont ezek a kérdések fognak szerepelni. A feladatok nehézségét szimbólumok jelzik. Ahol egy definíciót vagy tételt kell közvetlenül alkalmazni, ott N a jel. Ha a fogalom már nehezebb, vagy több lépést kell tenni, több fogalmat összekapcsolni, nemtriviális átalakítást kell végezni, ott R szerepel. A Q azt jelzi, hogy a feladat témája kifejezetten nehéz, vagy pedig ötlet kell a megoldáshoz. +Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A részében szereplő főbb témaköröket néhány mintafeladattal, azok megoldásával és esetenként részletesebb magyarázattal. Ez a rész a szemléltetést szolgálja: a dolgozatban általában nem pont ezek a kérdések fognak szerepelni. A feladatok nehézségét szimbólumok jelzik. Ahol egy definíciót vagy tételt kell közvetlenül alkalmazni, ott N a jel. Ha a fogalom már nehezebb, vagy több lépést kell tenni, több fogalmat összekapcsolni, nemtriviális átalakítást kell végezni, ott R szerepel. A Q azt jelzi, hogy a feladat témája kifejezetten nehéz, vagy pedig ötlet kell a megoldáshoz. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -149,7 +149,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/1. -N-}] - A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Határozzuk meg a $v = 2b1 + 3b2 −b3$ vektor koordinátavektorát a $\{b1,b2,b3\}$ bázisban. + A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Határozzuk meg a $v = 2b1 + 3b2 -b3$ vektor koordinátavektorát a $\{b1,b2,b3\}$ bázisban. \tcblower A vektor bázisban vett koordinátavektorának fogalmát kéri számon.\\ @@ -162,7 +162,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/2. -R-}] - Legyen $B = \{b1,b2,b3\}$ bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Egy $v \in V$ vektornak a $\{b1 + b2,b2 + b3,b3\}$ bázisban fölírt koordinátavektora $[v]b1+b2,b2+b3,b3 =$.\\ + Legyen $B = \{b1,b2,b3\}$ bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Egy $v \in V$ vektornak a $\{b1 + b2,b2 + b3,b3\}$ bázisban fölírt koordinátavektora $[v]b1+b2,b2+b3,b3 =$.\\ Mi $v$ koordinátavektora a $B$ bázisban? \tcblower @@ -177,12 +177,12 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/3. -R-}] - A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Ebben a bázisban a $v$, illetve $w$ vektorok koordinátorvektora $[v]b1,b2,b3 =  1 0 2   $ és $[w]b1,b2,b3 =  3 1 0   $. Írjuk föl a $v+2w$ vektort a $\{b1,b2,b3\}$ vektorok lineáris kombinációjaként. + A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Ebben a bázisban a $v$, illetve $w$ vektorok koordinátorvektora $[v]b1,b2,b3 =| | 1 0 2 ||$ és $[w]b1,b2,b3 =| | 3 1 0 ||$. Írjuk föl a $v+2w$ vektort a $\{b1,b2,b3\}$ vektorok lineáris kombinációjaként. \tcblower A feladat két fogalmat kérdez:\\ hogyan kell a koordinátákból kiszámítani a vektorokat, de még azt is tudni kell, hogy hogyan kell koordinátavektorokkal műveleteket végezni.\\ - Tehát először a két koordinátavektor megfelelő lineáris kombinációját számoljuk ki: $  1 0 2  + 2   3 1 0  =   7 2 2   $, majd az így kapott oszlopvektort átírjuk a bázisvektorok lineáris kombinációjává.\\ + Tehát először a két koordinátavektor megfelelő lineáris kombinációját számoljuk ki: $| | 1 0 2 | |+ 2 | | 3 1 0 | | 7 2 2 |$, majd az így kapott oszlopvektort átírjuk a bázisvektorok lineáris kombinációjává.\\ De megtehetjük azt is, hogy először a v és w vektorokat írjuk fel a bázisvektorok lineáris kombinációjaként, majd ebből számítjuk ki a $v+2w$-t. @@ -192,7 +192,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/4. -Q-}] - Tegyük föl, hogy a $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V ≤ \mathbb{R}^n$ altérben. Mi lesz ezen $bi$ bázisvektorok $v$-vel jelölt összegénekakoordinátavektora a $\{b1+b2,b2,b3\}$ bázisban? + Tegyük föl, hogy a $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Mi lesz ezen $bi$ bázisvektorok $v$-vel jelölt összegénekakoordinátavektora a $\{b1+b2,b2,b3\}$ bázisban? \tcblower Az a kérdés, hogy a $b1+b2+b3 = {\lambda}1(b1+b2)+{\lambda}2b2+{\lambda}3b3$ felírásban mennyi a ${\lambda}i$ ismeretlenek értéke.\\| Ezekre úgy kapunk lineáris egyenletrendszert, hogy a $bi$ bázisvektor együtthatóját az egyenlet két oldalán összehasonlítjuk.\\ @@ -317,7 +317,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \mmedskip - $0 \cdot u + 1 \cdot v + 2 \cdot w + (−1)(v + 2w) = 0.$. + $0 \cdot u + 1 \cdot v + 2 \cdot w + (-1)(v + 2w) = 0.$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -360,7 +360,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/6. -N-}] - Egy $U ≤ \mathbb{R}^2$ altérben $[2 3]T$ generátorrendszert alkot. Adjunk meg $U$-ban egy háromelemű generátorrendszert. + Egy $U \leq \mathbb{R}^2$ altérben $[2 3]T$ generátorrendszert alkot. Adjunk meg $U$-ban egy háromelemű generátorrendszert. \tcblower \mmedskip @@ -372,7 +372,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/7. -R-}] - Egy $U ≤ R5$ altérben van olyan $\{v1,v2,v3\}$ háromelemű lineárisan összefüggő vektorhalmaz, mely generátorrendszer U-ban. Hány eleme lehet $U$ egy bázisának? + Egy $U \leq R5$ altérben van olyan $\{v1,v2,v3\}$ háromelemű lineárisan összefüggő vektorhalmaz, mely generátorrendszer U-ban. Hány eleme lehet $U$ egy bázisának? \tcblower \mmedskip @@ -384,7 +384,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/8. -R-}] - Ha egy $U ≤ R9$ altérben van $5$ elemű lineárisan összefüggő generátorrendszer is, meg $3$ elemű lineárisan független vektorrendszer is, akkor mik $dimU$ lehetséges értékei? + Ha egy $U \leq R9$ altérben van $5$ elemű lineárisan összefüggő generátorrendszer is, meg $3$ elemű lineárisan független vektorrendszer is, akkor mik $dimU$ lehetséges értékei? \tcblower @@ -423,7 +423,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/11. -Q-}] - Legyen $U = \{[x1,x2,x3]T \in \mathbb{R}^3|x1 = 2x2 = 3x3\}$ az \mathbb{R}^3 altere. Hány olyan bázisa van az $U$ altérnek, mely tartalmazza a $v = [6,3,2]T$ vektort? + Legyen $U = \{[x1,x2,x3]T \in \mathbb{R}^3|x1 = 2x2 = 3x3\}$ az $\mathbb{R}^3$ altere. Hány olyan bázisa van az $U$ altérnek, mely tartalmazza a $v = [6,3,2]T$ vektort? \tcblower \mmedskip @@ -444,7 +444,9 @@ A harmadik feladatban arra érdemes emlékeznünk, hogy két nem nulla vektor ak A negyedik feladatot megoldhatjuk a szokásos homogén lineáris egyenletrendszer vizsgálatával (ha a megoldások száma nagyobb, mint 1, akkor a vektorrendszer összefüggő). Másik lehetőség annak a tételnek az alkalmazása, hogy a megadott vektorok pontosan akkor lineárisan függetlenek, ha a belőlük mint oszlopvektorokból képzett mátrix determinánsa nem 0. Mivel -, ezért a válasz c 6= 1/2. Az ötödik feladatban segít, ha tudjuk, hogy mit jelent az összefüggőség a lineáris függés nyelvén: a feltételek azt jelentik, hogy a vektorok egyike sem skalárszorosa a másiknak, de az egyik vektor a másik kettőnek a lineáris kombinációja. +, ezért a válasz $c 6= 1/2$. + +Az ötödik feladatban segít, ha tudjuk, hogy mit jelent az összefüggőség a lineáris függés nyelvén: a feltételek azt jelentik, hogy a vektorok egyike sem skalárszorosa a másiknak, de az egyik vektor a másik kettőnek a lineáris kombinációja. A hatodik feladatban azt az állítást használjuk, hogy generátorrendszer kibővítve is generátorrendszer marad, de vigyáznunk kell, hogy az új vektorokat is az altérből vegyük. @@ -484,7 +486,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/2. -N-}] - Legyen $\{b1,b2,b3\}$ bázis egy $U$ altérben. Hány dimenziós alteret generál $\{b1 + b2,b2,b1 −b2\}$? + Legyen $\{b1,b2,b3\}$ bázis egy $U$ altérben. Hány dimenziós alteret generál $\{b1 + b2,b2,b1 -b2\}$? \tcblower \mmedskip @@ -501,7 +503,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \mmedskip - A dimenzió: $n−1$ + A dimenzió: $n-1$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -520,7 +522,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/5. -Q-}] - Hány dimenziós alteret alkotnak $\mathbb{R}^3x3$-ban azok az A mátrixok, amelyekre teljesül, hogy $AT = −A$? + Hány dimenziós alteret alkotnak $\mathbb{R}^3x3$-ban azok az A mátrixok, amelyekre teljesül, hogy $AT = -A$? \tcblower \mmedskip @@ -532,7 +534,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/6. -R-}] - Hány négydimenziós altér van $R4$-ben mint $R$ fölötti vektortérben? + Hány négydimenziós altér van $\mathbb{R}^4$-ben mint $R$ fölötti vektortérben? \tcblower \mmedskip @@ -556,7 +558,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/7. -Q-}] -Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában {b1 + b2,b2} ilyen. De bázist alkot ebben az altérben {b1,b2} is, hiszen b1 = (b1 + b2) − b2 is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának y = 0 speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti \mathbb{R}^n dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első n−1 komponens egyike 1, az utolsó komponens−1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy \mathbb{R}^n egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint \mathbb{R}^n-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a 2x2-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a \mathbb{R}^{2 x 2} téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. +Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában $\{b1 + b2,b2\}$ ilyen. De bázist alkot ebben az altérben $\{b1,b2\}$ is, hiszen $b1 = (b1 + b2) - b2$ is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának $y = 0$ speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti $\mathbb{R}^n$ dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első $n-1$ komponens egyike 1, az utolsó komponens-1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy $\mathbb{R}^n$ egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint $\mathbb{R}^n$-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a $2x2$-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a $\mathbb{R}^{2 x 2}$ téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -613,7 +615,7 @@ $3x + 3y = 3$ \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={5/3. -N-}] -Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés van: ha több ismeretlen van, mint egyenlet, akkor nem lehet egyértelmű a megoldás (erre kérdez rá a harmadik feladat). Vagyis ha az egyenletrendszerben nincs elég egyenlet – nem tudunk eleget az ismeretlenekről –, akkor ugyan lehet ellentmondásos (ehhez már két egyenlet is elég, mint az első feladatban, sőt az egyetlen 0 \cdot x + 0 \cdot y = 1 egyenlet is), de ha nem ellentmondásos, azaz van megoldás, akkor biztosan egynél több megoldás van. Valós és komplex együtthatós egyenletrendszerek esetében ilyenkor a megoldások száma végtelen. Az egyenletek számát szaporíthatjuk úgy, hogy a megoldások halmaza ne változzon: ehhez a rendszerbe már bent lévő egyenletek lineáris kombinációját kell bevenni (mint a második feladatban). Fontos, hogy homogén lineáris egyenletrendszernek – amikor az egyenletek jobb oldalán mindenütt 0 áll – mindig van megoldása: a triviális megoldás, amikor minden ismeretlen értéke nulla. +Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés van: ha több ismeretlen van, mint egyenlet, akkor nem lehet egyértelmű a megoldás (erre kérdez rá a harmadik feladat). Vagyis ha az egyenletrendszerben nincs elég egyenlet – nem tudunk eleget az ismeretlenekről –, akkor ugyan lehet ellentmondásos (ehhez már két egyenlet is elég, mint az első feladatban, sőt az egyetlen $0 \cdot x + 0 \cdot y = 1$ egyenlet is), de ha nem ellentmondásos, azaz van megoldás, akkor biztosan egynél több megoldás van. Valós és komplex együtthatós egyenletrendszerek esetében ilyenkor a megoldások száma végtelen. Az egyenletek számát szaporíthatjuk úgy, hogy a megoldások halmaza ne változzon: ehhez a rendszerbe már bent lévő egyenletek lineáris kombinációját kell bevenni (mint a második feladatban). Fontos, hogy homogén lineáris egyenletrendszernek – amikor az egyenletek jobb oldalán mindenütt 0 áll – mindig van megoldása: a triviális megoldás, amikor minden ismeretlen értéke nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -621,19 +623,19 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame}[plain] \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] - {\RHuge (6) Lineáris egyenletrendszerek, megoldásszámuk} + {\RHuge (6) Mátrixműveletek, inverz } \mmedskip \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/1. -N-}] - Legyen $A \in Rkxℓ$, $B \in Rpxr$ és $C \in Rtxu$. Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy értelmes legyen az $ABT + C$ mátrixkifejezés. + Legyen $A \in Rkxl$, $B \in Rpxr$ és $C \in Rtxu$. Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy értelmes legyen az $ABT + C$ mátrixkifejezés. \tcblower \mmedskip - $ℓ = r, k = t, p = u$ + $l = r, k = t, p = u$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -653,12 +655,12 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/3. -N-}] - Legyen A = . Mely c \in R számokra van olyan $2x2$-es, valós elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrix, amelyre igaz, hogy $AB = 0$? + Legyen $A = .$ Mely $c \in R$ számokra van olyan $2x2$-es, valós elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrix, amelyre igaz, hogy $AB = 0$? \tcblower \mmedskip - c = 9 + $c = 9$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -727,7 +729,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/8. -Q-}] -Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összeadása, szorzása, illetve mik a transzponált mátrix méretei. Két mátrix szorzatának oszlopaiban a bal oldali mátrix oszlopainak lineáris kombinációi állnak. Ezért az AB = 0 akkor tud teljesülni nem nulla B mátrixszal, ha A oszlopai lineárisan öszefüggenek. Speciálisan ha A négyzetes mátrix, akkor ez azzal ekvivalens, hogy A determinánsa nulla. Ezzel a tétellel könnyű megválaszolni a harmadik feladatot, illetve keresni megfelelő mátrixot a negyedik feladatban. Kétszer kettes mátrix esetében érdemes megjegyezni az inverz képletét: inverz akkor létezik, ha a mátrix d determinánsa nem nulla, és ekkor az inverz mátrixot úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrixban a főátló két elemét kicseréljük, a mellékátló elemeit ellentettjükre változtatjuk, végül a mátrix minden elemét elosztjuk d-vel (így kaptuk az ötödik feladat eredményét). Nem feltétlenül négyzetes mátrixra is érvényes, hogy pontosan akkor van jobb oldali inverze, ha rangja megegyezik a sorainak a számával, azaz ha a sorai lineárisan függetlenek. Erre a tételre a hatodik és a hetedik feladat megoldásában nincs szükség, mert azok megoldása közvetlen számolás (a hetedik feladatban az egyetlen megfelelő vektor [1/3 1/3 1/3]T). A nyolcadik feladatban viszont ezt a tételt alkalmazzuk. Az (A) rész két sora nyilván összefügg, a (C) esetében ez azért igaz, mert \mathbb{R}^2 dimenziója 2, és így bármely három vektor összefüggő. A (B)-ben például az a = d = 1 és b = c = 0 két független vektort ad, a (D) esetben meg a három sor független lesz ha a 6= 9, hiszen ekkor a determináns értéke nem nulla. +Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összeadása, szorzása, illetve mik a transzponált mátrix méretei. Két mátrix szorzatának oszlopaiban a bal oldali mátrix oszlopainak lineáris kombinációi állnak. Ezért az $AB = 0$ akkor tud teljesülni nem nulla B mátrixszal, ha A oszlopai lineárisan öszefüggenek. Speciálisan ha A négyzetes mátrix, akkor ez azzal ekvivalens, hogy A determinánsa nulla. Ezzel a tétellel könnyű megválaszolni a harmadik feladatot, illetve keresni megfelelő mátrixot a negyedik feladatban. Kétszer kettes mátrix esetében érdemes megjegyezni az inverz képletét: inverz akkor létezik, ha a mátrix d determinánsa nem nulla, és ekkor az inverz mátrixot úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrixban a főátló két elemét kicseréljük, a mellékátló elemeit ellentettjükre változtatjuk, végül a mátrix minden elemét elosztjuk d-vel (így kaptuk az ötödik feladat eredményét). Nem feltétlenül négyzetes mátrixra is érvényes, hogy pontosan akkor van jobb oldali inverze, ha rangja megegyezik a sorainak a számával, azaz ha a sorai lineárisan függetlenek. Erre a tételre a hatodik és a hetedik feladat megoldásában nincs szükség, mert azok megoldása közvetlen számolás (a hetedik feladatban az egyetlen megfelelő vektor $[1/3 1/3 1/3]T$). A nyolcadik feladatban viszont ezt a tételt alkalmazzuk. Az (A) rész két sora nyilván összefügg, a (C) esetében ez azért igaz, mert $\mathbb{R}^2$ dimenziója 2, és így bármely három vektor összefüggő. A (B)-ben például az a = d = 1 és $b = c = 0$ két független vektort ad, a (D) esetben meg a három sor független lesz ha a $6= 9$, hiszen ekkor a determináns értéke nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -741,7 +743,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/1. -N-}] - Az A = [aij] \in R5x5 mátrix determinánsának kiszámolásakor mennyi lesz az a31a24a53a15a42 szorzathoz tartozó permutációban az inverziók száma? + Az A = $[aij] \in R5x5$ mátrix determinánsának kiszámolásakor mennyi lesz az $a31a24a53a15a42$ szorzathoz tartozó permutációban az inverziók száma? \tcblower @@ -754,20 +756,20 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/2. -R-}] - Az A = [aij] \in R5x5 mátrix determinánsának kiszámolásakor az a11a2ia33a45a5j szorzatot (−1)-gyel szorozva kellett figyelembe venni. Határozzuk meg i-t és j-t. + Az $A = [aij] \in R5x5$ mátrix determinánsának kiszámolásakor az $a11a2ia33a45a5j$ szorzatot $(-1)$-gyel szorozva kellett figyelembe venni. Határozzuk meg i-t és j-t. \tcblower \mmedskip - i = j = -2 4 + $i = j = +2 4$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/3. -Q-}] - Az {1,2,3,4,5} számoknak hány olyan sorbarendezése (permutációja) van, melyben az inverziók száma 1? + Az $\{1,2,3,4,5\}$ számoknak hány olyan sorbarendezése (permutációja) van, melyben az inverziók száma 1? \tcblower \mmedskip @@ -779,7 +781,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/4. -Q-}] - Az $\{1,2,3,4,5\}$ számok $i2jkℓ$ típusú sorbarendezései (azaz permutációi) között mennyi lehet az inverziók maximális száma? + Az $\{1,2,3,4,5\}$ számok $i2jkl$ típusú sorbarendezései (azaz permutációi) között mennyi lehet az inverziók maximális száma? \tcblower \mmedskip @@ -789,7 +791,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/5. -N-}] - Legyenek $A,B,C \in \mathbb{R}^3x3$ olyan valós mátrixok, melyekre $detA = 2, detB = 3$ és $detC = 4$. Mennyi lesz $2A2C−1B$ determinánsa? + Legyenek $A,B,C \in \mathbb{R}^3x3$ olyan valós mátrixok, melyekre $detA = 2, detB = 3$ és $detC = 4$. Mennyi lesz $2A2C-1B$ determinánsa? \tcblower \mmedskip @@ -808,14 +810,14 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \mmedskip - detB = −5 + detB = -5 \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/6. -R-}] - A determináns definíciójában a tagok előjelezését a következőképpen kell kiszámolni. A szorzatot rendezzük át úgy, hogy az aij-k első indexei növekedjenek 1-től n-ig. Ezek után a második indexek által alkotott permutációban számoljuk meg az inverziókat (vagyis azokat a párokat, amelyekben az elöl szereplő szám a nagyobb). Ha ezek száma páros, akkor az előjel +, különben −. Az első feladatban a kapott sorrend 54123. Ha n elemet permutálunk, akkor az inverziók maximális száman 2; ezt a számot az elemek monoton fogyó sorbarendezése produkálja, 0 inverziója pedig csak a természetes, monoton növő sorbarendezésnek van. Két elemet megcserélve, a permutáció paritása (előjele) mindig megváltozik. A második példában i és j csak 2 és 4 lehet valamelyik sorrendben, ezt a két permutációt kell kipróbálni. A harmadik feladatban csak két szomszédos elemet cserélhetünk meg az alapsorrendhez képest. A negyedik feladatban az az ötlet, hogy a 2 után legalább két, 2-nél nagyobb számnak kell lennie, ez két nem-inverziót elront, és így maximum 8 inverzió lehet. Az 52431 sorrend ezt elő is állítja. Az ötödik feladat a determinánsok szorzástételének egyszerű alkalmazása (amiből következik, hogy egy mátrix inverzének a determinánsa az eredeti mátrix determinánsának a reciproka). A hatodik feladatban az eredeti mátrixot transzponáltuk, megcseréltük az első két oszlopot, majd az új első oszlopot adtuk a harmadikhoz. A középső lépésnél a determináns előjelet vált, a másik kettőnél nem változik. + A determináns definíciójában a tagok előjelezését a következőképpen kell kiszámolni. A szorzatot rendezzük át úgy, hogy az aij-k első indexei növekedjenek 1-től n-ig. Ezek után a második indexek által alkotott permutációban számoljuk meg az inverziókat (vagyis azokat a párokat, amelyekben az elöl szereplő szám a nagyobb). Ha ezek száma páros, akkor az előjel +, különben -. Az első feladatban a kapott sorrend 54123. Ha n elemet permutálunk, akkor az inverziók maximális száman 2; ezt a számot az elemek monoton fogyó sorbarendezése produkálja, 0 inverziója pedig csak a természetes, monoton növő sorbarendezésnek van. Két elemet megcserélve, a permutáció paritása (előjele) mindig megváltozik. A második példában i és j csak 2 és 4 lehet valamelyik sorrendben, ezt a két permutációt kell kipróbálni. A harmadik feladatban csak két szomszédos elemet cserélhetünk meg az alapsorrendhez képest. A negyedik feladatban az az ötlet, hogy a 2 után legalább két, 2-nél nagyobb számnak kell lennie, ez két nem-inverziót elront, és így maximum 8 inverzió lehet. Az 52431 sorrend ezt elő is állítja. Az ötödik feladat a determinánsok szorzástételének egyszerű alkalmazása (amiből következik, hogy egy mátrix inverzének a determinánsa az eredeti mátrix determinánsának a reciproka). A hatodik feladatban az eredeti mátrixot transzponáltuk, megcseréltük az első két oszlopot, majd az új első oszlopot adtuk a harmadikhoz. A középső lépésnél a determináns előjelet vált, a másik kettőnél nem változik. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -830,7 +832,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/1. -N-}] - Mik az A = \mathbb{R}^3x3 mátrix sajátértékei? + Mik az A = $\mathbb{R}^3x3$ mátrix sajátértékei? \tcblower @@ -843,7 +845,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/2. -N-}] - Írjunk föl egy olyan mátrixot, amelynek karakterisztikus polinomja $(1−{\lambda})(2−{\lambda})(3−{\lambda})$. + Írjunk föl egy olyan mátrixot, amelynek karakterisztikus polinomja $(1-{\lambda})(2-{\lambda})(3-{\lambda})$. \tcblower @@ -856,34 +858,34 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/3. -R-}] - Írjunk föl egy olyan nem diagonalizálható mátrixot, melynek karakterisztikus polinomja {\lambda}2. + Írjunk föl egy olyan nem diagonalizálható mátrixot, melynek karakterisztikus polinomja ${\lambda}2$. \tcblower \mmedskip - Pl. A = + Pl. $A =$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/4. -Q-}] - Az A = \in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix nem diagonalizálható R fölött. Mik c lehetséges értékei? + Az $A = \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrix nem diagonalizálható $\mathbb{R}$ fölött. Mik $c$ lehetséges értékei? \tcblower \mmedskip - c ≤ 0 + $c \leq 0$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/5. -Q-}] - Milyen c \in R valós értékekre lesz az 1 2 0 c \in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix diagonalizálható? + Milyen $c \in \mathbb{R}$ valós értékekre lesz az 1 2 0 $c \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrix diagonalizálható? \tcblower @@ -896,7 +898,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/6. -Q-}] - Az A =a b c d\in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrixra . Mennyi az a + 1 b c d + 1 mátrix determinánsa? det a + 1 b c + Az $A =a b c d \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrixra . Mennyi az $a + 1 b c d + 1$ mátrix determinánsa? $det a + 1 b c$ \tcblower @@ -909,7 +911,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/6. -Q-}] - Egy mátrix valós sajátértékeit a karakterisztikus polinom valós gyökei adják: a főátló minden eleméből levonunk {\lambda}-t és kiszámítjuk a determinánst. Felső háromszögmátrix, speciálisan diagonális mátrix esetén a sajátértékek a főátlóból leolvashatók. A sajátvektorokat minden egyes sajátértékhez egy-egy lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg. A diagonalizálhatóság feltétele az, hogy legyen „elegendő” sajátvektor, azaz a tér dimenziószámával megegyező mennyiségű lineárisan független sajátvektor. A harmadik feladat mátrixa esetében ez nem teljesül, mert a sajátvektorokr 0T alakúak, ahol r 6= 0 (azaz a 0-hoz tartozó sajátaltér egydimenziós). Gyakran használt elégséges feltétel, hogy egy nxn-es mátrix diagonalizálható R fölött, ha n különböző valós sajátértéke van. A negyedik feladat mátrixának karakterisztikus polinomja {\lambda}2−c. Ennek c > 0-ra két különböző valós gyöke van, tehát ilyenkor a mátrix diagonalizálható; c < 0-ra nincs valós gyök, ezért R fölött nem diagonalizálhatjuk a mátrixot; végül c = 0-ra a megoldást a harmadik feladat adja. Hasonló érvelés adható az ötödik feladatnál is. A hatodik feladat feltétele azt mutatja, hogy a −1 sajátértéke a mátrixnak, ha tehát −1-et levonunk a főátló minden eleméből, épp az A−(−1)I2 mátrixot kapjuk, aminek a determinánsa 0, hiszen −1 gyöke a karakterisztikus polinomnak. + Egy mátrix valós sajátértékeit a karakterisztikus polinom valós gyökei adják: a főátló minden eleméből levonunk ${\lambda}$-t és kiszámítjuk a determinánst. Felső háromszögmátrix, speciálisan diagonális mátrix esetén a sajátértékek a főátlóból leolvashatók. A sajátvektorokat minden egyes sajátértékhez egy-egy lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg. A diagonalizálhatóság feltétele az, hogy legyen „elegendő” sajátvektor, azaz a tér dimenziószámával megegyező mennyiségű lineárisan független sajátvektor. A harmadik feladat mátrixa esetében ez nem teljesül, mert a sajátvektorokr 0T alakúak, ahol r $6= 0$ (azaz a 0-hoz tartozó sajátaltér egydimenziós). Gyakran használt elégséges feltétel, hogy egy nxn-es mátrix diagonalizálható $\mathbb{R}$ fölött, ha n különböző valós sajátértéke van. A negyedik feladat mátrixának karakterisztikus polinomja ${\lambda}2$-c. Ennek c > 0-ra két különböző valós gyöke van, tehát ilyenkor a mátrix diagonalizálható; $c < 0$-ra nincs valós gyök, ezért $\mathbb{R}$ fölött nem diagonalizálhatjuk a mátrixot; végül c = 0-ra a megoldást a harmadik feladat adja. Hasonló érvelés adható az ötödik feladatnál is. A hatodik feladat feltétele azt mutatja, hogy a -1 sajátértéke a mátrixnak, ha tehát -1-et levonunk a főátló minden eleméből, épp az $A-(-1)I2$ mátrixot kapjuk, aminek a determinánsa 0, hiszen -1 gyöke a karakterisztikus polinomnak. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -925,46 +927,46 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/1. -N-}] - Mi a kétdimenziós valós sík, azaz \mathbb{R}^2 origó körüli +90 fokos forgatásának mátrixa az i és j bázisban? + Mi a kétdimenziós valós sík, azaz $\mathbb{R}^2$ origó körüli $+90$ fokos forgatásának mátrixa az i és j bázisban? \tcblower \mmedskip - [ϕ]i,j;i,j = 0 −1 1 0 + $[{\varphi}]i,j;i,j = 0 -1 1 0$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/2. -R-}] - Mi a háromdimenziós valós tér, azaz \mathbb{R}^3 x-y-síkra való tükrözésének a mátrixa az j,k,i bázisban? (Itt a bázisvektorok sorrendje a megszokottól eltérő.) + Mi a háromdimenziós valós tér, azaz $\mathbb{R}^3$ x-y-síkra való tükrözésének a mátrixa az $j,k,i$ bázisban? (Itt a bázisvektorok sorrendje a megszokottól eltérő.) \tcblower \mmedskip - [ϕ]j,k,i;j,k,i = + $[{\varphi}]j,k,i;j,k,i =$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/3. -N-}] - Mik a kétdimenziós valós sík, azaz \mathbb{R}^2 origóra való tükrözésének sajátértékei? + Mik a kétdimenziós valós sík, azaz $\mathbb{R}^2$ origóra való tükrözésének sajátértékei? \tcblower \mmedskip - −1 + -1 \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/4. -R-}] - Az \mathbb{R}^2 egy ϕ lineáris transzformációjára ϕ(i) = 2i és ϕ(j) = i + 3j. Mik ϕ sajátértékei? + Az $\mathbb{R}^2 egy {\varphi}$ lineáris transzformációjára ${\varphi}(i) = 2i és {\varphi}(j) = i + 3j$. Mik ${\varphi}$ sajátértékei? \tcblower @@ -977,7 +979,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/4. -R-}] - Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix. Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba. Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből (A′ = S−1AS). Az ötödik feladatban a képletre nincs szükség: az első bázisvektor, b1 kétszeresének a képe szintén önmaga, azaz 2b1, s így az új mátrix első oszlopában az első koordináta 1, a többi meg 0. Ugyanakkor a b2 és b3 képében fele annyit kell „vennünk” 2b1-ből, mint b1-ből, tehát az első sor második és harmadik eleme a felére csökken. Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit. Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban 2 1 0 3. Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a −1. A hatodik és a hetedik feladatban felírhatjuk, hogy ϕ({\lambda}e1 + {\mu}e2) = {\mu}(e1 + e2). Ez akkor nulla, azaz {\lambda}e1 + {\mu}e2 akkor van a magtérben, ha {\mu} = 0. A képtér elemei pedig e1 + e2 többszörösei. A nyolcadik feladatban azt is lehet használni, hogy [ϕ(v)]B = [ϕ]B[v]B. Az Mx y zT = 0 egyenlet megoldása: x és y tetszőleges, z = 0. A magtér tehát kétdimenziós. Megoldható a feladat a dimenzióösszefüggés segítségével is, amely szerint a magtér dimenziója a mátrix oszlopainak száma mínusz a mátrix rangja. Harmadik megoldásként láthatjuk, hogy két bázisvektor a nullába megy, ezért a magtér legalább kétdimenziós, de háromdimenziós nem lehet, mert a mátrix nem nulla. + Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix. Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba. Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből $(A' = S-1AS)$. Az ötödik feladatban a képletre nincs szükség: az első bázisvektor, $b1$ kétszeresének a képe szintén önmaga, azaz $2b1$, s így az új mátrix első oszlopában az első koordináta $1$, a többi meg $0$. Ugyanakkor a $b2$ és $b3$ képében fele annyit kell „vennünk” $2b1$-ből, mint $b1$-ből, tehát az első sor második és harmadik eleme a felére csökken. Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit. Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban $2 1 0 3$ . Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a $-1$. A hatodik és a hetedik feladatban felírhatjuk, hogy ${\varphi}({\lambda}e1 + {\mu}e2) = {\mu}(e1 + e2)$. Ez akkor nulla, azaz ${\lambda}e1 + {\mu}e2$ akkor van a magtérben, ha ${\mu} = 0$. A képtér elemei pedig $e1 + e2$ többszörösei. A nyolcadik feladatban azt is lehet használni, hogy $[{\varphi}(v)]B = [{\varphi}]B[v]B$. Az $M[x y z]T = 0$ egyenlet megoldása: $x$ és $y$ tetszőleges, $z = 0$. A magtér tehát kétdimenziós. Megoldható a feladat a dimenzióösszefüggés segítségével is, amely szerint a magtér dimenziója a mátrix oszlopainak száma mínusz a mátrix rangja. Harmadik megoldásként láthatjuk, hogy két bázisvektor a nullába megy, ezért a magtér legalább kétdimenziós, de háromdimenziós nem lehet, mert a mátrix nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -992,13 +994,13 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/1. -N-}] - Mennyi az1 1 1 1T és az1 −1 −1 −1T vektorok szöge R4-ben, a szokásos ha,bi = aTb skaláris szorzatra nézve? + Mennyi az$[1 1 1 1]T$ és az $[1 -1 -1 -1]T$ vektorok szöge $\mathbb{R}^4$-ben, a szokásos ha, $bi = aTb$ skaláris szorzatra nézve? \tcblower \mmedskip - Szögük: 120◦ + Szögük: $120^{\circ}$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1006,47 +1008,47 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/2. -R-}] - Az 1 1 + i iT \in C3 vektor ha,bi = b∗a mellett merőleges az 1 1 + i cT vektorra. Határozzuk meg c \in C értékét. + Az $[1 1 + i i]T \in C3$ vektor ha, $bi = b*a$ mellett merőleges az $[1 1 + i c]T$ vektorra. Határozzuk meg $ \in C$ értékét. \tcblower \mmedskip - c = −3i + c = -3i \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/3. -R-}] - Álljon W az \mathbb{R}^3 azon vektoraiból, amelyek merőlegesek a0 1 1T és1 1 0T vektorok mindegyikére. Adjunk meg egy bázist W-ben. + Álljon $W az \mathbb{R}^3$ azon vektoraiból, amelyek merőlegesek $a[0 1 1]T$ és $[1 1 0]T$ vektorok mindegyikére. Adjunk meg egy bázist $W$-ben. \tcblower \mmedskip - {1 −1 1T} + $\{[1 -1 1]T\}$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/4. -Q-}] - Mely a,b \in R értékekre lesz |3a + 4b| = 5√a2 + b2 + Mely $a,b \in \mathbb{R}$ értékekre lesz $|3a + 4b| = 5a2 + b2$ \tcblower \mmedskip - [a,b] = {\lambda}[3,4], {\lambda} \in R + $[a,b] = {\lambda}[3,4], {\lambda} \in \mathbb{R}$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/4. -Q-}] - A szokásos skaláris szorzatot \mathbb{R}^n-ben az ha,bi = aTb összefüggés adja meg; két vektor merőlegessége azt jelenti, hogy a skaláris szorzatuk nulla. \mathbb{R}^n-ben a vektorok szögét a cosγ = ha,bi kak \cdot kbk összefüggéssel definiáljuk, erről szól az első feladat. (A megoldáshoz érdemes átismételni a szögfüggvények értékét a nevezetes szögeken.) A második feladat esetében a skaláris szorzat kiszámításánál vigyázzunk arra, hogy a második tényező komponenseit meg kell konjugálni. A harmadik feladatnál lineáris egyenletrendszert kapunk W elemeinek komponenseire. A negyedik feladat esetében arra kell ráismerni, hogy a feladatbeli egyenlet az u = [3 4]T és a v = [a b]T vektorokra írja föl az |hu,vi| = kuk \cdot kvk összefüggést, ami a Cauchy-egyenlőtlenség alapján akkor és csak akkor teljesülhet, ha u és v párhuzamosak. + A szokásos skaláris szorzatot $\mathbb{R}^n$-ben az ha, $bi = aTb$ összefüggés adja meg; két vektor merőlegessége azt jelenti, hogy a skaláris szorzatuk nulla. $\mathbb{R}^n$-ben a vektorok szögét a $cos{\gamma} =$ ha,$bi kak \cdot kbk$ összefüggéssel definiáljuk, erről szól az első feladat. (A megoldáshoz érdemes átismételni a szögfüggvények értékét a nevezetes szögeken.) A második feladat esetében a skaláris szorzat kiszámításánál vigyázzunk arra, hogy a második tényező komponenseit meg kell konjugálni. A harmadik feladatnál lineáris egyenletrendszert kapunk W elemeinek komponenseire. A negyedik feladat esetében arra kell ráismerni, hogy a feladatbeli egyenlet az u = [3 4]T és a $v = [a b]T$ vektorokra írja föl az $|hu,vi| = kuk \cdot kvk$ összefüggést, ami a Cauchy-egyenlőtlenség alapján akkor és csak akkor teljesülhet, ha $u$ és $v$ párhuzamosak. