mirror of
https://github.com/Relintai/Documents.git
synced 2024-11-21 00:57:17 +01:00
Dimat.
This commit is contained in:
parent
fd66073695
commit
003e878e49
@ -1,6 +1,8 @@
|
||||
% Compile twice!
|
||||
% With the current MiKTeX, you need to install the beamer, and the translator packages directly form the package manager!
|
||||
|
||||
% !TEX root = ./Headers/PrezA4Page.tex
|
||||
|
||||
% Uncomment these to get the presentation form
|
||||
%\documentclass{beamer}
|
||||
%\geometry{paperwidth=200mm,paperheight=200mm, top=0in, bottom=0.2in, left=0.2in, right=0.2in}
|
||||
@ -155,7 +157,6 @@ Minden $A$ halmazra és minden $F(x)$ formulára létezik egy B halmaz, amelyhel
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Russel-paradoxon}]
|
||||
$U = \{x : x = x \}$ (Ez Minden dolog tételnek az oka / bizonyítása)
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
@ -234,7 +235,6 @@ Legyenek A, B, C tetszőleges halmazok. Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (B \cap C)$ (A metszet disztributivitása az unióra nézve)
|
||||
|
||||
\item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (B \cup C)$ (Az unió disztributivitása a metszetre nézve)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
@ -279,7 +279,6 @@ Legyenek A, B $\wedge$ X halmazok. Ekkor:
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Definíció: Hatványhalmaz}]
|
||||
Ha $A$ halmaz, akkor azt a halmazrendszert melynek elemei $A$ részhalmazai, az \textbf{$A$ hatványhalmazának} nevezzük.\\
|
||||
Jele: $p(A)$, (A $p$ betű a "Potenz" szóra utal (gyakori a $2^A$ jelölés is.)
|
||||
@ -1325,6 +1324,27 @@ $$\sum_{k = 0}^n c_kz^k = 0$$
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Oszthatóság egységelemes integritási tarományban (Emlékeztető)}]
|
||||
Legyen $R$ integrritási tartomány és $a, b \in R$, $a$ \textbf{osztója} $b$-nek, ha létezik $c \in R$, amelyre $b = ac$, jelben $a | b$.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
$x \in R$ \textbf{egydég}, ha $x | r$ teljesül ${\forall}r \in R$-re. Az $R$-beli egységek halmaza $U(R)$.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Azt mondjuk, hogy $a$ és $b$ \textbf{asszociáltak}, ha létezik olyan $c$ egység, amelyikkel $a = bc$. Ezt a tényt $a \sim b$-vel jelöljük.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
$a \in R^*{\setminus}U(R)$ \textbf{felbonthatatlan}, ha $a = b \cdot c, (b, c, \in R)$ esetén $b \in U(R)$ vagy $c \in U(R)$.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
$a \in R^*{\setminus}U(R)$ \textbf{prím}, ha $a | b \cdot c, (b, c, \in R) \Rightarrow a | b$ vagy $a | c$.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Ha $a \in R^*{\setminus}U(R)$ : $a$ \textbf{triviális osztói} az egységek és önmaga egységszeresei, $a$ \textbf{összetett}, ha nem csak triviális osztója van.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
$R^*$: R additív egységeleme\\
|
||||
$U(R)$: R egysége\\
|
||||
$R^*{\setminus}U(R)$: R, egységek, és additív ergységelem nélkül.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
@ -1358,6 +1378,48 @@ $b = pq = b(cq) \implies cq = 1$ $\implies$ $c, q$ egység $p, b$ asszociáltak.
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Legnagyobb közös osztó}]
|
||||
Legyen $a_1, ..., a_n \in R$ (EIT), $L \subseteq R $ és ${\forall}d \in L$-re:\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
$d|a_i$ $(i = 1, ..., n)$,\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
$d' | a_i$ $(i = 1, ..., n)$ $\Rightarrow$ $d'|d$\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Ekkor $L$ elemei az $a_1, ..., a_n$ elemek \textbf{legnagyobb közös osztói}.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Jelben: $lnko(a_1, ..., a_n) = (a_1, ..., a_n) = d$\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
d csak az asszociáltság erejéig egyértemű $\Rightarrow$ kijelölünk egyet (megegyezés szerint alapból a pozitívat).