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1060,34 +1062,34 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={11/1. -N-}] - Ha [a]i,j,k = 0 1 1T és a [b]i,j,k = 1 1 0T, akkor számítsuk ki az a és b vektorok vektoriális szorzatát (koordinátákkal). + Ha [a]i,j,k = [0 1 1]T és a [b]i,j,k = [1 1 0]T, akkor számítsuk ki az a és b vektorok vektoriális szorzatát (koordinátákkal). \tcblower \mmedskip - −1 1 −1T + [-1 1 -1]T \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={11/1. -N-}] - A vektoriális szorzat koordinátáinak kiszámításához érdemes a „determinásos” képletet használni: egy 3 x 3-as determináns első sorába az i, j, k vektorokat írjuk, a másik két sorba pedig a megadott vektorok koordinátáit, majd a determinánst (formálisan) kifejtjük az első sora szerint. Ekkor az i, j, k vektorok egy lineáris kombinációját kapjuk: ez lesz a vektoriális szorzat és így a leggyorsabb megoldani az első feladatot. Ebből a képletből láthatjuk azt is, hogy a vegyes szorzat is egy olyan determináns értéke, amelynek soraiban a három megadott vektor van alkalmas sorrendben. Speciálisan három vektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, azaz akkor és csak akkor vannak egy síkban, ha a vegyes szorzatuk nulla. Ez kapcsolódik a második és a harmadik feladat (B) részéhez is. Az utolsó három feladatban érdemes a derékszögű koordinátarendszerben a három tengelyirányú egységvektorra, i-re, j-re és k-ra nézni a vektoriális szorzat hatását, ezekkel érdemes kísérletezni az utolsó három feladatban. A második feladat (A) részében könnyű látni, hogy ha a és b nem esnek egy irányba, akkor a x b merőleges lesz az általuk meghatározott síkra, s ekkor c lehet akár a-val is egyenlő, az (a x b) x c vektoriális szorzat nem lesz a nullvektor. A (C) részben ha a és b vagy b és c párhuzamosak, akkor az ő vektoriális szorzatuk 0, és így 0 lesz a teljes vektoriális szorzat is. Ha viszont egyik vektorpár sem párhuzamos, akkor mindkét esetben ugyanazt a síkot feszítik ki (hiszen a,b és c lineárisan összefüggők), és így mindkét vektorpár vektoriális szorzata a síkra merőleges lesz, vagyis ezek párhuzamos vektorok, vektoriális szorzatuk tehát biztosan 0. A (D) esetben pedig pl. a = c = i, b = j esetén a szorzat értéke k és −k skaláris szorzata lesz, tehát nem 0. Hasonló okoskodással lehet kielemezni az utolsó két feladatban szereplő állítások igazságértékét is. + A vektoriális szorzat koordinátáinak kiszámításához érdemes a „determinásos” képletet használni: egy 3 x 3-as determináns első sorába az i, j, k vektorokat írjuk, a másik két sorba pedig a megadott vektorok koordinátáit, majd a determinánst (formálisan) kifejtjük az első sora szerint. Ekkor az i, j, k vektorok egy lineáris kombinációját kapjuk: ez lesz a vektoriális szorzat és így a leggyorsabb megoldani az első feladatot. Ebből a képletből láthatjuk azt is, hogy a vegyes szorzat is egy olyan determináns értéke, amelynek soraiban a három megadott vektor van alkalmas sorrendben. Speciálisan három vektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, azaz akkor és csak akkor vannak egy síkban, ha a vegyes szorzatuk nulla. Ez kapcsolódik a második és a harmadik feladat (B) részéhez is. Az utolsó három feladatban érdemes a derékszögű koordinátarendszerben a három tengelyirányú egységvektorra, i-re, j-re és k-ra nézni a vektoriális szorzat hatását, ezekkel érdemes kísérletezni az utolsó három feladatban. A második feladat (A) részében könnyű látni, hogy ha a és b nem esnek egy irányba, akkor a x b merőleges lesz az általuk meghatározott síkra, s ekkor c lehet akár a-val is egyenlő, az (a x b) x c vektoriális szorzat nem lesz a nullvektor. A (C) részben ha a és b vagy b és c párhuzamosak, akkor az ő vektoriális szorzatuk 0, és így 0 lesz a teljes vektoriális szorzat is. Ha viszont egyik vektorpár sem párhuzamos, akkor mindkét esetben ugyanazt a síkot feszítik ki (hiszen a,b és c lineárisan összefüggők), és így mindkét vektorpár vektoriális szorzata a síkra merőleges lesz, vagyis ezek párhuzamos vektorok, vektoriális szorzatuk tehát biztosan 0. A (D) esetben pedig pl. $a = c = i$, $b = j$ esetén a szorzat értéke k és -k skaláris szorzata lesz, tehát nem 0. Hasonló okoskodással lehet kielemezni az utolsó két feladatban szereplő állítások igazságértékét is. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame}[plain] \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] - {\RHuge (12) Kvadratikus alakok jellege (definitsége)} + {\RHuge (12) Kvadratikus alakok jellege (definitsége)} \mmedskip \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/1. -N-}] - Számítsuk ki az1 2 2 1mátrix által meghatározott kvadratikus alak értékét az1 2T vektoron. + Számítsuk ki az 1 2 2 1 mátrix által meghatározott kvadratikus alak értékét az[1 2]T vektoron. \tcblower @@ -1100,50 +1102,48 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/2. -R-}] - Adjunk meg egy v \in \mathbb{R}^2 vektort, melyen az A = 1 2 2 1 mátrix által meghatározott kvadratikus alak negatív értéket vesz föl. + Adjunk meg egy $v \in \mathbb{R}^2$ vektort, melyen az $A = 1 2 2 1$ mátrix által meghatározott kvadratikus alak negatív értéket vesz föl. \tcblower \mmedskip - Pl. v =  1 −1 + Pl. $v = 1 -1 $ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/3. -R-}] - Adjuk meg az  -a b c b 1 −2 c −2 −1 - \in \mathbb{R}^3x3 mátrix által meghatározott bilineáris függvény kvadratikus karakterét (definitségét). + Adjuk meg a $in \mathbb{R}^3x$3 mátrix által meghatározott bilineáris függvény kvadratikus karakterét (definitségét). \tcblower \mmedskip - Indefinit. + Indefinit. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] - Milyen c \in R valós értékekre lesz az1 c c c\in \mathbb{R}^{2 x 2} mátrix által meghatározott kvadratikus alak pozitív definit? + Milyen $c \in \mathbb{R}$ valós értékekre lesz az $1 c c c \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrix által meghatározott kvadratikus alak pozitív definit? \tcblower \mmedskip - 0 < c < 1 + $0 < c < 1$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] - Egy szimmetrikus, valós A mátrixhoz tartozó kvadratikus alak Q(u) = uTAu. Abban az esetben ha A = a b b d és u = x yT, akkor Q(u) = ax2 + 2bxy + dy2. A második feladatban tehátolyan x és y számokat kell keresnünk, amelyekre x2 + 4xy + y2 negatív. Ha észrevesszük, hogy x2 + 4xy + y2 = x2 + 4xy + 4y2 −3y2 = (x + 2y)2 −3y2, akkor már könnyen találunk ilyen értékeket (de az alábbiak szerint a mátrix egyik sajátvektora is megfelelő). A kvadratikus alak jellege (karaktere, definitsége) azt mondja meg, milyen valós értékeket vesz föl a nem nulla vektorokon. Ezt a tulajdonságot le tudjuk olvasni a mátrix sajátértékeiből (amik szimmetrikus mátrix esetén mindig valósak), pontosabban azok előjeléből: Q(u), u 6= 0 sajátértékek előjele: jelleg: mindig pozitív mind pozitív pozitív definit mindig negatív mind negatív negatív definit mindig nemnegatív mind nemnegatív pozitív szemidefinit mindig nempozitív mind nempozitív negatív szemidefinit van pozitív is, negatív is van pozitív is, negatív is indefinit Ha u = ei (a triviális bázis i-edik vektora), akkor Q(u) az A mátrix főátlójának i-edik eleme. A harmadik feladatban a második és a harmadik diagonális elem pozitív, illetve negatív, s így kvadratikus alak pozitív és negatív értékeket is fölvesz, tehát biztosan indefinit. Bizonyos esetekben a következő kritérium segítségével is leolvasható a kvadratikus alak jellege. Legyen ∆0 = 1 és ∆k a mátrix bal fölső sarkában lévő k xk-as részmátrix determinánsa (ez az ún. karakterisztikus sorozat). Pl. a karakterisztikus sorozat pontosan akkor áll csupa pozitív értékből, ha a kvadratikus alakunk pozitív definit. A negyedik feladatnál ezt a feltételt használjuk: az 1x1-es részmátrixhoz tartozó tag pozitív, s a pozitív definitség azzal lesz ekvivalens, hogy a determináns, c−c2 = c(1−c) is pozitív. Ez csak a jelzett intervallumban valósulhat meg. + Egy szimmetrikus, valós A mátrixhoz tartozó kvadratikus alak $Q(u) = uTAu$. Abban az esetben ha $A = a b b d$ és $u = [x y]T$, akkor $Q(u) = ax2 + 2bxy + dy2$. A második feladatban tehátolyan $x$ és $y$ számokat kell keresnünk, amelyekre $x2 + 4xy + y2$ negatív. Ha észrevesszük, hogy $x2 + 4xy + y2 = x2 + 4xy + 4y2 -3y2 = (x + 2y)2 -3y2$, akkor már könnyen találunk ilyen értékeket (de az alábbiak szerint a mátrix egyik sajátvektora is megfelelő). A kvadratikus alak jellege (karaktere, definitsége) azt mondja meg, milyen valós értékeket vesz föl a nem nulla vektorokon. Ezt a tulajdonságot le tudjuk olvasni a mátrix sajátértékeiből (amik szimmetrikus mátrix esetén mindig valósak), pontosabban azok előjeléből: $Q(u), u 6= 0$ sajátértékek előjele: jelleg: mindig pozitív mind pozitív pozitív definit mindig negatív mind negatív negatív definit mindig nemnegatív mind nemnegatív pozitív szemidefinit mindig nempozitív mind nempozitív negatív szemidefinit van pozitív is, negatív is van pozitív is, negatív is indefinit Ha $u = ei$ (a triviális bázis i-edik vektora), akkor $Q(u)$ az A mátrix főátlójának i-edik eleme. A harmadik feladatban a második és a harmadik diagonális elem pozitív, illetve negatív, s így kvadratikus alak pozitív és negatív értékeket is fölvesz, tehát biztosan indefinit. Bizonyos esetekben a következő kritérium segítségével is leolvasható a kvadratikus alak jellege. Legyen ${\Delta}0 = 1$ és ${\Delta}k$ a mátrix bal fölső sarkában lévő $k xk$-as részmátrix determinánsa (ez az ún. karakterisztikus sorozat). Pl. a karakterisztikus sorozat pontosan akkor áll csupa pozitív értékből, ha a kvadratikus alakunk pozitív definit. A negyedik feladatnál ezt a feltételt használjuk: az 1x1-es részmátrixhoz tartozó tag pozitív, s a pozitív definitség azzal lesz ekvivalens, hogy a determináns, $c-c2 = c(1-c)$ is pozitív. Ez csak a jelzett intervallumban valósulhat meg. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1158,95 +1158,93 @@ a b c b 1 −2 c −2 −1 \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] - Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál zárójelben néhol magyarázó megjegyzések is vannak, ezeket nem kell leírni a teljes pontszám eléréséhez. + Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál zárójelben néhol magyarázó megjegyzések is vannak, ezeket nem kell leírni a teljes pontszám eléréséhez. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1}] - Mit jelent az, hogy egy W {\subseteq} \mathbb{R}^n részhalmaz altér? + Mit jelent az, hogy egy $W {\subseteq} \mathbb{R}^n$ részhalmaz altér? \tcblower -W {\subseteq} \mathbb{R}^n altér \mathbb{R}^n-ben, ha: 1) W nem üres; 2) a,b \in W esetén a + b \in W (azaz W zárt az összeadásra); 3) a \in W és {\lambda} \in R esetén {\lambda}a \in W (azaz W zárt a skalárral szorzásra). (Ahelyett, hogy W nem üres, azt is írhatjuk, hogy 0 \in W.) +$W {\subseteq} \mathbb{R}^n altér \mathbb{R}^n-ben$, ha: 1) $W$ nem üres; 2) $a,b \in W$ esetén $a + b \in W$ (azaz W zárt az összeadásra); 3) $a \in W és {\lambda} \in \mathbb{R}$ esetén ${\lambda}a \in W$ (azaz $W$ zárt a skalárral szorzásra). (Ahelyett, hogy $W$ nem üres, azt is írhatjuk, hogy $0 \in W$.) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2}] - Definiáljuk, mit jelent az, hogy a v1,...,vk \in \mathbb{R}^n vektorrendszer lineárisan független. + Definiáljuk, mit jelent az, hogy a $v1,...,vk \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineárisan független. \tcblower -A v1,...,vk vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort. Képletben: tetszőleges {\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R esetén, ha {\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0, akkor minden i-re {\lambda}i = 0. +A $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort. Képletben: tetszőleges ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in \mathbb{R}$ esetén, ha ${\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}i = 0$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3}] - Mit jelent az, hogy a v1,...,vk \in \mathbb{R}^n vektorrendszer lineárisan összefüggő? A válaszban ne hivatkozzunk a lineáris függetlenség fogalmára. + Mit jelent az, hogy a $v1,...,vk \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineárisan összefüggő? A válaszban ne hivatkozzunk a lineáris függetlenség fogalmára. \tcblower -A v1,...,vk vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (azaz nem lineárisan független), ha léteznek olyan {\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R nem mind nulla számok, melyekre {\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0.) +A $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (azaz nem lineárisan független), ha léteznek olyan ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in \mathbb{R}$ nem mind nulla számok, melyekre ${\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0$.) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4}] - Mit jelent az, hogy egy v vektor lineárisan függ az a1,...,ak \in \mathbb{R}^n vektoroktól? + Mit jelent az, hogy egy v vektor lineárisan függ az $a1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektoroktól? \tcblower -Azt jelenti, hogy v felírható a1,...,ak lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan {\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R skalárok, melyekre v = {\lambda}1a1 + {\lambda}2a2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kak. +Azt jelenti, hogy v felírható $a1,...,ak$ lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in \mathbb{R}$ skalárok, melyekre $v = {\lambda}1a1 + {\lambda}2a2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kak$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={5}] - Jellemezzük egy a1,...,ak \in \mathbb{R}^n vektorrendszer lineáris összefüggőségét a lineáris függés fogalmával. + Jellemezzük egy $a1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineáris összefüggőségét a lineáris függés fogalmával. \tcblower -Egy a1,...,ak \in \mathbb{R}^n vektorrendszer (k \geq 2 esetén) pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha valamelyik i-re ai lineárisan függ az a1,...,ai−1,ai+1,...,ak vektoroktól. +Egy $a1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer ($k \geq 2$ esetén) pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha valamelyik i-re $ai$ lineárisan függ az $a1,...,ai-1,ai+1,...,ak$ vektoroktól. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6}] - Definiáljuk egy V ≤ \mathbb{R}^n altér bázisának fogalmát. + Definiáljuk egy $V \leq \mathbb{R}^n$ altér bázisának fogalmát. \tcblower -Egy b1,...,bk vektorrendszert akkor mondunk a V ≤ \mathbb{R}^n altér bázisának, ha lineárisan független, és V minden vektorát előállíthatjuk a bi vektorok lineáris kombinációjaként. (A lineáris függetlenség helyettesíthető azzal a feltétellel, hogy ez a felírás egyértelmű, az előállíthatóság pedig azzal, hogy generátorrendszerről van szó.) +Egy $b1,...,bk$ vektorrendszert akkor mondunk a $V \leq \mathbb{R}^n$ altér bázisának, ha lineárisan független, és V minden vektorát előállíthatjuk a bi vektorok lineáris kombinációjaként. (A lineáris függetlenség helyettesíthető azzal a feltétellel, hogy ez a felírás egyértelmű, az előállíthatóság pedig azzal, hogy generátorrendszerről van szó.) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7}] - Definiáljuk egy a \in V ≤ \mathbb{R}^n vektor koordinátavektorát a V egy b1,...,bk bázisában fölírva. + Definiáljuk egy $a \in V \leq \mathbb{R}^n$ vektor koordinátavektorát a $V$ egy $b1,...,bk$ bázisában fölírva. \tcblower -Az a vektor koordinátavektora pontosan akkor [a]b1,...,bk = -  -{\lambda}1 . . . {\lambda}k -  -, ha a = {\lambda}1b1+ \cdot \cdot \cdot +{\lambda}kbk. +Az a vektor koordinátavektora pontosan akkor $[a]b1,...,bk =$ +${\lambda}1 . . . {\lambda}k$ +, ha $a = {\lambda}1b1+ \cdot \cdot \cdot +{\lambda}kbk$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8}] - Egy A {\subseteq} \mathbb{R}^n vektorhalmaz esetén adjuk meg az A által generált altér egy jellemzését. + Egy $A {\subseteq} \mathbb{R}^n$ vektorhalmaz esetén adjuk meg az $A$ által generált altér egy jellemzését. \tcblower -Az A által generált altér azokból az \mathbb{R}^n-beli vektorokból áll, amelyek előállnak A-beli vektorok lineáris kombinációiként, azaz amelyek lineárisan függnek az A-beli vektoroktól. (Ez a halmaz megegyezik az A-t tartalmazó \mathbb{R}^n-beli alterek metszetével.) +Az A által generált altér azokból az $\mathbb{R}^n$-beli vektorokból áll, amelyek előállnak $A$-beli vektorok lineáris kombinációiként, azaz amelyek lineárisan függnek az $A$-beli vektoroktól. (Ez a halmaz megegyezik az $A$-t tartalmazó $\mathbb{R}^n$-beli alterek metszetével.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1268,10 +1266,10 @@ Minden lineárisan független rendszer elemszáma legfeljebb akkora, mint bárme \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10}] - Definiáljuk egy V ≤ \mathbb{R}^n altér dimenzióját, dimV -t. + Definiáljuk egy $V \leq \mathbb{R}^n$ altér dimenzióját, $dimV$ -t. \tcblower -dimV a V egy bázisának elemszáma, illetve 0, ha V = {0}. (Ez a definíció azért értelmes, mert bármely két bázis elemszáma egyenlő.) +$dimV$ a $V$ egy bázisának elemszáma, illetve 0, ha $V = \{0\}$. (Ez a definíció azért értelmes, mert bármely két bázis elemszáma egyenlő.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1280,11 +1278,11 @@ dimV a V egy bázisának elemszáma, illetve 0, ha V = {0}. (Ez a definíció a \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={11}] - Definiáljuk egy v1,...,vk \in \mathbb{R}^n vektorrendszer rangját, r(v1,...,vk)-t. + Definiáljuk egy $v1,...,vk \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer rangját, $r(v1,...,vk)$-t. \tcblower -r(v1,...,vk) = dimSpan(v1,...,vk), azaz egy vektorrendszer rangja megegyezik az általa generált (kifeszített) altér dimenziójával. +$r(v1,...,vk) = dimSpan(v1,...,vk)$, azaz egy vektorrendszer rangja megegyezik az általa generált (kifeszített) altér dimenziójával. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1292,12 +1290,12 @@ r(v1,...,vk) = dimSpan(v1,...,vk), azaz egy vektorrendszer rangja megegyezik az \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12}] - Adjuk meg képlettel két mátrix, A \in Rkxℓ és B \in Rℓxn szorzatában, AB-ben az i-edik sor j-edik elemét, i[AB]j-t. Azt is mondjuk meg, i és j milyen értékére létezik ez az elem. + Adjuk meg képlettel két mátrix, $A \in Rkxl és B \in Rlxn$ szorzatában, $AB$-ben az $i$-edik sor $j$-edik elemét, $i[AB]j$-t. Azt is mondjuk meg, $i$ és $j$ milyen értékére létezik ez az elem. \tcblower -Ha 1 ≤ i ≤ k és 1 ≤ j ≤ n, akkor i[AB]j = +Ha $1 \leq i \leq k és 1 \leq j \leq n, akkor i[AB]j =$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1308,7 +1306,7 @@ Ha 1 ≤ i ≤ k és 1 ≤ j ≤ n, akkor i[AB]j = Mondjunk ki két, a mátrixok transzponálását a többi szokásos mátrixművelettel összekapcsoló összefüggést. \tcblower -A,B \in \mathbb{R}^{k x n} ⇒ (A + B)T = AT + BT {\lambda} \in R,A \in \mathbb{R}^{k x n} ⇒ ({\lambda}A)T = {\lambda}AT A \in Rkxℓ, B \in Rℓxn ⇒ (AB)T = BTAT +$A,B \in \mathbb{R}^{k x n} {\Rightarrow} (A + B)T = AT + BT {\lambda} \in R,A \in \mathbb{R}^{k x n} {\Rightarrow} ({\lambda}A)T = {\lambda}AT A \in Rkxl, B \in Rlxn {\Rightarrow} (AB)T = BTAT$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1317,10 +1315,10 @@ A,B \in \mathbb{R}^{k x n} ⇒ (A + B)T = AT + BT {\lambda} \in R,A \in \mathbb{ \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={14}] - Definiáljuk egy A \in \mathbb{R}^{k x n} mátrix oszloprangját, illetve sorrangját, ρO(A)-t és ρS(A)-t. + Definiáljuk egy $A \in \mathbb{R}^{k x n}$ mátrix oszloprangját, illetve sorrangját, ${\varrho}O(A)-t és {\varrho}S(A)$-t. \tcblower -Ha a1,...,an \in Rk a mátrix oszlopai, akkor ρO(A) = r(a1,...,ak), azaz az oszloprang az oszlopok rendszerének rangja (vagyis az oszlopok által generált altér dimenziója.) Analóg módon, a mátrix sorrangja a sorok által generált altér dimenziója, vagy másképpen: ρS(A) = ρO(AT). +Ha $a1,...,an \in Rk$ a mátrix oszlopai, akkor ${\varrho}O(A) = r(a1,...,ak)$, azaz az oszloprang az oszlopok rendszerének rangja (vagyis az oszlopok által generált altér dimenziója.) Analóg módon, a mátrix sorrangja a sorok által generált altér dimenziója, vagy másképpen: ${\varrho}S(A) = {\varrho}O(AT)$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1331,7 +1329,7 @@ Ha a1,...,an \in Rk a mátrix oszlopai, akkor ρO(A) = r(a1,...,ak), azaz az osz \tcblower -Ha létezik az AB mátrixszorzat, akkor ρO(AB) ≤ ρO(A). (Igaz a ρO(AB) ≤ ρO(B) becslés is.) +Ha létezik az $AB$ mátrixszorzat, akkor ${\varrho}O(AB) \leq {\varrho}O(A)$. (Igaz a ${\varrho}O(AB) \leq {\varrho}O(B)$ becslés is.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1339,10 +1337,10 @@ Ha létezik az AB mátrixszorzat, akkor ρO(AB) ≤ ρO(A). (Igaz a ρO(AB) ≤ \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={16}] - Mit nevezünk egy A \in \mathbb{R}^{n x m} mátrix jobb, illetve kétoldali inverzének? + Mit nevezünk egy $A \in \mathbb{R}^{n x m}$ mátrix jobb, illetve kétoldali inverzének? \tcblower -Az A(j) \in Rmxn mátrix jobb oldali inverze A-nak, ha AA(j) = In, ahol In az n x n-es egységmátrix. A−1 \in Rmxn kétoldali inverze A-nak, ha jobb oldali és bal oldali inverze is A-nak, azaz AA−1 = In, és A−1A = Im. (Ez utóbbi létezése esetén m = n.) +Az $A(j) \in \mathbb{R}^{m x n}$ mátrix jobb oldali inverze $A$-nak, ha $AA(j) = In$, ahol $In$ az $n x n$-es egységmátrix. $A-1 \in \mathbb{R}^{m x n}$ kétoldali inverze A-nak, ha jobb oldali és bal oldali inverze is A-nak, azaz AA-1 = In, és A-1A = Im. (Ez utóbbi létezése esetén m = n.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1350,10 +1348,10 @@ Az A(j) \in Rmxn mátrix jobb oldali inverze A-nak, ha AA(j) = In, ahol In az n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={17}] - A mátrixrang fogalmának fölhasználásával mondjuk ki annak szükséges és elégséges feltételét, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x m} mátrixnak létezzen jobb oldali inverze. + A mátrixrang fogalmának fölhasználásával mondjuk ki annak szükséges és elégséges feltételét, hogy az $A \in \mathbb{R}^{n x m}$ mátrixnak létezzen jobb oldali inverze. \tcblower -Az A \in \mathbb{R}^{n x m} mátrixnak pontosan akkor létezik jobb oldali inverze, ha ρ(A) = n, azaz a mátrix rangja megegyezik a sorainak a számával. +Az $A \in \mathbb{R}^{n x m}$ mátrixnak pontosan akkor létezik jobb oldali inverze, ha ${\varrho}(A) = n$, azaz a mátrix rangja megegyezik a sorainak a számával. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1361,10 +1359,10 @@ Az A \in \mathbb{R}^{n x m} mátrixnak pontosan akkor létezik jobb oldali inver \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={18}] - Definiáljuk a geometriai vektorok skaláris szorzatának fogalmát a vektorok hosszának és szögének segítségével. + Definiáljuk a geometriai vektorok skaláris szorzatának fogalmát a vektorok hosszának és szögének segítségével. \tcblower -Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometriai vektorok hajlásszögét. Ekkor az a és b skaláris szorzata ab = |a||b|cosγ(a,b). +Jelölje $|a|$ az a geometriai vektor hosszát, ${\gamma}(a,b)$ pedig az $a$ és $b$ geometriai vektorok hajlásszögét. Ekkor az $a$ és $b$ skaláris szorzata $ab = |a||b|cos{\gamma}(a,b)$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1372,9 +1370,13 @@ Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometria \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={19}] - Definiáljuk a geometriai vektorok vektoriális szorzatának fogalmát. + Definiáljuk a geometriai vektorok vektoriális szorzatának fogalmát. \tcblower -Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometriai vektorok hajlásszögét. Ekkor az a és b vektoriális szorzata az az a x b-vel jelölt vektor, melyre: 1) |a x b| = |a||b|sinγ(ab); 2) a x b ⊥ a,b; 3) ha |a x b| 6= 0, akkor a,b,a x b jobbrendszert alkot. +Jelölje $|a|$ az a geometriai vektor hosszát, ${\gamma}(a,b)$ pedig az $a$ és $b$ geometriai vektorok hajlásszögét. Ekkor az $a$ és $b$ vektoriális szorzata az az $a x b$-vel jelölt vektor, melyre:\\ + +1) $|a x b| = |a||b|sin{\gamma}(ab)$;\\ +2) $a x b {\perp} a,b$;\\ +3) ha $|a x b| 6= 0$, akkor $a,b,a x b$ jobbrendszert alkot. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1385,7 +1387,7 @@ Jelölje |a| az a geometriai vektor hosszát, γ(a,b) pedig az a és b geometria Mondjuk ki a geometriai vektorokra vonatkozó kifejtési tételt. \tcblower -Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a x b) x c = (ac)b − (bc)a. +Ha $a,b,c$ geometriai vektorok, akkor $(a x b) x c = (ac)b - (bc)a$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1396,17 +1398,17 @@ Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a x b) x c = (ac)b − (bc)a. Mondjuk ki a geometriai vektorokra vonatkozó felcserélési tételt. \tcblower - Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a x b)c = a(b x c). + Ha $a,b,c$ geometriai vektorok, akkor $(a x b)c = a(b x c)$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={22}] - Definiáljuk a geometriai vektorok vegyesszorzatának fogalmát. + Definiáljuk a geometriai vektorok vegyesszorzatának fogalmát. \tcblower - Definiáljuk a geometriai vektorok vegyesszorzatának fogalmát. + Definiáljuk a geometriai vektorok vegyesszorzatának fogalmát. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1414,13 +1416,12 @@ Ha a,b,c geometriai vektorok, akkor (a x b) x c = (ac)b − (bc)a. \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={23}] - Adjuk meg az A mátrix determinánsát definiáló képletet. Mit jelent ebben az I(i1,...,in) kifejezés? + Adjuk meg az A mátrix determinánsát definiáló képletet. Mit jelent ebben az I(i1,...,in) kifejezés? \tcblower -Legyen A =  -a11 ... a1n . . . . . . an1 ... ann - \in \mathbb{R}^{n x n}. Ekkor detA = X i1,...,in (1,...,n) -(−1)I(i1,...,in)a1i1a2i2 \cdot \cdot \cdot anin. -Itt az összegezés az {1,2,...,n} számok minden permutációjára történik, I(i1,...,in) pedig az adott permutáció inverzióinak a számát jelöli. +Legyen A =| | +$a11 ... a1n . . . . . . an1 ... ann \in \mathbb{R}^{n x n}$. Ekkor $detA = X i1,...,in (1,...,n) +(-1)I(i1,...,in)a1i1a2i2 \cdot \cdot \cdot anin$. +Itt az összegezés az $\{1,2,...,n\}$ számok minden permutációjára történik, $I(i1,...,in)$ pedig az adott permutáció inverzióinak a számát jelöli. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1428,10 +1429,10 @@ Itt az összegezés az {1,2,...,n} számok minden permutációjára történik, \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={24}] - Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix determinánsa nem nulla. + Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix determinánsa nem nulla. \tcblower -Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix determinánsa nem nulla. +Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix determinánsa nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1439,34 +1440,34 @@ Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az A \in \mathbb{R \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={25}] - Mit értünk az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix i-edik sorának j-edik eleméhez tartozó előjelezett aldeterminánson, Aij-n? + Mit értünk az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix i-edik sorának j-edik eleméhez tartozó előjelezett aldeterminánson, $Aij$-n? \tcblower -Hagyjuk el az A mátrix i-edik sorát és a j-edik oszlopát; az így kapott (n−1)x(n−1)-es mátrixot jelölje Bij. Ekkor a keresett előjelezett aldetermináns: Aij = (−1)i+j detBij. +Hagyjuk el az $A$ mátrix $i$-edik sorát és a $j$-edik oszlopát; az így kapott $(n-1)x(n-1)$-es mátrixot jelölje $Bij$. Ekkor a keresett előjelezett aldetermináns: $Aij = (-1)i+j detBij$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={26}] - Adjuk meg képlettel az A \in \mathbb{R}^{n x n} mátrix determinánsának i-edik sora szerinti kifejtését. A mátrix elemeit, illetve előjelezett aldeterminánsait aij, ill. Aij jelöli. + Adjuk meg képlettel az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix determinánsának $i$-edik sora szerinti kifejtését. A mátrix elemeit, illetve előjelezett aldeterminánsait $aij, ill$. $Aij$ jelöli. \tcblower -detA = +$detA =$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={28}] - DefiniáljukaVandermonde-determinánsfogalmát, ésmondjukkiazértékérevonatkozóállítást. + DefiniáljukaVandermonde-determinánsfogalmát, ésmondjukkiazértékérevonatkozóállítást. \tcblower -a1,...,an \in R, n \geq 2 esetén V (a1,...,an) = +$a1,...,an \in R, n \geq 2 esetén V (a1,...,an) =$ -= Y 1≤i 0. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A mátrix minden sajátértéke pozitív. +Q-t akkor nevezzük pozitív definitnek, ha minden $0 6= x \in \mathbb{R}^n$ vektorra $Q(x) > 0$. Ez pontosan akkor teljesül, ha az $A$ mátrix minden sajátértéke pozitív. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={46}] - Mondjuk meg, mit jelent az, hogy az A \in \mathbb{R}^{n x n} szimmetrikus mátrixhoz tartozó Q kvadratikus alak negatív definit, és jellemezzük ezt az esetet az A karakterisztikus sorozata segítségével. + Mondjuk meg, mit jelent az, hogy az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ szimmetrikus mátrixhoz tartozó Q kvadratikus alak negatív definit, és jellemezzük ezt az esetet az A karakterisztikus sorozata segítségével. \tcblower -Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vektorra Q(x) < 0. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A karakterisztikus sorozata jelváltó. (Az A mátrix ∆o,...,∆n karakterisztikus sorozatának k-adik tagja az A bal fölső sarkában lévő k x k-as részmátrix determinánsa, illetve ∆o = 1.) +Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 6= x \in \mathbb{R}^n$ vektorra $Q(x) < 0$. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A karakterisztikus sorozata jelváltó. (Az A mátrix ${\Delta}o,...,{\Delta}n$ karakterisztikus sorozatának k-adik tagja az A bal fölső sarkában lévő $k x k$-as részmátrix determinánsa, illetve ${\Delta}o = 1$.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1694,18 +1695,18 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vekt Mondjuk ki azt az állítást, mely ezeket a fogalmakat összekapcsolja, és bizonyítsuk is be az állítást. \tcblower - Ha $k \geq 2$, akkor a $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan $i$, hogy $vi$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól (azaz előáll mint a $v1,...,vi−1,vi+1,...,vk$ vektorok lineáris kombinációja).\\ + Ha $k \geq 2$, akkor a $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan $i$, hogy $vi$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól (azaz előáll mint a $v1,...,vi-1,vi+1,...,vk$ vektorok lineáris kombinációja).\\ \mmedskip Tegyük föl először, hogy a megadott vektorrendszer lineárisan összefüggő.\\ Ez azt jelenti, hogy a nullvektornak van egy olyan $Pk i=1 {\lambda}ivi = 0$ előállítása, melynél valamelyik ${\lambda}i$ együttható (pl. a ${\lambda}i0$) nem $0$.\\ - Ekkor a $vi0$ kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, hiszen $vi0 = −(1/{\lambda}i0)Pj6=io {\lambda}jvj$.\\ + Ekkor a $vi0$ kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, hiszen $vi0 = -(1/{\lambda}i0)Pj6=io {\lambda}jvj$.\\ \mmedskip A fordított irányhoz tegyük föl, hogy $vi0$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól, azaz $vi0 = Pj6=i0 {\mu}jvj$ valamilyen ${\mu}j$ együtthatókra.\\ - De ekkor átrendezhetjük a fönti egyenlőséget úgy, hogy minden vektor az egyenlőség azonos oldalára kerüljön, s ekkor azt kapjuk, hogy a ${\mu}i0 = −1$ választással: $Pk i=1 {\mu}ivi = 0$. Ez nem triviális lineáris kombinációja a $vi$ vektoroknak, mert ${\mu}i0 = −1 6= 0$, tehát a vektorrendszer lineárisan összefüggő. + De ekkor átrendezhetjük a fönti egyenlőséget úgy, hogy minden vektor az egyenlőség azonos oldalára kerüljön, s ekkor azt kapjuk, hogy a ${\mu}i0 = -1$ választással: $Pk i=1 {\mu}ivi = 0$. Ez nem triviális lineáris kombinációja a $vi$ vektoroknak, mert ${\mu}i0 = -1 6= 0$, tehát a vektorrendszer lineárisan összefüggő. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1718,13 +1719,13 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vekt A feltétel szerint ugyanis léteznek olyan ${\lambda}1,...,{\lambda}k,{\mu}$ együtthatók, melyek közül legalább az egyik nem nulla, és melyekre $(Pk i=1 {\lambda}iai) + {\mu}b = 0$. Itt azonban ${\mu}$ nem lehet nulla, ellenkező esetben az $ai$ vektorok már önmagukban is előálítanák a nullvektort nem triviális módon, ez pedig ellentmond a lineáris függetlenségüknek.\\ - Ha átrendezzük az előbbi egyenlőséget úgy, hogy a $b$ vektort hagyjuk az egyik oldalon, akkor ${\mu}$-vel osztva $b = Pk i=1(−{\lambda}i/{\mu})ai$, ami azt mutatja, hogy $b$ lineárisan függ az $ai$ vektoroktól. + Ha átrendezzük az előbbi egyenlőséget úgy, hogy a $b$ vektort hagyjuk az egyik oldalon, akkor ${\mu}$-vel osztva $b = Pk i=1(-{\lambda}i/{\mu})ai$, ami azt mutatja, hogy $b$ lineárisan függ az $ai$ vektoroktól. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4. (4p)}] - Mondjuk ki az $\mathbb{R}^n$-beli alterek fogalmának a műveletekre való zártsággal való definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy $\mathbb{R}^n$ két alterének metszete is altér. + Mondjuk ki az $\mathbb{R}^n$-beli alterek fogalmának a műveletekre való zártsággal való definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy $\mathbb{R}^n$ két alterének metszete is altér. \tcblower $W {\subseteq} \mathbb{R}^n$ pontosan akkor altér, ha nem üres (ekvivalens módon itt azt is megkövetelhetjük, hogy a nullvektor benne van $W$-ben), továbbá $w1,w2 \in W$ esetén $w1 +w2 \in W$, valamint $w \in W és {\lambda} \in R$ esetén ${\lambda}w \in W$. Tegyük föl, hogy $W1,W2$ altér $\mathbb{R}^n$-ben.\\ @@ -1737,7 +1738,7 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vekt \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7. (4p)}] - Definiáljuk az $n x n$-es egységmátrix fogalmát, és mondjuk meg, mi lesz az eredménye az egységmátrixszal való szorzásnak.\\ + Definiáljuk az $n x n$-es egységmátrix fogalmát, és mondjuk meg, mi lesz az eredménye az egységmátrixszal való szorzásnak.\\ Igazoljuk az egységmátrixszal jobbról való szorzásra vonatkozó összefüggést. \tcblower @@ -1749,7 +1750,7 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vekt Az $AIn = A$ igazolásához jelölje $apq$ az $A$ mátrix általános elemét.\\ - A szorzatmátrixban az $i$-edik sor $j$-edik eleme a szorzás definíciója szerint $i[AIn]j = Pn t=1(ait{\delta}tj)$.\\ + A szorzatmátrixban az $i$-edik sor $j$-edik eleme a szorzás definíciója szerint $i[AIn]j = Pn t=1(ait{\delta}tj)$.\\ Ebben az összegben ${\delta}tj = 0$ ha $t 6= j$, ezért csak az egyetlen $aij{\delta}jj = aij$ tag marad meg. \end{tcolorbox} @@ -1760,17 +1761,17 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden 0 6= x \in \mathbb{R}^n vekt \begin{tcolorbox}[title={8. (4p)}] Mondjuk ki és bizonyítsuk be a mátrixok szorzatának transzponáltjára kimondott összefüggést. \tcblower - Ha $A \in Rkxℓ$ és $B \in Rℓxn$, akkor $(AB)T = BTAT$. A szorzat transzponáltjának általános eleme ugyanis: $i[(AB)T]j = j[AB]i = Pℓ t=1 j[A]t \cdot t[B]i = Pℓ t=1 i[BT]t \cdot t[AT]j = i[BTAT]j$. + Ha $A \in Rkxl$ és $B \in Rlxn$, akkor $(AB)T = BTAT$. A szorzat transzponáltjának általános eleme ugyanis: $i[(AB)T]j = j[AB]i = Pl t=1 j[A]t \cdot t[B]i = Pl t=1 i[BT]t \cdot t[AT]j = i[BTAT]j$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={15. (4p)}] - Definiáljuk egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix jobb oldali sajátértékének fogalmát, majd igazoljuk, hogy az $A$ mátrix ${\lambda}$ sajátértékű (jobb oldali) sajátvektorai a nullvektorral kiegészítve alteret alkotnak $\mathbb{R}^n$-ben. + Definiáljuk egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix jobb oldali sajátértékének fogalmát, majd igazoljuk, hogy az $A$ mátrix ${\lambda}$ sajátértékű (jobb oldali) sajátvektorai a nullvektorral kiegészítve alteret alkotnak $\mathbb{R}^n$-ben. \tcblower ${\lambda} \in R$ jobb oldali sajátértéke $A$-nak, ha van olyan $0 6= v \in \mathbb{R}^n$ vektor, melyre $Av = {\lambda}v$. (Ilyenkor $v$-t a ${\lambda}$-hoz tartozó (egyik) sajátvektornak nevezhetjük.)\\ - Azt kell igazolnunk, hogy $W{\lambda} = {v \in \mathbb{R}^n |Av = {\lambda}v} ≤ \mathbb{R}^n$. Nyilván $0 \in W{\lambda}$, így $W{\lambda}$ nem üres. Ha $v1,v2 \in W{\lambda}$, akkor $A(v1 +v2) = Av1 +Av2 = {\lambda}v1 +{\lambda}v2 = {\lambda}(v1 +v2)$, azaz $W{\lambda}$ zárt az összeadásra. Végül, ha $v \in W{\lambda}$ és ${\mu} \in R$, akkor $A({\mu}v) = {\mu}Av = {\mu}({\lambda}v) = {\lambda}({\mu}v)$, vagyis $W{\lambda}$ zárt a skalárral való szorzásra is. + Azt kell igazolnunk, hogy $W{\lambda} = {v \in \mathbb{R}^n |Av = {\lambda}v} \leq \mathbb{R}^n$. Nyilván $0 \in W{\lambda}$, így $W{\lambda}$ nem üres. Ha $v1,v2 \in W{\lambda}$, akkor $A(v1 +v2) = Av1 +Av2 = {\lambda}v1 +{\lambda}v2 = {\lambda}(v1 +v2)$, azaz $W{\lambda}$ zárt az összeadásra. Végül, ha $v \in W{\lambda}$ és ${\mu} \in R$, akkor $A({\mu}v) = {\mu}Av = {\mu}({\lambda}v) = {\lambda}({\mu}v)$, vagyis $W{\lambda}$ zárt a skalárral való szorzásra is. \end{tcolorbox} \end{frame} From 1481fc8c33eb61f943d71be30c6563222c44bc25 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Wed, 6 Jun 2018 00:05:43 +0200 Subject: [PATCH 05/10] More work. --- .../Document.tex | 98 +++++++++++-------- 1 file changed, 58 insertions(+), 40 deletions(-) diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex index 1e3503e..338953a 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex @@ -33,9 +33,9 @@ % Uncomment these, to put more than one slide / page into a generated page. %\usepackage{pgfpages} % Choose one -%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper] -%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper] -%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a4paper] +%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a_4paper] +%\pgfpagesuselayout{4 on 1}[a_4paper] +%\pgfpagesuselayout{8 on 1}[a_4paper] % Includes \usepackage{tikz} @@ -135,8 +135,8 @@ \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={2. (4p)}] -Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A részében szereplő főbb témaköröket néhány mintafeladattal, azok megoldásával és esetenként részletesebb magyarázattal. Ez a rész a szemléltetést szolgálja: a dolgozatban általában nem pont ezek a kérdések fognak szerepelni. A feladatok nehézségét szimbólumok jelzik. Ahol egy definíciót vagy tételt kell közvetlenül alkalmazni, ott N a jel. Ha a fogalom már nehezebb, vagy több lépést kell tenni, több fogalmat összekapcsolni, nemtriviális átalakítást kell végezni, ott R szerepel. A Q azt jelzi, hogy a feladat témája kifejezetten nehéz, vagy pedig ötlet kell a megoldáshoz. + \begin{tcolorbox} +Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A részében szereplő főbb témaköröket néhány mintafeladattal, azok megoldásával és esetenként részletesebb magyarázattal. Ez a rész a szemléltetést szolgálja: a dolgozatban általában nem pont ezek a kérdések fognak szerepelni. A feladatok nehézségét szimbólumok jelzik. Ahol egy definíciót vagy tételt kell közvetlenül alkalmazni, ott -N- a jel. Ha a fogalom már nehezebb, vagy több lépést kell tenni, több fogalmat összekapcsolni, nemtriviális átalakítást kell végezni, ott -R- szerepel. A -Q- azt jelzi, hogy a feladat témája kifejezetten nehéz, vagy pedig ötlet kell a megoldáshoz. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -149,35 +149,53 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/1. -N-}] - A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Határozzuk meg a $v = 2b1 + 3b2 -b3$ vektor koordinátavektorát a $\{b1,b2,b3\}$ bázisban. + A $\{b_1,b_2,b_3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Határozzuk meg a $v = 2b_1 + 3b_2 -b_3$ vektor koordinátavektorát a $\{b_1,b_2,b_3\}$ bázisban. \tcblower A vektor bázisban vett koordinátavektorának fogalmát kéri számon.\\ A vektorból kell kiszámítani a koordinátáit.\\ \mmedskip - $[v]b1,b2,b3 =$ + $[v]_{b_1,b_2,b_3} =$ $\begin{bmatrix} + 2 \\ + 3 \\ + -1 + \end{bmatrix}$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/2. -R-}] - Legyen $B = \{b1,b2,b3\}$ bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Egy $v \in V$ vektornak a $\{b1 + b2,b2 + b3,b3\}$ bázisban fölírt koordinátavektora $[v]b1+b2,b2+b3,b3 =$.\\ + Legyen $\mathbb{B} = \{b_1,b_2,b_3\}$ bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Egy $v \in V$ vektornak a $\{b_1 + b_2,b_2 + b_3,b_3\}$ bázisban fölírt koordinátavektora $[v]_{b_1+b_2,b_2+b_3,b_3} = [1 1 0]^T$.\\ + \mmedskip - Mi $v$ koordinátavektora a $B$ bázisban? + Mi $v$ koordinátavektora a $\mathbb{B}$ bázisban? \tcblower - A vektor bázisban vett koordinátavektorának fogalmát kéri számon.\\ + A feladat a vektor bázisban vett koordinátavektorának fogalmát kéri számon.\\ + \mmedskip - Kétlépéses, először a feladat szövegében megadott koordinátavektort írjuk át a bázisvektorok lineáris kombinációjává: $v = 1 \cdot (b1 + b2) + 1 \cdot (b2 + b3) + 0 \cdot (b3) = 1 \cdot b1 + 2 \cdot b2 + 1 \cdot b3$, majd az így kapott lineáris kombinációt koordinátavektorrá.\\ + Kétlépéses, először a feladat szövegében megadott koordinátavektort írjuk át a bázisvektorok lineáris kombinációjává: $v = 1 \cdot (b_1 + b_2) + 1 \cdot (b_2 + b_3) + 0 \cdot (b_3) = 1 \cdot b_1 + 2 \cdot b_2 + 1 \cdot b_3$, majd az így kapott lineáris kombinációt koordinátavektorrá.\\ \mmedskip - $[v]b1,b2,b3 =$ + $[v]_{b_1,b_2,b_3} =$ $\begin{bmatrix} + 1 \\ + 2 \\ + 1 + \end{bmatrix}$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/3. -R-}] - A $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Ebben a bázisban a $v$, illetve $w$ vektorok koordinátorvektora $[v]b1,b2,b3 =| | 1 0 2 ||$ és $[w]b1,b2,b3 =| | 3 1 0 ||$. Írjuk föl a $v+2w$ vektort a $\{b1,b2,b3\}$ vektorok lineáris kombinációjaként. + A $\{b_1,b_2,b_3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Ebben a bázisban a $v$, illetve $w$ vektorok koordinátorvektora $[v]_{b_1,b_2,b_3} = $ $\begin{bmatrix} + 1 \\ + 0 \\ + 2 + \end{bmatrix}$ és $[w]{b_1,b_2,b_3} = $ $\begin{bmatrix} + 3 \\ + 1 \\ + 0 + \end{bmatrix}$. Írjuk föl a $v+2w$ vektort a $\{b_1,b_2,b_3\}$ vektorok lineáris kombinációjaként. \tcblower A feladat két fogalmat kérdez:\\ hogyan kell a koordinátákból kiszámítani a vektorokat, de még azt is tudni kell, hogy hogyan kell koordinátavektorokkal műveleteket végezni.\\ @@ -186,22 +204,22 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A De megtehetjük azt is, hogy először a v és w vektorokat írjuk fel a bázisvektorok lineáris kombinációjaként, majd ebből számítjuk ki a $v+2w$-t. - $v + 2w = 7b1 + 2b2 + 2b3$ + $v + 2w = 7b_1 + 2b_2 + 2b_3$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1/4. -Q-}] - Tegyük föl, hogy a $\{b1,b2,b3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Mi lesz ezen $bi$ bázisvektorok $v$-vel jelölt összegénekakoordinátavektora a $\{b1+b2,b2,b3\}$ bázisban? + Tegyük föl, hogy a $\{b_1,b_2,b_3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Mi lesz ezen $b_i$ bázisvektorok $v$-vel jelölt összegénekakoordinátavektora a $\{b_1+b_2,b_2,b_3\}$ bázisban? \tcblower - Az a kérdés, hogy a $b1+b2+b3 = {\lambda}1(b1+b2)+{\lambda}2b2+{\lambda}3b3$ felírásban mennyi a ${\lambda}i$ ismeretlenek értéke.\\| - Ezekre úgy kapunk lineáris egyenletrendszert, hogy a $bi$ bázisvektor együtthatóját az egyenlet két oldalán összehasonlítjuk.\\ + Az a kérdés, hogy a $b_1+b_2+b_3 = {\lambda}1(b_1+b_2)+{\lambda}2b_2+{\lambda}3b_3$ felírásban mennyi a ${\lambda}i$ ismeretlenek értéke.\\| + Ezekre úgy kapunk lineáris egyenletrendszert, hogy a $b_i$ bázisvektor együtthatóját az egyenlet két oldalán összehasonlítjuk.\\ - Azonnal látszik, hogy $b1 + b2 + b3 = 1 \cdot (b1 + b2) + 0 \cdot b2 + 1 \cdot b3$ megfelelő felírás, és ezért ezek az együtthatók adják a keresett koordinátavektort.\\ + Azonnal látszik, hogy $b_1 + b_2 + b_3 = 1 \cdot (b_1 + b_2) + 0 \cdot b_2 + 1 \cdot b_3$ megfelelő felírás, és ezért ezek az együtthatók adják a keresett koordinátavektort.\\ Ennek a problémának a megoldását az általános esetben az elemi bázistranszformációról szóló tétel szolgáltatja. - $[v]b1,b2,b3 =$ + $[v]_{b_1,b_2,b_3} =$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -486,7 +504,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/2. -N-}] - Legyen $\{b1,b2,b3\}$ bázis egy $U$ altérben. Hány dimenziós alteret generál $\{b1 + b2,b2,b1 -b2\}$? + Legyen $\{b_1,b_2,b_3\}$ bázis egy $U$ altérben. Hány dimenziós alteret generál $\{b_1 + b_2,b_2,b_1 -b_2\}$? \tcblower \mmedskip @@ -558,7 +576,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/7. -Q-}] -Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában $\{b1 + b2,b2\}$ ilyen. De bázist alkot ebben az altérben $\{b1,b2\}$ is, hiszen $b1 = (b1 + b2) - b2$ is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának $y = 0$ speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti $\mathbb{R}^n$ dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első $n-1$ komponens egyike 1, az utolsó komponens-1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy $\mathbb{R}^n$ egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint $\mathbb{R}^n$-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a $2x2$-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a $\mathbb{R}^{2 x 2}$ téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. +Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában $\{b_1 + b_2,b_2\}$ ilyen. De bázist alkot ebben az altérben $\{b_1,b_2\}$ is, hiszen $b_1 = (b_1 + b_2) - b_2$ is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának $y = 0$ speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti $\mathbb{R}^n$ dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első $n-1$ komponens egyike 1, az utolsó komponens-1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy $\mathbb{R}^n$ egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint $\mathbb{R}^n$-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a $2x2$-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a $\mathbb{R}^{2 x 2}$ téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -743,7 +761,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/1. -N-}] - Az A = $[aij] \in R5x5$ mátrix determinánsának kiszámolásakor mennyi lesz az $a31a24a53a15a42$ szorzathoz tartozó permutációban az inverziók száma? + Az A = $[aij] \in R5x5$ mátrix determinánsának kiszámolásakor mennyi lesz az $a_31a_24a_53a_15a_42$ szorzathoz tartozó permutációban az inverziók száma? \tcblower @@ -756,7 +774,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/2. -R-}] - Az $A = [aij] \in R5x5$ mátrix determinánsának kiszámolásakor az $a11a2ia33a45a5j$ szorzatot $(-1)$-gyel szorozva kellett figyelembe venni. Határozzuk meg i-t és j-t. + Az $A = [aij] \in R5x5$ mátrix determinánsának kiszámolásakor az $a_11a_2ia_33a_45a_5j$ szorzatot $(-1)$-gyel szorozva kellett figyelembe venni. Határozzuk meg i-t és j-t. \tcblower \mmedskip @@ -979,7 +997,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/4. -R-}] - Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix. Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba. Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből $(A' = S-1AS)$. Az ötödik feladatban a képletre nincs szükség: az első bázisvektor, $b1$ kétszeresének a képe szintén önmaga, azaz $2b1$, s így az új mátrix első oszlopában az első koordináta $1$, a többi meg $0$. Ugyanakkor a $b2$ és $b3$ képében fele annyit kell „vennünk” $2b1$-ből, mint $b1$-ből, tehát az első sor második és harmadik eleme a felére csökken. Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit. Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban $2 1 0 3$ . Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a $-1$. A hatodik és a hetedik feladatban felírhatjuk, hogy ${\varphi}({\lambda}e1 + {\mu}e2) = {\mu}(e1 + e2)$. Ez akkor nulla, azaz ${\lambda}e1 + {\mu}e2$ akkor van a magtérben, ha ${\mu} = 0$. A képtér elemei pedig $e1 + e2$ többszörösei. A nyolcadik feladatban azt is lehet használni, hogy $[{\varphi}(v)]B = [{\varphi}]B[v]B$. Az $M[x y z]T = 0$ egyenlet megoldása: $x$ és $y$ tetszőleges, $z = 0$. A magtér tehát kétdimenziós. Megoldható a feladat a dimenzióösszefüggés segítségével is, amely szerint a magtér dimenziója a mátrix oszlopainak száma mínusz a mátrix rangja. Harmadik megoldásként láthatjuk, hogy két bázisvektor a nullába megy, ezért a magtér legalább kétdimenziós, de háromdimenziós nem lehet, mert a mátrix nem nulla. + Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix. Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba. Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből $(A' = S-1AS)$. Az ötödik feladatban a képletre nincs szükség: az első bázisvektor, $b_1$ kétszeresének a képe szintén önmaga, azaz $2b_1$, s így az új mátrix első oszlopában az első koordináta $1$, a többi meg $0$. Ugyanakkor a $b_2$ és $b_3$ képében fele annyit kell „vennünk” $2b_1$-ből, mint $b_1$-ből, tehát az első sor második és harmadik eleme a felére csökken. Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit. Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban $2 1 0 3$ . Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a $-1$. A hatodik és a hetedik feladatban felírhatjuk, hogy ${\varphi}({\lambda}e1 + {\mu}e2) = {\mu}(e1 + e2)$. Ez akkor nulla, azaz ${\lambda}e1 + {\mu}e2$ akkor van a magtérben, ha ${\mu} = 0$. A képtér elemei pedig $e1 + e2$ többszörösei. A nyolcadik feladatban azt is lehet használni, hogy $[{\varphi}(v)]B = [{\varphi}]B[v]B$. Az $M[x y z]T = 0$ egyenlet megoldása: $x$ és $y$ tetszőleges, $z = 0$. A magtér tehát kétdimenziós. Megoldható a feladat a dimenzióösszefüggés segítségével is, amely szerint a magtér dimenziója a mátrix oszlopainak száma mínusz a mátrix rangja. Harmadik megoldásként láthatjuk, hogy két bázisvektor a nullába megy, ezért a magtér legalább kétdimenziós, de háromdimenziós nem lehet, mert a mátrix nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1035,7 +1053,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/4. -Q-}] - Mely $a,b \in \mathbb{R}$ értékekre lesz $|3a + 4b| = 5a2 + b2$ + Mely $a,b \in \mathbb{R}$ értékekre lesz $|3a + 4b| = 5a_2 + b_2$ \tcblower @@ -1195,21 +1213,21 @@ A $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (aza \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4}] - Mit jelent az, hogy egy v vektor lineárisan függ az $a1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektoroktól? + Mit jelent az, hogy egy v vektor lineárisan függ az $a_1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektoroktól? \tcblower -Azt jelenti, hogy v felírható $a1,...,ak$ lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in \mathbb{R}$ skalárok, melyekre $v = {\lambda}1a1 + {\lambda}2a2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kak$. +Azt jelenti, hogy v felírható $a_1,...,ak$ lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in \mathbb{R}$ skalárok, melyekre $v = {\lambda}1a_1 + {\lambda}2a_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kak$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={5}] - Jellemezzük egy $a1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineáris összefüggőségét a lineáris függés fogalmával. + Jellemezzük egy $a_1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineáris összefüggőségét a lineáris függés fogalmával. \tcblower -Egy $a1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer ($k \geq 2$ esetén) pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha valamelyik i-re $ai$ lineárisan függ az $a1,...,ai-1,ai+1,...,ak$ vektoroktól. +Egy $a_1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer ($k \geq 2$ esetén) pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha valamelyik i-re $ai$ lineárisan függ az $a_1,...,ai-1,ai+1,...,ak$ vektoroktól. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1220,20 +1238,20 @@ Egy $a1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer ($k \geq 2$ esetén) pontosan ak \tcblower -Egy $b1,...,bk$ vektorrendszert akkor mondunk a $V \leq \mathbb{R}^n$ altér bázisának, ha lineárisan független, és V minden vektorát előállíthatjuk a bi vektorok lineáris kombinációjaként. (A lineáris függetlenség helyettesíthető azzal a feltétellel, hogy ez a felírás egyértelmű, az előállíthatóság pedig azzal, hogy generátorrendszerről van szó.) +Egy $b_1,...,bk$ vektorrendszert akkor mondunk a $V \leq \mathbb{R}^n$ altér bázisának, ha lineárisan független, és V minden vektorát előállíthatjuk a bi vektorok lineáris kombinációjaként. (A lineáris függetlenség helyettesíthető azzal a feltétellel, hogy ez a felírás egyértelmű, az előállíthatóság pedig azzal, hogy generátorrendszerről van szó.) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7}] - Definiáljuk egy $a \in V \leq \mathbb{R}^n$ vektor koordinátavektorát a $V$ egy $b1,...,bk$ bázisában fölírva. + Definiáljuk egy $a \in V \leq \mathbb{R}^n$ vektor koordinátavektorát a $V$ egy $b_1,...,bk$ bázisában fölírva. \tcblower -Az a vektor koordinátavektora pontosan akkor $[a]b1,...,bk =$ +Az a vektor koordinátavektora pontosan akkor $[a]b_1,...,bk =$ ${\lambda}1 . . . {\lambda}k$ -, ha $a = {\lambda}1b1+ \cdot \cdot \cdot +{\lambda}kbk$. +, ha $a = {\lambda}1b_1+ \cdot \cdot \cdot +{\lambda}kbk$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1318,7 +1336,7 @@ $A,B \in \mathbb{R}^{k x n} {\Rightarrow} (A + B)T = AT + BT {\lambda} \in R,A \ Definiáljuk egy $A \in \mathbb{R}^{k x n}$ mátrix oszloprangját, illetve sorrangját, ${\varrho}O(A)-t és {\varrho}S(A)$-t. \tcblower -Ha $a1,...,an \in Rk$ a mátrix oszlopai, akkor ${\varrho}O(A) = r(a1,...,ak)$, azaz az oszloprang az oszlopok rendszerének rangja (vagyis az oszlopok által generált altér dimenziója.) Analóg módon, a mátrix sorrangja a sorok által generált altér dimenziója, vagy másképpen: ${\varrho}S(A) = {\varrho}O(AT)$. +Ha $a_1,...,an \in Rk$ a mátrix oszlopai, akkor ${\varrho}O(A) = r(a_1,...,ak)$, azaz az oszloprang az oszlopok rendszerének rangja (vagyis az oszlopok által generált altér dimenziója.) Analóg módon, a mátrix sorrangja a sorok által generált altér dimenziója, vagy másképpen: ${\varrho}S(A) = {\varrho}O(AT)$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1419,8 +1437,8 @@ Ha $a,b,c$ geometriai vektorok, akkor $(a x b) x c = (ac)b - (bc)a$. Adjuk meg az A mátrix determinánsát definiáló képletet. Mit jelent ebben az I(i1,...,in) kifejezés? \tcblower Legyen A =| | -$a11 ... a1n . . . . . . an1 ... ann \in \mathbb{R}^{n x n}$. Ekkor $detA = X i1,...,in (1,...,n) -(-1)I(i1,...,in)a1i1a2i2 \cdot \cdot \cdot anin$. +$a_11 ... a_1n . . . . . . an1 ... ann \in \mathbb{R}^{n x n}$. Ekkor $detA = X i1,...,in (1,...,n) +(-1)I(i1,...,in)a_1i1a_2i2 \cdot \cdot \cdot anin$. Itt az összegezés az $\{1,2,...,n\}$ számok minden permutációjára történik, $I(i1,...,in)$ pedig az adott permutáció inverzióinak a számát jelöli. \end{tcolorbox} @@ -1463,7 +1481,7 @@ $detA =$ DefiniáljukaVandermonde-determinánsfogalmát, ésmondjukkiazértékérevonatkozóállítást. \tcblower -$a1,...,an \in R, n \geq 2 esetén V (a1,...,an) =$ +$a_1,...,an \in R, n \geq 2 esetén V (a_1,...,an) =$ @@ -1669,7 +1687,7 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 6= x \in \mathbb{R}^n$ vek \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1. (4p)}] - Mondjuk ki a $b1,...,bk$ vektorok lineáris függetlenségének definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy ha $B = \{b1,...,bk\}$ lineárisan független vektorrendszer, akkor minden lineáris kombinációjukként felírható vektor egyértelműen írható föl B-beli vektorok lineáris kombinációjaként. + Mondjuk ki a $b_1,...,bk$ vektorok lineáris függetlenségének definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy ha $B = \{b_1,...,bk\}$ lineárisan független vektorrendszer, akkor minden lineáris kombinációjukként felírható vektor egyértelműen írható föl B-beli vektorok lineáris kombinációjaként. \tcblower A $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort.\\ @@ -1713,9 +1731,9 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 6= x \in \mathbb{R}^n$ vek \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3. (4p)}] - Mondjuk ki és igazoljuk azt az állítást, mely arról szól, mi történik, ha egy lineárisan független $a1,...,ak$ vektorrendszerhez hozzávéve a $b$ vektort, az új, bővebb $a1,...,ak,b$ vektorrendszer már összefüggővé válik. + Mondjuk ki és igazoljuk azt az állítást, mely arról szól, mi történik, ha egy lineárisan független $a_1,...,ak$ vektorrendszerhez hozzávéve a $b$ vektort, az új, bővebb $a_1,...,ak,b$ vektorrendszer már összefüggővé válik. \tcblower - Ha egy lineárisan független $a1,...,ak$ vektorrendszerhez hozzávéve a $b$ vektort, a kapott $a1,...,ak,b$ vektorrendszer már összefüggő, akkor $b$ lineárisan függ az $a1,...,ak$ vektoroktól (azaz előállítható lineáris kombinációjukként).\\ + Ha egy lineárisan független $a_1,...,ak$ vektorrendszerhez hozzávéve a $b$ vektort, a kapott $a_1,...,ak,b$ vektorrendszer már összefüggő, akkor $b$ lineárisan függ az $a_1,...,ak$ vektoroktól (azaz előállítható lineáris kombinációjukként).\\ A feltétel szerint ugyanis léteznek olyan ${\lambda}1,...,{\lambda}k,{\mu}$ együtthatók, melyek közül legalább az egyik nem nulla, és melyekre $(Pk i=1 {\lambda}iai) + {\mu}b = 0$. Itt azonban ${\mu}$ nem lehet nulla, ellenkező esetben az $ai$ vektorok már önmagukban is előálítanák a nullvektort nem triviális módon, ez pedig ellentmond a lineáris függetlenségüknek.\\ From a8e129636ebbb641ea669840b47cf4d38af289d4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Wed, 6 Jun 2018 10:01:06 +0200 Subject: [PATCH 06/10] -Added chess symbols. --- .../Document.tex | 151 +++++++++--------- 1 file changed, 76 insertions(+), 75 deletions(-) diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex index 338953a..1a10adb 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex @@ -53,6 +53,7 @@ \usepackage{pgf} \usepackage[makeroom]{cancel} \usepackage{verbatim} +\usepackage{skak} \providecommand{\includecolors}{\input{../Colors/Default.tex}}% fallback definition \includecolors @@ -136,7 +137,7 @@ \begin{frame} \begin{tcolorbox} -Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A részében szereplő főbb témaköröket néhány mintafeladattal, azok megoldásával és esetenként részletesebb magyarázattal. Ez a rész a szemléltetést szolgálja: a dolgozatban általában nem pont ezek a kérdések fognak szerepelni. A feladatok nehézségét szimbólumok jelzik. Ahol egy definíciót vagy tételt kell közvetlenül alkalmazni, ott -N- a jel. Ha a fogalom már nehezebb, vagy több lépést kell tenni, több fogalmat összekapcsolni, nemtriviális átalakítást kell végezni, ott -R- szerepel. A -Q- azt jelzi, hogy a feladat témája kifejezetten nehéz, vagy pedig ötlet kell a megoldáshoz. +Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A részében szereplő főbb témaköröket néhány mintafeladattal, azok megoldásával és esetenként részletesebb magyarázattal. Ez a rész a szemléltetést szolgálja: a dolgozatban általában nem pont ezek a kérdések fognak szerepelni. A feladatok nehézségét szimbólumok jelzik. Ahol egy definíciót vagy tételt kell közvetlenül alkalmazni, ott {\symknight} a jel. Ha a fogalom már nehezebb, vagy több lépést kell tenni, több fogalmat összekapcsolni, nemtriviális átalakítást kell végezni, ott {\symrook} szerepel. A {\symqueen} azt jelzi, hogy a feladat témája kifejezetten nehéz, vagy pedig ötlet kell a megoldáshoz. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -148,7 +149,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={1/1. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={1/1. {\symknight}}] A $\{b_1,b_2,b_3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Határozzuk meg a $v = 2b_1 + 3b_2 -b_3$ vektor koordinátavektorát a $\{b_1,b_2,b_3\}$ bázisban. \tcblower A vektor bázisban vett koordinátavektorának fogalmát kéri számon.\\ @@ -165,7 +166,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={1/2. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={1/2. {\symrook}}] Legyen $\mathbb{B} = \{b_1,b_2,b_3\}$ bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Egy $v \in V$ vektornak a $\{b_1 + b_2,b_2 + b_3,b_3\}$ bázisban fölírt koordinátavektora $[v]_{b_1+b_2,b_2+b_3,b_3} = [1 1 0]^T$.\\ \mmedskip @@ -186,7 +187,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={1/3. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={1/3. {\symrook}}] A $\{b_1,b_2,b_3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Ebben a bázisban a $v$, illetve $w$ vektorok koordinátorvektora $[v]_{b_1,b_2,b_3} = $ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ @@ -209,7 +210,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={1/4. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={1/4. {\symqueen}}] Tegyük föl, hogy a $\{b_1,b_2,b_3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Mi lesz ezen $b_i$ bázisvektorok $v$-vel jelölt összegénekakoordinátavektora a $\{b_1+b_2,b_2,b_3\}$ bázisban? \tcblower Az a kérdés, hogy a $b_1+b_2+b_3 = {\lambda}1(b_1+b_2)+{\lambda}2b_2+{\lambda}3b_3$ felírásban mennyi a ${\lambda}i$ ismeretlenek értéke.\\| @@ -231,7 +232,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={2/1. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={2/1. {\symrook}}] Konkrét vektorokat megadva mutassuk meg, miért nem alkot alteret $\mathbb{R}^3$-ben azon vektorok halmaza, ahol az első két komponens szorzata nulla. \tcblower @@ -243,7 +244,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={2/2. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={2/2. {\symqueen}}] Konkrét mátrixokat megadva mutassuk meg, miért nem alkot alteret $\mathbb{R}^{2 x 2}$-ben a nulla determinánsú mátrixok halmaza. \tcblower A nulla determinánsú mátrixok összege könnyen lehet nem nulla determinánsú, s hasonlóképpen nem nulla determinánsú mátrixok összege lehet nulla determinánsú.\\ @@ -254,7 +255,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={2/3. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={2/3. {\symrook}}] Tekintsük azoknak az $\mathbb{R}^3$-beli vektoroknak a halmazát, amelyek az alábbi feltételnek tesznek eleget.\\ű Mely eset(ek)ben kapunk alteret?\\ @@ -271,7 +272,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={2/4. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={2/4. {\symqueen}}] Mely alábbi halmaz(ok) alkot(nak) alteret a $2x2$-es valós mátrixok halmazában mint $R$ fölötti vektortérben:\\ \mmedskip @@ -296,7 +297,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={2/5. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={2/5. {\symqueen}}] Mutassunk egy olyan $H$ részhalmazt $\mathbb{R}^2$-ben (azaz a síkon), mely zárt a vektorok szokásos összeadására, mégsem alkot alteret $\mathbb{R}^2$-ben. \tcblower A feladat arra mutat rá, hogy altereknél mindkét műveletre való zártságot meg kell követelnünk:\\ @@ -317,7 +318,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={3/1. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={3/1. {\symknight}}] Alkalmas együtthatók megadásával mutassuk meg, hogy a $\{v,0,w\}$ vektorok rendszere lineárisan összefüggő. \tcblower @@ -329,7 +330,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={3/2. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={3/2. {\symknight}}] Alkalmas együtthatók megadásával mutassuk meg, hogy az $\{u,v,w,v+2w\}$ vektorok rendszere lineárisan összefüggő. \tcblower @@ -341,7 +342,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={3/3. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={3/3. {\symknight}}] Legyen $v1 = \in \mathbb{R}^2$ és $v2 = \in \mathbb{R}^2$. Mely valós $c$ szám(ok)ra lesz $v1$ és $v2$ lineárisan összefüggő? \tcblower @@ -353,7 +354,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={3/4. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={3/4. {\symrook}}] Mely $c \in R$ valós számokra lesznek lineárisan függetlenek az $[1 0 c]T, a [2 2 2]T$ és a $[4 2 3]T$ vektorok? \tcblower @@ -365,7 +366,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={3/5. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={3/5. {\symrook}}] Legyen $v1 = 1 1 \in \mathbb{R}^3$. Adjunk meg olyan $v2$ és $v3$ vektorokat $\mathbb{R}^3$-ban, melyekre igaz, hogy a $v1,v2,v3$ vektorrendszer lineárisan összefüggő, de közülük bármely két vektor lineárisan független. \tcblower @@ -377,7 +378,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={3/6. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={3/6. {\symknight}}] Egy $U \leq \mathbb{R}^2$ altérben $[2 3]T$ generátorrendszert alkot. Adjunk meg $U$-ban egy háromelemű generátorrendszert. \tcblower @@ -389,7 +390,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={3/7. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={3/7. {\symrook}}] Egy $U \leq R5$ altérben van olyan $\{v1,v2,v3\}$ háromelemű lineárisan összefüggő vektorhalmaz, mely generátorrendszer U-ban. Hány eleme lehet $U$ egy bázisának? \tcblower @@ -401,7 +402,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={3/8. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={3/8. {\symrook}}] Ha egy $U \leq R9$ altérben van $5$ elemű lineárisan összefüggő generátorrendszer is, meg $3$ elemű lineárisan független vektorrendszer is, akkor mik $dimU$ lehetséges értékei? \tcblower @@ -414,7 +415,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={3/9. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={3/9. {\symknight}}] Legyenek $\{v1,v2,v3\}$ lineárisan független vektorok. Adjuk meg a $\{v1 + v2,v2,2v1 + v2\}$ által generált altér egy bázisát. \tcblower @@ -427,7 +428,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={3/10. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={3/10. {\symqueen}}] Adott egy ötelemű vektorrendszer, melynek a rangja $3.$ Eltávolítunk a rendszerből két vektort. Mik az új rendszer rangjának lehetséges értékei? \tcblower @@ -440,7 +441,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={3/11. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={3/11. {\symqueen}}] Legyen $U = \{[x1,x2,x3]T \in \mathbb{R}^3|x1 = 2x2 = 3x3\}$ az $\mathbb{R}^3$ altere. Hány olyan bázisa van az $U$ altérnek, mely tartalmazza a $v = [6,3,2]T$ vektort? \tcblower @@ -452,7 +453,7 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={3/11. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={3/11. {\symqueen}}] Az első két feladatban A lineáris összefüggőséget kell bizonyítanunk.\\ @@ -491,7 +492,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={4/1. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={4/1. {\symknight}}] Álljon az $U$ altér az $\mathbb{R}^3$ azon $v$ vektoraiból, ahol a második és a harmadik komponens egyenlő. Adjunk meg egy bázist $U$-ban. \tcblower @@ -503,7 +504,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={4/2. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={4/2. {\symknight}}] Legyen $\{b_1,b_2,b_3\}$ bázis egy $U$ altérben. Hány dimenziós alteret generál $\{b_1 + b_2,b_2,b_1 -b_2\}$? \tcblower @@ -515,7 +516,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={4/3. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={4/3. {\symrook}}] Hány dimenziós azon $\mathbb{R}^n$-beli vektoroknak az altere, melyekben a komponensek összege $0$? \tcblower @@ -527,7 +528,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={4/4. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={4/4. {\symrook}}] Hány dimenziós azon $\mathbb{R}^n$-beli vektoroknak az altere, melyekben a komponensek négyzetösszege $0$? \tcblower @@ -539,7 +540,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={4/5. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={4/5. {\symqueen}}] Hány dimenziós alteret alkotnak $\mathbb{R}^3x3$-ban azok az A mátrixok, amelyekre teljesül, hogy $AT = -A$? \tcblower @@ -551,7 +552,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={4/6. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={4/6. {\symrook}}] Hány négydimenziós altér van $\mathbb{R}^4$-ben mint $R$ fölötti vektortérben? \tcblower @@ -563,7 +564,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={4/7. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={4/7. {\symqueen}}] Hány olyan altér van $\mathbb{R}^{2 x 2}$-ben mint $R$ fölötti vektortérben, mely tartalmazza az összes $2 x 2$-es szimmetrikus mátrixot? \tcblower @@ -575,7 +576,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={4/7. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={4/7. {\symqueen}}] Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában $\{b_1 + b_2,b_2\}$ ilyen. De bázist alkot ebben az altérben $\{b_1,b_2\}$ is, hiszen $b_1 = (b_1 + b_2) - b_2$ is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának $y = 0$ speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti $\mathbb{R}^n$ dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első $n-1$ komponens egyike 1, az utolsó komponens-1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy $\mathbb{R}^n$ egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint $\mathbb{R}^n$-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a $2x2$-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a $\mathbb{R}^{2 x 2}$ téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -590,7 +591,7 @@ Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineá \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={5/1. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={5/1. {\symknight}}] Adjunk meg egy olyan lineáris egyenletrendszert, melyben két egyenlet van, három ismeretlen, és az egyenletrendszernek nincs megoldása. \tcblower @@ -604,7 +605,7 @@ $x + y + z = 3$ \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={5/2. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={5/2. {\symknight}}] Adjunk meg egy olyan inhomogén lineáris egyenletrendszert, melyben három egyenlet van, két ismeretlen, és az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. \tcblower @@ -620,7 +621,7 @@ $3x + 3y = 3$ \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={5/3. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={5/3. {\symknight}}] Mi lehet a megoldások száma egy olyan valós együtthatós lineáris egyenletrendszernél, melyben az egyenletek száma 3, az ismeretlenek száma pedig 5? \tcblower @@ -632,7 +633,7 @@ $3x + 3y = 3$ \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={5/3. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={5/3. {\symknight}}] Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés van: ha több ismeretlen van, mint egyenlet, akkor nem lehet egyértelmű a megoldás (erre kérdez rá a harmadik feladat). Vagyis ha az egyenletrendszerben nincs elég egyenlet – nem tudunk eleget az ismeretlenekről –, akkor ugyan lehet ellentmondásos (ehhez már két egyenlet is elég, mint az első feladatban, sőt az egyetlen $0 \cdot x + 0 \cdot y = 1$ egyenlet is), de ha nem ellentmondásos, azaz van megoldás, akkor biztosan egynél több megoldás van. Valós és komplex együtthatós egyenletrendszerek esetében ilyenkor a megoldások száma végtelen. Az egyenletek számát szaporíthatjuk úgy, hogy a megoldások halmaza ne változzon: ehhez a rendszerbe már bent lévő egyenletek lineáris kombinációját kell bevenni (mint a második feladatban). Fontos, hogy homogén lineáris egyenletrendszernek – amikor az egyenletek jobb oldalán mindenütt 0 áll – mindig van megoldása: a triviális megoldás, amikor minden ismeretlen értéke nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -647,7 +648,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={6/1. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={6/1. {\symknight}}] Legyen $A \in Rkxl$, $B \in Rpxr$ és $C \in Rtxu$. Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy értelmes legyen az $ABT + C$ mátrixkifejezés. \tcblower @@ -659,7 +660,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={6/2. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={6/2. {\symknight}}] Legyen A =. Adjunk meg egy olyan $2x2$-es, egész elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrixot, amelyre igaz, hogy $AB = 0$. \tcblower @@ -672,7 +673,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={6/3. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={6/3. {\symknight}}] Legyen $A = .$ Mely $c \in R$ számokra van olyan $2x2$-es, valós elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrix, amelyre igaz, hogy $AB = 0$? \tcblower @@ -684,7 +685,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={6/4. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={6/4. {\symknight}}] Adjunk meg egy olyan $2x2$-es egész elemű, a nullmátrixtól különböző A mátrixot, amelyre igaz, hogy van olyan 0 6= $B \in \mathbb{R}^{2 x 2}$, melyre $AB = 0$. \tcblower @@ -696,7 +697,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={6/5. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={6/5. {\symknight}}] Adjuk meg az A = mátrix inverzét. \tcblower @@ -708,7 +709,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={6/6. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={6/6. {\symknight}}] Adjuk meg az $A = [1 2 3]$ sormátrix egy jobb oldali inverzét. \tcblower @@ -720,7 +721,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={6/7. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={6/7. {\symknight}}] Hány olyan jobb oldali inverze van az $A = [1 1 1]$ sormátrixnak, melyben minden elem egyenlő? \tcblower @@ -732,7 +733,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={6/8. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={6/8. {\symqueen}}] Az alábbi mátrixok közül melyeknek nem lehet jobb oldali inverze a valós paraméterek semmilyen választására sem (azonos betűk azonos számokat jelölnek)? @@ -746,7 +747,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={6/8. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={6/8. {\symqueen}}] Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összeadása, szorzása, illetve mik a transzponált mátrix méretei. Két mátrix szorzatának oszlopaiban a bal oldali mátrix oszlopainak lineáris kombinációi állnak. Ezért az $AB = 0$ akkor tud teljesülni nem nulla B mátrixszal, ha A oszlopai lineárisan öszefüggenek. Speciálisan ha A négyzetes mátrix, akkor ez azzal ekvivalens, hogy A determinánsa nulla. Ezzel a tétellel könnyű megválaszolni a harmadik feladatot, illetve keresni megfelelő mátrixot a negyedik feladatban. Kétszer kettes mátrix esetében érdemes megjegyezni az inverz képletét: inverz akkor létezik, ha a mátrix d determinánsa nem nulla, és ekkor az inverz mátrixot úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrixban a főátló két elemét kicseréljük, a mellékátló elemeit ellentettjükre változtatjuk, végül a mátrix minden elemét elosztjuk d-vel (így kaptuk az ötödik feladat eredményét). Nem feltétlenül négyzetes mátrixra is érvényes, hogy pontosan akkor van jobb oldali inverze, ha rangja megegyezik a sorainak a számával, azaz ha a sorai lineárisan függetlenek. Erre a tételre a hatodik és a hetedik feladat megoldásában nincs szükség, mert azok megoldása közvetlen számolás (a hetedik feladatban az egyetlen megfelelő vektor $[1/3 1/3 1/3]T$). A nyolcadik feladatban viszont ezt a tételt alkalmazzuk. Az (A) rész két sora nyilván összefügg, a (C) esetében ez azért igaz, mert $\mathbb{R}^2$ dimenziója 2, és így bármely három vektor összefüggő. A (B)-ben például az a = d = 1 és $b = c = 0$ két független vektort ad, a (D) esetben meg a három sor független lesz ha a $6= 9$, hiszen ekkor a determináns értéke nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -760,7 +761,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={7/1. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={7/1. {\symknight}}] Az A = $[aij] \in R5x5$ mátrix determinánsának kiszámolásakor mennyi lesz az $a_31a_24a_53a_15a_42$ szorzathoz tartozó permutációban az inverziók száma? \tcblower @@ -773,7 +774,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={7/2. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={7/2. {\symrook}}] Az $A = [aij] \in R5x5$ mátrix determinánsának kiszámolásakor az $a_11a_2ia_33a_45a_5j$ szorzatot $(-1)$-gyel szorozva kellett figyelembe venni. Határozzuk meg i-t és j-t. \tcblower @@ -786,7 +787,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={7/3. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={7/3. {\symqueen}}] Az $\{1,2,3,4,5\}$ számoknak hány olyan sorbarendezése (permutációja) van, melyben az inverziók száma 1? \tcblower @@ -798,7 +799,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={7/4. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={7/4. {\symqueen}}] Az $\{1,2,3,4,5\}$ számok $i2jkl$ típusú sorbarendezései (azaz permutációi) között mennyi lehet az inverziók maximális száma? \tcblower @@ -808,7 +809,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={7/5. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={7/5. {\symknight}}] Legyenek $A,B,C \in \mathbb{R}^3x3$ olyan valós mátrixok, melyekre $detA = 2, detB = 3$ és $detC = 4$. Mennyi lesz $2A2C-1B$ determinánsa? \tcblower @@ -819,7 +820,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={7/6. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={7/6. {\symrook}}] Legyen A = , és tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? @@ -834,7 +835,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={7/6. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={7/6. {\symrook}}] A determináns definíciójában a tagok előjelezését a következőképpen kell kiszámolni. A szorzatot rendezzük át úgy, hogy az aij-k első indexei növekedjenek 1-től n-ig. Ezek után a második indexek által alkotott permutációban számoljuk meg az inverziókat (vagyis azokat a párokat, amelyekben az elöl szereplő szám a nagyobb). Ha ezek száma páros, akkor az előjel +, különben -. Az első feladatban a kapott sorrend 54123. Ha n elemet permutálunk, akkor az inverziók maximális száman 2; ezt a számot az elemek monoton fogyó sorbarendezése produkálja, 0 inverziója pedig csak a természetes, monoton növő sorbarendezésnek van. Két elemet megcserélve, a permutáció paritása (előjele) mindig megváltozik. A második példában i és j csak 2 és 4 lehet valamelyik sorrendben, ezt a két permutációt kell kipróbálni. A harmadik feladatban csak két szomszédos elemet cserélhetünk meg az alapsorrendhez képest. A negyedik feladatban az az ötlet, hogy a 2 után legalább két, 2-nél nagyobb számnak kell lennie, ez két nem-inverziót elront, és így maximum 8 inverzió lehet. Az 52431 sorrend ezt elő is állítja. Az ötödik feladat a determinánsok szorzástételének egyszerű alkalmazása (amiből következik, hogy egy mátrix inverzének a determinánsa az eredeti mátrix determinánsának a reciproka). A hatodik feladatban az eredeti mátrixot transzponáltuk, megcseréltük az első két oszlopot, majd az új első oszlopot adtuk a harmadikhoz. A középső lépésnél a determináns előjelet vált, a másik kettőnél nem változik. \end{tcolorbox} @@ -849,7 +850,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={8/1. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={8/1. {\symknight}}] Mik az A = $\mathbb{R}^3x3$ mátrix sajátértékei? \tcblower @@ -862,7 +863,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={8/2. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={8/2. {\symknight}}] Írjunk föl egy olyan mátrixot, amelynek karakterisztikus polinomja $(1-{\lambda})(2-{\lambda})(3-{\lambda})$. \tcblower @@ -875,7 +876,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={8/3. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={8/3. {\symrook}}] Írjunk föl egy olyan nem diagonalizálható mátrixot, melynek karakterisztikus polinomja ${\lambda}2$. \tcblower @@ -888,7 +889,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={8/4. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={8/4. {\symqueen}}] Az $A = \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrix nem diagonalizálható $\mathbb{R}$ fölött. Mik $c$ lehetséges értékei? @@ -902,7 +903,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={8/5. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={8/5. {\symqueen}}] Milyen $c \in \mathbb{R}$ valós értékekre lesz az 1 2 0 $c \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrix diagonalizálható? \tcblower @@ -915,7 +916,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={8/6. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={8/6. {\symqueen}}] Az $A =a b c d \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrixra . Mennyi az $a + 1 b c d + 1$ mátrix determinánsa? $det a + 1 b c$ \tcblower @@ -928,7 +929,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={8/6. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={8/6. {\symqueen}}] Egy mátrix valós sajátértékeit a karakterisztikus polinom valós gyökei adják: a főátló minden eleméből levonunk ${\lambda}$-t és kiszámítjuk a determinánst. Felső háromszögmátrix, speciálisan diagonális mátrix esetén a sajátértékek a főátlóból leolvashatók. A sajátvektorokat minden egyes sajátértékhez egy-egy lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg. A diagonalizálhatóság feltétele az, hogy legyen „elegendő” sajátvektor, azaz a tér dimenziószámával megegyező mennyiségű lineárisan független sajátvektor. A harmadik feladat mátrixa esetében ez nem teljesül, mert a sajátvektorokr 0T alakúak, ahol r $6= 0$ (azaz a 0-hoz tartozó sajátaltér egydimenziós). Gyakran használt elégséges feltétel, hogy egy nxn-es mátrix diagonalizálható $\mathbb{R}$ fölött, ha n különböző valós sajátértéke van. A negyedik feladat mátrixának karakterisztikus polinomja ${\lambda}2$-c. Ennek c > 0-ra két különböző valós gyöke van, tehát ilyenkor a mátrix diagonalizálható; $c < 0$-ra nincs valós gyök, ezért $\mathbb{R}$ fölött nem diagonalizálhatjuk a mátrixot; végül c = 0-ra a megoldást a harmadik feladat adja. Hasonló érvelés adható az ötödik feladatnál is. A hatodik feladat feltétele azt mutatja, hogy a -1 sajátértéke a mátrixnak, ha tehát -1-et levonunk a főátló minden eleméből, épp az $A-(-1)I2$ mátrixot kapjuk, aminek a determinánsa 0, hiszen -1 gyöke a karakterisztikus polinomnak. \end{tcolorbox} @@ -944,7 +945,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={9/1. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={9/1. {\symknight}}] Mi a kétdimenziós valós sík, azaz $\mathbb{R}^2$ origó körüli $+90$ fokos forgatásának mátrixa az i és j bázisban? \tcblower @@ -957,7 +958,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={9/2. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={9/2. {\symrook}}] Mi a háromdimenziós valós tér, azaz $\mathbb{R}^3$ x-y-síkra való tükrözésének a mátrixa az $j,k,i$ bázisban? (Itt a bázisvektorok sorrendje a megszokottól eltérő.) \tcblower @@ -970,7 +971,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={9/3. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={9/3. {\symknight}}] Mik a kétdimenziós valós sík, azaz $\mathbb{R}^2$ origóra való tükrözésének sajátértékei? \tcblower @@ -983,7 +984,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={9/4. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={9/4. {\symrook}}] Az $\mathbb{R}^2 egy {\varphi}$ lineáris transzformációjára ${\varphi}(i) = 2i és {\varphi}(j) = i + 3j$. Mik ${\varphi}$ sajátértékei? \tcblower @@ -996,7 +997,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={9/4. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={9/4. {\symrook}}] Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix. Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba. Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből $(A' = S-1AS)$. Az ötödik feladatban a képletre nincs szükség: az első bázisvektor, $b_1$ kétszeresének a képe szintén önmaga, azaz $2b_1$, s így az új mátrix első oszlopában az első koordináta $1$, a többi meg $0$. Ugyanakkor a $b_2$ és $b_3$ képében fele annyit kell „vennünk” $2b_1$-ből, mint $b_1$-ből, tehát az első sor második és harmadik eleme a felére csökken. Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit. Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban $2 1 0 3$ . Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a $-1$. A hatodik és a hetedik feladatban felírhatjuk, hogy ${\varphi}({\lambda}e1 + {\mu}e2) = {\mu}(e1 + e2)$. Ez akkor nulla, azaz ${\lambda}e1 + {\mu}e2$ akkor van a magtérben, ha ${\mu} = 0$. A képtér elemei pedig $e1 + e2$ többszörösei. A nyolcadik feladatban azt is lehet használni, hogy $[{\varphi}(v)]B = [{\varphi}]B[v]B$. Az $M[x y z]T = 0$ egyenlet megoldása: $x$ és $y$ tetszőleges, $z = 0$. A magtér tehát kétdimenziós. Megoldható a feladat a dimenzióösszefüggés segítségével is, amely szerint a magtér dimenziója a mátrix oszlopainak száma mínusz a mátrix rangja. Harmadik megoldásként láthatjuk, hogy két bázisvektor a nullába megy, ezért a magtér legalább kétdimenziós, de háromdimenziós nem lehet, mert a mátrix nem nulla. \end{tcolorbox} @@ -1011,7 +1012,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={10/1. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={10/1. {\symknight}}] Mennyi az$[1 1 1 1]T$ és az $[1 -1 -1 -1]T$ vektorok szöge $\mathbb{R}^4$-ben, a szokásos ha, $bi = aTb$ skaláris szorzatra nézve? \tcblower @@ -1025,7 +1026,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={10/2. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={10/2. {\symrook}}] Az $[1 1 + i i]T \in C3$ vektor ha, $bi = b*a$ mellett merőleges az $[1 1 + i c]T$ vektorra. Határozzuk meg $ \in C$ értékét. @@ -1039,7 +1040,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={10/3. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={10/3. {\symrook}}] Álljon $W az \mathbb{R}^3$ azon vektoraiból, amelyek merőlegesek $a[0 1 1]T$ és $[1 1 0]T$ vektorok mindegyikére. Adjunk meg egy bázist $W$-ben. \tcblower @@ -1052,7 +1053,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={10/4. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={10/4. {\symqueen}}] Mely $a,b \in \mathbb{R}$ értékekre lesz $|3a + 4b| = 5a_2 + b_2$ \tcblower @@ -1065,7 +1066,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={10/4. -Q-}] + \begin{tcolorbox}[title={10/4. {\symqueen}}] A szokásos skaláris szorzatot $\mathbb{R}^n$-ben az ha, $bi = aTb$ összefüggés adja meg; két vektor merőlegessége azt jelenti, hogy a skaláris szorzatuk nulla. $\mathbb{R}^n$-ben a vektorok szögét a $cos{\gamma} =$ ha,$bi kak \cdot kbk$ összefüggéssel definiáljuk, erről szól az első feladat. (A megoldáshoz érdemes átismételni a szögfüggvények értékét a nevezetes szögeken.) A második feladat esetében a skaláris szorzat kiszámításánál vigyázzunk arra, hogy a második tényező komponenseit meg kell konjugálni. A harmadik feladatnál lineáris egyenletrendszert kapunk W elemeinek komponenseire. A negyedik feladat esetében arra kell ráismerni, hogy a feladatbeli egyenlet az u = [3 4]T és a $v = [a b]T$ vektorokra írja föl az $|hu,vi| = kuk \cdot kvk$ összefüggést, ami a Cauchy-egyenlőtlenség alapján akkor és csak akkor teljesülhet, ha $u$ és $v$ párhuzamosak. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1079,7 +1080,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={11/1. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={11/1. {\symknight}}] Ha [a]i,j,k = [0 1 1]T és a [b]i,j,k = [1 1 0]T, akkor számítsuk ki az a és b vektorok vektoriális szorzatát (koordinátákkal). \tcblower @@ -1092,7 +1093,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={11/1. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={11/1. {\symknight}}] A vektoriális szorzat koordinátáinak kiszámításához érdemes a „determinásos” képletet használni: egy 3 x 3-as determináns első sorába az i, j, k vektorokat írjuk, a másik két sorba pedig a megadott vektorok koordinátáit, majd a determinánst (formálisan) kifejtjük az első sora szerint. Ekkor az i, j, k vektorok egy lineáris kombinációját kapjuk: ez lesz a vektoriális szorzat és így a leggyorsabb megoldani az első feladatot. Ebből a képletből láthatjuk azt is, hogy a vegyes szorzat is egy olyan determináns értéke, amelynek soraiban a három megadott vektor van alkalmas sorrendben. Speciálisan három vektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, azaz akkor és csak akkor vannak egy síkban, ha a vegyes szorzatuk nulla. Ez kapcsolódik a második és a harmadik feladat (B) részéhez is. Az utolsó három feladatban érdemes a derékszögű koordinátarendszerben a három tengelyirányú egységvektorra, i-re, j-re és k-ra nézni a vektoriális szorzat hatását, ezekkel érdemes kísérletezni az utolsó három feladatban. A második feladat (A) részében könnyű látni, hogy ha a és b nem esnek egy irányba, akkor a x b merőleges lesz az általuk meghatározott síkra, s ekkor c lehet akár a-val is egyenlő, az (a x b) x c vektoriális szorzat nem lesz a nullvektor. A (C) részben ha a és b vagy b és c párhuzamosak, akkor az ő vektoriális szorzatuk 0, és így 0 lesz a teljes vektoriális szorzat is. Ha viszont egyik vektorpár sem párhuzamos, akkor mindkét esetben ugyanazt a síkot feszítik ki (hiszen a,b és c lineárisan összefüggők), és így mindkét vektorpár vektoriális szorzata a síkra merőleges lesz, vagyis ezek párhuzamos vektorok, vektoriális szorzatuk tehát biztosan 0. A (D) esetben pedig pl. $a = c = i$, $b = j$ esetén a szorzat értéke k és -k skaláris szorzata lesz, tehát nem 0. Hasonló okoskodással lehet kielemezni az utolsó két feladatban szereplő állítások igazságértékét is. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1106,7 +1107,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={12/1. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={12/1. {\symknight}}] Számítsuk ki az 1 2 2 1 mátrix által meghatározott kvadratikus alak értékét az[1 2]T vektoron. \tcblower @@ -1119,7 +1120,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={12/2. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={12/2. {\symrook}}] Adjunk meg egy $v \in \mathbb{R}^2$ vektort, melyen az $A = 1 2 2 1$ mátrix által meghatározott kvadratikus alak negatív értéket vesz föl. @@ -1133,7 +1134,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={12/3. -R-}] + \begin{tcolorbox}[title={12/3. {\symrook}}] Adjuk meg a $in \mathbb{R}^3x$3 mátrix által meghatározott bilineáris függvény kvadratikus karakterét (definitségét). @@ -1147,7 +1148,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={12/4. {\symknight}}] Milyen $c \in \mathbb{R}$ valós értékekre lesz az $1 c c c \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrix által meghatározott kvadratikus alak pozitív definit? \tcblower @@ -1160,7 +1161,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={12/4. {\symknight}}] Egy szimmetrikus, valós A mátrixhoz tartozó kvadratikus alak $Q(u) = uTAu$. Abban az esetben ha $A = a b b d$ és $u = [x y]T$, akkor $Q(u) = ax2 + 2bxy + dy2$. A második feladatban tehátolyan $x$ és $y$ számokat kell keresnünk, amelyekre $x2 + 4xy + y2$ negatív. Ha észrevesszük, hogy $x2 + 4xy + y2 = x2 + 4xy + 4y2 -3y2 = (x + 2y)2 -3y2$, akkor már könnyen találunk ilyen értékeket (de az alábbiak szerint a mátrix egyik sajátvektora is megfelelő). A kvadratikus alak jellege (karaktere, definitsége) azt mondja meg, milyen valós értékeket vesz föl a nem nulla vektorokon. Ezt a tulajdonságot le tudjuk olvasni a mátrix sajátértékeiből (amik szimmetrikus mátrix esetén mindig valósak), pontosabban azok előjeléből: $Q(u), u 6= 0$ sajátértékek előjele: jelleg: mindig pozitív mind pozitív pozitív definit mindig negatív mind negatív negatív definit mindig nemnegatív mind nemnegatív pozitív szemidefinit mindig nempozitív mind nempozitív negatív szemidefinit van pozitív is, negatív is van pozitív is, negatív is indefinit Ha $u = ei$ (a triviális bázis i-edik vektora), akkor $Q(u)$ az A mátrix főátlójának i-edik eleme. A harmadik feladatban a második és a harmadik diagonális elem pozitív, illetve negatív, s így kvadratikus alak pozitív és negatív értékeket is fölvesz, tehát biztosan indefinit. Bizonyos esetekben a következő kritérium segítségével is leolvasható a kvadratikus alak jellege. Legyen ${\Delta}0 = 1$ és ${\Delta}k$ a mátrix bal fölső sarkában lévő $k xk$-as részmátrix determinánsa (ez az ún. karakterisztikus sorozat). Pl. a karakterisztikus sorozat pontosan akkor áll csupa pozitív értékből, ha a kvadratikus alakunk pozitív definit. A negyedik feladatnál ezt a feltételt használjuk: az 1x1-es részmátrixhoz tartozó tag pozitív, s a pozitív definitség azzal lesz ekvivalens, hogy a determináns, $c-c2 = c(1-c)$ is pozitív. Ez csak a jelzett intervallumban valósulhat meg. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1175,7 +1176,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={12/4. -N-}] + \begin{tcolorbox}[title={12/4. {\symknight}}] Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál zárójelben néhol magyarázó megjegyzések is vannak, ezeket nem kell leírni a teljes pontszám eléréséhez. \end{tcolorbox} \end{frame} From 82c3366e1bb2e77c6fbdbb56fae14e4114b2bf9e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Wed, 6 Jun 2018 10:51:42 +0200 Subject: [PATCH 07/10] Chapter 1-3 in the A part done. --- .../Document.tex | 324 ++++++++++-------- 1 file changed, 190 insertions(+), 134 deletions(-) diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex index 1a10adb..bd56bfc 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex @@ -152,7 +152,8 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{tcolorbox}[title={1/1. {\symknight}}] A $\{b_1,b_2,b_3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Határozzuk meg a $v = 2b_1 + 3b_2 -b_3$ vektor koordinátavektorát a $\{b_1,b_2,b_3\}$ bázisban. \tcblower - A vektor bázisban vett koordinátavektorának fogalmát kéri számon.\\ + A feladat a vektor bázisban vett koordinátavektorának fogalmát kéri számon.\\ + \mmedskip A vektorból kell kiszámítani a koordinátáit.\\ \mmedskip @@ -199,13 +200,30 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \end{bmatrix}$. Írjuk föl a $v+2w$ vektort a $\{b_1,b_2,b_3\}$ vektorok lineáris kombinációjaként. \tcblower A feladat két fogalmat kérdez:\\ - hogyan kell a koordinátákból kiszámítani a vektorokat, de még azt is tudni kell, hogy hogyan kell koordinátavektorokkal műveleteket végezni.\\ + \mmedskip + + Hogyan kell a koordinátákból kiszámítani a vektorokat, de még azt is tudni kell, hogy hogyan kell koordinátavektorokkal műveleteket végezni.\\ + \mmedskip - Tehát először a két koordinátavektor megfelelő lineáris kombinációját számoljuk ki: $| | 1 0 2 | |+ 2 | | 3 1 0 | | 7 2 2 |$, majd az így kapott oszlopvektort átírjuk a bázisvektorok lineáris kombinációjává.\\ + Tehát először a két koordinátavektor megfelelő lineáris kombinációját számoljuk ki: $\begin{bmatrix} + 1 \\ + 0 \\ + 2 + \end{bmatrix}$ $+ 2$ $\begin{bmatrix} + 3 \\ + 1 \\ + 0 + \end{bmatrix}$ $=$ $\begin{bmatrix} + 7 \\ + 2 \\ + 2 + \end{bmatrix}$, majd az így kapott oszlopvektort átírjuk a bázisvektorok lineáris kombinációjává.\\ + \mmedskip - De megtehetjük azt is, hogy először a v és w vektorokat írjuk fel a bázisvektorok lineáris kombinációjaként, majd ebből számítjuk ki a $v+2w$-t. + De megtehetjük azt is, hogy először a v és w vektorokat írjuk fel a bázisvektorok lineáris kombinációjaként, majd ebből számítjuk ki a $v+2w$-t.\\ + \mmedskip - $v + 2w = 7b_1 + 2b_2 + 2b_3$ + $v + 2w = 7b_1 + 2b_2 + 2b_3$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -213,14 +231,23 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{tcolorbox}[title={1/4. {\symqueen}}] Tegyük föl, hogy a $\{b_1,b_2,b_3\}$ vektorhalmaz bázis a $V \leq \mathbb{R}^n$ altérben. Mi lesz ezen $b_i$ bázisvektorok $v$-vel jelölt összegénekakoordinátavektora a $\{b_1+b_2,b_2,b_3\}$ bázisban? \tcblower - Az a kérdés, hogy a $b_1+b_2+b_3 = {\lambda}1(b_1+b_2)+{\lambda}2b_2+{\lambda}3b_3$ felírásban mennyi a ${\lambda}i$ ismeretlenek értéke.\\| + Az a kérdés, hogy a $b_1+b_2+b_3 = {\lambda}_1(b_1+b_2)+{\lambda}_2b_2+{\lambda}_3b_3$ felírásban mennyi a ${\lambda}_i$ ismeretlenek értéke.\\ + \mmedskip + Ezekre úgy kapunk lineáris egyenletrendszert, hogy a $b_i$ bázisvektor együtthatóját az egyenlet két oldalán összehasonlítjuk.\\ + \mmedskip Azonnal látszik, hogy $b_1 + b_2 + b_3 = 1 \cdot (b_1 + b_2) + 0 \cdot b_2 + 1 \cdot b_3$ megfelelő felírás, és ezért ezek az együtthatók adják a keresett koordinátavektort.\\ + \mmedskip Ennek a problémának a megoldását az általános esetben az elemi bázistranszformációról szóló tétel szolgáltatja. + \mmedskip - $[v]_{b_1,b_2,b_3} =$ + $[v]_{b_1 + b_2,b_2,b_3} =$ $\begin{bmatrix} + 1 \\ + 0 \\ + 1 + \end{bmatrix}$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -238,7 +265,19 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \mmedskip - Pl. benne vannak az altérben, de az összegük,nincs. + Pl. $\begin{bmatrix} + 1 \\ + 0 \\ + 0 + \end{bmatrix}$ és $\begin{bmatrix} + 0 \\ + 1 \\ + 0 + \end{bmatrix}$ benne vannak az altérben, de az összegük, $\begin{bmatrix} + 1 \\ + 1 \\ + 0 + \end{bmatrix}$ nincs. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -250,19 +289,38 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A A nulla determinánsú mátrixok összege könnyen lehet nem nulla determinánsú, s hasonlóképpen nem nulla determinánsú mátrixok összege lehet nulla determinánsú.\\ \mmedskip - Pl. det= det= 0, ugyanakkor det + Pl. det $\begin{bmatrix} + 1 & 0 \\ + 0 & 0\\ + \end{bmatrix}$ = det $\begin{bmatrix} + 0 & 0 \\ + 0 & 1 \\ + \end{bmatrix}$ = 0, ugyanakkor det($\begin{bmatrix} + 1 & 0 \\ + 0 & 0\\ + \end{bmatrix}$ $+$ $\begin{bmatrix} + 0 & 0 \\ + 0 & 1 \\ + \end{bmatrix}$) $=1 \neq 0$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2/3. {\symrook}}] - Tekintsük azoknak az $\mathbb{R}^3$-beli vektoroknak a halmazát, amelyek az alábbi feltételnek tesznek eleget.\\ű + Tekintsük azoknak az $\mathbb{R}^3$-beli $\begin{bmatrix} + x_1 \\ + x_2 \\ + x_3 + \end{bmatrix}$ vektoroknak a halmazát, amelyek az alábbi feltételnek tesznek eleget.\\ + \mmedskip Mely eset(ek)ben kapunk alteret?\\ - (A) $x1 = x2 + 2x3$\\ - (B) $x1 = x2 + 2$\\ - (C) $x1x2 = 0$\\ - (D) $x2 1 = 0$ + \mmedskip + + (A) $x_1 = x_2 + 2x_3$\\ + (B) $x_1 = x_2 + 2$\\ + (C) $x_1x_2 = 0$\\ + (D) $x^2_1 = 0$ \tcblower \mmedskip @@ -273,23 +331,27 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2/4. {\symqueen}}] - Mely alábbi halmaz(ok) alkot(nak) alteret a $2x2$-es valós mátrixok halmazában mint $R$ fölötti vektortérben:\\ + Mely alábbi halmaz(ok) alkot(nak) alteret a $2x2$-es valós mátrixok halmazában mint $\mathbb{R}$ fölötti vektortérben:\\ \mmedskip (A) $\{A \in \mathbb{R}^{2 x 2}|detA = 0\}$\\ - (B) $\{A \in \mathbb{R}^{2 x 2}|detA 6= 0\}$\\ - (C) $\{A \in \mathbb{R}^{2 x 2}|A = AT\}$\\ - (D) $\{A \in \mathbb{R}^{2 x 2}|A2 = I2\}$ + (B) $\{A \in \mathbb{R}^{2 x 2}|detA \neq 0\}$\\ + (C) $\{A \in \mathbb{R}^{2 x 2}|A = A^T\}$\\ + (D) $\{A \in \mathbb{R}^{2 x 2}|A^2 = I_2\}$ \tcblower Azt kell megvizsgálnunk, hogy a megadott halmazok zártak-e az összeadásra, ill. a skalárral való szorzásra:\\ + \mmedskip Az (A) kérdésben nulla determinánsú mátrixok összege könnyen lehet nem nulla determinánsú, s hasonlóképpen nem nulla determinánsú mátrixok összege lehet nulla determinánsú.\\ + \mmedskip A (B)-ben (de érvelhetünk azzal is, hogy a nullmátrix nem ilyen);\\ + \mmedskip A szimmetria megőrződik mátrixok összeadásánál, ill. skalárral való szorzásánál (ez mutatja, hogy a (C) feladatban alterünk van).\\ + \mmedskip - Az pedig hogy a (D) feladatban nem kapunk alteret, kiderül pl. abból is, hogy a nullmátrix nem teljesíti az adott feltételt. + Az pedig hogy a (D) feladatban nem kapunk alteret, kiderül pl. abból is, hogy a nullmátrix nem teljesíti az adott feltételt.\\ \mmedskip Alter(ek): (C) @@ -301,11 +363,12 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A Mutassunk egy olyan $H$ részhalmazt $\mathbb{R}^2$-ben (azaz a síkon), mely zárt a vektorok szokásos összeadására, mégsem alkot alteret $\mathbb{R}^2$-ben. \tcblower A feladat arra mutat rá, hogy altereknél mindkét műveletre való zártságot meg kell követelnünk:\\ + \mmedskip - erre érdemes már a fölkészülés során is példát keresnünk, hogy jobban megérthessük a fogalmat. + erre érdemes már a fölkészülés során is példát keresnünk, hogy jobban megérthessük a fogalmat.\\ \mmedskip - Pl. $\{[a b]T \in \mathbb{R}^2|a,b > 0\}$ + Pl. $\{[a b]^T \in \mathbb{R}^2|a,b > 0\}$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -321,7 +384,10 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{tcolorbox}[title={3/1. {\symknight}}] Alkalmas együtthatók megadásával mutassuk meg, hogy a $\{v,0,w\}$ vektorok rendszere lineárisan összefüggő. \tcblower + A lineáris összefüggőséget kell bizonyítanunk.\\ + \mmedskip + Ehhez olyan együtthatókat kell megadnunk, amelyek nem mindegyike nulla (és nem olyanokat, hogy egyik sem nulla). Ha tehát a rendszerben látunk néhány összefüggő vektort, akkor a többinek nyugodtan adhatunk nulla együtthatót.\\ \mmedskip $0 \cdot v + 1 \cdot 0 + 0 \cdot w = 0$. @@ -333,19 +399,22 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{tcolorbox}[title={3/2. {\symknight}}] Alkalmas együtthatók megadásával mutassuk meg, hogy az $\{u,v,w,v+2w\}$ vektorok rendszere lineárisan összefüggő. \tcblower + A lineáris összefüggőséget kell bizonyítanunk.\\ + \mmedskip + Ehhez olyan együtthatókat kell megadnunk, amelyek nem mindegyike nulla (és nem olyanokat, hogy egyik sem nulla). Ha tehát a rendszerben látunk néhány összefüggő vektort, akkor a többinek nyugodtan adhatunk nulla együtthatót.\\ \mmedskip - $0 \cdot u + 1 \cdot v + 2 \cdot w + (-1)(v + 2w) = 0.$. + $0 \cdot u + 1 \cdot v + 2 \cdot w + (-1)(v + 2w) = 0$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/3. {\symknight}}] - Legyen $v1 = \in \mathbb{R}^2$ és $v2 = \in \mathbb{R}^2$. Mely valós $c$ szám(ok)ra lesz $v1$ és $v2$ lineárisan összefüggő? + Legyen $v_1 = [1 \; 1]^T \in \mathbb{R}^2$ és $v_2 = [3 \; c]^T \in \mathbb{R}^2$. Mely valós $c$ szám(ok)ra lesz $v_1$ és $v_2$ lineárisan összefüggő? \tcblower - + Arra érdemes emlékeznünk, hogy két nem nulla vektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha egymás skalárszorosai.\\ \mmedskip $c = 3$. @@ -355,45 +424,56 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/4. {\symrook}}] - Mely $c \in R$ valós számokra lesznek lineárisan függetlenek az $[1 0 c]T, a [2 2 2]T$ és a $[4 2 3]T$ vektorok? + Mely $c \in R$ valós számokra lesznek lineárisan függetlenek az $[1 \; 0 \; c]^T, a [2 \; 2 \; 2]^T$ és a $[4 \; 2 \; 3]^T$ vektorok? \tcblower - + Megoldhatjuk a szokásos homogén lineáris egyenletrendszer vizsgálatával (ha a megoldások száma nagyobb, mint 1, akkor a vektorrendszer összefüggő).\\ + \mmedskip + + Másik lehetőség annak a tételnek az alkalmazása, hogy a megadott vektorok pontosan akkor lineárisan függetlenek, ha a belőlük mint oszlopvektorokból képzett mátrix determinánsa nem 0.\\ + Mivel $\begin{vmatrix} + 1 & 2 & 4 \\ + 0 & 2 & 2 \\ + c & 2 & 3 \\ + \end{vmatrix}$ $= -4c + 2$, ezért a válasz $c \neq \frac{1}{2}$.