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Relatív prím, Páronként relatív prím}]
|
||||
$a_1, ..., a_n$ \textbf{relatív prímek}, ha $d$ egység.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Erősebb: \textbf{Páronként relatív prímek}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Legkisebb közös többszörös}]
|
||||
Legyen $a_1, ..., a_n \in R$ (EIT), $T \subseteq R $ és ${\forall}t \in T$-re:\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
$a_i|t$ $(i = 1, ..., n)$,\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
$a_i|t'$ $(i = 1, ..., n)$ $\Rightarrow$ $t'|t$\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Ekkor $T$ elemei az $a_1, ..., a_n$ elemek \textbf{legkisebb közös többszörösei}.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Jelben: $lkkt(a_1, ..., a_n) = [a_1, ..., a_n] = t$\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
$t$ csak az asszociáltság erejéig egyértemű! $\Rightarrow$ Kijelölünk egyet!
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
@ -1380,13 +1442,10 @@ Legyen $p|bc$, ekkor vagy $p | b$-nek, ekkor ksz vagyunk.
|
||||
Vagy $p \nmid b$ ekkor $(p,b) = 1$.\\
|
||||
$c = pcx +bcx \implies 0 mod p \implies p | c$.\\
|
||||
(Észrevétel: $(a, b) = 1 \land a | bc \implies a | c$
|
||||
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: A számelmélet alaptétele}]
|
||||
Minden $m$ nemnulla, nemegység, egész szám sorrendre és asszociáltásgra való tekintet nélkül egyértelműen bontható fel felbonthatatlanok szorzatára.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
@ -1399,6 +1458,7 @@ Ha $n$ felbonthatatlan $\rightarrow$ kész.\\
|
||||
Ha $n$ nem felbonthatatlan $\rightarrow$ $n = ab \land a, b$ (a, b nem egység!), $a, b < n$ $\implies$ igaz rájuk az ind. feltétel.\\
|
||||
$n$ felbontása $=$ $a$ felbontása szor $b$ felbontása.\\
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
\textbf{(unicitás) (Indirekt)}\\
|
||||
Tfh $n$ a legkisebb olyan szám, amely felbontása nem egyértelmű.\\
|
||||
$n = p_1 ... p_k = q_1 ... q_r$ $\implies$\\
|
||||
@ -1409,11 +1469,9 @@ $p_1|q_1$, $p_1|q_2 ... q_r$\\
|
||||
$\implies$ $n_1 = \frac{n}{p_1} = p_2 ... p_k = q_1 ... q_{i-1}q_{i+1} ... q_r$\\
|
||||
$n_1 < n$ és van két lényegesen különböző felbontása!
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Eukleidész tétele}]
|
||||
Végetlen sok prímszám van.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
@ -1429,14 +1487,62 @@ $p_j : p_j | n + 1 \implies p_j | 1$ Ellentmondás!
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Kanonikus alak, Módosított kanonikus alak}]
|
||||
Egy $n > 1$ egész\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
$n = p_1^{{\alpha_1}}p_2^{{\alpha_2}}...p_k^{{\alpha_k}}$\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
alakú felírását, ahol $p_i$-k különböző (pozitív) prímek és ${\alpha}_i > 0$, $n$ \textbf{kanonikus alakjának} nevezzük.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\textbf{Módosított kanonikus alak}, ha ${\alpha}_i = 0$ is megengedett.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Erathosztenész SZitája}]
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
|
||||
$n$ osztói: $n = p_1^{{\alpha_1}}p_2^{{\alpha_2}}...p_k^{{\alpha_k}}$\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
módosított kanonikus alakú szám osztói: $d = p_1^{{\beta}_1}p_2^{{\beta}_2}...p_k^{{\beta}_k}$,\\
|
||||
ahol ${\beta}_i \in \mathbb{N}, 0 \leq {\beta}_i \leq {\alpha}_i, i = 1, 2, ..., k$.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Lnko, Lkkt:\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Legyen $a$ és $b$ módosított kanonikus alakja:\\
|
||||
$a = p_1^{{\alpha}_1}p_2^{{\alpha}_2}...p_r^{{\alpha}_r}$, $b = p_1^{{\beta}_1}p_2^{{\beta}_2}...p_r^{{\beta}_r}$\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
ekkor:\\
|
||||
$(a, b) = p_1^{min({\alpha}_1, {\beta}_1)}...p_r^{min({\alpha}_r, {\beta}_r)}$\\
|
||||
$[a, b] = p_1^{max({\alpha}_1, {\beta}_1)}...p_r^{max({\alpha}_r, {\beta}_r)}$\\
|
||||
\mbigskip
|
||||
|
||||
Következmények:\\
|
||||
Legyen $a, b, c \in \mathbb{Z}$, ekkor:\\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ha $a$ is $b$ is relatív prím $c$-hez akkor $ab$ is.