\\ \mmedskip - $c 6= 1/2$. + $c \neq 1/2$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/5. {\symrook}}] - Legyen $v1 = 1 1 \in \mathbb{R}^3$. Adjunk meg olyan $v2$ és $v3$ vektorokat $\mathbb{R}^3$-ban, melyekre igaz, hogy a $v1,v2,v3$ vektorrendszer lineárisan összefüggő, de közülük bármely két vektor lineárisan független. + Legyen $v_1 = [1 \; 1 \; 0]^T \in \mathbb{R}^3$. Adjunk meg olyan $v_2$ és $v_3$ vektorokat $\mathbb{R}^3$-ban, melyekre igaz, hogy a $v_1,v_2,v_3$ vektorrendszer lineárisan összefüggő, de közülük bármely két vektor lineárisan független. \tcblower - + Segít, ha tudjuk, hogy mit jelent az összefüggőség a lineáris függés nyelvén: a feltételek azt jelentik, hogy a vektorok egyike sem skalárszorosa a másiknak, de az egyik vektor a másik kettőnek a lineáris kombinációja. \\ \mmedskip - + Pl. $v_1 = [1 \; 0 \; 0]^T,\; v_2 = [0 \; 1 \; 0]^T$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/6. {\symknight}}] - Egy $U \leq \mathbb{R}^2$ altérben $[2 3]T$ generátorrendszert alkot. Adjunk meg $U$-ban egy háromelemű generátorrendszert. + Egy $U \leq \mathbb{R}^2$ altérben $[2 \; 3]^T$ generátorrendszert alkot. Adjunk meg $U$-ban egy háromelemű generátorrendszert. \tcblower - + Azt az állítást használjuk, hogy generátorrendszer kibővítve is generátorrendszer marad, de vigyáznunk kell, hogy az új vektorokat is az altérből vegyük. \\ \mmedskip - Pl. $[2 3]T, [4 6]T, [0 0]T$ + Pl. $[2 \; 3]^T, [4 \; 6]^T, [0 \; 0]^T$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/7. {\symrook}}] - Egy $U \leq R5$ altérben van olyan $\{v1,v2,v3\}$ háromelemű lineárisan összefüggő vektorhalmaz, mely generátorrendszer U-ban. Hány eleme lehet $U$ egy bázisának? + Egy $U \leq \mathbb{R}^5$ altérben van olyan $\{v_1,v_2,v_3\}$ háromelemű lineárisan összefüggő vektorhalmaz, mely generátorrendszer U-ban. Hány eleme lehet $U$ egy bázisának? \tcblower - + A kérdés megválaszolásához az a tény segít, hogy minden generátorrendszerből kiválasztható bázis, az azonban lineárisan független.\\ + \mmedskip + + Így a háromelemű halmazból legalább egyet el kell távolítanunk, hogy bázist kaphassunk. Mivel az altérben van legalább három vektor, ezért az nem lehet 0 dimenziós.\\ \mmedskip Bázis elemszáma lehet: 1,2 @@ -403,10 +483,10 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/8. {\symrook}}] - Ha egy $U \leq R9$ altérben van $5$ elemű lineárisan összefüggő generátorrendszer is, meg $3$ elemű lineárisan független vektorrendszer is, akkor mik $dimU$ lehetséges értékei? + Ha egy $U \leq \mathbb{R}^9$ altérben van $5$ elemű lineárisan összefüggő generátorrendszer is, meg $3$ elemű lineárisan független vektorrendszer is, akkor mik $dimU$ lehetséges értékei? \tcblower - + A feladat gondolata ugyanez, de hozzá kell tennünk, hogy független rendszer elemszáma kisebb vagy egyenlő, mint az altér dimenziója.\\ \mmedskip dimU lehet: 3 vagy 4 @@ -416,13 +496,13 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/9. {\symknight}}] - Legyenek $\{v1,v2,v3\}$ lineárisan független vektorok. Adjuk meg a $\{v1 + v2,v2,2v1 + v2\}$ által generált altér egy bázisát. + Legyenek $\{v_1,v_2,v_3\}$ lineárisan független vektorok. Adjuk meg a $\{v_1 + v_2,v_2,2v_1 + v_2\}$ által generált altér egy bázisát. \tcblower - +A feladathoz jó arra emlékezni, hogy ha egy U altér egy generátorrendszeréből kiválasztunk olyan vektorokat, amelyek egyrészt függetlenek, másrészt U adott generátorai már kifejezhetők velük (vagyis ez egy maximális független rendszer U adott generátorrendszerében), akkor ez a kiválasztott független rendszer bázis lesz U-ban.\\ \mmedskip - Pl. : $\{v1 + v2,v2\}$ + Pl. : $\{v_1 + v_2,v_2\}$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -431,20 +511,28 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A \begin{tcolorbox}[title={3/10. {\symqueen}}] Adott egy ötelemű vektorrendszer, melynek a rangja $3.$ Eltávolítunk a rendszerből két vektort. Mik az új rendszer rangjának lehetséges értékei? \tcblower - + A feladathoz tudni kell, hogy a rang a generált altér dimenziója.\\ + \mmedskip + + Ha tehát egy háromdimenziós altér ötelemű generátorrendszeréből eltávolítunk két vektort, akkor a maradék vektorrendszer által generált altér még mindig legalább egydimenziós (hiszen még egy háromelemű független rendszerből is maximum kettőt távolíthattunk el), de maradhatott is háromdimenziós (ha pl. a két „fölösleges” vektort dobtuk ki.)\\ \mmedskip A rang lehet: 1, 2 vagy 3 - \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3/11. {\symqueen}}] - Legyen $U = \{[x1,x2,x3]T \in \mathbb{R}^3|x1 = 2x2 = 3x3\}$ az $\mathbb{R}^3$ altere. Hány olyan bázisa van az $U$ altérnek, mely tartalmazza a $v = [6,3,2]T$ vektort? - \tcblower - + Legyen $U = \{[x_1,x_2,x_3]^T \in \mathbb{R}^3|x_1 = 2x_2 = 3x_3\}$ az $\mathbb{R}^3$ altere. Hány olyan bázisa van az $U$ altérnek, mely tartalmazza a $v = [6,3,2]^T$ vektort? + \tcblower + A feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely nem nulla vektor egyúttal bázis is.\\ + \mmedskip + + Ha a tér dimenziója nagyobb lenne, akkor – hivatkozva arra a tételre, mely szerint független rendszer kiegészíthető bázissá – máris megváltozna a helyzet:\\ + \mmedskip + + ilyenkor bármely, a dimenziószámnál kisebb elemszámú vektorhalmaz végtelen sok módon egészíthető ki bázissá.\\ \mmedskip Bázisok száma: 1 \end{tcolorbox} @@ -452,38 +540,6 @@ Az alábbiakban – tájékoztató jelleggel – fölsoroljuk a vizsgadolgozat A -\begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={3/11. {\symqueen}}] -Az első két feladatban - -A lineáris összefüggőséget kell bizonyítanunk.\\ -Ehhez olyan együtthatókat kell megadnunk, amelyek nem mindegyike nulla (és nem olyanokat, hogy egyik sem nulla). Ha tehát a rendszerben látunk néhány összefüggő vektort, akkor a többinek nyugodtan adhatunk nulla együtthatót. - -A harmadik feladatban arra érdemes emlékeznünk, hogy két nem nulla vektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha egymás skalárszorosai. - -A negyedik feladatot megoldhatjuk a szokásos homogén lineáris egyenletrendszer vizsgálatával (ha a megoldások száma nagyobb, mint 1, akkor a vektorrendszer összefüggő). Másik lehetőség annak a tételnek az alkalmazása, hogy a megadott vektorok pontosan akkor lineárisan függetlenek, ha a belőlük mint oszlopvektorokból képzett mátrix determinánsa nem 0. Mivel - -, ezért a válasz $c 6= 1/2$. - -Az ötödik feladatban segít, ha tudjuk, hogy mit jelent az összefüggőség a lineáris függés nyelvén: a feltételek azt jelentik, hogy a vektorok egyike sem skalárszorosa a másiknak, de az egyik vektor a másik kettőnek a lineáris kombinációja. - -A hatodik feladatban azt az állítást használjuk, hogy generátorrendszer kibővítve is generátorrendszer marad, de vigyáznunk kell, hogy az új vektorokat is az altérből vegyük. - -A hetedik kérdés megválaszolásához az a tény segít, hogy minden generátorrendszerből kiválasztható bázis, az azonban lineárisan független. Így a háromelemű halmazból legalább egyet el kell távolítanunk, hogy bázist kaphassunk. Mivel az altérben van legalább három vektor, ezért az nem lehet 0 dimenziós. - -A nyolcadik feladat gondolata ugyanez, de hozzá kell tennünk, hogy független rendszer elemszáma kisebb vagy egyenlő, mint az altér dimenziója. - -A kilencedik feladathoz jó arra emlékezni, hogy ha egy U altér egy generátorrendszeréből kiválasztunk olyan vektorokat, amelyek egyrészt függetlenek, másrészt U adott generátorai már kifejezhetők velük (vagyis ez egy maximális független rendszer U adott generátorrendszerében), akkor ez a kiválasztott független rendszer bázis lesz U-ban. - -A tizedik feladathoz tudni kell, hogy a rang a generált altér dimenziója. Ha tehát egy háromdimenziós altér ötelemű generátorrendszeréből eltávolítunk két vektort, akkor a maradék vektorrendszer által generált altér még mindig legalább egydimenziós (hiszen még egy háromelemű független rendszerből is maximum kettőt távolíthattunk el), de maradhatott is háromdimenziós (ha pl. a két „fölösleges” vektort dobtuk ki.) - -Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely nem nulla vektor egyúttal bázis is. Ha a tér dimenziója nagyobb lenne, akkor – hivatkozva arra a tételre, mely szerint független rendszer kiegészíthető bázissá – máris megváltozna a helyzet: ilyenkor bármely, a dimenziószámnál kisebb elemszámú vektorhalmaz végtelen sok módon egészíthető ki bázissá. - - \end{tcolorbox} -\end{frame} - - - \begin{frame}[plain] \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] {\RHuge (4) Bázis megadása, dimenzió} @@ -498,7 +554,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \mmedskip - Pl. $[1 0 0]T$, $[0 1 1]T$ + Pl. $[1 0 0]^T$, $[0 1 1]^T$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -541,7 +597,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/5. {\symqueen}}] - Hány dimenziós alteret alkotnak $\mathbb{R}^3x3$-ban azok az A mátrixok, amelyekre teljesül, hogy $AT = -A$? + Hány dimenziós alteret alkotnak $\mathbb{R}^3x_3$-ban azok az A mátrixok, amelyekre teljesül, hogy $A^T = -A$? \tcblower \mmedskip @@ -577,7 +633,7 @@ Végezetül a 11. feladatban egy egydimenziós alterünk van, s ebben bármely n \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/7. {\symqueen}}] -Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában $\{b_1 + b_2,b_2\}$ ilyen. De bázist alkot ebben az altérben $\{b_1,b_2\}$ is, hiszen $b_1 = (b_1 + b_2) - b_2$ is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának $y = 0$ speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti $\mathbb{R}^n$ dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első $n-1$ komponens egyike 1, az utolsó komponens-1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy $\mathbb{R}^n$ egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint $\mathbb{R}^n$-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a $2x2$-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a $\mathbb{R}^{2 x 2}$ téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. +Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában $\{b_1 + b_2,b_2\}$ ilyen. De bázist alkot ebben az altérben $\{b_1,b_2\}$ is, hiszen $b_1 = (b_1 + b_2) - b_2$ is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának $y = 0$ speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti $\mathbb{R}^n$ dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első $n-1$ komponens egyike 1, az utolsó komponens-1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy $\mathbb{R}^n$ egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint $\mathbb{R}^n$-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a $2x_2$-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a $\mathbb{R}^{2 x 2}$ téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -649,7 +705,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/1. {\symknight}}] - Legyen $A \in Rkxl$, $B \in Rpxr$ és $C \in Rtxu$. Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy értelmes legyen az $ABT + C$ mátrixkifejezés. + Legyen $A \in Rkxl$, $B \in Rpxr$ és $C \in Rtxu$. Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy értelmes legyen az $AB^T + C$ mátrixkifejezés. \tcblower \mmedskip @@ -661,7 +717,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/2. {\symknight}}] - Legyen A =. Adjunk meg egy olyan $2x2$-es, egész elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrixot, amelyre igaz, hogy $AB = 0$. + Legyen A =. Adjunk meg egy olyan $2x_2$-es, egész elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrixot, amelyre igaz, hogy $AB = 0$. \tcblower @@ -674,7 +730,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/3. {\symknight}}] - Legyen $A = .$ Mely $c \in R$ számokra van olyan $2x2$-es, valós elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrix, amelyre igaz, hogy $AB = 0$? + Legyen $A = .$ Mely $c \in R$ számokra van olyan $2x_2$-es, valós elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrix, amelyre igaz, hogy $AB = 0$? \tcblower \mmedskip @@ -686,7 +742,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/4. {\symknight}}] - Adjunk meg egy olyan $2x2$-es egész elemű, a nullmátrixtól különböző A mátrixot, amelyre igaz, hogy van olyan 0 6= $B \in \mathbb{R}^{2 x 2}$, melyre $AB = 0$. + Adjunk meg egy olyan $2x2$-es egész elemű, a nullmátrixtól különböző A mátrixot, amelyre igaz, hogy van olyan $0 \neq B \in \mathbb{R}^{2 x 2}$, melyre $AB = 0$. \tcblower \mmedskip @@ -715,7 +771,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \mmedskip - Pl.: $[1 0 0]T$ + Pl.: $[1 0 0]^T$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -748,7 +804,7 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/8. {\symqueen}}] -Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összeadása, szorzása, illetve mik a transzponált mátrix méretei. Két mátrix szorzatának oszlopaiban a bal oldali mátrix oszlopainak lineáris kombinációi állnak. Ezért az $AB = 0$ akkor tud teljesülni nem nulla B mátrixszal, ha A oszlopai lineárisan öszefüggenek. Speciálisan ha A négyzetes mátrix, akkor ez azzal ekvivalens, hogy A determinánsa nulla. Ezzel a tétellel könnyű megválaszolni a harmadik feladatot, illetve keresni megfelelő mátrixot a negyedik feladatban. Kétszer kettes mátrix esetében érdemes megjegyezni az inverz képletét: inverz akkor létezik, ha a mátrix d determinánsa nem nulla, és ekkor az inverz mátrixot úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrixban a főátló két elemét kicseréljük, a mellékátló elemeit ellentettjükre változtatjuk, végül a mátrix minden elemét elosztjuk d-vel (így kaptuk az ötödik feladat eredményét). Nem feltétlenül négyzetes mátrixra is érvényes, hogy pontosan akkor van jobb oldali inverze, ha rangja megegyezik a sorainak a számával, azaz ha a sorai lineárisan függetlenek. Erre a tételre a hatodik és a hetedik feladat megoldásában nincs szükség, mert azok megoldása közvetlen számolás (a hetedik feladatban az egyetlen megfelelő vektor $[1/3 1/3 1/3]T$). A nyolcadik feladatban viszont ezt a tételt alkalmazzuk. Az (A) rész két sora nyilván összefügg, a (C) esetében ez azért igaz, mert $\mathbb{R}^2$ dimenziója 2, és így bármely három vektor összefüggő. A (B)-ben például az a = d = 1 és $b = c = 0$ két független vektort ad, a (D) esetben meg a három sor független lesz ha a $6= 9$, hiszen ekkor a determináns értéke nem nulla. +Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összeadása, szorzása, illetve mik a transzponált mátrix méretei. Két mátrix szorzatának oszlopaiban a bal oldali mátrix oszlopainak lineáris kombinációi állnak. Ezért az $AB = 0$ akkor tud teljesülni nem nulla B mátrixszal, ha A oszlopai lineárisan öszefüggenek. Speciálisan ha A négyzetes mátrix, akkor ez azzal ekvivalens, hogy A determinánsa nulla. Ezzel a tétellel könnyű megválaszolni a harmadik feladatot, illetve keresni megfelelő mátrixot a negyedik feladatban. Kétszer kettes mátrix esetében érdemes megjegyezni az inverz képletét: inverz akkor létezik, ha a mátrix d determinánsa nem nulla, és ekkor az inverz mátrixot úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrixban a főátló két elemét kicseréljük, a mellékátló elemeit ellentettjükre változtatjuk, végül a mátrix minden elemét elosztjuk d-vel (így kaptuk az ötödik feladat eredményét). Nem feltétlenül négyzetes mátrixra is érvényes, hogy pontosan akkor van jobb oldali inverze, ha rangja megegyezik a sorainak a számával, azaz ha a sorai lineárisan függetlenek. Erre a tételre a hatodik és a hetedik feladat megoldásában nincs szükség, mert azok megoldása közvetlen számolás (a hetedik feladatban az egyetlen megfelelő vektor $[1/3 1/3 1/3]^T$). A nyolcadik feladatban viszont ezt a tételt alkalmazzuk. Az (A) rész két sora nyilván összefügg, a (C) esetében ez azért igaz, mert $\mathbb{R}^2$ dimenziója 2, és így bármely három vektor összefüggő. A (B)-ben például az a = d = 1 és $b = c = 0$ két független vektort ad, a (D) esetben meg a három sor független lesz ha a $\neq 9$, hiszen ekkor a determináns értéke nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -810,7 +866,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/5. {\symknight}}] - Legyenek $A,B,C \in \mathbb{R}^3x3$ olyan valós mátrixok, melyekre $detA = 2, detB = 3$ és $detC = 4$. Mennyi lesz $2A2C-1B$ determinánsa? + Legyenek $A,B,C \in \mathbb{R}^3x_3$ olyan valós mátrixok, melyekre $detA = 2, detB = 3$ és $detC = 4$. Mennyi lesz $2A2C-1B$ determinánsa? \tcblower \mmedskip @@ -851,7 +907,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/1. {\symknight}}] - Mik az A = $\mathbb{R}^3x3$ mátrix sajátértékei? + Mik az A = $\mathbb{R}^3x_3$ mátrix sajátértékei? \tcblower @@ -877,7 +933,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/3. {\symrook}}] - Írjunk föl egy olyan nem diagonalizálható mátrixot, melynek karakterisztikus polinomja ${\lambda}2$. + Írjunk föl egy olyan nem diagonalizálható mátrixot, melynek karakterisztikus polinomja ${\lambda}_2$. \tcblower @@ -930,7 +986,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/6. {\symqueen}}] - Egy mátrix valós sajátértékeit a karakterisztikus polinom valós gyökei adják: a főátló minden eleméből levonunk ${\lambda}$-t és kiszámítjuk a determinánst. Felső háromszögmátrix, speciálisan diagonális mátrix esetén a sajátértékek a főátlóból leolvashatók. A sajátvektorokat minden egyes sajátértékhez egy-egy lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg. A diagonalizálhatóság feltétele az, hogy legyen „elegendő” sajátvektor, azaz a tér dimenziószámával megegyező mennyiségű lineárisan független sajátvektor. A harmadik feladat mátrixa esetében ez nem teljesül, mert a sajátvektorokr 0T alakúak, ahol r $6= 0$ (azaz a 0-hoz tartozó sajátaltér egydimenziós). Gyakran használt elégséges feltétel, hogy egy nxn-es mátrix diagonalizálható $\mathbb{R}$ fölött, ha n különböző valós sajátértéke van. A negyedik feladat mátrixának karakterisztikus polinomja ${\lambda}2$-c. Ennek c > 0-ra két különböző valós gyöke van, tehát ilyenkor a mátrix diagonalizálható; $c < 0$-ra nincs valós gyök, ezért $\mathbb{R}$ fölött nem diagonalizálhatjuk a mátrixot; végül c = 0-ra a megoldást a harmadik feladat adja. Hasonló érvelés adható az ötödik feladatnál is. A hatodik feladat feltétele azt mutatja, hogy a -1 sajátértéke a mátrixnak, ha tehát -1-et levonunk a főátló minden eleméből, épp az $A-(-1)I2$ mátrixot kapjuk, aminek a determinánsa 0, hiszen -1 gyöke a karakterisztikus polinomnak. + Egy mátrix valós sajátértékeit a karakterisztikus polinom valós gyökei adják: a főátló minden eleméből levonunk ${\lambda}$-t és kiszámítjuk a determinánst. Felső háromszögmátrix, speciálisan diagonális mátrix esetén a sajátértékek a főátlóból leolvashatók. A sajátvektorokat minden egyes sajátértékhez egy-egy lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg. A diagonalizálhatóság feltétele az, hogy legyen „elegendő” sajátvektor, azaz a tér dimenziószámával megegyező mennyiségű lineárisan független sajátvektor. A harmadik feladat mátrixa esetében ez nem teljesül, mert a sajátvektorokr 0T alakúak, ahol r $\neq 0$ (azaz a 0-hoz tartozó sajátaltér egydimenziós). Gyakran használt elégséges feltétel, hogy egy nxn-es mátrix diagonalizálható $\mathbb{R}$ fölött, ha n különböző valós sajátértéke van. A negyedik feladat mátrixának karakterisztikus polinomja ${\lambda}_2$-c. Ennek c > 0-ra két különböző valós gyöke van, tehát ilyenkor a mátrix diagonalizálható; $c < 0$-ra nincs valós gyök, ezért $\mathbb{R}$ fölött nem diagonalizálhatjuk a mátrixot; végül c = 0-ra a megoldást a harmadik feladat adja. Hasonló érvelés adható az ötödik feladatnál is. A hatodik feladat feltétele azt mutatja, hogy a -1 sajátértéke a mátrixnak, ha tehát -1-et levonunk a főátló minden eleméből, épp az $A-(-1)I2$ mátrixot kapjuk, aminek a determinánsa 0, hiszen -1 gyöke a karakterisztikus polinomnak. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -998,7 +1054,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/4. {\symrook}}] - Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix. Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba. Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből $(A' = S-1AS)$. Az ötödik feladatban a képletre nincs szükség: az első bázisvektor, $b_1$ kétszeresének a képe szintén önmaga, azaz $2b_1$, s így az új mátrix első oszlopában az első koordináta $1$, a többi meg $0$. Ugyanakkor a $b_2$ és $b_3$ képében fele annyit kell „vennünk” $2b_1$-ből, mint $b_1$-ből, tehát az első sor második és harmadik eleme a felére csökken. Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit. Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban $2 1 0 3$ . Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a $-1$. A hatodik és a hetedik feladatban felírhatjuk, hogy ${\varphi}({\lambda}e1 + {\mu}e2) = {\mu}(e1 + e2)$. Ez akkor nulla, azaz ${\lambda}e1 + {\mu}e2$ akkor van a magtérben, ha ${\mu} = 0$. A képtér elemei pedig $e1 + e2$ többszörösei. A nyolcadik feladatban azt is lehet használni, hogy $[{\varphi}(v)]B = [{\varphi}]B[v]B$. Az $M[x y z]T = 0$ egyenlet megoldása: $x$ és $y$ tetszőleges, $z = 0$. A magtér tehát kétdimenziós. Megoldható a feladat a dimenzióösszefüggés segítségével is, amely szerint a magtér dimenziója a mátrix oszlopainak száma mínusz a mátrix rangja. Harmadik megoldásként láthatjuk, hogy két bázisvektor a nullába megy, ezért a magtér legalább kétdimenziós, de háromdimenziós nem lehet, mert a mátrix nem nulla. + Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix. Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba. Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből $(A' = S-1AS)$. Az ötödik feladatban a képletre nincs szükség: az első bázisvektor, $b_1$ kétszeresének a képe szintén önmaga, azaz $2b_1$, s így az új mátrix első oszlopában az első koordináta $1$, a többi meg $0$. Ugyanakkor a $b_2$ és $b_3$ képében fele annyit kell „vennünk” $2b_1$-ből, mint $b_1$-ből, tehát az első sor második és harmadik eleme a felére csökken. Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit. Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban $2 1 0 3$ . Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a $-1$. A hatodik és a hetedik feladatban felírhatjuk, hogy ${\varphi}({\lambda}e1 + {\mu}e2) = {\mu}(e1 + e2)$. Ez akkor nulla, azaz ${\lambda}e1 + {\mu}e2$ akkor van a magtérben, ha ${\mu} = 0$. A képtér elemei pedig $e1 + e2$ többszörösei. A nyolcadik feladatban azt is lehet használni, hogy $[{\varphi}(v)]B = [{\varphi}]B[v]B$. Az $M[x y z]^T = 0$ egyenlet megoldása: $x$ és $y$ tetszőleges, $z = 0$. A magtér tehát kétdimenziós. Megoldható a feladat a dimenzióösszefüggés segítségével is, amely szerint a magtér dimenziója a mátrix oszlopainak száma mínusz a mátrix rangja. Harmadik megoldásként láthatjuk, hogy két bázisvektor a nullába megy, ezért a magtér legalább kétdimenziós, de háromdimenziós nem lehet, mert a mátrix nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1013,7 +1069,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/1. {\symknight}}] - Mennyi az$[1 1 1 1]T$ és az $[1 -1 -1 -1]T$ vektorok szöge $\mathbb{R}^4$-ben, a szokásos ha, $bi = aTb$ skaláris szorzatra nézve? + Mennyi az$[1 1 1 1]^T$ és az $[1 -1 -1 -1]^T$ vektorok szöge $\mathbb{R}^4$-ben, a szokásos ha, $bi = aTb$ skaláris szorzatra nézve? \tcblower @@ -1027,7 +1083,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/2. {\symrook}}] - Az $[1 1 + i i]T \in C3$ vektor ha, $bi = b*a$ mellett merőleges az $[1 1 + i c]T$ vektorra. Határozzuk meg $ \in C$ értékét. + Az $[1 1 + i i]^T \in C3$ vektor ha, $bi = b*a$ mellett merőleges az $[1 1 + i c]^T$ vektorra. Határozzuk meg $ \in C$ értékét. \tcblower @@ -1041,13 +1097,13 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/3. {\symrook}}] - Álljon $W az \mathbb{R}^3$ azon vektoraiból, amelyek merőlegesek $a[0 1 1]T$ és $[1 1 0]T$ vektorok mindegyikére. Adjunk meg egy bázist $W$-ben. + Álljon $W az \mathbb{R}^3$ azon vektoraiból, amelyek merőlegesek $a[0 1 1]^T$ és $[1 1 0]^T$ vektorok mindegyikére. Adjunk meg egy bázist $W$-ben. \tcblower \mmedskip - $\{[1 -1 1]T\}$ + $\{[1 -1 1]^T\}$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1067,7 +1123,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/4. {\symqueen}}] - A szokásos skaláris szorzatot $\mathbb{R}^n$-ben az ha, $bi = aTb$ összefüggés adja meg; két vektor merőlegessége azt jelenti, hogy a skaláris szorzatuk nulla. $\mathbb{R}^n$-ben a vektorok szögét a $cos{\gamma} =$ ha,$bi kak \cdot kbk$ összefüggéssel definiáljuk, erről szól az első feladat. (A megoldáshoz érdemes átismételni a szögfüggvények értékét a nevezetes szögeken.) A második feladat esetében a skaláris szorzat kiszámításánál vigyázzunk arra, hogy a második tényező komponenseit meg kell konjugálni. A harmadik feladatnál lineáris egyenletrendszert kapunk W elemeinek komponenseire. A negyedik feladat esetében arra kell ráismerni, hogy a feladatbeli egyenlet az u = [3 4]T és a $v = [a b]T$ vektorokra írja föl az $|hu,vi| = kuk \cdot kvk$ összefüggést, ami a Cauchy-egyenlőtlenség alapján akkor és csak akkor teljesülhet, ha $u$ és $v$ párhuzamosak. + A szokásos skaláris szorzatot $\mathbb{R}^n$-ben az ha, $bi = aTb$ összefüggés adja meg; két vektor merőlegessége azt jelenti, hogy a skaláris szorzatuk nulla. $\mathbb{R}^n$-ben a vektorok szögét a $cos{\gamma} =$ ha,$bi kak \cdot kbk$ összefüggéssel definiáljuk, erről szól az első feladat. (A megoldáshoz érdemes átismételni a szögfüggvények értékét a nevezetes szögeken.) A második feladat esetében a skaláris szorzat kiszámításánál vigyázzunk arra, hogy a második tényező komponenseit meg kell konjugálni. A harmadik feladatnál lineáris egyenletrendszert kapunk W elemeinek komponenseire. A negyedik feladat esetében arra kell ráismerni, hogy a feladatbeli egyenlet az $u = [3 4]^T$ és a $v = [a b]^T$ vektorokra írja föl az $|hu,vi| = kuk \cdot kvk$ összefüggést, ami a Cauchy-egyenlőtlenség alapján akkor és csak akkor teljesülhet, ha $u$ és $v$ párhuzamosak. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1081,13 +1137,13 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={11/1. {\symknight}}] - Ha [a]i,j,k = [0 1 1]T és a [b]i,j,k = [1 1 0]T, akkor számítsuk ki az a és b vektorok vektoriális szorzatát (koordinátákkal). + Ha $[a]i,j,k = [0 1 1]^T$ és a $[b]i,j,k = [1 1 0]^T$, akkor számítsuk ki az $a$ és $b$ vektorok vektoriális szorzatát (koordinátákkal). \tcblower \mmedskip - [-1 1 -1]T + $[-1 1 -1]^T$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1108,7 +1164,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/1. {\symknight}}] - Számítsuk ki az 1 2 2 1 mátrix által meghatározott kvadratikus alak értékét az[1 2]T vektoron. + Számítsuk ki az 1 2 2 1 mátrix által meghatározott kvadratikus alak értékét az $[1 2]^T$ vektoron. \tcblower @@ -1162,7 +1218,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/4. {\symknight}}] - Egy szimmetrikus, valós A mátrixhoz tartozó kvadratikus alak $Q(u) = uTAu$. Abban az esetben ha $A = a b b d$ és $u = [x y]T$, akkor $Q(u) = ax2 + 2bxy + dy2$. A második feladatban tehátolyan $x$ és $y$ számokat kell keresnünk, amelyekre $x2 + 4xy + y2$ negatív. Ha észrevesszük, hogy $x2 + 4xy + y2 = x2 + 4xy + 4y2 -3y2 = (x + 2y)2 -3y2$, akkor már könnyen találunk ilyen értékeket (de az alábbiak szerint a mátrix egyik sajátvektora is megfelelő). A kvadratikus alak jellege (karaktere, definitsége) azt mondja meg, milyen valós értékeket vesz föl a nem nulla vektorokon. Ezt a tulajdonságot le tudjuk olvasni a mátrix sajátértékeiből (amik szimmetrikus mátrix esetén mindig valósak), pontosabban azok előjeléből: $Q(u), u 6= 0$ sajátértékek előjele: jelleg: mindig pozitív mind pozitív pozitív definit mindig negatív mind negatív negatív definit mindig nemnegatív mind nemnegatív pozitív szemidefinit mindig nempozitív mind nempozitív negatív szemidefinit van pozitív is, negatív is van pozitív is, negatív is indefinit Ha $u = ei$ (a triviális bázis i-edik vektora), akkor $Q(u)$ az A mátrix főátlójának i-edik eleme. A harmadik feladatban a második és a harmadik diagonális elem pozitív, illetve negatív, s így kvadratikus alak pozitív és negatív értékeket is fölvesz, tehát biztosan indefinit. Bizonyos esetekben a következő kritérium segítségével is leolvasható a kvadratikus alak jellege. Legyen ${\Delta}0 = 1$ és ${\Delta}k$ a mátrix bal fölső sarkában lévő $k xk$-as részmátrix determinánsa (ez az ún. karakterisztikus sorozat). Pl. a karakterisztikus sorozat pontosan akkor áll csupa pozitív értékből, ha a kvadratikus alakunk pozitív definit. A negyedik feladatnál ezt a feltételt használjuk: az 1x1-es részmátrixhoz tartozó tag pozitív, s a pozitív definitség azzal lesz ekvivalens, hogy a determináns, $c-c2 = c(1-c)$ is pozitív. Ez csak a jelzett intervallumban valósulhat meg. + Egy szimmetrikus, valós A mátrixhoz tartozó kvadratikus alak $Q(u) = uTAu$. Abban az esetben ha $A = a b b d$ és $u = [x y]^T$, akkor $Q(u) = ax_2 + 2bxy + dy2$. A második feladatban tehátolyan $x$ és $y$ számokat kell keresnünk, amelyekre $x_2 + 4xy + y2$ negatív. Ha észrevesszük, hogy $x_2 + 4xy + y2 = x_2 + 4xy + 4y2 -3y2 = (x + 2y)2 -3y2$, akkor már könnyen találunk ilyen értékeket (de az alábbiak szerint a mátrix egyik sajátvektora is megfelelő). A kvadratikus alak jellege (karaktere, definitsége) azt mondja meg, milyen valós értékeket vesz föl a nem nulla vektorokon. Ezt a tulajdonságot le tudjuk olvasni a mátrix sajátértékeiből (amik szimmetrikus mátrix esetén mindig valósak), pontosabban azok előjeléből: $Q(u), u \neq 0$ sajátértékek előjele: jelleg: mindig pozitív mind pozitív pozitív definit mindig negatív mind negatív negatív definit mindig nemnegatív mind nemnegatív pozitív szemidefinit mindig nempozitív mind nempozitív negatív szemidefinit van pozitív is, negatív is van pozitív is, negatív is indefinit Ha $u = ei$ (a triviális bázis i-edik vektora), akkor $Q(u)$ az A mátrix főátlójának i-edik eleme. A harmadik feladatban a második és a harmadik diagonális elem pozitív, illetve negatív, s így kvadratikus alak pozitív és negatív értékeket is fölvesz, tehát biztosan indefinit. Bizonyos esetekben a következő kritérium segítségével is leolvasható a kvadratikus alak jellege. Legyen ${\Delta}0 = 1$ és ${\Delta}k$ a mátrix bal fölső sarkában lévő $k xk$-as részmátrix determinánsa (ez az ún. karakterisztikus sorozat). Pl. a karakterisztikus sorozat pontosan akkor áll csupa pozitív értékből, ha a kvadratikus alakunk pozitív definit. A negyedik feladatnál ezt a feltételt használjuk: az 1x1-es részmátrixhoz tartozó tag pozitív, s a pozitív definitség azzal lesz ekvivalens, hogy a determináns, $c-c2 = c(1-c)$ is pozitív. Ez csak a jelzett intervallumban valósulhat meg. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1193,21 +1249,21 @@ $W {\subseteq} \mathbb{R}^n altér \mathbb{R}^n-ben$, ha: 1) $W$ nem üres; 2) $ \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2}] - Definiáljuk, mit jelent az, hogy a $v1,...,vk \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineárisan független. + Definiáljuk, mit jelent az, hogy a $v_1,...,vk \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineárisan független. \tcblower -A $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort. Képletben: tetszőleges ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in \mathbb{R}$ esetén, ha ${\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}i = 0$. +A $v_1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort. Képletben: tetszőleges ${\lambda}_1,{\lambda}_2,...,{\lambda}_k \in \mathbb{R}$ esetén, ha ${\lambda}_1v_1 + {\lambda}_2v_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}_kvk = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}_i = 0$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3}] - Mit jelent az, hogy a $v1,...,vk \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineárisan összefüggő? A válaszban ne hivatkozzunk a lineáris függetlenség fogalmára. + Mit jelent az, hogy a $v_1,...,vk \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineárisan összefüggő? A válaszban ne hivatkozzunk a lineáris függetlenség fogalmára. \tcblower -A $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (azaz nem lineárisan független), ha léteznek olyan ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in \mathbb{R}$ nem mind nulla számok, melyekre ${\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0$.) +A $v_1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (azaz nem lineárisan független), ha léteznek olyan ${\lambda}_1,{\lambda}_2,...,{\lambda}_k \in \mathbb{R}$ nem mind nulla számok, melyekre ${\lambda}_1v_1 + {\lambda}_2v_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}_kvk = 0$.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1217,7 +1273,7 @@ A $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (aza Mit jelent az, hogy egy v vektor lineárisan függ az $a_1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektoroktól? \tcblower -Azt jelenti, hogy v felírható $a_1,...,ak$ lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in \mathbb{R}$ skalárok, melyekre $v = {\lambda}1a_1 + {\lambda}2a_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kak$. +Azt jelenti, hogy v felírható $a_1,...,ak$ lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan ${\lambda}_1,{\lambda}_2,...,{\lambda}_k \in \mathbb{R}$ skalárok, melyekre $v = {\lambda}_1a_1 + {\lambda}_2a_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}_kak$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1251,8 +1307,8 @@ Egy $b_1,...,bk$ vektorrendszert akkor mondunk a $V \leq \mathbb{R}^n$ altér b \tcblower Az a vektor koordinátavektora pontosan akkor $[a]b_1,...,bk =$ -${\lambda}1 . . . {\lambda}k$ -, ha $a = {\lambda}1b_1+ \cdot \cdot \cdot +{\lambda}kbk$. +${\lambda}_1 . . . {\lambda}_k$ +, ha $a = {\lambda}_1b_1+ \cdot \cdot \cdot +{\lambda}_kbk$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1297,11 +1353,11 @@ $dimV$ a $V$ egy bázisának elemszáma, illetve 0, ha $V = \{0\}$. (Ez a defin \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={11}] - Definiáljuk egy $v1,...,vk \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer rangját, $r(v1,...,vk)$-t. + Definiáljuk egy $v_1,...,vk \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer rangját, $r(v_1,...,vk)$-t. \tcblower -$r(v1,...,vk) = dimSpan(v1,...,vk)$, azaz egy vektorrendszer rangja megegyezik az általa generált (kifeszített) altér dimenziójával. +$r(v_1,...,vk) = dimSpan(v_1,...,vk)$, azaz egy vektorrendszer rangja megegyezik az általa generált (kifeszített) altér dimenziójával. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1325,7 +1381,7 @@ Ha $1 \leq i \leq k és 1 \leq j \leq n, akkor i[AB]j =$ Mondjunk ki két, a mátrixok transzponálását a többi szokásos mátrixművelettel összekapcsoló összefüggést. \tcblower -$A,B \in \mathbb{R}^{k x n} {\Rightarrow} (A + B)T = AT + BT {\lambda} \in R,A \in \mathbb{R}^{k x n} {\Rightarrow} ({\lambda}A)T = {\lambda}AT A \in Rkxl, B \in Rlxn {\Rightarrow} (AB)T = BTAT$ +$A,B \in \mathbb{R}^{k x n} {\Rightarrow} (A + B)T = A^T + B^T {\lambda} \in R,A \in \mathbb{R}^{k x n} {\Rightarrow} ({\lambda}A)T = {\lambda}A^T A \in Rkxl, B \in Rlxn {\Rightarrow} (AB)T = B^TA^T$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1337,7 +1393,7 @@ $A,B \in \mathbb{R}^{k x n} {\Rightarrow} (A + B)T = AT + BT {\lambda} \in R,A \ Definiáljuk egy $A \in \mathbb{R}^{k x n}$ mátrix oszloprangját, illetve sorrangját, ${\varrho}O(A)-t és {\varrho}S(A)$-t. \tcblower -Ha $a_1,...,an \in Rk$ a mátrix oszlopai, akkor ${\varrho}O(A) = r(a_1,...,ak)$, azaz az oszloprang az oszlopok rendszerének rangja (vagyis az oszlopok által generált altér dimenziója.) Analóg módon, a mátrix sorrangja a sorok által generált altér dimenziója, vagy másképpen: ${\varrho}S(A) = {\varrho}O(AT)$. +Ha $a_1,...,an \in Rk$ a mátrix oszlopai, akkor ${\varrho}O(A) = r(a_1,...,ak)$, azaz az oszloprang az oszlopok rendszerének rangja (vagyis az oszlopok által generált altér dimenziója.) Analóg módon, a mátrix sorrangja a sorok által generált altér dimenziója, vagy másképpen: ${\varrho}S(A) = {\varrho}O(A^T)$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1395,7 +1451,7 @@ Jelölje $|a|$ az a geometriai vektor hosszát, ${\gamma}(a,b)$ pedig az $a$ és 1) $|a x b| = |a||b|sin{\gamma}(ab)$;\\ 2) $a x b {\perp} a,b$;\\ -3) ha $|a x b| 6= 0$, akkor $a,b,a x b$ jobbrendszert alkot. +3) ha $|a x b| \neq 0$, akkor $a,b,a x b$ jobbrendszert alkot. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1528,7 +1584,7 @@ $(aj - ai)$. Definiáljuk egy mátrix jobb oldali sajátvektorának a fogalmát. \tcblower - Legyen $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ tetszőleges négyzetes mátrix. Egy $x \in \mathbb{R}^n$ vektort az $A$ mátrix jobb oldali sajátvektorának nevezünk, ha: 1) $x 6= 0$; 2) létezik ${\lambda}0 \in \mathbb{R}$ szám, melyre $Ax = {\lambda}0x$. + Legyen $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ tetszőleges négyzetes mátrix. Egy $x \in \mathbb{R}^n$ vektort az $A$ mátrix jobb oldali sajátvektorának nevezünk, ha: 1) $x \neq 0$; 2) létezik ${\lambda}0 \in \mathbb{R}$ szám, melyre $Ax = {\lambda}0x$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1538,7 +1594,7 @@ $(aj - ai)$. \begin{tcolorbox}[title={34}] Definiáljuk egy mátrix jobb oldali sajátértékének a fogalmát. \tcblower - Legyen $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ tetszőleges négyzetes mátrix. Egy ${\lambda}0 \in \mathbb{R}$ számot az $A$ mátrix jobb oldali sajátértékének nevezünk, ha van olyan $x \in \mathbb{R}^n$ vektor, melyre 1) $x 6= 0$; 2) $Ax = {\lambda}0x$. + Legyen $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ tetszőleges négyzetes mátrix. Egy ${\lambda}0 \in \mathbb{R}$ számot az $A$ mátrix jobb oldali sajátértékének nevezünk, ha van olyan $x \in \mathbb{R}^n$ vektor, melyre 1) $x \neq 0$; 2) $Ax = {\lambda}0x$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1632,7 +1688,7 @@ Ha V valós vagy komplex euklideszi tér, akkor tetszőleges $x,y \in V$ vektoro Definiáljuk egy $V$ euklideszi tér ortonormált bázisának a fogalmát. \tcblower -Az $e1,...,en \in V$ vektorokbólállórendszertortonormáltbázisnaknevezzüka $V$ euklideszi térben, ha: 1) bázist alkotnak $V$ -ben; 2) az $ei$ vektorok páronként merőlegesek, azaz $i 6= j$ esetén $hei,eji = 0$; és 3) a vektorok normáltak, azaz $keik = 1 minden 1 \leq i \leq n$-re. +Az $e1,...,en \in V$ vektorokbólállórendszertortonormáltbázisnaknevezzüka $V$ euklideszi térben, ha: 1) bázist alkotnak $V$ -ben; 2) az $ei$ vektorok páronként merőlegesek, azaz $i \neq j$ esetén $hei,eji = 0$; és 3) a vektorok normáltak, azaz $keik = 1 minden 1 \leq i \leq n$-re. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1642,7 +1698,7 @@ Az $e1,...,en \in V$ vektorokbólállórendszertortonormáltbázisnaknevezzüka Mondjuk ki a valós szimmetrikus mátrixokra vonatkozó spektráltételt (azaz főtengelytételt). \tcblower -Egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix esetén pontosan akkor létezik A sajátvektoraiból álló ortonormált bázis $\mathbb{R}^n$-ben (azaz $A$ pontosan akkor diagonalizálható $\mathbb{R}$ felett ortonormált bázisban), ha az $A$ mátrix szimmetrikus (azaz $AT = A$). (Ilyenkor az $A$ sajátértékei mind valósak.) +Egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix esetén pontosan akkor létezik A sajátvektoraiból álló ortonormált bázis $\mathbb{R}^n$-ben (azaz $A$ pontosan akkor diagonalizálható $\mathbb{R}$ felett ortonormált bázisban), ha az $A$ mátrix szimmetrikus (azaz $A^T = A$). (Ilyenkor az $A$ sajátértékei mind valósak.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1661,7 +1717,7 @@ Az $A$-hoz tartozó kvadratikus alak az a $Q : \mathbb{R}^n {\rightarrow} \mathb Mondjuk meg, mit jelent az, hogy az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ szimmetrikus mátrixhoz tartozó Q kvadratikus alak pozitív definit, és jellemezzük ezt az esetet az $A$ sajátértékei segítségével. \tcblower -Q-t akkor nevezzük pozitív definitnek, ha minden $0 6= x \in \mathbb{R}^n$ vektorra $Q(x) > 0$. Ez pontosan akkor teljesül, ha az $A$ mátrix minden sajátértéke pozitív. +Q-t akkor nevezzük pozitív definitnek, ha minden $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ vektorra $Q(x) > 0$. Ez pontosan akkor teljesül, ha az $A$ mátrix minden sajátértéke pozitív. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1671,7 +1727,7 @@ Q-t akkor nevezzük pozitív definitnek, ha minden $0 6= x \in \mathbb{R}^n$ vek Mondjuk meg, mit jelent az, hogy az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ szimmetrikus mátrixhoz tartozó Q kvadratikus alak negatív definit, és jellemezzük ezt az esetet az A karakterisztikus sorozata segítségével. \tcblower -Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 6= x \in \mathbb{R}^n$ vektorra $Q(x) < 0$. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A karakterisztikus sorozata jelváltó. (Az A mátrix ${\Delta}o,...,{\Delta}n$ karakterisztikus sorozatának k-adik tagja az A bal fölső sarkában lévő $k x k$-as részmátrix determinánsa, illetve ${\Delta}o = 1$.) +Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ vektorra $Q(x) < 0$. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A karakterisztikus sorozata jelváltó. (Az A mátrix ${\Delta}o,...,{\Delta}n$ karakterisztikus sorozatának k-adik tagja az A bal fölső sarkában lévő $k x k$-as részmátrix determinánsa, illetve ${\Delta}o = 1$.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1691,15 +1747,15 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 6= x \in \mathbb{R}^n$ vek Mondjuk ki a $b_1,...,bk$ vektorok lineáris függetlenségének definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy ha $B = \{b_1,...,bk\}$ lineárisan független vektorrendszer, akkor minden lineáris kombinációjukként felírható vektor egyértelműen írható föl B-beli vektorok lineáris kombinációjaként. \tcblower - A $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort.\\ + A $v_1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort.\\ - Képletben: tetszőleges ${\lambda}1,{\lambda}2,...,{\lambda}k \in R$ esetén, ha ${\lambda}1v1 + {\lambda}2v2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}kvk = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}i = 0$.\\ + Képletben: tetszőleges ${\lambda}_1,{\lambda}_2,...,{\lambda}_k \in R$ esetén, ha ${\lambda}_1v_1 + {\lambda}_2v_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}_kvk = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}_i = 0$.\\ - Ha lenne egy vektor, melynek kétféle fölírása is létezne: $u = Pk i=1 {\lambda}ibi = Pk i=1 {\mu}ibi$, akkor a kétféle előállítást egymásból kivonva azt kapjuk, hogy\\ + Ha lenne egy vektor, melynek kétféle fölírása is létezne: $u = Pk i=1 {\lambda}_ibi = Pk i=1 {\mu}ibi$, akkor a kétféle előállítást egymásból kivonva azt kapjuk, hogy\\ - $0 = Pk i=1({\lambda}i -{\mu}i)bi$.\\ + $0 = Pk i=1({\lambda}_i -{\mu}i)bi$.\\ - Ha a két előállítás különbözik, akkor valamelyik $({\lambda}i-{\mu}i)$ együttható nem nulla, s ez ellentmond a $B$ lineáris függetlenségének. + Ha a két előállítás különbözik, akkor valamelyik $({\lambda}_i-{\mu}i)$ együttható nem nulla, s ez ellentmond a $B$ lineáris függetlenségének. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1714,18 +1770,18 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 6= x \in \mathbb{R}^n$ vek Mondjuk ki azt az állítást, mely ezeket a fogalmakat összekapcsolja, és bizonyítsuk is be az állítást. \tcblower - Ha $k \geq 2$, akkor a $v1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan $i$, hogy $vi$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól (azaz előáll mint a $v1,...,vi-1,vi+1,...,vk$ vektorok lineáris kombinációja).\\ + Ha $k \geq 2$, akkor a $v_1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan $i$, hogy $vi$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól (azaz előáll mint a $v_1,...,vi-1,vi+1,...,vk$ vektorok lineáris kombinációja).\\ \mmedskip Tegyük föl először, hogy a megadott vektorrendszer lineárisan összefüggő.\\ - Ez azt jelenti, hogy a nullvektornak van egy olyan $Pk i=1 {\lambda}ivi = 0$ előállítása, melynél valamelyik ${\lambda}i$ együttható (pl. a ${\lambda}i0$) nem $0$.\\ + Ez azt jelenti, hogy a nullvektornak van egy olyan $Pk i=1 {\lambda}_ivi = 0$ előállítása, melynél valamelyik ${\lambda}_i$ együttható (pl. a ${\lambda}_i0$) nem $0$.\\ - Ekkor a $vi0$ kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, hiszen $vi0 = -(1/{\lambda}i0)Pj6=io {\lambda}jvj$.\\ + Ekkor a $vi0$ kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, hiszen $vi0 = -(1/{\lambda}_i0)Pj \neq io {\lambda}_jvj$.\\ \mmedskip - A fordított irányhoz tegyük föl, hogy $vi0$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól, azaz $vi0 = Pj6=i0 {\mu}jvj$ valamilyen ${\mu}j$ együtthatókra.\\ + A fordított irányhoz tegyük föl, hogy $vi0$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól, azaz $vi0 = Pj \neq i0 {\mu}jvj$ valamilyen ${\mu}j$ együtthatókra.\\ - De ekkor átrendezhetjük a fönti egyenlőséget úgy, hogy minden vektor az egyenlőség azonos oldalára kerüljön, s ekkor azt kapjuk, hogy a ${\mu}i0 = -1$ választással: $Pk i=1 {\mu}ivi = 0$. Ez nem triviális lineáris kombinációja a $vi$ vektoroknak, mert ${\mu}i0 = -1 6= 0$, tehát a vektorrendszer lineárisan összefüggő. + De ekkor átrendezhetjük a fönti egyenlőséget úgy, hogy minden vektor az egyenlőség azonos oldalára kerüljön, s ekkor azt kapjuk, hogy a ${\mu}i0 = -1$ választással: $Pk i=1 {\mu}ivi = 0$. Ez nem triviális lineáris kombinációja a $vi$ vektoroknak, mert ${\mu}i0 = -1 \neq 0$, tehát a vektorrendszer lineárisan összefüggő. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1736,9 +1792,9 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 6= x \in \mathbb{R}^n$ vek \tcblower Ha egy lineárisan független $a_1,...,ak$ vektorrendszerhez hozzávéve a $b$ vektort, a kapott $a_1,...,ak,b$ vektorrendszer már összefüggő, akkor $b$ lineárisan függ az $a_1,...,ak$ vektoroktól (azaz előállítható lineáris kombinációjukként).\\ - A feltétel szerint ugyanis léteznek olyan ${\lambda}1,...,{\lambda}k,{\mu}$ együtthatók, melyek közül legalább az egyik nem nulla, és melyekre $(Pk i=1 {\lambda}iai) + {\mu}b = 0$. Itt azonban ${\mu}$ nem lehet nulla, ellenkező esetben az $ai$ vektorok már önmagukban is előálítanák a nullvektort nem triviális módon, ez pedig ellentmond a lineáris függetlenségüknek.\\ + A feltétel szerint ugyanis léteznek olyan ${\lambda}_1,...,{\lambda}_k,{\mu}$ együtthatók, melyek közül legalább az egyik nem nulla, és melyekre $(Pk i=1 {\lambda}_iai) + {\mu}b = 0$. Itt azonban ${\mu}$ nem lehet nulla, ellenkező esetben az $ai$ vektorok már önmagukban is előálítanák a nullvektort nem triviális módon, ez pedig ellentmond a lineáris függetlenségüknek.\\ - Ha átrendezzük az előbbi egyenlőséget úgy, hogy a $b$ vektort hagyjuk az egyik oldalon, akkor ${\mu}$-vel osztva $b = Pk i=1(-{\lambda}i/{\mu})ai$, ami azt mutatja, hogy $b$ lineárisan függ az $ai$ vektoroktól. + Ha átrendezzük az előbbi egyenlőséget úgy, hogy a $b$ vektort hagyjuk az egyik oldalon, akkor ${\mu}$-vel osztva $b = Pk i=1(-{\lambda}_i/{\mu})ai$, ami azt mutatja, hogy $b$ lineárisan függ az $ai$ vektoroktól. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1771,7 +1827,7 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 6= x \in \mathbb{R}^n$ vek A szorzatmátrixban az $i$-edik sor $j$-edik eleme a szorzás definíciója szerint $i[AIn]j = Pn t=1(ait{\delta}tj)$.\\ - Ebben az összegben ${\delta}tj = 0$ ha $t 6= j$, ezért csak az egyetlen $aij{\delta}jj = aij$ tag marad meg. + Ebben az összegben ${\delta}tj = 0$ ha $t \neq j$, ezért csak az egyetlen $aij{\delta}jj = aij$ tag marad meg. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1780,7 +1836,7 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 6= x \in \mathbb{R}^n$ vek \begin{tcolorbox}[title={8. (4p)}] Mondjuk ki és bizonyítsuk be a mátrixok szorzatának transzponáltjára kimondott összefüggést. \tcblower - Ha $A \in Rkxl$ és $B \in Rlxn$, akkor $(AB)T = BTAT$. A szorzat transzponáltjának általános eleme ugyanis: $i[(AB)T]j = j[AB]i = Pl t=1 j[A]t \cdot t[B]i = Pl t=1 i[BT]t \cdot t[AT]j = i[BTAT]j$. + Ha $A \in Rkxl$ és $B \in Rlxn$, akkor $(AB)T = B^TA^T$. A szorzat transzponáltjának általános eleme ugyanis: $i[(AB)T]j = j[AB]i = Pl t=1 j[A]t \cdot t[B]i = Pl t=1 i[B^T]t \cdot t[A^T]j = i[B^TA^T]j$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1788,9 +1844,9 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 6= x \in \mathbb{R}^n$ vek \begin{tcolorbox}[title={15. (4p)}] Definiáljuk egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix jobb oldali sajátértékének fogalmát, majd igazoljuk, hogy az $A$ mátrix ${\lambda}$ sajátértékű (jobb oldali) sajátvektorai a nullvektorral kiegészítve alteret alkotnak $\mathbb{R}^n$-ben. \tcblower - ${\lambda} \in R$ jobb oldali sajátértéke $A$-nak, ha van olyan $0 6= v \in \mathbb{R}^n$ vektor, melyre $Av = {\lambda}v$. (Ilyenkor $v$-t a ${\lambda}$-hoz tartozó (egyik) sajátvektornak nevezhetjük.)\\ + ${\lambda} \in R$ jobb oldali sajátértéke $A$-nak, ha van olyan $0 \neq v \in \mathbb{R}^n$ vektor, melyre $Av = {\lambda}v$. (Ilyenkor $v$-t a ${\lambda}$-hoz tartozó (egyik) sajátvektornak nevezhetjük.)\\ - Azt kell igazolnunk, hogy $W{\lambda} = {v \in \mathbb{R}^n |Av = {\lambda}v} \leq \mathbb{R}^n$. Nyilván $0 \in W{\lambda}$, így $W{\lambda}$ nem üres. Ha $v1,v2 \in W{\lambda}$, akkor $A(v1 +v2) = Av1 +Av2 = {\lambda}v1 +{\lambda}v2 = {\lambda}(v1 +v2)$, azaz $W{\lambda}$ zárt az összeadásra. Végül, ha $v \in W{\lambda}$ és ${\mu} \in R$, akkor $A({\mu}v) = {\mu}Av = {\mu}({\lambda}v) = {\lambda}({\mu}v)$, vagyis $W{\lambda}$ zárt a skalárral való szorzásra is. + Azt kell igazolnunk, hogy $W{\lambda} = {v \in \mathbb{R}^n |Av = {\lambda}v} \leq \mathbb{R}^n$. Nyilván $0 \in W{\lambda}$, így $W{\lambda}$ nem üres. Ha $v_1,v_2 \in W{\lambda}$, akkor $A(v_1 +v_2) = Av_1 +Av_2 = {\lambda}v_1 +{\lambda}v_2 = {\lambda}(v_1 +v_2)$, azaz $W{\lambda}$ zárt az összeadásra. Végül, ha $v \in W{\lambda}$ és ${\mu} \in R$, akkor $A({\mu}v) = {\mu}Av = {\mu}({\lambda}v) = {\lambda}({\mu}v)$, vagyis $W{\lambda}$ zárt a skalárral való szorzásra is. \end{tcolorbox} \end{frame} From 94d186f4aad9a2af789434344d60742264798680 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Wed, 6 Jun 2018 17:17:48 +0200 Subject: [PATCH 08/10] Finished both the A and the B parts. --- .../Document.tex | 561 +++++++++++++----- 1 file changed, 405 insertions(+), 156 deletions(-) diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex index bd56bfc..a987840 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex @@ -539,7 +539,6 @@ A feladathoz jó arra emlékezni, hogy ha egy U altér egy generátorrendszeréb \end{frame} - \begin{frame}[plain] \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] {\RHuge (4) Bázis megadása, dimenzió} @@ -547,14 +546,15 @@ A feladathoz jó arra emlékezni, hogy ha egy U altér egy generátorrendszeréb \end{tcolorbox} \end{frame} + \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/1. {\symknight}}] Álljon az $U$ altér az $\mathbb{R}^3$ azon $v$ vektoraiból, ahol a második és a harmadik komponens egyenlő. Adjunk meg egy bázist $U$-ban. \tcblower - + Az feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani.\\ \mmedskip - Pl. $[1 0 0]^T$, $[0 1 1]^T$ + Pl. $[1 \; 0 \; 0]^T$, $[0 \; 1 \; 1]^T$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -563,7 +563,7 @@ A feladathoz jó arra emlékezni, hogy ha egy U altér egy generátorrendszeréb \begin{tcolorbox}[title={4/2. {\symknight}}] Legyen $\{b_1,b_2,b_3\}$ bázis egy $U$ altérben. Hány dimenziós alteret generál $\{b_1 + b_2,b_2,b_1 -b_2\}$? \tcblower - + A feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában $\{b_1 + b_2,b_2\}$ ilyen. De bázist alkot ebben az altérben $\{b_1,b_2\}$ is, hiszen $b_1 = (b_1 + b_2) - b_2$ is eleme az altérnek.\\ \mmedskip Az altér dimenziója: 2 @@ -575,7 +575,7 @@ A feladathoz jó arra emlékezni, hogy ha egy U altér egy generátorrendszeréb \begin{tcolorbox}[title={4/3. {\symrook}}] Hány dimenziós azon $\mathbb{R}^n$-beli vektoroknak az altere, melyekben a komponensek összege $0$? \tcblower - + A feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának $y = 0$ speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti $\mathbb{R}^n$ dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első $n-1$ komponens egyike 1, az utolsó komponens-1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.)\\ \mmedskip A dimenzió: $n-1$ @@ -587,7 +587,7 @@ A feladathoz jó arra emlékezni, hogy ha egy U altér egy generátorrendszeréb \begin{tcolorbox}[title={4/4. {\symrook}}] Hány dimenziós azon $\mathbb{R}^n$-beli vektoroknak az altere, melyekben a komponensek négyzetösszege $0$? \tcblower - + A feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret.\\ \mmedskip A dimenzió: $0$ @@ -597,9 +597,9 @@ A feladathoz jó arra emlékezni, hogy ha egy U altér egy generátorrendszeréb \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/5. {\symqueen}}] - Hány dimenziós alteret alkotnak $\mathbb{R}^3x_3$-ban azok az A mátrixok, amelyekre teljesül, hogy $A^T = -A$? + Hány dimenziós alteret alkotnak $\mathbb{R}^{3 x 3}$-ban azok az A mátrixok, amelyekre teljesül, hogy $A^T = -A$? \tcblower - + Az feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.)\\ \mmedskip A dimenzió: $3$ @@ -609,9 +609,9 @@ A feladathoz jó arra emlékezni, hogy ha egy U altér egy generátorrendszeréb \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/6. {\symrook}}] - Hány négydimenziós altér van $\mathbb{R}^4$-ben mint $R$ fölötti vektortérben? + Hány négydimenziós altér van $\mathbb{R}^4$-ben mint $\mathbb{R}$ fölötti vektortérben? \tcblower - + A feladatban azt kell tudni, hogy $\mathbb{R}^n$ egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint $\mathbb{R}^n$-é.\\ \mmedskip Alterek száma: $1$ @@ -621,9 +621,9 @@ A feladathoz jó arra emlékezni, hogy ha egy U altér egy generátorrendszeréb \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={4/7. {\symqueen}}] - Hány olyan altér van $\mathbb{R}^{2 x 2}$-ben mint $R$ fölötti vektortérben, mely tartalmazza az összes $2 x 2$-es szimmetrikus mátrixot? + Hány olyan altér van $\mathbb{R}^{2 x 2}$-ben mint $\mathbb{R}$ fölötti vektortérben, mely tartalmazza az összes $2 x 2$-es szimmetrikus mátrixot? \tcblower - + A feladat hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a $2x_2$-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a $\mathbb{R}^{2 x 2}$ téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér.\\ \mmedskip Alterek száma: $2$ @@ -631,14 +631,6 @@ A feladathoz jó arra emlékezni, hogy ha egy U altér egy generátorrendszeréb \end{frame} -\begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={4/7. {\symqueen}}] -Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineáris kombinációra bontani. A második feladat kapcsolódik a rang fogalmához is: a generált altér dimenziójának kiszámításához maximális független rendszert kell keresni a generátorok között (azaz olyat, amiből a többi generátor már kifejezhető). Az adott példában $\{b_1 + b_2,b_2\}$ ilyen. De bázist alkot ebben az altérben $\{b_1,b_2\}$ is, hiszen $b_1 = (b_1 + b_2) - b_2$ is eleme az altérnek. A harmadik feladatra (ez a 4. gyakorlat 7/g feladatának $y = 0$ speciális esete) gondolhatunk úgy, hogy egy homogén lineáris összefüggésünk van: az, hogy az elemek összege nulla, és ez eggyel csökkenti $\mathbb{R}^n$ dimenzióját. (Valójában egy homogén lineáris egyenletrendszer szabad változóit számoltuk meg. Bázist alkotnak azok a vektorok, melyekben az első $n-1$ komponens egyike 1, az utolsó komponens-1, a többi komponens pedig 0, de ezt megadni Q szintű feladat lenne az általános n miatt. Próbálkozhatunk a triviális bázis elemeinek „utánzásával”, de ellenőrizni kell a függetlenséget.) A negyedik feladat mutatja, mennyire gondosnak kell lennünk az előző feladat megoldási elvének alkalmazásakor. Ha ugyanis a komponensek közötti összefüggés nem lineáris, akkor egész más lehet az eredmény: itt csak a nullvektor van benne az altérben. Sőt, nem lináris összefüggéssel megadott vektorok általában nem is alkotnak alteret. Az ötödik feladat is hasonló jellegű, csak itt sokkal több homogén lineáris összefüggés van a komponensek között. Az ilyen mátrixokban a főátló minden eleme 0, a főátlóra szimmetrikus elemek pedig egymás ellentettjei. Ezért pl. a főátló fölötti elemeket szabad változónak tekintve a mátrix elemei már egyértelműen meg vannak határozva, ezért a dimenzió a szabadon választható mátrixelemek száma, azaz 3. (Itt is érdemes gyakorlásul egy bázist fölírni.) A hatodik feladatban azt kell tudni, hogy $\mathbb{R}^n$ egy valódi alterének dimenziója határozottan kisebb, mint $\mathbb{R}^n$-é. A hetedik feladat is hasonló jellegű, először azt kell észrevenni, hogy a $2x_2$-es szimmetrikus mátrixok terének a dimenziója mindössze 1-gyel kisebb, mint a $\mathbb{R}^{2 x 2}$ téré, így a szimmetrikus mátrixok altere és az egész tér között nincs más altér. - \end{tcolorbox} -\end{frame} - - - \begin{frame}[plain] \begin{tcolorbox}[center, colback={myyellow}, coltext={black}, colframe={myyellow}] {\RHuge (5) Lineáris egyenletrendszerek, megoldásszámuk} @@ -653,8 +645,8 @@ Az első feladatban föl kell írni az altér egy általános elemét és lineá \mmedskip - Pl.: -$x + y + z = 2$ + Pl.:\\ +$x + y + z = 2$\\ $x + y + z = 3$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -667,9 +659,9 @@ $x + y + z = 3$ \mmedskip - Pl.: -$x + y = 1$ -$2x + 2y = 2$ + Pl.:\\ +$x + y = 1$\\ +$2x + 2y = 2$\\ $3x + 3y = 3$ \end{tcolorbox} @@ -689,8 +681,17 @@ $3x + 3y = 3$ \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={5/3. {\symknight}}] -Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés van: ha több ismeretlen van, mint egyenlet, akkor nem lehet egyértelmű a megoldás (erre kérdez rá a harmadik feladat). Vagyis ha az egyenletrendszerben nincs elég egyenlet – nem tudunk eleget az ismeretlenekről –, akkor ugyan lehet ellentmondásos (ehhez már két egyenlet is elég, mint az első feladatban, sőt az egyetlen $0 \cdot x + 0 \cdot y = 1$ egyenlet is), de ha nem ellentmondásos, azaz van megoldás, akkor biztosan egynél több megoldás van. Valós és komplex együtthatós egyenletrendszerek esetében ilyenkor a megoldások száma végtelen. Az egyenletek számát szaporíthatjuk úgy, hogy a megoldások halmaza ne változzon: ehhez a rendszerbe már bent lévő egyenletek lineáris kombinációját kell bevenni (mint a második feladatban). Fontos, hogy homogén lineáris egyenletrendszernek – amikor az egyenletek jobb oldalán mindenütt 0 áll – mindig van megoldása: a triviális megoldás, amikor minden ismeretlen értéke nulla. + \begin{tcolorbox}[title={Megoldás {\symking}}] +Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés van: ha több ismeretlen van, mint egyenlet, akkor nem lehet egyértelmű a megoldás (erre kérdez rá a harmadik feladat).\\ +\mmedskip + +Vagyis ha az egyenletrendszerben nincs elég egyenlet – nem tudunk eleget az ismeretlenekről –, akkor ugyan lehet ellentmondásos (ehhez már két egyenlet is elég, mint az első feladatban, sőt az egyetlen $0 \cdot x + 0 \cdot y = 1$ egyenlet is), de ha nem ellentmondásos, azaz van megoldás, akkor biztosan egynél több megoldás van.\\ +\mmedskip + +Valós és komplex együtthatós egyenletrendszerek esetében ilyenkor a megoldások száma végtelen.\\ +\mmedskip + +Az egyenletek számát szaporíthatjuk úgy, hogy a megoldások halmaza ne változzon: ehhez a rendszerbe már bent lévő egyenletek lineáris kombinációját kell bevenni (mint a második feladatban). Fontos, hogy homogén lineáris egyenletrendszernek – amikor az egyenletek jobb oldalán mindenütt 0 áll – mindig van megoldása: a triviális megoldás, amikor minden ismeretlen értéke nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -705,32 +706,38 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/1. {\symknight}}] - Legyen $A \in Rkxl$, $B \in Rpxr$ és $C \in Rtxu$. Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy értelmes legyen az $AB^T + C$ mátrixkifejezés. + Legyen $A \in \mathbb{R}^{k \; x \; l}$, $B \in \mathbb{R}^{p \; x \; r}$ és $C \in \mathbb{R}^{t \; x \; u}$. Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy értelmes legyen az $AB^T + C$ mátrixkifejezés. \tcblower - - \mmedskip - - $l = r, k = t, p = u$ + $l = r, \; k = t, \; p = u$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/2. {\symknight}}] - Legyen A =. Adjunk meg egy olyan $2x_2$-es, egész elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrixot, amelyre igaz, hogy $AB = 0$. + Legyen $A =$ $\begin{bmatrix} + 1 & 1 \\ + 1 & 1 \\ + \end{bmatrix}$. Adjunk meg egy olyan $2 x 2$-es, egész elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrixot, amelyre igaz, hogy $AB = 0$. \tcblower \mmedskip - Pl. B = + Pl. $B =$ $\begin{bmatrix} + 1 & 1 \\ + -1 & -1 \\ + \end{bmatrix}$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/3. {\symknight}}] - Legyen $A = .$ Mely $c \in R$ számokra van olyan $2x_2$-es, valós elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrix, amelyre igaz, hogy $AB = 0$? + Legyen $A =$ $\begin{bmatrix} + 1 & 3 \\ + 3 & c \\ + \end{bmatrix}$ Mely $c \in \mathbb{R}$ számokra van olyan $2 x 2$-es, valós elemű, a nullmátrixtól különböző $B$ mátrix, amelyre igaz, hogy $AB = 0$? \tcblower \mmedskip @@ -742,43 +749,52 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/4. {\symknight}}] - Adjunk meg egy olyan $2x2$-es egész elemű, a nullmátrixtól különböző A mátrixot, amelyre igaz, hogy van olyan $0 \neq B \in \mathbb{R}^{2 x 2}$, melyre $AB = 0$. + Adjunk meg egy olyan $2 x 2$-es egész elemű, a nullmátrixtól különböző A mátrixot, amelyre igaz, hogy van olyan $0 \neq B \in \mathbb{R}^{2 x 2}$, melyre $AB = 0$. \tcblower \mmedskip - Pl. A = + Pl. A = $\begin{bmatrix} + 1 & 1 \\ + 1 & 1 \\ + \end{bmatrix}$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/5. {\symknight}}] - Adjuk meg az A = mátrix inverzét. + Adjuk meg az $A =$ $\begin{bmatrix} + 1 & 2 \\ + 4 & 3 \\ + \end{bmatrix}$ mátrix inverzét. \tcblower \mmedskip - + $\begin{bmatrix} + -{\frac{3}{5}} & {\frac{2}{5}} \\ + -{\frac{4}{5}} & -{\frac{1}{5}} \\ + \end{bmatrix}$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/6. {\symknight}}] - Adjuk meg az $A = [1 2 3]$ sormátrix egy jobb oldali inverzét. + Adjuk meg az $A = [1 \; 2 \; 3]$ sormátrix egy jobb oldali inverzét. \tcblower \mmedskip - Pl.: $[1 0 0]^T$ + Pl.: $[1 \; 0 \; 0]^T$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={6/7. {\symknight}}] - Hány olyan jobb oldali inverze van az $A = [1 1 1]$ sormátrixnak, melyben minden elem egyenlő? + Hány olyan jobb oldali inverze van az $A = [1 \; 1 \; 1]$ sormátrixnak, melyben minden elem egyenlő? \tcblower \mmedskip @@ -792,7 +808,24 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{tcolorbox}[title={6/8. {\symqueen}}] Az alábbi mátrixok közül melyeknek nem lehet jobb oldali inverze a valós paraméterek semmilyen választására sem (azonos betűk azonos számokat jelölnek)? - + (A) $\begin{bmatrix} + a & b & c \\ + a & b & c \\ + \end{bmatrix}$\\ + (B) $\begin{bmatrix} + a & b & b \\ + c & d & d \\ + \end{bmatrix}$\\ + (C) $\begin{bmatrix} + a & b \\ + c & d \\ + e & f \\ + \end{bmatrix}$\\ + (D) $\begin{bmatrix} + 1 & 2 & 3 \\ + 4 & 5 & 6 \\ + 7 & 8 & a + \end{bmatrix}$ \tcblower \mmedskip @@ -803,8 +836,30 @@ Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={6/8. {\symqueen}}] -Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összeadása, szorzása, illetve mik a transzponált mátrix méretei. Két mátrix szorzatának oszlopaiban a bal oldali mátrix oszlopainak lineáris kombinációi állnak. Ezért az $AB = 0$ akkor tud teljesülni nem nulla B mátrixszal, ha A oszlopai lineárisan öszefüggenek. Speciálisan ha A négyzetes mátrix, akkor ez azzal ekvivalens, hogy A determinánsa nulla. Ezzel a tétellel könnyű megválaszolni a harmadik feladatot, illetve keresni megfelelő mátrixot a negyedik feladatban. Kétszer kettes mátrix esetében érdemes megjegyezni az inverz képletét: inverz akkor létezik, ha a mátrix d determinánsa nem nulla, és ekkor az inverz mátrixot úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrixban a főátló két elemét kicseréljük, a mellékátló elemeit ellentettjükre változtatjuk, végül a mátrix minden elemét elosztjuk d-vel (így kaptuk az ötödik feladat eredményét). Nem feltétlenül négyzetes mátrixra is érvényes, hogy pontosan akkor van jobb oldali inverze, ha rangja megegyezik a sorainak a számával, azaz ha a sorai lineárisan függetlenek. Erre a tételre a hatodik és a hetedik feladat megoldásában nincs szükség, mert azok megoldása közvetlen számolás (a hetedik feladatban az egyetlen megfelelő vektor $[1/3 1/3 1/3]^T$). A nyolcadik feladatban viszont ezt a tételt alkalmazzuk. Az (A) rész két sora nyilván összefügg, a (C) esetében ez azért igaz, mert $\mathbb{R}^2$ dimenziója 2, és így bármely három vektor összefüggő. A (B)-ben például az a = d = 1 és $b = c = 0$ két független vektort ad, a (D) esetben meg a három sor független lesz ha a $\neq 9$, hiszen ekkor a determináns értéke nem nulla. + \begin{tcolorbox}[title={Megoldások {\symking}}] +Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összeadása, szorzása, illetve mik a transzponált mátrix méretei. Két mátrix szorzatának oszlopaiban a bal oldali mátrix oszlopainak lineáris kombinációi állnak. Ezért az $AB = 0$ akkor tud teljesülni nem nulla B mátrixszal, ha A oszlopai lineárisan öszefüggenek.\\ +\mmedskip + +Speciálisan ha A négyzetes mátrix, akkor ez azzal ekvivalens, hogy A determinánsa nulla.\\ +\mmedskip + +Ezzel a tétellel könnyű megválaszolni a harmadik feladatot, illetve keresni megfelelő mátrixot a negyedik feladatban. \\ +\mmedskip + +Kétszer kettes mátrix esetében érdemes megjegyezni az inverz képletét: inverz akkor létezik, ha a mátrix d determinánsa nem nulla, és ekkor az inverz mátrixot úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrixban a főátló két elemét kicseréljük, a mellékátló elemeit ellentettjükre változtatjuk, végül a mátrix minden elemét elosztjuk d-vel (így kaptuk az ötödik feladat eredményét).\\ +\mmedskip + +Nem feltétlenül négyzetes mátrixra is érvényes, hogy pontosan akkor van jobb oldali inverze, ha rangja megegyezik a sorainak a számával, azaz ha a sorai lineárisan függetlenek.\\ +\mmedskip + +Erre a tételre a hatodik és a hetedik feladat megoldásában nincs szükség, mert azok megoldása közvetlen számolás (a hetedik feladatban az egyetlen megfelelő vektor $[\frac{1}{3} \; \frac{1}{3} \; \frac{1}{3}]^T$).\\ +\mmedskip + +A nyolcadik feladatban viszont ezt a tételt alkalmazzuk.\\ +Az (A) rész két sora nyilván összefügg.\\ +A (C) esetében ez azért igaz, mert $\mathbb{R}^2$ dimenziója 2, és így bármely három vektor összefüggő.\\ +A (B)-ben például az $a = d = 1$ és $b = c = 0$ két független vektort $ad$.\\ +A0 (D) esetben meg a három sor független lesz ha a $\neq 9$, hiszen ekkor a determináns értéke nem nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -818,7 +873,7 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/1. {\symknight}}] - Az A = $[aij] \in R5x5$ mátrix determinánsának kiszámolásakor mennyi lesz az $a_31a_24a_53a_15a_42$ szorzathoz tartozó permutációban az inverziók száma? + Az A = $[a_{ij}] \in \mathbb{R}^{5 \; x \; 5}$ mátrix determinánsának kiszámolásakor mennyi lesz az $a_{31}a_{24}a_{53}a_{15}a_{42}$ szorzathoz tartozó permutációban az inverziók száma? \tcblower @@ -831,13 +886,12 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/2. {\symrook}}] - Az $A = [aij] \in R5x5$ mátrix determinánsának kiszámolásakor az $a_11a_2ia_33a_45a_5j$ szorzatot $(-1)$-gyel szorozva kellett figyelembe venni. Határozzuk meg i-t és j-t. + Az $A = [a_{ij}] \in \mathbb{R}^{5 \; x \; 5}$ mátrix determinánsának kiszámolásakor az $a_{11}a_{2i}a_{33}a_{45}a_{5j}$ szorzatot $(-1)$-gyel szorozva kellett figyelembe venni. Határozzuk meg $i$-t és $j$-t. \tcblower \mmedskip - $i = j = -2 4$ + $i = j = 2 4$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -866,21 +920,26 @@ Az első feladat arra kérdez rá, hogy mikor végezhető el a mátrixok összea \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/5. {\symknight}}] - Legyenek $A,B,C \in \mathbb{R}^3x_3$ olyan valós mátrixok, melyekre $detA = 2, detB = 3$ és $detC = 4$. Mennyi lesz $2A2C-1B$ determinánsa? + Legyenek $A,B,C \in \mathbb{R}^{3 \; x \; 3}$ olyan valós mátrixok, melyekre $det \; A = 2, det \; B = 3$ és $det \; C = 4$. Mennyi lesz $2A^2C^{-1}B$ determinánsa? \tcblower \mmedskip - $23 \cdot 22 \cdot (1/4) \cdot 3 = 24$ + $2^3 \cdot 2^2 \cdot (1/4) \cdot 3 = 24$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7/6. {\symrook}}] - Legyen A = -, és -tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? - + Legyen $A =$ $\begin{bmatrix} + a & b & c \\ + d & e & f \\ + g & h & i + \end{bmatrix}$ $\in \mathbb{R}^{3 \; x \; 3}$, $B = $ $\begin{bmatrix} + d & a & g + d \\ + e & b & h + e \\ + f & c & h + f + \end{bmatrix}$ és tegyük föl, hogy det A = 5. Mennyi lesz det B? \tcblower \mmedskip @@ -891,9 +950,37 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={7/6. {\symrook}}] - A determináns definíciójában a tagok előjelezését a következőképpen kell kiszámolni. A szorzatot rendezzük át úgy, hogy az aij-k első indexei növekedjenek 1-től n-ig. Ezek után a második indexek által alkotott permutációban számoljuk meg az inverziókat (vagyis azokat a párokat, amelyekben az elöl szereplő szám a nagyobb). Ha ezek száma páros, akkor az előjel +, különben -. Az első feladatban a kapott sorrend 54123. Ha n elemet permutálunk, akkor az inverziók maximális száman 2; ezt a számot az elemek monoton fogyó sorbarendezése produkálja, 0 inverziója pedig csak a természetes, monoton növő sorbarendezésnek van. Két elemet megcserélve, a permutáció paritása (előjele) mindig megváltozik. A második példában i és j csak 2 és 4 lehet valamelyik sorrendben, ezt a két permutációt kell kipróbálni. A harmadik feladatban csak két szomszédos elemet cserélhetünk meg az alapsorrendhez képest. A negyedik feladatban az az ötlet, hogy a 2 után legalább két, 2-nél nagyobb számnak kell lennie, ez két nem-inverziót elront, és így maximum 8 inverzió lehet. Az 52431 sorrend ezt elő is állítja. Az ötödik feladat a determinánsok szorzástételének egyszerű alkalmazása (amiből következik, hogy egy mátrix inverzének a determinánsa az eredeti mátrix determinánsának a reciproka). A hatodik feladatban az eredeti mátrixot transzponáltuk, megcseréltük az első két oszlopot, majd az új első oszlopot adtuk a harmadikhoz. A középső lépésnél a determináns előjelet vált, a másik kettőnél nem változik. - + \begin{tcolorbox}[title={Megoldások {\symking}}] + A determináns definíciójában a tagok előjelezését a következőképpen kell kiszámolni.\\ + \mmedskip + + A szorzatot rendezzük át úgy, hogy az $a_{ij}$-k első indexei növekedjenek 1-től n-ig.\\ + Ezek után a második indexek által alkotott permutációban számoljuk meg az inverziókat (vagyis azokat a párokat, amelyekben az elöl szereplő szám a nagyobb).\\ + \mmedskip + + Ha ezek száma páros, akkor az előjel +, különben -.\\ + \mmedskip + + Az első feladatban a kapott sorrend 54123.\\ + Ha n elemet permutálunk, akkor az inverziók maximális száman 2; ezt a számot az elemek monoton fogyó sorbarendezése produkálja, 0 inverziója pedig csak a természetes, monoton növő sorbarendezésnek van.\\ + \mmedskip + + Két elemet megcserélve, a permutáció paritása (előjele) mindig megváltozik.\\ + \mmedskip + + A második példában i és j csak 2 és 4 lehet valamelyik sorrendben, ezt a két permutációt kell kipróbálni.\\ + \mmedskip + + A harmadik feladatban csak két szomszédos elemet cserélhetünk meg az alapsorrendhez képest.\\ + \mmedskip + + A negyedik feladatban az az ötlet, hogy a 2 után legalább két, 2-nél nagyobb számnak kell lennie, ez két nem-inverziót elront, és így maximum 8 inverzió lehet. Az 52431 sorrend ezt elő is állítja.\\ + \mmedskip + + Az ötödik feladat a determinánsok szorzástételének egyszerű alkalmazása (amiből következik, hogy egy mátrix inverzének a determinánsa az eredeti mátrix determinánsának a reciproka).\\ + \mmedskip + + A hatodik feladatban az eredeti mátrixot transzponáltuk, megcseréltük az első két oszlopot, majd az új első oszlopot adtuk a harmadikhoz. A középső lépésnél a determináns előjelet vált, a másik kettőnél nem változik. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -907,7 +994,11 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/1. {\symknight}}] - Mik az A = $\mathbb{R}^3x_3$ mátrix sajátértékei? + Mik az A = $\begin{bmatrix} + 1 & 2 & 3 \\ + 0 & 4 & 5 \\ + 0 & 0 & 6 + \end{bmatrix}$ $\mathbb{R}^{3 \; x \; 3}$ mátrix sajátértékei? \tcblower @@ -926,27 +1017,37 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \mmedskip - Pl. A = + Pl. A = $\begin{bmatrix} + 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 2 & 0 \\ + 0 & 0 & 3 + \end{bmatrix}$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/3. {\symrook}}] - Írjunk föl egy olyan nem diagonalizálható mátrixot, melynek karakterisztikus polinomja ${\lambda}_2$. + Írjunk föl egy olyan nem diagonalizálható mátrixot, melynek karakterisztikus polinomja ${\lambda}^2$. \tcblower \mmedskip - Pl. $A =$ + Pl. $A =$ $\begin{bmatrix} + 0 & 1 \\ + 0 & 0 \\ + \end{bmatrix}$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/4. {\symqueen}}] - Az $A = \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrix nem diagonalizálható $\mathbb{R}$ fölött. Mik $c$ lehetséges értékei? + Az $A = $ $\begin{bmatrix} + 0 & 1 \\ + c & 0 \\ + \end{bmatrix}$ $ \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrix nem diagonalizálható $\mathbb{R}$ fölött. Mik $c$ lehetséges értékei? \tcblower @@ -960,7 +1061,10 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/5. {\symqueen}}] - Milyen $c \in \mathbb{R}$ valós értékekre lesz az 1 2 0 $c \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrix diagonalizálható? + Milyen $c \in \mathbb{R}$ valós értékekre lesz az $\begin{bmatrix} + 1 & 2 \\ + 0 & c \\ + \end{bmatrix}$ $\in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrix diagonalizálható? \tcblower @@ -973,21 +1077,52 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={8/6. {\symqueen}}] - Az $A =a b c d \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrixra . Mennyi az $a + 1 b c d + 1$ mátrix determinánsa? $det a + 1 b c$ + Az $A =$ $\begin{bmatrix} + a & b \\ + c & d \\ + \end{bmatrix}$ $\in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrixra A = $\begin{bmatrix} + 1 \\ + 2 \\ + \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} + -1 \\ + -2 \\ + \end{bmatrix}$. Mennyi az $\begin{bmatrix} + a + 1 & b \\ + c & d + 1 \\ + \end{bmatrix}$ mátrix determinánsa? \tcblower \mmedskip - det + det $\begin{vmatrix} + a + 1 & b \\ + c & d + 1 \\ + \end{vmatrix}$ = 0 \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={8/6. {\symqueen}}] - Egy mátrix valós sajátértékeit a karakterisztikus polinom valós gyökei adják: a főátló minden eleméből levonunk ${\lambda}$-t és kiszámítjuk a determinánst. Felső háromszögmátrix, speciálisan diagonális mátrix esetén a sajátértékek a főátlóból leolvashatók. A sajátvektorokat minden egyes sajátértékhez egy-egy lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg. A diagonalizálhatóság feltétele az, hogy legyen „elegendő” sajátvektor, azaz a tér dimenziószámával megegyező mennyiségű lineárisan független sajátvektor. A harmadik feladat mátrixa esetében ez nem teljesül, mert a sajátvektorokr 0T alakúak, ahol r $\neq 0$ (azaz a 0-hoz tartozó sajátaltér egydimenziós). Gyakran használt elégséges feltétel, hogy egy nxn-es mátrix diagonalizálható $\mathbb{R}$ fölött, ha n különböző valós sajátértéke van. A negyedik feladat mátrixának karakterisztikus polinomja ${\lambda}_2$-c. Ennek c > 0-ra két különböző valós gyöke van, tehát ilyenkor a mátrix diagonalizálható; $c < 0$-ra nincs valós gyök, ezért $\mathbb{R}$ fölött nem diagonalizálhatjuk a mátrixot; végül c = 0-ra a megoldást a harmadik feladat adja. Hasonló érvelés adható az ötödik feladatnál is. A hatodik feladat feltétele azt mutatja, hogy a -1 sajátértéke a mátrixnak, ha tehát -1-et levonunk a főátló minden eleméből, épp az $A-(-1)I2$ mátrixot kapjuk, aminek a determinánsa 0, hiszen -1 gyöke a karakterisztikus polinomnak. - + \begin{tcolorbox}[title={Megoldások {\symking}}] + Egy mátrix valós sajátértékeit a karakterisztikus polinom valós gyökei adják: a főátló minden eleméből levonunk ${\lambda}$-t és kiszámítjuk a determinánst.\\ + \mmedskip + + Felső háromszögmátrix, speciálisan diagonális mátrix esetén a sajátértékek a főátlóból leolvashatók.\\ + \mmedskip + + A sajátvektorokat minden egyes sajátértékhez egy-egy lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg.\\ + A diagonalizálhatóság feltétele az, hogy legyen „elegendő” sajátvektor, azaz a tér dimenziószámával megegyező mennyiségű lineárisan független sajátvektor.\\ + \mmedskip + + A harmadik feladat mátrixa esetében ez nem teljesül, mert a sajátvektorokr $[r \; 0]^T$ alakúak, ahol r $\neq 0$ (azaz a 0-hoz tartozó sajátaltér egydimenziós).\\ + Gyakran használt elégséges feltétel, hogy egy nxn-es mátrix diagonalizálható $\mathbb{R}$ fölött, ha n különböző valós sajátértéke van.\\ + \mmedskip + + A negyedik feladat mátrixának karakterisztikus polinomja ${\lambda}^2$-c. Ennek c > 0-ra két különböző valós gyöke van, tehát ilyenkor a mátrix diagonalizálható; $c < 0$-ra nincs valós gyök, ezért $\mathbb{R}$ fölött nem diagonalizálhatjuk a mátrixot; végül c = 0-ra a megoldást a harmadik feladat adja.\\ + \mmedskip + + Hasonló érvelés adható az ötödik feladatnál is. A hatodik feladat feltétele azt mutatja, hogy a -1 sajátértéke a mátrixnak, ha tehát -1-et levonunk a főátló minden eleméből, épp az $A-(-1)I_2$ mátrixot kapjuk, aminek a determinánsa 0, hiszen -1 gyöke a karakterisztikus polinomnak. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1008,7 +1143,10 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \mmedskip - $[{\varphi}]i,j;i,j = 0 -1 1 0$ + $[{\varphi}]^{i,j;i,j} =$ $\begin{bmatrix} + 0 & -1 \\ + 1 & 0 \\ + \end{bmatrix}$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1021,7 +1159,11 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \mmedskip - $[{\varphi}]j,k,i;j,k,i =$ + $[{\varphi}]^{j,k,i;j,k,i} = $ $\begin{bmatrix} + 1 & 0 & 0 \\ + 0 & -1 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 \\ + \end{bmatrix}$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1041,7 +1183,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={9/4. {\symrook}}] - Az $\mathbb{R}^2 egy {\varphi}$ lineáris transzformációjára ${\varphi}(i) = 2i és {\varphi}(j) = i + 3j$. Mik ${\varphi}$ sajátértékei? + Az $\mathbb{R}^2 egy {\varphi}$ lineáris transzformációjára ${\varphi}(i) = 2i$ és ${\varphi}(j) = i + 3j$. Mik ${\varphi}$ sajátértékei? \tcblower @@ -1053,9 +1195,22 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={9/4. {\symrook}}] - Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix. Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba. Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből $(A' = S-1AS)$. Az ötödik feladatban a képletre nincs szükség: az első bázisvektor, $b_1$ kétszeresének a képe szintén önmaga, azaz $2b_1$, s így az új mátrix első oszlopában az első koordináta $1$, a többi meg $0$. Ugyanakkor a $b_2$ és $b_3$ képében fele annyit kell „vennünk” $2b_1$-ből, mint $b_1$-ből, tehát az első sor második és harmadik eleme a felére csökken. Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit. Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban $2 1 0 3$ . Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a $-1$. A hatodik és a hetedik feladatban felírhatjuk, hogy ${\varphi}({\lambda}e1 + {\mu}e2) = {\mu}(e1 + e2)$. Ez akkor nulla, azaz ${\lambda}e1 + {\mu}e2$ akkor van a magtérben, ha ${\mu} = 0$. A képtér elemei pedig $e1 + e2$ többszörösei. A nyolcadik feladatban azt is lehet használni, hogy $[{\varphi}(v)]B = [{\varphi}]B[v]B$. Az $M[x y z]^T = 0$ egyenlet megoldása: $x$ és $y$ tetszőleges, $z = 0$. A magtér tehát kétdimenziós. Megoldható a feladat a dimenzióösszefüggés segítségével is, amely szerint a magtér dimenziója a mátrix oszlopainak száma mínusz a mátrix rangja. Harmadik megoldásként láthatjuk, hogy két bázisvektor a nullába megy, ezért a magtér legalább kétdimenziós, de háromdimenziós nem lehet, mert a mátrix nem nulla. - + \begin{tcolorbox}[title={Megoldások {\symking}}] + Minden lineáris transzformációhoz rögzített bázis esetén egyértelműen tartozik egy négyzetes mátrix.\\ + \mmedskip + + Ezt úgy írhatjuk föl, hogy a bázisvektorokat leképezzük a lineáris transzformációval, e képvektorokat felírjuk a megadott bázisban, és az így kapott koordinátavektorokat írjuk a mátrix oszlopaiba.\\ + Ha változtatunk a bázison, akkor változhat a mátrix is; ez kiszámítható a bázistranszformáció képletéből $(A' = S^{-1}AS)$.\\ + \mmedskip + + Egy lináris transzformáció sajátértékeit kiszámolhatjuk úgy, hogy felírjuk a mátrixát egy alkalmas bázisban, és ennek vesszük a sajátértékeit.\\ + Ez a negyedik (kétlépcsős) feladat: a mátrix a triviális bázisban $\begin{bmatrix} + 2 & 1 \\ + 0 & 3 \\ + \end{bmatrix}$.\\ + \mmedskip + + Néha lehetséges közvetlenül a definíció segítségével is boldogulni: a harmadik feladatban minden vektor az ellentettjébe megy, ezért az egyetlen sajátérték a $-1$.\\ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1069,7 +1224,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/1. {\symknight}}] - Mennyi az$[1 1 1 1]^T$ és az $[1 -1 -1 -1]^T$ vektorok szöge $\mathbb{R}^4$-ben, a szokásos ha, $bi = aTb$ skaláris szorzatra nézve? + Mennyi az $[1 \; 1 \; 1 \; 1]^T$ és az $[1 \; -1 \; -1 \; -1]^T$ vektorok szöge $\mathbb{R}^4$-ben, a szokásos ha, ${\langle}a, b{\rangle} = a^Tb$ skaláris szorzatra nézve? \tcblower @@ -1083,34 +1238,34 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/2. {\symrook}}] - Az $[1 1 + i i]^T \in C3$ vektor ha, $bi = b*a$ mellett merőleges az $[1 1 + i c]^T$ vektorra. Határozzuk meg $ \in C$ értékét. + Az $[1 \; 1 + i \; i]^T \in \mathbb{C}^3$ vektor ha, ${\langle}a, b{\rangle} = b*a$ mellett merőleges az $[1 \; 1 + i \; c]^T$ vektorra. Határozzuk meg $c \in\mathbb{C}$ értékét. \tcblower \mmedskip - c = -3i + $c = -3i$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/3. {\symrook}}] - Álljon $W az \mathbb{R}^3$ azon vektoraiból, amelyek merőlegesek $a[0 1 1]^T$ és $[1 1 0]^T$ vektorok mindegyikére. Adjunk meg egy bázist $W$-ben. + Álljon $W$ az $\mathbb{R}^3$ azon vektoraiból, amelyek merőlegesek $a[0 \; 1 \; 1]^T$ és $[1 \; 1 \; 0]^T$ vektorok mindegyikére. Adjunk meg egy bázist $W$-ben. \tcblower \mmedskip - $\{[1 -1 1]^T\}$ + $\{[1 \; -1 \; 1]^T\}$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={10/4. {\symqueen}}] - Mely $a,b \in \mathbb{R}$ értékekre lesz $|3a + 4b| = 5a_2 + b_2$ + Mely $a,b \in \mathbb{R}$ értékekre lesz $|3a + 4b| = 5\sqrt{a_2 + b_2}$? \tcblower @@ -1122,8 +1277,20 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={10/4. {\symqueen}}] - A szokásos skaláris szorzatot $\mathbb{R}^n$-ben az ha, $bi = aTb$ összefüggés adja meg; két vektor merőlegessége azt jelenti, hogy a skaláris szorzatuk nulla. $\mathbb{R}^n$-ben a vektorok szögét a $cos{\gamma} =$ ha,$bi kak \cdot kbk$ összefüggéssel definiáljuk, erről szól az első feladat. (A megoldáshoz érdemes átismételni a szögfüggvények értékét a nevezetes szögeken.) A második feladat esetében a skaláris szorzat kiszámításánál vigyázzunk arra, hogy a második tényező komponenseit meg kell konjugálni. A harmadik feladatnál lineáris egyenletrendszert kapunk W elemeinek komponenseire. A negyedik feladat esetében arra kell ráismerni, hogy a feladatbeli egyenlet az $u = [3 4]^T$ és a $v = [a b]^T$ vektorokra írja föl az $|hu,vi| = kuk \cdot kvk$ összefüggést, ami a Cauchy-egyenlőtlenség alapján akkor és csak akkor teljesülhet, ha $u$ és $v$ párhuzamosak. + \begin{tcolorbox}[title={Megoldások {\symking}}] + A szokásos skaláris szorzatot $\mathbb{R}^n$-ben az ha, ${\langle}a, b{\rangle} = a^Tb$ összefüggés adja meg; két vektor merőlegessége azt jelenti, hogy a skaláris szorzatuk nulla.\\ + \mmedskip + + $\mathbb{R}^n$-ben a vektorok szögét a $cos{\gamma} =$ $\frac{{\langle}a, b{\rangle}}{||a|| \cdot ||b||}$ összefüggéssel definiáljuk, erről szól az első feladat. (A megoldáshoz érdemes átismételni a szögfüggvények értékét a nevezetes szögeken.)\\ + \mmedskip + + A második feladat esetében a skaláris szorzat kiszámításánál vigyázzunk arra, hogy a második tényező komponenseit meg kell konjugálni.\\ + \mmedskip + + A harmadik feladatnál lineáris egyenletrendszert kapunk W elemeinek komponenseire.\\ + \mmedskip + + A negyedik feladat esetében arra kell ráismerni, hogy a feladatbeli egyenlet az $u = [3 \; 4]^T$ és a $v = [a \; b]^T$ vektorokra írja föl az $|{\langle}u, v{\rangle}| = ||u|| \cdot ||v||$ összefüggést, ami a Cauchy-egyenlőtlenség alapján akkor és csak akkor teljesülhet, ha $u$ és $v$ párhuzamosak. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1137,20 +1304,28 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={11/1. {\symknight}}] - Ha $[a]i,j,k = [0 1 1]^T$ és a $[b]i,j,k = [1 1 0]^T$, akkor számítsuk ki az $a$ és $b$ vektorok vektoriális szorzatát (koordinátákkal). + Ha $[a]_{i,j,k} = [0 \; 1 \; 1]^T$ és a $[b]_{i,j,k} = [1 \; 1 \; 0]^T$, akkor számítsuk ki az $a$ és $b$ vektorok vektoriális szorzatát (koordinátákkal). \tcblower \mmedskip - $[-1 1 -1]^T$ + $[-1 \; 1 \; -1]^T$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={11/1. {\symknight}}] - A vektoriális szorzat koordinátáinak kiszámításához érdemes a „determinásos” képletet használni: egy 3 x 3-as determináns első sorába az i, j, k vektorokat írjuk, a másik két sorba pedig a megadott vektorok koordinátáit, majd a determinánst (formálisan) kifejtjük az első sora szerint. Ekkor az i, j, k vektorok egy lineáris kombinációját kapjuk: ez lesz a vektoriális szorzat és így a leggyorsabb megoldani az első feladatot. Ebből a képletből láthatjuk azt is, hogy a vegyes szorzat is egy olyan determináns értéke, amelynek soraiban a három megadott vektor van alkalmas sorrendben. Speciálisan három vektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, azaz akkor és csak akkor vannak egy síkban, ha a vegyes szorzatuk nulla. Ez kapcsolódik a második és a harmadik feladat (B) részéhez is. Az utolsó három feladatban érdemes a derékszögű koordinátarendszerben a három tengelyirányú egységvektorra, i-re, j-re és k-ra nézni a vektoriális szorzat hatását, ezekkel érdemes kísérletezni az utolsó három feladatban. A második feladat (A) részében könnyű látni, hogy ha a és b nem esnek egy irányba, akkor a x b merőleges lesz az általuk meghatározott síkra, s ekkor c lehet akár a-val is egyenlő, az (a x b) x c vektoriális szorzat nem lesz a nullvektor. A (C) részben ha a és b vagy b és c párhuzamosak, akkor az ő vektoriális szorzatuk 0, és így 0 lesz a teljes vektoriális szorzat is. Ha viszont egyik vektorpár sem párhuzamos, akkor mindkét esetben ugyanazt a síkot feszítik ki (hiszen a,b és c lineárisan összefüggők), és így mindkét vektorpár vektoriális szorzata a síkra merőleges lesz, vagyis ezek párhuzamos vektorok, vektoriális szorzatuk tehát biztosan 0. A (D) esetben pedig pl. $a = c = i$, $b = j$ esetén a szorzat értéke k és -k skaláris szorzata lesz, tehát nem 0. Hasonló okoskodással lehet kielemezni az utolsó két feladatban szereplő állítások igazságértékét is. + \begin{tcolorbox}[title={Megoldások {\symking}}] + A vektoriális szorzat koordinátáinak kiszámításához érdemes a „determinásos” képletet használni:\\ + \mmedskip + + egy 3 x 3-as determináns első sorába az i, j, k vektorokat írjuk, a másik két sorba pedig a megadott vektorok koordinátáit, majd a determinánst (formálisan) kifejtjük az első sora szerint.\\ + Ekkor az i, j, k vektorok egy lineáris kombinációját kapjuk: ez lesz a vektoriális szorzat és így a leggyorsabb megoldani az első feladatot.\\ + Ebből a képletből láthatjuk azt is, hogy a vegyes szorzat is egy olyan determináns értéke, amelynek soraiban a három megadott vektor van alkalmas sorrendben.\\ + \mmedskip + + Speciálisan három vektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, azaz akkor és csak akkor vannak egy síkban, ha a vegyes szorzatuk nulla. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1164,7 +1339,10 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/1. {\symknight}}] - Számítsuk ki az 1 2 2 1 mátrix által meghatározott kvadratikus alak értékét az $[1 2]^T$ vektoron. + Számítsuk ki az $\begin{bmatrix} + 1 & 2 \\ + 2 & 1 \\ + \end{bmatrix}$ mátrix által meghatározott kvadratikus alak értékét az $[1 \; 2]^T$ vektoron. \tcblower @@ -1177,21 +1355,31 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/2. {\symrook}}] - Adjunk meg egy $v \in \mathbb{R}^2$ vektort, melyen az $A = 1 2 2 1$ mátrix által meghatározott kvadratikus alak negatív értéket vesz föl. + Adjunk meg egy $v \in \mathbb{R}^2$ vektort, melyen az $A =$ $\begin{bmatrix} + 1 & 2 \\ + 2 & 1 \\ + \end{bmatrix}$ mátrix által meghatározott kvadratikus alak negatív értéket vesz föl. \tcblower \mmedskip - Pl. $v = 1 -1 $ + Pl. $v =$ $\begin{bmatrix} + 1 \\ + -1 \\ + \end{bmatrix}$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/3. {\symrook}}] - Adjuk meg a $in \mathbb{R}^3x$3 mátrix által meghatározott bilineáris függvény kvadratikus karakterét (definitségét). + Adjuk meg a $\begin{bmatrix} + a & b & c \\ + b & 1 & -2 \\ + c & -2 & -1 \\ + \end{bmatrix}$ $\in \mathbb{R}^{3 \; x \; 3}$ mátrix által meghatározott bilineáris függvény kvadratikus karakterét (definitségét). \tcblower @@ -1205,7 +1393,10 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12/4. {\symknight}}] - Milyen $c \in \mathbb{R}$ valós értékekre lesz az $1 c c c \in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrix által meghatározott kvadratikus alak pozitív definit? + Milyen $c \in \mathbb{R}$ valós értékekre lesz az $\begin{bmatrix} + 1 & c \\ + c & c \\ + \end{bmatrix}$ $\in \mathbb{R}^{2 x 2}$ mátrix által meghatározott kvadratikus alak pozitív definit? \tcblower @@ -1217,8 +1408,32 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={12/4. {\symknight}}] - Egy szimmetrikus, valós A mátrixhoz tartozó kvadratikus alak $Q(u) = uTAu$. Abban az esetben ha $A = a b b d$ és $u = [x y]^T$, akkor $Q(u) = ax_2 + 2bxy + dy2$. A második feladatban tehátolyan $x$ és $y$ számokat kell keresnünk, amelyekre $x_2 + 4xy + y2$ negatív. Ha észrevesszük, hogy $x_2 + 4xy + y2 = x_2 + 4xy + 4y2 -3y2 = (x + 2y)2 -3y2$, akkor már könnyen találunk ilyen értékeket (de az alábbiak szerint a mátrix egyik sajátvektora is megfelelő). A kvadratikus alak jellege (karaktere, definitsége) azt mondja meg, milyen valós értékeket vesz föl a nem nulla vektorokon. Ezt a tulajdonságot le tudjuk olvasni a mátrix sajátértékeiből (amik szimmetrikus mátrix esetén mindig valósak), pontosabban azok előjeléből: $Q(u), u \neq 0$ sajátértékek előjele: jelleg: mindig pozitív mind pozitív pozitív definit mindig negatív mind negatív negatív definit mindig nemnegatív mind nemnegatív pozitív szemidefinit mindig nempozitív mind nempozitív negatív szemidefinit van pozitív is, negatív is van pozitív is, negatív is indefinit Ha $u = ei$ (a triviális bázis i-edik vektora), akkor $Q(u)$ az A mátrix főátlójának i-edik eleme. A harmadik feladatban a második és a harmadik diagonális elem pozitív, illetve negatív, s így kvadratikus alak pozitív és negatív értékeket is fölvesz, tehát biztosan indefinit. Bizonyos esetekben a következő kritérium segítségével is leolvasható a kvadratikus alak jellege. Legyen ${\Delta}0 = 1$ és ${\Delta}k$ a mátrix bal fölső sarkában lévő $k xk$-as részmátrix determinánsa (ez az ún. karakterisztikus sorozat). Pl. a karakterisztikus sorozat pontosan akkor áll csupa pozitív értékből, ha a kvadratikus alakunk pozitív definit. A negyedik feladatnál ezt a feltételt használjuk: az 1x1-es részmátrixhoz tartozó tag pozitív, s a pozitív definitség azzal lesz ekvivalens, hogy a determináns, $c-c2 = c(1-c)$ is pozitív. Ez csak a jelzett intervallumban valósulhat meg. + \begin{tcolorbox}[title={Megoldások {\symking}}] + Egy szimmetrikus, valós A mátrixhoz tartozó kvadratikus alak $Q(u) = u^TAu$. Abban az esetben ha $A =$ $\begin{bmatrix} + a & b \\ + b & d \\ + \end{bmatrix}$ és $u = [x \; y]^T$, akkor $Q(u) = ax^2 + 2bxy + dy^2$.\\ + \mmedskip + + A második feladatban tehát olyan $x$ és $y$ számokat kell keresnünk, amelyekre $x_2 + 4xy + y2$ negatív. Ha észrevesszük, hogy $x_2 + 4xy + y2 = x_2 + 4xy + 4y2 -3y2 = (x + 2y)2 -3y2$, akkor már könnyen találunk ilyen értékeket (de az alábbiak szerint a mátrix egyik sajátvektora is megfelelő).\\ + + A kvadratikus alak jellege (karaktere, definitsége) azt mondja meg, milyen valós értékeket vesz föl a nem nulla vektorokon. Ezt a tulajdonságot le tudjuk olvasni a mátrix sajátértékeiből (amik szimmetrikus mátrix esetén mindig valósak), pontosabban azok előjeléből:\\ + \mmedskip + + $\begin{vmatrix} + Q(u), u \neq 0 & \text{sajátértékek előjele} & \text{jelleg}\\ + \text{mindig pozitív} & \text{mind pozitív} & \text{pozitív definit}\\ + \text{mindig negatív} & \text{mind negatív} & \text{negatív definit}\\ + \text{mindig nemnegatív} & \text{mind nemnegatív} & \text{pozitív szemidefinit}\\ + \text{mindig nempozitív} & \text{mind nempozitív} & \text{negatív szemidefinit}\\ + \text{van pozitív is, negatív is} & \text{van pozitív is, negatív is} & \text{indefinit}\\ + \end{vmatrix}$ + + \mmedskip + + Ha $u = e_i$ (a triviális bázis i-edik vektora), akkor $Q(u)$ az A mátrix főátlójának i-edik eleme. A harmadik feladatban a második és a harmadik diagonális elem pozitív, illetve negatív, s így kvadratikus alak pozitív és negatív értékeket is fölvesz, tehát biztosan indefinit.\\ + Bizonyos esetekben a következő kritérium segítségével is leolvasható a kvadratikus alak jellege. Legyen ${\Delta}_0 = 1$ és ${\Delta}_k$ a mátrix bal fölső sarkában lévő $k xk$-as részmátrix determinánsa (ez az ún. karakterisztikus sorozat). Pl. a karakterisztikus sorozat pontosan akkor áll csupa pozitív értékből, ha a kvadratikus alakunk pozitív definit.\\ + A negyedik feladatnál ezt a feltételt használjuk: az 1x1-es részmátrixhoz tartozó tag pozitív, s a pozitív definitség azzal lesz ekvivalens, hogy a determináns, $c-c^2 = c(1-c)$ is pozitív. Ez csak a jelzett intervallumban valósulhat meg. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1232,7 +1447,7 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={12/4. {\symknight}}] + \begin{tcolorbox} Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál zárójelben néhol magyarázó megjegyzések is vannak, ezeket nem kell leírni a teljes pontszám eléréséhez. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1242,28 +1457,36 @@ tegyük föl, hogy detA = 5. Mennyi lesz detB? Mit jelent az, hogy egy $W {\subseteq} \mathbb{R}^n$ részhalmaz altér? \tcblower -$W {\subseteq} \mathbb{R}^n altér \mathbb{R}^n-ben$, ha: 1) $W$ nem üres; 2) $a,b \in W$ esetén $a + b \in W$ (azaz W zárt az összeadásra); 3) $a \in W és {\lambda} \in \mathbb{R}$ esetén ${\lambda}a \in W$ (azaz $W$ zárt a skalárral szorzásra). (Ahelyett, hogy $W$ nem üres, azt is írhatjuk, hogy $0 \in W$.) +$W {\subseteq} \mathbb{R}^n$ altér $\mathbb{R}^n-ben$, ha:\\ +\mmedskip + +1) $W$ nem üres;\\ +2) $a,b \in W$ esetén $a + b \in W$ (azaz W zárt az összeadásra);\\ +3) $a \in W$ és ${\lambda} \in \mathbb{R}$ esetén ${\lambda}a \in W$ (azaz $W$ zárt a skalárral szorzásra). (Ahelyett, hogy $W$ nem üres, azt is írhatjuk, hogy $0 \in W$.) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={2}] - Definiáljuk, mit jelent az, hogy a $v_1,...,vk \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineárisan független. + Definiáljuk, mit jelent az, hogy a $v_1,...,v_k \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineárisan független. \tcblower -A $v_1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort. Képletben: tetszőleges ${\lambda}_1,{\lambda}_2,...,{\lambda}_k \in \mathbb{R}$ esetén, ha ${\lambda}_1v_1 + {\lambda}_2v_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}_kvk = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}_i = 0$. +A $v_1,...,v_k$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort.\\ +\mmedskip + +Képletben: tetszőleges ${\lambda}_1,{\lambda}_2,...,{\lambda}_k \in \mathbb{R}$ esetén, ha ${\lambda}_1v_1 + {\lambda}_2v_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}_kv_k = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}_i = 0$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3}] - Mit jelent az, hogy a $v_1,...,vk \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineárisan összefüggő? A válaszban ne hivatkozzunk a lineáris függetlenség fogalmára. + Mit jelent az, hogy a $v_1,...,v_k \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineárisan összefüggő? A válaszban ne hivatkozzunk a lineáris függetlenség fogalmára. \tcblower -A $v_1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (azaz nem lineárisan független), ha léteznek olyan ${\lambda}_1,{\lambda}_2,...,{\lambda}_k \in \mathbb{R}$ nem mind nulla számok, melyekre ${\lambda}_1v_1 + {\lambda}_2v_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}_kvk = 0$.) +A $v_1,...,v_k$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (azaz nem lineárisan független), ha léteznek olyan ${\lambda}_1,{\lambda}_2,...,{\lambda}_k \in \mathbb{R}$ nem mind nulla számok, melyekre ${\lambda}_1v_1 + {\lambda}_2v_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}_kv_k = 0$.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1273,18 +1496,18 @@ A $v_1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő (az Mit jelent az, hogy egy v vektor lineárisan függ az $a_1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektoroktól? \tcblower -Azt jelenti, hogy v felírható $a_1,...,ak$ lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan ${\lambda}_1,{\lambda}_2,...,{\lambda}_k \in \mathbb{R}$ skalárok, melyekre $v = {\lambda}_1a_1 + {\lambda}_2a_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}_kak$. +Azt jelenti, hogy v felírható $a_1,...,a_k$ lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan ${\lambda}_1,{\lambda}_2,...,{\lambda}_k \in \mathbb{R}$ skalárok, melyekre $v = {\lambda}_1a_1 + {\lambda}_2a_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}_ka_k$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={5}] - Jellemezzük egy $a_1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineáris összefüggőségét a lineáris függés fogalmával. + Jellemezzük egy $a_1,...,a_k \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer lineáris összefüggőségét a lineáris függés fogalmával. \tcblower -Egy $a_1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer ($k \geq 2$ esetén) pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha valamelyik i-re $ai$ lineárisan függ az $a_1,...,ai-1,ai+1,...,ak$ vektoroktól. +Egy $a_1,...,a_k \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer ($k \geq 2$ esetén) pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha valamelyik i-re $a_i$ lineárisan függ az $a_1,...,ai-1,ai+1,...,a_k$ vektoroktól. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1295,20 +1518,20 @@ Egy $a_1,...,ak \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer ($k \geq 2$ esetén) pontosan a \tcblower -Egy $b_1,...,bk$ vektorrendszert akkor mondunk a $V \leq \mathbb{R}^n$ altér bázisának, ha lineárisan független, és V minden vektorát előállíthatjuk a bi vektorok lineáris kombinációjaként. (A lineáris függetlenség helyettesíthető azzal a feltétellel, hogy ez a felírás egyértelmű, az előállíthatóság pedig azzal, hogy generátorrendszerről van szó.) +Egy $b_1,...,b_k$ vektorrendszert akkor mondunk a $V \leq \mathbb{R}^n$ altér bázisának, ha lineárisan független, és V minden vektorát előállíthatjuk a $b_i$ vektorok lineáris kombinációjaként. (A lineáris függetlenség helyettesíthető azzal a feltétellel, hogy ez a felírás egyértelmű, az előállíthatóság pedig azzal, hogy generátorrendszerről van szó.) \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={7}] - Definiáljuk egy $a \in V \leq \mathbb{R}^n$ vektor koordinátavektorát a $V$ egy $b_1,...,bk$ bázisában fölírva. + Definiáljuk egy $a \in V \leq \mathbb{R}^n$ vektor koordinátavektorát a $V$ egy $b_1,...,b_k$ bázisában fölírva. \tcblower Az a vektor koordinátavektora pontosan akkor $[a]b_1,...,bk =$ ${\lambda}_1 . . . {\lambda}_k$ -, ha $a = {\lambda}_1b_1+ \cdot \cdot \cdot +{\lambda}_kbk$. +, ha $a = {\lambda}_1b_1 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}_kb_k$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1353,11 +1576,11 @@ $dimV$ a $V$ egy bázisának elemszáma, illetve 0, ha $V = \{0\}$. (Ez a defin \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={11}] - Definiáljuk egy $v_1,...,vk \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer rangját, $r(v_1,...,vk)$-t. + Definiáljuk egy $v_1,...,v_k \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer rangját, $r(v_1,...,v_k)$-t. \tcblower -$r(v_1,...,vk) = dimSpan(v_1,...,vk)$, azaz egy vektorrendszer rangja megegyezik az általa generált (kifeszített) altér dimenziójával. +$r(v_1,...,v_k) = dimSpan(v_1,...,v_k)$, azaz egy vektorrendszer rangja megegyezik az általa generált (kifeszített) altér dimenziójával. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1365,12 +1588,12 @@ $r(v_1,...,vk) = dimSpan(v_1,...,vk)$, azaz egy vektorrendszer rangja megegyezik \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={12}] - Adjuk meg képlettel két mátrix, $A \in Rkxl és B \in Rlxn$ szorzatában, $AB$-ben az $i$-edik sor $j$-edik elemét, $i[AB]j$-t. Azt is mondjuk meg, $i$ és $j$ milyen értékére létezik ez az elem. + Adjuk meg képlettel két mátrix, $A \in R^{k \; x \; l}$ és $B \in \mathbb{R}^{l \; x \; n}$ szorzatában, $AB$-ben az $i$-edik sor $j$-edik elemét, $_{i} [AB]_j$-t. Azt is mondjuk meg, $i$ és $j$ milyen értékére létezik ez az elem. \tcblower -Ha $1 \leq i \leq k és 1 \leq j \leq n, akkor i[AB]j =$ +Ha $1 \leq i \leq k$ és $1 \leq j \leq n$, akkor $_{i} [AB]_j =$ $\sum_{t = 1}^l$ $_{i} [A]_t$ $\cdot$ $_{t} [B]_j$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1381,7 +1604,9 @@ Ha $1 \leq i \leq k és 1 \leq j \leq n, akkor i[AB]j =$ Mondjunk ki két, a mátrixok transzponálását a többi szokásos mátrixművelettel összekapcsoló összefüggést. \tcblower -$A,B \in \mathbb{R}^{k x n} {\Rightarrow} (A + B)T = A^T + B^T {\lambda} \in R,A \in \mathbb{R}^{k x n} {\Rightarrow} ({\lambda}A)T = {\lambda}A^T A \in Rkxl, B \in Rlxn {\Rightarrow} (AB)T = B^TA^T$ +$A,B \in \mathbb{R}^{k \; x \; n} {\Rightarrow} (A + B)^T = A^T + B^T$\\ +${\lambda} \in \mathbb{R},A \in \mathbb{R}^{k \; x \; n} {\Rightarrow} ({\lambda}A)^T = {\lambda}A^T$\\ +$A \in \mathbb{R}^{k \; x \; l}, B \in \mathbb{R}^{l \; x \; n} {\Rightarrow} (AB)^T = B^TA^T$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1390,10 +1615,10 @@ $A,B \in \mathbb{R}^{k x n} {\Rightarrow} (A + B)T = A^T + B^T {\lambda} \in R,A \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={14}] - Definiáljuk egy $A \in \mathbb{R}^{k x n}$ mátrix oszloprangját, illetve sorrangját, ${\varrho}O(A)-t és {\varrho}S(A)$-t. + Definiáljuk egy $A \in \mathbb{R}^{k \; x \; n}$ mátrix oszloprangját, illetve sorrangját, ${\varrho}o(A)$-t és ${\varrho}s(A)$-t. \tcblower -Ha $a_1,...,an \in Rk$ a mátrix oszlopai, akkor ${\varrho}O(A) = r(a_1,...,ak)$, azaz az oszloprang az oszlopok rendszerének rangja (vagyis az oszlopok által generált altér dimenziója.) Analóg módon, a mátrix sorrangja a sorok által generált altér dimenziója, vagy másképpen: ${\varrho}S(A) = {\varrho}O(A^T)$. +Ha $a_1,...,a_n \in \mathbb{R}^k$ a mátrix oszlopai, akkor ${\varrho}o(A) = r(a_1,...,a_k)$, azaz az oszloprang az oszlopok rendszerének rangja (vagyis az oszlopok által generált altér dimenziója.) Analóg módon, a mátrix sorrangja a sorok által generált altér dimenziója, vagy másképpen: ${\varrho}s(A) = {\varrho}o(A^T)$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1404,7 +1629,7 @@ Ha $a_1,...,an \in Rk$ a mátrix oszlopai, akkor ${\varrho}O(A) = r(a_1,...,ak)$ \tcblower -Ha létezik az $AB$ mátrixszorzat, akkor ${\varrho}O(AB) \leq {\varrho}O(A)$. (Igaz a ${\varrho}O(AB) \leq {\varrho}O(B)$ becslés is.) +Ha létezik az $AB$ mátrixszorzat, akkor ${\varrho}o(AB) \leq {\varrho}o(A)$. (Igaz a ${\varrho}o(AB) \leq {\varrho}o(B)$ becslés is.