|
||||
\item $a, b$-nek mindíg létezik legkisebb közös többszöröse és $[a, b](a, b) = |ab|$
|
||||
\item $[ac, bc] = c[a, b]$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Erathosztenész Szitája}]
|
||||
Prímkereső algoritmus.\\
|
||||
\mbigskip
|
||||
|
||||
1 $\rightarrow$ Egység, nem prím.\\
|
||||
2 $\rightarrow$ Prím $\Rightarrow$ a többszörösei nem prímek.\\
|
||||
3 $\rightarrow$ Prím $\Rightarrow$ a többszörösei nem prímek.\\
|
||||
4 $\rightarrow$ 2 többszöröse, kiesett.\\
|
||||
...
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Lineáris Kongruencia}]
|
||||
$a \equiv b \pmod{m}$, ha $m | a - b$.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
@ -1452,19 +1558,66 @@ $a \equiv b \pmod{m}$, ha $m | a - b$.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Ész}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Az Euler-féle $\phi$ függvény}]
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: A $\tau$ függvény}]
|
||||
$a \equiv b \pmod{n} \Rightarrow (a, m) = (b, m)$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: TMR, RMR}]
|
||||
$\overline{a}$ az $a$ elem által reprezentált \textbf{$m$ szerinti maradékosztály} az $a$-val kongruens elemek halmaza $\pmod{m}$.\\
|
||||
{\footnotesize (Van nullosztó), (Ekvivalencia reláció osztályok)}
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\textbf{Teljes maradékrendszer (TMR) modulo $m$} tartalmaz az összes $m$ szerinti maradékosztályból pontosan 1-et.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
$\overline{a}$ az $a$ elem által reprezentált \textbf{$m$ szerinti redukált maradékosztály}, ha $(a, m) = 1$.\\
|
||||
{\footnotesize (Biztosan test, mivel nincs nullosztó.}\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
\textbf{Redukált maradékrendszer (RMR) modulo $m$} tartalmaz az összes $m$ szerinti redukált maradékosztályból pontosan 1-et.\\
|
||||
\tcblower
|
||||
1. Biztosan TMR-t alkotnak a következő számhalmazok mod $m$:\\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $0, 1, ..., |m| - 1$
|
||||
\item Ha $m$ páratlan: $0, +-1, ..., +-\frac{(|m| - 1)}{2}$
|
||||
\item Ha $m$ páros: $ , +-1, ..., +-(\frac{|m|}{2} - 1)$ (Vagy $\frac{|m|}{2}$, vagy -$\frac{|m|}{2<}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
2. Legyen $m \in \mathbb{N}$, és vagyünk egy TMR-t mod $m$.\\
|
||||
Definiáljunk műveleteket a következőképp:\\
|
||||
$\overline{a} + \overline{b} = \overline{a + b}$\\
|
||||
$\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a \cdot b}$\\
|
||||
Jelöljük $Z_m$-mel ezt a struktúrát.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
A $(Z, +, {\cdot})$ struktúra kommutatív, egységelemes gyűrű.