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1412,10 +1637,10 @@ Ha létezik az $AB$ mátrixszorzat, akkor ${\varrho}O(AB) \leq {\varrho}O(A)$. ( \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={16}] - Mit nevezünk egy $A \in \mathbb{R}^{n x m}$ mátrix jobb, illetve kétoldali inverzének? + Mit nevezünk egy $A \in \mathbb{R}^{n \; x \; m}$ mátrix jobb, illetve kétoldali inverzének? \tcblower -Az $A(j) \in \mathbb{R}^{m x n}$ mátrix jobb oldali inverze $A$-nak, ha $AA(j) = In$, ahol $In$ az $n x n$-es egységmátrix. $A-1 \in \mathbb{R}^{m x n}$ kétoldali inverze A-nak, ha jobb oldali és bal oldali inverze is A-nak, azaz AA-1 = In, és A-1A = Im. (Ez utóbbi létezése esetén m = n.) +Az $A^{(j)} \in \mathbb{R}^{m \; x \; n}$ mátrix jobb oldali inverze $A$-nak, ha $AA^{(j)} = I_n$, ahol $I_n$ az $n \; x \; n$-es egységmátrix. $A^{-1} \in \mathbb{R}^{m \; x \; n}$ kétoldali inverze A-nak, ha jobb oldali és bal oldali inverze is A-nak, azaz $AA^{-1}$ = $I_n$, és $A^{-1}A = I_m$. (Ez utóbbi létezése esetén $m = n$.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1423,10 +1648,10 @@ Az $A(j) \in \mathbb{R}^{m x n}$ mátrix jobb oldali inverze $A$-nak, ha $AA(j) \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={17}] - A mátrixrang fogalmának fölhasználásával mondjuk ki annak szükséges és elégséges feltételét, hogy az $A \in \mathbb{R}^{n x m}$ mátrixnak létezzen jobb oldali inverze. + A mátrixrang fogalmának fölhasználásával mondjuk ki annak szükséges és elégséges feltételét, hogy az $A \in \mathbb{R}^{n \; x \; m}$ mátrixnak létezzen jobb oldali inverze. \tcblower -Az $A \in \mathbb{R}^{n x m}$ mátrixnak pontosan akkor létezik jobb oldali inverze, ha ${\varrho}(A) = n$, azaz a mátrix rangja megegyezik a sorainak a számával. +Az $A \in \mathbb{R}^{n \; x \; m}$ mátrixnak pontosan akkor létezik jobb oldali inverze, ha ${\varrho}(A) = n$, azaz a mátrix rangja megegyezik a sorainak a számával. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1483,7 +1708,7 @@ Ha $a,b,c$ geometriai vektorok, akkor $(a x b) x c = (ac)b - (bc)a$. Definiáljuk a geometriai vektorok vegyesszorzatának fogalmát. \tcblower - Definiáljuk a geometriai vektorok vegyesszorzatának fogalmát. + Ha $a,b,c$ geometriai vektorok, akkor a vegyesszorzatuk az $(a x b)c$ skalár. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1491,13 +1716,17 @@ Ha $a,b,c$ geometriai vektorok, akkor $(a x b) x c = (ac)b - (bc)a$. \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={23}] - Adjuk meg az A mátrix determinánsát definiáló képletet. Mit jelent ebben az I(i1,...,in) kifejezés? + Adjuk meg az A mátrix determinánsát definiáló képletet. Mit jelent ebben az $I(i1,...,in)$ kifejezés? \tcblower -Legyen A =| | -$a_11 ... a_1n . . . . . . an1 ... ann \in \mathbb{R}^{n x n}$. Ekkor $detA = X i1,...,in (1,...,n) -(-1)I(i1,...,in)a_1i1a_2i2 \cdot \cdot \cdot anin$. -Itt az összegezés az $\{1,2,...,n\}$ számok minden permutációjára történik, $I(i1,...,in)$ pedig az adott permutáció inverzióinak a számát jelöli. +Legyen A =$\begin{bmatrix} + a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ + \vdots & & \vdots \\ + a_{n1} & \cdots & a_{nn} + \end{bmatrix}$ $\in$ $\mathbb{R}^{n x n}$. Ekkor $det A = $ $\sum_{i_1, ..., i_n\\ (1, ..., n)} (-1)^{I(i_1, i_2, ..., i_n)} a_{1i_1} \cdot a_{1i_2} \cdot a_{1i_3} \cdot ... \cdot a_{ni_n}$\\ + \mmedskip + +Itt az összegezés az $\{1,2,...,n\}$ számok minden permutációjára történik, $I(i_1,...,i_n)$ pedig az adott permutáció inverzióinak a számát jelöli. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1507,7 +1736,7 @@ Itt az összegezés az $\{1,2,...,n\}$ számok minden permutációjára történ Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix determinánsa nem nulla. \tcblower -Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix determinánsa nem nulla. +$det \; A \neq 0 \iff {\varrho}(A) = n \iff$ A oszlopai (sorai) lineárisan függetlenek $\iff {\exists}A^{-1}$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1515,35 +1744,34 @@ Mondjunk ki egy olyan feltételt, mely ekvivalens azzal, hogy az $A \in \mathbb{ \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={25}] - Mit értünk az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix i-edik sorának j-edik eleméhez tartozó előjelezett aldeterminánson, $Aij$-n? + Mit értünk az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix i-edik sorának j-edik eleméhez tartozó előjelezett aldeterminánson, $A*{ij}$-n? \tcblower -Hagyjuk el az $A$ mátrix $i$-edik sorát és a $j$-edik oszlopát; az így kapott $(n-1)x(n-1)$-es mátrixot jelölje $Bij$. Ekkor a keresett előjelezett aldetermináns: $Aij = (-1)i+j detBij$. +Hagyjuk el az $A$ mátrix $i$-edik sorát és a $j$-edik oszlopát; az így kapott $(n-1)x(n-1)$-es mátrixot jelölje $B_{ij}$. Ekkor a keresett előjelezett aldetermináns: $A_{ij} = (-1)^{i+j} det B_{ij}$. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={26}] - Adjuk meg képlettel az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix determinánsának $i$-edik sora szerinti kifejtését. A mátrix elemeit, illetve előjelezett aldeterminánsait $aij, ill$. $Aij$ jelöli. + Adjuk meg képlettel az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix determinánsának $i$-edik sora szerinti kifejtését. A mátrix elemeit, illetve előjelezett aldeterminánsait $a_{ij}$, ill. $A_{ij}$ jelöli. \tcblower -$detA =$ +$detA =$ $\sum_{j = 1}^n$ $a_{ij}A_{ij}$ \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={28}] - DefiniáljukaVandermonde-determinánsfogalmát, ésmondjukkiazértékérevonatkozóállítást. + Definiáljuk a Vandermonde-determináns fogalmát, és mondjuk ki az értékére vonatkozó állítást. \tcblower -$a_1,...,an \in R, n \geq 2 esetén V (a_1,...,an) =$ - - - -$(aj - ai)$. - + $a_1, ..., a_n \in \mathbb{R}, (n \geq 2)$ esetén $V_n(a_1, ..., a_n) =$ $\begin{vmatrix} + 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\ + \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ + 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} + \end{vmatrix}$ $=$ $\prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_i - a_j)$ \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1562,7 +1790,7 @@ $(aj - ai)$. Mit jelent, hogy két négyzetes mátrix hasonló $\mathbb{R}$ felett? \tcblower - $A,B \in \mathbb{R}^{n x n}$ hasonlók $\mathbb{R}$ felett, ha létezik olyan invertálható $S \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix, melyre $B = S-1AS$. Ezt általában $A {\sim}_{\mathbb{R}} B$ jelöli. + $A,B \in \mathbb{R}^{n x n}$ hasonlók $\mathbb{R}$ felett, ha létezik olyan invertálható $S \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix, melyre $B = S^{-1}AS$. Ezt általában $A {\sim}_{\mathbb{R}} B$ jelöli. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1573,7 +1801,7 @@ $(aj - ai)$. Mikor mondjuk egy mátrixra, hogy diagonalizálható $\mathbb{R}$ felett? \tcblower - Egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ négyzetes mátrix diagonalizálható $\mathbb{R}$ felett, ha hasonló $\mathbb{R}$ felett egy diagonális mátrixhoz, azaz létezik olyan S invertálható, ill. D diagonális mátrix $\mathbb{R}^{n x n}$-ben, hogy $D = S-1AS$. + Egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ négyzetes mátrix diagonalizálható $\mathbb{R}$ felett, ha hasonló $\mathbb{R}$ felett egy diagonális mátrixhoz, azaz létezik olyan S invertálható, ill. D diagonális mátrix $\mathbb{R}^{n x n}$-ben, hogy $D = S^{-1}AS$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1584,7 +1812,11 @@ $(aj - ai)$. Definiáljuk egy mátrix jobb oldali sajátvektorának a fogalmát. \tcblower - Legyen $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ tetszőleges négyzetes mátrix. Egy $x \in \mathbb{R}^n$ vektort az $A$ mátrix jobb oldali sajátvektorának nevezünk, ha: 1) $x \neq 0$; 2) létezik ${\lambda}0 \in \mathbb{R}$ szám, melyre $Ax = {\lambda}0x$. + Legyen $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ tetszőleges négyzetes mátrix. Egy $x \in \mathbb{R}^n$ vektort az $A$ mátrix jobb oldali sajátvektorának nevezünk, ha:\\ + \mmedskip + + 1) $x \neq 0$;\\ + 2) létezik ${\lambda}_0 \in \mathbb{R}$ szám, melyre $Ax = {\lambda}_0x$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1594,7 +1826,11 @@ $(aj - ai)$. \begin{tcolorbox}[title={34}] Definiáljuk egy mátrix jobb oldali sajátértékének a fogalmát. \tcblower - Legyen $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ tetszőleges négyzetes mátrix. Egy ${\lambda}0 \in \mathbb{R}$ számot az $A$ mátrix jobb oldali sajátértékének nevezünk, ha van olyan $x \in \mathbb{R}^n$ vektor, melyre 1) $x \neq 0$; 2) $Ax = {\lambda}0x$. + Legyen $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ tetszőleges négyzetes mátrix. Egy ${\lambda}_0 \in \mathbb{R}$ számot az $A$ mátrix jobb oldali sajátértékének nevezünk, ha van olyan $x \in \mathbb{R}^n$ vektor, melyre\\ + \mmedskip + + 1) $x \neq 0$;\\ + 2) $Ax = {\lambda}_0x$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1613,10 +1849,10 @@ Egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix pontosan akkor diagonalizálható $\mathb \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={36}] - Definiáljuk az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix ${\lambda}0$ (jobb oldali) sajátértékéhez tartozó sajátalterének fogalmát. + Definiáljuk az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix ${\lambda}_0$ (jobb oldali) sajátértékéhez tartozó sajátalterének fogalmát. \tcblower -$W{\lambda}0 = {x \in \mathbb{R}^n |Ax = {\lambda}0x}$ a ${\lambda}0$-hoz tartozó sajátaltér. (Vagyis $W{\lambda}0$ a ${\lambda}0$ sajátértékű sajátvektorok halmaza, kiegészítve a nullvektorral.) +$W_{{\lambda}_0} = \{x \in \mathbb{R}^n |Ax = {\lambda}_0x\}$ a ${\lambda}_0$-hoz tartozó sajátaltér. (Vagyis $W_{{\lambda}_0}$ a ${\lambda}_0$ sajátértékű sajátvektorok halmaza, kiegészítve a nullvektorral.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1625,7 +1861,7 @@ $W{\lambda}0 = {x \in \mathbb{R}^n |Ax = {\lambda}0x}$ a ${\lambda}0$-hoz tartoz \begin{tcolorbox}[title={37}] Definiáljuk egy négyzetes mátrix karakterisztikus polinomjának fogalmát. \tcblower -Egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix karakterisztikus polinomja $kA({\lambda}) = det(A-In{\lambda})$, ahol $In$ az $nxn$-es egységmátrix. +Egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix karakterisztikus polinomja $k_A({\lambda}) = det(A-I_n{\lambda})$, ahol $I_n$ az $n x n$-es egységmátrix. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1636,7 +1872,7 @@ Egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix karakterisztikus polinomja $kA({\lambda}) Mondjuk ki a hasonló mátrixok karakterisztikus polinomjára vonatkozó állítást. \tcblower -Ha $A,B \in \mathbb{R}^{n x n}$ hasonlók $\mathbb{R}$ felett, akkor $kA({\lambda}) = kB({\lambda})$. +Ha $A,B \in \mathbb{R}^{n x n}$ hasonlók $\mathbb{R}$ felett, akkor $k_A({\lambda}) = k_B({\lambda})$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1646,8 +1882,16 @@ Ha $A,B \in \mathbb{R}^{n x n}$ hasonlók $\mathbb{R}$ felett, akkor $kA({\lambd \begin{tcolorbox}[title={39}] Definiáljuk a komplex euklideszi tér fogalmát. \tcblower -Legyen V vektortér C felett. V -t komplex euklideszi térnek nevezzük, ha adva van egy $hx,yi : V x V {\rightarrow} C$ leképezés, melyre minden $x,y,z \in V$ és ${\lambda} \in C$ esetén: (1) $hy,xi = hx,yi$; (2) $h{\lambda}x,yi = {\lambda}hx,yi$ (és $hx,{\lambda}yi = {\lambda}hx,yi$); (3) $hx + y,zi = hx,zi + hy,zi$ (és $hx,y + zi = hx,yi + hx,zi$); (4) $hx,xi$ mindig valós és nemnegatív, továbbá csak akkor 0, ha $x = 0$. + Legyen $V$ vektortér a $\mathbb{C}$ felett.\\ + Azt mondjuk, hogy a $V$ komplex euklideszi tér, ha adott benne egy skaláris szorzatnak nevezett ${\langle}x, y{\rangle}$ $:$ $V$ $x$ $V$ $\rightarrow$ $\mathbb{C}$ függvény, melyre a következők teljesülnek minden $x, y, z \in V$ és $\lambda \in \mathbb{C}$ esetén: + \begin{enumerate} + \item ${\langle}y, x{\rangle} = \overline{{\langle}x, y{\rangle}}$ + \item ${\langle}{\lambda}x, y{\rangle} = {\lambda}{\langle}x, y{\rangle}$ és ${\langle}x, {\lambda}y{\rangle} = \overline{{\lambda}}{\langle}x, y{\rangle}$ + \item ${\langle}x + y, z{\rangle} = {\langle}x, z{\rangle} + {\langle}y, z{\rangle}$ és ${\langle}x, y + z{\rangle} = {\langle}x, y{\rangle} + {\langle}x, z{\rangle}$ + \item ${\langle}x, x{\rangle}$ mindíg (valós és) nemnegatív + \item ${\langle}x, x{\rangle} = 0 \iff x = 0$ + \end{enumerate} \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1657,7 +1901,7 @@ Legyen V vektortér C felett. V -t komplex euklideszi térnek nevezzük, ha adva Definiáljuk az x vektor normáját egy euklideszi térben. \tcblower -Ha V valós vagy komplex euklideszi tér, akkor tetszőleges $x \in V$ vektorra $kxk =phx,xi$. +Ha V valós vagy komplex euklideszi tér, akkor tetszőleges $x \in V$ vektorra $||x|| = \sqrt{{\langle}x, x{\rangle}}$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1667,7 +1911,7 @@ Ha V valós vagy komplex euklideszi tér, akkor tetszőleges $x \in V$ vektorra \begin{tcolorbox}[title={41}] Mondjuk ki az euklideszi terek vektoraira vonatkozó háromszög-egyenlőtlenséget. \tcblower -Ha V valós vagy komplex euklideszi tér, akkor tetszőleges $x,y \in V$ vektorokra: $kx + yk \leq kxk + kyk$ . +Ha V valós vagy komplex euklideszi tér, akkor tetszőleges $x,y \in V$ vektorokra: $||x + y|| \leq ||x|| + ||y||$ . \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1677,7 +1921,7 @@ Ha V valós vagy komplex euklideszi tér, akkor tetszőleges $x,y \in V$ vektoro \begin{tcolorbox}[title={42}] Mondjuk ki a valós vagy komplex euklideszi terekre vonatkozó Cauchy-egyelőtlenséget, valamint azt, hogy mikor áll ebben egyenlőség. \tcblower -Ha V valós vagy komplex euklideszi tér, akkor tetszőleges $x,y \in V$ vektorokra teljesül, hogy $|hx,yi| \leq kxk \cdot kyk$, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fönn, ha az $x$ és $y$ vektorok lineárisan összefüggőek (azaz párhuzamosak). +Ha V valós vagy komplex euklideszi tér, akkor tetszőleges $x,y \in V$ vektorokra teljesül, hogy $|{\langle}x, x{\rangle}| \leq ||x|| \cdot ||y||$, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fönn, ha az $x$ és $y$ vektorok lineárisan összefüggőek (azaz párhuzamosak). \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1688,7 +1932,12 @@ Ha V valós vagy komplex euklideszi tér, akkor tetszőleges $x,y \in V$ vektoro Definiáljuk egy $V$ euklideszi tér ortonormált bázisának a fogalmát. \tcblower -Az $e1,...,en \in V$ vektorokbólállórendszertortonormáltbázisnaknevezzüka $V$ euklideszi térben, ha: 1) bázist alkotnak $V$ -ben; 2) az $ei$ vektorok páronként merőlegesek, azaz $i \neq j$ esetén $hei,eji = 0$; és 3) a vektorok normáltak, azaz $keik = 1 minden 1 \leq i \leq n$-re. +Az $e_1,...,e_n \in V$ vektorokból álló rendszert ortonormáltb ázisnak nevezzük a $V$ euklideszi térben, ha:\\ +\mmedskip + +1) bázist alkotnak $V$ -ben;\\ +2) az $e_i$ vektorok páronként merőlegesek, azaz $i \neq j$ esetén ${\langle}ei,e_j{\rangle} = 0$; és\\ +3) a vektorok normáltak, azaz $||e_i|| = 1$ minden $1 \leq i \leq n$-re. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1708,7 +1957,7 @@ Egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix esetén pontosan akkor létezik A sajátv \begin{tcolorbox}[title={45}] Definiáljuk egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ valós szimmetrikus mátrixhoz tartozó kvadratikus alakot. \tcblower -Az $A$-hoz tartozó kvadratikus alak az a $Q : \mathbb{R}^n {\rightarrow} \mathbb{R}$ függvény, melyre Q(x) = xTAx. +Az $A$-hoz tartozó kvadratikus alak az a $Q : \mathbb{R}^n {\rightarrow} \mathbb{R}$ függvény, melyre $Q(x) = x^TAx$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1727,7 +1976,7 @@ Q-t akkor nevezzük pozitív definitnek, ha minden $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ v Mondjuk meg, mit jelent az, hogy az $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ szimmetrikus mátrixhoz tartozó Q kvadratikus alak negatív definit, és jellemezzük ezt az esetet az A karakterisztikus sorozata segítségével. \tcblower -Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ vektorra $Q(x) < 0$. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A karakterisztikus sorozata jelváltó. (Az A mátrix ${\Delta}o,...,{\Delta}n$ karakterisztikus sorozatának k-adik tagja az A bal fölső sarkában lévő $k x k$-as részmátrix determinánsa, illetve ${\Delta}o = 1$.) +Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ vektorra $Q(x) < 0$. Ez pontosan akkor teljesül, ha az A karakterisztikus sorozata jelváltó. (Az A mátrix ${\Delta}_o,...,{\Delta}_n$ karakterisztikus sorozatának k-adik tagja az A bal fölső sarkában lévő $k x k$-as részmátrix determinánsa, illetve ${\Delta}_o = 1$.) \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1747,9 +1996,9 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ v Mondjuk ki a $b_1,...,bk$ vektorok lineáris függetlenségének definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy ha $B = \{b_1,...,bk\}$ lineárisan független vektorrendszer, akkor minden lineáris kombinációjukként felírható vektor egyértelműen írható föl B-beli vektorok lineáris kombinációjaként. \tcblower - A $v_1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort.\\ + A $v_1,...,v_k$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort.\\ - Képletben: tetszőleges ${\lambda}_1,{\lambda}_2,...,{\lambda}_k \in R$ esetén, ha ${\lambda}_1v_1 + {\lambda}_2v_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}_kvk = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}_i = 0$.\\ + Képletben: tetszőleges ${\lambda}_1,{\lambda}_2,...,{\lambda}_k \in R$ esetén, ha ${\lambda}_1v_1 + {\lambda}_2v_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}_kv_k = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}_i = 0$.\\ Ha lenne egy vektor, melynek kétféle fölírása is létezne: $u = Pk i=1 {\lambda}_ibi = Pk i=1 {\mu}ibi$, akkor a kétféle előállítást egymásból kivonva azt kapjuk, hogy\\ @@ -1770,7 +2019,7 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ v Mondjuk ki azt az állítást, mely ezeket a fogalmakat összekapcsolja, és bizonyítsuk is be az állítást. \tcblower - Ha $k \geq 2$, akkor a $v_1,...,vk$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan $i$, hogy $vi$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól (azaz előáll mint a $v_1,...,vi-1,vi+1,...,vk$ vektorok lineáris kombinációja).\\ + Ha $k \geq 2$, akkor a $v_1,...,v_k$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan $i$, hogy $vi$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól (azaz előáll mint a $v_1,...,vi-1,vi+1,...,v_k$ vektorok lineáris kombinációja).\\ \mmedskip Tegyük föl először, hogy a megadott vektorrendszer lineárisan összefüggő.\\ @@ -1827,7 +2076,7 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ v A szorzatmátrixban az $i$-edik sor $j$-edik eleme a szorzás definíciója szerint $i[AIn]j = Pn t=1(ait{\delta}tj)$.\\ - Ebben az összegben ${\delta}tj = 0$ ha $t \neq j$, ezért csak az egyetlen $aij{\delta}jj = aij$ tag marad meg. + Ebben az összegben ${\delta}tj = 0$ ha $t \neq j$, ezért csak az egyetlen $a_{ij}{\delta}jj = a_{ij}$ tag marad meg. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -1836,7 +2085,7 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ v \begin{tcolorbox}[title={8. (4p)}] Mondjuk ki és bizonyítsuk be a mátrixok szorzatának transzponáltjára kimondott összefüggést. \tcblower - Ha $A \in Rkxl$ és $B \in Rlxn$, akkor $(AB)T = B^TA^T$. A szorzat transzponáltjának általános eleme ugyanis: $i[(AB)T]j = j[AB]i = Pl t=1 j[A]t \cdot t[B]i = Pl t=1 i[B^T]t \cdot t[A^T]j = i[B^TA^T]j$. + Ha $A \in R^{k \; x \; l}$ és $B \in \mathbb{R}^{l \; x \; n}$, akkor $(AB)T = B^TA^T$. A szorzat transzponáltjának általános eleme ugyanis: $i[(AB)T]j = j[AB]i = Pl t=1 j[A]t \cdot t[B]i = Pl t=1 i[B^T]t \cdot t[A^T]j = i[B^TA^T]j$. \end{tcolorbox} \end{frame} From db1fa4a86f83d808b97ebc977da1222a14a0afc0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Wed, 6 Jun 2018 18:23:17 +0200 Subject: [PATCH 09/10] Finished the C part. --- .../Document.tex | 87 ++++++++++++------- 1 file changed, 58 insertions(+), 29 deletions(-) diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex index a987840..f613e47 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex @@ -1993,17 +1993,20 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ v \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={1. (4p)}] - Mondjuk ki a $b_1,...,bk$ vektorok lineáris függetlenségének definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy ha $B = \{b_1,...,bk\}$ lineárisan független vektorrendszer, akkor minden lineáris kombinációjukként felírható vektor egyértelműen írható föl B-beli vektorok lineáris kombinációjaként. + Mondjuk ki a $b_1,...,b_k$ vektorok lineáris függetlenségének definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy ha $B = \{b_1,...,b_k\}$ lineárisan független vektorrendszer, akkor minden lineáris kombinációjukként felírható vektor egyértelműen írható föl B-beli vektorok lineáris kombinációjaként. \tcblower A $v_1,...,v_k$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha csak a triviális lineáris kombinációja adja a nullvektort.\\ - Képletben: tetszőleges ${\lambda}_1,{\lambda}_2,...,{\lambda}_k \in R$ esetén, ha ${\lambda}_1v_1 + {\lambda}_2v_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}_kv_k = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}_i = 0$.\\ - - Ha lenne egy vektor, melynek kétféle fölírása is létezne: $u = Pk i=1 {\lambda}_ibi = Pk i=1 {\mu}ibi$, akkor a kétféle előállítást egymásból kivonva azt kapjuk, hogy\\ - - $0 = Pk i=1({\lambda}_i -{\mu}i)bi$.\\ + Képletben: tetszőleges ${\lambda}_1,{\lambda}_2,...,{\lambda}_k \in \mathbb{R}$ esetén, ha ${\lambda}_1v_1 + {\lambda}_2v_2 + \cdot \cdot \cdot + {\lambda}_kv_k = 0$, akkor minden $i$-re ${\lambda}_i = 0$.\\ + \mmedskip + Ha lenne egy vektor, melynek kétféle fölírása is létezne: $u = \sum_{i = 1}^k {\lambda}_ib_i = \sum_{i = 1}^k {\mu}_ib_i$, akkor a kétféle előállítást egymásból kivonva azt kapjuk, hogy\\ + \mmedskip + + $0 = \sum_{i = 1}^k ({\lambda}_i - {\mu}_i)b_i$.\\ + \mmedskip + Ha a két előállítás különbözik, akkor valamelyik $({\lambda}_i-{\mu}i)$ együttható nem nulla, s ez ellentmond a $B$ lineáris függetlenségének. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -2019,31 +2022,35 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ v Mondjuk ki azt az állítást, mely ezeket a fogalmakat összekapcsolja, és bizonyítsuk is be az állítást. \tcblower - Ha $k \geq 2$, akkor a $v_1,...,v_k$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan $i$, hogy $vi$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól (azaz előáll mint a $v_1,...,vi-1,vi+1,...,v_k$ vektorok lineáris kombinációja).\\ + Ha $k \geq 2$, akkor a $v_1,...,v_k$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan $i$, hogy $v_i$ lineárisan függ a többi $v_j$ vektortól (azaz előáll mint a $v_1,...,_vi-1,v_i+1,...,v_k$ vektorok lineáris kombinációja).\\ \mmedskip Tegyük föl először, hogy a megadott vektorrendszer lineárisan összefüggő.\\ - Ez azt jelenti, hogy a nullvektornak van egy olyan $Pk i=1 {\lambda}_ivi = 0$ előállítása, melynél valamelyik ${\lambda}_i$ együttható (pl. a ${\lambda}_i0$) nem $0$.\\ - - Ekkor a $vi0$ kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, hiszen $vi0 = -(1/{\lambda}_i0)Pj \neq io {\lambda}_jvj$.\\ + Ez azt jelenti, hogy a nullvektornak van egy olyan $\sum_{i = 1}^k {\lambda}_iv_i = 0$ előállítása, melynél valamelyik ${\lambda}_i$ együttható (pl. a ${\lambda}_{i_0}$) nem $0$.\\ \mmedskip - A fordított irányhoz tegyük föl, hogy $vi0$ lineárisan függ a többi $vj$ vektortól, azaz $vi0 = Pj \neq i0 {\mu}jvj$ valamilyen ${\mu}j$ együtthatókra.\\ + Ekkor a $v_{i_0}$ kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, hiszen $v_{i_0} = -(1/{\lambda}_{i_0})\sum_{j \neq i_0} {\lambda}_jv_j$.\\ + \mmedskip - De ekkor átrendezhetjük a fönti egyenlőséget úgy, hogy minden vektor az egyenlőség azonos oldalára kerüljön, s ekkor azt kapjuk, hogy a ${\mu}i0 = -1$ választással: $Pk i=1 {\mu}ivi = 0$. Ez nem triviális lineáris kombinációja a $vi$ vektoroknak, mert ${\mu}i0 = -1 \neq 0$, tehát a vektorrendszer lineárisan összefüggő. + A fordított irányhoz tegyük föl, hogy $vi0$ lineárisan függ a többi $v_j$ vektortól, azaz $v_{i_0} = \sum_{j \neq i_0} {\mu}_jv_j$ valamilyen ${\mu}_j$ együtthatókra.\\ + \mmedskip + + De ekkor átrendezhetjük a fönti egyenlőséget úgy, hogy minden vektor az egyenlőség azonos oldalára kerüljön, s ekkor azt kapjuk, hogy a ${\mu}_{i_0} = -1$ választással: $\sum_{i = 1}^k {\mu}_iv_i = 0$. Ez nem triviális lineáris kombinációja a $v_i$ vektoroknak, mert ${\mu}_{i_0} = -1 \neq 0$, tehát a vektorrendszer lineárisan összefüggő. \end{tcolorbox} \end{frame} \begin{frame} \begin{tcolorbox}[title={3. (4p)}] - Mondjuk ki és igazoljuk azt az állítást, mely arról szól, mi történik, ha egy lineárisan független $a_1,...,ak$ vektorrendszerhez hozzávéve a $b$ vektort, az új, bővebb $a_1,...,ak,b$ vektorrendszer már összefüggővé válik. + Mondjuk ki és igazoljuk azt az állítást, mely arról szól, mi történik, ha egy lineárisan független $a_1,...,a_k$ vektorrendszerhez hozzávéve a $b$ vektort, az új, bővebb $a_1,...,a_k,b$ vektorrendszer már összefüggővé válik. \tcblower - Ha egy lineárisan független $a_1,...,ak$ vektorrendszerhez hozzávéve a $b$ vektort, a kapott $a_1,...,ak,b$ vektorrendszer már összefüggő, akkor $b$ lineárisan függ az $a_1,...,ak$ vektoroktól (azaz előállítható lineáris kombinációjukként).\\ + Ha egy lineárisan független $a_1,...,a_k$ vektorrendszerhez hozzávéve a $b$ vektort, a kapott $a_1,...,a_k,b$ vektorrendszer már összefüggő, akkor $b$ lineárisan függ az $a_1,...,a_k$ vektoroktól (azaz előállítható lineáris kombinációjukként).\\ + \mmedskip - A feltétel szerint ugyanis léteznek olyan ${\lambda}_1,...,{\lambda}_k,{\mu}$ együtthatók, melyek közül legalább az egyik nem nulla, és melyekre $(Pk i=1 {\lambda}_iai) + {\mu}b = 0$. Itt azonban ${\mu}$ nem lehet nulla, ellenkező esetben az $ai$ vektorok már önmagukban is előálítanák a nullvektort nem triviális módon, ez pedig ellentmond a lineáris függetlenségüknek.\\ + A feltétel szerint ugyanis léteznek olyan ${\lambda}_1,...,{\lambda}_k,{\mu}$ együtthatók, melyek közül legalább az egyik nem nulla, és melyekre $(\sum_{i = 1}^k {\lambda}_ia_i) + {\mu}b = 0$. Itt azonban ${\mu}$ nem lehet nulla, ellenkező esetben az $a_i$ vektorok már önmagukban is előálítanák a nullvektort nem triviális módon, ez pedig ellentmond a lineáris függetlenségüknek.\\ + \mmedskip - Ha átrendezzük az előbbi egyenlőséget úgy, hogy a $b$ vektort hagyjuk az egyik oldalon, akkor ${\mu}$-vel osztva $b = Pk i=1(-{\lambda}_i/{\mu})ai$, ami azt mutatja, hogy $b$ lineárisan függ az $ai$ vektoroktól. + Ha átrendezzük az előbbi egyenlőséget úgy, hogy a $b$ vektort hagyjuk az egyik oldalon, akkor ${\mu}$-vel osztva $b = \sum_{i = 1}^k (-{\lambda}_i/{\mu})a_i$, ami azt mutatja, hogy $b$ lineárisan függ az $ai$ vektoroktól. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -2051,11 +2058,13 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ v \begin{tcolorbox}[title={4. (4p)}] Mondjuk ki az $\mathbb{R}^n$-beli alterek fogalmának a műveletekre való zártsággal való definícióját, majd bizonyítsuk be, hogy $\mathbb{R}^n$ két alterének metszete is altér. \tcblower - $W {\subseteq} \mathbb{R}^n$ pontosan akkor altér, ha nem üres (ekvivalens módon itt azt is megkövetelhetjük, hogy a nullvektor benne van $W$-ben), továbbá $w1,w2 \in W$ esetén $w1 +w2 \in W$, valamint $w \in W és {\lambda} \in R$ esetén ${\lambda}w \in W$. Tegyük föl, hogy $W1,W2$ altér $\mathbb{R}^n$-ben.\\ + $W \; {\subseteq} \; \mathbb{R}^n$ pontosan akkor altér, ha nem üres (ekvivalens módon itt azt is megkövetelhetjük, hogy a nullvektor benne van $W$-ben), továbbá $w_1,w_2 \in W$ esetén $w_1 + w_2 \in W$, valamint $w \in W$ és ${\lambda} \in \mathbb{R}$ esetén ${\lambda}w \in W$. Tegyük föl, hogy $W_1,W_2$ altér $\mathbb{R}^n$-ben.\\ + \mmedskip - Ekkor a nullvektor mindkét altérnek eleme, így $W1 {\cap}W2$ nem üres. Ha $w1,w2 \in W1 {\cap}W2$, akkor mindkét $i$ indexre $w1 +w2 \in Wi$ (hiszen $Wi$ altér), s ezért az összegvektor benne van a metszetben.\\ + Ekkor a nullvektor mindkét altérnek eleme, így $W_1 {\cap}W_2$ nem üres. Ha $w_1,w_2 \in W_1 {\cap}W_2$, akkor mindkét $i$ indexre $w_1 + w_2 \in W_i$ (hiszen $W_i$ altér), s ezért az összegvektor benne van a metszetben.\\ + \mmedskip - Hasonlóan, ha $w \in W1 {\cap} W2$ és ${\lambda} \in \mathbb{R}$, akkor $Wi$ altér volta miatt ${\lambda}w \in Wi$ mindkét lehetséges $i$ indexre, így ${\lambda}w$ benne van a metszetükben is. + Hasonlóan, ha $w \in W_1 {\cap} W_2$ és ${\lambda} \in \mathbb{R}$, akkor $W_i$ altér volta miatt ${\lambda}w \in W_i$ mindkét lehetséges $i$ indexre, így ${\lambda}w$ benne van a metszetükben is. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -2066,17 +2075,22 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ v Igazoljuk az egységmátrixszal jobbról való szorzásra vonatkozó összefüggést. \tcblower - Az $In \in \mathbb{R}^{n x n}$ egységmátrix $i$-edik sorának $j$-edik eleme $1$, ha $i = j$, és $0$ egyébként (azaz a főátlóban $1$-esek, a főátlón kívül $0$-k szerepelnek).\\ + Az $I_n \in \mathbb{R}^{n x n}$ egységmátrix $i$-edik sorának $j$-edik eleme $1$, ha $i = j$, és $0$ egyébként (azaz a főátlóban $1$-esek, a főátlón kívül $0$-k szerepelnek).\\ + \mmedskip - Úgy is írhatjuk, hogy a mátrix általános eleme ${\delta}ij$, ahol ${\delta}ij$ a szokásos Kronecker-szimbólum.\\ + Úgy is írhatjuk, hogy a mátrix általános eleme ${\delta}_{ij}$, ahol ${\delta}_{ij}$ a szokásos Kronecker-szimbólum.\\ + \mmedskip + + Tetszőleges $A \in \mathbb{R}^{k \; x \; n}$ és $B \in \mathbb{R}^{n \; x \; m}$ mátrixokra $AI_n = A$ és $I_nB = B$.\\ + \mmedskip - Tetszőleges $A \in \mathbb{R}^{k x n}$ és $B \in \mathbb{R}^{n x m}$ mátrixokra $AIn = A$ és $InB = B$.\\ + Az $AI_n = A$ igazolásához jelölje $a_{pq}$ az $A$ mátrix általános elemét.\\ + \mmedskip - Az $AIn = A$ igazolásához jelölje $apq$ az $A$ mátrix általános elemét.\\ + A szorzatmátrixban az $i$-edik sor $j$-edik eleme a szorzás definíciója szerint $_{i} [AI_n]_j = \sum_{t = 1}^n (a_{it}{\delta}_{tj})$.\\ + \mmedskip - A szorzatmátrixban az $i$-edik sor $j$-edik eleme a szorzás definíciója szerint $i[AIn]j = Pn t=1(ait{\delta}tj)$.\\ - - Ebben az összegben ${\delta}tj = 0$ ha $t \neq j$, ezért csak az egyetlen $a_{ij}{\delta}jj = a_{ij}$ tag marad meg. + Ebben az összegben ${\delta}_{tj} = 0$ ha $t \neq j$, ezért csak az egyetlen $a_{ij}{\delta}_{jj} = a_{ij}$ tag marad meg. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -2085,7 +2099,12 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ v \begin{tcolorbox}[title={8. (4p)}] Mondjuk ki és bizonyítsuk be a mátrixok szorzatának transzponáltjára kimondott összefüggést. \tcblower - Ha $A \in R^{k \; x \; l}$ és $B \in \mathbb{R}^{l \; x \; n}$, akkor $(AB)T = B^TA^T$. A szorzat transzponáltjának általános eleme ugyanis: $i[(AB)T]j = j[AB]i = Pl t=1 j[A]t \cdot t[B]i = Pl t=1 i[B^T]t \cdot t[A^T]j = i[B^TA^T]j$. + Ha $A \in R^{k \; x \; l}$ és $B \in \mathbb{R}^{l \; x \; n}$, akkor $(AB)^T = B^TA^T$.\\ + \mmedskip + + A szorzat transzponáltjának általános eleme ugyanis:\\ + \mmedskip + $_{i} [(AB)^T]_j =$ $_{j} [AB]_i = \sum_{t = 1}^l $ $_{j} [A]_t \cdot $ $_{t} [B]_i = \sum_{t = 1}^l $ $_{i} [B^T]_t \cdot $ $_{t} [A^T]_j = $ $_{i} [B^TA^T]_j$. \end{tcolorbox} \end{frame} @@ -2093,9 +2112,19 @@ Q-t akkor nevezzük negatív definitnek, ha minden $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ v \begin{tcolorbox}[title={15. (4p)}] Definiáljuk egy $A \in \mathbb{R}^{n x n}$ mátrix jobb oldali sajátértékének fogalmát, majd igazoljuk, hogy az $A$ mátrix ${\lambda}$ sajátértékű (jobb oldali) sajátvektorai a nullvektorral kiegészítve alteret alkotnak $\mathbb{R}^n$-ben. \tcblower - ${\lambda} \in R$ jobb oldali sajátértéke $A$-nak, ha van olyan $0 \neq v \in \mathbb{R}^n$ vektor, melyre $Av = {\lambda}v$. (Ilyenkor $v$-t a ${\lambda}$-hoz tartozó (egyik) sajátvektornak nevezhetjük.)\\ + ${\lambda} \in \mathbb{R}$ jobb oldali sajátértéke $A$-nak, ha van olyan $0 \neq v \in \mathbb{R}^n$ vektor, melyre $Av = {\lambda}v$. (Ilyenkor $v$-t a ${\lambda}$-hoz tartozó (egyik) sajátvektornak nevezhetjük.)\\ + \mmedskip - Azt kell igazolnunk, hogy $W{\lambda} = {v \in \mathbb{R}^n |Av = {\lambda}v} \leq \mathbb{R}^n$. Nyilván $0 \in W{\lambda}$, így $W{\lambda}$ nem üres. Ha $v_1,v_2 \in W{\lambda}$, akkor $A(v_1 +v_2) = Av_1 +Av_2 = {\lambda}v_1 +{\lambda}v_2 = {\lambda}(v_1 +v_2)$, azaz $W{\lambda}$ zárt az összeadásra. Végül, ha $v \in W{\lambda}$ és ${\mu} \in R$, akkor $A({\mu}v) = {\mu}Av = {\mu}({\lambda}v) = {\lambda}({\mu}v)$, vagyis $W{\lambda}$ zárt a skalárral való szorzásra is. + Azt kell igazolnunk, hogy $W_{\lambda} = \{v \in \mathbb{R}^n |Av = {\lambda}v\} \leq \mathbb{R}^n$.\\ + \mmedskip + + Nyilván $0 \in W_{\lambda}$, így $W_{\lambda}$ nem üres.\\ + \mmedskip + + Ha $v_1,v_2 \in W_{\lambda}$, akkor $A(v_1 +v_2) = Av_1 +Av_2 = {\lambda}v_1 +{\lambda}v_2 = {\lambda}(v_1 +v_2)$, azaz $W_{\lambda}$ zárt az összeadásra.\\ + \mmedskip + + Végül, ha $v \in W_{\lambda}$ és ${\mu} \in \mathbb{R}$, akkor $A({\mu}v) = {\mu}Av = {\mu}({\lambda}v) = {\lambda}({\mu}v)$, vagyis $W_{\lambda}$ zárt a skalárral való szorzásra is. \end{tcolorbox} \end{frame} From 08ca8056ee2fcef4221a8517839a017923c6ff31 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Relintai Date: Wed, 6 Jun 2018 18:33:39 +0200 Subject: [PATCH 10/10] Small fix. --- Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex index f613e47..2e57f01 100644 --- a/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex +++ b/Lineáris Algebra és Geometria Vizsga/Document.tex @@ -681,7 +681,7 @@ $3x + 3y = 3$ \begin{frame} - \begin{tcolorbox}[title={Megoldás {\symking}}] + \begin{tcolorbox}[title={Megoldások {\symking}}] Lineáris egyenletrendszerek megoldásszámára egy nagyon fontos összefüggés van: ha több ismeretlen van, mint egyenlet, akkor nem lehet egyértelmű a megoldás (erre kérdez rá a harmadik feladat).\\ \mmedskip