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: Az Euler-féle $\phi$ függvény}]
|
||||
Legyen $n \in \mathbb{N}^+$, ekkor ${\phi}(n)$ jelenti az $n$-nél nem nagyobb, hozzá relatív prímek számát, azaz:\\
|
||||
${\phi}(n) = \sum_{q \leq k \leq n\\ (k, n) = 1} 1$\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Másképp: ${\phi}(n)$ jelenti a modulo $n$ relatív maradékosztályok számát.
|
||||
\tcblower
|
||||
\textbf{Észrevétel}: Ha $n$ prím, akkor ${\phi}(n) = n - 1$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: A $\tau$ függvény}]
|
||||
Legyen $n \in \mathbb{N}^+$, ekkor ${\phi}(n)$ jelenti az $a$ pozitív osztóinka számát.
|
||||
\tcblower
|
||||
\textbf{Észrevétel}:\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
|
||||
|
||||
$n = p_1^{{\alpha}_1}p_2^{{\alpha}_2}...p_r^{{\alpha}_r}$ módosított kanonikus alak.\\
|
||||
\msmallskip
|
||||
$n$ osztói: $d = p_1^{{\beta}_1}p_2^{{\beta}_2}...p_r^{{\beta}_r}$, ahol ${\beta}_i \in \mathbb{N}, 0 \leq {\beta}_i \leq {\alpha}_i, i = 1, 2, ..., k$ $\Rightarrow$\\
|
||||
$\Rightarrow$ ${\tau}(n) = ({\alpha}_1 + 1)...({\alpha}_k + 1)$
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
@ -1498,9 +1651,7 @@ Megfelelő párosítás $\implies$ $r_i \equiv ar_j \pmod{m}$.\\
|
||||
Összehozva: $(r_i, m) = 1$\\
|
||||
\smallskip
|
||||
$$a^{{\phi}(m)} \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \equiv \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \pmod{m}$$
|
||||
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
@ -1508,16 +1659,15 @@ $$a^{{\phi}(m)} \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \equiv \prod^{{\phi}(m)}_{i=1} r_i \
|
||||
Legyen $p$ prím és $a \in \mathbb{Z}$. Ekkor\\
|
||||
(első alak) ha $p \nmid a$, akkor $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.\\
|
||||
(második alak) ha $a$ tetszőleges, akkor $a^p \equiv a \pmod{p}$.
|
||||
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
Első alak: ${\phi}(p) \equiv p - 1$ $\rightarrow$ előző tétel miatt kész.\\
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
Második alak:\\
|
||||
Ha $p|a$ $\rightarrow$ $0 \equiv 0$ $\rightarrow$ kész.\\
|
||||
Ha $p{\nmid}a$ $\rightarrow$ ekkor ez az első alak $\rightarrow$ kész.
|
||||
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
@ -1530,11 +1680,14 @@ Rögzített $a, b, c$ egész számok esetén az \textbf{$ax + by = c$} diofantik
|
||||
Tfh $ax + by = c$ egyenletnek van megoldása.\\
|
||||
\textbf{1. Rész ($\implies$)}\\
|
||||
\smallskip
|
||||
|
||||
Tfh $x_0, y_0$ megoldás. $\implies$ $(a, b)|a \land (a, b)|b$ $\implies$ lin. kombinációs tul. $\implies$\\
|
||||
$\implies$ $(a, b)|ax_0 + by_0 = c$ (Igaz, mert az a, b osztója az $ax_0 + by_0$-nak.)\\
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
\textbf{2.Rész ($\Longleftarrow$)}\\
|
||||
\smallskip
|
||||
|
||||
Tfh (a, b)|c. Ekkor:\\
|
||||
$c = (a, b)q$\\
|
||||
$c = (au + bv)q$\\
|
||||
@ -1561,13 +1714,46 @@ Kongruenciarendszer megoldható és bármely két megoldása kongruens modulo $m
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: A kínai maradéktétel megoldása}]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Megoldjuk a kongruenciákat külön-külön.\\
|
||||
Mivel minden $1 \leq i \leq n$ esetén $(m_i, a_i) = 1$, mindenütt pontosan egy megoldást kapunk.\\
|
||||
Ezeket jelöljük: $c_1, c_2, ..., c_n$
|
||||
\item Legyen $M = m_1m_2...m_n$ és\\
|
||||
$M_j = \frac{m}{m_j} = m_1 \cdot m_2 \cdot ... \cdot m_{j - 1} \cdot m_{j + 1} \cdot ... \cdot m_n$ $(1 \leq j \leq n)$
|
||||
\item Oldjuk meg a következő lineáris kongruenciákat:\\
|
||||
$M_1y \equiv \pmod{m_1}$\\
|
||||
$M_2y \equiv \pmod{m_2}$\\
|
||||
...\\
|
||||
$M_ny \equiv \pmod{m_n}$\\
|
||||
Mivel minden $1 \leq j \leq n$ esetén $(M_j, m_j) = 1$, ezért mindenütt pontosan 1 megoldást kapunk.\\
|
||||
Ezeket jelöljük: $y_1, y_2, ... y_n$
|
||||
\item $x_0 = \sum_{i = 1}^n M_iy_ic_i$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Def.: A számelméleti függvények}]
|
||||
\textbf{Számelméleti függvénynek} nevezzük az:\\
|
||||
$f : \mathbb{N}^+ \rightarrow \mathbb{C}$\\
|
||||
alakú függvényeket.\\
|
||||
\mmedskip
|
||||
|
||||
Legyen $m, n \in \mathbb{n}^+$ és $(m, n) = 1$, ekkor $f$:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \textbf{additív}, ha $f(nm) = f(n) + f(m)$
|
||||
\item \textbf{totálisan (teljesen) additív}, ha additív $(m, n) \neq 1$ esetén is.
|
||||
\item \textbf{Multiplikatív}, ha $f(nm) = f(n)f(m)$
|
||||
\item \textbf{Totálisan (Teljesen) multiplikatív}, ha multiplikatív $(m, n) \neq 1$ esetén is.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\tcblower
|
||||
\textbf{Észrevételek:}\\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ha $f$ additív, akkor $f(1) = 0$
|
||||
\item Ha $f$ multiplikatív, és nem azonosan nulla, akkor $f(1) = 1$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{tcolorbox}
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Tétel: Számelméleti függvények}]
|
||||
Legyen $n \in \mathbb{N}^+$ kanonikus alakja $p_1^{{\alpha}_1}...p_k^{{\alpha}_k}$. Ekkor:\\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
@ -1586,6 +1772,7 @@ $\phi$ multiplikatív.
|
||||
|
||||
\begin{tcolorbox}[title={Bizonyítás}]
|
||||
\smallskip
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{c c c c}
|
||||
1 & 2 & ... & a \\
|
||||
a + 1 & a + 2 & ... & 2a\\
|
||||
@ -1593,12 +1780,15 @@ a + 1 & a + 2 & ... & 2a\\
|
||||
(b - 1)a + 1 & (b - 1)a + 2 & ... & ba
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\smallskip
|
||||
|
||||
Számoljuk meg, hogy a táblázatban hány relatív prím van $ab$-hez: ennyi lesz ${\phi}(ab)$ értéke.\\
|
||||
(Ha $a$ is $b$ is relatív prím $c$-hez, akkor $ab$ is. $\implies$ azokat kell számolni, amelyek $a$-hoz és $b$-hez is rel. prímek)\\
|
||||
\smallskip
|
||||
|
||||
AZ Omnibusz tételből következik hogy minden oszlop TMR mod $b$, ha $(a, b) = 1$ $\implies$\\
|
||||
$\implies$ minden oszlopban ${\phi}(b)$ rel. prím $b$-hez.\\
|
||||
\smallskip
|
||||
|
||||
| Minden oszlom kongruens elemeket tart mod $a$.\\
|
||||
| Minden sor egy TMR mod $a$ $\implies$ minden sorban ${\phi}(a)$ db elem relatív prím $a$-hoz.\\
|
||||
$\implies$ ${\phi}(a)$ db oszlopnak rel prímek az elemei $a$-hoz. $\implies$ összesen ${\phi}(a){\phi}(b)$ rel. prím van $ab$-hez.
|
||||
|
||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user